Chute verticale d`un solide

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Chute verticale d’un solide
I.Analyse de la chute d’une bille dans un liquide visqueux
I.a. Etude expérimentale
Une bille est lâchée sans vitesse initiale dans un liquide visqueux. Cf TP. On relève les positions
de la bille au cours du temps.
v = v
y
=
dt
dy
: le relevé des positions permet de calculer la vitesse de la bille au cours du temps
On obtient le graphique suivant :
On peut distinguer deux parties : le régime initial et le régime asymptotique (la vitesse atteint la
valeur v
lim
). Pendant le régime initial, v varie, ce qui veut dire que l’accélération n’est pas nulle. La
somme des forces s’exerçant sur la bille n’est pas nulle.
On appelle temps caractéristique τ
C
la date à laquelle la tangente à l’origine de la courbe coupe
l’asymptote à la courbe.
Etude mécanique de la chute de la bille : La bille est soumise à trois forces extérieures dont nous
allons étudier en détail les caractéristiques : le poids, la poussée d’Archimède, les forces de
frottement du liquide.
I.b. Champ de pesanteur
gmP ×=
• P : valeur du poids en Newton
• m : masse en Kg
• g : intensité de la pesanteur (N.Kg
-1
)
O
y

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I.c. Poussée d’Archimède
Un corps totalement ou partiellement immergé dans un fluide (liquide ou gaz) subit de sa part une
force Π
A
appelée poussée d’Archimède de direction verticale de bas en haut dont la valeur est
égale au poids du fluide déplacé.
Π
ΠΠ
Π
A
= m
fluide
x g
or ρ
fluide
=
V
m
De plus, V
fluide
= V
objet
si tout l’objet est immergé…
Finalement :
Π
ΠΠ
Π
A
= ρ
ρρ
ρ
fluide
x V
objet
x g
• Π
A
: valeur de la poussée d’Archimède en N
• ρ
fluide
masse volumique du fluide en Kg.m
-3
• g : valeur du champ de pesanteur N.Kg
-1
• V
objet
: volume de l’objet en m
3
Si l’objet n’est pas entièrement immergé, V est le volume
de la partie immergée de l’objet…
Le plus souvent, la poussée d’Archimède est inférieure au
poids, dans ce cas, tout se passe comme si la valeur du
poids de l’objet était atténuée (P
ap
du TP).
Si l’objet est très volumineux et léger ( ρ faible), dans ce
cas, Π
A
> P l’objet peut ainsi s’élever dans le fluide.
Exemple des mongolfières… (fluide = air…)
8P160
I.d. Force de frottement exercé par le fluide.
Lorsqu’un solide est en mouvement dans un milieu fluide, il subit des forces de frottement fluide
F
f
. La résultante de ces forces est de même direction que la vitesse v de l’objet mais de sens
opposé. Plus v est grand et plus F
f
est grand.
vkF
f
×−= F
f
en N
k en N.m
-1
.s
v en m.s
-1

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Pour les valeurs plus élevées de la vitesse, F
f
varie comme le ² de la vitesse
F
f
= k x v²
F
f
en N
k en N.m
-2
.s
2
v en m.s
-1
Représentation de toutes les forces exercées
sur la bille pendant le mouvement
• P en rouge
• Π
A
en bleu
• F
f
en vert
I.e. Valeur de la force de frottement limite
D’après la deuxième loi de Newton:
amFP
bille
fA
=++ Π
ΠΠ
Π soit
z
y
x
P
P
P
+
π
π
π
Az
Ay
Ax
+
fz
fy
fx
F
F
F
= m
bille
z
y
x
a
a
a
Relation, qui projetée sur l’axe Oy donne : P - Π
A
- F
f
= m
bille
a
y
Lorsque la vitesse limite v
y lim
est atteinte, celle-ci ne varie plus.
Dans ce cas,
dt
dv
y
= 0
dt
dv
= et a = a
y
= 0.
Donc F
f
= P- Π
A
lorsque le régime permanent (asymptotique) est établi.
F
f
= (m
bille
-m
fluide
) x g
F
f
= (m
bille
- ρ
fluide
x V
bille
) x g
I.f. Evolution de v
lim
et F
f lim
avec la masse de l’objet.(rayon de la bille
constant)
• Plus m
bille
est grand et plus F
f
est grande
• Plus F
f
est grande et plus v
lim
est élevé.
I.g. Valeur de la vitesse limite
amFP
bille
fA
=++ Π
ΠΠ
Π et on note F
f
= k.v
L’équation du mouvement s’écrit : (m
bille
– m
fluide
)g – k.v = m
dt
dv
. Lorsque la vitesse limite est
O
y

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atteinte,
dt
dv
= 0, donc on obtient l’équation (m
bille
– m
fluide
)g – k.v
lim
= 0 soit (m
bille
– m
fluide
)g = k.v
lim
.
k
g)mm(
v
fluidebille
lim
−
= soit
k
gV)(
v
billefluidebille
lim
ρ−ρ
=
II.Chute libre verticale d’un solide
II.a. De quoi s’agit-il ?
Pour comprendre le phénomène de la chute d’un objet, on va simplifier le problème. La chute est
due au poids (force de gravitation). On va considérer que seule cette force est exercée sur
l’objet. (On peut à la rigueur faire cette approximation pour des objets petits et massifs, sur
une distance de chute courte : massif poussée d’Archimède négligeable et temps court v
petit  F
f
négligeable.
Chute sans frottements de l’air et sans poussée d’Archimède…
Def : La chute libre d’un solide est le mouvement de son centre d’inertie dans le référentiel
terrestre, lorsqu’il est uniquement soumis à la force de pesanteur.
Expliquer ce qu’on veut obtenir maintenant : en utilisant la deuxième loi de newton, on veut
obtenir la vitesse de la bille en fonction du temps et la position de la bille en fonction du temps.
II.b. Equations différentielles du mouvement
• Référentiel : terrestre supposé Galiléen.
• Système : objet de centre d’inertie G
• Force exercée sur le système : le Poids
P
.
Soit O,i,j,k le repère associé au référentiel terrestre. Nous allons étudier le mouvement avec
une vitesse verticale quelconque.
A t = 0, Le solide est lancé verticalement vers le haut ou vers le bas, le vecteur vitesse de son
centre d’inertie G étant kvv
0
0
= . v
0
peut être soit positif soit négatif.
A la date t = 0, G se trouve au point de coordonnées (0,0,z
0
) (on peut ensuite donner à z
0
n’importe quelle valeur positive ou négative…)
Coordonnées du point G (x,y,z)
Coordonnées de la vitesse (v
x
, v
y
, v
z
)
La deuxième loi de Newton s’écrit :
gmPam
gi
==
Avec m
i
la masse inertielle (celle qui « limite » la variation de vitesse » d’un objet).
Et m
g
la masse gravitationnelle d’un objet : la masse qui permet à deux corps de s’attirer…

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Ces deux phénomènes sont de nature complètement différentes et pourtant, m
i
= m
g
(identité de
la masse grave et de la masse inertielle)  c’est encore un des mystères de la physique. En tout
cas, c’est ce qui a permis à Einstein de construire la relativité générale…
m
i
= m
g
Egalité vérifiée jusqu’à présent à 10
-9
près…
Finalement, on écrit la relation précédente
gmam = soit ga = (c’est pour cette raison que g est appelé « accélération de la pesanteur »…)
On considère que la chute a lieu d’une hauteur (raisonnable)… z
0
très inférieur au rayon de la
terre
Dans ce cas, g est uniforme et donc ici constant au cours du temps.
Donc a est constant au cours de la chute.
Le vecteur a a pour coordonnées : a
z
y
x
a
a
a
Le vecteur g a pour coordonnées g
−=
=
=
gg
0g
0g
z
y
x
(en effet g = - g
k
)
La relation ga = donne :
−=
=
=
ga
0a
0a
z
y
x
soit
−==
==
==
g
dt
dV
a
0
dt
dV
a
0
dt
dV
a
z
z
y
y
x
x
II.c. Résolution de ces équations différentielles
Reprenons quelques temps les notations mathématiques.
A partir d’informations sur la valeur de la dérivée d’une fonction, il faut retrouver la fonction
correspondante : On fait alors une intégration.
Si f ’(x) = 0 que vaut f(x) ? Essayons f(x) = 2  f’(x) = 0, f(x) = 3  f’(x) = 0.
Toutes les valeurs constantes conviennent (ne dépendant pas de x)
On peut alors écrire, f(x) = Cste…
Si f’(x) = 4 que vaut f(x) ? Si f(x) = 4x  f’(x) = 4 ça marche ! Mais si f(x) = 4x + 3, ça marche
aussi.
Donc toutes les fonctions du type f(x) = 4x + Cste conviennent.
Si f’(x) = 4x que vaut f(x) ? Toutes les fonctions du type f(x) = 2x²+ Cste conviennent …
Retournons aux fonctions en physique.