Devoir surveillé 4 Concours blanc

Lyc´ee Henri IV Devoir surveill´e 4 HKBL
Concours blanc
Jeudi 7 janvier 2016
Dur´ee 4h
Le sujet comporte trois exercices qui peuvent ˆetre trait´es dans n’importe quel ordre.
La pr´esentation, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l’appr´eciation des copies.
L’usage de la calculatrice est interdit.
BONNE CHANCE ! !
2015/2016 1l. garcia

Lyc´ee Henri IV Devoir surveill´e 4 HKBL
Exercice 1 : Les involutions
Soit Eun ensemble et fune application de Edans E. On dit que fest une involution ssi :
f◦f=idE,c.`a.d ssi : ∀x∈E, f(f(x)) = x
1. Quelques exemples :
Montrer que les quatre applications suivantes sont des involutions :
f1:R→R
x7→ 1−xf2:[0; 1] →[0; 1]
x7→ √1−x2,
f3:
R→R
x7→ xsi x∈Q
1/x sinon
f4:R3→R3
(x, y, z)7→ (−x; 2x+y; 5x+z)
2. Dans cette partie Eest un ensemble quelconque.
(a) Montrer que idEet ϕ:P(E)→ P(E)
A7→ A, o`u P(E) est l’ensemble des parties de E, sont des involu-
tions.
(b) Quelques r´esultats :
i. Montrer que si fest une involution de Ealors fest une bijection et fest sa propre application
r´eciproque : f=f−1.
Que peut-on en d´eduire sur les courbes repr´esentative des involutions de R?
ii. Soient fet gdeux involutions de E. Montrer que :
f◦gest une involution si et seulement si fet gcommutent ( f◦g=g◦f)
(c) Etude des involutions r´eelles strictement monotones :
Dans cette partie E=R.
i. Involutions croissantes :
Montrer que la seule involution strictement croissante sur Rest idR.
ii. Involutions d´ecroissantes :
Soit fune involution continue et strictement d´ecroissante de R.
A. Soit gla fonction r´eelle d´efinie sur Rpar : g=idR−f.
Montrer que gest une bijection continue strictement monotone de Rdans Ret que :
g−1◦(−idR)◦g=f
B. R´eciproquement, montrer que si gest une bijection continue strictement monotone alors
g−1◦(−idR)◦g
est une involution continue strictement d´ecroissante de R.
iii. Application de ii. :
D´eterminer l’ensemble des involutions d´ecroissantes de Rque l’on obtient en utilisant l’ensemble
des bijections du type : g:x7→ x7→ x3+ao`u ad´esigne un r´eel.
NB : On peut d´emontrer que l’hypoth`ese de continuit´e du (ii) B. est inutile, car toute involution r´eelle
strictement monotone est continue ( exercice pour les plus courageux ).
2015/2016 2l. garcia

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Exercice 2 : Formule du binˆome n´egatif - d’apr`es HEC voie ECE
Pour tout couple (n,p) d’entiers naturels tels que 1 6p6n, on rappelle la formule du “ triangle de Pascal” :
n
p=n−1 p−1+n−1 p
1. Questions de cours :
(a) Soient net pdeux entiers naturels.
Rappeler la d´efinition du coefficient binomial n
p.
(b) Rappeler, pour tout entier net tout r´eel xdiff´erent de -1, le r´esultat de la somme
n
P
k=0
xk.
2. Montrer la formule du ”triangle de Pascal g´en´eralis´e” :
Pour tous les entiers 1 6p6n, on a :
n
p=
n
X
k=pk−1
p−1
3. Soit (n,p) un couple d’entiers naturels, tels que 1 6p6n.
Pour tout r´eel xde ]0,1[, on d´efinit la fonction fp,n par :
fp,n(x) =
n
X
k=pk
pxk
(a) Montrer, pour tout r´eel xde ]0; 1[, l’´egalit´e :
(1 −x)fp,n(x) = xfp−1,n−1(x)−n
pxn+1
(b) On suppose pfix´e. Montrer, lorsque n→+∞, l’´equivalence :
n
p∼
+∞
np
p!
4. Soit xun r´eel fix´e de ]0; 1[ et soit pun entier naturel fix´e.
On veut ´etablir l’existence de la limite de fp,n (x) lorsque ntend vers +∞, et d´eterminer la valeur de cette
limite.
(a) Montrer que :
lim
n→+∞f0,n(x) = 1
1−x
(b) Montrer, en d´erivant le r´esultat de la question 1. (b), ou par une r´ecurrence, que
∀n∈N∗,
n
X
k=1
kxk=x−(n+ 1)xn+1 +nxn+2
(1 −x)2
En d´eduire que :
lim
n→+∞f1,n(x) = x
(1 −x)2
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5. Soit pun entier naturel.
Montrer par r´ecurrence sur pque, pour tout r´eel xde ]0,1[,
lim
n→+∞fp,n(x) = xp
(1 −x)p+1
Ce r´esultat est connu sous le nom de ”formule du binˆome n´egatif” :
+∞
X
k=pk
pxk=xp (1 −x)p+1
2015/2016 4l. garcia

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Exercice 3 : Analyse
1. Etude d’une fonction
Soit fla fonction d´efinie sur ] −1; +∞[ par :
f(x) = 
2x
(x+ 1) ln(x+ 1) si x6= 0
2 si x= 0
1. Montrer que la fonction fest continue sur ] −1; +∞[
2. (a) D´eterminer la limite de fen −1+.
Montrer que fn’est pas prolongeable par continuit´e en -1.
(b) Etudier les branches infinies de fau voisinage de +∞.
3. On admet que f(x) =
02−x+5
6x2+◦(x2)
(a) On rappelle qu’une fonction hest d´erivable en un r´eel asi et seulement la limite :
lim
x→a
h(x)−h(a)
x−a
existe et est finie. Le nombre d´eriv´e ( ´eventuellement `a droite et/ou `a gauche de z´ero ) ´etant le r´esultat
de la limite.
Montrer que fest d´erivable en 0 et que f0(0) = −1
(b) D´eterminer une ´equation de T0la tangente `a Cfen z´ero, puis d´eterminer la position relative entre
cette tangente et la courbe repr´esentative de fau voisinage de z´ero.
4. On admet que fest d´erivable sur ] −1; +∞[.
(a) Montrer que pour tout x∈]−1; 0[∪]0; +∞[ on a :
f0(x) = ϕ(x)
(x+ 1)2ln2(x+ 1)
o`u ϕest une fonction d´efinie sur ] −1; +∞[ que l’on explicitera.
(b) Montrer que ϕest une fonction strictement n´egative sur ] −1; 0[∪]0; +∞[ ; en d´eduire le tableau des
variations de f.
5. (a) Montrer que fr´ealise une bijection de ] −1; +∞[ vers un intervalle que l’on d´eterminera.
(b) On note f−1la fonction r´eciproque de f. Faire le tableau des variations de f−1avec les limites de
f−1.
6. Repr´esenter les courbe repr´esentatives de fet de f−1dans un mˆeme rep`ere en faisant apparaitre toutes
les informations obtenues dans les pr´ec´edentes questions.
2. Une suite implicite
1. Justifier l’existence d’une unique suite (un)n∈N∗v´erifiant, pour tout n∈N∗:
f(un) = n
2. (a) Montrer, en vous aidant de f−1, que la suite (un) est strictement monotone et qu’elle converge.
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