le calcul mental

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Calcul mental
LE CALCUL
MENTAL
OU
COMMENT SE
PASSER
DE LA
CALCULATRICE
©2011 abc-calcul-mental R. Sanchez
Pour découvrir les secrets de ceux qui réussissent et
recevoir en cadeau un livre de Marcel Béliveau:
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Calcul mental
SOMMAIRE
I INTRODUCTION: ...........................................................................3
II ADDITIONS: ...................................................................................4
III SOUSTRACTIONS: ......................................................................5
IV MULTIPLICATIONS ...................................................................6
V DIVISIONS.......................................................................................9
Critères de divisibilité: ........................................................................9
Méthode classique des divisions :.....................................................11
VI Exercices de calcul mental...........................................................15
VII CORRECTIONS ........................................................................17
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Calcul mental
I INTRODUCTION:
Ce livret est un recueil des méthodes utilisées pour calculer plus rapidement en
minimisant les risques d'erreurs.
Ces méthodes seront très utiles à toutes les personnes qui passent un concours ou examen
durant lequel la calculatrice n'est pas autorisée.
Dans la vie courante ou professionnelle, il est toujours intéressant de savoir calculer
rapidement et sans erreurs!
Lisez bien ces conseils et astuces.
Décortiquez tous les exemples qui vous sont donnés et surtout appliquez ces méthodes à tout
un tas de calculs que vous vous imposerez. Vous vérifierez vos résultats à l'aide d'une
calculatrice dont bientôt vous n'aurez plus besoin!
Remarque :
Nous n’avons pas la prétention d’affirmer que la liste des astuces et conseils que vous
trouverez dans cet outil est exhaustive. Mais nous sommes convaincus que si vous maîtrisez
toutes les méthodes de calcul qui vont suivre, votre capacité à calculer mentalement sera
excellente !
Bon apprentissage…
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Calcul mental
II ADDITIONS:
Astuce 1:
Pour additioner une série de nombre, il est intéressant de regrouper ceux qui donneront
une somme partielle simple.
Exemple:
47 + 12 + 25 + 18 + 23 = (47 + 23) + (12 + 18) + 25 = 70 + 30 + 25 = 100 + 25
= 125
Astuce 2:
Pour faciliter une addition, il est possible de décomposer les nombres.
Exemples:
74 + 27 = (70 + 20) + (4+7) = 90 + 11 = 101
587 + 425 = (500 + 400) + (80 + 20) + (7 + 5) = 900 + 100 + 12 = 1012
Astuce 3:
Arrondir des nombres simplifie souvent le calcul.
Exemples:
74 + 98 = ?
et 174 – 2 = 172
comme 98 = 100 – 2
on calcule 74 + 100 = 174
1028 + 2397 =?
comme 1028 = 1000 + 28 et que 2397 = 2400 – 3
1028 + 2397 = 1000 + 2400 + 28 – 3 = 3400 + 25 = 3425 ce qui est bien plus
simple!
Maintenant, exercez-vous sur des calculs d'addition de votre choix. Vérifiez à la calculatrice
et continuez jusqu'à ce que vous soyez à l'aise.
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Calcul mental
III SOUSTRACTIONS:
Astuce 1:
Rajouter ou retrancher un même nombre aux 2 termes d'une soustraction ne modifie
pas le résultat.
Exemples:
1745 – 1703 = 45 – 3 = 42 on a enlevé 1700 aux 2 termes pour faciliter le
calcul.
1593 – 587 = 1600 – 594 = 1006 on a ajouté 7 aux 2 termes.
Astuce 2 ou la technique de la boulangère:
Notre boulangère utilise la définition de la soustraction en procédant comme suit
Pour calculer 100 – 37 notre commerçante dit: "37 + 3 = 40", "40 + 60 = 100 !"
donc 100 – 37 = 63
Astuce 3:
Méthode du complément: on calcule le complément à 10 du 1er chiffre non nul à partir
de la droite, puis le complément à 9 de chacun des chiffres suivants.
Exemple:
100 000 – 82 217, on prend le complément à 10 de 7 qui est 3, puis le
complément à 9 de 1 qui est 8, puis le complément à 9 de 2 qui est 7… etc …
Donc le résultat est 17 783.
Pour calculer une différence a – b, on peut compléter b à un nombre simple ( 100, 1000 ,
10000 …), calculer la différence entre a et ce nombre et on ajoute les 2 résultats! Un peu
compliqué, non?
Voici un exemple:
3411 – 728, prenons le complément à 1000 de 728 qui est 272.
Faisons la différence 3411 – 1000 = 2411.
Donc 3411 – 728 = 272 + 2411 = 2683, OUF!
Allez un peu d'entainement! Exercez-vous sur des calculs de soustractions de votre choix.
Vérifiez à la calculatrice et continuez jusqu'à ce que vous soyez à l'aise.
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IV MULTIPLICATIONS
De manière générale, multiplier par 10, 100, 1000 est un jeu d'enfant: On rajoute
autant de zéros à la fin du nombre que les zéros contenus par le multiplicateur, ou si virgule il
y a, on décale la virgule d'autant de rangs vers la droite que de zéros dans le multiplicateur.
Exemples :
Sans virgule :
35 x 10 = 350
42 x 100 = 4200
344 x 1000 = 344000
Avec virgule :
8,2 x 10 = 82
7,45 x 10 = 74,5
8,7 x 100 = 870
9,3 x 1000 = 9300
Ces calculs rapides et simples entrainent plusieurs astuces:
Pour multiplier par 5, il est souvent plus rapide de multiplier par 10 et puis de
diviser par 2.
La multiplication par 9, 99, 999 est remplacée par une multiplication par 10, 100,
1000 après laquelle on retranche le multiplicande ( le nombre multiplié) du résultat
obtenu.
La multiplication par 11, 101, 1001 est remplacée par une multiplication par 10,
100, 1000 après laquelle on ajoute le multiplicande ( le nombre multiplié) du résultat
obtenu.
Exemples:
240 x 9 = 240 x 10 – 240 = 2400 – 240 = 2160
37 x 99 = 37 x 100 – 37 = 3700 – 37 = 3663
48 x 101 = 48 x 100 + 48 = 4800 + 48 = 4848
Comme pour l'addition, dans une multiplication de plusieurs nombres, il est judicieux
de regrouper les nombres pour simplifier le calcul.
Exemple:
25 x 7 x 4 x 13 = (7 x 13) x (25 x 4) = 91 x 100 = 9100
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Distributivité de la multiplication: On décompose le nombre à multiplier et on distribue
la multiplication.
Exemple:
312 x 7 = (300 + 10 + 2) x 7 = 300 x 7 + 10 x 7 + 2 x 7
= 2100 + 70 + 14 = 2184
Bien entendu pour calculer 300 x 7 on fait 3 x 7 x 100
Maintenant, exercez-vous sur des calculs de multiplications de votre choix. Vérifiez à la
calculatrice et continuez jusqu'à ce que vous soyez à l'aise.
Multiplier par 11
Pour multiplier par 11 un chiffre, il suffit de le répéter :
Exemples : 3 x 11 = 33 ou 8 x 11 = 88
Pour multiplier par 11 un nombre à 2 chiffres, on fait la somme des 2 chiffres et
on intercale le résultat entre les 2 chiffres :
Exemples :
35 x 11 = on fait 3 + 5 = 8 donc 35 x 11 = 385 on a intercalé le 8 entre le 3 et le 5.
27 x 11 = on fait 2 + 7 = 9 donc 27 x 11 = 297 on a intercalé le 9 entre le 2 et le 7.
Remarque : Si la somme des 2 chiffres est supérieure à 9, on intercale le chiffre des
unités du résultat de la somme entre les 2 chiffres et on ajoute 1 au 1er des 2 chiffres :
Exemples :
49 x 11 = on fait 4 + 9 =13 on prend le 3 (unités du résultat) on le met entre les 2
chiffres de départ et on ajoute 1 à 4 (1er des 2 chiffres) on obtient 5 donc :
49 x 11 = 539
Si les nombres de départ on plus de 2 chiffres ou si cela vous semble trop compliqué,
vous pouvez toujours faire de la façon suivante :
On multiplie par le nombre par 10 et on l’ajoute au résultat :
Exemples :
254 x 11 = 254 x 10 + 254 = 2540 + 254 = 2794
872 x 11 = 872 x 10 + 872 = 8720 + 872 = 9592
Multiplication par 15
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Calcul mental
Pour multiplier par 15 on dispose de 2 méthodes très proches l’une de l’autre :
La 1ère consiste multiplier le nombre par 10 puis par 5 et d’ajouter les résultats. La
seconde consiste à multiplier le nombre par 10 et d’ajouter au résultat obtenu sa moitié :
Exemples :
48 x 15 = 48 x 10 + 48 x 5 = 480 + 240 = 720
Ou 48 x 15 = 48 x 10 + 48 x 10/2 = 480 + 240 = 720
65 x 15 = 65 x 10 + 65 x 5 = 650 + 325 = 975
65 x 15 = 65 x 10 + 65 x 10/2 = 650 + 325 = 975
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V DIVISIONS
Critères de divisibilité:
Ces critères vous seront très utiles dans la simplification de fractions.
Divisibilité par 10, 100, 1000 …:
Pour qu'un nombre soit divisible par 10, il suffit qu'il se termine par 1 zéro.
Pour qu'un nombre soit divisible par 100, il suffit qu'il se termine par 2 zéros.
Pour qu'un nombre soit divisible par 1000, il suffit qu'il se termine par 3 zéros.
Etc…
Divisibilité par 2, par 4:
Pour qu'un nombre soit divisible par 2, il suffit que son dernier chiffre soit 0, 2, 4,
6 ou 8.
Exemples:
22 et 45678 sont divisibles par 2.
35 et 9873 ne le sont pas.
Pour qu'un nombre soit divisible par 4, il suffit que ses 2 derniers chiffres
forment un multiple de 4.
Exemples:
380 est divisible par 4 car 80 est divisible par 4.
9874 n'est pas divisible par 4 car 74 ne l'est pas.
Divisibilité par 5, par 25:
Pour qu'un nombre soit divisible par 5, il suffit que son dernier chiffre soit 0 ou 5.
Exemples:
45 et 5670 sont divisibles par 5.
39 et 9873 ne le sont pas.
Pour qu'un nombre soit divisible par 25, il suffit que ses 2 derniers chiffres soient
un multiple de 25, donc ce nombre doit se terminer par 00, 25, 50 ou 75.
Exemples:
125 et 5675 sont divisibles par 25.
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395 et 9870 ne le sont pas.
Divisibilité par 3, par 9:
Pour qu'un nombre soit divisible par 3, il suffit que la somme de ses chiffres soit
divisible par 3.
Exemples:
45 et 5673 sont divisibles par 3, car 4 + 5 = 9 et 5 + 6 + 7 + 3 = 21.
29 et 8873 ne le sont pas.
Pour qu'un nombre soit divisible par 9, il suffit que la somme de ses chiffres soit
divisible par 9.
Exemples:
126 et 5679 sont divisibles par 9, car 1 + 2 + 6 = 9 et 5 + 6 + 7 + 9 = 27.
395 et 9870 ne le sont pas.
Divisibilité par 11 (assez complexe):
Pour qu'un nombre soit divisible par 11, il suffit que la différence entre la somme de ses
chiffres de rang impair et le somme de ses chiffres de rang pair soit divisible par 11.
Exemple:
987250 est-il divisible par 11?
En exposant, notons le rang de chaque chiffre: 918273245506
La somme des chiffres de rang pair est 8 + 2 + 0 = 10
La somme des chiffres de rang impair est 9 + 7 + 5 = 21
La différence 21 – 10 = 11 (ici si le résultat est négatif on enlève le signe -)
11 est évidemment divisible par 11 donc 987250 est divisible par 11.
Cette méthode est assez complquée à utiliser, à vous de voir!
Division par 10, 100, 1000 etc…
Pour diviser par une puissance de 10, on décale la virgule vers la gauche d'autant de
rangs que de zéros contenus par le diviseur.
Exemples:
3450 : 100 = 34,5
83,4 : 1000 = 0,0834
Pour la division, il est fortement conseillé de maitriser sa technique classique!
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Méthode classique des divisions :
Avant tout, soyez convaincu que pour réaliser des divisions il est IMPERATIF de connaître
PARFAITEMENT les tables de multiplications.
Divisions de nombres entiers (sans virgule) :
1x3
1x3
5x3
345
-3
04
-3
15
-1 5
0
3
115
Commentaires :
Dans le 3 (du 345), combien de fois rentre 3 : 1 fois cela donne le premier 1 de 115.
Ensuite, 1 x 3 = 3 donc on fait 3-3 = 0. On abaisse le 4, dans 4 combien de fois 3 : 1 fois cela
donne le second 1 de 115.
Ensuite, 1 x 3 = 3 donc on fait 4-3 = 1. On abaisse le 5, dans 15 combien de fois 3 : 5 fois cela
donne le 5 de 115.
Ensuite, 5 x 3 = 15 donc on fait 15-15 = 0.
Donc 345 : 3 = 115 reste 0.
Divisions de nombres entiers, résultat décimal (avec virgule):
1x4
0x4
7x4
43
-4
03
-0
30
-2 8
20
-2 0
0
4
10,75
Pour rajouter ce 0 qui me permet de
continuer, je dois mettre une
virgule au résultat.
Ensuite je pourrai abaisser des 0
autant de fois que nécessaire…
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Calcul mental
Donc 43 : 4 = 10,75 reste 0.
Division d’un décimal par un entier:
6x8
6x2
4 9, 2
-4 8
01 2
-1 2
0
6
8,2
Commentaires :
Pour abaisser le 2 (1er chiffre après la virgule), je dois barrer la virgule et la placer au résultat
donc après le 8 car à ce moment là je n’ai pas encore calculer le 2 du résultat…
Donc 49,2 : 6 = 8,2 reste 0.
Division d’un entier par un décimal:
Lorsqu’une virgule se trouve au diviseur, il faut s’en débarasser de la manière
suivante :
36 : 5,2 si on barre la virgule, 5,2 devient 52 donc on l’a multiplié par 10. Aussi il est
nécessaire de multiplier également 36 par 10 pour ne pas fausser le résultat de la division
donc 36 : 5,2 = 360 : 52 et maintenant on sait faire.
En conclusion, si le diviseur est un décimal on le transforme en nombre entier en barrant la
virgule. Mais pour ne pas fausser le résultat de la division on multipliera le « divisé »
(dividende en terme mathématique) par 10 si le diviseur n’a qu’1 chiffre après la virgule par
100 s’il en a 2, par 1000 s’il en a 3…etc.
Exemples :
45 : 8,2 devient 450 : 82
38 : 4,12 devient 3800 : 412
54 : 2,454 devient 54000 : 2454
Division d’un décimal par un décimal:
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Calcul mental
On utilise exactement la même méthode que précédemment.
35,4 : 4,2 devient 354 : 42 on a multiplié par 10 les 2
35,4 : 4,21 devient 3540 : 421 on a multiplié par 100 les 2
3,54 : 4,2 devient 35,4 : 42 on a multiplié par 10 les 2
Remplacer une division par une multiplication :
Si vous maitrisez les fractions, vous savez que pour diviser par une fraction on
multiplie par son inverse.
Exemple :
2
3 15
= 5x =
= 7,5
3
2 2
En utilisant cette propriété, il est aisé de comprendre que pour diviser par 0,5 , il suffit de
multiplier par 2.
5:
1
1
2
donc par exemple 3 :0,5=3 : =3x =3x2=6.
2
2
1
Ce qui est beaucoup plus simple et rapide, qu’en pensez-vous ?
En effet, 0,5=
Donc chaque fois que vous devez diviser par un nombre décimal, demandez-vous d’abord si
on peut le remplacer par une fraction. Si oui, il suffira de multiplier par l’inverse de cette
fraction !!!
Les nombres décimaux les plus connus qui sont équivalents à une fraction sont :
0,5=
1
donc diviser par 0,5 revient à multiplier par 2.
2
0,25=
0,2=
1
donc diviser par 0,25 revient à multiplier par 4
4
1
donc diviser par 0,2 revient à multiplier par 5
5
0,75=
3
donc diviser par 0,75 revient à multiplier par 4 et diviser par 3
4
0,125=
1
donc diviser par 0,125 revient à multiplier par 8.
8
Cette liste n’est pas exhaustive…
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Voilà, vous avez toutes les techniques et astuces qui feront de vous un as du
calcul mental !
Utilisez ces astuces à volonté et à partir de maintenant n'utilisez plus votre calculatrice
que pour vérifier vos résultats. Bon courage!
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VI Exercices de calcul mental
Ex 1:Additions
a) 34 + 28 + 126 + 12 =
b) 647 + 724 =
c) 129 + 297 =
Ex 2: Soustractions
a) 894 – 423 =
b) 1000 – 652 =
c) 2345 – 912 =
Ex 3: Multiplications
a) 34 x 9 =
b) 78 x 99 =
c) 234 x 101 =
d) 427 x 8 =
Ex 4: Divisibilité
Cocher les
cases si le
nombre est
disible par:
372
250
1024
625
1001
3216
2
3
4
5
9
10
11
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289
3012
10485
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Cocher les
cases si le
nombre est
disible par:
372
250
1024
625
1001
3216
25
Ex 5 : Divisions
Poser et effectuer les divisions suivantes :
a)
b)
c)
d)
312 : 12 =
262,2 : 23 =
48 : 7 = donner le résultat avec 2 chiffres après la virgule
280,36 : 4,3 = résultat avec un chiffre après la virgule.
Ex 6 : Calculer rapidement.
a)
b)
c)
d)
e)
114 :0,75 =
1098 :0,5 =
226 :0,25 =
312 :0,2 =
47 :0,125=
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3012
10485
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Calcul mental
VII CORRECTIONS
Ex 1:Additions
a) 34 + 28 + 126 + 12 = ( 34+126) + ( 28+12) = 160 + 40 = 200
b) 647 + 724 = (600+700)+(40+20)+(7+4)= 1300 + 60 + 11= 1371
c) 129 + 297 = 129+300-3 = 429-3= 426
Ex 2: Soustractions
a) 894 – 423 = 900-429 = 471 on ajoute 6 aux 2 termes
b) 1000 – 652 = « 652 +48=700 et 700+300=1000 donc »=348
c) 2345 – 912 = « 1000-912=88 et 2345-1000=1345d'où 1345+88=1433donc »= 1433
Ex 3: Multiplications
a) 34 x 9 = 34x10-34= 340-34=306
b) 78 x 99 = 78x100-78=780-78=702
c) 234 x 101 = 234x100+234=23400+234=23634
d) 427 x 8 = (400+20+7)x8= 400x8+20x8+7x8= 3200+160+56= 3200+216=3416
Ex 4: Divisibilité
Cocher les
cases si le
nombre est
divisible par:
2
3
4
5
9
10
11
372
X
X
X
250
X
1024
X
625
X
X
1001
3216
X
X
X
X
X
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3012
X
X
X
10485
X
X
X
18
Calcul mental
Cocher les
cases si le
nombre est
divisible par:
25
372
250
X
1024
625
X
1001
3216
Ex 5 : Divisions :
a)
312
-24
72
-7 2
0
12
26
Donc 312 : 12 = 26
b)
2 6 2, 2
-23
32
-2 3
9 2
-9 2
0
23
11,4
Donc 262,2 : 23 = 11,4
c)
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289
3012
10485
19
Calcul mental
48
-42
60
-5 6
40
-3 5
5
7
6,85
Donc 48 : 7 ≈ 6,85 à peu près seulement car on voit qu’il y a un reste…
d)
280,36 : 4,3 devient 2803,6 : 43
2 8 0 3, 6
-2 5 8
22 3
-2 1 5
008 6
-8 6
0
43
65,2
Donc 280,36 : 4,3 = 65,2
Ex 6 : Calculer rapidement.
114x 4
= 38 x 4 = 40x4 – 2x4 = 152
3
1098 :0,5 = 1098 x 2 = 1100x2 – 2x2 = 2200 – 4 = 2196
226 :0,25 = 226x 4 = 220x4 + 6x4 = 880 + 24 = 904
312 :0,2 = 312 x 5 = 300 x 5 + 12 x 5 = 1500 + 60 = 1560
47 :0,125= 47 x 8 = 50 x 8 – 3 x 8 = 400 – 24 = 376
a) 114 :0,75 =
b)
c)
d)
e)
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