Devoir surveillé 4 Concours blanc

Lycée Henri IV
Devoir surveillé 4
HKBL
Concours blanc
Jeudi 7 janvier 2016
Durée 4h
Le sujet comporte trois exercices qui peuvent être traités dans n’importe quel ordre.
La présentation, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l’appréciation des copies.
L’usage de la calculatrice est interdit.
BONNE CHANCE ! !
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l. garcia
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Exercice 1 : Les involutions
Soit E un ensemble et f une application de E dans E. On dit que f est une involution ssi :
f ◦ f = idE ,
c.à.d ssi :
∀x ∈ E, f (f (x)) = x
1. Quelques exemples :
Montrer que les quatre applications suivantes sont des involutions :
[0; 1] → √[0; 1]
R →
R
f1 :
,
f2 :
x 7→ 1 − x
1 − x2
x
7→

R
R → R3
→
R3
x si x ∈ Q
f4 :
f3 :
(x, y, z) 7→ (−x; 2x + y; 5x + z)
 x 7→
1/x
sinon
2. Dans cette partie E est un ensemble quelconque.
P(E) → P(E)
, où P(E) est l’ensemble des parties de E, sont des involu(a) Montrer que idE et ϕ :
A
A
7→
tions.
(b) Quelques résultats :
i. Montrer que si f est une involution de E alors f est une bijection et f est sa propre application
réciproque : f = f −1 .
Que peut-on en déduire sur les courbes représentative des involutions de R ?
ii. Soient f et g deux involutions de E. Montrer que :
f ◦ g est une involution si et seulement si f et g commutent ( f ◦ g = g ◦ f )
(c) Etude des involutions réelles strictement monotones :
Dans cette partie E = R.
i. Involutions croissantes :
Montrer que la seule involution strictement croissante sur R est idR .
ii. Involutions décroissantes :
Soit f une involution continue et strictement décroissante de R.
A. Soit g la fonction réelle définie sur R par : g = idR − f .
Montrer que g est une bijection continue strictement monotone de R dans R et que :
g −1 ◦ (−idR ) ◦ g = f
B. Réciproquement, montrer que si g est une bijection continue strictement monotone alors
g −1 ◦ (−idR ) ◦ g
est une involution continue strictement décroissante de R.
iii. Application de ii. :
Déterminer l’ensemble des involutions décroissantes de R que l’on obtient en utilisant l’ensemble
des bijections du type : g : x 7→ x 7→ x3 + a où a désigne un réel.
NB : On peut démontrer que l’hypothèse de continuité du (ii) B. est inutile, car toute involution réelle
strictement monotone est continue ( exercice pour les plus courageux ).
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Exercice 2 : Formule du binôme négatif - d’après HEC voie ECE
Pour tout couple (n,p) d’entiers naturels tels que 1 6 p 6 n, on rappelle la formule du “ triangle de Pascal” :
n
n−1
n−1
=
+
p
p−1
p
1. Questions de cours :
(a) Soient n et p deux entiers naturels.
n
Rappeler la définition du coefficient binomial
.
p
(b) Rappeler, pour tout entier n et tout réel x différent de -1, le résultat de la somme
n
P
xk .
k=0
2. Montrer la formule du ”triangle de Pascal généralisé” :
Pour tous les entiers 1 6 p 6 n, on a :
X
n n
k−1
=
p
p−1
k=p
3. Soit (n,p) un couple d’entiers naturels, tels que 1 6 p 6 n.
Pour tout réel x de ]0,1[, on définit la fonction fp,n par :
fp,n (x) =
n X
k
k=p
p
xk
(a) Montrer, pour tout réel x de ]0; 1[, l’égalité :
n n+1
(1 − x)fp,n (x) = xfp−1,n−1 (x) −
x
p
(b) On suppose p fixé. Montrer, lorsque n → +∞, l’équivalence :
n
np
∼
p +∞ p!
4. Soit x un réel fixé de ]0; 1[ et soit p un entier naturel fixé.
On veut établir l’existence de la limite de fp,n (x) lorsque n tend vers +∞, et déterminer la valeur de cette
limite.
(a) Montrer que :
lim f0,n (x)
n→+∞
=
1
1−x
(b) Montrer, en dérivant le résultat de la question 1. (b), ou par une récurrence, que
∀n ∈ N∗ ,
n
X
kxk =
k=1
x − (n + 1)xn+1 + nxn+2
(1 − x)2
En déduire que :
lim f1,n (x)
n→+∞
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=
x
(1 − x)2
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5. Soit p un entier naturel.
Montrer par récurrence sur p que, pour tout réel x de ]0, 1[,
lim fp,n (x) =
n→+∞
xp
(1 − x)p+1
Ce résultat est connu sous le nom de ”formule du binôme négatif” :
+∞ X
k k
xp
x =
p
(1 − x)p+1
k=p
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Exercice 3 : Analyse
1. Etude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur ] − 1; +∞[ par :

2x

f (x) =
(x + 1) ln(x + 1)

2
si x 6= 0
si
x=0
1. Montrer que la fonction f est continue sur ] − 1; +∞[
2. (a) Déterminer la limite de f en −1+ .
Montrer que f n’est pas prolongeable par continuité en -1.
(b) Etudier les branches infinies de f au voisinage de +∞.
5
3. On admet que f (x) = 2 − x + x2 + ◦(x2 )
0
6
(a) On rappelle qu’une fonction h est dérivable en un réel a si et seulement la limite :
lim
x→a
h(x) − h(a)
x−a
existe et est finie. Le nombre dérivé ( éventuellement à droite et/ou à gauche de zéro ) étant le résultat
de la limite.
Montrer que f est dérivable en 0 et que f 0 (0) = −1
(b) Déterminer une équation de T0 la tangente à Cf en zéro, puis déterminer la position relative entre
cette tangente et la courbe représentative de f au voisinage de zéro.
4. On admet que f est dérivable sur ] − 1; +∞[.
(a) Montrer que pour tout x ∈] − 1; 0[∪]0; +∞[ on a :
f 0 (x) =
ϕ(x)
(x + 1)2 ln2 (x + 1)
où ϕ est une fonction définie sur ] − 1; +∞[ que l’on explicitera.
(b) Montrer que ϕ est une fonction strictement négative sur ] − 1; 0[∪]0; +∞[ ; en déduire le tableau des
variations de f .
5. (a) Montrer que f réalise une bijection de ] − 1; +∞[ vers un intervalle que l’on déterminera.
(b) On note f −1 la fonction réciproque de f . Faire le tableau des variations de f −1 avec les limites de
f −1 .
6. Représenter les courbe représentatives de f et de f −1 dans un même repère en faisant apparaitre toutes
les informations obtenues dans les précédentes questions.
2. Une suite implicite
1. Justifier l’existence d’une unique suite (un )n∈N∗ vérifiant, pour tout n ∈ N∗ :
f (un ) = n
2. (a) Montrer, en vous aidant de f −1 , que la suite (un ) est strictement monotone et qu’elle converge.
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(b) Montrer, en raisonnant par l’absurde, que (un ) converge vers -1.
3. Soit (vn ) la suite définie par :
vn = un + 1, ∀n ∈ N∗
(a) Montrer que :
vn ln(vn ) ∼ −
+∞
2
n
(b) En déduire que :
1
vn = o
+∞
n
(c) Vérifier que :
n ln(n)vn = 2(1 − vn ) + nvn ln(nvn )
En déduire que :
vn ∼
+∞
2
n ln(n)
(d) Montrer enfin qu’il existe deux réels a et b que l’on déterminera tels que :
b
1
un = a +
+o
+∞
n ln n
n ln n
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