Chute verticale d’un solide I.Analyse de la chute d’une bille dans un liquide visqueux I.a. Etude expérimentale Une bille est lâchée sans vitesse initiale dans un liquide visqueux. Cf TP. On relève les positions de la bille au cours du temps. v = vy = dy : le relevé des positions permet de calculer la vitesse de la bille au cours du temps dt O On obtient le graphique suivant : y On peut distinguer deux parties : le régime initial et le régime asymptotique (la vitesse atteint la valeur vlim). Pendant le régime initial, v varie, ce qui veut dire que l’accélération n’est pas nulle. La somme des forces s’exerçant sur la bille n’est pas nulle. On appelle temps caractéristique τC la date à laquelle la tangente à l’origine de la courbe coupe l’asymptote à la courbe. Etude mécanique de la chute de la bille : La bille est soumise à trois forces extérieures dont nous allons étudier en détail les caractéristiques : le poids, la poussée d’Archimède, les forces de frottement du liquide. I.b. Champ de pesanteur P = m×g Cours TS chute verticale • • • P : valeur du poids en Newton m : masse en Kg g : intensité de la pesanteur (N.Kg-1) Page 1 I.c. Poussée d’Archimède Un corps totalement ou partiellement immergé dans un fluide (liquide ou gaz) subit de sa part une force ΠA appelée poussée d’Archimède de direction verticale de bas en haut dont la valeur est égale au poids du fluide déplacé. ΠA = mfluide x g or ρfluide = m V De plus, Vfluide = V objet si tout l’objet est immergé… • Finalement : ΠA = ρfluide x Vobjet x g • • • ΠA : valeur de la poussée d’Archimède en N ρfluide masse volumique du fluide en Kg.m-3 g : valeur du champ de pesanteur N.Kg-1 Vobjet : volume de l’objet en m3 Si l’objet n’est pas entièrement immergé, V est le volume de la partie immergée de l’objet… Le plus souvent, la poussée d’Archimède est inférieure au poids, dans ce cas, tout se passe comme si la valeur du poids de l’objet était atténuée (Pap du TP). Si l’objet est très volumineux et léger (ρ faible), dans ce cas, ΠA > P l’objet peut ainsi s’élever dans le fluide. Exemple des mongolfières… (fluide = air…) 8P160 I.d. Force de frottement exercé par le fluide. Lorsqu’un solide est en mouvement dans un milieu fluide, il subit des forces de frottement fluide Ff. La résultante de ces forces est de même direction que la vitesse opposé. Plus v est grand et plus Ff est grand. Ff = −k × v Cours TS chute verticale v de l’objet mais de sens Ff en N k en N.m-1.s v en m.s-1 Page 2 Pour les valeurs plus élevées de la vitesse, Ff varie comme le ² de la vitesse Ff = k x v² Ff en N k en N.m-2.s2 v en m.s-1 O Représentation de toutes les forces exercées sur la bille pendant le mouvement • P en rouge • ΠA en bleu • Ff en vert y I.e. Valeur de la force de frottement limite D’après la deuxième loi de Newton: Px π Ax Ffx P + Π A + F f = m bille a soit Py + π Ay + Ffy = mbille Pz π Az Ffz a x a y a z Relation, qui projetée sur l’axe Oy donne : P - ΠA - Ff = mbille ay Lorsque la vitesse limite vy lim est atteinte, celle-ci ne varie plus. Dans ce cas, dv y dt = dv = 0 et a = ay = 0. dt Donc Ff = P-ΠA lorsque le régime permanent (asymptotique) est établi. Ff = (mbille -mfluide) x g Ff = (mbille - ρfluide x Vbille) x g I.f. Evolution de vlim et Ff lim avec la masse de l’objet.(rayon de la bille constant) • • Plus mbille est grand et plus Ff est grande Plus Ff est grande et plus vlim est élevé. I.g. Valeur de la vitesse limite P + Π A + F f = m bille a et on note Ff = k.v L’équation du mouvement s’écrit : (mbille – mfluide)g – k.v = m Cours TS chute verticale dv . Lorsque la vitesse limite est dt Page 3 atteinte, v lim = dv = 0, donc on obtient l’équation (mbille – mfluide)g – k.vlim = 0 soit (mbille – mfluide)g = k.vlim . dt (ρ bille − ρ fluide )Vbille g (m bille − m fluide )g soit v lim = k k II.Chute libre verticale d’un solide II.a. De quoi s’agit-il ? Pour comprendre le phénomène de la chute d’un objet, on va simplifier le problème. La chute est due au poids (force de gravitation). On va considérer que seule cette force est exercée sur l’objet. (On peut à la rigueur faire cette approximation pour des objets petits et massifs, sur une distance de chute courte : massif poussée d’Archimède négligeable et temps court v petit Ff négligeable. Chute sans frottements de l’air et sans poussée d’Archimède… Def : La chute libre d’un solide est le mouvement de son centre d’inertie dans le référentiel terrestre, lorsqu’il est uniquement soumis à la force de pesanteur. Expliquer ce qu’on veut obtenir maintenant : en utilisant la deuxième loi de newton, on veut obtenir la vitesse de la bille en fonction du temps et la position de la bille en fonction du temps. II.b. Equations différentielles du mouvement • Référentiel : terrestre supposé Galiléen. • Système : objet de centre d’inertie G • Force exercée sur le système : le Poids P . Soit O,i,j,k le repère associé au référentiel terrestre. Nous allons étudier le mouvement avec une vitesse verticale quelconque. A t = 0, Le solide est lancé verticalement vers le haut ou vers le bas, le vecteur vitesse de son centre d’inertie G étant v 0 = v0 k . v0 peut être soit positif soit négatif. A la date t = 0, G se trouve au point de coordonnées (0,0,z0) (on peut ensuite donner à z0 n’importe quelle valeur positive ou négative…) Coordonnées du point G (x,y,z) Coordonnées de la vitesse (vx, vy, vz) La deuxième loi de Newton s’écrit : mi a = P = m g g Avec mi la masse inertielle (celle qui « limite » la variation de vitesse » d’un objet). Et mg la masse gravitationnelle d’un objet : la masse qui permet à deux corps de s’attirer… Cours TS chute verticale Page 4 Ces deux phénomènes sont de nature complètement différentes et pourtant, mi = mg (identité de la masse grave et de la masse inertielle) c’est encore un des mystères de la physique. En tout cas, c’est ce qui a permis à Einstein de construire la relativité générale… mi = mg -9 Egalité vérifiée jusqu’à présent à 10 près… Finalement, on écrit la relation précédente ma = mg soit a = g (c’est pour cette raison que g est appelé « accélération de la pesanteur »…) On considère que la chute a lieu d’une hauteur (raisonnable)… z0 très inférieur au rayon de la terre Dans ce cas, g est uniforme et donc ici constant au cours du temps. Donc a est constant au cours de la chute. a x g x = 0 Le vecteur a a pour coordonnées : a a y Le vecteur g a pour coordonnées g g y = 0 a z g z = −g (en effet g= - gk) dVx a x = dt = 0 a x = 0 dVy La relation a = g donne : a y = 0 soit a y = =0 dt a z = −g dVz a z = dt = −g II.c. Résolution de ces équations différentielles Reprenons quelques temps les notations mathématiques. A partir d’informations sur la valeur de la dérivée d’une fonction, il faut retrouver la fonction correspondante : On fait alors une intégration. Si f ’(x) = 0 que vaut f(x) ? Essayons f(x) = 2 f’(x) = 0, f(x) = 3 f’(x) = 0. Toutes les valeurs constantes conviennent (ne dépendant pas de x) On peut alors écrire, f(x) = Cste… Si f’(x) = 4 que vaut f(x) ? Si f(x) = 4x f’(x) = 4 ça marche ! Mais si f(x) = 4x + 3, ça marche aussi. Donc toutes les fonctions du type f(x) = 4x + Cste conviennent. Si f’(x) = 4x que vaut f(x) ? Toutes les fonctions du type f(x) = 2x²+ Cste conviennent … Retournons aux fonctions en physique. Cours TS chute verticale Page 5 dVx a x = dt = 0 dVy = 0 en intégrant a y = dt dVz a z = dt = −g Vx = V0 x si on se place à t = 0 on a Vy = V0 y Vz = −gt + V0 z Vx = V0 x = 0 Vy = V0 y = 0 Vz = V0 z = V0 x = x 0 Vx = 0 d’où y = y 0 et d’après le texte ci-dessus Vy = 0 −1 2 Vz = −gt + V0 z = gt + v 0 t + z 0 2 x = x 0 = 0 y = y 0 = 0 −1 2 z = gt + v 0 t + z 0 2 Donc vz(t) est une fonction affine de t. Finalement 1 gt² + v0t + z0 2 • z(t) = - • vz(t) = -gt + v0 II.d. Importance des conditions initiales Supposons qu’à t = 0, le centre d’inertie du solide est en z = 0. Lorsque le solide est lancé vers le haut v0 est positive. V Vz s’annule et change de signe à la date tS = 0. A cette date, l’altitude z est maximale et sa g valeur est zS = - g V 02 V 02 ( 2 )+ ( ) g 2 g L’altitude maximale atteinte par le centre d’inertie du solide est zS = 1v02 . 2g Cette valeur dépend donc de la valeur de la vitesse initiale. Cours TS chute verticale Page 6 Lorsque le solide est lancé vers le bas, v0 négative : vZ et z sont toujours négatifs… Complément : montrer que le temps qu’il faut pour retombé au sol est de t1 =2 V0 g 9, 28,29 P 162 24 P 162 Euler Cours TS chute verticale Page 7 Document annexe O y Document annexe O y Cours TS chute verticale Page 8