Correction du devoir sur les situations de conjectures no

Correction du devoir sur les situations de conjectures
no 1. n étant un nombre entier...
a. n + 1
b. n - 1
c. 2n
d. 2n + 1
e. 2(n + 1)
f. 5n + (5n + 5)
g. 4 possibilités :
i. 2n + 1 et 2n + 11
ii. 2n - 1 et 2n + 9
iii. 2n + 1 et 2n - 9
iv. 2n - 1 et 2n - 11
h. n - 1
2
i. 2n • 3 = 6n (c’est donc un multiple de 6!)
j. 5(2n + 1) = 10n + 5 (c’est donc un nombre qui finit par 5)
no 2. Si la variable n représente un nombre entier et que les variables a, b, c et d
représentent des chiffres entiers positifs...
a. 6n, 6n + 6, 6n + 12
b. 100a + 10b + c (c’est important de choisir des variables qui ne
représentent que des chiffres de 0 à 9)
c. 2n + (2n + 2) = 4n + 2
d. n(n + 1) = n + n
2
No 3. Prouvez que ces affirmations sont vraies ou fausses.
a.
Affirmation Si on relie trois sommets non consécutifs d’un
hexagone régulier, on obtient un triangle équilatéral.
1) Contre-exemples on trace des hexagones réguliers et on en cherche un dont
les sommets non consécutifs définissent un triangle non
équilatéral
2) démonstration (si nécessaire) :
on cherche les propriétés des
polygones réguliers
1) les angles intérieurs de tout polygone régulier sont
isométriques
2) les côtés de tout polygone régulier sont isométriques
3) manipulation (si nécessaire) : on
traduit la phrase jusqu’au verbe
conjugué, pas au-delà
il faut prouver que les trois diagonales en pointillé sont
isométriques...
1) les 3 triangles formés des côtés de l’hexagone et des
diagonales en pointillé sont isocèles parce que formés de
côtés de l’hexagone
2) ils sont également isométriques parce qu’ils ont des côtés
de même longueur et des angles au sommet isométriques
(angles intérieurs de l’hexagone)
3) leurs bases (en pointillé) sont donc isométriques
4) conclusion le triangle est équilatéral : Affirmation vraie!

b.
Affirmation La somme de 3 nombres entiers consécutifs est un
multiple de 3.
1) Contre-exemples 3 + 4 + 5 = 12 entiers positifs : oui, c’est un multiple de 3
-8 + -7 + -6 = -21 entiers négatifs : oui, c’est un m ultiple
de 3
-1 + 0 + 1 = 0 entiers positifs et négatifs : oui, c’est un
multiple de 3
2) expressions algébriques (si
nécessaire) :
on cherche les inconnues qui
représentent les nombres
premier nombre entier (il peut être négatif, donc on utilise n) : n
2 nombre : n + 1
e
3 nombre : n + 2
e
3) manipulation (si nécessaire) : on
traduit la phrase jusqu’au verbe
conjugué, pas au-delà
Som me des 3 :
n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)
4) conclusion Conclusion : oui, quelle que soit la valeur de n, le fait que
l’expression algébrique soit multipliée par 3 nous garantit un
multiple de 3. Affirmation vraie!
c.
Affirmation La somme de 4 nombres entiers consécutifs est un
multiple de 4.
1) Contre-exemples 5 + 6 + 7 + 8 = 26 du prem ier coup, j’ai trouvé un contre-
exemple!
2) expressions algébriques (si
nécessaire) :
on cherche les inconnues qui
représentent les nombres
pas nécessaire...
3) manipulation (si nécessaire) : on
traduit la phrase jusqu’au verbe
conjugué, pas au-delà
4) conclusion Voilà! C’est terminé : Affirmation fausse!
d)
Affirmation Le carré d’un nombre pair est toujours divisible par 4.
1) Contre-exemples (4) = 16 entier positif pair : oui, c’est divisible par 4
2
(-6) = 36 entier négatif pair : oui, c’est divisible par 4
2
(0) = 0 oui, c’est divisible par 4 aussi...
2
2) expressions algébriques (si
nécessaire) :
on cherche les inconnues qui
représentent les nombres
Nombre pair : 2n
carré de ce nombre : (2n)
2
NB : Vous avez pensé aux parenthèses, n’est-ce pas?
3) manipulation (si nécessaire) : on
traduit la phrase jusqu’au verbe
conjugué, pas au-delà
Réduisons : (2n) = 2n C 2n = 4n
2 2
4) conclusion Conclusion : oui, quelle que soit la valeur de n, le fait que
l’expression algébrique soit multipliée par 4 nous garantit un
multiple de 4 (un multiple de 4 est par définition divisible par 4).
Affirmation vraie!

e)
Affirmation Si un nombre est un multiple de 5, alors il se termine par 0.
1) Contre-exemples 25 est un multiple de 5 et il ne termine pas par 0
2) expressions algébriques (si
nécessaire) :
on cherche les inconnues qui
représentent les nombres
3) manipulation (si nécessaire) : on
traduit la phrase jusqu’au verbe
conjugué, pas au-delà
4) conclusion Affirmation fausse!
f)
Affirmation Si l’on additionne un multiple de 5 et le nombre entier qui le
suit, alors le résultat donne un nombre qui finit par 1.
1) Contre-exemples C’est dommage : j’aurais dû préciser qu’il s’agissait de nombres
entiers positifs...
-55 + -54 = - 109
2) expressions algébriques (si
nécessaire) :
on cherche les inconnues qui
représentent les nombres
3) manipulation (si nécessaire) : on
traduit la phrase jusqu’au verbe
conjugué, pas au-delà
4) conclusion affirmation fausse!
g)
Affirmation La somme d’un multiple de 3 et d’un multiple de 2 est un
multiple de 5.
1) Contre-exemples 9 + 2 = 11
2) expressions algébriques (si
nécessaire) :
on cherche les inconnues qui
représentent les nombres
3) manipulation (si nécessaire) : on
traduit la phrase jusqu’au verbe
conjugué, pas au-delà
4) conclusion affirmation fausse!

h)
Affirmation La différence entre un multiple de 6 et un multiple de 3 est
un multiple de 3.
1) Contre-exemples 18 - 3 = 15 multiple de 3
6 - 12 = -6 multiple de 3
54 - -9 = 63 m ultiple de 3
2) expressions algébriques (si
nécessaire) :
on cherche les inconnues qui
représentent les nombres
multiple de 6 : 6n
Multiple de 3 : 3x (je prends 2 variables différentes pour
m’assurer de la plus grande variété de multiples possible)
3) manipulation (si nécessaire) : on
traduit la phrase jusqu’au verbe
conjugué, pas au-delà
6n - 3x = 3(2n - x)
4) conclusion Quelle que soit la valeur obtenue dans la parenthèse, le fait
qu’elle soit multipliée par 3 nous garantit un... multiple de 3!
affirmation vraie!
i)
Affirmation La différence entre un multiple de 6 et un multiple de 2 est
un multiple de 4.
1) Contre-exemples 6 - 2 = 4 oui, c’est un multiple de 4
18 - 16 = 2 non, ce n’est pas un multiple de 4!
2) expressions algébriques (si
nécessaire) :
on cherche les inconnues qui
représentent les nombres
3) manipulation (si nécessaire) : on
traduit la phrase jusqu’au verbe
conjugué, pas au-delà
4) conclusion Affirmation fausse!
j)
Affirmation Le produit d’un multiple de 3 et d’un multiple de 4 est
un multiple de 12.
1) Contre-exemples 3 C 8 = 24 oui, c’est un multiple de 12
6 C 12 = 72 oui, c’est un multiple de 12
-9 C 8 = -72 oui, c’est un multiple de 12
2) expressions algébriques (si
nécessaire) :
on cherche les inconnues qui
représentent les nombres
3a C 4b = 12ab
3) manipulation (si nécessaire) : on
traduit la phrase jusqu’au verbe
conjugué, pas au-delà
Quelles que soient les valeurs de a et b, le fait que le
monôme soit multiplié par 12 nous garantit un multiple de
12.
4) conclusion Affirmation vraie!

Défi.
Affirmation Lorsque j’additionne deux nombres entiers qui ont une
différence de 2, j’obtiens le double du nombre qui se
situe entre ces deux nombres.
1) Contre-exemples 3 + 5 = 8 = 2 • 4
32 + 34 = 66 = 2 • 33
11 + 13 = 24 = 2 • 12
-7 + -5 = -12 = 2 • -6
2) expressions algébriques (si
nécessaire) :
on cherche les inconnues qui
représentent les nombres
1 nombre entier : n
er
2 nombre entier : n + 2 (une différence de 2 signifie qu’on
e
fait des bonds de 2)
le nombre entre les deux : n + 1
3) manipulation (si nécessaire) : on
traduit la phrase jusqu’au verbe
conjugué, pas au-delà
n + (n + 2) = 2n + 2 = 2(n + 1)
4) conclusion Or, 2(n + 1) se traduit par «le double du nombre après n
(celui entre n et n + 2), donc affirmation vraie!