formes quadra tiques sur un corps - IMJ-PRG

Bruno Kahn
FORMES
CORPS
QUADRA
TIQUES
SUR
UN
BrunoKahn
Institut
de Math¶
ematiques
de Jussieu,
175{179ruedu Chevaleret,
75013Paris,
France.
E-mail:[email protected]
Classiflc
ationmath¶
ematique par sujets(2000).|
Mots clefs
.|
g¶
en¶
erique.
11E04,11E81.
Formesquadratiques,
corpsdefonctions
dequadriques,
d¶
eploiemen
t
Avecun appendice
de A. Laghribi.
FORMES
QUADRA
TIQUES
SUR
UN
CORPS
Bruno Kahn
R¶
esum ¶
e. |
Ce livre
exposelath¶
eorie
desformesquadratiques
surun corps,
en
mettan
t l’accen
t surlatec
hniquede Pflster-Arason-Knebusc
h d’extensions
aux corps
de fonctions
de quadriques.
tsthetheoryof
A bstr
act (Quadraticforms over a fleld).| Thisbook presen
h tec
hniqueof
quadratic
formsovera fleld,focusingon thePflster-Arason-Knebusc
extensions
tofunction
fleldsofquadrics.
TABLE
DES MA TIERES
Av ant-propos ................................................................ ix
1.La th¶
eoriede Witt ......................................................
1.1.
D¶
eflnitions
etnotations
................................................
1.2.
Lesth¶
eoremesde Witt ..................................................
1.3.
L’anneaude Witt ......................................................
1.4.
Quelquesexemples
d’anneaux
de Witt ..................................
1.5.
Un th¶
eoreme de E.ArtinetT.A.Springer
..............................
1.6.
Exercices
................................................................
1
1
4
7
9
11
12
2.La th¶
eoriede Pflster ....................................................
2.1.
Formesde Pflster......................................................
2.2.
Applications
aux sommes de carr
¶
es;leniveaud’uncorps................
2.3.
Formesde Pflsterli
¶
ees..................................................
2.4.
Th¶
eoremesde Cassels-Pflster
............................................
2.5.
Exercices
................................................................
15
15
20
22
23
27
3.Corps de fonctions
de quadriques...................................... 29
3.1.
Corpsde fonctions
...................................................... 29
3.2.
Formesdevenant hyperboliques
surlecorpsdesfonctions
d’unequadrique
........................................................................ 30
3.3.
Le th¶
eoreme d’Arason-Pflster
.......................................... 32
3.4.
Exercices
................................................................ 34
4.La th¶
eoriede Knebusch ..................................................
4.1.
Hauteur................................................................
4.2.
Formesde hauteur1 ....................................................
4.3.
Degr¶
e;lesid¶
eauxJn ....................................................
4.4.
Retoura lasection
3.2..................................................
4.5.
Exercices
................................................................
35
35
36
37
40
41
vi
T ABLE
DES MA TIERES
5.Formes devenant isotrop
essurlecorpsdes fonctions
d’unequadrique
............................................................................ 43
5.1.
G¶
en¶
eralit
¶
es .............................................................. 43
5.2.
Le th¶
eoreme de Hofimann .............................................. 44
5.3.
V oisines
................................................................ 47
5.4.
Formesexcellen
tes...................................................... 49
5.5.
Formesde Pflstercrois
¶
ees.............................................. 54
5.6.
Extensions
excellen
tes.................................................. 57
5.7.
Formesde hauteur2 .................................................... 61
5.8.
Exercices
................................................................ 65
6.Invariants¶
el¶
emen taires..................................................
6.1.
Le discriminan
t ........................................................
6.2.
L’alg
ebrede Clifiord....................................................
6.3.
Le groupe de Brauer-W
all..............................................
6.4.
Une flltration
surBW (F );un th¶
eoreme de Merkurjev..................
6.5.
Exercices
................................................................
67
67
69
71
74
80
7.Le th¶
eoreme de r¶
eductiond’indice
et sesapplications
..............
7.1.
Le th¶
eoreme de r¶
eduction
d’indice
......................................
I:d¶
eploiemen
t g¶
en¶
erique....................................
7.2.
Application
II:leu-in
varian
t descorps..................................
7.3.
Application
7.4.
Exercices
................................................................
81
81
84
85
89
8.Formes de bassedimension .............................................. 91
8.1.
Formesde bassedimension.............................................. 91
8.2.
Retourau chapitre
5 pourlesformesde bassedimension................ 99
8.3.
Exercices
................................................................107
9.Invariantssup¶
erieurs....................................................109
9.1.
Invarian
ts¶
el
¶
ementaires
etcohomologie
galoisienne
......................109
9.2.
K -th
¶
eorie
de Milnor....................................................109
9.3.
Le triangle
incomplet
de Milnor........................................111
9.4.
Invarian
tscohomologiques
sup¶
erieurs
....................................113
9.5.
Le noyau de H n F ! H n F (q) ..........................................116
9.6.
Le th¶
eoreme d’Arason..................................................118
9.7.
Bijectivit
¶
e de an ,bn eten ..............................................121
9.8.
Application
a l’isotropie
desformesquadratiques
......................122
9.9.
Exercices
................................................................124
10.Descente ..................................................................127
10.1.
L’anneaude Wittnon ramifl¶
e etlacohomologie
non ramifl¶
ee ..........127
10.2.
Th¶
eoremesde surjectivit
¶
e ..............................................129
10.3.
Deux probl
emesde descen
te ..........................................132
10.4.
Une premiereconjecture
de descen
te ..................................132
10.5.
Application
a lahauteuretau degr
¶
e ..................................134
T ABLE
DES MA TIERES
vii
10.6.
Une deuxi
eme conjecture
de descen
te ..................................134
10.7.
Exercices
..............................................................136
A. Rapp elssur legroupe de Brauer ......................................139
A.1.Algebressimples
etsemi-simples
........................................139
A.2.Le groupe de Brauer....................................................140
A.3.Exemples..............................................................143
A.4.Exercice
................................................................146
B. Rapp elsde cohomologiegaloisienne
..................................149
B.1.Cohomologie
desgroupesflnis..........................................149
B.2.Cohomologie
desgroupesproflnis......................................152
B.3.Cohomologie
galoisienne
................................................153
B.4.Le th¶
eoreme 90 de Hilb
ert..............................................153
B.5.Groupe de Braueretcohomologie
galoisienne
..........................154
B.6.Th¶
eorie
de Kummer ....................................................156
B.7.La longuesuite
exacte
d’uneextension
quadratique
....................158
B.8.Dimensioncohomologique
..............................................159
C. Courb es alg¶
ebriques....................................................161
C.1.Valuations
discr
etes....................................................161
C.2.Extensions
rationnelles
................................................167
C.3.Compatibilit
¶
es ..........................................................169
C.4.Courbesalg
¶
ebriques
....................................................170
C.5.Le th¶
eoreme de Riemann-Roch ........................................174
C.6.R ¶
ecipro
cit
¶
e de W eil....................................................175
D. Un aper»
cu sur lesformes quadratiquesen caract
¶
eristique
2 ........177
D.1.Introduction............................................................177
D.2.Premieresd¶
eflnitions
..................................................179
d’uneformequadratique
................................181
D.3.Normalisation
d’uneformebilin
¶
eaire..................................183
D.4.Diagonalisation
D.5.Invarian
t d’Arfetalg
ebrede Clifiord..................................184
D.6.Simpliflcation
de Witt-D ¶
ecomposition
de Witt ........................185
D.7.Anneaude Witt{ Groupe de Witt ....................................187
entrelesformesquadratiques
..................188
D.8.Relation
de sous-forme
¶
eaires
-Formestotalemen
t singuli
eres......................190
D.9.Formesbilin
D.10.Corpsde fonctions
-Th¶
eoremesde sous-forme
........................193
D.11.Lesformesde Pflsteretleurs
voisines
................................194
D.12.Isotropie
surlescorpsde fonctions
desquadriques
....................199
D.13.D ¶
eploiemen
t standard
desformesquadratiques
........................204
D.14.Un th¶
eoreme de Fitzgerald
etun autrede Knebusch ..................208
D.15.Le th¶
eoreme de norme ................................................210
D.16.Formesdifi¶
eren
tielles
etcorpsde fonctions
............................213
D.17.Un invarian
t pourlesformestotalemen
t singuli
eres..................217
D.18.Quelquescalculs
de noyaux de Witt ..................................221
viii
T ABLE
DES MA TIERES
E. Formes quadratiqueset cyclesalg¶
ebriques............................225
Introduction................................................................225
E.1.D ¶
eflnitions
etnotations
................................................227
E.2.La th¶
eorie
de Witt ......................................................228
E.3.Le th¶
eoreme de Springer
................................................229
E.4.La th¶
eorie
de Pflster:
puissances
de I ..................................230
E.5.Corpsde fonctions
de quadriques
......................................232
E.6.La th¶
eorie
de Knebusc
h:d¶
eploiemen
t g¶
en¶
erique........................233
¶
E.7.Equiv
alence
birationnelle
stable........................................237
E.8.Quatrer¶
esultats
fondamen
taux ........................................239
E.9.Trois
applications
......................................................241
E.10.Formesquadratiques
etmotifs:
r¶
esultats
de base......................244
E.11.Formesquadratiques
etmotifs:
th¶
eories
de Rostetde Vishik..........255
E.12.Quelquesd¶
emonstrations
..............................................268
F. Solutionde certainsexercices..........................................271
Chapitre
1 ..................................................................271
Chapitre
2 ..................................................................271
Chapitre
3 ..................................................................272
Chapitre
4 ..................................................................272
Chapitre
5 ..................................................................274
Chapitre
8 ..................................................................276
Bibliographie
................................................................277
Glossaire......................................................................291
Index ..........................................................................293
A V ANT-PR OPOS
La th¶
eorie
desformesquadratiques
a sansdoutere»
cuseslettres
denoblesse
avecle
th¶
eoreme de Hasse-Mink
owskiquipermetleurclassi
flcation
completesurQ ,ou plus
g¶
en¶
eralemen
t surun corpsglobal.
En y adjoignan
t lath¶
eorie
plusflne desr¶
eseaux,
cecid¶
ecrit
plusexactemen
t lath¶
eorie
arithm
¶
etique
desformesquadratiques,
ou la
th¶
eorie
desnombresjoueun r^
oleessen
tiel.
De nombreuxouvrages
sontconsacr
¶
esa ce
sujet,
en toutou en partie
[40, 171, 196]:::
En revanche,leslivres
consacr
¶
esa lath¶
eorie
((alg
¶
ebrique
))desformesquadratiques,
qui¶
etudie
leurs
propri
¶
et¶
essurun corpsquelconque,
sont peu nombreux: lesclassiques
sont ceuxde Milnor-Husem
õller
[164],Lam [146]etScharlau[191].En voici
quelques
autres,
un peu moinsconnus :Knebusc
h{Scharlau[126],Kn us [127],Lam
[144],Pflster[181],Scharlau
[190](enanglais)
etLoren
tz[150](enallemand).
A ma
connaissance,
aucunn’existe
en fran
cais,
»
a partun chapitre
¶
epuis
¶
e de Bourbakiqui
ne va guereplusloinquelesr¶
esultats
de Witt[32,ch.IX].
Danscelivre,
j’ai
voulumettreenrelief
lescorpsdefonctions
dequadriques
.Ce sont
PflsteretArasonqui,lespremiers,
ont vu leurimportance
particuli
eredansl’
¶
etude
de lastructure
flne desformesquadratiques
;Knebusc
h a ensuite
consid
¶
erablemen
t
¶
elargi
cepoint de vueavecsath¶
eorie
du d¶
eploiemen
t g¶
en¶
erique,
de lahauteuretdu
degr
¶
e.Le passage
aux corpsde fonctions
de quadriques
(etparfois
d’autres
vari
¶
et¶
es
projectiv
eshomogenes)estmaintenan
t un outil
d’usage
constan
tdanscedomainede
rec
herc
he.
Ce livre
ofiredesniveauxde di–cult
¶
e variables,
maisilestpourune largepart
d’unacces¶
el
¶
ementaire.
A tten
tion,
¶
el
¶
ementaire
ne veutpasdirefacile
!Celasigni
fle
plusmo destemen
t qu’onn’aessen
tiellemen
t besoinquede lath¶
eorie
¶
el
¶
ementaire
des
corpsetdesanneauxde polyn
omes pourcomprendre
^
(auprixd’untra
vailquejene
sous-estime
pas)leschapitres
1 a 5.Leschapitres
6 a 8 demandent un peu plusde
connaissances
:alg
ebrescentrales
simples
etgroupe deBrauer,
quisontrappel
¶
esdans
l’app
endiceA. Leschapitres
9 et10, eux,utilisen
t lacohomologie
galoisienne,
qui
estrappel
¶
eedansl’app
endice
B, etdesrudimen
tsde lath¶
eorie
descourb
es,quisont
rappel
¶
esdansl’app
endice
C.
x
A V ANT-PR OPOS
On voitdonc que j’ai
choisi
une exposition
par ordrede complexit
¶
e croissan
te
desnotions
en jeu: ce choixestcoh¶
eren
t d’unpoint de vue logique,
j’esp
erequ’il
serae–cace d’unpoint de vue p¶
edagogique
::: Ila l’a
vantagede souligner
qu’on
peutd¶
emontrer
¶
enorm¶
ementdechosessurlesformesquadratiques
avecdesm ¶
ethodes
¶
el
¶
ementaires.
Ilarriv
esouventqu’unm ^
eme th¶
eoreme aitplusieurs
d¶
emonstrations
tresdifi¶
eren
tes;
sauferreur,
j’ai
toujours
choisi
danscecasde pr¶
esen
teruned¶
emonstration
\¶
el¶
ementai
re".Par exemple,
a lad¶
emonstration
originelle
du th¶
eoreme d’Arasonsurl’excellence
descorpsde fonctions
de coniques
(th¶
eoreme 5.6.4a)),j’ai
pr¶
ef¶
er¶
e celle,
\¶
el
¶
ementaire",
de Rost.De m ^
eme,pourd¶
emontrerleth¶
eoreme de r¶
eduction
d’indice
de Merkurjev(th¶
eoreme 7.1.1
),j’ai
choisi
lam ¶
ethode de Tignol.
Enfln, parmiles
nombreuses
d¶
emonstrations
du th¶
eoreme \2n " de Hofimann (th¶
eoreme 5.2.2
),j’ai
choisi,
sinonsad¶
emonstration
originelle,
du moinsunevarian
tedueind¶
ependamment
a Hurrelbrink
{Rehmann eta C.Pesc
hard.(On trouv
erauneesquisse
ded¶
emonstration
non¶
el
¶
ementaire
de ceth¶
eoreme importan
t dansl’app
endice
E :voirremarques
apres
leth¶
eoreme E.8.5
).
Danslem ^
eme ordred’id
¶
ees,
j’ai
choisi
d’exp
oserlath¶
eorie
du d¶
eploiemen
tg¶
en¶
erique
deKnebusc
h sansfaire
interv
enir
lesplaces,
nisath¶
eorie
delasp¶
ecialisation
desformes
quadratiques
(pourceci,
jerenvoiea sesarticles
originaux
eta sonlivre
enpr¶
eparation
[119]):fortheureusemen
t,toutcequiestn¶
ecessaire
pourd¶
evelopp
ercetteth¶
eorie
estde savoirqu’uneformeanisotrop
e lereste
apresextension
transcendan
tepure:::
L’id
¶
eede celivre
remontea un mini-cours
surlesformesquadratiques
en caract¶
eris
ti
que difi¶
eren
tede 2 donn¶
e (enespagnol)
a l’Univ
ersit
¶
e de Mendoza en 1997a
l’o
ccasion
d’une¶
ecole
d’hiv
erdu CIMP A. Leschapitres
quej’ai
¶
enum ¶
er¶
esrecouvren
t
et¶
etenden
t a lafoisce courset sa version
plusd¶
evelopp
¶
ee,donn¶
ee (enfran
cais)
»
a l’Univ
ersit
¶
e Paris7 en 1998.Mais j’ai
eu lachancequ’Ahmed Laghribi
veuille
bien¶
ecrire
un appendicesuppl
¶
ementaire
surlesformesquadratiques
etbilin
¶
eaires
sym¶
etriques
en caract
¶
eristique
2 (appendiceD), ce quipermettra
aux lecteurs
de
v¶
eri
flerlasagacit
¶
e de T.Y.Lam dans[146,p.xviii]
:
Theorems on quadr
aticformsinchar
acteristic
not2 usual
lybecome probwhen theyare transferr
ed verb
atim
lematic
(andsometimesmeaningless)
2 case.However,experienc
e hasshown thatmany
to thechar
acteristic
formulate
d analo
guesforflelds
suchthe
orems do havecomplete,
suitably
2.What oneneedsistoflnd suchanalo
gues,
andtodevise
ofchar
acteristic
orem wouldrequir
e extr
a work.
new proofsforthem!Thus,each the
etde disp
oserd’unsurv
oldesr¶
esultats
actuels
en attendan
t lelivre,
a para
^‡tre,
de
Hofimann etLaghribi
surlesujet.
De m ^
eme,N. Bourbakietsescollab
orateurs
ont eu lagentillesse
de m’autoriser
a
repro
duireun expos¶
e fait
a leurs¶
eminaire
en 2004(appendice
E).Lesm ¶
ethodesqui
y sont utilis
¶
eessont d’unniveau de di–cult
¶
e sanscomparaison
aveccelui
du reste,
bienqu’enun certain
sensencore
\¶
el
¶
ementaires"
(engros,
desrudimen
tsdelath¶
eorie
de l’in
tersection
telle
qu’elle
estexpos¶
eedanslelivre
de Fulton),
maiscelapermet
a ce livre
d’^
etrea joursurl’
¶
etatde larec
herc
he | autan
t que faire
sepeut¶
etan
t
donn¶
e lerythmeactuel
de celle-ci,
etde donnerune id¶
eedesm ¶
ethodesactuellemen
t
A V ANT-PR OPOS
xi
utilis
¶
ees,tresdifi¶
eren
tesde celles
d’il
y a 10 ans.Pourune exposition
plusd¶
etaill
¶
ee
decesm ¶
ethodes,jerecommandeletoutr¶
ecen
t livre
d’Elman,
Karpenko etMerkurjev
[48].
Jevaismaintenan
t mentionner
bri
evementcequiaurait
pu setrouv
erdanscelivre
sion avaitsouhait
¶
e repousser
sadatede parution
d’encore
5 ans.D’abord,un surv
ol
desformesquadratiques
surlesanneauxetlessch¶
emas :pourceci,
jerenvoieaux
expos¶
esde Baeza[22],Kn us [128] etsurtout
Knebusc
h [124].Ensuiteun aper»
cu
desm ¶
ethodes\triangulaires"
inaugur
¶
eesparP.Balmer[27, 25]quia d¶
evelopp
¶
e une
th¶
eorie
¶
etonnamment simpledesgroupesde Wittde cat¶
egories
triangul
¶
eesavecdualit
¶
e,recouvran
t ainsi
(et¶
etendan
t!)lesr¶
esultats
ant¶
erieurs
surlessch¶
emas :pour
cela,
jepeuxrenvoyera sonchapitre
dansleHandbook ofK -the
ory[26]en attendan
t
un ¶
eventueltra
vaild’exp
osition
plusd¶
evelopp
¶
e.Ces m ¶
ethodespointent leurnezau
x10.2
. Enfln,laversion
\noncomm utativ
e" de lath¶
eorie
desformesquadratiques,
a
savoircelle
desalg
ebresa involution.
Ilexiste
biens^
ur un ouvragede r¶
ef¶
erencede
Kn us,Merkurjev,
RostetTignol[209],maisiciencore
lath¶
eorie
¶
evoluesivitequ’un
nouveautexted’exp
osition
serasansdouteutile
d’ici
peu.
Bienentendu,lad¶
emonstration
de laconjecture
de MilnorparVoevodskyutilise
desm ¶
ethodesd’unesophistication
telle
quesonexposition
¶
etait
horsde port
¶
eede ce
livre
: jepeux renvoyerlelecteur
int¶
eress
¶
e a mon expos¶
e Bourbaki[100].Initialement,j’a
vaiseu l’am
bition
de donnerune d¶
emonstration
completedu th¶
eoreme de
Merkurjev
(conjecture
de Milnoren degr
¶
e 2) :m ^
eme celas’est
r¶
ev¶
el
¶
e horsde port
¶
ee.
Heureusemen
t,jepeuxrenvoyerau livre
de P.Gille
etT. Szamuelysurlesujet
[61],
parties
de l’app
endice
D. A titre
de lotde conquiseraaussi
utile
pourlire
certaines
solation,
leslecteurs
trouv
eron
t uned¶
emonstration
du th¶
eoreme d’Arason
(existence
varian
t e3),au chapitre
9.
de l’in
pour simpli
fler l’exp
osition
: par
Je n’aipas h¶
esit
¶
e parfois
a r¶
e¶
ecrire
l’histoire
que jedonnedu th¶
eoreme d’Arasonreposesurcelui
de
exemple,
lad¶
emonstration
tes,
jed¶
emontrel’imp
ortan
t
Merkurjev.
De m ^
eme,danslath¶
eorie
desformesexcellen
tleth¶
eoreme 4.4.4
deFitzgerald
;cem ^
eme th¶
eoreme permet
th¶
eoreme 5.4.3
enutilisan
certains
r¶
esultats
de Knebusc
h (corollaire
5.4.5
).
d’am¶
eliorer
Lesexercices
n’on
t pasconstitu
¶
e pourmoiunepriorit
¶
e dansun livre
quej’ai
con»
cu
comme uneintroduction
a un domaineactif
de rec
herc
he.Jeme suistoutefois
efiorc
¶
e
d’eninclure
un certain
nombre,quisontplut
otdescompl¶
^
ementsdecours.
Jedemande
leurindulgence
auxlecteurs,
enlesrenvoyantparexempleau livre
deLam s’ils
resten
t
surleurfaima ce sujet.
Je remercie
DetlevHofimann de m’avoircomm uniqu
¶
e des
exercices
etprobl
emes de sespropres
cours.
Enfln,jeremercie
Jean-Pierre
Tignol,
UlfRehmann etlesrapporteurs
pourleurs
commentaires
tresutiles
quim’ontpermis
d’am¶
eliorer
celivre.
Paris,
janvier2008
BrunoKahn
CHAPITRE
¶
LA TH EORIE
1
DE WITT
ErnstWitt(1937)
a¶
et¶
e longtemps
consid
¶
er¶
e comme lepremier
a¶
etudier
lesformes
quadratique
s surun corpsarbitraire
dans[223];avant lui,
lesformesquadratique
s
avaien
t¶
et¶
e consid
¶
er¶
eessurR (Sylv
ester),
Q et lescorpsde nombres(Minkowski,
Winfried
Scharlau
a d¶
ecouv
ertun article
pr¶
ecurseur
de
Hasse).
R¶
ecemmenttoutefois,
Dickson[46].
1.1.D ¶
eflnitionset notations
SoitF un corpsde caract
¶
eristique
difi¶
eren
tede 2.
1.1.1
. | Une formequadr
atique
surF estun espacevectoriel
V m unid’uneapplication
q :V ! F telle
que
{ q(‚x)= ‚2q(x) pour(‚;x)2 F £ V ;
{ (x;y)7!q(x + y)¡ q(x)¡ q(y) estbilin
¶
eaire.
La plupart
du temps(sauf
danscette
introduction),
nousdirons
((laformequadratique
q )),sansmentionner
l’espace
vectoriel
V .S’il
estn¶
ecessaire
deconsid
¶
ererV ,nous
l’app
ellerons
l’
espace sous-jac
enta q.La dimension
de V estappel
¶
eeladimension
de
q,etnot¶
eedimq.
1.1.2
. | La formebilin
¶
eairesym¶
etrique
q
•(x;y) = 21 (q(x + y) ¡ q(x) ¡ q(y))est
appel
¶
ee formepolair
e de q : on a q(x) = q
•(x;x). Ily a donc une corresp
ondance
bijectiv
e(encaract¶
eris
ti
que6
= 2)entrelesformesquadratique
setlesformesbilin
¶
eaires
sym¶
etriques.
1.1.3
. | Si(V;q) estune formequadratique
,deuxvecteurs
x;y 2 V sont ditsorthogonauxsi•
q(x;y) = 0,etdeuxsous-espaces
W 1;W 2 ‰ V sont ditsorthogonaux
si
q
•(x;y)= 0 pourtout(x;y)2 W 1 £ W 2.SiX estunepartie
de V ,sonortho
gonalX ?
estl’ensem
bledesx 2 V tels
que q
•(x;y) = 0 pourtouty 2 X :c’est
un sous-espace
vectoriel
de V .
CHAPITRE
2
¶
1.LA TH EORIE
DE WITT
1.1.4
. | Le radic
al(1) deq estlesous-espace
Rad q = V ? :c’est
aussi
lesous-espace
form¶
e desx 2 V telsque q(x + y) = q(y) pourtouty 2 V .On ditque q estnon
d¶
eg¶
en¶
er¶
ee siRad q = f0g.En g¶
en¶
eral,
on peutquotien
terV parRad q;alors
q passe
au quotien
t etd¶
eflnitune formequadratique
non d¶
eg¶
en¶
er¶
eesurV=Rad q.De cette
fa»
con,on peuttoujours
ser¶
eduire
a uneformenon d¶
eg¶
en¶
er¶
ee.
1.1.5.Lemme . | SiW ‰ V estun sous-esp
ace,on a Rad(qjW )= W \ W
estnon d¶
eg¶
en¶
er¶
e etde dimension
flnie
, on a V = W ' W ? .
?
.SiW
D¶
emonstr
ation
. | La premiereassertion
estclaire.
Pour ladeuxi
eme,choisissons
une base(e1;:::;en ) de W . PuisqueW estnon d¶
eg¶
en¶
er¶
e,ilexiste
une baseduale
(f1;:::;fn )telle
que•
q(ei;fj)= –ij (symboledeKronec
ker).
Six 2 V et‚i = q
•(x;ei),
P
alors
x ¡ i ‚ifi 2 W ? .
1.1.6
. | Si(V;q);(V 0;q0) sont deuxformesquadratique
s,un morphisme(V;q) !
0 0
0
(V ;q ) estune application
lin
¶
eaire
f :V ! V telle
que q0 – f = q.De cette
fa»
con,
lesformesquadratique
s formen
t une cat¶
egorie.
Cettecat¶
egorie
estassezsimple:si
q estnon d¶
eg¶
en¶
er¶
ee,f estinjectiv
e;side plusdimV < 1 ,f(V ) estfacteur
direct
0
orthogonal
deV d’apr
eslelemme 1.1.5
.Parcons
¶
equent,lesmorphismes
nontriviaux
entreformesquadratique
s sont essen
tiellemen
t lesisomorphismes,
¶
egalemen
t appel
¶
es
.
isom¶
etries
1.1.7.Notation
a)On note
q ’ q0
s’il
existe
uneisom¶
etrie
entreq etq0,et
q • q0
s’il
existe
un morphismede q versq0 (i.e.
siq estisom¶
etrique
a une sous-forme
de
0
q ).
b) Pourtouteformequadratique
q, on noteO (q) legroupe desisom¶
etries
de q
(=A ut(V;q) danslacat¶
egorie
ci-dessus)
:c’est
legroupe ortho
gonalde q.
1.1.8.Exemple. | Soitx 2 V telqueq(x)6
= 0.Posons
ux (y)= y ¡ 2
q
•(x;y)
x:
q(x)
Alorsux 2 O (q).En efiet,pourtouty,
2
q(ux (y))= q(y)¡ 4
(1)Le
q
•(x;y)
q
•(x;y)
q
•(x;y)+ 4
q(x)= q(y):
q(x)
q(x)
radical
estparfois
appel¶
e ((noyau ));nous n’adoptons
pas cetteterminologie
carelleentrerait
en con itaveccelle
du chapitre
III.
¶
1.1.D EFINITIONS
ET NOT A TIONS
SoitW ladroite
engendr
¶
eeparx.SurunebasedeV adapt
¶
eea (W ;W
de ux s’
¶
ecrit
¶
¡ Id 0
;
0
Id
en particulier,
u2x = Id.
3
?
),lamatrice
1.1.9.D ¶
eflnition
. | L’isom
¶
etrie
ux estappel
¶
eer¶
e exiond’axeW .
1.1.10.D ¶
eflnition
. | Deux formesq;q0 surF sont semblables
s’il
existe
a 2 F⁄
0
0
telqueq ’ aq .On noteraparfois
cette
relation
q/ q.
1.1.11
. | La cat¶
egorie
desformesquadratique
sposs
ededeuxop¶
erations
quienfont
une((cat¶
egorie
bimonõ‡dale
sym¶
etrique
))[152]:
{ Somme dir
ecteortho
gonale: (V;q) ? (V 0;q0) = (V ' V 0;q ? q0), ou (q ?
0
0
0 0
q )(x;x )= q(x)+ q (x ).
{ Produittensoriel
:entermesdeformespolaires,
(V;•
q)› (V 0;•
q0)= (V › V 0;•
q› q
•0),
ou (•
q› q
•0)(x › x0;y › y0)= q
•(x;y)•
q0(x0;y0).
. | Soit(V;q) une formequadratique
surF ,etsoitK =F une
1.1.12.D ¶
eflnition
extension.
On note(VK ;qK )laformequadratique
surK d’espace
vectoriel
sous-jacen
t
VK := K › F V ,caract
¶
eris
¶
eeparlapropri
¶
et¶
e
q
•K (fi › x;fl › y)= fifl•
q(x;y)
pour(fi;fl;x;y) 2 K 2 £ V 2.On ditque qK estobten
ue a partir
de q parextension
desscalair
esde F a K .
1.1.13.R emar que. | Supposonsdimq = n < + 1 .Sil’onchoisit
unebase(ei)de
P
P
2
V , q corresp
ond au polyn
ome
^
+
a
T
2a
T
T
,
ou
a
=
q(ei) et ai;j =
ij i j
i
i i i
i<j
ondant au m ^
eme
q
•(ei;ej). AlorsqK estsimplemen
t la formequadratique
corresp
polyn
ome,vu comme ¶
^
el
¶
ement de K [T1;:::;Tn ].
On a :
1.1.14.Proposition
. | Soit(V;q) une formequadr
atiquesurF , de dimension
flnie.SoitQ lepolyn
ome asso
^
ci¶
e a q par lechoixd’unebasede V .Siq estde rang
‚ 3,Q estirr
¶
eductible.
(Lerang de q estladimension
de V=Rad q.)
D¶
emonstr
ation
. | SupposonsQ r¶
eductible.
Comme ilesthomogenede degr
¶
e 2,il
estproduitde deuxformeslin
¶
eaires
’;ˆ.Si’ etˆ sont lin
¶
eairemen
t ind¶
ependantes,
q estde rang2.Sinon,
q estde rang1.
Le lemme suiv
ant estimm ¶
ediat:
4
CHAPITRE
¶
1.LA TH EORIE
DE WITT
1.1.15.Lemme . | SoitK =F une extension.
L’extension
desscalair
es d¶
eflnitun
foncteur
(covariant)
de lacat¶
egorie
desF -formes
quadr
atiques
verslacat¶
egorie
des
K -formes
quadr
atiques,
respectantlesstructur
esbimonõ‡dales.
1.2.Les th¶
eoremes de Witt
Jusqu’
a maintenan
t,nousavonsdonn¶
e desg¶
en¶
eralit
¶
essurlesformesquadratique
s.
Passons
aux th¶
eoremesde structure
fondamen
tauxde Witt.A partir
de maintenan
t,
saufdanslasection
6.2
, touteslesformesquadratique
s sont non d¶
eg¶
en¶
er¶
eesetde
dimension
flnie
.
Le premierth¶
eoreme estbienconnu.Si(V;q) estune formequadratique
,on dit
qu’unebase(e1;:::;en ) de V estortho
gonalesiei estorthogonal
a ej pouri6
= j.
atique
q possedeune base
1.2.1.Th ¶
eoreme ([223,Satz2]). | Touteformequadr
ortho
gonale.
D¶
emonstr
ation
. | On raisonne
parr¶
ecurrence
surdimq. SoitV l’espace
vectoriel
sous-jacen
t a q.Puisqueq estnon d¶
eg¶
en¶
er¶
ee,ilexiste
e1 2 V telqueq(e1)6
= 0.Soit
W = he1i. AlorsqjW estnon d¶
eg¶
en¶
er¶
ee.En appliquan
t lelemme 1.1.5
, on trouv
e
V = W ' W ? .Parr¶
ecurrence,
qjW ? poss
edeunebaseorthogonale.
P
Si(e1;:::;en ) estune baseorthogonale
de q etx =
xiei,on a q(x) = a1x21 +
2
⁄
¢¢¢+ an xn avecai = q(ei)2 F .On r¶
esumececiparlanotation
q ’ ha1;:::;an i.On
a lesformules:
ha1;:::;am i? hb1;:::;bn i’ ha1;:::;am ;b1;:::;bn i
ha1;:::;am i› hb1;:::;bn i’ ha1b1;:::;am bn i:
La d¶
emonstration
du th¶
eoreme 1.2.1
montrepluspr¶
ecis
¶
ement :
1.2.2.Proposition
. | Soitq uneformequadr
atique
dedimension
n,d’esp
ace vectoriel
sous-jac
entV , etsoita 2 F ⁄ telqu’il
existe
x 2 V v¶
eri
flantq(x) = a (ondit
quea estrepr
¶
esen
t¶
e parq).A lors
ilexiste
a2;:::;an 2 F ⁄ tels
queq ’ ha;a2;:::;an i.
1.2.3.Lemme . | Soient
a;b 2 F ⁄ .A lors
ha;bi’ ha + b;ab(a + b)i:
D¶
emonstr
ation
. | Soien
t q = ha;bi et(e;f) labasecanonique
de F 2 (espace
sousjacen
t a q).Alorslesyst
eme (e+ f;be¡ af) estunebaseorthogonale
de F 2 telle
que
q(e+ f)= a + b,q(be¡ af)= ab(a + b).
1.2.4.Lemme (cf.[146,ch.I,prop.4.7]
). | SoitQ une formequadr
atique
d’espace vectoriel
sous-ja
centV , etsoient
x;y 2 V tels
queQ (x) = Q (y) 6
= 0. A lorsil
existe
une r¶
e exion(d¶
eflnition
1.1.9
) u 2 O (Q ) telque§ u(x)= y.
¶
1.2.LES TH EOR
EMES
DE WITT
5
D¶
emonstr
ation
. | On a l’iden
tit
¶
e¶
el
¶
ementaire
(iden
tit
¶
e du parall
¶
elogramme)
Q (x + y)+ Q (x ¡ y)= 2Q (x)+ 2Q (y):
Cetteiden
tit
¶
e etl’h
ypotheseimpliquen
t que Q (x + y) 6
= 0 ou que Q (x ¡ y) 6
= 0.
SupposonsqueQ (x ¡ y)6
= 0.Posonsu = ux¡ y (exemple
1.1.8
).On a
u(x ¡ y)= ¡ x + y
et,en remarquan
t quex + y etx ¡ y sont orthogonaux,
u(x + y)= x + y:
Ilen r¶
esulte
queu(x)= y.SiQ (x + y)6
= 0,on utilise
u = ux+ y etlesigne¡ .
1.2.5.Th ¶
eoreme ([223,Satz4]). | Soientq;q1;q2 troisformesquadr
atique
s sur
F .Siq ? q1 ’ q ? q2,alors
q1 ’ q2.
D¶
emonstr
ation
. | En utilisan
t leth¶
eoreme 1.2.1
,on serameneimm ¶
ediatemen
t par
r¶
ecurrenceau casdimq = 1,soit
q = haipourun a 2 F ⁄ .Partransp
ortde structure,
on serameneau casou hai ? q1 = hai ? q2 =: Q .Soien
t V l’espace
vectoriel
sousjacen
t a Q etW 1,W 2 lessous-espaces
de V corres
pondant resp
ectiv
ement a q1 etq2.
de O (Q );ilen
Le lemme 1.2.4
implique
queW 1? etW 2? sont conjugu
¶
essousl’action
estdoncde m ^
eme pourW 1 etW 2.
1.2.6.D ¶
eflnition
. | Soitq une formequadratique
d’espace
vectoriel
sous-jacen
t
V .Un vecteur
x 2 V estisotr
ope siq(x)= 0.Un sous-espace
W ‰ V esttotalement
isotr
ope siqjW = 0. La formeq estisotr
ope s’il
existe
un vecteurisotrop
e6
= 0,
anisotr
ope sielle
n’est
pasisotrop
e.
1.2.7.D ¶
eflnition
. | On appelle
planhyperb
olique
,eton noteH ,laformequadrasous-jacen
t F 2, d¶
eflniepar q(x;y) = xy
tiquede dimension
2, d’espace
vectoriel
2
((x;y)2 F ).
1.2.8.Lemme
a) Pour touta 2 F ⁄ ,on a H ’ ha;¡ ai.
b) Touteformequadr
atique
isotr
ope de dimension
2 estisom¶
etrique
a H.
D¶
emonstr
ation
a) Soit(e;f) labasecanonique
de F 2.Alors(e0 = e +
baseorthogonale
de q etq(e0)= a,q(f0)= ¡ a.
a
0
2 f;f
= e¡
a
2 f) estune
b) Soien
t V l’espace
sous-jacen
ta q etx 2 V nf0g telqueq(x)= 0.Soity 2 V non
colin
¶
eaire
a x.Puisqueq estnond¶
eg¶
en¶
er¶
ee,on a q
•(x;y)6
= 0.Posonsq
•(x;y)= a,
q(y)= b.Soit
b
z = ¡ 2 x + a¡ 1y:
2a
Alorsq(z)= 0 et•
q(x;z)= 1.
6
CHAPITRE
¶
1.LA TH EORIE
DE WITT
1.2.9.Th ¶
eoreme ([223,Satz5]). | Siq estisotr
ope,alorsq ’ H ? q0 pourune
0
formeq uniquement
d¶
etermin
¶
eea isom¶
etrie
pres.
D¶
emonstr
ation
. | La deuxi
eme a– rmation
r¶
esulte
du th¶
eoreme 1.2.5
.Pourlapremiere,
soien
t V l’espace
vectoriel
sous-jacen
t a q etx 2 V n f0g telqueq(x)= 0.Comme q
estnon d¶
eg¶
en¶
er¶
ee,ilexiste
y 2 V telque q
•(x;y)6
= 0.SoitW = hx;yi :alors
qjW est
isotrop
e etnon d¶
eg¶
en¶
er¶
ee.D’apr
eslelemme 1.2.8
,qjW ’ H ;d’apr
eslelemme 1.1.5
,
?
V = W ' W .
1.2.10.D ¶
eflnition
. | On ditqu’uneformeh esthyperb
olique
sih ’ m H = pour
m convenable.
1.2.11.Corollair
e (D ¶
ecomp ositionde Witt). | Touteformequadr
atique
q se
d¶
ecomposede maniere unique(a isom¶
etrie
pres)en somme dir
ecteortho
gonale
qan ?
ope eth esthyperb
olique.
h,ou qan estanisotr
D¶
emonstr
ation
. | L’existence
r¶
esulte
par r¶
ecurrence
du th¶
eoreme 1.2.9
. L’unicit
¶
e
r¶
esulte
du th¶
eoreme 1.2.5
.
anisotr
ope de q.Pourtoute
elle
lapartie
1.2.12.Notation. | La formeqan s’app
formequadratique
q,on notediman q l’en
tier
dimqan (dimension
anisotrop
e de q).
1.2.13.Corollair
e. | Si (V;q) estune formequadr
atique
, touslessous-esp
aces
totalement
isotr
opesmaximauxde V ontlam ^
eme dimension
: l’
indice
de Wittde q,
du corollair
e 1.2.11
, on a i(q) = 21 dimh • 21 dimq. La
not¶
e i(q). A vec lanotation
formeq esthyperb
olique
sietseulement
sii(q)= 12 dimq.
Le lemme suiv
ant estd’usage
constan
t danslath¶
eorie
:
s anisotr
opes.Supposons
atique
1.2.14.Lemme . | Soientq;q0 deuxformesquadr
quei(q ? ¡ q0)‚ n.A lorsilexiste
desformesquadr
atiques
’;q1;q10,avec dim’ = n,
tel
lesque
q ’ ’ ? q1;
q0 ’ ’ ? q10:
D¶
emonstr
ation
. | Parr¶
ecurrence
surn.Supposonsn = 1 :alors
q ? ¡ q0 estisotrop
e,
0
0
0 0
doncilexiste
(x;x ) 2 V £ V tels
que q(x) = q (x ) 6
= 0 (V etV 0 sont lesespaces
vectoriels
sous-jacen
tsa q etq0).L’¶
enonc
¶
e r¶
esulte
alorsde laproposition
1.2.2
. Si
n > 1,en appliquan
t cequipr¶
ecede,on peut¶
ecrire
q ’ hai? q2,q0 ’ hai? q20 pour
a;q2;q20 convenables.
Alorsi(q2 ? ¡ q20) ‚ n ¡ 1, eton conclut
parl’h
ypothesede
r¶
ecurrence.
1.3.L’ANNEA U DE WITT
7
1.3.L’anneau de Witt
Finalemen
t,Wittintroduitl’
anneau de Witt,quiclassi
fle lesformesquadratique
s
[223,Satz6].
1.3.1.D ¶
eflnition
. | Deux formesquadratique
s q;q0 sont ¶
equivalentes
au sensde
0
0
relation
q» q.
Wittsiqan ’ qan ;on notecette
Ilestclair
que,siq;q1;q2 sont trois
formesquadratique
s etq1 » q2,alors
q ? q1 »
q ? q2 etq › q1 » q › q2.Pourladeuxi
eme relation,
noterque(hyperbolique
)› q =
hyperbolique
:celar¶
esulte
du lemme 1.2.8
a).
1.3.2.D ¶
eflnition
. | L’anneau de Wittde F ,not¶
e W (F ),estl’anneau
desclasses
d’¶
equiv
alence
delarelation
» ,pourl’addition
etlam ultiplication
induites
resp
ectiv
ement par? et› .
1.2.11
impliquen
t:
Le th¶
eoreme 1.2.5
etlecorollaire
1.3.3.Corollair
e. | Une formequadr
atique
estcaract
¶
eris
¶
ee,a isom¶
etrie
pres,par
sadimension
etsaclasse
dansW (F ).
On a parfois
besoinde consid
¶
ererune varian
tede l’anneau
de Witt,l’anneau
de
Witt-Grothendiec
k:
1.3.4.D ¶
eflnition
. | L’anneau de Witt-Gr
othendie
ck de F ,not¶
e W^ (F ),estl’anneaudesclasses
d’¶
equiv
alence
de larelation
’ ,pourl’addition
etlam ultiplication
induites
resp
ectiv
ement par? et› .
Ilestclair
qu’ona un homomorphismesurjectif
W^ (F )! W (F ),de noyau isomorphea Z (engendr
¶
e parlaclasse
du planhyperbolique).
1.3.5.Proposition
a) Le groupe additif
de W^ (F ) estpr¶
esent
¶
e parlesg¶
en¶
erateurs
hai,a 2 F ⁄ ,soumis
2
hab i= hai etauxrelations
du lemme 1.2.3
.
auxrelations
b) Le groupe additif
de W (F ) estpr¶
esent
¶
e parlesg¶
en¶
erateurs
hai,a 2 F ⁄ ,soumis
2
auxrelations
hab i= hai,auxrelations
du lemme 1.2.3eta larelation
suppl¶
ementai
re h¡ ai= ¡ hai.
D¶
emonstr
ation
. | SoitV (F ) legroupe d¶
eflniparlapr¶
esen
tation
de a).Notons[a]
⁄
leg¶
en¶
erateur
asso
ci
¶
e a un scalaire
a 2 F . Le lemme 1.2.3fournit
un homomorphismesurjectif
V (F )! W (F )envoyant[a]surhai.Pourmontrera),ilsu– tdevoir
que,poura1;:::;an ;b1;:::;bn 2 F ⁄ ,l’isom
¶
etrie
ha1;:::;an i ’ hb1;:::;bn i entra
^‡ne
l’
¶
egalit
¶
e [a1]+ ¢¢¢+ [an ]= [b1]+ ¢¢¢+ [bn ].
On raisonne
parr¶
ecurrence
surn,lecasn = 1 ¶
etan
t trivial.
Supposonsn = 2.Par
hypothese,
ilexiste
x1;x2 2 F tels
que
b1 = a1x21 + a2x22:
¶
1.LA TH EORIE
CHAPITRE
8
DE WITT
Six2 = 0,on a hb1i= ha1id’ou hb2i= ha2ietlaconclusion.
Six1 = 0,on raisonne
de m ^
eme.Six1x2 6
= 0,quitte
a remplacer
ai paraix2i,on peutsupposerx1 = x2 = 1.
En utilisan
t lelemme 1.2.3
etleth¶
eoreme 1.2.5
,on en d¶
eduithb2i’ ha1a2(a1 + a2)i,
d’ou de nouveaulaconclusion.
Supposonsenfln n ‚ 3.Soien
t q = ha1;:::;an ¡ 1i,q0 = hb1;:::;bn ¡ 1i.On a
q ? ¡ q0 » hbn ;¡ an i
donc,d’apr
eslelemme 1.2.14
,ilexiste
c1;:::;cn ¡ 2;e;f 2 F ⁄ tels
que
q ’ hc1;:::;cn ¡ 2;ei;
q0 ’ hc1;:::;cn ¡ 2;fi:
etdonc(parleth¶
eoreme 1.2.5
)
he;an i’ hf;bn i:
On a alors,
parr¶
ecurrence
surn :
[a1]+ ¢¢¢+ [an ¡ 1]= [c1]+ ¢¢¢+ [cn ¡ 2]+ [e]
[b1]+ ¢¢¢+ [bn ¡ 1]= [c1]+ ¢¢¢+ [cn ¡ 2]+ [f]
et
[e]+ [an ]= [f]+ [bn ]
d’ou laconclusion
de a);celle
de b)s’end¶
eduitfacilemen
t.
.
La proposition
suiv
anter¶
esulte
imm ¶
ediatemen
t du lemme 1.1.15
1.3.6.Proposition
. | SoitK =F une extension.
L’extension
desscalair
es d¶
eflnit
un homomorphismed’anne
aux
W (F )¡! W (K ):
La regleF 7!W (F ) d¶
eflnitun foncteur
de lacat¶
egorie
descorpscom mu tatifs
versla
cat¶
egorie
desanneauxcommutatifs
unitair
es.
Introduisons
desnotations
quiserviron
t couramment danslasuite
:
1.3.7.D ¶
eflnition
. | Pouruneformequadratique
q,on note
D (q)= fa 2 F ⁄ j9 x;q(x)= ag
G (q)= fa 2 F ⁄ jaq’ qg:
Sia 2 D (q)[ f0g,on ditqueq repr¶
esente
a ;sia 2 G (q),on ditquea estun facteur
de similitude
de q.
1.3.8.Lemme
a) Siq • q0,D (q)‰ D (q0).
b) Siq estisotr
ope,D (q)= F ⁄ .
c) Pour tout‚ 2 F ⁄ ,on a G (‚q)= G (q).
1.4.QUELQUES
EXEMPLES
D’ANNEA
UX DE WITT
9
d) G (q) ne d¶
ependquede laclasse
de q dansW (F ).
e) G (q) estun sous-gr
oupe de F ⁄ contenant
F ⁄2 ; si(a;b) 2 G (q)£ D (q), alors
ab2 D (q).
f) Si1 2 D (q),alors
G (q)‰ D (q).
D¶
emonstr
ation
. | a)est¶
eviden
t etr¶
eduitlad¶
emonstration
de b)au casq = H ,ou
l’
¶
enonc
¶
e estclair.
c)est¶
eviden
t.Pourvoird),ilsu–t dev¶
eri
flerque,pourtouteforme
q,on a G (q)= G (q ? H ):celar¶
esulte
imm ¶
ediatemen
tdu fait
queG (H )= F ⁄ (lemme
1.2.8
a)).
e)est¶
eviden
t etf) en r¶
esulte.
Terminons
avecun lemme trivial,
maistresutile.
1.3.9.Lemme . | Soientq une formequadr
atique
surF etq0 • q. Si dimq0 >
dimq ¡ i(q),alors
q0 estisotr
ope.
Premiere d¶
emonstr
ation
. | Soien
t V leespacesous-jacen
t a q,W lesous-espace
de
V corresp
ondanta q0 etH ‰ V un sous-espace
totalemen
tisotrop
e dedimension
i(q).
Comme dimW + dimH > dimV ,on doitavoirW \ H 6
= f0g.
Deuxieme d¶
emonstr
ation
. | Parlelemme 1.1.5
etlescorollaires
1.2.11
et1.2.13
,on
peut¶
ecrire
q0 ? q00 ’ q ’ qan ? i(q)H
pouruneformeq00,d’ou
q0 ? q00 ? ¡ q00 ’ qan ? ¡ q00 ? i(q)H :
Parleth¶
eoreme 1.2.9
,q00 ? ¡ q00 ’ dimq00H (cela
peutaussi
sevoirdirectemen
t!).
Parleth¶
eoreme 1.2.5
,on a donc
q0 ’ qan ? ¡ q00 ? (i(q)¡ dimq00)H
etq0 estclairemen
t isotrop
e.
1.4.Quelques exemples d’anneaux de Witt
t surlespropri
¶
et¶
esdesformesquadratiques
Dans ce livre,
nousmettonsl’accen
valables
surun corpsde basequelconque.
Nous nousbornerons
doncicia faire
une
liste
rapided’exemples
ou l’onsaitcalculer,
ou au moinsestimer,
l’anneau
de Witt
d’uncorps.
P ourplusde d¶
etails
etpourd’autres
exemples,
nousinvitons
lelecteur
a se reporterau livre
de Lam [146, Ch. II,x5,Ch. VI,Ch. VIII]ou a celui
de
O’Meara[171].
1.4.A.Corps quadratiquement clos.| Un corpsF estquadr
atiquement
clos
sitout¶
el
¶
ement de F estun carr
¶
e.Dans ce cas,on a W (F ) ’ Z=2. Exemple: F
s¶
eparablemen
t clos(parexempleF = C ).
10
CHAPITRE
¶
1.LA TH EORIE
DE WITT
1.4.B.Corps euclidiens.
| Un corpsF esteuclidien
s’il
estordonnable
(donc
automatiquemen
t de caract
¶
eristique
z¶
ero)etque,pourx 2 F ⁄ ,soit
x soit
¡ x estun
carr
¶
e.Dans cecas,W (F )’ Z.Exemple:F ordonn
¶
e maximal(parexempleF = R ;
danscecas,cer¶
esultat
est¶
equiv
alen
t au th¶
eoreme d’inertie
de Sylvester
).
1.4.C.Corps flnis.| SoitF = Fq (avecq impair).
Siq · 1 (mod 4),W (F ) est
isomorphe
a l’alg
ebrede groupe F2[Z=2].Siq · ¡ 1 (mod 4),W (F )’ Z=4(2).
1.4.D.Corps locaux.| SoitF un corpscomplet
(ouplusg¶
en¶
eralemen
thens¶
elien)
pourune valuation
discr
etede rang1,a corpsr¶
esiduel
k suppos¶
e de caract
¶
eristique
difi¶
eren
tede 2.D’apr
esSpringer,
on a un isomorphisme
(voirth¶
eoreme C.1.15
)
W (F )’ W (k)[
Z =2]:
Exemples:F extension
flniede Q p (p 6
= 2),ou F = k((T )).
1.4.E.Corps de fonctions
rationnelles.
| PourtoutcorpsF (decaract
¶
eristique
difi¶
eren
tede 2),on a lasuite
exacte
de Milnor
M
W (F [T ]=P)¡! 0
0 ¡! W (F )¡! W (F (T ))¡!
P
ou P d¶
ecrit
l’ensem
bledespolyn
omes irr
^
¶
eductibles
unitaires
de F [T ].
Pouruned¶
emonstration,
voirLam [146,ch.IX,th.3.1]
.
1.4.F.Corps globaux.| Un corpsglob
alest,
pard¶
eflnition,
soitune extension
flniedeQ (corps
denombres)
soit
uneextension
flniedeFp (T ),c’esta-dire
lecorpsdes
fonctions
d’unecourb
e surun corpsflni.SoitF un corpsglobal,
etsoit
› l’ensem
ble
Pour toutv 2 › ,
desclasses
d’¶
equiv
alencede sesvaleurs
absolues
non triviales.
notonsF v lecompl¶
et¶
e de F relativ
ement a v.Siv estarchim¶
edienne,
F estun corps
de nombresetF v estisomorphe
a R ou a C ;siv estnon archim¶
edienne,
F v estun
corpslocala corpsr¶
esiduel
flni.Dans chacunde cescas,W (F v ) estconnu d’apr
es
Soitq une formequadratique
surF ,etposonsqv = qF v .Le
lesexemplesci-dessus.
ope pourtoutv,alors
q est
a–rme que,siqv estisotr
th¶
eoreme de Hasse-Minkowski
0
isotr
ope.On en d¶
eduitque,siq etq sont deuxformesquadratiques
surF telles
que
qv ’ qv0 pourtoutv, alors
q ’ q0; celapermet((presque
))de d¶
eterminer
W (F ) en
fonction
desW (F v ).
Une d¶
emonstration
completesetrouv
e danslelivre
d’O’Meara[171,Ch.VI,x66];
une d¶
emonstration
admettan
t lesr¶
esultats
de basede lath¶
eorie
du corpsde classes
setrouv
e dansLam [146,Ch.VI,x3];enfln,uned¶
emonstration
danslecasparticulier
F = Q estdonn¶
eedansSerre[196,Ch.III]
.
(2)Parcontre,
comme lefaitobserv
erLam [146,p.37],deux corpsflnisd’ordre
impairquelconques
ont desgroupesde Witt-Grothendiec
k isomorphes
!
¶
1.5.UN TH EOR
EME
DE E. AR TIN ET T.A. SPRINGER
11
1.5.Un th¶
eoreme de E. Artin et T.A. Springer
L’¶
etape suiv
antedansled¶
evelopp
ement de lath¶
eorie
estdue a Albrec
ht Pflster
,
entre1965et1967.Entretemps,
quelques
r¶
esultats
importan
tssont d¶
emontr¶
espar
T.A.Springer,
I.KaplanskyetJ.W.S.Cassels.
Le th¶
eoreme de Cassels
seradonn¶
e
danslasection
2.4
.Donnonsseulemen
t leth¶
eoreme de Springer,
d¶
eja conjectur
¶
e par
Witt[223]:
1.5.1.Th ¶
eoreme ([200]). | Soitq uneformequadr
atique
surF ,etsoit
E =F une
extension
flniede degr¶
e impair.A lorsi(qE )= i(q),ou qE = q › F E .
D¶
emonstr
ation
. | Ilsu–t de traiter
lecasou q estanisotrop
e.On serameneau cas
ou E =F estmonogene,soit
E = F (fi).On raisonne
parr¶
ecurrence
surn = [E :F ],le
casn = 1 ¶
etan
t trivial.
Raisonnons
par l’absurde.
Soien
t P lepolyn
ome minimalde fi, d = dimq et
^
(x1;:::;xd )2 E d n f0g telqueq(x1;:::;xd )= 0.On peut¶
ecrire
xi = gi(fi)
avecm := max(deggi) < n etlesgi non tousnuls;quitte
a diviser
parun facteur
entreeuxdansleurensemble.
Dans
comm un,on peutdeplussupposerlesgi premiers
F [T ],on a
q(g1;:::;gd )= P h
avec
degh = 2m ¡ n • n ¡ 2:
En efiet,l’anisotropie
de q implique
que degq(g1;:::;gd ) = 2m . En particulier,
degh estimpair
;ilexiste
doncun facteur
irr
¶
eductible
’ de h de degr
¶
e impair.
On a
encoredeg’ • n ¡ 2.
SoitK = F [T ]=(’) : c’est
une extension
de F de degr
¶
e impairet< n. Soitfl
l’image
de T dansK .On a
qK (g1(fl);:::;gd (fl))= 0:
Par hypothesede r¶
ecurrence,
qK estanisotrop
e,doncg1(fl) = ¢¢¢= gd (fl) = 0.
Maisalors,
’ divise
touslesgi,contrairemen
t a l’h
ypothese.
1.5.2.Corollair
e. | Pour E =F de degr¶
e impair,W (F )! W (E ) estinje
ctive.
1.5.3.R emar ques. | 1)Le th¶
eoreme 1.5.1
avait¶
et¶
e d¶
emontr¶
e aupara
vantparEmil
Artin...
en 1937(nonpubli
¶
e):ilavaitexpos¶
e oralemen
tsad¶
emonstration
a Witt.On
pourraconsulter
[224,p.41]
,ou Wittutilise
d’autre
partl’argumen
t ci-dessus
pour
donnerdespreuv
esparall
elesde ceth¶
eoreme etdu princip
e de norme de Knebusch
(quenousne consid
¶
eronspasdanscelivre
:voir[146,Ch. VII,x5]).Je remercie
U.
Rehmann de m’avoirindiqu
¶
e cette
r¶
ef¶
erence.
Voir¶
egalemen
t lexE.3pouruned¶
emonstration
g¶
eom¶
etrique
du th¶
eoreme 1.5.1
.
CHAPITRE
12
¶
1.LA TH EORIE
DE WITT
2)On peutdonnerune autred¶
emonstration
du corollaire
1.5.2
,a l’aide
du transfert
de Scharlau
.SoitE =F une extension
flnie,etsoits :E ! F une formeF -lin
¶
eaire
non nulle.
Soitq une formequadratique
surE ,d’espace
vectoriel
sous-jacen
t V .On
d¶
eflnituneF -formequadratique
s⁄ q de lamanieresuiv
ante:
{ L’espace
vectoriel
sous-jacen
t a q estleF -espace
vectoriel
V(F ) obten
u a partir
de V parrestriction
desscalair
es(oubli
de laK -structure).
{ Pourx 2 V(F ),s⁄ q(x)= s(q(x)).
Ilestclair
que s⁄ resp
ectelasomme directe
orthogonale
; de plus,siq estune
F -formeetq0 uneK -forme,
on a uneisom¶
etrie
canonique
s⁄ (qK › q0)’ q › s⁄ q0:
En particulier,
sia 2 F ⁄ ,s⁄ (aq)’ as⁄ (q) (lecasg¶
en¶
eralen r¶
esulte).
On en d¶
eduit
ques⁄ transforme
hyperboliques
enhyperboliques
(s⁄ (h1;¡ 1i)’ s⁄ (h1i)? ¡ s⁄ (h1i)).
Parsuite,
s⁄ d¶
eflnitun homomorphisme
s
⁄
W (E ) ¡¡¡¡!
W (F )
quiestlin
¶
eair
e pourlesstructures
deW (F )-modules
surW (F )etW (E )(ladeuxi
eme
provenant de l’extension
desscalaires).
C’estletransfert
de Scharlau
asso
ci
¶
e a s.En
particulier,
on a pourtoutx 2 W (F )
s⁄ (xE )= s⁄ (1)
x:
t que,sin = [E : F ] estimpair,
on peutchoisir
s telque
On montrefacilemen
s⁄ (1)= 1 (pourcela,
on serameneau casmonogenecomme danslad¶
emonstration
de Springer
;siE = F (fi),toutx 2 E s’
¶
ecrit
fx (fi) pourun uniquepolyn
ome fx de
^
degr
¶
e • n ¡ 1;alors
s(x)= coe–cient de T n ¡ 1 dansfx convien
t).Le corollaire
1.5.2
en r¶
esulte
imm ¶
ediatemen
t.
1.6.Exercices
1.6.1(Lam) . | SoitF un corpstelqueF ⁄ =F ⁄2 soit
flnietque¡ 1 2 F ⁄2.Mon trer
queW (F ) estflni.Ce r¶
esultat
subsiste-t-il
sion retire
l’h
ypotheseque¡ 1 2 F ⁄2 ?
1.6.2
. | Mon terque,danslad¶
emonstration
du lemme 1.2.4
, Q (x ¡ y) = 0 est
impossible
sidimV = 2.
1.6.3(Th¶
eoreme de Cartan-Dieudonn¶
e faible)
. | Utiliser
lelemme1.2.4
pour
montrerque,sidimQ = n,touteisom¶
etrie
de Q estproduitd’auplus2n r¶
e exions.
On raisonnera
parr¶
ecurrence
surn.
(Le th¶
eoreme de Cartan-Dieudonn
¶
e remplac
e cetteborneparn.Pourdesd¶
emonstr
ations,
voirJ.Dieudonn
¶
e,Surlesgroupesclassiques
,Hermann,1967,p.20,prop.8,
ou [146,ch.I,x7].)
1.6.EXER CICES
13
1.6.4(D’apres Nek ov¶
a•
r et Oesterl
¶
e [169,2.2.2]
). | Soitu 2 O (Q ). Mon trer
que
det(u)= (¡ 1)rg(1¡ u):
(Soitx telqueQ (x)6
= 0 :montrerquerg(1¡ ux u)= rg(1¡ u)§ 1;conclur
e a l’aide
de l’exer
cic
e pr¶
ec¶
edent.
)
1.6.5
. | Soitq = ha;biuneformebinaire,
etsoit
c 2 D (q).Mon trer
queq ’ hc;abci.
¶
1.6.6*(Equivalencepar
cha^‡nes,cf.[146,ch.I,x5], [196,p.56,Th.2])
Soien
t deuxformes¶
equivalen
tesq = ha1;:::;an i ’ q0 = hb1;:::;bn i.En utilisan
t
laproposition
1.2.2
etleth¶
eoreme desimpli
flcation
deWitt1.2.5
,montrer
qu’il
existe
(i)
(i)
unesuite
q = q1;:::;qr = q0 deformestelles
queqi ’ qi+1 ,qi = ha1 ;:::;an ietque,
(i)
(i+1)
pourun idonn¶
e,ak ne difierede ak
quepourau plusdeuxvaleurs
de k.
P n
2
(On peutsupposern ‚ 3. Raisonner
par r¶
ecurr
ence surn ; ¶
ecrir
e a1 =
i=1 bixi .
2
2
= j.Appliquer
ensuite
l’exer
cic
e
Exclur
e d’ab
ord lecasou bixi + bjxj = 0 pourtouti6
1.6.5a laformehbj;bji ou (i;j) esttelquebix2i + bjx2j 6
= 0.)
CHAPITRE
¶
LA TH EORIE
2
DE PFISTER
2.1.Formes de Pflster
Danslestrois
articles
[177],[176],[178],Pflster
pousselath¶
eorie
deWittbeaucoup
plusloin.
Pourexposersontra
vail,
ilfautintroduirel’
id¶
ealfondamental
(d’augmentation
de W (F ) est
tation)
IF de W (F ).L’augmen
dim :W (F )¡! Z=2
quiestd¶
eflniparcequelesformeshyperboliques
sont de dimension
paire
;IF estle
noyau de dim.
2.1.1.Lemme
a) L’id
¶
ealIF estengendr
¶
e additivement
parlesformesbinair
es
h1;¡ ai; a 2 F ⁄ :
b) La puissanc
e n-i
eme In F := (IF )n estengendr
¶
eeadditivement
parlesproduits
tensoriels
de n formesbinair
es
h1;¡ a1i› ¢¢¢› h1;¡ an i=: hha1 :::;an ii:
D¶
emonstr
ation
a) Ilestclair
que IF estengendr
¶
e additiv
ement par lesformesbinaires
ha;bi,
a;b 2 F ⁄ .On a
ha;bi» h1;ai? ¡ h1;¡ bi:
b) r¶
esulte
imm ¶
ediatemen
t de a).
16
CHAPITRE
¶
2.LA TH EORIE
DE PFISTER
2.1.2.D ¶
eflnition
a)Lesformesde type hha1 :::;an ii sont appel
¶
eesn-formes
de Pflster
;elles
sont de
n
dimension
2 .Une formeq estune formede Pflstersiq estune n-formede Pflster
pourun n convenable.
b)Si’ estuneformedePflster,
elle
repr
¶
esen
te1;laforme’ 0 telle
queh1i? ¡ ’ 0 ’
’ estappel
¶
eeformepure asso
ci
¶
eea ’.
c)On note
S
{ P n (F )l’ensem
bledesclasses
d’isom
¶
etrie
den-formes
dePflster
;P (F )= n P n (F ).
S
{ GP n (F )= f[q]2 W (F )j9 a 2 F ⁄ ;aq2 P n (F )g;GP (F )= n GP n (F ).
2.1.3.R emar que. | On prendragardequelesconventions
utilis
¶
eesicientren
t en
con itavec celles
de Lam [146].La formeque nousnotonshha1;:::;an ii estnot¶
ee
parLam hh¡ a1;:::;¡ an ii;de m ^
eme,laformepureasso
ci
¶
eea uneformede Pflster’
au sensde Lam est¡ ’ 0,ou ’ 0 estlaformepureasso
ci
¶
eea ’ au sensde cecours.
En g¶
en¶
eral,
ilfauttoujours
s’assurer
desconventionschoisies
parl’auteur
en lisan
t
surlesformesquadratiques.
Nous ofironsdeux justi
flcations
pournotre
un article
convention:
{ L’iden
tit
¶
e
(2.1.1)
hha1;:::;an ¡ 1;an bn ii? hha1;:::;an ¡ 1;an ;bn ii» hha1;:::;an ii? hha1;:::;bn ii
n = 1. (En particulier,
lesymbole
quir¶
esulte
imm ¶
ediatemen
t du castrivial
hha1;:::;an ii estmultilin
¶
eair
e mo duloIn +1 F .)
{ La comparaison
aveclacohomologie
galoisienne
(voirchapitre
VI).
On a parfois
besoin
decomparer
l’id
¶
eald’augmen
tation
deW (F )a celui
del’anneau
^
de Witt-Grothendiec
k W (F ) (d¶
eflnition
1.3.4
).La dimension
desformesd¶
eflnitsur
W^ (F ) un homomorphisme
dim :W^ (F )¡! Z:
^ ,etI^n F = (IF
^ )n .L’homomorphisme
Notonssonnoyau IF
W^ (F )! W (F ) induit
n
n
deshomomorphismesI^ F ! I F .
2.1.4.Proposition
. | Ces homomorphismes
sontbije
ctifs
pourtoutn ‚ 1.
D¶
emonstr
ation
. | Ilsu– t de lemontrerpourn = 1.Pourlasurjectivit
¶
e,on remar0
quequeh1i¡ hais’en
voiesurh1;¡ ai.Pourl’injectivit
¶
e,soien
tq;q dem ^
eme dimension
telles
queq ¡ q0 s’en
voiesur0 dansW (F ).Alorsq ? ¡ q0 » 0,doncq ’ q0.
Parabusdenotation,
on¶
ecrira
souventq 2 P n (F )(q 2 GP n (F ):::)pourexprimer
queq estunen-forme
dePflster
(semblable
a unen-forme
dePflster
...).
Lesformesde
Pflster
sontdesobjets
fondamen
tauxdelath¶
eorie
alg
¶
ebrique
desformesquadratique
s.
2.1.F ORMES
DE PFISTER
17
Pourn = 1,laforme’ = h1;¡ ai estlanorme de l’extension
quadratique
A =
p
F ( a) de F .Pourn = 2,’ = hha;bii estlanormer¶
eduite
de l’alg
ebrede quaternions
A = (a;b).Pourn = 3,’ = hha;b;cii estla((norme))de l’alg
ebred’octonions
(non
asso
ciativ
e)A d¶
etermin
¶
eepara;b;c.Dans chaquecas,on a
’(xy)= ’(x)’(y)
pour x;y 2 A . En particulier,
si’(x) 6
= 0 on a ’ ’ ’(x)’ ; en d’autres
termes,
D (’)= G (’).
Quand n ‚ 4, ’ = hha1;:::;an ii corresp
ond a une alg
ebreA d¶
etermin
¶
ee par
a1;:::;an (l’alg
ebredeCayley-Dixon,
cf.Schafer
[189,Ch.III,x4]),maisiln’est
plus
vraique ’(xy) = ’(x)’(y) en g¶
en¶
eral.
N¶
eanmoins,
P flstera d¶
emontr¶
e leth¶
eoreme
remarquable
suiv
ant :
=
2.1.5.Th ¶
eoreme ([176,Theorem2]). | Pour touteformede Pflster’, ’(x) 6
0 ) ’ ’ ’(x)’.En d’autr
estermes,
D (’)= G (’).
Pourd¶
emontrerceth¶
eoreme,nousavonsbesoind’unpeu de pr¶
eparation.
2.1.6.Lemme . | Pour tousa;b;t2 F ⁄ ,on a
hha;bii’ hh¡ab;a + bii;
hha;bii’ hha;(t2 ¡ a)bii:
D¶
emonstr
ation
. | On a,d’apr
eslelemme 1.2.3
h¡ a;¡ bi’ h¡ a ¡ b;ab(¡ a ¡ b)i
d’ou
hha;bii= h1;¡ a;¡ b;abi’ h1;ab;¡ a ¡ b;ab(¡ a ¡ b)i= hh¡ab;a + bii:
D’autre
part,
comme h1;¡ aiv¶
eri
flelacondition
du th¶
eoreme 2.1.5
(voirremarques
lepr¶
ec¶
edant),on a
h1;¡ ai’ (t2 ¡ a)h1;¡ ai
d’ou
h¡ b;abi’ h¡ (t2 ¡ a)b;(t2 ¡ a)abi
et
hha;bii= h1;¡ a;¡ b;abi’ h1;¡ a;¡ (t2 ¡ a)b;(t2 ¡ a)abi= hha;(t2 ¡ a)bii:
2.1.7.Proposition
. | Soit’ = hha1;:::;an ii une n-formede Pflster,
etsoitb 2
0
0
D (’ ), ou ’ estlaformepure asso
ci¶
ee a ’. A lorsilexiste
b2;:::;bn 2 F ⁄ telque
’ ’ hhb1;:::;bn ii.
CHAPITRE
18
¶
2.LA TH EORIE
DE PFISTER
D¶
emonstr
ation
. | On procedeparr¶
ecurrence
surn.Sin = 1,on a b = a1c2 pour
⁄
un c 2 F etl’assertion
est¶
eviden
te.Supposonsn > 1 etsoit¿ = hha1;:::;an ¡ 1ii’
0
h1i? ¡ ¿ ,d’ou
’ 0 = ¿0 ? an ¿:
¶
Ecriv
onsb = x + an y,avecx 2 D (¿0)[ f0g,y 2 D (¿)[ f0g.On distingue
plusieurs
cas:
1)Siy = 0,on a x 6
= 0 etb 2 D (¿0),donc(parr¶
ecurrence)
¿ ’ hhb;b2;:::;bn ¡ 1ii
etdonc’ ’ hhb;b2;:::;bn ¡ 1;an ii.
2)Siy 6
= 0,on montreque’ ’ hha1;:::;an ¡ 1;an yii.Pourcela,
on ¶
ecrit
y = t2 ¡ y0
0
avecy0 2 D (¿ )[ f0g.
a) Siy0 = 0,y = t2 etl’assertion
estclaire.
b) Siy0 2 D (¿0),on a (parr¶
ecurrence)
¿ ’ hhy0;c1;:::;cn ¡ 1ii,donc
’ ’ hhy0;c2;:::;cn ¡ 1;an ii
’ hhy0;c2;:::;cn ¡ 1;(t2 ¡ y0)an ii (lemme2.1.6)
= hhy0;c2;:::;cn ¡ 1;an yii
’ hha1;:::;an ¡ 1;an yii
comme d¶
esir
¶
e.
Six = 0,ona an y = betona flni.
¿ ’ hhx;d2;:::;dn ¡ 1ii,
Six 2 D (¿0),onpeut¶
ecrire
donc
’ ’ hhx;d2;:::;dn ¡ 1;an yii
’ hhx + an y;d2;:::;dn ¡ 1;¡ xan yii (lemme2.1.6)
’ hhb;:::;ii:
ope esthyperb
olique.
2.1.8.Corollair
e. | Une formede Pflster’ isotr
D¶
emonstr
ation
. | Si’ estisotrop
e,1 2 D (’ 0),donc’ ’ hh1;:::;iiquiestclairemen
t
hyperbolique.
¶
D¶
emonstr
ationdu th¶
eoreme 2.1.5
. | Ecriv
ons’(x)= t2 ¡ a,aveca 2 D (’ 0)[ f0g.
0
Sia = 0,l’
¶
enonc
¶
e estclair.
Sia 2 D (’ ),on a d’apr
eslaproposition
2.1.7
’ ’ hhaii› ¿
pouruneforme(dePflster
) ¿ convenable.
Alors
’(x)’ = (t2 ¡ a)hhaii¿ ’ hhaii¿ ’ ’
puisque
hhaii estm ultiplicativ
e.
2.1.9.Corollair
e. | Deux formesde Pflstersemblables
(d¶
eflnition
1.1.10
) sont
isom¶
etriques.
2.1.F ORMES
DE PFISTER
19
D¶
emonstr
ation
. | En efiet,si’;’ 0 sontdeuxformesde Pflster
eta 2 F ⁄ esttelque
0
0
0
0
a’ ’ ’ ,alors
1 2 D (’)) a 2 D (’ ),donc’ ’ a’ parleth¶
eoreme 2.1.5
.
2.1.10.Corollair
e. | Soit’ 2 P (F ).A lors,
pourtouta 2 D (’) etb 2 F ⁄ ,
a) ’ › hhaii» 0;
b) ’ › hhabii’ ’ › hhbii.
D¶
emonstr
ation
. | a)r¶
esulte
imm ¶
ediatemen
t du th¶
eoreme 2.1.5
;b) r¶
esulte
de a)et
de l’iden
tit
¶
e (2.1.1)
.
2.1.11.Corollair
e. | Soitq une formequadr
atique
de dimension
> 1 surF , et
soit’ 2 P n (F ).Supposonsqueq › ’ soitisotr
ope.A lors
a) Ilexiste
une formeisotr
ope q0 tel
lequeq › ’ ’ q0 › ’.
b) La partie
anisotr
ope de q › ’ estde laforme‰ › ’.
c) L’indic
e de q › ’ estun multiple
de 2n .
D¶
emonstr
ation
a) Si ’ estisotrop
e,elleesthyperbolique
et ler¶
esultat
estclair.
Supposons’
¶
anisotrop
e. Ecriv
ons q ’ ha1;:::;an i. Par hypothese,ilexiste
b1;:::;bn 2
D (’)[ f0g telque
a1b1 + ¢¢¢+ an bn = 0
aveclesbi non tousnuls.
Sanspertedeg¶
en¶
eralit
¶
e,on peutsupposerb1;:::;br 2
D (’) etbr+1 = ¢¢¢= bn = 0 (0< r • n).Posons
q0 = ha1b1;:::;arbr;ar+1 ;:::;an i:
Alorsq0 estisotrop
e,et
q0 › ’ ’ a1b1’ ? ¢¢¢? arbr’ ? ar+1 ’ ? ¢¢¢? an ’
’ a1’ ? ¢¢¢? ar’ ? ar+1 ’ ? ¢¢¢? an ’ ’ q › ’:
b) Soitq0 comme en a),avecm = i(q0) maximal.On peut¶
ecrire
q › ’ ’ (m H ? ‰)› ’ » ‰ › ’
et‰ › ’ estanisotrop
e d’apr
esa).
c) R ¶
esulte
de b).
CHAPITRE
20
¶
2.LA TH EORIE
DE PFISTER
2.2.Applications
aux sommes de carr¶
es; leniveau d’un corps
Le th¶
eoreme 2.1.5
g¶
en¶
eralise
desr¶
esultats
de[177],ou Pflster
¶
etudie
lenive
au d’un
corpsF .Pard¶
eflnition,
leniveaude F estlepluspetit
entier
s(F ) telque ¡ 1 soit
une somme de s(F ) carr
¶
esde F .Siun telentier
n’existe
pas,on poses(F ) = + 1 .
On a ler¶
esultat
classique
d’Artin-Sc
hreier
:
2.2.1.Th ¶
eoreme . | s(F )= + 1 sietseulement
siF peut^
etr
e muni d’unestructur
e de corpsordonn¶
e.On ditalors
queF estformellemen
t r¶
eel
.
2.2.2.Th ¶
eoreme ([177]). | Sis(F ) estflni,ilest¶
egala une puissanc
e de 2.
D¶
emonstr
ation
. | Posonss = s(F );soit
n l’en
tier
telque2n • s < 2n +1 .Posons
’ = hh¡ 1ii› n :
La d¶
eflnition
de s implique
qu’il
existe
x;y,avecy 6
= 0,tels
que’(x)= ¡ ’(y).On
a ’(y)6
= 0,sansquoion aurait
s < 2n .Parcons
¶
equen
t
¡1=
’(x)
2 D (’)
’(y)
d’apr
esleth¶
eoreme 2.1.5
.On a doncs • 2n .
tssurl’anneau
W (F ).RapOn va en proflterpourobtenir
quelques
renseignemen
pelonsque,siA estun groupe ab¶
elien,
l’
exposantde A estlepluspetit
entier
m > 0
telquemA = 0 (ou+ 1 siun telentier
n’existe
pas).
2.2.3.Proposition([176,Satz6])
a) L’exp
osantde W (F ) est2s(F ).
b) Sis(F ) < + 1 ,tout¶
el
¶
ementde IF estnilp
otent.
En particulier,
W (F ) estun
anneau locald’id
¶
ealmaximalIF .
D¶
emonstr
ation
a) L’exp
osantdu groupe additif
d’unanneauest¶
egale
a l’ordre
del’
¶
el
¶
ementunit
¶
e.
Comme s = s(F ) estunepuissance
de 2,ilsu–t de montrer:
{ sh1i6
» 0;
{ 2sh1i» 0.
La premiereassertion
r¶
esulte
de lad¶
eflnition
de s; pour ladeuxi
eme,on
remarqueque (s + 1)h1i estune sous-forme
isotrop
e de laformede Pflster
2sh1i,quiestdonchyperbolique
parlecorollaire
2.1.8
.
b) Pourtouteformeq = ha1;:::;an i de dimension
n,on a
q › q ’ h1;:::;1i? ? haiaji’ h1;:::;1i? ’ ? ’
| {z }
| {z }
i6
=j
n
n
2.2.APPLICA TIONS
A UX SOMMES
¶ ; LE NIVEA U D’UN CORPS
DE CARR ES
21
avec
’ = ? haiaji:
i<j
2
Siq 2 IF ,on a doncq 2 2W (F ),d’ou
q2r 2 2rW (F ) pourtout r > 1:
La nilp
otencede q r¶
esulte
doncde a).La derni
ereassertion
en r¶
esulte.
Pour F quelconque,
un ¶
el
¶
ement de torsion
de W (F ) esttoujours
de torsion
2primaire
;plusg¶
en¶
eralemen
t,tout¶
el
¶
ement de W (F )n IF estnon diviseur
de 0 dans
l’anneau
W (F ) [178,Satz11]
,cf.corollaire
3.3.4
ci-dessous
(c’est
clair
siF n’est
pas
ordonnable
d’apr
eslaproposition
2.2.3
).Finalemen
t,lespectr
e deW (F )estconnu :si
F n’est
pasordonnable,
laproposition
2.2.3
montrequeleseulid¶
ealpremier
deW (F )
»
estIF .SiF estordonn
¶
e maximal,lasignature
induit
un isomorphisme
W (F ) ! Z
(th¶
eoreme d’inertie
de Sylv
ester).
SiF estordonnable,
toutordrev surF d¶
eflnit
un plongemen
t de F dansun corpsordonn
¶
e maximalF v ,d’ou un homomorphisme
’v
W (F ) ! W (F v ) ’ Z.Le noyau pv de ’ v estun id¶
que
ealpremierde W (F ),ainsi
pv;p = ’ ¡v 1(pW (F v ))pourtoutnombrepremierp.(Noterque pv;2 = IF pourtout
v.)R ¶
ecipro
quement :
ht [151], Harrison)
. | SiF estordonnable,
tout
2.2.4.Th ¶
eoreme (Lorenz-Leic
id¶
ealpremierde W (F ) estde laformepv;p pourun couple(v;p) convenable
(p = 0
si
ou un nombre premier).
De plus,
pv;p = pv0;p0 sietseulement
{ soitp = p0 = 2;
{ soitv = v0,p = p0.
(SpecW (F ) estun ((bouquet
))d’exemplair
esde SpecZ, param ¶
etr
¶
espar lesordres
de F etrecoll¶
esauxpoints-b
ases(2)
.)
D¶
emonstr
ation
. | Soitp un id¶
ealpremierde W (F ),etsoitp lacaract
¶
eristique
du
⁄
corpsdesfractions
de W (F )=p.Supposonsd’abordp = 2.Pourtouta 2 F ,on a
hai2 = h1i;parcons
¶
equenthai· 1 (mod p)et,pourtouteformequadratique
q,on a
q · dimq (mod p).Ilen r¶
esulte
quep = IF .Supposonsmaintenan
tp 6
= 2.Notons
P = fa 2 F ⁄ jhai· 1 (mod p)g:
Mon tronsque P estl’ensem
bledes¶
el
¶
ementspositifs
pourune structure
de corps
ordonn
¶
e surF .Ilfautv¶
eri
flerqueP eststable
paraddition
etm ultiplication
etque
F ⁄ = P [ ¡ P . Ilestclair
que P eststable
parm ultiplication.
Pourtouta 2 F ⁄ ,
on a hai2 = 1,donchai · § 1 (mod p),doncF ⁄ = P [ ¡ P .Enfln,sia;b 2 P ,le
lemme 1.2.3
implique
que2ha + bi· 2 (mod p),doncquea + b 2 P .
Soien
t v l’ordre
corresp
ondant a P etF v un corpsordonn
¶
e maximalasso
ci
¶
e a v.
Siq = ha1;:::;an i2 pv ,on a r = s,ou r (resp.
s) estlenombrede ai appartenan
ta
CHAPITRE
22
¶
2.LA TH EORIE
DE PFISTER
P (resp.
a ¡ P ).Parcons
¶
equent,pv ‰ p,d’ou l’ond¶
eduitfacilemen
t quep = pv;p.De
plusl’argumen
t montreque,sipv;p = pv0;p0,on a v = v0 (etp = p0).
Dans [179],Pflsterapplique
sesr¶
esultats
au 17eme probl
eme de Hilb
ert:siR est
un corpsordonn
¶
e maximaletsif 2 R (T1;:::;Tn ) estune fonction
rationnelle
telle
n
que f(a1;:::;an ) ‚ 0 pourtout(a1;:::;an ) 2 R telque f(a1;:::;an ) soitd¶
eflni,
alors
f estsomme de 2n carr
¶
esdansR (T1;:::;Tn ).(E.Artinavaitd¶
eja obten
u quef
estsomme de carr
¶
es.)
P ourdesd¶
emonstrations
¶
el
¶
egantesde touscesr¶
esultats,
nous
renvoyonsa [146,ch.X etXI].
2.3.Formes de Pflster li
¶
ees
2.3.1.D ¶
eflnition
. | Soien
t ’ 1;’ 2 deux formesde Pflster
. On ditque ’ 1 et’ 2
sont r-li
¶
eess’il
existe
uner-formede Pflster¿ etdeuxformesde Pflster̂ 1;ˆ 2 telles
que’ 1 ’ ¿ › ˆ 1,’ 2 ’ ¿ › ˆ 2.On ditque’ 1 et’ 2 sont li
¶
eessi’ 1;’ 2 2 P n (F ) et
r = n ¡ 1.
2.3.2.Th ¶
eoreme (cf.Elman-Lam [49,th.4.5]
). | Soient
’ 1;’ 2 deuxformesde
Pflsteranisotr
opesetsoient
a1;a2 2 F ⁄ .A lorsi(a1’ 1 ? a2’ 2)= 0 ou 2r,ou r estle
plusgrand entier
telque’ 1 et’ 2 soient
r-li
¶
ees.
Pourd¶
emontrerceth¶
eoreme,on a besoin
delag¶
en¶
eralisation
suiv
antedelaproposition
2.1.7
:
2.3.3.Proposition
. | [49,th.2.6]Soient’ 2 P r(F ),ˆ 2 P s(F ) deuxfor
mes de
0
0
il
ci¶
eea ’.Sia 2 D (ˆ › ’),alors
Pflster
,avec s > 1,etsoit̂ laformepure asso
existe
¿ 2 P (F ) telqueˆ › ’ ’ hhaii› ¿ › ’.
D¶
emonstr
ation
.| R¶
ecurrence
surs.Sis = 1,alorŝ ’ hhbii eta 2 D (b’),c’estadireab2 D (’).Parlecorollaire
2.1.10
,on a donc
hhaii› ’ ’ hhbii› ’:
Supposonsmaintenan
t s > 1 etposonsˆ ’ hhbii› ˆ 1.Soit̂ 10 laformepureasso
ci
¶
ee
a ˆ 1.On a donc
ˆ 0 › ’ ’ bˆ 1 › ’ ? ˆ 10 › ’:
¶
Ecriv
ons
a = bx+ y avec x 2 D (ˆ 1 › ’)[ f0g;y 2 D (ˆ 10 › ’)[ f0g:
Supposonsd’abordx;y 6
= 0.On procedeen deux¶
etapes:
1)
ˆ › ’ ’ hhbii› ˆ 1 › ’ ’ hhbxii› ˆ 1 › ’
parlecorollaire
2.1.10
.
¶
2.4.TH EOR
EMES
DE CASSELS-PFISTER
23
2)Parr¶
ecurrence,
ilexiste
¿1 2 P s¡ 2(F ) telque
(2.3.1)
ˆ 1 › ’ ’ hhyii› ¿1 › ’:
D’apr
es1)etlelemme 2.1.6
,on a donc
ˆ › ’ ’ hhbx;yii› ¿ › ’ ’ hha;¡ bxyii› ¿1 › ’:
Siy = 0,on a a = bxet1)donnelaconclusion.
Six = 0,alors
a = y ethhbii› (2.3.1)
donnelaconclusion.
D¶
emonstr
ationdu th¶
eoreme 2.3.2
. | Soien
t ¿ 2 P r(F ), ˆ 1;ˆ 2 2 P (F ) telles
que
’ 1 ’ ¿› ˆ 1,’ 2 ’ ¿› ˆ 2,avecr maximal.Sia1’ 1 ? a2’ 2 estanisotrop
e,iln’ya rien
a d¶
emontrer.
Supposonscette
formeisotrop
e.Ilexiste
doncb 2 D (a1’ 1)\ D (¡ a2’ 2);
autremen
t dit,
a1b 2 D (’ 1) et¡ a2b 2 D (’ 2).Alors
a1’ 1 ’ b’ 1; a2’ 2 ’ ¡ b’ 2:
Sanspertede g¶
en¶
eralit
¶
e,on peutdoncsupposera1 = 1,a2 = ¡ 1.On a
’ 1 ? ¡ ’ 2 » ¿ › (ˆ 20 ? ¡ ˆ 10)
ou ˆ 10 etˆ 20 sont lesformespuresasso
ci
¶
eesa ˆ 1 etˆ 2.On a
dim(’ 1 ? ¡ ’ 2)¡ dim(¿ › (ˆ 20 ? ¡ ˆ 10))= 2r+1 :
e.Supposonsle
Toutrevien
t donca montrerque ¿ › (ˆ 20 ? ¡ ˆ 10) estanisotrop
0
0
2.3.3
,on d¶
eduitalors
contraire.
Soita 2 D (¿ › ˆ 1)\ D (¿ › ˆ 2).De laproposition
que’ 1 et’ 2 sont r + 1-li
¶
ees
,cequicontredit
lamaximalit
¶
e de r.
2.4.Th ¶
eoremes de Cassels-Pflster
Dans [39],Cassels
d¶
emontreque sif 2 F [T ]estsomme de n carr
¶
esdansF (T ),
alors
ilestsomme den carr
¶
esdeF [T ].Dans[176],Pflster
g¶
en¶
eralise
ceth¶
eoreme.Pour
¶
enoncer
cette
g¶
en¶
eralisation,
disons
qu’uneformequadratique
(V;q)surF repr¶
esente
a surA ,ou A estuneF -alg
ebrecomm utativ
e eta 2 A ,s’il
existe
x 2 A › F V telque
q(x)= a (x 6
= 0 sia = 0).
Commen »
consparun lemme ¶
el
¶
ementaire
:
2.4.1.Lemme . | SoientK =F une extension
transcendantepure,etq une forme
quadr
atique
surF .A lorsi(q)= i(qK ).
D¶
emonstr
ation
. | En efiet,on peutser¶
eduirea K = F (T ). Ilsu– t de montrer
que,siqK estisotrop
e,alors
q estisotrop
e.Supposonsque q(f1;:::;fn ) = 0 pour
(f1;:::;fn )2 K n n(0;:::;0).On peutm ultiplier
lesfi parun polyn
ome g telqueles
^
gfi soien
tdespolyn
omessansfacteur
^
comm un.En particulier,
ona (f1(0)
;:::;fn (0))6
=
(0;:::;0)etq(f1(0)
;:::;fn (0))= 0.
24
CHAPITRE
¶
2.LA TH EORIE
DE PFISTER
2.4.2.Th ¶
eoreme (Cassels-Pflster,
[176,Satz1]). | Soient
q uneformequadr
atique
surF etf 2 F [T ]¡ f0g.Siq repr¶
esente
f surF (T ),alors
q repr¶
esente
d¶
eja f
surF [T ].
D¶
emonstr
ation
. | On peutsupposerq anisotrop
e (sinon,
on ¶
ecrit
q » H ? q0,etf
¶
est¶
evidemmen
t repr
¶
esen
t¶
e parH surF [T ]).Ecriv
ons
q = ha1;:::;an i:
Parhypothese,
ilexiste
f0;f1;:::;fn 2 F [T ]telque
fn 2
f1 2
+ ¢¢¢+ an
= f:
f0
f0
Choisissons
lesfi de fa»
conquedegf0 soit
minimal.
Ilfautmontrerquedegf0 = 0.
On raisonne
parl’absurde.
L’hypotheseimplique
que f0 ne divise
pastouslesfi
(i> 0).Posons
a1
’ = h¡ f;a1;:::;an i:
La forme’ estd¶
eflniesurF (T ).On a
’(f0;f1;:::;fn )= 0:
¶
Ecriv
ons fi = f0gi + ri avec degri < degf0. Posonsx = (f0;:::;fn ), y =
(g0;:::;gn ) et
z = ’(y)x ¡ 2•
’(x;y)y:
Un calcul
facile
montreque’(z)= 0.Siz = (h0;:::;hn ),on a
1 X
airi2
h0 =
f0
d’ou
degh0 • 2maxfdegrig ¡ degf0 < degf0:
Comme lesri sont non tousnuls,on a h0 6
= 0 d’apr
eslelemme 2.4.1
.Maisceci
contredit
laminimalit
¶
e de degf0.
2.4.3.Corollair
e. | Soientq une formesurF ,n ‚ 1 etf 2 F (T1;:::;Tn ).Supposonsqueq repr¶
esente
f surF (T1;:::;Tn ).A lorsq repr¶
esente
f(a1;:::;an ) surF
pourtout(a1;:::;an )2 F n telquef(a1;:::;an ) soitd¶
eflniet6
= 0.
¶
D¶
emonstr
ation
. | Ecriv
onsf = g=h, ou g;h 2 F [T1;:::;Tn ]. Quittea remplacer
2
f par gh = fh , on peutsupposerque f 2 F [T1;:::;Tn ]. Par leth¶
eoreme 2.4.2
,
q repr
¶
esen
te f surF (T1;:::;Tn ¡ 1)[
Tn ]; alorsq repr
¶
esen
te f(T1;:::;Tn ¡ 1;an ) sur
F (T1;:::;Tn ¡ 1).On termine
parr¶
ecurrence
surn.
2.4.4.Th ¶
eoreme (Deuxieme th¶
eoreme de repr¶
esentation,
[176,Satz2])
Soientq = ha1;:::;an i une formeanisotr
ope surF (n ‚ 2), q0 = ha2;:::;an i et
d 2 F ⁄ .A lorsd 2 D (q0), d + a1T 2 2 D (qF (T )).
¶
2.4.TH EOR
EMES
DE CASSELS-PFISTER
25
Siq estisotrop
e,ler¶
esultat
estfauxen g¶
en¶
eral.
D¶
emonstr
ation
. | La n¶
ecessit
¶
e estclaire,
puisqueha1i repr
¶
esen
tea1T 2 surF (T ).
2
Supposonsd + a1T 2 D (qF (T )).Parleth¶
eoreme 2.4.2
,ilexiste
f1;:::;fn 2 F [T ]tel
que
d + a1T 2 = a1f12 + ¢¢¢+ an fn2:
L’anisotropie
deq entra
^‡nefacilemen
t(enregardan
tlescoe–cientsdominants)que
degfi • 1 pourtouti.En particulier,
on peut¶
ecrire
f1 = a + bT poura;b 2 F .Soit
c lasolution
de l’
¶
equation
a + bc= c.Alors
Xn
2
2
aifi(c)2
d + a1c = a1c +
etd 2 D (q0).
i=2
2.4.5.Corollair
e. | Supposonss(F )‚ n.Soitd 2 F ⁄ .Sid + T 2 estsomme de n
carr¶
esde F (T ),alors
d estsomme de n ¡ 1 carr¶
esdansF .
passomme
2.4.6.Corollair
e. | Supposonss(F )‚ n.A lors1+ T12 + ¢¢¢+ Tn2 n’est
de n carr¶
esdansF (T1;:::;Tn ), etT12 + :::Tn2+1 n’estpas somme de n carr¶
esdans
F (T1;:::;Tn +1 ).
D¶
emonstr
ation
.| R¶
ecurrence
surn,ennotan
tques(F )= s(F (T ))d’apr
eslelemme2.4.1
.
Le corollaire
2.4.6
s’applique
notamment a F = R .
2.4.7.Scholie
. | SiV estun espacevectoriel
de dimension
flniesurF ,on note
L
n
n
F (V )lecorpsdesfractions
de n ‚ 0 S (V ),ou S (V )estlapuissance
sym¶
etrique
nieme deV .Le choixd’unebase(e1;:::;en )deV iden
ti
fleF (V )au corpsdesfractions
rationnelles
surlesind¶
etermin
¶
ees(e1;:::;en ).
En termesde g¶
eom¶
etrie
alg
¶
ebrique,
lecorpsF (V ) n’estautreque lecorpsdes
fonctions
de lavari
¶
et¶
e a–ne V telle
que V (F ) = V ⁄ , ou V ⁄ estledualde V . En
particulier,
soit(V;q) une formequadratique.
Alorsq peut^
etreconsid
¶
er¶
e comme
¶
el
¶
ement de S 2(V ⁄ ),donccomme ¶
el
¶
ement de F (V ⁄ ).Soit(T1;:::;Tn ) labaseduale
d’unebase(e1;:::;en ) de V .AlorsF (V ⁄ )’ F (T1;:::;Tn ).On a ¶
evidemmen
t
q = q(T1;:::;Tn )2 D (qF (V ⁄ )):
2.4.8.Th ¶
eoreme (Troisi
eme th¶
eoreme de repr¶
esentation,
[176,Satz3])
Soientq;’ deuxformesquadr
atique
s surF , avec q anisotr
ope.SoientV l’esp
ace
⁄
vectoriel
sous-jac
enta ’ etK = F (V ),de sorteque’ peut^
etr
e vu comme ¶
el
¶
ement
de K (cf.scholie
2.4.7
).A lors’ 2 D (qK ), ’ • q.
D¶
emonstr
ation
. | La su– sanceestclaire,
puisqu’on
a ’ 2 D (’ K )d’apr
eslescholie
2.4.7
.
Pour lan¶
ecessit
¶
e,on raisonne
par r¶
ecurrence
surm = dimq. Si m = 0, iln’ya
riena d¶
emontrer.
Sim > 0, on ¶
ecrit
’ = hb1;:::;bn i. Par hypothese,K ⁄ 3 ’ =
CHAPITRE
26
¶
2.LA TH EORIE
DE PFISTER
b1T12 + ¢¢¢+ bn Tn2 2 D (qK ) (pourlechoixd’unebasede V ).Parlecorollaire
2.4.3
,
¶
on a doncb1 2 D (q).Ecriv
onsq ’ hb1i? q0,’ ’ hb1i? ’ 0.Soien
t W lesous-espace
de V sous-jacen
t a ’ 0,L = F (W ⁄ ) etconsid
¶
erons’ 0 comme ¶
el
¶
ement de L ⁄ .On a
b1T12 + ’ 0 2 D (qK )
d’ou ’ 0 2 D (qL0 ) d’apr
esleth¶
eoreme 2.4.4
.Parr¶
ecurrence,
on en d¶
eduit
’ 0 • q0
d’ou ’ • q.
Nous pouvonsmaintenan
t d¶
emontrerune r¶
ecipr
oquedu th¶
eoreme 2.1.5
.Donnons
d’aborduned¶
eflnition
:
2.4.9.D ¶
eflnition
. | Une formequadratique
’ estmultiplic
ativesielle
v¶
eri
fle la
condition
suiv
ante:
Soien
t V l’espace
vectoriel
sous-jacen
ta ’,K = F (V ⁄ £ V ⁄ ),a = (’;0)2
⁄
⁄
K ,b = (0;’)2 K .Alorsab2 D (’ K ).
Soit(T1;:::;Tn ) unebasede V ⁄ ,de sorte
queK = F (U 1;:::;U n ;V1;:::;Vn ) avec
U i = (Ti;0)etVi = (0;Ti).La propri
¶
et¶
e ci-dessus
exprimealors
l’existence
d’¶
el
¶
ements
f1;:::;fn 2 K telque
’(U 1;:::;U n )’(V1;:::;Vn )= ’(f1;:::;fn ):
atique
anisotr
ope surF .Lescondi2.4.10.Th ¶
eoreme . | Soit’ une formequadr
tions
suivantes
sont¶
equivalentes
:
(i)’ estmultiplic
ative.
(ii)
Pour touteextension
K =F,D (’ K ) estun sous-gr
oupe de K ⁄ .
(iii)
Pour touteextension
transc
endantepure K =F, D (’ K ) estun sous-gr
oupe
⁄
de K .
(iv)’ estune formede Pflster
.
D¶
emonstr
ation
. | (iv)
) (ii)
r¶
esulte
du th¶
eoreme 2.1.5
; (ii)
) (i)et (ii)
) (iii)
sont
¶
eviden
ts;(i)
) (ii)
r¶
esulte
du corollaire
2.4.3
(appliqu
¶
e surK ,en remarquan
t quesiq
estm ultiplicativ
e,elle
reste
m ultiplicativ
e surtouteextension
de F ).
Ilreste
a d¶
emontrer(iii)
) (iv).
Soitn = dimq,etsoitm leplusgrandentier
tel
queq contienne
unesous-forme
isom¶
etrique
a unem -formede Pflster
.On va montrer
quen = 2m .Raisonnons
parl’absurde
en supposant m > 2n .SoitP m (F ) 3 ’ • q;
¶
ecriv
ons
q ’ ’ ? q0:
SoitK = F (V ⁄ £ V ⁄ ),ou V estl’espace
vectoriel
sous-jacen
t a ’.Par(iii)
) (i)
(appliqu
¶
e a ’),ilexiste
unerelation
’(U )’(V )= ’(f)
2.5.EXER CICES
27
ou f 2 K › F V .Soita 2 D (q0).SurK ,on a
06
= ’(U )+ a’(V )=
’(f)
f
+ a’(Y )= ’(Y )(’(
)+ a):
’(V )
’(Y )
Lesdeuxfacteurs
de droite
appartiennen
t a D (qK ).Puisqueq estm ultiplicativ
e,
on a donc
’(U )+ a’(V )2 D (qK ):
Maisleth¶
eoreme 2.4.8
entra
^‡nealors
queq ‚ ’ ? a’ 2 P m +1 (F ),cequicontredit
lamaximalit
¶
e de m .
Le m ^
eme raisonnemen
t donne:
2.4.11.Proposition
. | Soient’ • ˆ deuxformesde Pflster.
A lorsilexiste
une
formede Pflster¿ tel
lequeˆ ’ ’ › ¿.
D¶
emonstr
ation
.| R¶
ecurrence
surdimˆ ¡ dim’,qu’onpeutsupposer> 0.Soien
tq
telle
queˆ ’ ’ ? q eta 2 D (q).Le raisonnemen
tdu th¶
eoreme pr¶
ec¶
edentmontreque
’ › h1;ai• ˆ.
2.5.Exercices
2.5.1
. | Mon trerqu’uneformeanisotrop
e de dimension
4 estde Pflstersietseulement sielle
repr
¶
esen
te1.
2.5.2
. | Pourtouteformequadratique
q surun corpsF ,on noteD 2(q) = fab j
a;b 2 D (q)g.
a)On a a 2 D 2(q) sietseulemen
t silaformeq ? ¡ aq estisotrop
e.
b)On a D 2(aq)= D 2(q) pourtouta 2 F ⁄ .
c)On a G (q)‰ D 2(q) etG (q)D 2(q)‰ D 2(q).
d)Siq • q0,on a D 2(q)‰ D 2(q0).
e.Mon trerqueq estsemblable
a uneformede Pflster
si
e)On supposeq anisotrop
etseulemen
t si,
pourtouteextension
K =F,on a G (qK )= D 2(qK ).
2.5.3(Witt). | Pourtouteformeq ettouta 2 F ⁄ ,montrerqueG (q)+ aG (q) ‰
G (q ? aq).
2.5.4(Witt). | Une formeq estrondesiG (q)= D (q).Soitq uneformeronde.
a)On a q2 ’ (dimq)q.
b)Siq estisotrop
e,elle
esthyperbolique.
c)Si’ estuneformede Pflster,
q › ’ estronde.
(Utiliser
l’exer
cic
e 2.5.3.
)
d)Sin = dimq estimpair,
alors
q ’ nh1i.Sideplusn ‚ 3,alors
F estordonnable
ettoutesomme de carr
¶
esde F estun carr
¶
e (onditqueF estpythagoricien).
¶
e)Ecriv
onsq = h1i? ˆ.Siha;bi• q,alors
ab2 D (ˆ).
(Voir[224,p.35]pourplusde d¶
etails
etdesapplications
a lastructure
de W (F ).)
CHAPITRE
CORPS
DE FONCTIONS
3
DE QUADRIQUES
3.1.Corps de fonctions
Consid
¶
eronsune formequadratique
(V;q) de dimension
n ‚ 3.SoitV lavari
¶
et¶
e
⁄
q(x) = 0 d¶
eflnitune hypervectoriel
dualV .L’¶
equation
a–ne asso
ci
¶
ee a l’espace
(1)
surface
a–ne g¶
eom¶
etriquemen
t irr
¶
eductible
dansV ’ A nF ainsi
qu’unehypersurfaceprojectiv
e g¶
eom¶
etriquemen
t irr
¶
eductible
dansP (V ) ’ P Fn ¡ 1 (puisque
q esthomogene).La premiereestde dimension
n ¡ 1 etladeuxi
eme de dimension
n ¡ 2.
Nous allons
nousint¶
eresser
aux corpsdesfonctions
de cesquadriques.
L’unestextension
trans
cendantepurede degr
¶
e 1 de l’autre
;iln’est
doncpastresdifi¶
eren
t de
consid
¶
ererl’unou l’autre
de cescorps.
P ourflxerlesid¶
ees,nousnoterons
F (q) le
q = 0.Ilestclair
que,
de laquadrique
proje
ctive
X q d’¶
equation
corpsdesfonctions
sia 2 F ⁄ , alors
F (q) = F (aq), etque q ’ q0 ) F (q) ’ F (q0) comme extensions
de F .Siq = h1i ? ¡ q0,lepolyn
ome 1 ¡ q0(t2;:::;tn ) estirr
^
¶
eductible
(prop
osition
0
1.1.14
),doncl’anneau
F [t2;:::;tn ]=(1¡ q (t2;:::;tn ))estintegre,
ou t2;:::;tn sont
decetanneau.
Siq = h1;¡ ai? ¡ q00,
desind¶
etermin
¶
ees;F (q)estlecorpsdesfractions
avecdimq00 = n ¡ 2,on a
p
(3.1.1)
;tn ) ]:
F (q)= F (t3;:::;tn )[ a+ q00(t3 ;:::
Parcons
¶
equent,F (q) estuneextension
quadratique
de F (t3;:::;tn ).
Avec un peu de prudence,
on peutd¶
eflnirF (q) ¶
egalemen
t pourn = 2.Dans ce
cas,X q estde dimension
0.Siq = h1;¡ ai,cette((quadrique
))estirr
¶
eductible
siet
p
seulemen
tsia 2= F ⁄2,etalors
F (q)= F ( a).Sia 2 F ⁄2,on a q ’ H ;X q admetdeux
‘
composantesSpecF SpecF etF (q)= F £ F .
3.1.1.Proposition
(1)C’esta-dire
quiresteirr
¶
eductible
surlacl^
otures¶
eparable
de F .
CHAPITRE
30
3.CORPS
DE F ONCTIONS
DE QUADRIQUES
a) qF (q) estisotr
ope.
b) L’extension
F (q)=F esttranscendantepure sietseulement
siq estisotr
ope.
D¶
emonstr
ation
. | a) estclair,
puisquelepoint g¶
en¶
erique
de X q estun z¶
erode q
rationnel
surF (q).Pourprouverb),siq estisotrop
e on peut¶
ecrire
q ’ H ? ¡ q0
¶
(th¶
eoreme 1.2.9
).Ecriv
onsH = T1T2.Alorsl’
¶
equation
de X q s’
¶
ecrit
T1T2 = q0(T3;:::;Tn )
ou
T2=T1 = q0(T3=T1;:::;Tn =T1):
Posantti = Ti=T1,F (q)estlecorpsdesfractions
deF [t2;:::;tn ]=(t2¡ q0(t3;:::;tn )),
quiest¶
evidemmen
t isomorphe
a F (t3;:::;tn ).La r¶
ecipro
quer¶
esulte
dea)etdu lemme
2.4.1
.
Rappelonsla
ef.2]). | Une extension
K =F estr¶
eguli
ere si,
3.1.2.D ¶
eflnition([32,ch V, x17,d¶
pourtouteF -alg
ebrecomm utativ
e integreA ,laK -alg
ebreK › F A estintegre.
SiK =F estuneextension
r¶
eguli
ere,
en particulier
laK -alg
ebreK › F E estintegre
pourtouteextension
E =F ;soncorpsdesfractions
estnot¶
e K E etappel
¶
e lecompos¶
e
de K etE (surF ).
3.1.3.Proposition([32,ch.V, x17,prop.9]). | SoitF„ une cl^
otur
e alg
¶
ebrique
de
F .Une extension
K =F estr¶
eguli
ere sietseulement
sil’anne
au F„ › F K estint
egr
e.
SiK estlecorpsdesfonctions
d’unevari
¶
et¶
e g¶
eom¶
etriquemen
t irr
¶
eductible,
alors
l’extension
K =F estr¶
eguli
ere.
En particulier
:
3.1.4.Proposition
. | Soitq uneformequadr
atique
de dimension
‚ 3.A lorsl’extension
F (q)=F estr¶
eguli
ere.
Voici
unepreuv
e quine mentionne
pasde g¶
eom¶
etrie
alg
¶
ebrique
:laformule(3.1.1)
montrequeE › F F (q) = E (q) pourtouteextension
E de F ,en particulier
c’est
un
corpspourE = F„.
3.2.Formes devenant hyperboliquessur lecorpsdes fonctions
d’une quadrique
Consid
¶
eronsleprobl
eme suiv
ant : soien
t q;’ deux formesquadratique
s surF .
Quand ’ devien
t-elle
hyperbolique
surF (q)?
Siq estisotrop
e,ilestn¶
ecessaire
etsu–sant que’ soitd¶
eja hyperbolique,
parla
proposition
3.1.1
etlelemme 2.4.1
.Siq estanisotrop
e,une r¶
eponsecompleten’est
pasconnue;n¶
eanmoinsilexiste
une condition
n¶
ecessaire
importan
te,quidonneune
3.2.F ORMES
DEVENANT
HYPERBOLIQUES
31
r¶
eponsecompletesiq estuneformedePflster
.Commen »
consparlecasdimq = 2.On
a alors
un r¶
esultat
plusg¶
en¶
eral:
3.2.1.Proposition
. | Soient
a 2 F ⁄ nF ⁄2 et’ une formeanisotr
ope surF .Supe 1.2.13
).A lors’ ’ h1;¡ ai› ‰ ? ’ 0
posonsquei(’ F (p a )) ‚ m > 0 (voircorollair
avec dim‰ = m etdim’ 0 = dim’ ¡ 2m .
D¶
emonstr
ation
. | Notonsqueh1;¡ aiF (p a ) » 0;parsuite,
enraisonnan
tparr¶
ecurrence
surm , ilsu– t de traiter
lecasm = 1. SoitV l’espace
sous-jacen
t a ’, et soit
p
p
¶
onsx = 1 › x1 + a › x2,avecx1;x2 2 V .
x 2 F ( a)› F V telque’(x) = 0. Ecriv
Alors
p
’(x)= ’(x1)+ ’(
• x1;x2)
a
+ a’(x2)= 0
d’ou
’(x1)+ a’(x2)= 0
’(
• x1;x2)= 0:
La deuxi
eme ¶
equation
ditquex1 etx2 sontorthogonaux
;alors
lapremiere¶
equation
implique
que ’ jW ’ ’(x2)h1;¡ ai, ou W estlesous-espace
engendr
¶
e par x1 et
x2. Comme W estnon d¶
eg¶
en¶
er¶
e (puisqu’anisotrop
e),on a V = W ? W ? par le
lemme 1.1.5
.
3.2.2.Proposition
. | Soient
q;’ deuxformesquadr
atique
ssurF ,avec ’ anisotr
ope
etdimq = n > 2.Supposons’ F (q) » 0.A lors,
pourtoutb 2 F ⁄ repr¶
esent
¶
e parq,on
a
bq(T1;:::;Tn )’ K ’ ’ K
ou K = F (T1;:::;Tn ).
D¶
emonstr
ation
. | En rempla
cant q parbq,on peutsupposerque q repr
»
¶
esen
te1 et
queb = 1.PosonsL = F (t3;:::;tn ).En appliquan
t laproposition
3.2.1
a l’extension
p
;tn )]=L (cf.
(3.1.1)
etsesnotations)
on obtien
t
L[ a+ q00(t3 ;:::
’ L ’ h1;¡ a ¡ q00(t3;:::;tn )i› ‰
Consid
¶
eronsK comme une extension
de L en posant
pour‰ 2 W (L) convenable.
ti = Ti=T2 2 K pouri‚ 3.SurK ,laforme
h1;¡ a ¡ q00(t3;:::;tn )i’ h1;¡ aT22 ¡ q00(T3;:::;Tn )i
repr
¶
esen
te‚ := q(T1;T2;:::;Tn );parsuite,
‚h1;¡ a ¡ q00(t3;:::;tn )i’ h1;¡ a ¡ q00(t3;:::;tn )i
(c’est
un castrivial
du th¶
eoreme 2.1.5
a)).
Et donc
‚’ K ’ ‚h1;¡ a ¡ q00(t3;:::;tn )i› ‰ ’ h1;¡ a ¡ q00(t3;:::;tn )i› ‰ ’ ’ K :
32
CHAPITRE
3.CORPS
DE F ONCTIONS
DE QUADRIQUES
3.2.3.R emar que. | Ilestpossible
de d¶
emontrerlar¶
ecipro
que[121].
Le th¶
eoreme suiv
antjoueun ro
^letresimportan
tdanslath¶
eorie
;Arasona ¶
et¶
e lepremiera l’
¶
enoncer
explicitemen
t.Ilestfr
¶
equemment(etabusiv
ement)appel
¶
e ((th¶
eoreme
de Cassels-P
flster
))(onditaussi
((th¶
eoreme de lasous-forme
))).
3.2.4.Th ¶
eoreme ([9,Satz1.3]
, [122,lemma 4.5]
). | Soient
q;’ deuxformesquadratique
s surF , avec ’ anisotr
ope etdimq > 2. Supposons’ F (q) » 0. A lors,
pour
tout(a;b)2 D (q)£ D (’),on a abq• ’.En particulier,
dim’ ‚ dimq.
D¶
emonstr
ation
. | La proposition
3.2.2
implique
que’ K repr
¶
esen
teabq(T1;:::;Tn ).
On applique
leth¶
eoreme 2.4.8
.
3.2.5.Corollair
e ([9,Satz1.3]
). | Si dansleth¶
eoreme 3.2.4
, on supposeque q
estune formede Pflster
,alors
’ ’ q › ‰ pour‰ 2 W (F ) convenable.
D¶
emonstr
ation
.| R¶
ecurrence
surdimq, en notan
t que qF (q) » 0 par lecorollaire
2.1.8
.
3.3.Le th¶
eoreme d’Arason-Pflster
T
Dans[178],Pflster
demandes’il
estvraique n ‚ 1 In F = 0 pourtoutF .SiIF =I2F
estflni,c’est
une cons
¶
equencedu th¶
eoreme de Krull
; maisIF =I2F ’ F ⁄ =F ⁄2 (voir
th¶
eoreme 6.1.3
),quiestinflnien g¶
en¶
eral.
Parcons
¶
equent,ilestremarquable
que la
r¶
eponsesoit
a–rmative.Pluspr¶
ecis
¶
ement :
3.3.1.Th ¶
eoreme (Hauptsatzde Arason-Pflster,
[13])
n
Soitq anisotr
ope surF tel
lequeq 2 I F pourn ‚ 0.A lors,
dimq ‚ 2n .
T
La conjecture
de Pflsterr¶
esulte
du th¶
eoreme 3.3.1: siq estanisotrop
e et q 2
n
n
n,absurde.
‚
2
I
F
,alors
d
imq
pourtout
n‚ 1
¶
D¶
emonstr
ation
. | Ecriv
onsq = § ’ 1 + ¢¢¢+ § ’ r dansW (F ), ou les’ i sont des
n-formes
de Pflster.
Puisqueq estanisotrop
e,on a r > 0.Proc¶
edonsparr¶
ecurrence
surr. Si r = 1 et dimq < 2n , on a § ’ 1 ’ q ? m H pour m > 0 convenable
(corollaire
1.3.3
);alors
’ 1 esthyperbolique
(corollaire
2.1.8
) etq aussi,
absurde.
Si
r > 1,posonsK = F (’ r).Distinguons
deuxcas:
1)qK esthyperbolique.
Parlecorollaire
3.2.5
,ilexiste
‰ telque q ’ ’ r › ‰.En
particulier,
2n = dim’ r jdimq,d’ou dimq ‚ 2n .
2)qK n’est
pashyperbolique.
Soitq0 = (qK )an .Alorsq0 = § ’ 1 + ¢¢¢+ § ’ r¡ 1 dans
W (K ).Parr¶
ecurrence
surr,dimq0 ‚ 2n ;alors
dimq ‚ 2n ¶
egalemen
t.
3.3.2.Corollair
e. | Soient’ 1;’ 2 deuxn-formes
de Pflster
. Supposons’ 1 · ’ 2
(mod In +1 F ).A lors’ 1 ’ ’ 2.En particulier,
’ 1 2 In +1 F ) ’ 1 » 0.
¶
3.3.LE TH EOR
EME
D’ARASON-PFISTER
33
D¶
emonstr
ation
. | Soien
t ’ 01;’ 02 lesformespuresasso
ci
¶
eesa ’ 1 et’ 2.On a
’ 1 ? ¡ ’ 2 » ’ 02 ? ¡ ’ 01 2 In +1 F
et
dim(’ 02 ? ¡ ’ 01)= 2(2n ¡ 1)< 2n +1 :
Parleth¶
eoreme 3.3.1
,ilen r¶
esulte
que’ 02 ? ¡ ’ 01 » 0,doncque’ 1 ’ ’ 2.
On va ra–ner quelque
peu lecorollaire
3.3.2
:
3.3.3.Corollair
e (Elman-Lam [49,th.4.8]
, Arason [9,Satz1.5]
)
n +1
Soient’ 1;’ 2;’ 3 2 P n (F ). Si ’ 1 ? ’ 2 · ’ 3 (mod I F ), alorsilexiste
¿ 2
P n ¡ 1(F ) eta;b 2 F ⁄ tels
que
’ 1 ’ ¿ › hhaii;’ 2 ’ ¿ › hhbii;’ 3 ’ ¿ › hhabii:
D¶
emonstr
ation
. | SoitK = F (’ 2).On a
(’ 1)K · (’ 3)K
(mod In +1 K )
d’ou (’ 1)K ’ (’ 3)K d’apr
eslecorollaire
3.3.2
.En appliquan
t lecorollaire
3.2.5
,on
en d¶
eduit
(’ 1 ? ¡ ’ 3)an ’ ’ 2 › ‰
pour‰ convenable.
On a
diman (’ 1 ? ¡ ’ 3)= diman (’ 03 ? ¡ ’ 01)< 2n +1
d’ou dim‰ = 0 ou 1.Si‰ = 0,on a ’ 1 ’ ’ 3 etleth¶
eoreme estvraiavecb = 1.Si
dim‰ = 1,alors
d’apr
esleth¶
eoreme 2.3.2
,ilexiste
¿ 2 P n ¡ 1(F ),a;b 2 F ⁄ tels
que
’ 1 ’ ¿ › hhaii,’ 3 ’ ¿ › hhabii.Alors
’ 2 » c(¿ › hhabii? ¡ ¿ › hhaii)» ac¿ › hhbii
etlecorollaire
2.1.9
implique
que’ 2 ’ ¿ › hhbii.
3.3.4.Corollair
e (Pflster)
. | Soitq une formequadr
atiquede dimensionimpair
e.A lors[q]n’est
pasdiviseur
de z¶
ero dansW (F ).
¶
D¶
emonstr
ation
. | Soit’ telqueq › ’ » 0.Ecriv
ant
q ’ hai? ¡ q0
on obtien
t
’ » aq0 › ’:
Comme q0 2 IF , celamontreque si’ 2 In F , alors’ 2 In +1 F . On a donc
T
’ 2 In F = f0g.
34
CHAPITRE
3.CORPS
DE F ONCTIONS
DE QUADRIQUES
3.4.Exercices
3.4.1(Arason). | Soit’ 2 In F ¡ f0g anisotrop
e telle
que dim’ < 2n + 2l avec
0 • l• n.Supposonsque’ contienne
une l-sous-forme
de Pflster̂ .Alorsilexiste
uneforme¿ semblable
a une(n ¡ l)-formede Pflstertelle
que’ » ˆ › ¿.
(On utiliser
a lecorollair
e 4.3.7du chapitr
e suivant.
)
3.4.2(Gentile-Shapiro)
. | Soien
t q;’;· trois
formesanisotrop
essurF telles
que
qF (’ ) » 0 etq ’ ’ ? ·.SoitK =F uneextension
:pourtouteformeˆ surF ,notons
ˆ 0 = (ˆ K )an .Mon trerque
{ soit
q0 ’ ’ 0 ? ·0
{ soit
·0 ’ q0 ? ¡ ’ 0.
(Distinguer
selonqueq0 ? ¡ ’ 0 estou non isotr
ope;sicetteformeestisotr
ope,disope,utiliser
leth¶
eoreme 3.2.4.
)
ope;si’ K estanisotr
tinguer
selon
que’ K estou nonisotr
3.4.3(Merkurjev). | SoitF un corpstelque I3F = 0, soitE une extension
quadratique
de F etsoitq 2 I2F une formeanisotrop
e de rang‚ 6.Mon trerque
l’indice
deqE est• 2.(Utiliser
laproposition
3.2.1
etlefait
qu’une2-formedePflster
surF repr¶
esente
n’imp
ortequelscalair
e6
= 0.)
CHAPITRE
¶
LA TH EORIE
4
DE KNEBUSCH
Dans lesdeux articles
[122] et[123],ManfredKnebusc
h d¶
evelopp
e une th¶
eorie
de d¶
eploie
ment g¶
en¶
erique
pourlesformesquadratique
s,quipeutsevoircomme une
conceptualisation
etune extension
desr¶
esultats
du chapitre
pr¶
ec¶
edent.Elleconduit
s:la
a lad¶
eflnition
dedeuximportan
tsinvarian
tsnum ¶
eriques
desformesquadratique
hauteuretledegr¶
e.
4.1.Hauteur
Consid
¶
eronsune formequadratique
q surF .On asso
ciea q un entier
h = h(q) et
unesuite
(F i;qi)0• i• h ,ou F i estuneextension
de F etqi estuneformequadratique
surF i,de lamanieresuiv
ante:
(i)q0 = qan ;F 0 = F .
(ii)
SupposonsF i etqi d¶
eflnis.
Sidimqi = 0 ou 1,alors
i= h.Sinon,
F i+1 = F i(qi)
etqi+1 = ((qi)F i+1 )an .
4.1.1.D ¶
eflnition
. | L’en
tierh(q) s’app
elle
lahauteurde q.La suite
F = F0 ‰
F 1 ‰ ¢¢¢‰ F h s’app
elle
latourde d¶
eploiement
g¶
en¶
erique
de q.La formeqi s’app
elle
lei-eme noyaudeq.Le corpsF h¡ 1 (resp.
F h )s’app
elle
lecorpsdominant(resp.
corps
de d¶
eploiement
g¶
en¶
erique
) de q.La suite
(dimq0;:::;dimqh )
s’app
elle
lasuite
de d¶
eploiement
de q.
4.1.2.R emar que. | Par d¶
eflnition,
on a dimq ‚ dimq0 > dimq1 > :::; par
cons
¶
equent h estbiend¶
eflni.Notonsaussique lesdimqi ont lam ^
eme parit
¶
e que
dimq;en particulier,
h(q)• 12 dimq.
CHAPITRE
36
¶
4.LA TH EORIE
DE KNEBUSCH
4.1.3.Th ¶
eoreme ([122,th.5.1]
). | Soient
q uneformequadr
atique
surF etK =F
uneextension
quelc
onque.
A lors
ilexiste
un uniquei2 f0;:::;h(q)g telquediman qK =
dimqi.
D¶
emonstr
ation
. | L’unicit
¶
e estclaire.
Pourl’existence,
soit
i lepluspetit
entier
tel
que dimqi • diman qK . Ilfautmontrerque dimqi = diman qK . Posons,
pourtout
j < h,K j = K F j.Pourj < i,(qj)K j » qK j estisotrop
e;alors
K j+1 =K j esttrans
cendantepured’apr
eslaproposition
3.1.1
b).Ilen r¶
esulte
queK i=K esttrans
cendante
e.Maisalors
pure.Parlelemme 2.4.1
,((qK )an )K i estanisotrop
(4.1.1)
diman qK i = diman qK ‚ dimqi ‚ diman (qi)K i
et
(qK i )an ’ ((qi)K i )an :
Parcons
¶
equent ily a partout
¶
egalit
¶
e dans(4.1.1)
.
4.1.4.Corollair
e. | PourtoutK =F on a h(qK )• h(q).Sih(qK )= h(q),alors
la
forme(qi)K i estanisotr
ope pourtouti2 f0;:::;h(q)g.
4.1.5.D ¶
eflnition
. | Pourq anisotrop
e,
a)Le premierindic
e deWittsup¶
erieur
deq esti1(q)= i(qF (q))= 21 (dimq¡ dimq1).
b)Izhboldin: La dimension
essentiel
lede q estdimes q = dimq ¡ i1(q)+ 1.
Le lemme suiv
ant estcons
¶
equenceimm ¶
ediate
du lemme 1.3.9
.
4.1.6.Lemme . | Soient
q uneformeanisotr
ope etq0 • q.Supposonsquedimq0 ‚
0
dimes q.A lorsqF (q) estisotr
ope.
4.2.Formes de hauteur 1
4.2.1.Proposition(W adsworth,Knebusch). | Une formeq estde hauteur1
sietseulement
sielleest
{ semblable
a une formede Pflsterau casou dimq estpair
e;
{ semblable
a une sous-forme
de codimension
1 d’uneformede Pflsterau casou
dimq estimpair
e.
D¶
emonstr
ation(Calmes)
. | Nousladonnonsseulemen
tquanddimq estpaire
;pour
l’autre
casvoir[122, d¶
em. du th.5.8]ou [218].La su–sancer¶
esulte
du corollaire
2.1.8
. Pourlan¶
ecessit
¶
e,on peutsupposerque q repr
¶
esen
te1; d’apr
esleth¶
eoreme
2.4.10
, ilsu–t de montrerque D (qK ) = G (qK ) pourtouteextension
K =F. Par le
corollaire
4.1.4
,on a h(qK ) = 0 ou 1.Sih(qK ) = 0,qK » 0 etl’assertion
estclaire.
Sih(qK ) = 1,soita 2 D (qK ).On a (aqK )K (qK ) » 0.Appliquons
leth¶
eoreme 3.2.4
:
comme 1 2 D (qK ),aqK estunesous-forme
de qK ,doncaqK ’ qK eta 2 G (qK ).
¶ ; LES ID EA
¶ UX J n
4.3.DEGR E
37
4.3.Degr¶
e ; lesid¶
eaux Jn
4.3.1.D ¶
eflnition
. | Soitq uneformequadratique
surF .
a)Sidimq estimpaire,
ledegr¶
e de q estdeg(q)= 0.
b) Sidimq estpaireetnon hyperbolique,
soitF h¡ 1 soncorpsdominant.Parla
proposition
4.2.1
,qh¡ 1 estsemblable
a une formede Pflster¿ :¿ estappel
¶
eeforme
dominantede q.Sidim¿ = 2n ,ledegr¶
e de q estl’en
tier
deg(q)= n.
c)Siq » 0,deg(q)= 1 .
4.3.2.Lemme . | Soitq uneformequadr
atique
dedimension
pair
e,F h¡ 1 soncorps
dominantet¿ saformedominante.
A lors,
pourtoute
extension
K =F on a deg(qK )‚
deg(q).On a deg(qK )> deg(q) sietseulement
si¿K F h ¡ 1 » 0.Dans ce cas,h(qK )<
h(q).
D¶
emonstr
ation
. | Soitdi = dimqi. D’apr
esleth¶
eoreme 4.1.3
, lesdimensions
des
noyaux de qK appartiennen
t a l’ensem
blefd0;:::;dh(q)g.
). | Soient
n ‚ 1,¿ unen-formedePflster
anisotr
ope,
4.3.3.Th ¶
eoreme ([122,th.6.3]
ˆ une formetel
lequedeg(ˆ)‚ n + 1,a 2 F ⁄ ,’ = a¿ ? ˆ,etE lecorpsdominant
de ’.A lors:
(i)La formedominantede ’ est¿E .
(ii)
Sideg(ˆ)‚ n + 2,’ h(’ )¡ 1 ’ a¿E .
D¶
emonstr
ation
. | On procedecomme dans[122].On peutsupposerqueˆ 6
» 0.
a) D ¶
emontronsd’abordque deg(’) • n. Soit(L i)0• i• e latourde d¶
eploiemen
t
g¶
en¶
erique
de ˆ. On a donc’ L e » a¿L e . Sideg(’) > n, on a deg(¿L e ) > n, d’ou
» 0.En appliquan
t leth¶
eoreme 3.2.4
,
’ L e » a¿L e » 0.Soits maximaltelque ¿L s 6
⁄
on obtien
t que bˆ s • ¿L s pourb 2 L s convenable.
Alorsdeg(ˆ) = deg(ˆ s) • n,
contradiction.
b) D ¶
emontronsmaintenan
t que deg(’) ‚ n. Supposonsque deg(’) = m < n.
tg¶
en¶
erique
de ’.La partie
anisotrop
e de ’ K h ¡ 1
eploiemen
Soit(K i)0• i• h latourde d¶
⁄
s’
¶
ecrit
b‰ pourun b 2 K h¡
etunem
-forme
de
Pflster
‰.Mais
1
ˆ K h ¡ 1 » b‰ ? ¡ a¿K h ¡ 1 :
La formede droite
estde dimension
2m + 2n < 2n +1 ;doncˆ K h ¡ 1 » 0 etb‰ »
a¿K h ¡ 1 .Maisdim‰ < dim¿ ;celaimplique
que¿K h ¡ 1 estisotrop
e,donchyperbolique,
et‰ aussi,
contradiction.
On a donc
deg(’)= n:
c)Comme ˆ K h » ¡ a¿K h etdeg(ˆ) > n,on obtien
t ˆ K h » 0 et¿K h » 0. Soit
s maximaltelque ¿K s soitnon hyperbolique
(doncanisotrop
e).En appliquan
ta
CHAPITRE
38
¶
4.LA TH EORIE
DE KNEBUSCH
nouveauleth¶
eoreme 3.2.4
,on obtien
tb’ s • ¿K s pourun b 2 K s⁄ .Comme deg(’)= n,
on a donc
s = h ¡ 1;
’ h¡ 1 ’ b¿K h ¡ 1 :
Ainsi,
¿K h ¡ 1 estlaformedominantede ’.De plus,
on a
ˆ K h ¡ 1 » (’ ? ¡ a¿)K h ¡ 1 » hb;¡ ai› ¿K h ¡ 1 :
Sideg(ˆ)‚ n + 2,alorŝ K h ¡ 1 » 0 et’ h¡ 1 ’ a¿K h ¡ 1 .
4.3.4.Notation. | Jn (F )= fq 2 W (F )jdeg(q)‚ ng.
4.3.5.Th ¶
eoreme ([122,th.6.4]
). | Pourtoutn ‚ 0,Jn (F )estun id¶
ealdeW (F ).
D¶
emonstr
ation
. | Sia 2 F ⁄ etq 2 W (F ),ilestclair
queq 2 Jn (F ), aq2 Jn (F ).
Comme W (F ) estengendr
¶
e additiv
ement parlesformeshai,ilsu–t de prouverque
Jn (F ) eststable
paraddition.
Sin = 0,c’est
trivial.
Sin > 0,soien
t q;q0 2 Jn (F ).
0
,pourtouteextension
K =F,on
» 0.Parlelemme 4.3.2
On peutsupposerqueq ? q 6
0
0
0
a qK ;qK 2 Jn (K ).SoitK lecorpsdominantde q ? q :alors
qK ? qK » a¿,ou ¿ est
unem -formede Pflster
;nousdevonsmontrerquem ‚ n.Maissim < n,¶
ecriv
ons
qK » a¿ ? ¡ qK0 :
Parleth¶
eoreme 4.3.3
,¿ estlaformedominantedeqK .Maisalors
deg(qK )= m < n,
contradiction.
4.3.6.Corollair
e. | Pour toutn ‚ 0 on a In F ‰ Jn (F ).
D¶
emonstr
ation
. | Jn (F )eststable
paraddition
etcontien
t¶
evidemmen
t lesn-formes
de Pflster.
Nous verronsplustard(corollaire
9.7.4
) que desr¶
esultats
de Orlov, Vishiket
Voevodsky[172]impliquen
t l’
¶
egalit
¶
e In F = Jn (F ) pourtoutn.
Le corollaire
4.3.6
fournit
une nouvelle
d¶
emonstration
du Hauptsatzde ArasonPflster(th¶
eoreme 3.3.1
) :siq 2 In F ¡ f0g,alors
deg(q) ‚ n,doncdim(q) ‚ 2n .On
a de pluslecompl¶
ement suiv
ant :
4.3.7.Corollair
e. | Soitq dedimension
2n .Siq 2 Jn (F ) (parexempleq 2 In F ),
alors
q 2 GP n (F ).
On a aussi
:
4.3.8.Lemme . | Soient
n > 0 et’;ˆ 2 GP n (F )nf0g.SoitK lecorpsded¶
eploiement
g¶
en¶
erique
de ’ ? ˆ.A lors’ K etˆ K sontanisotr
opes.
¶ ; LES ID EA
¶ UX J n
4.3.DEGR E
39
D¶
emonstr
ation
. | Soit‰ = ’ ? ˆ.Si‰ 2 Jn +1 (F ),on a ‰ 2 GP n +1 (F ) etl’
¶
enonc
¶
e
r¶
esulte
du th¶
eoreme 3.2.4
.Sinon,
on a deg(‰)= n.SoitL soncorpsdominant.Puisque
L=F estform¶
e d’extensions
successiv
esdonn¶
eespardescorpsde fonctions
de formes
de dimension
> 2n ,une application
r¶
ep¶
et¶
eedu th¶
eoreme 3.2.4
donneque ’ L etˆ L
sont anisotrop
es.
Supposons’ K isotrop
e,donchyperbolique.
En r¶
eappliquan
t leth¶
eoreme 3.2.4
,on
a
’ K ’ a(‰K )an ; a 2 K
⁄
d’ou
’ K » a’ K ? aˆ K
ou
hhaii› ’ K » aˆ K :
Maiscelaimplique
deg(ˆ K ) > n,doncˆ K » 0,cequiestabsurde.
Donc ’ K est
anisotrop
e,etde m ^
eme ˆ K estanisotrop
e.
Ilsembledi– cile
ded¶
emontrer
queJm (F )Jn (F )‰ Jm + n (F )sansconna
^‡tre
l¶
e
’galit
¶
e
I F = Jn (F ).Toutefois
n
4.3.9.Proposition([122,prop.6.9]
). | Pour tousm; n ‚ 0,on a
Im F Jn (F )‰ Jm + n (F )
D¶
emonstr
ation
. | Parr¶
ecurrence
surm ,on peutsupposerm = 1.Soitq 2 Jn (F ).
Ilsu–t de montrerque,pourtouta 2 F ⁄ ,on a
deg(hhaii› q)> deg(q):
Posonsfi = (hhaii› q)an .On peutsupposerq de dimension
paireetfi 6
= 0.On
raisonne
parr¶
ecurrence
surh(q).SoitK lecorpsdominant de fi.On a
deg(fi K )= deg(fi); deg(qK )‚ degq; h(qK )• h(q):
(cf.corollaire
4.1.4
etlemme 4.3.2
).Ilsu–t doncdemontrerquedeg(fi K )> deg(qK ).
Quittea changerde corpsde base,on peutdoncsupposer(eton suppose)que fi 2
GP (F ).
Sih(q) = 1,q 2 GP (F ) etlaconclusion
estimm ¶
ediate.
Supposonsh(q) > 1.Par
r¶
ecurrence,
on a
deg(fi F (q))> deg(qF (q))= deg(q):
Sifi F (q) 6
» 0,on a deg(fi F (q)) = deg(fi),d’ou laconclusion.
Enfln,supposonsque
fi F (q) » 0.Parleth¶
eoreme 3.2.4
,on a
fi » bq? ‡
CHAPITRE
40
¶
4.LA TH EORIE
DE KNEBUSCH
pourb 2 F ⁄ et‡ 2 W (F ).Supposons‡ = 0.Alors
h1;¡ a;¡ bi› q » 0
ce quicontredit
lecorollaire
3.3.4
. On a donc dimfi > dimq, d’ou ¶
evidemmen
t
deg(fi)> deg(q).
4.3.10.Corollair
e. | Soientq;‰ deuxformesquadr
atique
s,avec dim‰ impair
e.
A lorsdeg(q › ‰)= deg(q).
D¶
emonstr
ation
. | En efiet,on peut¶
ecrire
q › ‰ ’ aq ? q › ‰0 avec ‰0 2 IF . La
0
proposition
4.3.9
montreque deg(q › ‰ ) > deg(q). La conclusion
r¶
esulte
alorsdu
th¶
eoreme 4.3.3
.
4.4.Retour a lasection3.2
La th¶
eorie
de Knebusch permetde renforcer
consid
¶
erablemen
t leth¶
eoreme 3.2.4
.
Commen »
conspar
4.4.1.Th ¶
eoreme (cf.[122,prop.6.11]
, [12,Satz18]
). | Soit’ une formequadratique
surF de dimension
pair
e,de corpsdominantL etde formedominante¿.
Soitq une autr
e formesurF . A lorsdeg(’ F (q)) > deg’ sietseulement
siqL est
semblable
a une sous-forme
de ¿.En particulier,
en posantn = deg(’),
(i)Sidimq > 2n ,on a deg(’ F (q))= deg’.
(ii)
Sidimq = 2n ,on a deg(’ F (q))> deg’ sietseulement
siq estsemblable
a
une formede Pflster¿0 tel
leque(¿0)L ’ ¿.
En particulier,
’ F (q) » 0 ) dimq • 2deg(’ ).
D¶
emonstr
ation
. | La premierea–rmationestclaire,
d’apr
eslelemme 4.3.2etle
th¶
eoreme 3.2.4
.(i)en r¶
esulte.
Dans (ii),
lasu–sanceestclaire.
Pourvoirlan¶
ecessit
¶
e,
ilsu–t de d¶
emontrerquedeg(q)= n.Supposonsdeg(q)< n.Parapplication
r¶
ep¶
et¶
ee
t que deg(qL ) = deg(q) (noterque dim(’ i) > 2n pourtout
de (i)(a q),on obtien
i< h ¡ 1).Maisc’est
impossible,
puisque
qL estsemblable
a ¿.
4.4.2.Notation. | J„n (F )= Jn (F )=Jn +1 (F ).
4.4.3.Corollair
e
(i)Sidimq > 2n , J„n (F )! J„n (F (q))estinje
ctif.
(ii)
Sidimq = 2n , J„n (F ) ! J„n (F (q))estinje
ctif,
saufsiq estsemblable
a une
„
„
n-formede Pflster¿.A lorson a Ker(Jn (F )! Jn (F (q)))= f0;„
¿g.
(iii)
cf.[12,p.187]: Soientm = deg(q), (F i)0• i• h(q) latourde d¶
eploiement
g¶
en¶
erique
de q,eti• h(q).A lors:
{ Sii< h(q),Ker(J„n (F )! J„n (F i))= 0 pourn • m .
4.5.EXER CICES
41
{ Si i = h(q), Ker(J„n (F ) ! J„n (F i))= 0 pour n < m etKer(J„m (F ) !
J„m (F h(q)))= f0;„
qg.
D¶
emonstr
ation
. | (i)et(ii)
sont destraductions
du th¶
eoreme 4.4.1
.Pourvoir(iii),
on raisonne
parr¶
ecurrence
suriennotan
t quedimqi > 2m pouri< h(q)¡ 1.Traitons
seulemen
t lecasi = h(q),n = m .Soitx 2 Ker(J„m (F ) ! J„m (F h(q))).D’apr
es(ii),
„
xF h (q)¡ 1 = (a„
q)F h (q)¡ 1 ,ou a 2 f0;1g et q
„ estl’image
de q dansJm (F ).On a donc
x ¡ a„
q 2 Ker(J„m (F )! J„m (F h(q)¡ 1)),d’ou x = a„
q d’apr
eslecaspr¶
ec¶
edent.
R.W. Fitzgerald
a obten
u d’autres
g¶
en¶
eralisations
spectaculaires
du th¶
eoreme 3.2.4
.
Mentionnons
seulemen
t sansd¶
emonstration
:
4.4.4.Th ¶
eoreme ([54,th.1.6]
). | Soientq;’ deuxformesquadr
atique
s surF ,
avec ’ 6
» 0.Supposonsque’ F (q) » 0 etque’ ne soitpassemblable
a une formede
Pflster
.A lorsdim’ ¡ 2deg(’ ) ‚ 2dimq.
Voirl’exercice
4.5.4
pourune d¶
emonstration.
En utilisan
t leth¶
eoreme 4.4.1
, on
obtien
t
4.4.5.Corollair
e. | Pour q;’ comme dans leth¶
eoreme 4.4.4
, on a 3dimq •
dim’.
). | Soient
q uneformequadr
atique
et‰ uneforme
4.4.6.Th ¶
eoreme ([54,th.3.2]
de PflstersurF .Soit’ telque’ F (q) » 0.A lors(‰ › ’)F (‰› q) » 0.
4.4.7.Th ¶
eoreme ([55,prop.3.2]
). | Soitdimq ‚ 5;supposonsqueq ne soitpas
voisine
d’uneformede Pflster
.Soit’ anisotr
ope tel
leque’ F (q) » 0.A lors
(i)16jdim’ ;
(ii)
Ilexiste
une 4-formede Pflster‰ (¶
eventuel
lementhyperb
olique)
tel
leque
‰F (q) » 0 et’ · ‰ (mod I5F ).
4.5.Exercices
4.5.1(Knebusch). | SoitK = F (T1;:::;Tn ),etsoitq = hT1;:::;Tn i.Mon trer
quelahauteurde q est¶
egalea lapartie
enti
erede n=2.
(On construir
a,pourtoutr • n=2,une extension
L r=K tel
lequei(qL )= r.)
4.5.2(Arason-Knebusch). | Soien
t ’;ˆ deux formesquadratiques
anisotro
pes
surF de degr
¶
esresp
ectifs
n etm .Supposonsdeg(’ F (ˆ )) > n.D’apr
esleth¶
eoreme
4.4.1
,on a dimˆ • 2n ,doncm • n.
a)Sim = n,alorŝ 2 GP n (F ) et’ · ˆ (mod Jn +1 (F )).
b)Sim = n ¡ 1,alorŝ 2 GP n ¡ 1(F ).
42
CHAPITRE
¶
4.LA TH EORIE
DE KNEBUSCH
4.5.3(Fitzgerald)
. | Pour touteformequadratique
non hyperbolique
q surF ,
on noteN (q) = dimq ¡ 2deg q. On a N (q) ‚ 0 etN (q) = 0 , q 2 GP (F ) (cf.
corollaire
4.3.7
).
Soien
t ’;q deuxformesquadratiques
anisotrop
essurF ,chacunerepr¶
esentant 1.
Supposonsque qF (’ ) » 0 etque N (q) < 2dim’.Soita 2 D (q).SiaqF (q) ’ qF (q),
alors
aq’ q.
(Raisonner
par l’absur
de.Soitn = deg(h1;¡ ai › q) : d’apr
es lecourson a n ‚
degq + 1. Si n = degq + 1, obtenir
une contr
adiction
gr^
ace a l’exer
cic
e 4.5.2.
Si
n > degq + 1, appliquer
leth¶
eoreme 3.2.4a q etaq pourobtenir
2deg q < dim’, et
en tir
erune contr
adiction.
)
4.5.4*(Fitzgerald)
. | On gardelanotation
de l’exercice
pr¶
ec¶
edent.
Soien
t ’;q deuxformesquadratiques
anisotrop
essurF telles
queqF (’ ) » 0.SupposonsN (q) < 2dim’. On seproposede montrerque q 2 GP (F ). Pourcela,
on
procede par l’absurde
: soit(F;’;q) un contre-exemple
avec N (q) > 0 minimal.
Quittea m ultiplier
’ etq parun scalaire,
on peutsupposerquechacunerepr
¶
esen
te
1.
a)Mon trerqueh(q)• 2,donc(parhypothese)queh(q)= 2.
b)Soita 2 D (q).Mon trerque(q ? ¡ aq)an 2 GP (F ).
(Utiliser
lam ¶
etho
de de l’exer
cic
e 3.4.2.
)
c)Mon trer
queG (q)= D (q).(Soita comme dansb).Montrerque(q ? ¡ aq)an = 0
enpassant
au corpsdesfonctions
K deq,enappliquant
l’exer
cic
e 3.4.2
a ((qK )an ;’ K )
eta ((aqK )an ;’ K ) pourmontrerqueh1;¡ ai› (qK )an estisotr
ope,puisen utilisant
l’exer
cic
e 4.5.3.
)
d)Conclure
a uneabsurdit
¶
e en utilisan
t leth¶
eoreme 2.4.10
.
4.5.5(Hofimann) . | Soien
t q et’ deuxformesquadratique
s,avecq anisotrop
e.
Supposonsque dim’ = 2n etque dimq > 2n ¡ 1. Supposonsaussique ’ F (q) soit
semblable
a une formede Pflster(¶
eventuellemen
t isotrop
e).Mon trerqu’il
en estde
deg ’
m^
eme de’.(Utiliser
leth¶
eoreme 4.4.1
;distinguer
selon
quedimq • 2
ou dimq >
2deg ’ .)
CHAPITRE
FORMES
5
DEVENANT
ISOTR OPES SUR LE CORPS
FONCTIONS
D’UNE QUADRIQUE
DES
5.1.G ¶
en¶
eralit
¶
es
Danscechapitre,
nous¶
etudions
leprobl
eme suiv
ant,apparen
t¶
e a celui
delasection
3.2:soien
t q;’ deuxformesquadratique
s surF .Quand ’ devien
t-elle
isotrop
e sur
F (q)?
Ilestutile
dedonnerquelques
d¶
eflnitions
etdeprouverquelques
faits
¶
el
¶
ementaires
:
s surF .Lesconditions
. | Soient
q;q0 deuxformesquadr
atique
5.1.1.Proposition
suivantes
sont¶
equivalentes
:
(i)qF0 (q) estisotr
ope;
(ii)
pourtouteforme’ surF ,’ F (q0) isotr
ope ) ’ F (q) isotr
ope.
D¶
emonstr
ation
(i)
) (ii)
: par laproposition
3.1.1b),l’extension
F (q;q0)=F(q) esttrans
cendantepure.
Comme ’ F (q0) estisotrop
e,’ F (q;q0) l’est
¶
egalemen
t.Parlelemme 2.4.1
,’ F (q)
estisotrop
e.
(ii)
) (i): c’est
lecasparticulier
’ = q0 (cf.proposition
3.1.1
a)).
5.1.2.R emar que. | Une autrecondition
¶
equiv
alen
teestqu’il
existe
une applic
ationrationnel
lede X q versX q0,cf.xE.7.A
.
5.1.3.D ¶
eflnition
. | Soien
t q;q0 deuxformesanisotr
opes.Siq;q0 satisfon
tauxcon0
ditions
de laproposition
5.1.1
,on ditqueq domineq ou queq estdomin¶
ee parq0.
0
0
0
Notation
: q < q ou q 4 q . On ditque q etq sont i-¶
equivalentes
ou stablement
¶
equivalentes
siq 4 q0 etq0 4 q.Notation
:q … q0.
5.1.4.Lemme
CHAPITRE
44
5.F ORMES
DEVENANT
ISOTR OPES
a) La relation
4 d¶
eflnitune relation
de pr¶
eordre sur(l’en
semblesous-jac
enta
l’anne
au)W (F );larelation
… estlarelation
d’¶
equivalen
ce asso
ci¶
ee.
b) q0 • q ) q0 4 q.
c) Siq0 • q etdimq0 ‚ dimes q (d¶
ef.4.1.5b)),alors
q0 … q.
D¶
emonstr
ation
. | a)estclair
enutilisan
tlacondition
(ii)
delaproposition
5.1.1
.b)
estclair
¶
egalemen
t etc)r¶
esulte
du lemme 4.1.6
.
5.1.5.R emar que. | R ¶
ecipro
quement,siq0 • q etq0 … q,alors
dimq0 ‚ dimes q.
Ce r¶
esultat,
beaucoupplusdi–cile,
r¶
esulte
du th¶
eoreme 5.2.10
ci-dessous.
5.2.Le th¶
eoreme de Hofimann
Siq • q0,on a enparticulier
dimq • dimq0.Existe-t-il
unerelation
analogue
quand
q 4 q0?
La r¶
eponseestouietestduea D.W. Hofimann.Introduisons
unenouvelle
notation
:
5.2.1.Notation. | Pourune formequadratique
q,l(q) d¶
enotel’unique
entier
tel
que2l(q)¡ 1 < dimq • 2l(q).
estermes,
s’il
5.2.2.Th ¶
eoreme ([68]). | Siq 4 q0, alorsl(q) • l(q0). En d’autr
existe
n telquedimq0 • 2n < dimq,alors
qF0 (q) estanisotr
ope.
Pourd¶
emontrer
leth¶
eoreme 5.2.2
,noussuivrons
lam ¶
ethodedeHurrelbrink
-Rehmann
[82],quisimpli
fle un peu celle
de [68].Cet argument a ¶
et¶
e obten
u ind¶
ependamment
parC¶
edric
P esc
hard.
). | Soientq;… deuxformesquadr
atique
s aniso5.2.3.Proposition([82,th.1.7]
tropessurF ,avec … de Pflsteretdimq < dim….Posons~
q = … ? ¡ q.Lesconditions
suivantes
sont¶
equivalentes
:
(i)…F (~qan ) estisotr
ope;
(ii)
q • ….
D¶
emonstr
ation
(ii)
) (i): ¶
ecriv
ons… ’ q ? q0.Alors:
q
~an » q ? q0 ? ¡ q » q0
d’ou q
~an ’ q0.Ainsiq
~an • … et…F (~qan ) estisotrop
e.
(i)
) (ii)
: …F (~qan ) isotrop
e implique
…F (~qan ) » 0 (corollaire
2.1.8
).Comme dimq < dim…,
… ? ¡q
~an » q estisotrop
e etilexiste
a 2 F ⁄ repr
¶
esen
t¶
e par … et q
~an . En
¶
5.2.LE TH EOR
EME
DE HOFFMANN
45
appliquan
tleth¶
eoreme 3.2.4
avec(q;’;a;b)= (~
qan ;…;a;a),on voitque~
qan • ….
Ilexiste
doncq0 telque… ’ q
~an ? q0 et
…’ q
~an ? q0 » … ? ¡ q ? q0
=)
q » q0
=)
q ’ q0
puisque
q estanisotrop
e.
5.2.4.Corollair
e. | Soient
q;…;~
q comme danslaproposition
5.2.3
.SoitF = F 0 ‰
F 1 ‰ ¢¢¢‰ F h latourde d¶
eploiement
g¶
en¶
erique
de q
~.A lorsilexiste
i< h telque…F i
soitanisotr
ope et(qF i )an • …F i .Side plus
a) qF (… ) estanisotr
ope
b) dimq •
1
2
dim…
l’extension
F i(…)=F(…) esttranscendantepure.
D¶
emonstr
ation
. | Notonsque…F h » qF h ,doncque…F h estisotrop
e puisque
dimq <
anisotrop
e.Parlaproposition
5.2.3
,
dim….Soitileplusgrandentier
telque…F i soit
on a (qF i )an • …F i .
Supposonsmaintenan
t que q v¶
eri
fle a) et b).On va montrerque (~
qj)F j (… ) est
isotrop
e pourtoutj telque …F j+1 soitanisotrop
e :alors
F j+1 (…)=Fj(…) seratrans
cendantepurepourtoutj < i,parlaproposition
3.1.1
b).Parr¶
ecurrence
surj,on
peutsupposerj = 0.
On raisonne
par l’absurde,
en supposant que (~
qan )F (… ) estanisotrop
e.Notons
d’abordque
(~
qan )F (… ) » ¡ qF (… ):
Comme qF (… ) estanisotrop
e,on a dim q
~an = dimq.Comme dimq • 21 dim… on a
aussi
1
1
dim… ‚ dimq = dim(… ? ¡ q)an ‚ dim… ¡ dimq ‚ dim…;
2
2
d’ou dimq = dim q
~an =
de …F 1 .
1
2
dim… et q ? q
~an ’ …. Mais cecicontredit
l’isotropie
5.2.5.Lemme (Springer)
. | Soientq1;q2 deuxformesanisotr
opessurF . A lors
q1 ? T q2 estanisotr
ope surF (T ).
D¶
emonstr
ation
. | Soien
t V1;V2 lesespaces
vectoriels
sous-jacen
tsa q1 etq2,etsoit
sipossible
(x;y)2 F (T )› F V1 £ F (T )› F V2 nf0;0g telqueq1(x)+ T q2(y)= 0.Quitte
CHAPITRE
46
5.F ORMES
DEVENANT
ISOTR OPES
a chasser
lesd¶
enominateurs,
on peutsupposerque(x;y)2 F [T ]› F V1 £ F [T ]› F V2
etque(x(0)
;y(0))6
= (0;0).On a alors
q1(x(0))= 0
0
0
d’ou x(0)= 0 etx = T x avecx 2 F [T ]› F V1.On a alors
T q1(x0)+ q1(y)= 0
d’ou q1(y(0))= 0 ety(0)= 0,cequiestabsurde.
5.2.6.Lemme . | Soient
E = F (T1;:::;Tn +1 ),…n +1 = hhT1;:::;Tn +1 ii2 W (E ) et
L = E (…n +1 ).A lors
a) Pour touteforme’ anisotr
ope surF ,’ › …n +1 estanisotr
ope surE ;
b) L=F esttranscendantepure.
D¶
emonstr
ation
a) Parr¶
ecurrence
surn,on peutsupposerque’ › …n estanisotrop
e.On a
’ › …n +1 ’ ’ › …n ? ¡ Tn +1 ’ › …n
r¶
esulte
du lemme 5.2.5
.
etlaconclusion
b) On a L = F rac(E [x2;:::;xN 0]=(…n +1 (1;x2;:::;xN 0)))(N 0 = 2n +1 ).Observ
ons
qu’a partir
de l’
¶
equation
…n (1;x2;:::;xN 0) = 0 en lesvariables
T1;:::;Tn +1 ,
ecrire
T1 comme fonction
x2;:::;xN 0,on peut¶
rationnelle
desautres
variables.
Parcons
¶
equent,l’homo
morphis
me injectif
F (T2;:::;Tn +1 )[
x2;:::;xN 0]¡! E [x2;:::;xN 0]=(…n +1 (1;x2;:::;xN 0))
»
induit
un isomorphisme
F (T1;:::;Tn +1 ;x2;:::;xN 0) ! L.
D¶
emonstr
ationdu th¶
eoreme 5.2.2
. | On applique
lecorollaire
5.2.4a (F;q;…) =
(E ;qE0 ;…n +1 ),ou E et…n +1 sontcomme danslelemme5.2.6
(n estl’en
tier
du th¶
eoreme
5.2.4
estv¶
eri
fl¶
ee,carq0 estd¶
eflniesur
5.2.2
).Notonsquel’h
ypothesea)du corollaire
F etL=F esttrans
cendantepure.
L’hypotheseb)est¶
egalemen
tv¶
eri
fl¶
ee.Ilexiste
donc
K =L telque
e
{ …K soit
anisotrop
{ qK0 • …K
{ K (…)=E(…) soit
trans
cendantepure.
Supposonsque qF0 (q) soitisotrop
e.AlorsqK0 (q) estisotrop
e et …K (q) esthyperbolique.
Parcons
¶
equent,qK estsemblable
a une sous-forme
de …K .Comme dimq >
1
dim…,q
estisotrop
e
(corollaire
2.1.8
e
tlemme
5.1.4
c
)).
Maisc’est
absurde:
K
(…
)
2
lesextensions
K (…)=E(…) etE (…)=F sont trans
cendantespures,
doncK (…)=F l’est
aussi
etqK (… ) ne peutpas^
etreisotrop
e.
5.3.V OISINES
47
5.2.7.Corollair
e. | Sidimq0 • 2n < dimq,on a h(qF0 (q))= h(q0).
D¶
emonstr
ation
. | Appliquer
leth¶
eoreme 5.2.2a qi0 etqF i , ou (F i) estlatourde
d¶
eploiemen
t g¶
en¶
erique
de q0.
5.2.8.Corollair
e. | Soitq anisotr
ope etsoitn leplusgrand entier
telque2n <
n
dimq.A lorsi1(q)• dimq ¡ 2 .
D¶
emonstr
ation
. | Prendreune sous-forme
q0 • q de dimension
2n etappliquer
le
lemme 5.1.4
c)etleth¶
eoreme 5.2.2
.
5.2.9.R emar que. | Dans l’esprit
de l’
¶
enonc
¶
e du th¶
eoreme 5.2.2
,signalons
leth¶
eoreme suiv
ant de Karpenko etMerkurjev(obten
u pardestec
hniquesfaisan
t appel
aux cycles
alg
¶
ebriques)
:
5.2.10.Th ¶
eoreme . |
a) Siq 4 q0,alors
dimes q • dimes q0.
b) Siq 4 q0 etdimes q = dimes q0,alors
q … q0.
.
VoirxE.8.B
5.3.V oisines
A lafln de lad¶
emonstration
du th¶
eoreme 5.2.2
, on a vu interv
enirune forme
quadratique
d’untype particulier
:une sous-forme
d’uneformede Pflster’ de dimensionplusgrandeque 12 dim’.Ces formes,
particuli
eremen
t importan
tes,
ont ¶
et¶
e
introduites
parKnebusc
h.
5.3.1.D ¶
eflnition(Knebusch [123,def.7.4]
). | Soien
t q uneformequadratique
et’ une n-formede Pflster(¶
eventuellemen
t isotrop
es).La formeq estditevoisine
de ’ si
(i)dimq > 2n ¡ 1
(ii)
q estsemblable
a unesous-forme
de ’.
elle
laformecompl¶
ementair
e de q.
queq ? q0 / ’ s’app
Une formeq0 telle
Noterquen estl’unique
entier
telque2n ¡ 1 < dimq • 2n .
5.3.2.Th ¶
eoreme ([123,p.3]). | Les formes’ etq0 de lad¶
eflnition
5.3.1sont
uniquement
d¶
etermin
¶
eesparq.
D¶
emonstr
ation
. | Soita 2 F ⁄ telqueq ? q0 ’ a’,etsoien
t ’ 0 un autreformede
0
⁄
0 0
Pflstereta 2 F tels
queq • a ’ .Alors
diman (a’ ? ¡ a0’ 0)< 2n
CHAPITRE
48
5.F ORMES
DEVENANT
ISOTR OPES
et
a’ ? ¡ a0’ 0 2 In F:
Par leth¶
eoreme 3.3.1
, a’ ’ a0’ 0; par lecorollaire
2.1.9
, ’ ’ ’ 0. Finalemen
t,
0
00
0 00
supposonsqueq ? q ’ a’ etqueq ? q ’ b’ pourdeuxformesquadratiques
q ;q
etdeuxscalaires
a;b.Alorsha;¡ bi› ’ 2 GP (F ) estisotrop
e,donchyperbolique
;on
en d¶
eduitquea’ ’ b’,doncqueq0 ’ q00.
Le lemme suiv
ant estsouvent utile
:
5.3.3.Lemme . | Soientq1;q2 deuxvoisines
de codimension
1 d’unem ^
eme forme
de Pflster’.A lorsq1 etq2 sontsemblables.
D¶
emonstr
ation
. | En efiet,ilexiste
a1;a2;b1;b2 2 F ⁄ telsque qi ? haii ’ bi’
(i= 1;2).Alorsaiqi ? h1i’ aibi’.Comme 1 2 D (aibi’),on a aibi’ ’ ’ (corollaire
2.1.9
),d’ou ilr¶
esulte
quea1q1 ’ a2q2.
5.3.4.Th ¶
eoreme . | Soient… une formede Pflster,
q une voisine
de … etq0 une
formequadr
atique
anisotr
ope surF .A lors,
a) q … ….
b) q0 4 q , q0 estsemblable
a une sous-forme
de ….
c) q0 … q , q0 estvoisine
de ….
D¶
emonstr
ation
. | a)r¶
esulte
du corollaire
2.1.8
etdu lemme 5.1.4
c).On en d¶
eduit
queq0 4 q sietseulemen
tsiq0 4 ….Dansb),lasu– sancer¶
esulte
alors
du lemme5.1.4
b);
lan¶
ecessit
¶
e r¶
esulte
du corollaire
2.1.8
etdu th¶
eoreme 3.2.4
.Dans c),lasu– sancea
¶
et¶
e vue;pourlan¶
ecessit
¶
e,ilsu– t de voirqueq0 … … implique
queq0 estvoisine
de
0
de … ;d’autre
part,
leth¶
eoreme
….On sait
d¶
eja queq estsemblable
a unesous-forme
5.2.2
implique
quedimq0 > 21 dim….
On peutd¶
emontrer(voir[68],[82]):
5.3.5.Proposition
. | Pour q;n comme dans lecorollair
e 5.2.8
, lesconditions
suivantes
sont¶
equi
valen
tes:
(i)i1(q)= dimq ¡ 2n ;
(ii)
ilexiste
K =F telqueqK soitvoisine
d’uneK -formede Pflstereth(qK ) =
h(q).
5.3.6.R emar que. | On prendragardeau fait
que,dansleth¶
eoreme 5.3.4
b),q0
n’est
pasen g¶
en¶
eralsemblable
a une sous-forme
de q.Un exempleavecdimq0 = 3
etdimq = 5 estd^
u a W adsworth(nonpubli
¶
e):on letrouv
eradansl’article
de Lam
[145],ainsi
que de nombreuxautres
exemples.
Pourdesr¶
esultats
positifs,
voirpar
contrelex8.2
.
5.4.F ORMES
EX CELLENTES
49
5.4.Formes excellen
tes
5.4.1.D ¶
eflnition
. | Soien
t K =F une extension
et’ une formequadratique
sur
K . On ditque ’ estd¶
eflniesurF s’il
existe
une formequadratique
ˆ surF telle
que ˆ K ’ ’. On ditque ’ estd¶
eflniesurF a ¶
equivalenc
e de Wittpres si[’] 2
Im(W (F )! W (K )).
Pourtouteformequadratique
q surF ,lesnoyaux sup¶
erieurs
qi sont ¶
evidemmen
t
d¶
eflnissurF a ¶
equiv
alence
de Wittpres.La question
seposede savoirquandqi est
d¶
eflnisurF .On va r¶
epondrecompletemen
t a cette
question
dansdeuxcas:
{ i= 1;
{ qi estd¶
eflniesurF pourtouti.
Commen »
consparun lemme d^
u a Knebusch :
5.4.2.Lemme ([123,prop.7.2]
). | Soitq une formequadr
atique
surF . Notons
(F i;qi)0• i• h satourde d¶
eploiement
g¶
en¶
erique
,etsoitr 2 [1;h].A lorsl’ensemble
X r(q)= f[’]2 W (F )j’ F r » qr et dim’ < dimqr¡ 1g
a au plusun ¶
el
¶
ement.
D¶
emonstr
ation
. | a)Soit[’]2 X = X r(q)avecdim’ minimal(donc’ anisotrop
e),
soitsipossible
[’ 0] 2 X avec ’ 0 6
» ’ etposons· = (’ ? ¡ ’ 0)an (6
’ 0). Traitons
d’abord lecasr = 1. On a alors·F (q) » 0. En appliquan
t leth¶
eoreme 3.2.4
, on
obtien
t
· ’ aq? ˆ
ˆ etun scalaire
a convenables.
Notonsque[¡ aˆ]2 X .
pourune formequadratique
D’autre
part,
on a
dim’ + dim’ 0 ‚ dim· = dimq + dimˆ
ou
dim’ ¡ dimˆ ‚ dimq ¡ dim’ 0 > 0
¶
e de dim’.
cequicontredit
laminimalit
Supposonsmaintenan
t r > 1.On raisonne
parr¶
ecurrence
surr.Soits 2 [0;r ¡ 1]
maximaltelque·F s 6
» 0.Sis = 0,on raisonne
comme danslecasr = 1 pourobtenir
une contradiction.
Sis > 0, on applique
l’h
ypothesede r¶
ecurrence
surF 1, ce qui
donnede nouveauunecontradiction.
5.4.3.Th ¶
eoreme (Knebusch, Hofimann) . | On a X 1(q)6
= ; sietseulement
si
q estvoisine
d’uneformedePflster’ ;l’
¶
el
¶
ementdeX 1(q) estalors
[¡ ˆ],ou ˆ estla
formecompl¶
ementair
e de q.Dans ce cas,ˆ F (q) estanisotrop
e,autr
ementditq1 est
d¶
eflniesurF .De plus,
on a
deg’ > degq + 1:
CHAPITRE
50
5.F ORMES
DEVENANT
ISOTR OPES
D¶
emonstr
ation
. | Siq estvoisine
d’uneformede Pflster’,on a
q ? ˆ ’ a’
ou ˆ estlaformecompl¶
ementaire
de q.On a dimˆ < dimq et
qF (q) ? ˆ F (q) ’ a’ F (q) » 0
donc[¡ ˆ]2 X 1(q).
R¶
ecipro
quement,soit̂ telle
que[¡ ˆ]2 X 1(q).On a donc
(q ? ˆ)F (q) » 0:
Parhypothese,
dim(q ? ˆ)< 2dimq;en appliquan
t leth¶
eoreme 4.4.4
,on obtien
t
queq ? ˆ estsemblable
a uneformede Pflster
anisotrop
e ’.Comme dimq > dimˆ,
q estvoisine
de ’.
Pourvoirqueˆ F (q) estanisotrop
e,ilsu–t maintenan
t de remarquer
quedimˆ et
dimq sont s¶
epar
¶
esparunepuissance
de 2 etd’appliquer
leth¶
eoreme 5.2.2
.
Ilreste
a voirladerni
erein¶
egalit
¶
e :maison a 2deg q • dimq1 et
dimq1 <
1
dim(q ? ¡ q1)= 2deg ’ ¡ 1
2
d’ou l’
¶
enonc
¶
e.
5.4.4.R emar que. | La partie
\si"du th¶
eoreme 5.4.3
estleth¶
eoreme 7.3deKnebusch [123].La d¶
emonstration
deKnebusch ¶
evitait
leth¶
eoreme deFitzgerald
4.4.4
(qui
n’¶
etait
alors
pasd¶
emontr¶
e)mais¶
etait
nettemen
t plusd¶
elicate.
Peut^
etreFitzgerald
a-t-il
¶
et¶
e inspir
¶
e parcer¶
esultat
de Knebusch.Ila fallu
attendre
leth¶
eoreme de Hofimann 5.2.2
pourpouvoird¶
emontrerlapartie
\seulemen
t si",
qui¶
etait
une question
pos¶
eeparKnebusc
h [123,question
8.3]
(Knebusc
h avaitr¶
eussi
a lad¶
emontrer
jusqu’
a
deg’ = 5,[123,prop.8.1]
).
un autrer¶
esultat
de Knebusch [123,th.9.9]
,
Nous allons
maintenan
t g¶
en¶
eraliser
ci-dessous
(voiraussi
[97,prop.3]).
quiconcerne
lecasj = h ¡ 1 du corollaire
= ; pour un j 2]0;h(q)[
, etsoitq
~j 2
5.4.5.Corollair
e. | SupposonsqueX j(q) 6
X j(q),anisotr
ope.A lorsdim q
~j = dimqj et
deg(q ? ¡ q
~j)= deg(qj¡ 1 ? ¡ q
~j › F F j¡ 1)> degq + 1:
D¶
emonstr
ation
. | La derni
erein¶
egalit
¶
e r¶
esulte
du th¶
eoreme 5.4.3
.D’apr
eslelemme
4.3.2
,on a deg(q ? ¡ q
~j)• deg(qj¡ 1 ? ¡ q
~j › F F j¡ 1).Supposonsquel’in
¶
egalit
¶
e soit
stricte,
etsoit¿ laformedominantede q ? ¡ q
~j : d’apr
esleth¶
eoreme 4.4.1
etle
th¶
eoreme 5.4.3
,on a
dimq • dim¿ •
contradiction.
1
1
diman (qj¡ 1 ? ¡ q
~j › F F j¡ 1)< (dimqj¡ 1 + dimqj¡ 1)• dimq
2
2
5.4.F ORMES
EX CELLENTES
51
Pour voirque dim q
~j = dimqj, on applique
leth¶
eoreme 4.4.4: par hypothese
dim q
~j < dimqj¡ 1,doncqj¡ 1 ? ¡ q
~j › F F j¡ 1 estsemblable
a une formede Pflster
anisotrop
e,eta fortiori
q
~j › F F j¡ 1 estanisotrop
e.
5.4.6.R emar que. | Dans lecorollaire
5.4.5
, notonssimplemen
tq
~j = qj ; soien
t
’ = (q ? ¡ qj)an ,e = h(’) et(L i)0• i• e latourde d¶
eploiemen
t g¶
en¶
erique
de ’.De
m^
eme quedans[123,Ex.9.10]
,on voittoutde suite
queF j est¶
equiv
alen
t a L e au
sensqu’il
existe
desF -places
de l’unversl’autre
danslesdeuxsens,
etqu’il
existe
une placede L e¡ 1 versF j¡ 1 sp¶
ecialisan
t ’ e¡ 1 en qj¡ 1 ? ¡ qj (notons
que cesdeux
formessont semblables
a desformesde Pflsterde m ^
eme degr
¶
e d’apr
eslecorollaire
5.4.5
).
5.4.7.Proposition
. | Soitq une formequadr
atique
surF eti 2 [0;h(q)]
. Les
conditions
suivantes
sont¶
equivalentes
:
(i)qi estd¶
eflniesurF .
(ii)
Pourtoute
extension
K =F tel
lequediman (qK )= dimqi,laforme(qK )an est
d¶
eflniesurF .
D¶
emonstr
ation
. | Ilestclair
que (ii)
) (i).
P our l’implication
r¶
ecipro
que,notons
K i = K F i, etnotonsencoreqi l’unique
F -formequadratique
telle
que (qi)F i ’ qi
(cf.lemme 5.4.2
).On a ¶
evidemmen
t
(qi)K i » (qK )K i :
On voitcomme danslad¶
emonstration
du th¶
eoreme 4.1.3
quel’extension
K i=K est
transcendan
tepure.Ilen r¶
esulte
que
(qi)K » qK
(cf.lemme 2.4.1
).Comme par hypothesediman (qK ) = dimqi, on en d¶
eduitque
(qi)K ’ (qK )an .
5.4.8.Th ¶
eoreme (cf.Knebusch [123,th.7.14etrem.7.15]
)
Soient
q uneformequadr
atique
surF eti2 [0;h(q)]
.Lesconditions
sui
vantessont
¶
equivalentes
:
(i)Pour toutj • i,X j(q)6
= ;.
(ii)
Ilexiste
desF -formesde Pflster¿1;:::;¿i, desF -formesq00;:::;qi0 etdes
0
scalair
esa1;:::;ai tels
queq00 = qan etque,pourtoutj 2 [1;i], on aitqj¡
1 ?
¡ qj0 ’ aj¿j.
(iii)
cf.[99,prop.5.1]
: Ilexiste
desF -formes
de Pflster¿1;:::;¿i, tel
lesque
¿j j¿j¡ 1 pourj 2 [1;i],desF -formes
q00;:::;qi0 etun scalair
e a tels
queq00 = qan
0
0
j+1
etque,pourtoutj 2 [1;i],on aitqj¡
a¿j.
1 ? ¡ qj ’ (¡ 1)
52
CHAPITRE
5.F ORMES
DEVENANT
ISOTR OPES
Lorsquecesconditions
sontv¶
eri
fl¶
ees,on a
[q]= a([
¿1]¡ [¿2]+ ¢¢¢+ (¡ 1)i+1 [¿i])+ (¡ 1)i+2 [qi0]
dansW (F ). De plus,
on a h(qi0) = h(q)¡ i, etlasuitede d¶
eploiement
de qi0 (cf.
d¶
eflnition
4.1.1
) est(dimqi;:::;dimqh ).
D¶
emonstr
ation
. | Ilest¶
eviden
t que (iii)
) (ii).
Mon tronsque (ii)
) (i):ilsu–t de
parr¶
ecurrence
surj,lecas
prouverque,pourtoutj • i,(qj0)F j ’ qj.On raisonne
j= 0 ¶
etan
t trivial.
Sij > 0,parhypotheseon a
0
(qj¡
1 )F j¡ 1 ’ qj¡ 1
d’ou
(aj¿j)F j¡ 1 ’ qj¡ 1 ? ¡ (qj0)F j¡ 1 :
formeestanisotrop
e etilen estdoncde
Comme qj¡ 1 estvoisine
de (¿j)F j¡ 1 ,cette
m^
eme de (qj0)F j¡ 1 .D’autre
part,
(aj¿j)F j » 0
donc
(qj0)F j » qj:
Maisd’apr
esleth¶
eoreme 5.4.3
,(qj0)F j estanisotrop
e,cequiconclut
lad¶
emonstration
) (i).
de (ii)
Mon tronsmaintenan
t que (i)
) (iii).
Gr^
aceau lemme 5.4.2
etau corollaire
5.4.5
,
0
tede qj a F .Mon tronsd’abordque,pourtout
notons,
pourtoutj • i,qj ladescen
0
0
j, qj¡
?
¡
q
2
GP
(
F
)
.
On
raisonne
encorepar r¶
ecurrence
suri. Cecipermetde
1
j
supposerl’
¶
enonc
¶
e vraipourj < i.
0
0
Soit‰ = qi¡
eslaproposition
4.2.1
,ilsu–t demontrerqueh(‰)• 1.
1 ? ¡ qi.D’apr
NotonsK = F (‰) etK j = K F j.D’apr
esleth¶
eoreme 5.4.3
,on a ‰F i¡ 1 2 GP (F i¡ 1).
Parcons
¶
equent,‰K i¡ 1 » 0.
pourtoutj 2 [0;i¡ 1],parr¶
ecurrence
descenMon tronsque‰K j esthyperbolique
dantesurj.On a K j = K j¡ 1(qj¡ 1) etd’autre
part,
toujours
parleth¶
eoreme 5.4.3
,
t le
ecurrence
‰K j » 0. En appliquan
” := qj¡ 1 ? ¡ (qj0)F j¡ 1 2 GP (F j¡ 1). Par r¶
th¶
eoreme 5.3.4
a),on obtien
t donc
‰K j¡ 1 (”)» 0:
Supposons‰K j¡ 1 6
» 0.D’apr
esleth¶
eoreme 3.2.4
,on a alors
dim” • dim‰K j¡ 1 ,ou
encore
dimqj¡ 1 + dimqj • dimqi¡ 1 + dimqi
cequiestabsurde.
Ainsi,
‰K j¡ 1 » 0 etflnalemen
t ‰K » 0.
5.4.F ORMES
EX CELLENTES
53
Parr¶
ecurrence
suri(appliqu
¶
eea q10),ilexiste
a 2 F ⁄ etdes¿j 2 P (F ) (j 2 [2;i])
0
0
j+1
tels
que¿j+1 divise
¿j etqueqj¡ 1 ? ¡ qj ’ (¡ 1) a¿j pourj > 1.D’autre
part,
on
a
q ? ¡ q10 ’ b¿1
pourb 2 F ⁄ et¿1 2 P (F ) convenables.
Toutd’abord,comme q10 estvoisine
de ¿2,on
a d’apr
esleth¶
eoreme 5.3.4
a),
(¿1)F (¿2 ) » 0
donc¿2 divise
¿1,eten particulier
D (¿2)‰ D (¿1).Mais
D (q10)‰ D (¡ a¿2)
doncD (a¿1)\ D (b¿1)6
= ;.Parm ultiplicativit
¶
e de ¿1,ilen r¶
esulte
queab2 D (¿1)=
G (¿1),etdoncqueb¿1 ’ a¿1.
Pourd¶
emontrerladerni
ereassertion,
ilsu–t
La valeurde [q]2 W (F ) estclaire.
0
parr¶
ecurrence
de traiter
lecasi= 1.SoitS lasuite
de d¶
eploiemen
t de q1.On a
(q10)F 1 » q1
donc,d’apr
esleth¶
eoreme 4.1.3
,S
fdimq1;:::;dimqh g,ou h = h(q).D’autre
part,
qF (q10 ) » ¡ (q10)F (q10 )
doncS n fdimq10g ‰ fdimq2;:::;dimqh g (noter
quediman qF (q10 ) < dimq10 = dimq1).
Ilen r¶
esulte
queS = fdimq2;:::;dimqh g eten particulier
queh(q10)= h(q)¡ 1.
5.4.9.D ¶
eflnition(Knebusch [123,def.7.7]
). | Une formequadratique
q estexcellente
siqan v¶
eri
fle lesconditions
du th¶
eoreme 5.4.8
aveci= h(q).
5.4.10.Exemple. | Pourtoutn ‚ 1,laformenh1i estexcellen
te.
5.4.11.Proposition
. | Siq estexcellente
etanisotr
ope,sa suite
de d¶
eploie
ment
S ne d¶
ependquede n = dimq.On a
S = fn;c(n);c(c(n));:::g
ou,pourtoutk 2 N ,c(k)= 2l(k) ¡ k (cf.notation
5.2.1
).En particulier,
h(q)= h(n)
ne d¶
ependquede n.
Signalons
leth¶
eoreme r¶
ecen
t suiv
ant de Hurrelbrink,
Karpenko etRehmann :
5.4.12.Th ¶
eoreme ([80]). | Soitq une formeanisotr
ope de dimension
n. A lors
h(q)‚ h(n).
54
CHAPITRE
5.F ORMES
DEVENANT
ISOTR OPES
5.5.Formes de Pflster crois
¶
ees
5.5.1.D ¶
eflnition(Fitzgerald)
. | Une formequadratique
estbonne sisafor
me
dominante(d¶
ef.4.3.1
b))estd¶
eflniesurlecorpsde baseF .
5.5.2.Proposition
. | Soitq une formequadr
atique
surF , etsoit’ une forme
quadr
atique
surF (q).Supposons’ d¶
eflniesurF parune formeˆ.Sidim’ < dimq
etsi’ 2 GP (F (q)),alorŝ 2 GP (F ).Si’ 2 P (F (q)),alors
on peutchoisir
ˆ dans
P (F ).Dans cesconditions,
ˆ estunique.
D¶
emonstr
ation
. | Pourlapremiereassertion,
ilsu–t de montrerqueh(ˆ)= 1.On
a
ˆ F (q;ˆ ) ’ ’ F (q;’ ) » 0:
Supposonsˆ F (ˆ ) 6
» 0.Parleth¶
eoreme 3.2.4
,qF (ˆ ) estalors
semblable
a unesousformedeˆ F (ˆ ),cequiestimpossible
puisque
dimq > dimˆ.Finalemen
t,si’ estune
formede Pflster
etˆ ’ a¿ aveca 2 F ⁄ et¿ 2 P (F ),on a a¿F (q) ’ ’,donc¿F (q) ’ ’
d’apr
eslecorollaire
2.1.9
.
Enfln,soit̂ 0 uneautreformetelle
queˆ F0 (q) ’ ’.Parlem ^
eme raisonnemen
t que
0
0
0
0
ci-dessus,
on voitqueˆ F (ˆ ) » 0;doncˆ / ˆ puisque
dimˆ = dimˆ.Siˆ 2 P (F ),
on a doncˆ 0 ’ ˆ d’apr
eslecorollaire
2.1.9
.
5.5.3.Corollair
e. | Siq estbonne,saformedominanteestd¶
eflniesurF parune
formede Pflsteruniquement
d¶
etermin
¶
ee.Cetteformeestappel
¶
ee ladescen
tede la
formedominantede q.
D¶
emonstr
ation
. | On applique
laproposition
5.5.2
de manierer¶
ep¶
et¶
eedanslatour
de d¶
eploiemen
t g¶
en¶
erique
de q.
5.5.4.D ¶
eflnition(Hofimann [70,d¶
ef.3.4]
). | Soit’ uneformequadratique
sur
n
F de dimension
2 .
¶
ees’il
existe
’ 2 P n (F )et¿ 2
a)On ditqueq estune(n;m )-formedePflstercrois
P m (F )anisotrop
es,avec1 • m < n,telles
queq = ’ ¡ ¿ dansW (F ).L’ensem
bledes
(classes
d’isom
¶
etrie
de)(n;m )-formes
dePflster
crois
¶
eesestnot¶
e P n;m (F ).L’ensem
ble
d’isom
¶
etrie
de)formessemblables
a une (n;m )-formede Pflstercrois
¶
ee
des(classes
estnot¶
e GP n;m (F ).
b) On ditque q estune (n;m )-formede Pflsterfaiblement
crois
¶
ee s’il
existe
¿2
P m (F ) avec1 • m < n etuneforme· de dimension
impaire
telles
que
q · ¿ › · (mod Jn (F )):
L’ensem
bledes(classes
d’isom
¶
etrie)
de (n;m )-formes
de Pflsterfaiblemen
t crois
¶
ees
w
estnot¶
e P n;m
(F ).
5.5.5.R emar que. | La d¶
eflnition
donn¶
eeci-dessus
estun peu pluslarge
quecelle
de Hofimann,quine consid
erequelesformesde Pflstercrois
¶
eesanisotrop
es.
5.5.F ORMES
DE PFISTER
¶
CR OIS EES
55
5.5.6.Lemme . | Une formeq estsemblable
a une (n;m )-formede Pflstercrois
¶
ee
sietseulement
siq ’ · › … avec · 2 GP n ¡ m +1 ;1(F ) et… 2 P m ¡ 1(F ).
D¶
emonstr
ation
. | Celar¶
esulte
facilemen
t du th¶
eoreme 2.3.2
.
5.5.7.Proposition
w
(F ).
a) On a GP n;m (F )‰ P n;m
b) Soient
q;¿ comme danslad¶
eflnition
5.5.4
b).A lorslaformedominante
deq est
d¶
eflniesurF par¿ ;en particulier,
¿ estunique,
q 2= GP (F ),on a deg(q)= m ,
etq estbonne.Sim < n ¡ 1,qh¡ 1 estd¶
eflniesurF ,ou h = h(q).
c) Si’;¿ sontcomme danslad¶
eflnition
5.5.4
a),laforme’ estelleaussi
uniquement d¶
etermin
¶
ee par q; lesformes’ et¿ sont(m ¡ 1)-li
¶
eesau sensde la
d¶
eflnition
2.3.1
.La formeqan estexcellente
sietseulement
siq estisotr
ope.
D¶
emonstr
ation
a) est¶
eviden
t.
b) Par leth¶
eoreme 4.3.3
, laformedominantede q estd¶
eflniesurF par¿. Par
cons
¶
equent,on a deg(q) = m ; puisqueq estde dimension
2n , ilen r¶
esulte
que q 2= GP (F ).L’unicit
¶
e de ¿ d¶
ecoule
du corollaire
5.5.3
.Sim < n ¡ 1,on
(1)
6.1.4
ci-dessous
,q · a¿ (mod Jm +2 (F ))
remarqueque,d’apr
eslecorollaire
⁄
pour un a 2 F convenable.
Le th¶
eoreme 4.3.3implique
alorsque qh¡ 1 est
d¶
eflniesurF para¿.La premiereassertion
de c)r¶
esulte
imm ¶
ediatemen
t de b);
lesdeuxautres
r¶
esulten
t du th¶
eoreme 2.3.2
.
w
5.5.8.Th ¶
eoreme (cf.[70,prop.3.6]
). | Soitq 2 P n;m
(F ), et soit¿ sa forme
dominante(vuesurF).Supposonsq anisotr
ope.A lors
(i)qF (¿) estsemblable
a une n-formede Pflsteranisotr
ope.
(ii)
h(q)= 2 sim = n ¡ 1;on a alors
i1(q)= 2n ¡ 2.
(iii)
h(q)‚ 3 sim < n ¡ 1.
(iv)Sim < n ¡ 1 etq · a¿ (mod Jn (F ))pourun a 2 F ⁄ , alorsh(q) = 3 et
i1(q)= 2m ¡ 1.
D¶
emonstr
ation
. | D’apr
eslecorollaire
4.3.7
,qF (¿) 2 GP n (F (¿)).Supposonsq isotrop
e,
donchyperbolique.
Parlecorollaire
3.2.5
,on a q ’ ¿ › ‰ pour‰ convenable.
Mais
dim‰ = 2n ¡ 2m estpaire
;on a alors
q 2 Im +1 F ,cequiestabsurde.
Cecid¶
emontre
(i).
D’apr
eslaproposition
5.5.7
b),on a h(q)‚ 2.Soit(F i;qi) latourde d¶
eploiemen
t
g¶
en¶
erique
de q.On a dimq1 < 2n ;parleth¶
eoreme 3.3.1
,on a donc(q1)F 1 (¿) » 0
(1)Le
lecteur
v¶
eriflera
que lad¶
emonstration
du corollaire
6.1.4n’utilise
paslaproposition
5.5.7a).
56
CHAPITRE
5.F ORMES
DEVENANT
ISOTR OPES
t lesdimensions,
on obtien
t
et,parlecorollaire
3.2.5
, q1 ’ ¿F 1 › . En comparan
1 • dim • 2n ¡ m ¡ 1.De plus,
dim estimpaire
(voirci-dessus).
Supposonsm = n ¡ 1.Alorsdim = 1,d’ou h(q) = 2;on a i1(q) = 21 (dimq ¡
dimq1)= 2n ¡ 2.Cecid¶
emontre(ii).
Supposonsmaintenan
t m < n ¡ 1.Sih(q)= 2,q
estexcellen
ted’apr
eslaproposition
5.5.7
b);maisc’est
impossible,
puisque
dimq est
unepuissance
de 2.On a donch(q)‚ 3.Cecid¶
emontre(iii).
Supposonsenfln m < n ¡ 1 etq · a¿ (mod Jn (F ))pourun a 2 F ⁄ .Posons
„ = (q ? ¡ a¿)an
ˆ = ¿F 1 › ( ? h¡ai)» „F 1 :
On a „ 2 Jn (F ) et0 < 2n ¡ 2m • dim„ • 2n + 2m ,d’ou deg(„) = n.D’autre
part,̂ 2 Jn (F 1) etdim( ? h¡ ai)• 2n ¡ m ,d’ou ˆ 2 GP n (F 1) (cf.corollaire
4.3.7
).
Siˆ » 0,alors
en particulier,
deg(„F (q))> deg(„);parleth¶
eoreme 4.4.1
(ii),
ceci
entra
^‡nequeq 2 GP (F ),cequicontredit
laproposition
5.5.7
b).Parcons
¶
equent,ˆ
e.
estanisotrop
On a doncdimq1 = 2n ¡ 2m > 2n ¡ 1,etdoncq1 estvoisine
,deformecompl¶
ementaire
a¿F 1 .Ilen r¶
esulte
queq2 ’ a¿F 2 ,doncqueh(q)= 3.De plus,
1
i1(q)= (dimq ¡ dimq1)= 2m ¡ 1:
2
Cecid¶
emontre(iii).
5.5.9.R emar que. | On peutmontrer
quei1(q)= 2m ¡ 1 ¶
egalemen
tdanslecas(iii),
cf.[70,cor.3.7]
.
eoreme 5.5.8(ii)
ou (iv),
etsoit
5.5.10.Corollair
e. | Soitq comme dansleth¶
q0 • q tel
lequedimq0 ‚ 2n ¡ 2m ¡ 1.A lorsq0 … q.
D¶
emonstr
ation
. | Celar¶
esulte
du th¶
eoreme 5.5.8
etdu lemme 5.1.4
c).
w
(F ), de
5.5.11.Proposition([70,prop.5.1]
). | Soient1 • m < n et’ 2 P n;m
formedominante¿ 2 P m (F ). Soitˆ anisotr
ope de dimension
‚ 2. Supposonsque
D (’)\ D (ˆ)6
= ;.A lors’ F (ˆ ) estisotr
ope sietseulement
siˆ F (¿) • ’ F (¿).
La condition
D (’)\ D (ˆ)6
= ; peuttoujours
^
etrer¶
ealis
¶
eeen m ultiplian
t ˆ parun
scalaire
convenable(cequine changepassonisotropie).
D¶
emonstr
ation
. | Supposons’ F (ˆ ) isotrop
e.D’apr
esleth¶
eoreme 5.5.8
(i),
’ F (ˆ ;¿) »
0; lan¶
ecessit
¶
e r¶
esulte
alors
du th¶
eoreme 3.2.4
.R¶
ecipro
quement,siˆ F (¿) • ’ F (¿),
alors
’ F (ˆ ;¿) » 0.Si’ F (ˆ ) ¶
etait
anisotrop
e,d’uneparton aurait̂ ’ ¿ › ‰ pour
‰ convenabled’apr
eslecorollaire
3.2.5
, d’autre
part¿F (ˆ ) serait
anisotrop
e.Mais
dim‰ = 2n ¡ m ,d’ou deg(’ F (ˆ ))> m ,d’ou ¿F (ˆ ) » 0,contradiction.
5.5.12.Corollair
e. | Danslaproposition
5.5.11
,supposonsdeplusque’ 2 P n;m (F ).
Soit 2 P n (F ) tel
leque’ = ¡ ¿ 2 W (F ).A lors’ F (ˆ ) estisotr
ope sietseulement
siˆ F (¿) • F (¿).
5.6.EXTENSIONS
EX CELLENTES
D¶
emonstr
ation
. | C’estclair,
puisque
’ F (¿) ’
57
F (¿).
5.6.Extensionsexcellen
tes
(2)
La d¶
eflnition
suiv
anteest((adjoin
te))de lad¶
eflnition
5.4.9
:
5.6.1.D ¶
eflnition
. | Une extension
K =F estexcellente
si,pourtouteformequadratique
q surF ,lapartie
anisotrop
e de qK estd¶
eflniesurF .
Lesextensions
excellen
tesont lapropri
¶
et¶
e importan
tesuiv
ante:
5.6.2.Proposition([50,prop.2.11]
). | SoitK =F une extension
excellente.
Soit
’ 2 P (K ),d¶
eflniesurF .A lorsilexiste
ˆ 2 P (F ) tel
lequeˆ K ’ ’.
D¶
emonstr
ation
. | Soitˆ 2 P (F ) de degr
¶
e maximaltelle
que ˆ K • ’.Supposons
dimˆ < dim’.Parlaproposition
2.4.11
,on peut¶
ecrire
’ ’ ˆ K › ¿,avec¿ 2 P (K ).
Soit¿0 laformepurede ¿.On a
ˆ K › ¿0 » ˆ K ? ¡ ’ 2 Im(W (F )¡! W (K )):
Soit telle
que K ’ ˆ K › ¿0.Choisissons
a 2 D ( ),de sorteque a 2 D (ˆ K ›
0
⁄
¿ )\ F .Parlaproposition
2.3.3
,on peut¶
ecrire
’ ’ (ˆ › hhaii)K › ‰,cequicontredit
lamaximalit
¶
e de deg(ˆ).
Voici
quelques
exemples
d’extensions
excellen
tesetnon excellen
tes:
5.6.3.Exemples
anisotrop
e sur
i)Supposonsque touteformequadratique
anisotro
pe surF reste
K .AlorsK =F estexcellen
te.Cecis’applique
en particulier
aux extensions
de degr
¶
e
impair(th¶
eoreme 1.5.1
),aux extensions
transcendan
tespures(lemme2.4.1
) etplus
unirationnelles
(con
tenuesdansuneextension
transceng¶
en¶
eralemen
t auxextensions
dantepure).
ii)
Soien
t K =F;L=F deuxextensions
r¶
eguli
eres.
SupposonsK L=K etK L=L transcendan
tespures.
AlorsK =F estexcellen
tesietseulemen
t siL=F estexcellen
te.Ce
¶
e au lecteur
en exercice.
fait
estlaiss
iii)
Soien
t q;q0 deux formesquadratique
s anisotrop
essurF . Supposonsq … q0.
0
AlorsF (q)=F estexcellen
tesietseulemen
t siF (q )=F estexcellen
te.Celar¶
esulte
de ii).
iv)Touteextension
quadratique
estexcellen
te.Celar¶
esulte
delaproposition
3.2.1
.
v)Soitq uneformequadratique.
SiF (q)=F estexcellen
te,alors
q estvoisine
d’une
formede Pflster
.Celar¶
esulte
du th¶
eoreme 5.4.3
.
(2)Pluspr¶
ecis
¶
ement,on pourrait
introduirelanotionsuiv
ante:un
couple(q;K )form¶
e d’uneF -forme
quadratique
anisotrop
e etd’uneextension
de F estexcellentsilapartie
anisotrop
e de qK estd¶
eflnie
surF .
CHAPITRE
58
5.F ORMES
DEVENANT
ISOTR OPES
Pourquelles
formesdePflster
’ l’extension
F (’)=F est-elle
excellen
te? La r¶
eponse
estdonn¶
eeparleth¶
eoreme suiv
ant :
5.6.4.Th ¶
eoreme . | Soit’ une n-formede Pflsteranisotr
ope,avec n ‚ 2.A lors
a) A rason [8]: Sin = 2,F (’)=F estexcellente
.
b) Izhboldin[83], Ho fi mann [70]: Supposonsn > 2.A lorsilexiste
uneextensionK =F tel
lequeK (’)=K ne soitpasexcellente.
On va d¶
emontrera)etdonnerdesindications
surlad¶
emonstration
de b).Poura),
ilsu–t de d¶
emontrerque F (q)=F estexcellen
te,ou q = h1;¡ a;¡ bi.Nous suivrons
lam ¶
ethode de Rost[186]:celle
d’Arason
utilise
lastructure
desflbr¶
esvectoriels
sur
une conique
(dueessen
tiellemen
t a Grothendiec
k).D’autres
preuv
essont duesa van
Geel[60]etPflster[180].
SoitR = F [S;T ]=(S 2 ¡ aT 2 ¡ b),de sorte
queK = F (q) estlecorpsdesfractions
de R .On remarqueque R estun F [T ]-modulelibre
de base(1;S).D ¶
eflnissons
d:
R ! N [ f¡1 g par
d(P + SQ )= max(degP;1 + degQ )
pour(P;Q )2 F [T ]2 ¡ f(0;0)g,etd(0)= ¡ 1 .SoitR n = fr 2 R jd(r)• ng :R n est
un sous-espace
vectoriel
de R eton a R 0 = F ,R m R n ‰ R m + n .
Soit(V;’) uneformequadratique
surF .Pourv 2 R n › F V ,¶
ecriv
ons
n
X
v = v0 +
(ST i¡ 1vi + T iw i); vi;w i 2 V:
i=1
’(vn ;w n ) = 0 et’(w n ) =
5.6.5.Lemme . | Supposonsque ’ K (v) = 0. A lors•
¡ a’(vn ).
D¶
emonstr
ation
. | On a
0 = ’(v)
· S 2T 2(n ¡ 1)’(vn )+ 2ST 2n ¡ 1’(
• vn ;w n )+ T 2n ’(w n )
· T 2n (a’(vn )+ ’(w n ))+ 2ST 2n ¡ 1’(
• vn ;w n ) (mod R 2n ¡ 1)
etT 2n ;ST 2n ¡ 1 sont lin
¶
eairemen
t ind¶
ependantsdansR =R 2n ¡ 1.
5.6.6.Lemme . | Supposonsde plusquev 2= R n ¡ 1 › F V .A lorsilexiste
un sousespace L ‰ V de dimension
2 telque
(i)’ jL ’ ch1;¡ ai pourun c 2 F ⁄ ;
(ii)
ilexiste
v
~ 2 R n ¡ 1 › F V n f0g telque’(~
~ v)= 0,avec ’~ = b’ jL ? ’ jL ? .
D¶
emonstr
ation
. | Puisquev 2= R n ¡ 1 › F V ,on a vn 6
= 0 ou w n 6
= 0;puisque
’ est
anisotrop
e,lelemme 5.6.5
implique
quevn etw n sont lin
¶
eairemen
t ind¶
ependantssur
F .SoitL lesous-espace
vectoriel
de V de base(vn ;w n ).Alors’ jL ’ ch1;¡ ai avec
c = ’(vn ).En particulier,
’ jL estnon d¶
eg¶
en¶
er¶
ee.
5.6.EXTENSIONS
EX CELLENTES
59
NotonsE = F [Z ]=(Z 2 ¡ a),etsoitfi l’image
de Z dansE .On peutconsid
¶
ererL
comme un E -espace
vectoriel
de dimension
1 pourlaloi
fivn = w n ; fiw n = avn :
Pourcette
loi,
on a ’ jL (xu)= N E =F (x)’ jL (u),(x;u)2 E £ L.
SoitW = L ? ;¶
ecriv
onsv = x + y,x 2 L,y 2 W .Alorsx 2 T n ¡ 1(Svn + T w n )+
R n ¡ 1 › F L ety 2 R n ¡ 1 › F W .Posons
v
~ = b¡ 1(S ¡ T fi)x + y:
Alors~
’(~
v)= 0,car
b’jL (b¡ 1(S ¡ T fi)x)= b¡ 1N E =F (S ¡ T fi)’ jL (x)= b¡ 1(S 2 ¡ aT 2)’ jL (x)= ’ jL (x):
Ilreste
a voirque v
~ 2 R n ¡ 1 › F V .Pourcela,
ilfautmontrerque (S ¡ T fi)x 2
R n ¡ 1 › F L.
¶
Supposonsd’abordn ‚ 2.Ecriv
ons
x = T n ¡ 1(S + T fi)vn +
n
X¡ 1
(ST i¡ 1vi0 + T iw i0)+ v00; vi0;w i0 2 L:
i=1
On peut¶
ecrire
ST n ¡ 2vn0 ¡ 1 + T n ¡ 1w n0 ¡ 1 = (ST n ¡ 2 + fiT n ¡ 1)vn0 ¡ 1 + T n ¡ 1(w n0 ¡ 1 ¡ fivn0 ¡ 1)
de sorte
que
x = T n ¡ 1(S + T fi)vn + T n ¡ 2(S + T fi)„vn + T n ¡ 1‚ + x
~ = ((S + T fi)! + T n ¡ 1‚)vn + x
~
avec‚;„ 2 E ,! = T n ¡ 1 + T n ¡ 2„ et~
x 2 R n ¡ 2 › F L.
„
Soit‚ leconjugu
¶
e de ‚ sousl’action
de Gal(E =F).Comme y 2 R n ¡ 1 › F W ,on a,
t mo duloR 2n ¡ 2 :
en calculan
0 = ’(v)· ’(x)
· N E =F ((S + T fi)! + T n ¡ 1‚)’(vn )
„
· (N ((S + T fi)!)+ Tr((S + T fi)!T n ¡ 1‚)+
N (T n ¡ 1‚))’(vn )
„
· (bN (!)+ Tr(S + T fi)T 2n ¡ 2‚)+
0)’(vn )
„
„ ’(vn ) (mod R 2n ¡ 2):
· (0+ ST 2n ¡ 2 Tr(‚)+
T 2n ¡ 1 Tr(fi ‚))
„
„
Ilen r¶
esulte
queTr(‚)=
Tr(fi ‚)=
0,doncque‚ = 0.Finalemen
t,
(S ¡ T fi)x = b!vn + (S ¡ T fi)~
x 2 R n ¡ 1 › F L:
Supposonsmaintenan
t n = 1.Alorsx = (S + T fi + ‚)vn pourun ‚ 2 E ,etilsu–t
de montrerque‚ = 0.Mais
„
„
0 = ’(v)= (b+ S Tr(‚)+
T Tr(fi ‚)+
N (‚))’(vn )+ ’(y)
d’ou de nouveau‚ = 0,puisque
’ (y)2 F .
60
CHAPITRE
5.F ORMES
DEVENANT
ISOTR OPES
5.6.7.Proposition
. | Soientq = h1;¡ a;¡ bi, K = F (q) = F rac(F [S;T ]=(S 2 ¡
2
aT ¡ b))et’ une formequadr
atique
surF .A lorsilexiste
un entier
p,desformes
⁄
’ i;ˆ i (0• i• p) etdesscalair
esci 2 F (0• i• p ¡ 1)tels
que’ 0 = ’ et
(i)’ i ’ cih1;¡ ai? ˆ i,0 • i• p ¡ 1;
(ii)
’ i+1 ’ cibh1;¡ ai? ˆ i,0 • i• p ¡ 1;
(iii)
((’ p )an )K estanisotr
ope.
D¶
emonstr
ation
.| R¶
ecurrence
surdim’. On peut supposer’ anisotrop
e et ’ K
isotrop
e.
Comme K estlecorpsdesfractions
de R ,ilexiste
n ‚ 0 etv 2 R n › F V tels
que
’(v) = 0.On raisonne
parr¶
ecurrence
surn.Puisque’ estanisotrop
e,on a n > 0.
On peutsupposerquev 2= R n ¡ 1 › F V .On choisit
’ 1 = ’,ou
~
’~ estcomme dansle
lemme 5.6.6
.Si’~ estanisotrop
e,on applique
l’h
ypothesede r¶
ecurrence
pourn ¡ 1;
’) < dim’.On
’ estisotrop
e,on applique
l’h
ypothesede r¶
ecurrence
pourdiman (~
si~
obtien
t ainsi
une suite
de formes(’ 0;:::;’ p ) v¶
eri
flant lesconditions
(i)
{(iii)
de la
proposition
5.6.7
(p estlepremier
entier
{ quiexiste
n¶
ecessairemen
t { telque(’ p )an
reste
anisotrop
e surK ).
5.6.8.R emar que. | On peutmontrerque,danslad¶
emonstration
ci-dessus,
l’endim ’ ¡ i(’ K )
de lasuite
tier
n peut^
etrechoisi
•
,cf.[148].Celarendlaconstruction
2
(’ i) efiectiv
e.
D¶
emonstr
ationdu th¶
eoreme 5.6.4a). | On remarquesimplemen
t qu’a
veclesnotations
de laproposition
5.6.7
,(’ i)K ’ ’ K pourtouti• p.
La d¶
emonstration
de b)reposesurleth¶
eoreme suiv
ant :
). | Soient1 • m < n etq 2 P n;m (F ),d¶
eflniepar
5.6.9.Th ¶
eoreme ([70,th.7.2]
( ;¿).Soit’ 2 P n (F ).SupposonsqF (’ ) isotr
ope et(qF (’ ))an d¶
eflniesurF .A lors
et’ sont(n ¡ 1)-li
¶
ees.
(Lar¶
ecipro
queestvraie,
cf.[70,th.7.2]
.)
. | On remarqued’abordque
D¶
emonstr
ation
(
2m
diman (qF (’ ))=
2n ¡ 2m
si ’ ’
si 6’’.
En efiet,si ’ ’,ona qF (’ ) » ¡ ¿F (’ ) ;d’autre
part,
¿F (’ ) estanisotrop
ed’apr
esle
th¶
eoreme 3.2.4
.Si 6
’ ’, F (’ ) estanisotrop
eet2n > diman (qF (’ ))‚ dim ¡ dim¿ =
2n ¡ 2m .Parleth¶
eoreme 5.5.8
,i1(q)= 2m ¡ 1,d’ou l’assertion.
Supposons(qF (’ ))an d¶
eflniesurF paruneforme·.D’apr
escequipr¶
ecede,on a
2m • dim· • 2n ¡ 2m
5.7.F ORMES
DE HA UTEUR
2
61
d’ou
0 < diman (q ? ¡ ·)< 2n +1 :
Comme (q ? ¡ ·)F (’ ) » 0,lecorollaire
3.2.5
entra
^‡neque(q ? ¡ ·)an ’ a’ pour
un scalaire
a.Parcons
¶
equent :
a’ » q ? ¡ · »
? ¡¿? ¡·
c’esta-dire
? ¡ a’ » ¿ ? ·:
Maisdim(¿ ? ·) • 2m + 2n ¡ 2m = 2n ,d’ou i( ? ¡ a’) ‚ 2n ¡ 1.La conclusion
r¶
esulte
alors
du th¶
eoreme 2.3.2
.
La d¶
emonstration
du th¶
eoreme 5.6.4
b) consiste
alors
a fabriquer
une extension
convenable
K de F ,uneforme 2 P n (K )telle
que’ et ne soien
tpas(n ¡ 1)-li
¶
ees
,
que¿ et soien
t(m ¡ 1)-li
¶
ees
,telles
queq := ( ? ¡ ¿)an
etuneforme¿ 2 P m (K )telle
devienne
isotrop
e surK (’).Nous renvoyonsa [83]eta [70,x8]pourlesd¶
etails.
Sivatskia tra
vaill
¶
e surlesextensions
excellen
tes,donnant de nombreuxcontreexemples
: notamment desexemples
d’extensions
biquadratiques
non excellen
tes,
cf.
[199].
5.7.Formes de hauteur 2
La classi
flcation
desformesdehauteur
2 est,
a l’heure
actuelle,
encore
un probl
eme
ouvert.
Leterrain
a toutefois
¶
et¶
e biend¶
efric
h¶
e parKnebusch,Fitzgerald
,l’auteur
,Hurconnus(voiraussi
xE.9.A
).
rel
brink
-RehmannetHofimann.D ¶
ecriv
onsici
lesr¶
esultats
Soitq uneformequadratique
de hauteur
2.On peutclassi
flerq selon
l’undestrois
typessuiv
ants:
T ype I : q estexcellen
te.
T ype II : q estbonnesans^
etreexcellen
te.
T ype III : q n’est
pasbonne.
Lesformesexcellen
tessont consid
¶
er¶
eescomme connues.Pourlesautres,
on a :
5.7.1.Th ¶
eoreme . | Siq estde typ
e II,
a) Knebusch [123,lemme 10.1]
: qF (¿) 2 GP (F (¿))n f0g, ou ¿ estladesc
ente
de laformedominantede q;on a dimq = 2N ,avec N > degq.
b) Ho fimann [71]: On a N = deg(q)+ 1. En particulier,
q 2 P nw+1 ;n(F ), ou
n = deg(q).
D¶
emonstr
ation
CHAPITRE
62
5.F ORMES
DEVENANT
ISOTR OPES
a) On a qF (q;¿) » 0, donc h(qF (¿)) • 1. SupposonsqF (¿) isotrop
e,donc hyperbolique.
Par lecorollaire
3.2.5
, ilexiste
‰ telle
que q ’ ¿ › ‰. Comme
deg(¿)= deg(q),dim‰ estn¶
ecessairemen
t impaire.
Maisalors,
on a
‰ · hai (mod I2F )
(3)
poura 2 F ⁄ convenable(cf.corollaire
6.1.4
).Donc
q ’ a¿ ? ˆ
avecdegˆ > degq + 1.D’apr
esleth¶
eoreme 4.3.3
,q1 estd¶
eflniesurF ,cequi
contredit
l’h
ypothese.
¶
b) Ecriv
ons
¿=
› hhaii
avec 2 P n ¡ 1(F ). Soien
t k ‚ 1, K = F (T1;:::;Tk ) et· = hhT1;:::;Tk ii 2
e parlelemme 2.4.1
et K › · estanisotrop
P k (K ).Alors¿K estanisotrop
e par
lelemme 5.2.6
a).De m ^
eme,laforme
ˆ=
› (hai? ¡ ·0)»
K
K
› · ? ¡ ¿K
estanisotrop
e :si·1 = hhT1;:::;Tk¡ 1ii,on a
ˆ’
K
› (hai? ¡ ·10)? ¡ Tk
K
› ·1
eton applique
lelemme 5.2.5etune r¶
ecurrence
surk. Par cons
¶
equent,ˆ 2
P k+ n ¡ 1;n(K ).Finalemen
t,qK estanisotrop
e,de hauteur2 etde type II :les
deuxpremieresassertions
sont claires,
qK est¶
evidemmen
t bonnemaisne peut
pas^
etreexcellen
tepuisque
sadimension
estunepuissance
de 2.
Prenonsmaintenan
t k = N ¡ n + 1.On a
ˆ ? qK ·
K
› · ? ¡ ¿K ? ¿K · 0 (mod Jn +1 (K ))
c’esta-dire
deg(ˆ ? qK ) > n. SoitE lecorpsde d¶
eploiemen
t g¶
en¶
eriquede
ˆ ? qK .Parleth¶
eoreme 3.2.4
appliqu
¶
e de manierer¶
ep¶
et¶
ee,¿E estanisotrop
e.
Parailleurs,
qK (¿);ˆ K (¿) 2 GP N (K (¿))n f0g :celar¶
esulte
de a)pourqK etdu
th¶
eoreme 5.5.8
(i)pourˆ.En appliquan
tlelemme 4.3.8
,on end¶
eduitqueqL et
ˆ L sontanisotrop
es,ou L estlecorpsded¶
eploiemen
tg¶
en¶
erique
de(ˆ ? qK )K (¿).
Maisl’extension
E L=L esttranscendan
tepure;parcons
¶
equentqE L etˆ E L sont
anisotrop
es,etdoncqE etˆ E sont anisotrop
es.
Comme dimˆ = dimq,on a ˆ E ’ ¡ qE .Mais,puisque¿E estanisotrop
e,
ˆ E 2 P N ;n(E ).Comme h(qE ) • h(q) = 2,leth¶
eoreme 5.5.8
entra
^‡nealors
que
N = n + 1.
(3)Le
lecteur
v¶
eriflera
que lad¶
emonstration
du corollaire
6.1.4n’utilise
pasleth¶
eoreme 5.7.1a).
5.7.F ORMES
DE HA UTEUR
2
63
D’apr
eslesth¶
eoremes5.5.8
et5.7.1
,uneformeq estde hauteur2,de type IIetde
degr
¶
e n sietseulemen
t siq 2 P nw+1 ;n(F ).On a
5.7.2.Conjecture ([99,conj.
7 a)]
, [70,conj.
3.9]
). | On a GP n +1 ;n(F )= P nw+1 ;n(F )
pourtoutn ‚ 1. En d’autr
estermes(lemme5.5.6
),touteformeq de hauteur2, de
degr¶
e n etde typ
e IIestde laforme· › …,ou dim· = 4 et… 2 P n ¡ 1(F ).
Cetteconjecture
estvraiepourn • 3 (voirci-dessous).
En g¶
en¶
eral,
elle
estau
moinsvraie
((stablemen
t)):
w
5.7.3.Proposition([70,cor.3.13]
). | Soient1 • m < n. Soitq 2 P n;m
(F ),
anisotr
ope.A lorsilexiste
une extension
K =F tel
leque qK soitanisotr
ope etdans
GP n;m (K ).
D¶
emonstr
ation
. | Soien
t¿ la(descen
tedela)formedominantedeq,desorte
queq ·
¿› · (mod Jn (F ))pouruneforme· dedimension
impaire
.On seramened’abordau
casou dim· = 1.SoitL lecorpsdominantde¿› ·.Comme deg(¿› ·)= m (corollaire
4.3.10
),(¿ › ·)L » a¿ pour un a 2 L ⁄ . D’autrepart,qF (¿) 2 GP n (F (¿))¡ f0g
(th¶
eoreme 5.5.8(i))
; par ailleurs,
L(¿)=F(¿) esttranscendan
tepurepuisque(¿ ›
·)F (¿) » 0. Par cons
¶
equent,qL (¿) estanisotrop
e,etdonc qL estanisotrop
e.Ilen
r¶
esulte
qu’ona encoreqL 2 GP n;m (L),etq · a¿ (mod Jn (L)).
Soitmaintenan
t K lecorpsdominant de ’ := qL ? ¡ a¿.On a ’ 2 Jn (L)n f0g
et dim’ < 2n +1 , donc deg(’) = n. En appliquan
t leth¶
eoreme 5.2.2de maniere
r¶
ep¶
et¶
ee,on voitque qK et¿K sont anisotrop
es.De plus,
(qK ? ¿K )an 2 GP n (K ),
doncqK 2 GP n;m (K ).
5.7.4.Conjecture ([99,conj.
8]; cf.proposition5.6.2)
Soitq 2 GP n (F );soit
’ 2 P n +1 (F (q)),d¶
eflniesurF .A lorsilexiste
ˆ 2 P n +1 (F )
tel
lequeˆ F (q) ’ ’.
Cetteconjecture
estvraie
sin = 1;2,d’apr
esl’exemple
5.6.3
(iv),
leth¶
eoreme 5.6.4
a)
etlaproposition
5.6.2
.Elleestvraie
¶
egalemen
t pourn = 3 (voirci-dessous).
5.7.5.Th ¶
eoreme ([99,th.4.2]
). | Lesconje
ctur
es5.7.2
et5.7.4
sont¶
equivalentes.
5.7.6.Conjecture ([99,conj.
9], [70,conj.
3.10]
). | Soitq 2 Jn +1 (F )n f0g,avec
n +1
n +1
n
dimq > 2 .A lorsdimq ‚ 2
+2 .
Cetteconjecture
estvraie
pourn • 1 (trivialemen
t),pourn = 2 (Pflster
) etpour
n = 3 (Hofimann [72]).
Ilsu–raitde d¶
emontrerlaconjecture
5.7.6pourq de hauteur2. Elleestvraie
pourlesformesde type I ou II.En cequiconcerne
lesformesde type III,on a une
conjecture
pluspr¶
ecise.
Notonsd’abordqu’il
n’ya pasde formesde type III etde
degr
¶
e 1 :enefiet,touteformededegr
¶
e 1 estbonne(prop
osition
6.1.6
ci-dessous).
Les
formessuiv
antessontdesexemples
deformesdehauteur
2,detype IIIetdedegr
¶
e2 :
CHAPITRE
64
5.F ORMES
DEVENANT
ISOTR OPES
5.7.7.D ¶
eflnition
. | Une formed’Alb
ertq estune formede dimension6 telle
queq 2 I2F .
5.7.8.Conjecture ([99,conj.
7 b)]
). | Soitq dehauteur
2,detyp
e IIIetdedegr¶
e
n + 1 ‚ 2.A lorsq ’ › …,ou estune formed’Alb
ertet… 2 P n ¡ 1(F ).
5.7.9.Th ¶
eoreme
a) La conje
ctur
e 5.7.8entr
a^‡nelaconje
ctur
e 5.7.6
.
b) [99,prop.4.3]
, [70,prop.3.11]
: La conje
ctur
e 5.7.6entr
a^‡nelesconje
ctur
es
5.7.2et5.7.4
.
D¶
emonstr
ation
a) est¶
eviden
t.
b) Soitq de hauteur2,de type II et de degr
¶
e n, de formedominante ¿. Soit
’ = (q ? ¡ a¿)an , ou a 2 D (q). Alors’ 2 Jn (F )n f0g etdim’ < 2n +1 +
5.7.6
implique
doncque diman (’) = 2n +1 ,c’esta-dire
’ 2
2n .La conjecture
GP n +1 (F ).On conclut
parleth¶
eoreme 5.7.5
.
5.7.10.Corollair
e. | Lesconje
ctur
es5.7.2
,5.7.4
et5.7.6
sontvraiespourn • 3.
5.7.8
n’est
pasconnue danscedomaine.Toutefois,
nous
Parcontre,
laconjecture
verrons
plusloin(corollaire
7.2.2
) que
5.7.11.Th ¶
eoreme ([99]). | La conje
ctur
e 5.7.8estvraiepourn = 1.
Mentionnons
¶
egalemen
tqueVishik
a d¶
emontr¶
e lescons
¶
equences
((dimensionnelles
))des
conjectures
5.7.2
et5.7.8
:
5.7.12.Th ¶
eoreme ([212,th.3.1]
). | Soitq uneformeanisotr
ope dehauteur
2 et
de degr¶
e n ‚ 0.A lors
a) Sin = 0,dimq estde laforme2a ¡ 2b + 1 eti1(q) estde laforme2a¡ 1 ¡ 2b + 1
poura > b > 1 (lecasa = b+ 1 estpermis).
b) Sin > 0,on a
dimq 2 f2n + 2n ¡ 1;2n +1 ;2r+1 ¡ 2n g (r > n):
VoirxE.9.A
.
5.8.EXER CICES
65
5.8.Exercices
5.8.1
. | Justi
flerl’exemple
5.6.3
(ii).
5.8.2*
a)Siq estunesous-forme
d’uneformede Pflster’,on a G (q)‰ G (’).
b) Siq estvoisine
d’uneformede Pflster’,on a D 2(q) = D 2(’) (voirexercice
2.5.2
).En particulier,
D 2(q) estun sous-group
e de F ⁄ .
c)Mon trerparun exemplequ’eng¶
en¶
eral,
siq estvoisine
d’uneformede Pflster,
l’inclusion
G (q)‰ D 2(q) eststricte.
(On calculer
a G (q) quanddimq = 3.)
d)Est-il
vraien g¶
en¶
eralque,siq … q0,alors
D 2(q)= D 2(q0)?
5.8.3(Knebusch). | Soitq uneformeexcellen
tede hauteur
h ;notonsqi l’unique
F -formed¶
eflnissan
t lai-eme formenoyau de q.Notons‰ laformede Pflsterdont q
estvoisine,
et‰1 laformede Pflsterdont q1 estvoisine.
Soits 2 [1;h].
a)Sis estimpair,
q ? (¡ 1)sqs estexcellen
teetvoisine
de ‰.
s
b) Sis estpair,
on a q ’ ’ ? (¡ 1) qs,avec ’ excellen
te.Sis = 2 etdim‰ =
2dim‰1,alors
’ estsemblable
a ‰1.Sinon,
’ estvoisine
de ‰.
(Proc¶
edercomme danslecours,quitraitelecasou s = h etdegq = 0.)
5.8.4(Hofimann) . | Soien
t n > 0 etq uneformeanisotrop
e dedimension
2n + m ,
n
avec 0 < m • 2 .On rappelle
que i(qF (q)) • m (corollaire
5.2.8
).On ditque q a
d¶
eploiement
maximalsii(qF (q))= m .
a)Siq estvoisine
d’uneformede Pflster,
elle
a d¶
eploiemen
t maximal.
b) Ilexiste
desformesayant d¶
eploiemen
t maximalquine sont pasvoisines
d’une
formede Pflster.
(Consid
¶
ererune sous-forme
de dimension
5 d’uneformed’Alb
ertanisotr
ope.)
c)Siq a d¶
eploiemen
t maximaletq0 • q avec dimq0 > 2n ,alors
q0 a ¶
egalemen
t
0
0
d¶
eploiemen
tmaximaletq … q.En particulier,
q estvoisine
sietseulemen
tsiq l’est.
5.8.5***
. | Soien
t n > 1 et q une formequadratique
anisotrop
e de dimension
> 2n ¡ 2.
a) Fitzger
ald: Mon trerque lesn-formes
de Pflsteranisotrop
escontenan
t une
sous-forme
semblable
a q formen
t les¶
el
¶
ements6
= 0 d’unsous-group
e additif
deW (F ).
b) Ho fimann :On supposedimq • 2n ¡ 1. Mon trerqu’il
existe
une extension
K =F etunen-formede Pflster
anisotrop
e … surK telles
quel’extension
K (…)=F soit
transcendan
tepureetque… contienne
unesous-forme
isomorphe
a qK .
(Raisonner
comme danslad¶
emonstr
ationdu th¶
eoreme 5.2.2.
)
n¡ 1
c)Ho fimann : On supposedimq = 2
+ 1.Mon trerque laconclusion
de b)
reste
vraie
a condition
de ne pasexiger
queK (…)=F soit
transcendan
tepure.
(Appliquer
b)a une sous-forme
q0 de q de dimension
2n : avec lesnotations
de b),
CHAPITRE
66
5.F ORMES
DEVENANT
ISOTR OPES
on a q ’ q0 ? hai et… ’ qK0 ? q00 avec a 2 F ⁄ etdimq00 = 2n ¡ 1. Consid
¶
erer
K (q00 ? h¡ai).)
d) On supposeque 2n ¡ 1 < dimq • 2n . Mon trerque q a d¶
eploiemen
t maximal
(exercice
5.8.4
) sietseulemen
t s’il
existe
uneextension
L=F telle
que
{ qL soit
voisine
d’unen-formede Pflsteranisotrop
e;
{ h(qL )= h(q).
(Utiliser
l’exer
cic
e 5.8.4,
reprendre laconstruction
dec)etutiliser
leth¶
eoreme 5.2.2.
)
CHAPITRE
6
¶ EMENT
¶
EL
INV ARIANTS
AIRES
A une formequadratique
sont asso
ci
¶
esdesinvarian
tsde grandeimportance.
Le
premier
quenousavonsconsid
¶
er¶
e estladimension
mo dulo2 introduite
danslasection
2.1;bienqu’assez
trivial,
ilserta d¶
eflnirl’id
¶
ealIF etsespuissances.
Aprescelui-ci,
t,¶
etudi
¶
e au x6.1
. Mais ilexiste
aussil’in
varian
t de
leplusconnu estlediscriminan
Cli
fiord, introduitau x6.2
, etlesinvarian
tscohomologiques
sup¶
erieurs,
intimement
li
¶
esa laK -th
¶
eorie
alg
¶
ebrique,
quiappara
^‡tron
t au chapitre
9.
6.1.Le discriminan
t
6.1.1.D ¶
eflnition
. | Soitq une formequadratique
de dimension
n.Soien
t V l’espacesous-jacen
ta q,e = (e1;:::;en )unebasede V etQ lamatrice
de q danslabase
de q (appel
¶
e signe
d discriminant
dansLam [146])
•(ei;ej)).Le discriminant
e (qij = q
est
n (n ¡ 1)
2
d§ q = (¡ 1)
detQ 2 F ⁄ =F ⁄2:
Ilestind¶
ependant de labasee.
La derni
erea–rmationestclaire,
puisquesie0 estautrebasede V etP estla
0
matrice
de passage
de e a e ,lamatrice
de q danslabasee0 est
Q 0 = tP QP
etdetQ 0 = detQ (detP )2.
Ilpara
^‡trait
plusnaturel
ded¶
eflnirlediscriminan
tdeq comme detQ ;maiscelui-ci
ned¶
ependpasquedelaclasse
deq dansW (F ).C’estau contraire
lecasded§ q.Plus
pr¶
ecis
¶
ement :
6.1.2.Proposition
n (n ¡ 1)
2
a) Siq = ha1;:::;an i,on a d§ q = (¡ 1)
a1 :::an .
CHAPITRE
68
6.INV ARIANTS
¶ EMENT
¶
EL
AIRES
0
b) d§ (q ? q0)= d§ qd§ q0(¡ 1)nn sin0 = dimq0.
c) d§ (q ? H )= d§ q.
0
d) d§ (q › q0)= (d§ q)n (d§ q0)n .
D¶
emonstr
ation
. | a)estclair,
b)etd)r¶
esulten
t resp
ectiv
ement desiden
tit
¶
es
¶
n + n0
=
2
¶
n
+
2
¶
n0
+ nn0
2
¶
¶
¶
¶
¶
n n0
n0
nn0
n
:
+ 2
+ n0
= n
2
2
2
2
2
c)r¶
esulte
de b).
»
6.1.3.Th ¶
eoreme . | L’invariant
d§ induit
un isomorphisme
IF =I2F ! F ⁄ =F ⁄2.
D¶
emonstr
ation
. | La proposition
6.1.2
b)montrequed§jIF estun homomorphisme,
etd) montreque d§jI2 F = 1. Ainsid§ induit
un homomorphismed„ : IF =I2F !
puisque
d§ (h1;¡ ai)= a poura 2 F ⁄ =F ⁄2.
F ⁄ =F ⁄2,quiestsurjectif
Pourd¶
emontrerque d„ estinjectif,
ilfautmontrerque q 2 I2F siq 2 IF esttel
¶
qued§ q = 1.On procedeparr¶
ecurrence
surdimq.Ecriv
onsq = ha1;:::;a2n i.Alors
n
⁄
⁄2
a2n = (¡ 1) a1 :::a2n ¡ 1 2 F =F et
q » ha1;:::;a2n ¡ 3;(¡ 1)n ¡ 1a1 :::a2n ¡ 3i
? h(¡ 1)n a1 :::a2n ¡ 3;a2n ¡ 2;a2n ¡ 1;(¡ 1)n a1 :::a2n ¡ 1i:
Parr¶
ecurrence,
lepremier
facteur
estdansI2F ,etlesecondpeuts’
¶
ecrire
(¡ 1)n a1 :::a2n ¡ 3h1;(¡ 1)n a1 :::a2n ¡ 3a2n ¡ 2i› h1;(¡ 1)n a1 :::a2n ¡ 3a2n ¡ 1i2 I2F:
6.1.4.Corollair
e
a) Pourtoute
formequadr
atique
q dedimension
impair
e,on a q · hd§ qi (mod I2F ).
b) Pourtoute
formequadr
atique
q dedimension
pair
e,on a q · h1;¡ d§ qi (mod I2F ).
D¶
emonstr
ation
. | Celar¶
esulte
de laproposition
6.1.2
b)etdu th¶
eoreme 6.1.3
.
On peutd¶
ecrire
explicitemen
tl’extension
deZ=2 parF ⁄ =F ⁄2 d¶
eflnieparW (F )=I2F
vialeth¶
eoreme 6.1.3
.NotonsQ (F ) l’ensem
bleZ=2 £ F ⁄ =F ⁄2 m unide laloide composition
suiv
ante:
(a;u)+ (b;v)= (a + b;(¡ 1)abuv):
un isomorphisme
6.1.5.Proposition
. | L’applic
ationq 7!(dimq;d§ q) induit
»
W (F )=I2F ! Q (F ):
6.2.L’ALG EBRE
DE CLIFF ORD
69
D¶
emonstr
ation
. | D’apr
es leth¶
eoreme 6.1.3
, ilsu– t de v¶
eri
flerque l’application
en question
estun homomorphisme,ce quir¶
esulte
imm ¶
ediatemen
t de laproposition6.1.2
b).
6.1.6.Proposition
. | Touteformede degr¶
e 1 estbonne.
D¶
emonstr
ation
. | Soitq de degr
¶
e 1,de hauteurh etde formedominante¿.On a
¶
evidemmen
t d§ q = d§ qh¡ 1 = d§ ¿,d’ou ¿ ’ hhd§ ¿ii= hhd§ qii.
6.1.7.Lemme . | Soitdimq ‚ 3.A lorsF ⁄ =F ⁄2 ! F (q)⁄ =F(q)⁄2 estinje
ctif.
D¶
emonstr
ation
. | Celar¶
esulte
de laproposition
3.1.4
.
6.1.8.Proposition
a) degq = 1 sietseulement
siq 2 IF etd§ q 6
= 1.
b) J2(F )= I2F .
D¶
emonstr
ation
. | On sait
d¶
eja queJ2(F ) I2F (corollaire
4.3.6
).R ¶
ecipro
quement,
lelemme 6.1.7
montreque q 2 J2(F ) ) d§ qh¡ 1 = 1 ) d§ q = 1,cequiimplique
q 2 I2F parleth¶
eoreme 6.1.3
.
6.2.L’alg
ebre de Clifiord
. | Soitq une formequadratique
surF (¶
eventuellemen
t d¶
eg¶
e6.2.1.D ¶
eflnition
n¶
er¶
ee),d’espace
vectoriel
sous-jacen
t V . L’alg
ebr
e de Clifior
d de q, not¶
ee C (q), est
lequotien
t de l’alg
ebretensorielle
T (V ) de V parl’id
¶
ealbilat
ereengendr
¶
e parles
v › v ¡ q(v)1,v 2 V .
q = ha1;:::;an i surune baseorthogonale
(e1;:::;en ) de V ,on peut
Sion ¶
ecrit
d¶
ecrire
C (q) comme l’alg
ebred¶
eflniepardesg¶
en¶
erateurs
ei (dedegr
¶
e 1) soumisaux
relations
e2i = ai
= j:
eiej + ejei = 0 ifi6
6.2.2.Proposition(propri
¶
et¶
e universelle
de C (q)). | SiA estune F -al
gebre
2
etf :V ! A un homomorphismede F -esp
acesvectoriels
telquef(v) = q(v) pour
toutv, alorsf seprolongede maniere uniqueen un homomorphismede F -alg
ebr
es
f~ :C (V )! A .
Comme T (V ) estune alg
ebregradu
¶
eeetquelesrelations
de C (q) ont desparties
homogenesde degr
¶
e pair,
l’alg
ebreC (q) h¶
erite
d’uneZ=2-graduation.
On noteC 0(q)
(resp.
C 1(q)) sapartie
de degr
¶
e pair(resp.
impair).
6.2.3.D ¶
eflnition
. | On appelle
superalg
ebr
e unealg
ebreZ=2-gradu
¶
ee.
CHAPITRE
70
6.INV ARIANTS
¶ EMENT
¶
EL
AIRES
6.2.4.D ¶
eflnition
. | Soien
tA;B deuxF -sup
eralg
ebres.
Le produittensoriel
gradu¶
e
de A etB estlasuperalg
ebreA ›^ F B d¶
eflniecomme suit:
{ l’espace
vectoriel
sous-jacen
t a A ›^ F B estA › F B ;
{ si(a;a0;b;b0)2 A 2 £ B 2 sont homogenes,
on a
0
(a›^ b)(a0›^ b0)= (¡ 1)ja jjbjaa0›^ bb0:
{ poura 2 A ,b 2 B homogenesde degr
¶
esi;j,abesthomogenede degr
¶
e i+ j.
6.2.5.Proposition
. | Sidimq = n,alors
dimF C (q)= 2n .
D¶
emonstr
ation
a) q = 0 :danscecas,C (q)estcanoniquemen
tisomorphe
a l’
alg
ebr
e ext
¶
erieur
e de
V
n
V , (V ),quiestde dimension
2 .
canonique
de T (V )induit
uneflltration
FiliC (V ),telle
b) En g¶
en¶
eral,
laflltration
L
i
i+1
⁄
i
j
i+ j
⁄
: gr C (V ) estune
que FilFil ‰ Fil . Posonsgr =
i‚ 0 Fil=Fil
alg
ebregradu
¶
ee.L’homomorphisme
naturel
T i(V )= V › i ¡! FiliC (V )!! griC (V )
V
»
sefactorise
a tra
versun isomorphisme(V ) ! gr⁄ C (V ),puisque
lesrelations
V
de C (V ) ser¶
eduisen
t a celles
de (V ) danslegradu
¶
e gr⁄ C (V ).
s surF , d’espaces
sous-jacen
tsV1;V2, les
Siq1;q2 sont deux formesquadratique
inclusions
Vi ,! V1 ' V2 ,! C (q1 ? q2) etlapropri
¶
et¶
e univ
erselle
de l’alg
ebrede
Cli
fiordinduisen
t deshomomorphismesd’alg
ebres
C (qi)¡! C (q1 ? q2)
quisont deshomomorphismesde superalg
ebres
.
Dans C (q1 ? q2),on a v1v2 = ¡ v2v1 pour(v1;v2)2 V1 £ V2 :ceshomomorphismes
seprolongen
t doncen un homomorphismede superalg
ebres
(6.2.1)
C (q1)›^ F C (q2)¡! C (q1 ? q2):
6.2.6.Th ¶
eoreme . | L’homomorphisme
(6.2.1)
estun isomorphisme
desuperalgebres.
D¶
emonstr
ation
. | Ilestclairemen
tsurjectif,
etilestinjectif
parlaproposition
6.2.5
.
On aurabesoinplusloindu corollaire
suiv
ant :
6.2.7.Corollair
e. | Soientq une formequadr
atique,
a 2 F ⁄ etq0 = h¡ ai ? q.
A lorsC (aq) estisomorphe
(entantqu’alg
ebr
e non gradu¶
ee)a C 0(q0).
6.3.LE GR OUPE
DE BRA UER-W ALL
71
D¶
emonstr
ation
. | On a C (q0) ’ C (h¡ ai)›^ F C (q),d’ou un isomorphisme
d’espaces
vectoriels
C (q0)’ C 0(h¡ ai)›^ F C (q)' C 1(h¡ ai)›^ F C (q)= C (q)' zC (q)
ou z estleg¶
en¶
erateur
canonique
de C 1(h¡ ai) telquez2 = ¡ a.On en d¶
eduit:
C 0(q0)’ C 0(q)' zC 1(q):
Ilrestea iden
ti
flerlemem brede droite
a C (aq). Mais z comm utea C 0(q) et
anticommutea C 1(q);en particulier,
(zv)2 = zvzv = ¡ z2v2 = aq(v)
pourv 2 V ,ou V estl’espace
vectoriel
sous-jacen
ta q.Ilenr¶
esulte
(prop
osition
6.2.2
)
quel’application
lin
¶
eaire
V ¡! C 0(q)' zC 1(q)
v 7¡
! zv
seprolonge
en un homomorphismed’alg
ebres
C (aq)¡! C 0(q)' zC 1(q):
¶
evidemmen
t C 0(q)' zC 1(q),cethomomorphismeestsurjectif,
Comme zV engendre
etilestbijectif
pourdesraisons
de dimension.
6.2.8.Corollair
e. | Pourtoute
formequadr
atique
q dedimension
n,on a dimC 0(q)
= dimC 1(q)= 2n ¡ 1.
6.3.Le groupe de Brauer-W all
Rappelons(appendiceA) que legroupe de BrauerB (F ) de F estd¶
eflnicomme
legroupe desclasses
de similitudes
de F -alg
ebrescentrales
simples,
laloide groupe
¶
etan
t induite
parleproduittensoriel
desalg
ebres.
SiA estune F -alg
ebrecentrale
dansB (F ); l’in
versede [A ] estlaclasse
de l’alg
ebre
simple
, on note[A ] sa classe
oppos¶
eeA 0 ;legroupe B (F ) estcomm utatif.
Nousallons
d¶
ecrire
ici
un analogue
du groupe deBrauerpourlesF -su
peralgebres:
legroupe de Brauer-Wal
l.
SoitA uneF -sup
eralg
ebre
.Commen »
consparrappeler
quelques
notions
surA :
6.3.1.D ¶
eflnition
. | La superalg
ebreA estsimplesisesseuls
id¶
eauxgradu¶
esbilat
eressont 0 etA .
6.3.2.D ¶
eflnition
a)Le centr
e (gr
adu¶
e)d’unesuperalg
ebreA estZ^(A )= Z 0(A )' Z 1(A ),ou Z i(A )=
fa 2 A i j8x 2 A j;ax = (¡ 1)ijxa;j = 0;1g.
b)La F -sup
eralg
ebreA estcentr
alesiZ^(A )= (F;0).
72
CHAPITRE
6.INV ARIANTS
¶ EMENT
¶
EL
AIRES
6.3.3.Exemples
i)SoitA uneF -alg
ebre.
On d¶
eflnitunesuperalg
ebrei(A )pari(A )0 = A ,i(A )1 = 0.
SiA estcentrale
simple
,i(A ) estcentrale
simple(comme superalg
ebre)
.
ii)SoitV = V0'^ V1 un F -sup
erespace
vectoriel
de dimensionflnie.L’alg
ebre
EndF (V )admetunegraduation
naturelle,
ou un endomorphisme
u estpairsiu(Vi)‰
Vi etimpairsiu(Vi) = Vi+1 (i2 Z=2).Cettesuperalg
ebreestcentrale
simple[146,
ex.IV.2.6]
.
iii)
Soita 2 F ⁄ .La superalg
ebreC (hai)estisomorphe,
comme alg
ebrenongradu
¶
ee,
2
a F [t]=(t ¡ a).Sa graduation
estl’unique
graduation
telle
quejtj= 1.Ilestfacile
de
voirquecette
superalg
ebreestcentrale
simple[146,ex.IV.2.4]
.
6.3.4.Proposition([146,th.IV.2.3]
). | SiA;B sontdeuxF -sup
eralg
ebr
escentralesetsimples,
ilen estde m ^
eme de A ›^ F B .
6.3.5.Th ¶
eoreme . | Pourtouteformequadr
atique
q non d¶
eg¶
en¶
er¶
ee,laF -superalalesimple.
gebre C (q) estcentr
D¶
emonstr
ation
. | Par leth¶
eoreme 1.2.1
,leth¶
eoreme 6.2.6
etlaproposition
6.3.4
,
on ser¶
eduitau casdimq = 1,quiesttrait
¶
e dansl’exemple
6.3.3
(iii).
6.3.6.D ¶
eflnition
a)Deux F -sup
eralg
ebresA;B sontsemblables
s’il
existe
deuxF -su
perespacesvectoriels
V;W tels
quel’onaitA ›^ EndF (V )’ B ›^ EndF (W ) (cf.exemple6.3.3
).Notation:A » B .
b) SoitA une superalg
ebre.La superalg
ebr
e oppos¶
ee A ⁄ estd¶
eflniecomme suit:
⁄
son espacevectoriel
sous-jacen
t estfa j a 2 A g, sa graduation
estdonn¶
ee par
e par a⁄ b⁄ = (¡ 1)jajjbjb⁄ a⁄ pour a;b
A ⁄i = fa⁄ j jaj = ig etson produitestdonn¶
homogenes.
6.3.7.Th ¶
eoreme ([221], [146,IV.4.1]
). | La relation
de similitude
estune relationd’¶
equivalenc
e entr
e F -sup
eralg
ebr
escentr
alessimples,
compatible
avec leproduit
tensoriel
gradu¶
e.Le semi-gr
oupe desclasses
d’¶
equivalenc
e estun groupe commutatif,
appel
¶
e groupe deBrauer-W
alldeF etnot¶
e BW (F ).SiA estuneF -sup
eralg
ebr
e cen⁄
tralesimple,
declasse
hA i en BW (F ),un repr¶
esentant
de¡ hA i estl’alg
ebr
e A dela
d¶
eflnition
6.3.6b).
Pourv¶
eri
flerque BW (F ) estcomm utatif,
on observ
e que,siA etB sont deux
F -sup
eralg
ebres,
on a un isomorphisme
de F -sup
eralg
ebres
»
A ›^ B ¡! B ›^ A
donn¶
e par
a›^ b 7¡
! (¡ 1)jajjbjb›^ a
poura;b homogenes.
6.3.LE GR OUPE
DE BRA UER-W ALL
73
¡ ¢
ebrede quaternions
d¶
etermin
¶
ee par (a;b)
Pour a;b 2 F ⁄ , notons aF b l’alg
(cf.appendice
A.3.A).
6.3.8.Proposition
a) On a un isomorphisme
C (H )’ EndF (F '^ F ):
b) Pour a;b;c 2 F ⁄ ,on a desisomorphismes
etsimilitudes
¡ac bc¢
¡a b¢
(i)C (hac;bci)›^ i F
’ C (ha;bi)›^ i F ;
¡a b¢
(ii)
C (hha;bii)» i F ;
(iii)
C (hha;b;cii)» 1.
D¶
emonstr
ation
. | Remarquonsque lessuperalg
ebresinterv
enant sont toutescentrales
simples.
Pourmontrerquedeuxd’en
treelles
sont isomorphes,
ilsu– t doncde
v¶
eri
flerqu’elles
ontm ^
eme dimension
etde produireun homomorphismede l’une
vers
l’autre.
En efiet,cethomomorphismeserainjectif
parsimplicit
¶
e,etsurjectif
pourdes
raisons
de dimension.
a) Soit(e1;e2) la basecanoniquede H = h1;¡ 1i. AlorsC (H ) a pour base
(1;e1;e2;e1e2),avecje1j= je2j= 1 ete21 = 1,e22 = ¡ 1,e1e2 = ¡ e2e1.De m ^
eme,
^
EndF (F ' F )a pourbase(E ij)i;j2 f0;1g avecjE 00j= jE 11j= 0,jE 01j= jE 10j= 1.
On v¶
eri
fle quel’isomorphisme
cherc
h¶
e estinduit
par
1 7¡
! E 00 + E 11
e1 7¡
! E 01 + E 10
e2 7¡
! E 01 ¡ E 10
(cf.d¶
emonstration
du th¶
eoreme A.3.3
).
b) Notonsque(i)ser¶
eduitformellemen
ta soncasparticulier
ac= 1.Ilsu–t donc
de d¶
eflnirun homomorphisme(desuperalg
ebres
)
¶
a b
»
^
^
C (h1;abi)› i(M 2(F ))¡! C (ha;bi)› i
:
F
Rappelonsque M 2(F ) peut^
etred¶
ecrit
comme l’alg
ebrede quaternions
de
base(1;i;j;ij),avec i2 = a,j2 = 1,ij= ¡ ji.Soitde m ^
eme (1;i0;j0;i0j0) la
¡ ¢
2
2
basecanonique
de l’alg
ebre aF b ,aveci0 = a,j0 = b,i0j0 = ¡ j0i0.Soitenfln
canonique
de laformeh1;abi (resp.
(e1;e2) (resp.
(e01;e02)) labaseorthogonale
ha;bi),de sorte
queC (h1;abi) (resp.
C (ha;bi)) a pourbase
(1;e1;e2;e1e2) avec e21 = 1;e22 = ab;e1e2 = ¡ e2e1
(resp.
2
2
(1;e01;e02;e01e02) avec e01 = a;e02 = b;e01e02 = ¡ e02e01).
74
CHAPITRE
6.INV ARIANTS
¶ EMENT
¶
EL
AIRES
On v¶
eri
fle alors
quel’homomorphisme
cherc
h¶
e estinduit
par
¡1
e1›^ 1 7¡
! e01›^ i0
e2›^ 1 7¡
! e02›^ i0
1›^ i7¡
! 1›^ i0
1›^ j 7¡
! e01e02›^ (i0j0)¡ 1:
Enfln,(ii)
et(iii)
sed¶
eduisen
t facilemen
t de (i)((ii)
est¶
equiv
alen
t au cas
particulier
juste
d¶
emontr¶
e).
6.3.9.Corollair
e. | Le foncteur
q 7!C (q) induit
un homomorphisme
C :W (F )=I3F ! BW (F ):
. | Le th¶
eoreme 6.3.5ditque,pour touteformeq non d¶
eg¶
en¶
er¶
ee,
D¶
emonstr
ation
C (q)d¶
eflnitun ¶
el
¶
ementhC (q)ide BW (F ),etleth¶
eoreme 6.2.6
ditquehC (q ? q0)i=
hC (q)i+ hC (q0)i.La conclusion
r¶
esulte
de laproposition
6.3.8
.
6.4.Une flltration
sur BW (F ); un th¶
eoreme de Merkurjev
SoitA = A 0 ' A 1 uneF -sup
eralg
ebrecentrale
simple.
D’apr
es[221],[146,ch.IV,
th.3.6et3.8]
,deuxcassepr¶
esen
tent :
{ La F -alg
ebreA estsimplecentrale
en tant qu’alg
ebrenon gradu
¶
ee.
{ A n’est
pascentrale.
AlorsA estsemi-simple
etsoncentreZ (A )estuneF -alg
ebre
¶
etale
de rang2.
Dans lepremier(resp.
second)
cas,on ditque A estde typ
e pair(resp.
de typ
e
impair).De plus(ibid.
):
{ Dans lecaspair,
A 0 estsemi-simple
etsoncentreestune F -alg
ebre¶
etale
de
rang2.
{ Dans lecasimpair,
A 0 estcentrale
simplesurF .De plus,
leA 0-moduleA 1 est
isomorphe
a A 0 (doncde m ^
eme dimension).
D¶
eflnissons
uneapplication
’ :BW (F )¡! Z=2 £ F ⁄ =F ⁄2 £ B (F )
hA i7¡
! ("(A );–(A );b(A ))
de lamanieresuiv
ante:
(
1 siA estde type impair
{ "(A )=
0 siA estde type pair.
6.4.UNE
FILTRA TION
SUR
¶
BW (F ); UN TH EOR
EME
DE MERKURJEV
75
(
{ –(A )=
d(Z (A ))
siA estde type impair
d(Z (A 0)) siA estde type pair
ou,pourtouteF -alg
ebre¶
etale
E ,d(E ) estsondiscriminan
t.
(
[A 0] siA estde type impair
{ b(A )=
[A ] siA estde type pair.
6.4.1.Th ¶
eoreme
a) L’applic
ation’ estune bije
ction.
b) " estun homomorphisme.
c) SoitBW (1)(F ) lenoyau de ". A lorslarestriction
de – a BW
homomorphisme.
d) SoitBW (2)(F ) lenoyaude –.A lorsBW
de i.
a BW (2)(F ) estl’inverse
(1)
(F ) estun
(2)
(F )= i(B (F ))etlarestriction
de b
e) L’applic
ationhA i7!("(A );–(A ))induit
un isomorphisme
BW (F )=BW
(2)
(F )¡! Q (F )
ou Q (F ) estlegroupe d¶
eflniavantlaproposition
6.1.5
.
induite
surZ=2 £ F ⁄ =F ⁄2 £ B (F ) par transportde structur
e
f) La loid’addition
via’ estdonn¶
eepar
(m; a;x)+ (n;b;y)= (m + n;(¡ 1)mn ab;x + y + ((¡ 1)m (n +1) a;(¡ 1)(m +1)n b))
¡u v¢
esigne
laclasse
de l’alg
ebr
e de quaternions
dansB (F ).
ou (u;v) d¶
F
D¶
emonstr
ation
.
a){e)Voir[221],[146,ch.IV,th.3.11et4.4]
f) Voir[146,p.117{119]
.
. | Soitq une formequadr
atique
surF .A lorson a :
6.4.2.Proposition
"(C (q))= dimq
–(C (q))= d§ q:
D¶
emonstr
ation
. | Consid
¶
eronslesdeuxhomomorphismes
(dim;d§ );(";–)– C :W (F )=I3F ¶ Q (F ):
Pourd¶
emontrer
qu’ils
co˜‡nciden
t,ilsu– tdelev¶
eri
flersurun syst
eme deg¶
en¶
erateurs
de W (F ),parexempleleshai poura 2 F ⁄ ,auquelcasc’est
trivial.
6.4.3.Corollair
e. | A vec lesnotations
du corollair
e 6.3.9etdu th¶
eoreme 6.4.1
,
on a,pourn = 1;2;3 :
C (In F )‰ BW
(n )
(F ):
CHAPITRE
76
6.INV ARIANTS
¶ EMENT
¶
EL
AIRES
On aurabesoinplusloindu lemme suiv
ant :
6.4.4.Lemme . | Soitq 2 I2F .On a alors
C 0(q)’ A £ A
C (q)’ M 2(A )
pourune alg
ebr
e centr
alesimpleA convenable.
D¶
emonstr
ation
. | D’apr
es laproposition
6.4.2
, C (q) estde type pairet –(C (q))
= 1. D’apr
esleth¶
eoreme 6.4.1
, C (q) estdoncsemblable
a i(A 0) pourune alg
ebre
centrale
simpleA 0 convenable.
En d’autres
termes,
ilexiste
un superespace
vectoriel
V = V0 ' V1 telque
C (q)’ i(A 0)›^ F EndF (V ):
Comme dimC 0(q) = dimC 1(q),on a dimV0 = dimV1.En iden
ti
flant V1 a V0,on
peutdoncencore
¶
ecrire
i(A 0)›^ F EndF (V )’ i(A 0 › F EndF (V0))›^ F M 2(F )
cequidonnelelemme avecA = A 0 › F EndF (V0).
Pourlacommo dit
¶
e du lecteur,
nousrepro
duisons
latable
de[146,p.111]donnant
lastructure
de l’alg
ebrede Cli
fiordd’uneformequadratique,
casparcas.Pourles
d¶
emonstrations
nousrenvoyonsa Lam [146].On flxe une formequadratique
q;on
notedimq = n,d§ q = d.PourtouteF -alg
ebreA ,on noteZ (A ) lecentrede A .
n
Z (C (q))
d
⁄2
impair 2= F
2 F ⁄2
pair 2= F ⁄2
2 F ⁄2
p
F ( d)
F £F
F
C (q)
Z (C 0(q))
simple
F
C 0(q)£ C 0(q)
p
centrale
simple F ( d)
M 2(A )
F £F
C 0(q)
deg(q)
centrale
simple
0
simple
A £ A ,A c.s.
1
‚ 2
. | Pourtouteformequadratique,
on notec(q)l’
¶
el
¶
ementb(C (q))
6.4.5.D ¶
eflnition
de B (F );on l’app
elle
li
’nvariant
de Clifior
d de q.
On a donc
(
c(q)=
[C 0(q)] sidimq estimpaire
[C (q)] sidimq estpaire.
6.4.6.R emar que. | Dans [146],l’in
varian
t c(q) estappel
¶
e l’
invariant
de Wittde
q;letermeinvariant
de Clifior
d y d¶
esigne
laclasse
de C (q) dansBW (F ).Bienque
cetteterminologie
soitpluslogique
ethistoriquemen
t pluscorrecte,
celle
ci-dessus
s’est
progressiv
ement impos¶
ee.C’estdonccelle
quenousadopteronsici.
Le th¶
eoreme 6.4.1
f) fournit
laloid’addition
suiv
antepourl’in
varian
tc :
6.4.UNE
FILTRA TION
SUR
¶
BW (F ); UN TH EOR
EME
DE MERKURJEV
77
6.4.7.Proposition
. | Soient
q;q0 deuxformesquadr
atiques.
A lors
c(q ? q0)= c(q)+ c(q0)+ ((¡ 1)m (n +1) d§ q;(¡ 1)(m +1)n d§ q0)
ou m = dimq,n = dimq0.
On auraaussi
besoinplusloindesformulessuiv
antes:
6.4.8.Proposition
a) Soient
’;ˆ 2 IF .A lorsc(’ › ˆ)= (d§ ’;d§ ˆ).
b) Soient
q une formequadr
atique
eta 2 F ⁄ .A lors
(
c(q)+ (a;d§ q) sidimq estpair
e
c(aq)=
c(q)
sidimq estimpair
e.
D¶
emonstr
ation
a) Soien
t a = d§ ’, b = d§ ˆ. Alors’ · h1;¡ ai (mod I2F ) et ˆ · h1;¡ bi
(mod I2F ) (corollaire
6.2.7
b)).Ilen r¶
esulte
que ’ › ˆ · hha;bii (mod I3F ).
D’apr
eslaproposition
6.4.7
,larestriction
de c a I2F estun homomorphisme
3
de noyau contenan
t I F .Parcons
¶
equent,
c(’ › ˆ)= c(hha;bii)= (a;b)
d’apr
eslaproposition
6.3.8
(ii).
b) Supposonsd’abordq 2 IF .On a
c(q ? aq)= c(q)+ c(aq)+ (d§ q;d§ (aq)) (prop
osition
6.4.7)
= c(q)+ c(aq)+ (d§ q;d§ q) (prop
osition
6.1.2
d))
= c(q)+ c(aq)+ (¡ 1;d§ q) (lemmeA.3.5).
D’autre
part,
c(q ? aq)= c(h1;ai› q)= (¡ a;d§ q),d’ou l’
¶
enonc
¶
e.
Supposonsmaintenan
tdimq impaire.
Soitt2 F ⁄ .D’apr
eslaproposition
6.4.7
etlaproposition
6.1.2
d),on a
c(q ? hti)= c(q)+ (d§ q;t)
c(bq? hbti)= c(bq)+ (bd§ q;bt):
D’autre
part,
d’apr
eslecaspr¶
ec¶
edent,on a
c(aq? hati)= c(q ? hti)+ (a;d§ (q ? hti))= c(q ? hti)+ (a;¡ td§ q):
Ilen r¶
esulte
:
c(aq)+ (ad§ q;at)= c(q)+ (d§ q;t)+ (a;¡ td§ q)
CHAPITRE
78
6.INV ARIANTS
¶ EMENT
¶
EL
AIRES
soit
c(aq)= c(q)+ (d§ q;t)+ (ad§ q;at)+ (¡ td§ q;a)
= c(q)+ (d§ q;t)+ (a;at)+ (d§ q;at)+ (¡ t;a)+ (d§ q;a)
= c(q)+ (a;¡ a)= c(q):
6.4.9.Proposition
. | Soitq 2 I2F , avec indc(q) = 2r > 1 (cf.d¶
ef.A.2.8b)).
A lorsdiman q ‚ 2r + 2.
D¶
emonstr
ation
. | On peutsupposerq anisotrop
e;l’
¶
enonc
¶
e r¶
esulte
alors
du lemme6.4.4
.
6.4.10.Lemme
a) Soienta;b 2 F ⁄ . A lorslaformehha;bii esthyperb
olique
siet seulement
si
c(hha;bii)= 0.
b) Soient
a;b;c;d 2 F ⁄ .A lorshha;bii’ hhc;dii sietseulement
si(a;b)= (c;d).
c) Soient ;¿ 2 GP 2(F ). A lors et¿ sontsemblables
sietseulement
sic( ) =
c(¿).
D¶
emonstr
ation
¡ ¢
eslaproposition
6.3.8
b) (ii).
Lesdeux
a) En efiet,on a c(hha;bii) = aF b d’apr
conditions
sontchacune¶
equiv
alen
teau fait
quebsoit
unenormedansl’extension
p
F ( a)=F.
b) Supposonsd’abordque b = d.Alors(ac;b) = 0,donchhac;bii » 0 d’apr
esa),
d’ou
hha;bii? ¡ hhc;dii» chhac;bii» 0
d ’ou l’
¶
enonc
¶
e.En g¶
en¶
eral,
d’apr
eslelemme A.3.6
, ilexiste
e telque (a;b) =
(a;e)= (c;e)= (c;d),d’ou
hha;bii’ hha;eii’ hhc;eii’ hhc;dii:
c) Posons = a 0,¿ = b¿0 avec
L’¶
enonc
¶
e r¶
esulte
doncde b).
0 ;¿0
2 P 2(F ).Alorsc( )= c( 0),c(¿)= c(¿0).
D’apr
eslaproposition
6.4.7
,larestriction
de l’in
varian
t de Cli
fiorda I2F estun
homomorphisme,
prenan
t sesvaleurs
danslesous-group
ede2-torsion
2 B (F )deB (F ).
Merkurjev
a d¶
emontr¶
e leremarquable
r¶
esultat
suiv
ant,quienglob
e lelemme 6.4.10
a)etb):
6.4.UNE
FILTRA TION
SUR
¶
BW (F ); UN TH EOR
EME
DE MERKURJEV
79
6.4.11.Th ¶
eoreme (Merkurjev,[157]). | L’homomorphisme
induit
c :I2F =I3F ¡!
2 B (F )
estun isomorphisme.
La d¶
emonstration
de[157]reposesurun r¶
esultat
deSuslin
utilisan
tlaK -th
¶
eorie
de
Quillen.
Voir[11]et[220]pourdesd¶
emonstrations
¶
el
¶
ementaires
(ladeuxi
eme ¶
etan
t
duea Merkurjev
lui-m
^
eme!).
Nous reviendrons
surcer¶
esultat
dansl’app
endice
A.
NotonsBW 2(F ) lesous-ensem
blede BW (F ) form¶
e desx tels
que b(x) 2 2B (F ).
On v¶
eri
flefacilemen
tqueBW 2(F )estun sous-group
e deBW (F )contenan
t i(2B (F ))
(cen’est
paslesous-group
e de2-torsion
deBW (F )!).
On d¶
eduitdu th¶
eoreme 6.4.11
:
6.4.12.Corollair
e. | L’homomorphisme
C du corollair
e 6.3.9induit
un isomorphisme
»
C :W (F )=I3F ¡! BW 2(F ):
6.4.13.Proposition(Arason [9,p.469]
). | Soitq uneformequadr
atique
anisotrope de dimension
‚ 2. A lorsB (F ) ! B (F (q))estinje
ctif,
saufsiq estsemblable
a une sous-forme
d’une2-formede Pflster.
Dans ce cas,Ker(B (F ) ! B (F (q)))=
fc(¿)j¿ 2 P 2(F );q estsemblable
a une sous-for
me de ¿g.En particulier,
p
(i)Pour d 2 F ⁄ n F ⁄2,on a Ker(B (F )! B (F ( d)))= f(a;d)ja 2 F ⁄ g.
(ii)
Si q estvoisine
d’une2-formede Pflster
, on a Ker(B (F ) ! B (F (q)))=
f0;c(q)g.
Cetteproposition
estduea Witt[222]danslecasdimq = 3.
¶
D¶
emonstr
ation
. | Ecriv
onsF (q)comme extension
quadratique
d’uneextension
trans
cendantepureL deF .SoitA uneF -alg
ebrecentrale
simple
telle
que[A ]2 Ker(B (F )
! B (F (q)))
. On peutsupposerA a division.
D’apr
eslaproposition
A.2.10c)cidessous,
A L esttoujours
a division
; d’apr
es laproposition
A.2.10b),A L estsoit
triviale,
soit
un corpsde quaternions
.Ilen estdoncde m ^
eme de A .SupposonsqueA
¡a b¢
’ := hha;bii.D’apr
eslelemme 6.4.10
,on a
soit
un corpsde quaternionsF ,etsoit
’ F (q) » 0.Maisalors,
d’apr
esleth¶
eoreme 3.2.4
,q estsemblable
a unesous-forme
de
’,cequid¶
emontrelapremiereassertion.
Le reste
sev¶
eri
fle alors
facilemen
t.
6.4.14.Proposition
a) degq = 2 sietseulement
sidimq estpair
e,d§ q = 1 etc(q)6
= 0.
b) J3(F )= I3F .
D¶
emonstr
ation
CHAPITRE
80
6.INV ARIANTS
¶ EMENT
¶
EL
AIRES
a) La n¶
ecessit
¶
e r¶
esulte
delaproposition
6.1.8
etdu lemme6.4.10
;pourlasu–sance,
soit
(qi)lafamille
desnoyauxsup¶
erieurs
deq.La proposition
6.4.14
montreque
c(q)6
= 0 ) c(qh¡ 1)6
= 0,ou h estlahauteurde q.En efiet,pourtouti< h ¡ 1,
dimqi > 4.
b) D’apr
eslecorollaire
4.3.6
etlaproposition
6.1.8
, on a I3F ‰ J3(F ) ‰ I2F .
D’apr
esa),J3(F )‰ Kerc.La conclusion
r¶
esulte
doncdu th¶
eoreme 6.4.11
.
6.5.Exercices
6.5.1
. | Soien
t q;q0 deuxformesquadratiques
dedimension
impaire.
Supposonsque
0
q etq soien
t semblables
etque d§ q = d§ q0.Mon trerque q etq0 sont ¶
equiv
alen
tes.
Mon trerparun exemplequelaconclusion
estfausse
siladimension
estpaire.
6.5.2
. | a)Soitq 2 I2F de dimension
2n.Mon trer(enraisonnan
t parr¶
ecurrence
surn) que C (q) ’ M 2(E (q)), ou E (q) estproduittensoriel
de n ¡ 1 alg
ebresde
quaternions.
En particulier,
l’alg
ebreC (q) n’est
pasa division.
b)SoitE un produittensoriel
den¡ 1 alg
ebres
dequaternions.
Mon trer
qu’il
existe
q 2 I2F ,de dimension
2n,telle
queE (q)’ E .
CHAPITRE
¶
LE TH EOR
EME
7
¶
DE R EDUCTION
D’INDICE ET SES
APPLICA TIONS
7.1.Le th¶
eoreme de r¶
eductiond’indice
SoitA uneF -alg
ebrecentrale
simple
d’indice
indA = e.On s’in
t¶
eresse
iciau comportemen
t dee parextension
desscalaires.
Pluspr¶
ecis
¶
ement,soit
K =F uneextension.
Que peut-ondirede ind(A K )?
Cettequestion
estanalogue
a celle
du chapitre
IV.Nousallons
donneruner¶
eponse
complete,
duea A.S.Merkurjev
,quandK estlecorpsdesfonctions
d’unequadrique
.
Soitq une formequadratique
surF ,de dimension
‚ 2 etde corpsdesfonctions
K .Sidimq = 2,supposonsq anisotrop
e.AlorsK estextension
quadratique
d’une
extension
trans
cendantepuredeF (cf.
d¶
ebutdelasection
3.1
).D’apr
eslaproposition
A.2.10
,on a doncind(A K )= ind(A )ou ind(A )=2.Le th¶
eoreme suiv
antditexactemen
t
quandcesdeuxcasseproduisen
t:
7.1.1.Th ¶
eoreme (th¶
eoreme de r¶
eductiond’indice,
Merkurjev [159])
s’il
existe
un homomorphismenon trivial
On a ind(A K )= ind(A )=2 sietseulement
(d’alg
ebr
esordinair
es)de C 0(q) versA .
En termesplusd¶
etaill
¶
es:
V ariante
. | On a ind(A K )= ind(A )=2 sietseulement
si
(1)dimq estimpair
e etA estde laformeC 0(q)› B ;
(2)dimq estpair
e,d = d§ q 6
= 1 etA F (p d ) estde laformeM 2(C 0(q))› B (noter
p
queC 0(q) estalors
centr
alesurF ( d));
(3)dimq estpair
e,d§ q = 1 etA estde laformeC 0 › B ,ou C 0(q)’ C 0 £ C 0.
D¶
emonstr
ation
. | En efiet,(1)et(3)sont ¶
equiv
alen
tsau th¶
eoreme 7.1.1
d’apr
esla
structure
deC 0(q)(voirtable
danslasection
pr¶
ec¶
edente)etleth¶
eoreme A.1.5b)(iv).
Le cas(2)r¶
esulte
de laproposition
A.2.12
.
82
CHAPITRE
¶
7.LE TH EOR
EME
¶
DE R EDUCTION
D’INDICE ET SES APPLICA TIONS
D’apr
eslaproposition
6.1.8
a)etlaproposition
6.4.14
a),on peutremplacer
les
conditions
(1),(2),(3)de lavarian
teresp
ectiv
ement pardeg(q) = 0, deg(q) = 1,
deg(q)‚ 2.
La d¶
emonstration
initiale
du th¶
eoreme 7.1.1par Merkurjevutilise
laK -th
¶
eorie
alg
¶
ebrique.
La formulation
ci-dessus
estdue a J.-P
. Tignol
.Nous allons
donnerune
esquisse
de sad¶
emonstration,
quiest¶
el
¶
ementaire
;pourlesd¶
etails,
nousrenvoyonsa
[208].
7.1.2.D ¶
eflnition
. | SoitA une alg
ebrecentrale
simplesurlecorpsdesfonctions
rationnelles
F (T ).Un ordre de A estune sousF [T ]-alg
ebreB de A ,de type flnien
tant queF [T ]-module.
(On exigesouvent queA soit
de plusengendr
¶
ee parB etF (T );nousne voulonspas
de cette
condition
ici.)
e F etde dimen7.1.3.Lemme ([208,th.2]). | SoitD un corpsgauchede centr
sionflniesurF .A lorstoutordre de D (T ) estconjugu
¶
e a un sousanneau de D [T ].
D¶
emonstr
ation
. | On observ
e d’abordqueD [T ]esteuclidien
a gauche eta droite,
doncprincipal
a gaucheeta droite
(m^
eme raisonnemen
tquedanslecascomm utatif
).
Soit⁄ un ordrede D (T ),etsoit
X
M = D [T ]⁄ = f
xiyi jxi 2 D [T ];yi 2 ⁄g:
Le F [T ]-moduleM estclairemen
t de type flni,carilestengendr
¶
e parl’ensem
ble
desproduitseifj ou (ei) (resp.
(fj)) parcourt
une basede D [T ](resp.
⁄ ) surF [T ].
de D (T ) surF (T )),on peut¶
ecrire
Si(gm ) estunebasede D surF (doncaussi
X
eifj =
aijm gm
pourcertains
coe–cientsaijm 2 F (T ),nontousnuls.
Sid 2 F [T ]estun d¶
enominateur
comm un de cescoe–cients,alors
dM ‰ D [T ]:
Vu lad¶
eflnition
de M ,l’ensem
bledM estun id¶
eala gauche non nulde D [T ];il
existe
doncx 2 D [T ]n f0g telque
dM = D [T ]x:
Consid
¶
eronsalors
⁄ 0 = fz 2 D (T )jdM z ‰ dM g;
La d¶
eflnition
de M montreque ⁄ 0
pourtoutz 2 ⁄ 0 :
⁄ ;parailleurs,
comme dM = D [T ]x,on a
xz 2 D [T ]x
¶
7.1.LE TH EOR
EME
¶
DE R EDUCTION
D’INDICE
83
d’ou
⁄ 0 ‰ x¡ 1D [T ]x:
D¶
emonstr
ationdu th¶
eoreme 7.1.1
. | On peutsupposerqueA estun corps.
On raisonne
parr¶
ecurrence
surn = dimq.Sin = 2,cela
r¶
esulte
du lemmeA.2.11
.Supposonsn ‚ 3.
Sanspertede g¶
en¶
eralit
¶
e,on peutsupposerqueq ’ h¡ 1;a1;:::;an ¡ 1i = h¡ 1i ? q1,
eslecorollaire
6.2.7
, on a C 0(q) ’ C (q1). Ilexiste
avec q10 = ha1;:::;an ¡ 1i. D’apr
doncun homomorphismede C 0(q) versA sietseulemen
t siA contien
t des¶
el
¶
ements
d1;:::;dn ¡ 1 v¶
eri
flant
(
= ai
d2i
(7.1.1)
didj = ¡ djdi (i6
= j):
Soitq0 = h¡ 1;a1;:::;an ¡ 3;an ¡ 2T 2 + an ¡ 1i (d¶
eflniesurF (T )).On remarqueque
F (q)’ F (T )(q0)
de F .Pourd¶
emontrerleth¶
eoreme 7.1.1
,ilsu–t doncde prouver
comme extensions
quelesconditions
suiv
antessont¶
equiv
alen
tes:
.
{ A contien
t des¶
el
¶
ementsd1;:::dn ¡ 1 v¶
eri
flant (7.1.1)
{ A (T ) contien
t des¶
el
¶
ementse1;:::;en ¡ 1 v¶
eri
flant lesrelations
(
e2i = ai (i< n ¡ 2);e2n ¡ 2 = an ¡ 2T 2 + an ¡ 1
(7.1.2)
eiej = ¡ ejei (i6
= j):
(7.1.2)
sont satisfaites,
lasousF [T ]-alg
ebre⁄ de A (T ) engendr
¶
ee
Silesrelations
pare1;:::;en ¡ 2 estun ordrede D (T );d’apr
eslelemme 7.1.3
,quitte
a conjuguer
(ce
quine changepas(7.1.2)
),on peutsupposer⁄ ‰ D [T ].Pouri= 1;:::;n ¡ 3,on a
alors
ei 2 D puisque
deg(ai) = 0.Parailleurs,
comme e2n ¡ 2 estde degr
¶
e 2,on doit
avoir
en ¡ 2 = xT + y
pourcertains
¶
el
¶
ementsx;y 2 D .Ces ¶
el
¶
ementsanticommutent avece1;:::;en ¡ 3.De
plus,
larelation
e2n ¡ 2 = an ¡ 2t2 + an ¡ 1 donne
x2 = an ¡ 2;xy + yx = 0;y2 = an ¡ 1:
Les¶
el
¶
ements
8
>
>
< ei sii< n ¡ 2
di =
x
>
>
:y
satisfon
t donclesrelations
(7.1.1)
.
sii= n ¡ 2
sii= n ¡ 1
84
CHAPITRE
¶
7.LE TH EOR
EME
¶
DE R EDUCTION
D’INDICE ET SES APPLICA TIONS
R¶
ecipro
quement,sid1;:::;dn ¡ 1 satisfon
t(7.1.1)
,alors
les¶
el
¶
ementse1;:::;en ¡ 2 de
D (T ) d¶
eflnispar
(
di
sii< n ¡ 2
ei =
dn ¡ 2T + dn ¡ 1 sii= n ¡ 2
satisfon
t larelation
(7.1.2)
.
7.1.4.Corollair
e. | Iln’ya pas r¶
eduction
d’indic
e danslescas suivants
(n =
dimq) :
(i)deg(q)= 0 et2
n¡ 1
2
-ind(A ).
n
2
(ii)
deg(q)= 1 et2 -ind(A ).
n
(iii)
deg(q)= 2 et2 2 ¡ 1 -ind(A ).
(iv)deg(q)‚ 3.
D¶
emonstr
ation
. | Celar¶
esulte
de lavarian
tedu th¶
eoreme 7.1.1
.
7.2.ApplicationI : d¶
eploiement g¶
en¶
erique
7.2.1.Th ¶
eoreme . | Soitq uneformequadr
atique
dedegr¶
e 2,etsoit
2r l’indic
e de
C (q).Soit(F i;qi)0• i• h latourde d¶
eploiement
g¶
en¶
erique
de q.A lorson a
a) dimq ‚ 2r + 2.
b) dimq = 2r + 2 etr ‚ 2 ) dimq1 = 2r;dimq = 4 etr = 1 ) h(q)= 1.
c) dimqh¡ i = 2i+ 2 pourtouti2 [1;r].
d) h ‚ r.
. | a)r¶
esulte
du lemme 6.4.4
.Sidimq = 2r + 2,on a diman (qF (q))
D¶
emonstr
ation
• 2r,doncind(D F (q))= 2r¡ 1 d’apr
eslespropositions
6.4.9
etA.2.10
;sideplusr > 1,
on a alors
diman (qF (q))= 2r,encore
d’apr
eslaproposition
6.4.9
.Sidimq > 2r+ 2,le
corollaire
7.1.4
(iii)
implique
queD F (q) estun corps.
D’ou b),c)etd)parr¶
ecurrence
surh etr.
2,dedegr¶
e 2 etdetyp
e IIIest
7.2.2.Corollair
e ([99]). | Touteformedehauteur
une formed’Alb
ert
.
D¶
emonstr
ation
. | Soit2r l’indice
de C (q). D’apr
es laproposition
6.4.14
a) et le
th¶
eoreme 7.2.1d),on a 1 • r • 2. Sir = 1, c(q) estlaclasse
d’unealg
ebrede
quaternions
.On a doncc(q) = c(¿) pour¿ 2 P 2(F );alors
c(q1) = c(¿F (q)),cequi
montrequeq estbonne.On a doncr = 2.Ilne reste
plusqu’a appliquer
leth¶
eoreme
7.2.1
c)pouri= 0.
On a lesvarian
tessuiv
antesdu th¶
eoreme 7.2.1
,dont lad¶
emonstration
estlaiss
¶
ee
au lecteur
:
7.3.APPLICA TION
II : LE u-INVARIANT
DES CORPS
85
7.2.3.Th ¶
eoreme . | Soitq uneformequadr
atique
dedegr¶
e 1 etdediscriminant
d;
p
soit
E = F ( d)etsoit
2r l’indic
e dec(qE ).Soient
(F i;qi)0• i• h latourded¶
eploiement
p
g¶
en¶
erique
de q etE i = F i( d).A lorson a
a) dimq ‚ 2r + 2.
b) dimq = 2r + 2 etr ‚ 2 ) dimq1 = dim(q1)E 1 = 2r; dimq = 4 etr = 1 )
dimq1 = 2,h(q)= 2,h(qE )= 1.
c) dimqh¡ i = dim(qh¡ i)E h ¡ i = 2i pourtouti2 [2;r + 1].
d) h ‚ r + 1.
e) La tourde d¶
eploiement
g¶
en¶
erique
de (qh¡ r¡ 1)E h ¡ r ¡ 1 est(E h¡ r¡ 1;:::;E h¡ 1).
7.2.4.Th ¶
eoreme . | Soitq une formequadr
atique
de degr¶
e 0 etsoit2r l’indic
e de
c(q).Soit(F i;qi)0• i• h latourde d¶
eploiement
g¶
en¶
erique
de q.A lorson a
a) dimq ‚ 2r + 1.
b) dimq = 2r + 1 etr ‚ 1 ) dimq1 = 2r ¡ 1.
c) dimqh¡ i = 2i+ 1 pourtouti2 [0;r].
d) h ‚ r.
7.3.ApplicationII : leu-invariant des corps
7.3.A.G ¶
en¶
eralit
¶
es
7.3.1.D ¶
eflnition
. | Le u-invariant
de F est
u(F )= supfdiman q jq 2 W (F )g • + 1 :
7.3.2.Exemples
1)PourtoutcorpsF ,on a u(F )‚ s(F ),ou s(F ) estleniveaude F (section
2.2
).
2)Ilexiste
descorpsF deniveau1 tels
queu(F )= + 1 :siF = C (T1;:::;Tn ;:::),
pourtoutn ‚ 1 laformequadratique
hT1;:::;Tn i estanisotrop
e surF .
3)SiF estalg
¶
ebriquemen
t clos,
u(F )= 1.
¶
eristique
= 2),u(F )= 2.En efiet,un argument
6
4)SiF estun corpsflni(decaract
de comptageclassique
montreque touteformequadratique
en trois
variables
surF
repr
¶
esen
tez¶
ero.
5)u(F ) = 2 sietseulemen
t siIF 6
= 0 etI2F = 0 (ceci
estlaiss
¶
e au lecteur
en
exercice).
6)SiF estun corpslocalou un corpsglobal
quin’est
pastotalemen
t imaginaire,
u(F )= 4.Celar¶
esulte
desth¶
eoremesde Meyeretde Hasse-Mink
owski.
Quelles
sont lesvaleurs
possibles
du u-in
varian
t d’uncorps
? A l’heure
actuelle,
cette
question
esttoujours
ouverte.
Le premier
progr
esimportan
ta ¶
et¶
e fait
parA.S.
Merkurjev
en 1989,comme application
du th¶
eoreme 7.1.1
.Donnonspourcommencer
quelques
restrictions
surl’ensem
blede cesvaleurs
:
86
CHAPITRE
¶
7.LE TH EOR
EME
¶
DE R EDUCTION
D’INDICE ET SES APPLICA TIONS
7.3.3.Proposition
. | SiI3F = 0,u(F ) estpair,
¶
egala 1 ou ¶
egala + 1 .
D¶
emonstr
ation
. | Supposonsque 1 < u(F ) < + 1 etque u(F ) soitimpair.
Soitq
uneformequadratique
anisotrop
e telle
quedimq = u(F ).D’apr
eslecorollaire
6.1.4
,
on a
q · hdi (mod I2F )
ou d = d§ q.Parhypothese,q ? h¡ di estisotrop
e,doncq ’ q0 ? hdi,avecq0 2 I2F .
3
Comme I F = 0,on a
aq0 ’ q0
pourtouta 2 F ⁄ .Ceciimplique
queD (q0) = F ⁄ .En particulier,
¡ d 2 D (q0);mais
alors
q estisotrop
e,contradiction.
7.3.4.Proposition
. | Siu(F )< 2n ,alors
In F = 0.
D¶
emonstr
ation
. | En efiet,touten-formede Pflsterestalors
isotrop
e,donchyperbolique.
7.3.5.Corollair
e. | u(F ) ne peutpas^
etr
e¶
egala 3;5 ou 7.
. | En efiet,on aurait
alorsI3F = 0 d’apr
D¶
emonstr
ation
eslaproposition
7.3.4
,
doncunecontradiction
d’apr
eslaproposition
7.3.3
.
. | SoitA un anneau de valuation
discr
ete(cf.appendic
e C),
7.3.6.Proposition
de corpsdesfr
actions
E etdontlecorpsr¶
esiduel
F estde caract
¶
eristique
= 2.A lors
6
u(E )‚ 2u(F ).
D¶
emonstr
ation
. | Soien
t q1 = ha1;:::;an i,q2 = hb1;:::;bn i deux formesquadratiques
anisotrop
essurF .Soien
ta
~i;~
bi des¶
el
¶
ementsde A relev
ant lesai etlesbi,et
posons
q
~1 = h~
a1;:::;~
an i
q
~2 = h~
b1;:::;~
bn i
q = q1 ? …q2
ou … estune uniformisan
tede A . Alorsq estanisotrop
e surE . En efiet,soitx =
(x1;x2) telque q(x) = q
~1(x1) + …~
q2(x2) = 0. Sans pertede g¶
en¶
eralit
¶
e,on peut
supposerque x1 etx2 ont toutes
leurs
composantesdansA etque (x1;x2) 6
· (0;0)
(mod …A ).En r¶
eduisan
t mo dulo…A ,on obtien
t
q1(„
x1)= 0
doncx1 = …y1 ou y1 a toutes
sescomposantesenti
eres.
Alors
…~
q1(y1)+ q
~2(x2)= 0:
En r¶
eduisan
t de nouveaumo dulo…,on obtien
t unecontradiction.
7.3.APPLICA TION
II : LE u-INVARIANT
DES CORPS
87
7.3.7.R emar que. | SiA estcomplet,
on a u(E ) = 2u(F ) :celased¶
eduitfacilement du th¶
eoreme de Springer
C.1.15e).
7.3.8.Corollair
e. | SoitK =F une extension
de typ
e flnide F ,de degr¶
e de transcendanc
e d.A lorsu(K )‚ 2d u(E ) pourune extension
flnieE =F convenable.
D¶
emonstr
ation
. | Parr¶
ecurrence,
on serameneau casd = 1.On ¶
ecrit
K comme
extension
flniede F (T ); lavaluation
discr
etede F (T ) donn¶
ee par l’id
¶
eal(T ) de
F [T ]peutseprolonger
en unevaluation
discr
etede K ,dont lecorpsr¶
esiduel
estune
extension
flniede F .On peutalors
appliquer
laproposition
7.3.6
.
7.3.B.Corps C n
7.3.9.D ¶
eflnition
. | Soien
t n ‚ 0 etd ‚ 1.On ditqu’uncorpsF estC n (d)sitout
polyn
ome homogenesurF ,de degr
^
¶
e d,en au moinsdn + 1 variables,
a un z¶
eronon
trivial.
On ditqueF estC n s’il
estC n (d) pourtoutd.
Ilestclair
queF estC n (2)sietseulemen
t siu(F ) • 2n ;en particulier,
siF est
n
u(F )• 2 .Une bonner¶
de
ef¶
erence
pourlath¶
eorie
descorpsC n estlelivre
C n ,alors
M. Greenberg[62].Nous nousbornerons
a citer
:
7.3.10.Th ¶
eoreme (Tsen-Lang,Chev alley)
. | Lescorpssuivants
sontC n :
(i)Un corpsde degr¶
e de transc
endanc
e n surun corpsalg
¶
ebriquement
clos
;
(ii)
un corpsde degr¶
e de transc
endanc
e n ¡ 1 surun corpsflni.
On d¶
eduitde ceth¶
eoreme,du corollaire
7.3.8
etdesexemples
7.3.2
(3),
(4):
7.3.11.Th ¶
eoreme . | On a u(F )= 2n danslescassuivants
:
(i)F estde degr¶
e de transc
endanc
e n surun corpsalg
¶
ebriquement
clos
;
(ii)
F estde degr¶
e de transc
endanc
e n ¡ 1 surun corpsflni.
7.3.C.V aleursdu u-invariant.| Guid¶
e parlesexemples
ci-dessus,
I.Kaplansky
a conjectur
¶
e que,pourtoutcorpsF ,u(F ) estune puissance
de 2.Cetteconjecture
t par
estrest
¶
eeouverteune tren
tained’ann
¶
eesavant d’^
etrer¶
efut
¶
eespectaculairemen
Merkurjev
,quia montr¶
e queu(F )peutprendre
toutevaleur
paire.
Pluspr¶
ecis
¶
ement,
leth¶
eoreme de Merkurjev
estlesuiv
ant :
7.3.12.Th ¶
eoreme ([159]). | Soient
n un entier
‚ 2 etk un corpsdecaract
¶
eristique
6 2.Ilexiste
=
un corpsF contenant
k telque
(i)I3F = 0;
(ii)
u(F )= 2n.
(D’apr
eslaproposition
6.2.2
,lacondition
I3F = 0 force
laparit
¶
e de u(F ).)
88
CHAPITRE
¶
7.LE TH EOR
EME
¶
DE R EDUCTION
D’INDICE ET SES APPLICA TIONS
D¶
emonstr
ation
. | On commence parremplacer
lecorpsk parun sur-corps
k1 tel
qu’il
existe
uneformequadratique
q 2 I2k1 telle
quedimq = 2n etindC (q)= 2n ¡ 1.
Pourcela,
on pose
k1 = k(T1;:::;T2n ¡ 2)
¶
T1 T2
› k1 ¢¢¢› k1
D =
k1
T2n ¡ 3 T2n ¡ 2
k1
¶
eton choisit
uneformequadratique
q 2 I2k1,de dimension
2n ettelle
queC (q) soit
semblable
a D .On prendpourq lapartie
anisotrop
e de
a1hhT1;T2ii? ¢¢¢? an hhT2n ¡ 3;T2n ¡ 2ii
ou lesai sont convenablemen
t choisis.
Pluspr¶
ecis
¶
ement,supposonsa1;:::;ai (i <
n ¡ 1) choisis
tels
quelaformea1hhT1;T2ii ? ¢¢¢? aihhT2i¡ 1;T2iii soitde dimension
anisotrop
e • 2i+ 2,etsoitqi sapartie
anisotrop
e.On choisit
ai+1 2 D (¡ qi);alors
qi ? ai+1 hhT2i+1 ;T2i+2 ii estisotrop
e,doncde dimension
anisotrop
e • 2i+ 4.On a :
7.3.13.Lemme . | L’alg
ebr
e D esta division.
est¶
etonnamment di– cile
;nousrenvoyonsa [207]eten particLa d¶
emonstration
ulier
a soncorollaire
2.13.
V oirtoutefois
aussi
[182,x19.9]
.
On va maintenan
t construire
F parun proc¶
ed¶
e trans
flni.Soitk1 ‰ k2 ‰ ¢¢¢‰ ki ‰
ble
d’extensions
de k1 obten
ue de lamanieresuiv
ante:soien
t X l’ensem
::: lasuite
desclasses
d’isom
¶
etrie
deformesquadratiques
surki dedimension
> 2n,Y l’ensem
ble
desclasses
d’isom
¶
etrie
de 3-formes
de PflsteretZ = X [ Y .On pose
Y
ki+1 = ¡
X q)
lim
k
(
i
!
q2 T
ou T d¶
ecrit
lessous-ensem
blesflnisde Z .
On posealors
F = ¡
lim
k
¶
et¶
essuiv
antes:
! i.Le corpsF a lespropri
{ u(F )• 2n.
{ I3F = 0.
{ D F esta division.
Lesdeuxpremierespropri
¶
et¶
esr¶
esulten
t imm ¶
ediatemen
t de laconstruction
de F ;
latroisi
eme ¶
egalemen
t,vialeth¶
eoreme 7.1.1
:en efiet,D reste
a division
parpassage
au corpsdesfonctions
de toutequadrique
corresp
ondant a uneformequadratique
de
dimension
> 2n ou a une3-formede Pflster,
d’apr
eslecorollaire
7.1.4
.
Ilr¶
esulte
alors
delaproposition
6.4.9
queqF estanisotrop
e,etdoncqueu(F )= 2n.
7.3.14.R emar ques. |
1.La m ^
eme construction
permetde fabriquer
un corps
F telque I3F = 0 et u(F ) = + 1 . On remplacelecorpsk1 par lecorps
desfonctions
rationnelles
en une inflnit
¶
e d¶
enombrabled’ind
¶
etermin
¶
ees,eton
construit
lescorpski en n’utilisan
t queles3-formes
de Pflster
.
7.4.EXER CICES
89
2.Une varian
tede cetteconstruction
consiste
a remplacer
hi+1 parune extensionalg
¶
ebrique
parfaite
de hi+1 d¶
etermin
¶
eeparun 2-sous-group
e de Sylo
w du
0
groupe de Galoisabsolude hi+1 . Le corpsF obten
u estalorsde dimension
cohomolo
gique2,cf.xB.8.
La question
suiv
ante estrest
¶
ee ouverteplusieurs
ann¶
eesapres leth¶
eoreme de
Merkurjev
:
7.3.15.Question. | Existe-t-il
un corpsde u-in
varian
t impair> 1?
Le meilleur
r¶
esultat
danscette
direction
estd^
u a Izhboldin,
puisa Vishik:
7.3.16.Th ¶
eoreme ([86]pour n = 3, [213]en g¶
en¶
eral)
Pour toutn ‚ 3,ilexiste
un corpsde u-invariant
2n + 1.
Pouruneautreapplication
du th¶
eoreme der¶
eduction
d’indice,
voirl’exercice
8.3.3
.
7.4.Exercices
7.4.1(d’apr
es [97,lemme 4]). | Soien
t q une formeanisotrop
e,K = F (q) etC
uneF -alg
ebrecentrale
simple.
SupposonsqueC K soit
semblable
a alg
ebredequaternions.
En utilisan
t leth¶
eoreme de r¶
eduction
d’indice,
montrerqu’il
en estde m ^
eme
de C danslescassuiv
ants:
{ dimq impaire
et‚ 7.
{ dimq paireet‚ 8.
{ dimq = 6 etd§ q 6
= 1.
{ dimq = 6,d§ q = 1 maisC (q)K 6
» CK .
Lesexercices
7.4.2
a 7.4.10
sont inspir
¶
esde [102].SoitJ un id¶
ealde W (F ).Pour
touteformequadratique
q,on note
dimJ q = inf
fdimq0 jq0 · q (mod J)g:
C’estlaJ-dimension
ou ladimension
moduloJ de q.PourJ = In +1 F ,on note
dimJ q = dimn q. On ditque q estanisotr
ope moduloJ sidimJ q = dimq : cela
implique
queq estanisotrop
e.
7.4.2
. | Mon trerque,pourdeuxformes(q;q0)2 W (F )£ In F non tri
viales,
on a :
dimn (q ? q0)• dimn q + dimn q0 ¡ 2:
En particulier,
siq estanisotrop
e mo duloIn +1 F ,sesseules
sous-formes
appartenan
t
n
a I F sont 0 etpeut^
etreq.
7.4.3
. | Calculer
dim0 q etdim1 q en fonction
de dimq etd§ q.
7.4.4
. | La suite
(dimn q) estcroissan
te;si2n ‚ diman q,on a dimn q = diman q.
90
CHAPITRE
¶
7.LE TH EOR
EME
¶
DE R EDUCTION
D’INDICE ET SES APPLICA TIONS
Pourn ‚ 0 etx 2 In F =In +1 F ,on note
‚(x)= inf
fr jx estsomme de r classes
de n-formes
de Pflster
g:
Siq 2 In F ,on note‚(q)= ‚(x),ou x estl’image
de q dansIn F =In +1 F .
7.4.5
. | Mon trerque,pourq 2 In F ¡ In +1 F ,
2n • dimn q • (2n ¡ 2)‚(q)+ 2
etque,pourq 2= In F ,
dimn q • (2n ¡ 2)‚(q0)+ dimn ¡ 1 q
pouruneformeq0 2 In +1 F convenable.
7.4.6
. | Mon trerque,pourq 2 I2F ¡ I3F ,on a
dim2 q = 2‚(q)+ 2:
On note
un (F )= supfdimn (q)jq 2 W (F )g
‚ (F )= supf‚(x)jx 2 In F =In +1 F g:
n
7.4.7
. | La suite
un (F ) estcroissan
te;supn ‚ 0 un (F )= u(F );u0(F )= 1.
7.4.8
. | SiIF 6
= 0,u1(F )= 2;siI2F 6
= 0,u2(F )= 2‚2(F )+ 2.
7.4.9
. | Pourn ‚ 2,on a
un (F )• (2n ¡ 2)‚n (F )+ un ¡ 1(F ):
7.4.10
. | Calculer
lesun (F ) pourF = R .
CHAPITRE
FORMES
DE BASSE
8
DIMENSION
8.1.Formes de bassedimension
Dans cettesection,
nousrassem
blonsquelques
r¶
esultats
surlesformesde basse
dimension.
8.1.A.Classiflcation
par invariants
8.1.1.Th ¶
eoreme (Pflster[178,Satz14]
). | Soitq uneformequadr
atique
dedimensionpair
e,avec d§ q = 1 etc(q)= 0.A lors:
a) Sidimq < 8,q » 0.
b) Sidimq = 8,q 2 GP 3(F ).
c) Sidimq = 10,q estisotr
ope.
d) Sidimq = 12,ilexiste
a;b 2 F ⁄ et ;¿ 2 P 2(F )tels
queq ’ ahhbii› ( 0 ? ¡ ¿0),
0 0
ou ;¿ sontlesparties
puresde ;¿.
8.1.2.R emar que. | En particulier,
leth¶
eoreme 8.1.1implique
qu’uneformede
dimension
• 12d’in
varian
tstriviaux
estdansI3F ,casparticulier
du th¶
eoreme 6.4.11
.
La d¶
emonstration
(¶
el
¶
ementaire)
de Pflsterdatede 1966!
D¶
emonstr
ation
. | Elleprocedecasparcas:
(i)dimq = 2.On a q ’ ah1;¡ d§ qi» 0.
(ii)
dimq = 4.On a q 2 I2F ,doncq ’ ahhb;cii.Le lemme 6.4.10
a)implique
alors
queq » 0.
(iii)
dimq = 6.Siq estisotrop
e,q » 0 d’apr
es(ii)
;supposonsdoncq anisotrop
e.
es(ii).
Donc
On ¶
ecrit
q ’ ah1;¡ bi ? ’,avecb 6
= 1.AlorsqF (p b) » ’ F (p b) » 0 d’apr
q » h1;¡ bi› ’ (prop
osition
3.2.1
).Maisalors
d§ q = b 6
= 1,contradiction.
(iv)On a besoind’unlemme :
8.1.3.Lemme . | Soitq de dimension
6,avec d§ q = 1 etindc(q)= 2.A lorsq est
isotr
ope.
92
CHAPITRE
8.F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
p
D¶
emonstr
ation
. | En efiet,supposonsq anisotrop
e.SoitE = F ( a) une extension
quadratique
telle
quec(q)E = 0.AlorsqE » 0 d’apr
es(iii).
Maisalors
on obtien
t la
m^
eme contradiction
quedanslad¶
emonstration
de (iii).
(v)dimq = 8.On peutsupposerq anisotrop
e (sinon
q » 0 d’apr
es(iii)).
On ¶
ecrit
p
p
q = ah1;¡ bi? ’.On a qF ( b) » 0 d’apr
es(iii),
donc’ F ( b) » 0 et’ ’ ch1;¡ bi? ’,
d’ou
q ’ ha;ci› h1;¡ bi? ˆ:
Maisalors
d§ ˆ = 1 etc(ˆ)= c(ha;ci› h1;¡ bi);d’apr
eslelemme 6.4.10
c),ˆ est
isom¶
etrique
a ha;ci› h1;¡ bi,cequidonnel’
¶
enonc
¶
e.
(vi)
dimq = 10.Supposonsq anisotrop
e.Touteformede dimension
4 peuts’
¶
ecrire
chd;¡ a;¡ b;abi poura;b;c;d convenables.
On ¶
ecrit
doncq = chd;¡ a;¡ b;abi ? ’.
p
SoitE = F ( d).On a d§ (’ E ) = d§ (chd;¡ a;¡ b;abiE ) = 1 etc(’ E ) = (a;b),donc
e d’apr
eslelemme 8.1.3
.Donc ’ ’ eh1;¡ di ? ˆ avecd§ ˆ = 1,d’ou
’ E estisotrop
ˆ 2 GP 2(F ).Mais alors,
laforme‰ = chd;¡ a;¡ b;abi ? eh1;¡ di v¶
eri
fle d§ ‰ = 1,
indc(‰)• 2;d’apr
es(iii)
et(iv),
elle
estisotrop
e.Comme ‰ estunesous-forme
de q,
on a unecontradiction.
(vii)
dimq = 12.On a besoind’unautrelemme surlesformesde dimension
6:
8.1.4.Lemme . | Soitq de dimension
6 avec d§ q = 1. A lorsilexiste
‚ 2 F ⁄ et
0
0
0 0
queq ’ ‚( ? ¡ ¿ ),ou ;¿ sontlesparties
;¿ 2 P 2(F ) tels
puresde ;¿.
D¶
emonstr
ation
. | En efiet,¶
ecriv
onsq ’ ha;b;c;d;e;fi avecabcdef= ¡ 1.Soit‚ =
abc.Alors
abce;
¡ dei’ hhabcd;
abce
ii0 ? ¡ hh¡ bc;¡ caii0:
‚q ’ hbc;ac;ab;abcd;
Soitmaintenan
t q comme dansleth¶
eoreme 8.1.1
d).Siq estisotrop
e,l’
¶
enonc
¶
e
a-dire
q » ahhbii› ¿).Supposonsmaintenan
t
r¶
esulte
de (v)et(vi)(avec » 0,c’est¶
p
e,donc’ ’
q anisotrop
e.Ecriv
onsq ’ a0h1;¡ bi ? ’. Par (vi),
’ F ( b) estisotrop
a1h1;¡ bi ? ’ etq ’ ¿1 ? ˆ,avec¿1 = ha0;a1i› h1;¡ bi 2 GP 2(F ) etdoncd§ ˆ =
p
¶
1, indc(ˆ) = 2. Ecriv
ons ˆ ’ a2h1;¡ b0i ? ‰. SoitE = F ( b0). Alorsd§ ‰E =
e par lelemme 8.1.4
. Par cons
¶
equent,‰ ’
1, indc(‰E ) = 2, donc ‰E estisotrop
a3h1;¡ b0i ? ¿3 etdoncˆ ’ ha2;a3i› h1;¡ b0i ? ¿3,d’ou ¿3 2 GP 2(F ).On a donc
¶
ecrit
q ’ ¿1 ? ¿2 ? ¿3
avec¿1;¿2;¿3 2 GP 2(F ).
Soitc 2 F ⁄ telque¿1 ? c¿2 soitisotrop
e.Alorsq0 = ¿1 ? c¿2 ? ¿3 estisotrop
e et
d’in
varian
tstriviaux
;par(v)et(vi),
on a doncq0 2 I3F .D’autre
part,
q ? ¡ q0 » h1;¡ ci› ¿2 2 I3F
8.1.F ORMES
DE BASSE
d’ou q 2 I3F .
¶
Ecriv
ons¿i ’ ci i,avecbi 2 F ⁄ et
1
?
2
·
i2
3
DIMENSION
93
GP 2(F ).D’apr
escequipr¶
ecede,on a
(mod I3F ):
En appliquan
t lecorollaire
3.3.3
, on en d¶
eduitqu’il
existe
d;e;f telsque
hhd;eii, 2 ’ hhd;fii, 3 ’ hhd;efii.Alorsq ’ hhdii› … avec
1
’
… = c1h1;¡ ei? c2h1;¡ fi? c3h1;¡ efi:
On a dim… = 6,d§ … = 1.En appliquan
t lelemme 8.1.4
,on en d¶
eduit… ’ ‚(„01 ?
¶
enonc
¶
e.
„02) avec‚ 2 F ⁄ et„1;„2 2 P 2(F ).D’ou l’
8.1.5.Corollair
e. | Une formeq de dimension
• 3 estd¶
etermin
¶
ee a iso
m¶
etrie
presparsonrang,sondiscriminant
etsoninvariant
de Cli
fiord.
D¶
emonstr
ation
. | Soitq0 ayant lesm ^
emesinvarian
ts;alors
q ? ¡ q0 » 0 d’apr
esle
th¶
eoreme 8.1.1
a).
8.1.6.Corollair
e. | Soitq une formed’Alb
ert
. A lors,
{ q estanisotr
ope sietseulement
siindc(q)= 4;
{ q estisotr
ope maisnon hyperb
olique
sietseulement
siindc(q)= 2;
{ q esthyperb
olique
sietseulement
sic(q)= 0.
D¶
emonstr
ation
. | Sic(q)= 0,ona q » 0 d’apr
esleth¶
eoreme 8.1.1
a).Siindc(q)= 2,
alors
q6
» 0,maisq estisotrop
e d’apr
eslelemme 8.1.3
.Enfln,siindc(q) = 4,q est
anisotrop
e d’apr
eslelemme 6.4.4
.
:
En compl¶
ement du th¶
eoreme 8.1.1
,nousnousdevonsd’indiquer
8.1.7.Th ¶
eoreme . |
a) R ost [185]: Soitq une formequadr
atique
de dimension14 tel
leque d§ q = 1, c(q) = 0. A lorsilexiste
a 2 F ⁄ etune 3-forme
de Pflster’ surE = F [t]=(t2 ¡ a) tel
leque q ’ as⁄ ’ 0, ou s⁄ estle((transfertde Scharlau
))pour E =F (cf.remarque 1.5.3
) d¶
eflni par laformelin
¶
eair
e
x 7!T rE =F (x=fi) avec fi 2 E n F telquefi 2 = a,et’ 0 estlapartie
pure de ’.
b) Ho fimann-Tignol [78,prop.2.3]
, Izhboldin-Karp
enko [90,prop.17.2]
: q
3
estsomme dansI F de classes
de trois3-formes
de Pflster.
c) Ho fimann-Tignol [78,cor.6.2(v)etex.6.3]
: Ilexiste
un corpsF etune
formeq 2 I3F , de dimension14, tel
leque q ne soitpas ¶
equivalente
a la
difi¶
erence de deux3-formes
de Pflster.
8.1.8.R emar que. | Danslecasparticulier
dea)ou a estun carr
¶
e,ona E = F £ F .
Une 3-formede Pflster
surE s’iden
ti
fle alors
a un couple
’ = (’ 1;’ 2)de 3-formes
de
PflstersurF ets⁄ ’ 0 = ’ 01 ? ¡ ’ 02.C’estcequia inspir
¶
e b) etc).La d¶
emonstration
de Rostutilise
lath¶
eorie
desgroupesalg
¶
ebriques
lin
¶
eaires,
quid¶
epasse
lecadrede ce
cours
;voiraussi
lem ¶
emoirea para
^‡trede SkipGaribaldi
[59].
CHAPITRE
94
8.F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
Dans cette
direction,
on peutaussi
signaler
:
8.1.9.Th ¶
eoreme (Parimala-Suresh
[174,d¶
em.du th.3.4]
,Kahn [102,cor.
2.1]
)
Pour toutentier
(pair)n ‚ 8, ilexiste
une constante
universel
lec(n) tel
leque,
pour toutcorpsF ettouteformeq 2 I3F de dimensionn, q soitsomme de c(n)
classes
de 3-formes
de PflsterdansI3F .
8.1.10.Proposition(W adsworth [219,th.7]). | Soient
q;q0 deuxformesdedip
0
mension4 tel
lesque d§ q = d§ q = d 6
= 1. SoitE = F ( d). A lorsq etq0 sont
0
semblables
sietseulement
siqE etqE sontsemblables.
D¶
emonstr
ation
. | La n¶
ecessit
¶
e estclaire.
Pourlasu–sance,quitte
a m ultiplier
q et
0
q parun scalaire,
on peutsupposerquecesdeuxformesrepr
¶
esen
tent 1.On a donc
q ’ h1i? q1;
q0 ’ h1i? q10:
Soit’ = q1 ? ¡ q10.Alors’ 2 I2F .LesformesqE etqE0 sont de dimension
4,de
discriminan
t 1 etrepr
¶
esen
tent 1 :cesont doncdes2-formes
de Pflster
.Comme par
hypotheseqE etqE0 sont semblables,
elles
sont isom¶
etriques
parlecorollaire
2.1.9
et
’ E » 0.Si’ ¶
etait
anisotrop
e,on aurait
’ ’ h1;¡ di› ‰ avecdim‰ = 3 (prop
osition3.2.1
),doncd§ ’ = d,cequicontredirait
’ 2 I2F .Donc ’ estisotrop
e etilexiste
0
on a
a 2 D (q1)\ D (q1).Autrement dit,
q ’ h1;a;b;abdi;
q0 ’ h1;a;b0;ab0di
pourb;b0 convenables.
Posonsmaintenan
t ˆ = h1;a;¡ bb0;¡ abb0di.On a
0 » ’ L ’ ha;¡ a;b;abd;¡ b0;¡ ab0di» bh1;ad;¡ bb0;¡ abb0di’ bˆ E
doncˆ E » 0.Siˆ ¶
etait
anisotrop
e,en r¶
eappliquan
t laproposition
3.2.1
on aurait
ˆ ’ h1;¡ di› ¿ avecdim¿ = 2,doncˆ 2 I2F ;maisc’est
impossible
puisque
d§ ˆ = d.
0
0
Donc ˆ estisotrop
e etilexiste
t2 D (h1;ai)\ D (hbb;abbdi).Maisalors
t 2 G (h1;ai)
0
ettbb
2 G (h1;adi).En particulier,
th1;ai’ h1;ai;
thb;abdi’ hb0;ab0di
ettq’ q0.
8.1.11.Corollair
e. | Soientq;q0 deuxformesde dimension4 ayantm ^
eme discriminant
etm ^
eme invariant
de Cli
fiord.A lorsq etq0 sontsemblables.
D¶
emonstr
ation
. | On distingue
deuxcas:
0
0
a)d§ q = d§ q = 1.Alorsq;q 2 GP 2(F ),soitq ’ a¿,q0 ’ a0¿0 aveca;a0 2 F ⁄ et
¿;¿0 2 P 2(F ).Maisc(q)= c(q0)) c(¿)= c(¿0)) ¿ ’ ¿0.
p
esa),qE etqE0 sont semblables
;la
b)d§ q = d§ q0 = d 6
= 1.SoitE = F ( d).D’apr
conclusion
r¶
esulte
maintenan
t de laproposition
8.1.10
.
8.1.F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
95
8.1.12.R emar que. | La r¶
ecipro
quedu corollaire
8.1.11
n’est
pasvraie,
comme le
montrelaproposition
6.4.8
b).De m ^
eme,iln’est
pasvraien g¶
en¶
eralqueq ’ q0 dans
lecorollaire
8.1.11
(consid
¶
ererlecasd§ q = 1).
8.1.13.Th ¶
eoreme (Jacobson[93]). | Soientq;q0 deuxformesd’Alb
ert. A lors
0
0
q etq sontsemblables
sietseulement
sic(q)= c(q ).
D¶
emonstr
ation
. | Nous suivrons
celle
de Mammone -Shapiro
[154].Toutd’abord,
ilestclair
que siq etq0 sont semblables,
alors
c(q) = c(q0) (prop
osition
6.4.8
b)).
R¶
ecipro
quement,soit
a 2 F ⁄ telque’ = q0 ? ¡ aq soit
isotrop
e.Comme d§ ’ = 1 et
c(’)= 0,on a i(’)‚ 2 d’apr
esleth¶
eoreme 8.1.1
c).On peutdonc¶
ecrire
aq’ ˆ ? ‰;
q0 ’ ˆ 0 ? ‰
avec dimˆ = dimˆ 0 = 4. On a d§ ˆ = d§ ˆ 0 et c(ˆ) = c(ˆ 0), donc d’apr
es le
0
corollaire
8.1.11
,ilexiste
b telqueˆ ’ bˆ.
On a d = d§ ˆ = d§ ˆ 0 = d§ ‰ et
c(bˆ)= c(ˆ)+ (b;d)
d’apr
eslaproposition
6.4.8
b).On a donc(b;d) = 0,d’ou b 2 G (h1;¡ di) = G (‰) et
doncq0 ’ bq.
8.1.14.R emar que. | SoitX l’ensem
bledesclasses
de similitude
de formesd’AlbertetsoitY l’ensem
bledesclasses
d’isomorphisme
d’alg
ebrescentrales
simples
de
degr
¶
e 4 etd’exp
osant 2.L’in
varian
t de Cli
fiordd¶
eflnituneapplication
c
~ :X ¡! Y:
Le th¶
eoreme 8.1.13
ditque~
c estinjectiv
e.D’autre
part,
leth¶
eoreme d’Alb
ertA.3.8
ditque~
c estsurje
ctive
:enefiet,sia;b;c;d 2 F ⁄ ,laformed’Alb
ertha;b;¡ ab;¡ c;¡ d;cdi
a pourinvarian
t de Cli
fiord(a;b)+ (c;d).
pasvraien g¶
en¶
eralquedeuxformesde dimension
5
8.1.15.R emar que. | Iln’est
ayant m ^
eme discriminan
t etm ^
eme invarian
t de Cli
fiordsoien
t semblables.
Parexemple,
soit
’ uneformededimension
4 etdediscriminan
td;choisissons
a 2 D (h1;¡ di),
b 2 F ⁄ ,etsoien
t q = ’ ? hbi,q0 = a’ ? hbi.On a
d§ q = db= d§ q0 (prop
osition
6.1.2)
c(q)= c(’)+ (d;¡ b) (prop
osition
6.4.7)
c(q0)= c(a’)+ (d;¡ b)= c(q):
Pourladerni
ere¶
egalit
¶
e,on utilise
quec(a’)= c(’)+ (a;d) (prop
osition
6.4.8
b))
etque(a;d)= 0 d’apr
eslechoixde a.Soitttelqueq0 ’ tq.On a alors
ht;¡ ai› ’ » bh1;¡ ti:
Comme lepremier
mem breestdansI2F ,celaimposet= 1,soit
q0 ’ q oua 2 G (’).
Ilsu–t doncd’exhib
er’ eta 2 D (h1;¡ d§ ’i) tels
quea 2= G (’).
CHAPITRE
96
8.F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
Pourcela,
choisissons
F = F 0(A;B ;C ) ou F 0 estun corpsdonn¶
e etA;B ;C sont
desind¶
etermin
¶
ees.Soitˆ = hhB ;C ii. D’apr
es lelemme 5.2.6
, laformede Pflster
hhA;B ;C ii estanisotrop
e;parcons
¶
equent,A 2= D (ˆ).Posonsalors
’ = h¡ A;¡ B ;¡ C ;B C i» ˆ ? h¡ 1;¡ A i:
On a d§ ’ = ¡ A etA 2 D (h1;A i)= G (h1;A i),maisalors
A 2= G (ˆ)) A 2= G (’).
8.1.B.Formes excellen
tesde petitedimension
8.1.16.Proposition(Knebusch [123,cor.7.19]
). | Soitq une formeexcellente
de dimension
impair
e n ‚ 3;soient
‰ laformede Pflsterdontq estvoisine
et‰1 la
formede Pflsterdontlaformecompl¶
ementair
e de q estvoisine.
Soitd = d§ q.
a) Sih(q) estimpair,q ? h¡ di estencore excellente,
etestune voisine
de ‰.
b) Sih(q) estpair,
on a q ’ hdi? ’ avec ’ excellente.
Sin estdelaforme2r + 1,
alors
’ estsemblable
a ‰1.Sinon,’ estvoisine
de ‰.
.| R¶
ecurrence
surh = h(q).Sih = 0,on a q ’ hdi etl’
¶
enonc
¶
e est
D¶
emonstr
ation
trivial.
Supposonsh > 0 etsoit
¡ q1 laformecompl¶
ementaire
de q.On a d§ q1 = d.
on a q1 ’ hdi? ’ 1,avec
alors
h(q1)estpair
a) Sih(q)estimpair,
;parr¶
ecurrence,
’ 1 excellen
te.D’autre
part,
ilexiste
a 2 F ⁄ telque
q ? ¡ q1 ’ a‰:
Parcons
¶
equent,q ? h¡ diestexcellen
te,voisine
de‰ etdeformecompl¶
ementaire
¡ ’ 1.
b) Sih(q)estpair,
alors
h(q1)estimpair.
Parr¶
ecurrence,
q0 = q1 ? h¡ diestexcel0
len
teetvoisine
de ‰1.Parcons
¶
equent,¡ q ? ’ ’ b‰ pour’ etb 2 F ⁄ conven‰1 • ‰.On en d¶
eduitq ’ ’ ? hdi comme danslad¶
emonstration
ables,
puisque
du th¶
eoreme 5.3.2
.
On a dimq0 • dim‰1 • 21 dim‰,doncdim’ ‚ 12 dim‰.Supposonsd’abordque
dim’ > 21 dim‰.Alors’ estvoisine
de ‰,de formecompl¶
ementaire
¡ q0,doncest
excellen
te.De plus,
on a 12 dim‰ + 1hdim’ + 1 = dimq • dim‰,doncn n’est
pasde
r
equiv
alen
ta
laforme2 + 1.Supposonsmaintenan
t que dim’ = 21 dim‰.Ceciest¶
a ‰1 ;
dimq0 = dim‰1 = 21 dim‰,d’ou n = dimq = 21 dim‰+ 1.Alorsq0 estsemblable
ilen estdoncde m ^
eme de ’,quiestencoreexcellen
te.
8.1.17.Th ¶
eoreme (Knebusch [123,p.10{11]
). | Soitq une formequadr
atique
anisotr
ope surF , de dimension
‚ 3, de discriminant
d etd’invariant
de Cli
fiord c.
Pourqueq soitexcellente
,ilfautetilsu–t quelesconditions
¶
equivalentes
suivantes
soient
remplies
:
a) dimq = 3 :aucunecondition.
b) dimq = 4 :
(i)d = 1;
8.1.F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
97
(ii)
h(q)= 1;
(iii)
deg(q)= 2.
c) dimq = 5 :
(i)d 2 D (q);
(ii)
ind(c)= 2.
d) dimq = 6 :
(i)d 6
= 1 etq estdivisible
parh1;¡ di;
(ii)
q estdivisible
parune formebinair
e;
(iii)
d6
= 1 etcF (p d ) = 0;
(iv)i1(q)= 2.
e) dimq = 7 :c = 0.
f) dimq = 8 :
(i)d = 1;c = 0;
(ii)
h(q)= 1;
(iii)
deg(q)= 3.
g) dimq = 9 :d 2 D (q) etc = 0.
h) dimq = 10 :q estdivisible
parh1;¡ di etq ‚ ’,ou ’ estl’unique
formebinair
e
tel
lequed§ ’ = d etc(’)= c.
i)dimq = 11 :q ? h¡ di estanisotr
ope etexcellente
.
j)dimq = 12 :q estdivisible
par¿ 2 P 2(F ) tel
lequec(¿)= c.
D¶
emonstr
ation
de la2-formede Pflsterhh¡ab;¡ acii. Comme la
a) Siq ’ ha;b;ci, q estvoisine
formecompl¶
ementaire
estde dimension
1,elle
estexcellen
te.
puisqu’une
formede dimension
2n estexcellen
tesietseulemen
t si
b) C’estclair,
elle
estsemblable
a unen-formede Pflster
.
Pour5 • dimq • 8,notonsque q estexcellen
tesietseulemen
t sielle
est
voisine
de Pflster
,d’apr
eslescaspr¶
ec¶
edents.
c) Supposonsq excellen
te. Alors(i)estvraiparlaproposition
8.1.16
. Si(i)est
vrai,
on a q ’ ’ ? hdi avec’ 2 GP 2(F ),doncc(q) = c(’) estd’indice
• 2.
Enfln,si(ii)
estvrai,
soit
¿ 2 P 2(F )telle
quec(q)= c(¿)etposonsˆ = q ? d¿0
ou ¿0 estlaformepurede¿.Alorsˆ estdedimension
8 etd’in
varian
tstriviaux,
doncˆ 2 GP 3(F ) parleth¶
eoreme 8.1.1
etq estvoisine
.
d) Siq estexcellen
te,saformecompl¶
ementaire
estde dimension
2 ;doncdeg(q)=
1 et(i)r¶
esulte
du th¶
eoreme 5.4.8
. Les implications
(i)
) (ii)
et(i)
) (iii)
sont
triviales.
98
CHAPITRE
8.F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
Mon trons
quenon-(iv)
) non-(iii).
On a i1(q)= 1 ou 2.Sii1(q)= 1,(q1)F 1 (p d )
» 0 d’apr
6
eslaproposition
8.1.10
.En particulier,
cF 1 (p d ) 6
= 0 etdonccF (p d ) 6
= 0.
Mon tronsque (iv)
) (ii).
Comme dimq1 = 2,on a q1 ’ ah1;¡ di etd 6
= 1.
Parcons
¶
equent,qF 1 (p d ) » 0.La formeqF (p d ) ne peutpas^
etreanisotrop
e (sans
quoielle
serait
de hauteur1),puisque
sadimension
n’est
pasunepuissance
de
p
p
tepure;maisalors
2.Parcons
¶
equen
t,l’extension
F 1( d)=F( d)esttranscendan
qF (p d ) » 0.
Enfln,si(ii)
estvrai,
alors
q estproduittensoriel
d’uneformededimension
3
etd’uneformebinaire,
doncestexcellen
tepuisque
touteformede dimension
3
estexcellen
te.
e) Siq estvoisine
,on a ¶
evidemmen
t c(q) = 0.R ¶
ecipro
quement,sic(q) = 0,alors
q ? h¡ di estde dimension
8 etd’in
varian
tstriviaux,
donc semblable
a une
3-formede Pflsterd’apr
esleth¶
eoreme 8.1.1
.
f) q estexcellen
tesietseulemen
t sielle
estsemblable
a une 3-formede Pflster.
L’¶
equiv
alenceavec (i)r¶
esulte
alorsdu th¶
eoreme 8.1.1
; l’
¶
equiv
alenceavec (ii)
r¶
esulte
de laproposition
4.2.1
,etl’
¶
equiv
alence
avec(iii)
du corollaire
4.3.7
.
g) Siq estexcellen
te,alors
q ’ ’ ? hdi d’apr
eslaproposition
8.1.16
.Comme la
formecompl¶
ementaire
de q estexcellen
te,soninvarian
t de Cli
fiordestnulet
doncaussi
celui
de q.R ¶
ecipro
quement,sic(q)= 0,on a c(’)= 0,donc’ ’ a¿
avec¿ 2 P 3(F )(th¶
eoreme 8.1.1
).Parcons
¶
equent,q estvoisine
de ¿ › hh¡ adiiet
saformecompl¶
ementaire
estvoisine
de ¿.
h) Ilr¶
esulte
du th¶
eoreme 5.4.8
queq estexcellen
tesietseulemen
tsiq ’ h1;¡ di› ’
avec’ excellen
te.L’¶
enonc
¶
e r¶
esulte
alors
du casc).
j)Si q estexcellen
te,sa formecompl¶
ementaireestde la formea¿ avec ¿ 2
P 2(F ); parcons
¶
equent,c(q) = c(¿) etqF (¿) » 0, doncq estdivisible
par¿.
te,ainsi
que
R¶
ecipro
quement,siq ’ ¿ › ˆ,on a dimˆ = 3,doncˆ estexcellen
q.
i)Siq estexcellen
te,alors
’ = q ? h¡ di estanisotrop
e etexcellen
ted’apr
esla
proposition
8.1.16
.R ¶
ecipro
quement,si’ estanisotrop
e etexcellen
te,on peut
¶
ecrire
’ ’ c¿ › 0 avec ;¿ 2 P 2(F ) etc(’) = c(¿).Alorsq estune voisine
de
¿ › ,de formecompl¶
ementaire
a¿ ? h¡ di.
8.1.C.((Classiflcation
))des formes de petitedimension.| Pourlesbesoins
du probl
eme d’isotropie,
on seproposede d¶
ecomposerl’ensem
bledesformesquadratiques
anisotrop
esq d’unedimension
n • 7 donn¶
eeen ((classes
))ayant descomportep
mentsdifi¶
eren
ts.Notonsd = d§ q,c = c(q);E = F ( d) (lorsque
d6
= 1).
1)n = 1.Une seule
classe.
2)n = 2.Une seule
classe.
3)n = 3.Une seule
classe.
8.2.RETOUR
A U CHAPITRE
?? POUR
LES F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
99
‰
4-I. d 6
= 1.
4)n = 4.Deux classes
:
4-I
I. d = 1.
On a
q 2 4-I( ) deg(q)= 1 ( ) h(q)= 2:
q 2 4-I
I ( ) deg(q)= 2 ( ) h(q)= 1
‰
5-I. d 2= D (q).
5)n = 5.Deux classes
:
5-I
I. d 2 D (q).
On a
q 2 5-I( ) q ? h¡di estuneformed’Alb
ertanisotrop
e.
q 2 5-I
I ( ) q estexcellen
te.
On notera
quelesclasses
5-Iet5-I
I ne sontpasdistingu
¶
eesparleursuite
de d¶
eploie
ment.
8
6-I. d 6
= 1,indcE = 4.
>
>
<
6-I
I. d 6
= 1,indcE = 2.
6)n = 6.Quatreclasses
:
>
6-I
I
I.
d
= 1,cE = 0.
6
>
:
6-IV. d = 1.
On a :
q 2 6-I( ) d 6
= 1 etqE estanisotrop
e.
q 2 6-I
I () d6
= 1 eti(qE )= 1 ( ) q ’ a¿ ? bh1;¡ di poura;b 2 F ⁄ et¿ 2 P 2(F ):
q 2 6-I
II ( ) q estexcellen
te ( ) qE » 0 ( ) h(q)= 2; deg(q)= 1:
q 2 6-IV( ) q estuneformed’Alb
ertanisotrop
e ( ) h(q)= 2; deg(q)= 2:
On noteraque lesclasses
6-I
I et 6-I
II ne sont pas distingu
¶
eespar leursuitede
d¶
eploiemen
t.
7)En dimension
7,laclassi
flcation
devien
t plushasardeuse.
En premiereappro
ximation,
on a cinqclasses
:
8
>
7-I. d 2= D (q),indc = 8.
>
>
>
>
I. d 2= D (q),indc = 4.
< 7-I
7-I
II. d 2= D (q),indc = 2.
>
>
>
7-IV. d 2= D (q),c = 0.
>
>
:
7-V. q ’ ? hdi.
Toutefois,
on sait
quelaclasse
7-Vdoit^
etreau moinssubdivis
¶
eeendeuxsous-classes
:
lesformescontenan
t unevoisine
de Pflsterde dimension
5 etcelles
quin’encontiennentpas(cf.corollaire
8.2.16
).Ilestpossible
quelesautres
classes
doiv
ent¶
egalemen
t
^
etrera– n¶
ees.
8.2.Retour au chapitre5 pour lesformes de bassedimension
Dans cette
section,
nousrevenonsau probl
eme de l’isotropie
d’uneformequadratiqueq surlecorpsdesfonction
d’unequadrique
: nousallons
¶
enoncerlesr¶
esultats
100
CHAPITRE
8.F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
connus lorsque
dimq • 8,eten d¶
emontrerquelques
uns.On noted = d§ q,c = c(q)
p
etE = F ( d) sid 6
= 1.D’apr
esleth¶
eoreme 5.3.4
,on peutsupposerqueq n’est
pas
0
0
voisine
d’uneformede Pflster.
On cherc
he lesformesq telles
que q 4 q : parla
proposition
3.2.1
,on peutsupposerdimq0 ‚ 3.
8.2.1.Th ¶
eoreme (D. Shapiro,D. Leep [198], [147]). | Supposonsdimq = 4,
d 6
= 1. Soitq0 2= GP 2(F ). A lorsq0 4 q sietseulement
siq0 estsemblable
a une
sous-forme
de q.
D¶
emonstr
ation
. | Par laproposition
8.1.10
, on a qE 2 GP 2(E )n f0g. D’apr
esle
th¶
eoreme 5.3.4
,qE0 estdoncsemblable
a unesousformedeqE ;enparticulier,
dimq0 •
4.
Sidimq0 = 4,qE0 estsemblable
a qE ;enparticulier,
d§ q0 2 f1;dg.Le casd = 1 est
0
0
excluparhypothese,
doncd§ q = d etq / q d’apr
eslaproposition
8.1.10
.
Sidimq0 = 3,on peutplonger
q0 dansune(unique)
formeq00 de dimension
4 etde
00
00
discriminan
t d.AlorsqE ;qE 2 GP 2(E );comme qE etqE ont en comm un lavoisine
qE0 ,elles
sont semblables
etdoncq00 / q en r¶
eappliquan
t laproposition
8.1.10
.En
0
particulier,
q estsemblable
a unesous-forme
de q.
8.2.2.Th ¶
eoreme (Merkurjev,Leep [158], [147]). | Supposonsqueq soitune
formed’Alb
ert
. Soitq0 2= GP 2(F ).A lorsq0 4 q sietseulement
siq0 estsemblable
a
une sous-forme
de q.
. | Nous suivrons
celle
de A. Laghribi
[131].D’apr
es lecorollaire
D¶
emonstr
ation
8.1.6
,qF (q0) estisotrop
e sietseulemen
t siind(cF (q0))• 2;d’apr
eslecorollaire
7.1.4
,
cecientra
^‡nepourcommencerdeg(q0)• 2 et
{ dimq0 • 6 sideg(q0)= 2;
{ dimq0 • 4 sideg(q0)= 1;
{ dimq0 • 5 sideg(q0)= 0.
Supposonsd’aborddeg(q0)= 2,etsoit
c0 = c(q0).On a dimq0 = 6,lecasdimq0 = 4
¶
etan
t excluparhypothese.
Soien
t D un corpsgauchedeclasse
cetD 0 un corpsgauche
c0.Parleth¶
ind(cF (q0))• 2 sietseulemen
de classe
t si
eoreme de r¶
eduction
d’indice,
0
0
D estisomorphe
a un sous-corps
de D .AlorsD ’ D ,doncc0 = c etq0 / q parle
th¶
eoreme 8.1.13
.
Supposonsmaintenan
t deg(q0)= 1,doncdimq0 = 4.Soien
t d0 = d§ q0,c0 = c(q0)et
p
t D un corpsgauche de classe
c etD 0 un corpsgauche de centre
E 0 = F ( d0).Soien
0
0
0
0
0
E telqueC 0(q )’ D :alors
cE 0 = [D ].D’apr
esleth¶
eoreme de r¶
eduction
d’indice,
ind(cF (q0))• 2 sietseulemen
t siM 2(D 0) seplonge,
doncestisomorphe
a,D E 0.Ilen
e.On a doncc(q0)+ c(q) 2 Ker(B (F ) ! B (E 0)).Parla
r¶
esulte
que qE 0 estisotrop
proposition
6.4.13
(i),
celaimplique
c = c0 + (a;d)
8.2.RETOUR
A U CHAPITRE
?? POUR
LES F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
101
poura 2 F ⁄ convenable.
Soitq00 = q0 ? ¡ ah1;¡ di.Alorsq00 estuneformed’Alb
ertde
discriminan
tc;parleth¶
eoreme 8.1.13
,on a q00 / q etq contien
tdoncunesous-forme
semblable
a q0.
Supposonsenfln deg(q0) = 0, doncdimq0 = 3 ou 5. Alorsind(cF (q0)) • 2 siet
seulemen
t siD ’ C 0(q)› D 00.Sidimq0 = 3,C 0(q) estune alg
ebrede quaternions
,
doncaussi
D 00.Choisissons
q00 de dimension
3 telle
quedimq00 = dimq0 etC 0(q00) =
D 00 : alorsq0 ? ¡ q00 estde dimension
6, de discriminan
t trivial
etd’in
varian
t de
Cli
fiordc, donc estsemblable
a q. Sidimq0 = 5, C 0(q0) ’ D , d’ou c(q0) = c(q).
Alorsq00 = q0 ? h¡ d§ q0iestuneformed’Alb
ertanisotrop
e telle
quec(q0)= c(q00).Le
th¶
eoreme 8.1.13
entra
^‡nealors
q00 / q,etq contien
tunesous-forme
semblable
a q0.
8.2.3.Corollair
e. | Supposonsdimq = 6, d 6
= 1 etqE anisotr
ope.A lorsq0 4 q )
0
dimq • 6.
D¶
emonstr
ation
. | En efiet,qE0 estsemblablea une sous-forme
de qE d’apr
es le
th¶
eoreme 8.2.2
.
8.2.4.Th ¶
eoreme (Hofimann [67]). | Supposonsquedimq = 5.Soitq0 2= GP 2(F ).
a unesous-forme
deq.(Rappelonsque
siq0 estsemblable
A lorsq0 4 q sietseulement
danstoutecettesous-se
ction,
q estsuppos¶
eene pas^
etr
e une voisine.)
D¶
emonstr
ation
. | Nous suiv
onscelle
de Hofimann,avecquelques
varian
tes.
P arhypothese,q n’est
pasune voisine
de Pflster
; parcons
¶
equent, = q ? h¡ di estune
e.Parleth¶
eoreme 8.2.2
,q0 estsemblable
a une sous-forme
formed’Alb
ertanisotrop
de .
Supposonsd’aborddimq0 = 3.On a alors ’ aq0 ? q00 poura;q00 convenables.
Il
existe
(ununique)
b 2 F ⁄ telqued§ (q ? bq00)= 1 :on a alors
c(q ? bq00)= c(q)+ c(q00)= c( )+ c(q00)= c(q0):
En particulier,
c(q ? bq00)F (q0) = 0. Comme (q ? bq00)F (q0) estisotrop
e,elle
est
00
hyperbolique
d’apr
esleth¶
eoreme 8.1.1
.Par lecorollaire
3.2.5
,on a (q ? bq )an ’
› ‰,ou estla2-formede Pflsterasso
ci
¶
eea q0 etdim‰ = 1 ou 2.Maisl’
¶
egalit
¶
e
c(q ? bq00)= c( )entra
^‡nedim‰ = 1;parcons
¶
equen
t,on a s ’ ’ ? hripour’ • q,
r ets convenables.
Le lemme 5.3.3
montreque’ etq0 sont semblables.
0
Supposonsmaintenan
t dimq = 4.Le casd§ q0 = 1 serameneau pr¶
ec¶
edent par
leth¶
eoreme 5.3.4
.Supposonsd0 = d§ q0 6
= 1.On a besoind’unlemme,d^
u a Fitzgerald[55]:
8.2.5.Lemme . | Soit¿ 2 GP 3(F ). A lors¿F (q0) » 0 siet seulement
si¿ ’
h1;¡ xi› q0,ou x 2 D (h1;¡ d0i).
D¶
emonstr
ation
. | Notonsque,pourx 2 D (h1;¡ d0i), on a (x;d0) = 0 donc¿x :=
0
h1;¡ xi› q 2 GP 3(F ). De plus,
¿x devien
t isotrop
e,donchyperbolique
surF (q0).
R¶
ecipro
quement,soit
¿ 2 GP 3(F )telle
que¿F (q0) » 0.Parleth¶
eoreme 3.2.4
,ilexiste
102
CHAPITRE
8.F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
a 2 F ⁄ et’ dedimension
4 tels
que¿ ’ aq0 ? ’.En particulier,
’ etq0 ontlesm ^
emes
invarian
tsdoncsont semblables
parlecorollaire
8.1.11
.
Soitq00 unesous-forme
de q0 de dimension
3.AlorsqF (q00) estisotrop
e,doncq00 est
0
semblable
a unesous-forme
deq d’apr
eslecaspr¶
ec¶
edent.Parailleurs,
q estsemblable
a unesous-forme
de parleth¶
eoreme 8.2.2
.On a doncdesisom¶
etries
:
= q ? h¡di
q ’ cq00 ? ’
q0 ’ q00 ? hai
’ bq0 ? ˆ
aveca;b;c 2 F ⁄ etdim’ = dimˆ = 2.
En particulier,
on a
(8.2.1)
’ cq00 ? ’ ? h¡di’ bq00 ? habi? ˆ:
La formehb;¡ ci› estdansI3F etdedimension
anisotrop
e • 6 :parleHauptsatz
(ouleth¶
eoreme 8.1.1
),elle
estdonchyperbolique
etb ’ c .Ilen r¶
esulte
que
’ bc ’ cq0 ? bcˆ:
a remplacer
Quittea changerˆ en bcˆ,on peutdoncsupposerqueb = c;quitte
q parbq,d parbd et parb ,on peutaussisupposerque b = 1.De plus,
quitte
a
m ultiplier
q0 parun scalaire,
on peutsupposerquea = d0 etdoncqued§ q00 = 1.Les
isom¶
etries
ci-dessus
deviennen
t alors
:
= q ? h¡di
q ’ q00 ? ’
q0 ’ q00 ? hd0i
’ q0 ? ˆ:
ecrire
’ ’ he;fi,
’ ? ¡ ˆ » hd0;di;on peutdonc¶
L’¶
equation
(8.2.1)
donnealors
ˆ ’ he;gipoure;f;g convenables.
Une comparaison
dediscriminan
tsdonneg = ¡ d0e.
On a alors
hf;¡ di’ d0h1;¡ ei:
En prenan
t lesdiscriminan
ts,on en d¶
eduitdf = e,d’ou hde;¡ di’ hd0;¡ d0ei,soit
0
0
encorehde;¡ d i’ hd;¡ d ei,ou
e 2 D (h1;¡ dd0ei):
On a alors
? ¡ dd0e ’ q ? h¡di? ¡ dd0e(q0 ? he;¡ d0ei)
» q ? ¡ dd0eq0 ? h¡dd0i
’ q00 ? he;dei? ¡ dd0eq00 ? h¡de;¡ dd0i
» h1;¡ dd0ei› q00 ? he;¡ dd0i
’ h1;¡ dd0ei› (q00 ? hei)
’ h1;¡ dd0ei› (q00 ? h1i)2 P 3(F ):
8.2.RETOUR
A U CHAPITRE
?? POUR
LES F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
103
Comme qF (q0) etqF0 (q0) sont isotrop
es,on a
diman ( ? ¡ dd0e )F (q0) • 6
donc( ? ¡ dd0e )F (q0) » 0.Parlelemme 8.2.5
,on a donc
h1;¡ dd0ei› (q00 ? h1i)’ hh1;¡ xi› q0 ’ hh1;¡ xi› (q00 ? hd0i)
avech 2 F ⁄ ,x 2 D (h1;¡ d0i).Le mem brededroite
peutdoncaussi
s’
¶
ecrire
hh1;¡ xi›
00
(q ? h1i) 2 GP 3(F );cecimontrequ’onpeutchoisir
h = 1 (corollaire
2.1.8
).On a
alors
hhdd0exii› (q00 ? h1i)» 0
d’ou
hhdd0ex;xii› q0 » 0
ou
h1;¡ x;dd0ei› q0 » dd0exq0:
Ilr¶
esulte
alors
de l’
¶
equiv
alence
q ? ¡ dd0eq0 ? h¡ dd0i» h1;¡ xi› q0 :
q » hdd0i? h1;¡ x;dd0ei› q0 » hdd0i? dd0exq0
etq0 estsemblable
a unesous-forme
de q.
0
Supposonsmaintenan
t dimq = 5.Parleth¶
eoreme 8.2.2
,q0 estsemblable
a une
0
0
0
a , ou d = d§ q0. En particulier,
sous-forme
de , doncq ? h¡ d i estsemblable
q0 n’est
pasvoisine
d’une3-formede Pflster
.Choisissons
une sous-forme
q00 • q0 de
dimension
4 :parlecaspr¶
ec¶
edent,q00 estsemblable
a une sous-forme
de q;quitte
a
m ultiplier
q parun scalaire,
on peutsupposerq00 • q,soit
q ’ q00 ? hai,q0 ’ q00 ? hbi.
Soit’ = q0 ? ¡ abq» h1;¡ abi› q00.Comme c(q)= c(q0)= c( ),on a
d§ ’ = 1;c(’)= 0
donch1;¡ abi› q00 2 GP 3(F ).Parailleurs,
’ F (q0) ’ qF0 (q0) ? ¡ abqF (q0) estd’indice
00
• 2;ilen r¶
esulte
que (h1;¡ abi› q )F (q0) » 0.Mais alors
h1;¡ abi› q00 » 0,sans
0
0
(th¶
eoreme 3.2.4
)etq serait
quoiq en serait
voisine
d’une3-formede
unesous-forme
0
Pflster
.Donc q ’ abq.
Mon tronsenfln que dimq0 ‚ 6 estimpossible
: ilsu–t de lefaire
danslecas
dimq0 = 6.Supposonslecontraire
:parleth¶
eoreme 8.2.2
,q0 estsemblable
a .De
00
0
plus,
parlecaspr¶
ec¶
edent,toutesous-forme
q • q de dimension
5 estsemblable
a q.
Cecireste
vraisurlecorpsK = F (t).Maisc’est
impossible
:soit’ une sous-forme
de dimension
4 de q0 (d¶
eflniesurF ),et¶
ecriv
onsq0 ’ q00 ? ha;bi,aveca;b 2 F ⁄ .Soit
2
c = aT + b 2 D (ha;biK ).Alors’ K ? hai estsemblable
a ’ K ? hci sietseulemen
t
¶
siac’ K ’ ’ K .Ecriv
ons’ ’ ˆ ? hdi :ceciimplique
T 2 + ab2 D (d’ K ):
104
CHAPITRE
8.F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
Parleth¶
eoreme 2.4.4
,ceciimplique
ab2 D (dˆ).On a doncˆ ’ ¿ ? habdi,d’ou
’ ¿ ? habd;d;a;bi:
Maishabd;d;a;bi2 I2F :on a donc¿ 2 I2F et¿ » 0,cequicontredit
l’anisotropie
de .
8.2.6.R emar que. | En particulier,
siq estuneformede dimension
5 non voisine,
deformed’Alb
ertasso
ci
¶
ee ,qF ( ) estunevoisine
dePflster
anisotro
pe.Ce ph¶
enomene
estparfois
d¶
enomm ¶
e d¶
eploiement
anisotr
ope (anisotropic
splitting,
Rehmann).
Mentionnons
sansd¶
emonstration
:
8.2.7.Th ¶
eoreme (Laghribi[131], Izhboldin-Karp
enko [89])
Supposonsdimq = 6 etqE anisotr
ope.Soitq0 2= GP 2(F ). A lorsq0 4 q siet
seulement
siq0 estsemblable
a une sous-forme
de q.
8.2.8.Th ¶
eoreme . | Supposonsq =
? ¡ ¿,avec
2 P 2(F ) et¿ 2 GP 1(F ).
0
a) Ho fimann [75]: Soitq une formede dimension6
= 4. A lorsq0 4 q siet
seulement
si
{ soitq0 estsemblable
a une sous-forme
de q;
{ soitilexiste
x 2 D (¿) telque q0 soitsemblable
a une sous-forme
de
› hhxii.
b) Izhboldin
-Karpenko [87]:Soitq0 une formede dimension
4 etde discrim0
inantd 6
= 1. A lorslaconclusion
de a) restevraie,saufpeut^
etr
e danslecas
p
p
suivant
:d 6
= d0,ind((c(q)+ c(q0))K )= 2,ou K = F ( d; d0).
c) Izhboldin
-Karpenko [90]:Ilexiste
un coupleq0 4 q comme danslecas ex0
ceptionnel
de b)telqueq ne v¶
eri
fle aucunedesdeuxconditions
de a).
Mon tronsseulemen
t que,dansa),on a ’ := › hhxii4 q six 2 D (¿).En efiet,’
estune3-formede Pflster
,doncelle
devien
t hyperbolique
surF (’).Autrement dit
F (’ )
’ x
F (’ )
d’ou
qF (’ ) =
F (’ )
? ¡ ¿F (’ ) ’ x
F (’ )
? ¡ ¿F (’ )
etx ? ¡ ¿ est¶
evidemmen
t isotrop
e.
Pour¶
enoncer
leth¶
eoreme suiv
ant,on a besoin
de lanotion
de formesconjugu
¶
ees:
8.2.9.Proposition
. | Soientn ‚ 1 etq1;q2 deuxformesde dimension2n . Les
conditions
suivantes
sont¶
equivalentes
:
(i)q1 ? ¡ q2 2 Jn +1 (F ).
(ii)
q1 ? ¡ q2 2 GP n +1 (F ).
(iii)
(q1)F (q1 ) ’ (q2)F (q1 ).
8.2.RETOUR
A U CHAPITRE
?? POUR
LES F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
105
(iv)(q1)F (q1 ? ¡ q2 ) ’ (q2)F (q1 ? ¡ q2 ).
Sicesconditions
sontv¶
eri
fl¶
ees,on a q1 … q2.
D¶
emonstr
ation
. | (i)
) (ii)
r¶
esulte
du corollaire
4.3.7
; (ii)
) (iv)r¶
esulte
du corollaire
2.1.8
;(iv)
) (iii)
r¶
esulte
du fait
queq1 4 q1 ? ¡ q2.Mon tronsenfln que(iii)
) (i).
Soitm = deg(q1 ? ¡ q2) • n + 1.L’in
¶
egalit
¶
e m < n estimpossible
parleth¶
eoreme
3.2.4
(i).
Sim = n,leth¶
eoreme 4.4.1
(ii)
implique
queq1 estsemblable
a une forme
de Pflster
; alors(q1)F (q1 ) » 0, donc(q2)F (q1 ) » 0 etq2 estsemblable
a q1 parle
th¶
eoreme 3.2.4
;alors
q1 ? ¡ q2 2 In +1 F ,contradiction.
On a doncm = n + 1.Enfln,
laderni
ereassertion
r¶
esulte
trivialemen
t de lacondition
(iii).
8.2.10.D ¶
eflnition
. | Deux formesq1 etq2 de dimension
2n sontstrictement
conjugu
¶
eessielles
v¶
eri
flent lesconditions
¶
equiv
alen
tesde laproposition
8.2.9
.Elles
sont
conjugu
¶
eess’il
existe
a 2 F ⁄ telqueq1 etaq2 soien
t strictemen
t conjugu
¶
ees.
8.2.11.Th ¶
eoreme . | Supposonsq de dimension
8 etde discriminant
1.Soitq0 2=
GP 2(F ).
a) Laghribi[129], Ho fimann [69]:Siindc = 2,q0 4 q sietseulement
siq0 est
contenuedansune formeq00 de dimension
8 tel
lequeq00 4 q.Sidimq0 = 8,on
0
a q 4 q sietseulement
si
(i)soitq0 estsemblable
a q;
(ii)
soit
q0 estsemblable
a une3-formedePflster
dontq contient
unevoisine.
b) Laghribi[129]:Siindc = 4,laconclusion
de b)estvraieen rempla»
cantdans
(i)((semblable
))par((conjugu
¶
ee)),a condition
quedimq0 ‚ 5.
c) Laghribi[130]:Si indc = 8 etdimq0 ‚ 5, q0 4 q sietseulement
siq0 est
contenuedansune conjugu
¶
eede q.
d) Izhboldin
-Karpenko [89]:La conclusion
de c) restevraiesidimq0 = 4 et
0
q 2= GP 2(F ).
e) Izhboldin
-Karpenko [88]:La conclusion
de b)restevraiesidimq0 = 4,sauf
une sous-forme
’ 2 GP 2(F ) etind((c(q)+ c(q0))E 0)= 4,
peut^
etr
e siq contient
p
0
0
ou E = F ( d§ q ).
f) Ibid.:Ilexiste
desexemples
q0 4 q danslecasexceptionnel
de e)ou laconclusionde b)n’est
pasvraie.
La partie
a)de ceth¶
eoreme serad¶
emontr¶
eeplustard(voirp.123).
8.2.12.Corollair
e. | Soitq de dimension
8 etde discriminant
1.Supposonsque
ind(c(q))= 2.A lorstouteformeq0 conjugu
¶
eea q luiestsemblable.
Notonsque lesformesde a)sont lesformesde hauteur2,de degr
¶
e 2 etde type
II au sensde lasection
5.7
.Sidimq0 = 3 dansb)ou c),Laghribi
[129],[130]donne
¶
egalemen
tunecondition
n¶
ecessaire
etsu–santepourqueq0 4 q,maiscelle-ci
estplus
106
CHAPITRE
8.F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
tec
hniqueetfait
interv
enirune 3-formede Pflsterauxiliaire.
IzhboldinetKarpenko
donnentuneautrecondition
n¶
ecessaire
etsu–sante,un peuplusagr¶
eable,
sansm ^
eme
supposerd = 1 :
8.2.13.Th ¶
eoreme (Izhboldin-Karp
enko [88]). | Supposonsdimq = 8,etsoit
q0 de dimension
3. Notons¿ une formede GP 2(F ) contenant
q0. A lorsq0 4 q siet
seulement
si:
(i)soit
q0 estsemblable
a unesous-forme
d’une3-formedePflster
dontq contient
une voisine
;
(ii)
soitilexiste
une formeq⁄ de dimension10 tel
leque ¿ • q⁄ etsq · q⁄
4
⁄
(mod I F ) pours 2 F convenable.
On remarquera
que,dans(ii),
laformesq ? ¡ q0 estisotrop
e (cf.commentaire
apreslaconjecture
5.7.6
).Mon tronsseulemen
tque,danscecas(ii),
on a bienq0 4 q.
On a ¿F (q0) » 0,doncdiman qF⁄ (q0) • 6 etdiman (sq? ¡ q⁄ )F (q0) • 14.Le Hauptsatz
implique
alors
que(sq? ¡ q⁄ )F (q0) » 0,d’ou diman sqF (q0) • 6.
ededimension
7 telle
queind(c(q))
8.2.14.R emar que. | Soitq uneformeanisotrop
= 2,etsoitd = d§ q.Alorsq
~ = q ? h¡ di estanisotrop
e etq … q
~ :celar¶
esulte
du
lemme 5.1.4
c),carsi~
q estisotrop
e,sonindice
est‚ 2.Ilen r¶
esulte
que l’isotropie
de q surlecorpsdesfonctions
d’unequadrique
estlam ^
eme quecelle
de q
~.
Mentionnons
enfln un th¶
eoreme d’Izh
boldin[85]:
8.2.15.Th ¶
eoreme . | Soient
q;q0 deuxformesquadr
atiques
anisotr
opessurF .Supposonsque q ne contienne
pas de sous-forme
de dimension4 et de discriminant
trivial,
etque dimq • 8. A lors,
siq0 4 q, ilexiste
un homomorphismed’alg
ebr
es
0
C 0(q )! C 0(q).
8.2.16.Corollair
e. | Soitq une formequadr
atique
anisotr
ope de dimension
• 8.
Lesconditions
suivantes
sont¶
equivalentes
:
(i)Ilexiste
une 3-formede Pflsterq0 tel
lequeq0 4 q.
(ii)
dimq > 4 etq contient
une sous-forme
de dimension
4 etde discriminant
trivial.
(iii)
q contient
une voisine
d’une3-formede Pflster
.
Quelles
sontlesformesquadratiques
q dedimension
• 8,nonvoisines
dePflster,
qui
contiennen
tunevoisine
d’une3-forme
dePflster
? Iln’enexiste
pasendimension
5;en
dimension
6,ilfautetilsu–t queq soit
du type 6-I
I delasection
8.1.C
.Sidimq = 8,
d = 1,c ne peutpas^
etred’indice
8 :celar¶
esulte
d’uncalcul
simpled’in
varian
t de
Cli
fiord.Siindc = 2,q estde hauteur2,de degr
¶
e 2 etde type II,doncestdivisible
paruneformebinaire
(corollaire
5.7.10
).Ilenr¶
esulte
qu’elle
contien
tunetelle
voisine
(etm ^
eme un grandnombred’en
treelles).
Siindc = 4,q contien
t une telle
voisine
si
8.3.EXER CICES
107
etseulemen
t sion peut¶
ecrire
q’
? ¿ ou ;¿ 2 GP 2(F ).IzhboldinetKarpenko
ont r¶
ecemment d¶
emontr¶
e quecen’est
pastoujours
possible
[90];toutefois,
une telle
formepeuttoujours
s’
¶
ecrire
s⁄ ,ou s⁄ estletransfert
de Scharlaucorresp
ondant a
uneF -alg
ebre¶
etale
E de rang2 et¿ 2 GP 2(E ) (ibid.
).
En dimension
7, q ne peutpas^
etrede type 7-I: en efiet,q ? h¡ di estalors
de discriminan
t 1 etd’in
varian
t de Cli
fiordd’indice
8.Siq estde type 7-I
II,q est
((¶
equiv
alen
te))a q ? h¡ di (cf.remarque8.2.14
),donccontien
t desvoisines
d’apr
es
cequipr¶
ecede.Siq estde type 7-I
I,pourqu’elle
contienne
une voisine
ilfautque
q ? h¡ di soitsomme de deux formesde GP 2(F ); j’ignore
sicettecondition
est
¶
egalemen
t su–sante.Enfln,siq estde type 7-V,lesdeuxcaspeuvent seproduire.
En fait
:
8.2.17.Proposition
. | Soient uneformed’Alb
ertetd 2 F ⁄ tels
queq = ? hdi
soit
anisotr
ope.A lorsq contient
unevoisine
dePflster
dedimension
5 sietseulement
si¡ d estproduitde troisvaleurs
de .
D¶
emonstr
ation
Su–sance:¶
ecriv
ons¡ d = aa0a00 aveca;a0;a00 2 D ( ),etsoit
q
~=
? ad .Alors:
{ q• q
~;
{q
~ estisotrop
e.
provien
t du fait
qued 2 D (ad );ladeuxi
eme provien
t
La premiereassertion
eoreme 8.1.1
b)etc),q
~ » ¿ pourun ¿ 2 GP 3(F ).
de l’h
ypothesesurd.Parleth¶
¶
Ecriv
ons~
q ’ q ? ¡ q0.Ilexiste
donc’;ˆ;‰,avecdimˆ = 2,tels
que
q ’ ’ ? ˆ;
q0 ’ ‰ ? ˆ;
¿’ ’ ? ¡‰
et’ estunevoisine
de Pflsterde dimension
5 contenue dansq.
N¶
ecessit
¶
e : soit
’ unevoisine
dePflster
dedimension
5 contenuedansq,etsoit
¿ 2 GP 3(F )
0
¶
telque ’ • ¿. Ecriv
onsq ’ ’ ? ˆ,¿ ’ ’ ? ¡ ‰,etsoitq = ‰ ? ˆ.Alors
q
~ = q ? ¡ q0 est¶
equiv
alen
tea ¿ ;en ¶
ecriv
ant
q
~’
? hdi? ¡ q0
on a d§ (hdi? ¡ q0)= 1,c(hdi? ¡ q0)= c( ),donchdi? ¡ q0 ’ e poure 2 F ⁄
convenable
(th¶
eoreme deJacobson
).De plus,
l’isotropie
de ? e implique
que
¡ e estproduitdedeuxvaleurs
de .Comme de2 D ( ),¡ d estproduitdetrois
valeurs
de .
8.3.Exercices
8.3.1
. | Mon trerqu’uneformed’Alb
ertanisotrop
e ne contien
t pasde sous-forme
de dimension
4 etde discriminan
t trivial.
108
CHAPITRE
8.F ORMES
DE BASSE
DIMENSION
8.3.2
. | On supposeque I3F = 0.Mon trerque deuxsous-formes
de dimension
5
d’unem ^
eme formed’Alb
ertsont semblables.
8.3.3*(d’apr
es [98]). | Soitq une formed’Alb
ertanisotrop
e;notonsK = F (q)
soncorpsdominant et¿ saformedominante.
a)Mon trerque¿ ? ¡ q1 estune3-formedePflsteranisotrop
e.(Sielleestisotr
ope,
q1 repr¶
esente1; consid
¶
erer q0 = q ? h¡1i. Si q0 estisotr
ope,tir
er une contr
adictiondu th¶
eoreme 8.2.4.
Siq0 estanisotr
ope,de corpsdesfonctions
E , alorsqE est
n¶
ecessair
ementisotr
ope;tir
erune contr
adiction
cettefois-ci
du th¶
eoreme 8.2.2.
)
¡3
¢
4
3
4
b) Mon trerque ¿ ? ¡ q1 2= Im I F =I F ! I K =I K ) . (Soitsipossible
ˆ„ 2
3
4
4
¶ e ˆ„ = „1 + ¢¢¢+ „n , ou i 2
I F =I F tel
leque ˆ„K · ¿ ? ¡ q1 (mod I K ). Ecrir
P 3(F ). Raisonner
par r¶
ecurr
ence surn : en passantau corpsdesfonctions
de n ,
tir
erune contr
adiction
a l’aide
du th¶
eoreme 7.1.1etdu corollair
e 3.3.2.
)
c)En d¶
eduire
que ¿ 2= Im(W (F )=I4F ! W (K )=I4K ).(De maniere ¶
equivalente,
¿ ? q1 2= Im(W (F )=I4F ! W (K )=I4K );seramenera b)en utilisant
laproposition
6.4.13.
)
CHAPITRE
INV ARIANTS
9
¶
SUP ERIEURS
9.1.Invariants¶
el¶
emen taireset cohomologiegaloisienne
Pourtoutn ‚ 0,on noteH n F legroupe de cohomologie
galoisienne
H n (F;Z=2).
Vu leth¶
eoreme B.6.1(voirlaremarquelesuiv
ant),lesinvarian
tsdim, d§ etc du
chapitre
pr¶
ec¶
edent peuvent ser¶
ein
terpr
¶
etercomme desinvarian
ts
en :W (F )¡! H n F
pourn = 0;1;2. Le but de ce chapitre
estde discuter
l’existence
d’in
varian
tsen ,
g¶
en¶
eralisan
t lespr¶
ec¶
edents,pourn ‚ 3.Commen »
consparquelques
propri
¶
et¶
esde en
pourn • 2 :
9.1.1.Th ¶
eoreme . | Pour n • 2,l’invariant
en induit
un isomorphisme
»
e
„n :In F =In +1 F ¡! H n F
telque
e
„p+ q(xy)= e
„p (x)¢„
eq(y)
pourp + q • 2 et(x;y)2 Ip F =Ip+1 F £ IqF =Iq+1 F .
. | La premiereassertion
n’est
autrequ’unereform
ulation
desth¶
eoremes
D¶
emonstr
ation
6.1.3
et6.4.11
.Ilsu– tdev¶
eri
flerladeuxi
eme pourp = q = 1;danscecas,
elle
r¶
esulte
despropositions
6.4.8
a)etB.6.2
.
9.2.K -th¶
eoriede Milnor
La K -th
¶
eoriede Milnorde F estl’anneau
gradu
¶
e K ⁄M (F ) d¶
eflniparg¶
en¶
erateurs
etrelations
de lamanieresui
vante:
{ G¶
en¶
erateurs
:fag,a 2 F ⁄ .
{ Relations
:fabg = fag + fbg (a;b 2 F ⁄ ),fag ¢f1 ¡ ag = 0 (a 2 F ⁄ ¡ f1g).
110
CHAPITRE
9.INV ARIANTS
¶
SUP ERIEURS
En d’autres
termes,
K ⁄M (F ) estlequotien
t de l’alg
ebretensorielle
du Z-module
F parl’id
¶
ealbilat
ereengendr
¶
e parlesa › (1¡ a) poura 6
= 1.On a K 0(F ) = Z,
K 1(F ) = F ⁄ .Poura1;:::;an 2 F ⁄ ,leproduitfa1g ¢¢¢¢¢fan g 2 K nM (F ) estnot¶
e
fa1;:::;an g.Poura 6
= 1,lesrelations
⁄
fa;1 ¡ ag = 0
fa¡ 1;1 ¡ a¡ 1g = 0
etlabilin
¶
earit
¶
e entra
^‡nen
t
fa;¡ ag = 0
d’ou,encoreparbilin
¶
earit
¶
e
fa;bg = ¡fb;ag poura;b 2 F ⁄ :
.
L’anneaugradu
¶
e K ⁄M (F ) estdonccommutatif
M
LesgroupesK n (F )ont¶
et¶
e introduits
dans[162]parMilnor
,qui¶
etait
motiv¶
e par
lefait
que K 2M (F ) = K 2(F ) (th¶
eoreme de Matsumoto).
Ilestclair
que,siK =F est
uneextension,
on a un homomorphismenaturel
d’anneaux
gradu
¶
es
ResK =F :K ⁄M (F )¡! K ⁄M (K ):
Nousauronsbesoin
¶
egalemen
tdu fait
suiv
ant,analogue
a lasituation
encohomologie(cf.section
C.2) :
9.2.1.Proposition(Bass-Tate [29,x5], Kato [117,x1.7]
)
SoitE =F une extension
flnie.Ilexiste
un homomorphismede groupes ab¶
eliens
gradu¶
es
N E =F :K ⁄M (E )¡! K ⁄M (F )
quis’identi
fle a lanorme surK 1 etv¶
eri
flant,pourtout(x;y)2 K ⁄M (E )£ K ⁄M (F ),la
formulede projection
N (x ¢Resy)= N (x)¢y:
En particulier,
N – Res= [E :F ].SiE =K =F estune cha^‡ned’extensions,
on a
N E =F = N K =F – N K =E :
9.3.LE TRIANGLE
INCOMPLET
DE MILNOR
111
9.3.Le triangle
incompletde Milnor
9.3.1.Proposition
. | Ilexiste,
pour toutn ‚ 0, un triangle
inc
ompletd’homomorphismes
In F =In +1 F
f
ffff
(F )=2 YYYYbn
YYYYY,
H nF
an ffff3
K nM
ou
an (fa1;:::;an g)= hha1;:::;an ii
bn (fa1;:::;an g)= (a1)¢¢¢¢¢(an )=: (a1;:::;an ):
L’homomorphisme
an estsurje
ctif.
D¶
emonstr
ation
. | Pourvoirquean etbn sont biend¶
eflnis,
ilsu–t de v¶
eri
flerque
(a1;:::;an ) 7! hha1;:::;an ii et(a1;:::;an ) 7! (a1)¢¢¢¢¢(an )
1.Lesapplications
sont m ultilin
¶
eaires.
2.2In F =In +1 F = 0 et2H n F = 0.
3.On a hha;1 ¡ aii» 0 et(a)¢(1¡ a)= 0.
L’assertion
(1)r¶
esulte
de laremarque2.1.3
pourlesformesquadratiques
etest
triviale
pourlacohomologie.
L’assertion
(2)r¶
esulte
du fait
que2 = h1;1i2 IF pourles
formesquadratiques,
etesttriviale
pourlacohomologie.
Enfln,l’assertion
(3)r¶
esulte
du fait
quelaformeh1;¡ a;a¡ 1irepr
¶
esen
tez¶
erodanslecasdesformesquadratiques
;
pourlacohomologie
elle
r¶
esulte
du lemme A.3.5etde laproposition
B.6.2
.Enfln,la
surjectivit
¶
e de bn r¶
¶
e parlesclasses
de nesulte
du fait
que In F =In +1 F estengendr
formesde Pflster
.
9.3.2.Proposition(Milnor[162]). | Ilexiste
une applic
ation
w :W^ (F )! K ⁄M (F )=2
(d¶
eflnition
1.3.4
) ayantlespropri
¶
et¶
essuivantes
:
(i)Pour q;q0 2 W^ (F ),w (q ? q0)= w (q)w (q0).
(ii)
w (hai)= 1 + fag.
De plus,
n¡ 1
w ((h1i¡ ha1i)› ¢¢¢› (h1i¡ han i))= 1 + f¡1g2
P
¡n
fa1;:::;an g:
M
Pourq 2 W^ (F ),on a w (q) =
n ‚ 0 w n (q),avec w n (q) 2 K n (F )=2;lesclasses
w n (q) sont appel
¶
eesclasses
de Stiefel-Whitney-Delzant-Milnor
de q.
CHAPITRE
112
¶
SUP ERIEURS
9.INV ARIANTS
D¶
emonstr
ation
. | Pourd¶
emontrer
l’existence
dew ,ilsu– td’apr
eslaproposition
1.3.5
de v¶
eri
flerque
w (ha;bi)= w (ha + b;ab(a + b)i)
⁄
poura;b 2 F aveca + b 6
= 0.On a
w (ha;bi)= (1+ fag)(1+ fbg)= 1 + fabg + fa;bg;
w (ha + b;ab(a + b)i)= (1+ fa + bg)(1+ fab(a + b)g)= 1 + fabg + fa + b;ab(a + b)g:
Mais
fa + b;ab(a + b)g = fa + b;¡ abg = fa;¡ abg + f1 + b=a;¡ abg
= fa;bg + f1 + b=a;¡ b=ag = fa;bg:
Posonshha1;:::;an ii~= (h1i¡ ha1i)› ¢¢¢› (h1i¡ han i).Pourd¶
emontrerlaformule
donnant w (hha1;:::;an ii~),on raisonne
parr¶
ecurrence
surn.On a
hha1;:::;an ii~= hha1;:::;an ¡ 1ii~¡ an hha1;:::;an ¡ 1ii~
d’ou
w (hha1;:::;an ii~)= w (hha1;:::;an ¡ 1ii~)w (an hha1;:::;an ¡ 1ii~)¡ 1:
On v¶
eri
fle facilemen
t que,pourtoutq 2 W^ (F ) de dimension
n ettouta 2 F ⁄ ,
on a
X
w (aq)=
(1+ fag)n ¡ iw i(q):
i‚ 0
2n ¡ 1 ¡ n
PosonsX n = f¡1g
fa1;:::;an g.On en d¶
eduit:
n¡ 2
w (an hha1;:::;an ¡ 1ii~)= 1 + (1+ fan g)¡ 2
X n¡ 1
d’ou
n¡ 2
w (hha1;:::;an ii~)= (1+ X n ¡ 1)(1+ (1+ fan g)¡ 2
n¡ 2
= (1+ X n ¡ 1)(1+ fan g)2
n¡ 2
= (1+ X n ¡ 1 + fan g2
n¡ 2
En remarquan
t quefan g2
X n ¡ 1)¡ 1
n¡ 2
((1+ fan g)2
n¡ 2
+ X n ¡ 1fan g2
n¡ 2
= f¡1g2
¡1
n¡ 2
X n ¡ 1fan g2
+ X n ¡ 1)¡ 1
n¡ 2
)(1+ fan g2
+ X n ¡ 1)¡ 1:
fan g,on obtien
t
= Xn
d’ou
n¡ 2
w (hha1;:::;an ii~)= 1 + X n (1+ fan g2
n¡ 2
Mais,en posant fan g2
n¡ 2
X n (fan g2
= A ,X n ¡ 1 = B ,on a
+ X n ¡ 1)= A 2B + AB
d’ou lelemme 9.3.2
.
+ X n ¡ 1)¡ 1:
2
n¡ 2
= f¡1g2
n¡ 2
AB + f¡1g2
AB = 0
9.4.INV ARIANTS
¶
SUP ERIEURS
COHOMOLOGIQUES
113
9.3.3.Corollair
e (cf.proposition2.1.4)
. | Pourtoutn ‚ 1,ilexiste
un homomorphisme
"n :In F =In +1 F ¡! K 2Mn ¡ 1 F =2
telque
n¡ 1
"(hha1;:::;an ii)= f¡1g2
¡n
fa1;:::;an g
pourtouten-formede Pflsterhha1;:::;an ii.Pour n • 2,on a bn – "n = e
„n .
9.3.4.Th ¶
eoreme . | Supposonsn • 2.A lorsletriangle
In F =In +1 F
4
i
i
i
a
iiii
iiii
n
K nM (F )=2 V
VVVV bn
VVVV
VVV*
e
„n
H nF
estcommutatif,
etsestroisc^
ot¶
essontdesisomorphismes.
D¶
emonstr
ation
. | La comm utativit
¶
e r¶
esulte
imm ¶
ediatemen
tdelad¶
eflnitionde e
„n et
n
n
n
du th¶
eoreme 9.1.1
.Comme e estbijectif
eta surjectif,
b estsurjectif
etKeran =
Kerbn .Ilsu–t doncde d¶
emontrerquean estinjectif.
Maislecorollaire
9.3.3
montre
n
quea a un inverse.
9.4.Invariantscohomologiquessup¶
erieurs
Dans [162],Milnorconjecture
queleshomomorphismes
an etbn de laproposition
(1)
9.3.1
sontbijectifs
.Ilenr¶
esulterait
l’existence,
pourtoutn ‚ 3,d’homomorphismes
(9.4.1)
e
„n :In F =In +1 F ¡! H n F
faisan
t comm uterletriangle
du th¶
eoreme 9.3.4
;de plus,
e
„n serait
alors
bijectif.
n
9.3.3
implique
que e
„ existe
t)).En g¶
en¶
eral,
si„
en existe,
Le corollaire
((stablemen
ildoitv¶
eri
fler
e
„n (hha1;:::;an ii)= (a1;:::;an )
pourtouten-formedePflster
hha1;:::;an ii.En particulier,
lesymbolecohomologique
(a1;:::;an ) ne doitd¶
ependrequede laformehha1;:::;an ii.On a un peu mieux:
9.4.1.Proposition(Elman-Lam [49, prop.2.1]
, Arason [9, Satz1.6et rem.
p.455]
)
Le symbolemodulo2 fa1;:::;an g ned¶
ependquedelan-formedePflster
hha1;:::;an ii.
(1)Milnorfait
preuve de prudenceetne formulepascesconjectures
explicitemen
t.Cf.[162,Question
4.3etcommen taire
apresremarquep.340].
114
CHAPITRE
9.INV ARIANTS
¶
SUP ERIEURS
D¶
emonstr
ation
. | On a besoindu
9.4.2.Lemme . | Soient
a1;:::;an ;b1;:::;bn 2 F ⁄ .Supposonsquel’onait
hha1;:::;an ii’ hhb1;:::;bn ii:
A lorsilexiste
c 2 F ⁄ telque
hha1;:::;an ii’ hha1;:::;an ¡ 1;cii’ hhb1;:::;bn ¡ 1;cii’ hhb1;:::;bn ii:
D¶
emonstr
ation(Arason)
. | Soien
t = hha1;:::;an ¡ 1ii,¿ ’ hhb1;:::;bn ¡ 1ii et 0,¿0
lesformespuresde et¿.On a 0 ? an ’ ¿0 ? bn ¿,d’ou
0
? ¡ ¿0 » bn ¿ ? ¡ an :
En comptantlesdimensions,
onvoitquebn ¿ ? ¡ an estisotrop
e.Soitc 2 D (bn ¿)\
D (an ).Alors › h1;¡ an i’ › h1;¡ ci et¿ › h1;¡ bn i’ ¿ › h1;¡ ci.
Mon tronsmaintenan
t laproposition
9.4.1
.Ilfautvoirque
hha1;:::;an ii’ hhb1;:::;bn ii) fa1;:::;an g = fb1;:::;bn g:
On raisonne
parr¶
ecurrence
surn.Le lemme 9.4.2
montrequ’onpeut((passer
))de
hha1;:::;an ii a hhb1;:::;bn ii en changean
t un termea lafois.
On peutdoncsupposer
queai = bi pouri2 f1;:::;n ¡ 1g.On a alors
hha1;:::;an ¡ 1;an bn ii» 0
d’ou an bn 2 D (hha1;:::;an ¡ 1ii).
Posons’ = hha1;:::;an ¡ 2ii :alors
an bn = x ¡ an ¡ 1y,avecx;y 2 D (’)[ f0g.Si
y = 0,on a hha1;:::;an ¡ 2;an bn ii» 0,d’ou fa1;:::;an ¡ 2;an bn g = 0 parr¶
ecurrence
et
doncfa1;:::;an ¡ 1;an bn g = 0.Six = 0,on a
hha1;:::;an ¡ 2;an ¡ 1an bn ii» 0;
d’ou fa1;:::;an ¡ 2;¡ an ¡ 1an bn g = 0,soit
fa1;:::;an ¡ 2;an ¡ 1g = fa1;:::;an ¡ 2;¡ an bn g
d’ou
fa1;:::;an ¡ 2;an ¡ 1;an bn g = fa1;:::;an ¡ 2;an bn ;¡ an bn g = 0:
Supposonsenfln x;y 6
= 0.Alorson peut¶
ecrire
an bn = x(1¡ an ¡ 1z)
avecz 2 D (’).Ilen r¶
esulte
fa1;:::;an ¡ 2;an ¡ 1;an bn g = fa1;:::;an ¡ 2;an ¡ 1;x(1¡ an ¡ 1z)g
= fa1;:::;an ¡ 2;an ¡ 1;xg + fa1;:::;an ¡ 2;an ¡ 1;1 ¡ an ¡ 1zg
= fa1;:::;an ¡ 2;an ¡ 1;xg + fa1;:::;an ¡ 2;z;1 ¡ an ¡ 1zg
9.4.INV ARIANTS
COHOMOLOGIQUES
¶
SUP ERIEURS
115
en utilisan
t larelation
de Stein
berg.Comme on l’avu ci-dessus,
fa1;:::;an ¡ 2;xg = fa1;:::;an ¡ 2;zg = 0
etdoncde nouveaufa1;:::;an ¡ 2;an ¡ 1;an bn g = 0.Ilen r¶
esulte
que
fa1;:::;an ¡ 2;an ¡ 1;an g = fa1;:::;an ¡ 2;an ¡ 1;bn g;
cequ’onvoulait.
9.4.3.D ¶
eflnition
. | Pour’ ’ ahha1;:::;an ii2 GP n (F ),on note
e
~n (’)= fa1;:::;an g 2 K nM (F )=2
cet¶
el
¶
ement ne d¶
ependquede ’ d’apr
eslaproposition
9.4.1
etlecorollaire
2.1.9
.On
noteen (’)= bn (~
en (’))2 H n F .
Sien seprolonge
en un homomorphismeen :In F ! H n F ,on ditqueen existe
.
9.4.4.Lemme . | Sien existe,
ilinduit
un homomorphisme
e
„n :In F =In +1 F ¡! H n F:
D¶
emonstr
ation
. | En efiet,sia1;:::;an +1 2 F ⁄ ,on a
hha1;:::;an +1 ii’ hha1;:::;an ii? ¡ an +1 hha1;:::;an ii
n
d’ou e (hha1;:::;an +1 ii)= 0.
). | Soient
’ 1;’ 2;’ 3 2 GP n (F )tels
9.4.5.Proposition(Arason [9,Satz1.8]
que
’ 1 ? ’ 2 · ’ 3 (mod In +1 F ).A lorse
~n (’ 1)+ e
~n (’ 2)= e
~n (’ 3).
D¶
emonstr
ation
. | Celar¶
esulte
facilemen
t du corollaire
3.3.3
.
Comme e
~n :P n (F )! K nM (F )=2 estune section
partielle
de an ,cette
application
n
estinjectiv
e.En cequiconcerne
l’injectivit
¶
e de e ,on a :
9.4.6.Proposition
. | Soitn ‚ 0.Supposonsqueen :P n (F )! H n F soitinje
ctif
etque,pourtouteextension
K =F ettouten-formede Pflster’ surK ,on ait
Ker(H n K ¡! H n K (’))= hen (’)i:
A lorsl’invariant
e
„n de (9.4.1)
existe.
D¶
emonstr
ation
. | Soien
t ’ 1;:::;’ k 2 P n (F ) desformesde Pflsterdistinctes
telles
que’ 1 ? ¢¢¢? ’ k · 0 (mod In +1 F ).Ilfautmontrerqueen (’ 1)+ ¢¢¢+ en (’ k )= 0.
On procede par r¶
ecurrence
surk, lecask = 0 ¶
etan
t trivial.
Supposonsl’
¶
enonc
¶
e
d¶
emontr¶
e pourk¡ 1 facteurs.
SoitL = K (’ k ).Comme (’ k )L » 0,on a parr¶
ecurrence
(en (’ 1)+ ¢¢¢+ en (’ k¡ 1))L = (en (’ 1)+ ¢¢¢+ en (’ k ))L = 0:
Parhypothese,
en (’ 1)+ ¢¢¢+ en (’ k )= aen (’ k )poura 2 f0;1g.En faisan
tlem ^
eme
raisonnemen
tavec’ k¡ 1,on obtien
tdem ^
eme en (’ 1)+ ¢¢¢+ en (’ k )= ben (’ k¡ 1)pour
b 2 f0;1g.Sia = 0 ou b = 0,lad¶
emonstration
esttermin
¶
ee.Sinon,
on a
en (’ k )= en (’ k¡ 1)
116
CHAPITRE
9.INV ARIANTS
¶
SUP ERIEURS
cequi,parhypothese,
implique
que’ k¡ 1 ’ ’ k ,contradiction.
On a aussi
lavarian
tesuiv
antede laproposition
9.4.6
:
9.4.7.Proposition
. | Soitn ‚ 0. Supposonsque,pour touteextension
K =F et
touteforme’ surK de dimension
> 2n , l’homomorphisme
H n K ! H n K (’) soit
inje
ctif.
A lorsl’invariant
e
„n de (9.4.1)
existe.
D¶
emonstr
ation
. | On raisonne
comme danscelle
de laproposition
pr¶
ec¶
edente,mais
cette
fois-ci
en montant danslatourde d¶
eploiemen
t g¶
en¶
erique
de ’ k¡ 1 ? ’ k .
9.4.8.Proposition
. | Supposonsbn ¡ 1 bije
ctif
pour touteextension
de F . A lors
n
n
e :P n (F )! H F estinje
ctif.
D¶
emonstr
ation
. | Ilsu–t de voirquebn estinjectif
surlessymboles.
n ¡1
1)Mon trons
d’abordque(b ) (0)= 0.Soien
ta1;:::;an 2 F ⁄ tels
que(a1;:::;an )
p
n
= 0 2 H F . SoitE = F ( an ). Par leth¶
eoreme B.7.1
, ilexiste
x 2 H n E telque
(a1;:::;an ¡ 1)= CorE =F x.Parhypothese,
x)=
ilexiste
x
~ 2 K nM¡ 1(E )=2 telquebn ¡ 1(~
n¡ 1
x.Alorsfa1;:::;an ¡ 1g ¡ CorE =F x 2 Kerb
= 0,donc
fa1;:::;an g = Corx ¢fan g = Cor(x ¢Resfan g)= 0
parlaproposition
9.2.1
.
2)En g¶
en¶
eral,
soien
ta1;:::;an ;b1;:::;bn 2 F ⁄ tels
que(a1;:::;an )= (b1;:::;bn ).
On peutsupposercesdeuxsymboles
= 0.SoitK lecorpsdefonctions
6
F (hhb1;:::;bn ii).
D’apr
esl’existence
de en surlesformesde Pflster,
on a (a1;:::;an )K = 0, donc,
d’apr
es 1),fa1;:::;an gK = 0 et donc hha1;:::;an iiK » 0; par leHauptsatz,
on
a hha1;:::;an ii ’ ehhb1;:::;bn ii pour un e 2 f0;1g. En appliquan
te
~n , on obtien
t
fa1;:::;an g = efb1;:::;bn g.En appliquan
t bn ,on voitquee = 1.
9.4.9.Proposition
. | Supposonsquebn soit
bije
ctif
etqueen existe.
A lorsan ,bn
eten sontbije
ctifs.
D¶
emonstr
ation
. | Celar¶
esulte
d’unechasseaux diagrammes¶
eviden
te,puisquean
estsurjectif.
9.5.Le noyau de H n F ! H n F (q)
9.5.1.Lemme . | Soientq;q0 deuxformesquadr
atiques
tel
lesque q 4 q0. A lors,
n
n
0
n
n
pourtoutn ‚ 0,Ker(H F ! H F (q ))‰ Ker(H F ! H F (q)).
D¶
emonstr
ation
. | SoitK = F (q;q0):alors
K =F(q)esttranscendan
tepure.En utilisan
t lelemme C.2.3
,on a donc
Ker(H n F ¡! H n F (q0))‰ Ker(H n F ¡! H n K )= Ker(H n F ¡! H n F (q)):
9.5.LE NO Y A U DE H
n
F ! H
n
F (q)
117
On appelle
symboleun ¶
el
¶
ement de K nM (F ) de laformefa1;:::;an g,etaussiun
n
¶
el
¶
ementde H F de laformebn (x),ou x estun symbole.
On ditqu’unsous-group
eA
M
n
deK n (F )(oudeH F )estengendr
¶
e parsessymbolessilepluspetit
sous-group
e de
A contenan
t touslessymbolescontenus dansA est¶
egala A .La question
principale
concernan
t Ker(H n F ! H n F (q))estlasuiv
ante:
9.5.2.Question. | Est-il
vraique,pourtoutn ‚ 0 ettouteformequadratique
q,
Ker(H n F ! H n F (q))estengendr
¶
e parsessymboles
?
La r¶
eponseestpositiv
e pourn = 1 :sidimq = 2,c’est
¶
eviden
t etsidimq > 2
celar¶
esulte
du lemme 6.1.7
etdu th¶
eoreme B.6.1
.Pourn = 2,celar¶
esulte
de m ^
eme
de laproposition
6.4.13
etdu th¶
eoreme B.6.1
.Pourn = 3,lar¶
eponseest¶
egalemen
t
positiv
e :sidimq > 2,c’est
du
^ a Arason[9](voirci-dessous),
etsidimq = 2 c’est
une cons
¶
equenceimm ¶
ediate
desth¶
eoremes9.1.1
etB.7.1
.Pourn = 4,lar¶
eponseest
e :sidimq > 4 c’est
du
^ a Jacob-Rost[92],Szyjewski
[205]etKahnencorepositiv
Rost-Sujatha
[104];sidimq = 3;4 c’est
d^
u a Merkurjev
[160],Kahn-Sujatha
[106]et
Vishik
[211];enfln,sidimq = 2,celar¶
esulte
du th¶
eoreme B.7.1etdelasurjectivit
¶
e de
3
b (voirplusloin).
On ne conna
^‡taucuncontre-exemple
a laquestion
9.5.2
a l’heure
actuelle.
9.5.3.R emar que. | Cettequestion
esttouta faitanalogue
a celle
¶
etudi
¶
ee aux
xx3.2et4.4
, quiconcerne
Ker(W (F ) ! W (K )). Iciaussi,
ilestconjectur
¶
e que si
K estlecorpsdesfonctions
d’unequadrique,
cenoyau estengendr
¶
e pardesformes
de Pflster.
Lesdeuxquestions
sont ¶
evidemmen
t reli
¶
eesparlaconjecture
de Milnor
(maintenan
t d¶
emontr¶
eeparOrlov-Vishik-V
oevodsky)
.
9.5.4.Lemme . | Soient
n ‚ 2,q uneformequadr
atique
de dimension
‚ 2n ¡ 2 + 1
et’;ˆ 2 Ker(W (F )! W (F (q)))deuxn-formes
de Pflster
.A lors’ etˆ sontli
¶
ees,
donc’ ? ¡ ˆ est¶
equivalente
a une troisi
eme n-formede Pflster(a similitude
pres).
D¶
emonstr
ation(cf.
[55,d¶
em.du th.2.1]
). | Par lecorollaire
2.1.8et leth¶
eoreme
3.2.4
,ilexiste
desscalaires
a;b tels
queq • a’ etq • bˆ.Parsuite,
i(a’ ? ¡ bˆ)‚
dimq > 2n ¡ 2.La conclusion
r¶
esulte
maintenan
t du th¶
eoreme 2.3.2
.
9.5.5.Lemme . | Supposonsqueen :P n (K )! H n K soit
inje
ctif
pourtoute
exten⁄
sionK =F.A lors,
poura1;:::;an 2 F ,lesconditions
suivantes
sont¶
equivalentes
:
(i)(a1;:::;an )2 Ker(H n F ! H n F (q)).
(ii)
hha1;:::;an ii2 Ker(W (F )! W (F (q)))
.
(iii)
q estsemblable
a une sous-forme
de hha1;:::;an ii.
D¶
emonstr
ation
. | Celar¶
esulte
du corollaire
2.1.8
etdu th¶
eoreme 3.2.4
.
9.5.6.Proposition
. | Supposonsqueen :P n (K ) ! H n K soitinje
ctif
pourtoute
extension
K =F.A lors,
pourdimq ‚ 2n ¡ 2+1,lesconditions
suivantes
sont¶
equivalentes
:
118
CHAPITRE
9.INV ARIANTS
¶
SUP ERIEURS
(i)Ker(H n F ! H n F (q))estengendr
¶
e parsessymboles.
(ii)
Ker(H n F ! H n F (q))estform¶
e de symboles.
D¶
emonstr
ation
. | Celar¶
esulte
deslemmes9.5.4
et9.5.5
.
9.5.7.Proposition
. | Supposonsqueen :P n (K ) ! H n K soitinje
ctif
pourtoute
extension
K =F.Soitq une formequadr
atique
de dimension
2n ¡ 2 + 1.Supposonsque
Ker(H n F ! H n F (q))soitform¶
e de symboles.
Soitq0 ‚ q.A lors:
{ Ker(H n F ! H n F (q0))estform¶
e de symboles.
{ jKer(H n F ! H n F (q0))j= 2 sidimq0 > 2n ¡ 1 etq0 estvoisine
d’unen-forme
de Pflster
.
{ Ker(H n F ! H n F (q0))= 0 sidimq0 > 2n ¡ 1 etq0 n’estpas voisine
d’unenformede Pflster(parexemplesidimq0 > 2n ).
D¶
emonstr
ation
. | Celar¶
esulte
deslemmes9.5.1
et9.5.5
.
9.6.Le th¶
eoreme d’Arason
9.6.1.Th ¶
eoreme (Arason [9,Satz5.4]
). | Soitq une formequadr
atique
de dimension3.A lorsKer(H 3F ! H 3F (q))estform¶
e de symboles.
Notonstoutde suite
lescorollaires
suiv
antsau th¶
eoreme 9.6.1
:
9.5.2a une r¶
eponsepositive
pour n = 3. Pour
9.6.2.Corollair
e. | La question
3
3
touteformequadr
atique
q de dimension‚ 3, Ker(H F ! H F (q))estform¶
e de
symboles.
On a jKer(H 3F ! H 3F (q0))j = 2 sidimq0 > 4 etq0 estvoisine
d’une
3-formede Pflster
,etKer(H 3F ! H 3F (q0))= 0 sidimq0 > 4 etq0 n’est
pasvoisine
d’une3-formede Pflster(parexemplesidimq0 > 8).
D¶
emonstr
ation
. | Celar¶
esulte
de laproposition
9.5.7
pourn ‚ 3 etdesth¶
eoremes
6.4.11
,B.6.1etB.7.1pourn = 2.
9.6.3.Corollair
e (Arason [9,Satz5.7]
). | e3 existe.
D¶
emonstr
ation
. | Celar¶
esulte
de laproposition
9.4.7
.
9.6.4.R emar que. | On va d¶
emontrer
leth¶
eoreme 9.6.1
a l’aide
du th¶
eoreme 9.3.4
.
En fait,
sad¶
emonstra
tion(ainsi
quecelle
descorollaires
9.6.2
et9.6.3
) estant¶
erieure
au th¶
eoreme 9.3.4
.Dans [9],Arasonn’utilise
paslasurjectivit
¶
e de b2 pourmontrer
3
leth¶
eoreme 9.6.1
,nil’injectivit
¶
e de e surP 3(F ) pourd¶
eduire
lecorollaire
9.6.2
du
th¶
eoreme 9.6.1
.L’utilisation
de cesr¶
esultats
simpli
fle l’exp
osition.
¶
9.6.LE TH EOR
EME
D’ARASON
119
D¶
emonstr
ationdu th¶
eoreme 9.6.1
. | On peutsupposerq = h1;¡ a;¡ bi.PosonsK =
F (q).Consid
¶
eronslecomplexe
’
F ⁄ ¡¡¡¡! H 3F ¡! H 3K :
ou ’ estb1 suivi
du cup-pro
duitpar(a;b).On doitmontrer
quecette
suite
estexacte.
La strat
¶
egieestde construire
une r¶
etraction
(mald¶
eflnie)de ’.Celasefait
en trois
¶
etapes:
1) A tout¶
el
¶
ement fi 2 Ker(H 3F ! H 3K ),on asso
cieun ¶
el
¶
ement c 2 F ⁄ .Celase
fait
au mo yen d’unechasseaux diagrammes.
2) On montreque,sifi = (a;b;c),l’
¶
el
¶
ement obten
u estc.Celasefait
en d¶
etaillan
t
lachasseaux diagrammesappliqu
¶
eea cet¶
el
¶
ement particulier.
3) Ilreste
a montrerque,sifi K = 0,alors
fi 2 Im ’.
p
NotonsX laconique
(quadrique
de dimension
1)d¶
eflnieparq.PosonsE = F ( a),
etsoitL = E K : l’extension
L=E esttranscendan
tepure.Soitfi 2 Ker(H 3F !
H 3F (q)).ParlelemmeC.2.3
,on a fi 2 Ker(H 3F ! H 3E ).Consid
¶
eronslediagramme
M
@
”
K 2M (L) ¡¡¡¡!
E (x)⁄ ¡¡¡¡! E ⁄
1¡
K 2M (E ) ¡¡¡¡!
x2 X
?
?
y
1¡
@
K 2M (L) ¡¡¡¡!
@
H 3F
?
?
Resy
?
?
(¢(a))–b2 y
¡¡¡¡!
?
?
y
1¡
?
?
y
”
E (x)⁄ ¡¡¡¡! E ⁄
E
N
K 2M (F ) ¡¡¡¡! K 2M (K ) ¡¡¡¡!
?
?
(¢(a))–b2 y
M
x2 X
?
?
N y
?
?
N y
E
M
?
?
y
F (x)⁄
x2 X
H 3K
H 3E
ou estleg¶
en¶
erateur
deGal(E =F).Ce diagrammeestcomm utatif
gr^
aceauxth¶
eoremes
C.3.1
,C.3.2etC.3.3
.Leslignes
sontdescomplexes
parlespropositions
C.6.1etC.6.3
,
1
lesdeuxpremieres
¶
etan
t exactes,
puisque
X E estisotrop
e,doncisomorphe
a P E (suite
(C.2.1)
).Lescolonnes
sont¶
egalemen
tdescomplexes
;lacolonne
de gauche estexacte
gr^
aceau th¶
eoreme B.7.1eta lasurjectivit
¶
e deb2 ;ilenestdem ^
eme pourladeuxi
eme
colonne
a partir
de lagauche,saufpeut^
etreen K 2M (L)(2).
(2)En fait,
on a ¶
egalemen
t exactitude
en K 2M (L ) (th¶
eoreme 90 de HilbertpourK 2 ),maisnousn’en
auronspasbesoin.
CHAPITRE
120
9.INV ARIANTS
¶
SUP ERIEURS
Parunechasseauxdiagrammes,
on asso
ciea fi un ¶
el
¶
ementc 2 F ⁄ .D ¶
etaillons
cette
M
chasseaux diagrammes.
Soitfl 2 K 2 (F ) telquefi = (a)¢b2(fl).Comme fi K = 0,on
a flK = N ( ) pour 2 K 2M (L) convenable.
On a N (@ )= @N ( )= @flK = 0,donc
L
On a (1¡ )”(–)= ”(@ )= 0,donc
@ = (1¡ )– pour– 2 x2 X E E (x)⁄ convenable.
⁄
c = ”(–)2 F :c’est
l’
¶
el
¶
ement cherc
h¶
e.
¶
Ecriv
onslem ^
eme diagrammeen dimin
uant touslesdegr
¶
esde 1.Ilvien
t:
1¡
E ⁄ ¡¡¡¡!
?
?
N y
L⁄
?
?
y
L⁄
?
?
N y
div
deg
div
deg
¡¡¡¡! Div(X E ) ¡¡¡¡!
?
?
1¡
1¡ y
Z
?
?
y
¡¡¡¡! Div(X E ) ¡¡¡¡! Z
?
?
N y
@
F ⁄ ¡¡¡¡! K ⁄ ¡¡¡¡!
?
?
?
?
(¢(a))–b1 y
(¢(a))–b1 y
Div(X )
H 2F ¡¡¡¡! H 2K
?
?
Resy
H 2E
Faisons
unechasseauxdiagrammes
analogue
a celle
ci-dessus
enpartan
tde(a;b)2
Ker(H 2F ! H 2K ).Comme (a;b)K = 0,ilexiste
‚ 2 L ⁄ telqueN L=K ‚ = b.Ilexiste
„ 2 Div(X E ) telquediv(‚)= (1¡ )„.
alors
comme ci-dessus
Si deg(„) ¶
etait
pair,
on aurait
„ = 2„0 2 Div(X E ) et donc div(‚) = div(‚02)
0
⁄
0¡ 2
⁄
pourun ‚ 2 L ;alors
‚‚
2 E etb 2 N E =F (E ⁄ );maisalors
q serait
isotrop
e.
¶
Parcons
¶
equent deg(”) estimpair.
Ecriv
ons” = ”0 + 2”1 + div(g),avecdeg(”0) = 1
et g 2 L ⁄ . Alors(1¡ )” = (1¡ )”0 + 2(1¡ )”1 + (1¡ )div(g). D’apr
es la
Quittea
proposition
C.4.11
, on a (1¡ )”1 = div(h), pour h 2 L ⁄ convenable.
remplacer
‚ par‚ (1¡ )g¡ 1h¡ 2 (cequinechangepasb a un carr
¶
e pres),
on peutdonc
supposerquedeg(„)= 1.
Cecipermetde refaire
explicitemen
t lepremiercalcul
pourfi = (a;b;c),c 2 F ⁄ .
ement :
On peutchoisir
successiv
{ fl = fb;cg.
{
= f‚;cg.
{ – = „ ¢c.
On a alors
N (–)= cdeg ” = c.
Quittea remplacer
fi par fi ¡ (a;b;c), on peutdonc supposerque c = 1. En
appliquan
t l’exactitude
de (C.2.1)
,on trouv
e un " 2 K 2M (L) telque @" = –.Alors
@(1¡ )" = @ ,donc ¡ (1¡ )" = ‡L ,ou ‡ 2 K 2M (E ).Donc flK = N ( )= N (‡L )=
¶ DE an , bn ET en
9.7.BIJECTIVIT E
121
N (‡)K .Maisalors
b2(fl ¡ N (‡))2 Ker(H 2F ! H 2K );doncfl ¡ N ‡ = e(a;b) pour
e 2 f0;1g convenable(prop
osition
6.4.13
),etfi = e(a;a;b),cequ’onvoulait.
(Suslin
[202,th.3.6]
),
En r¶
ealit
¶
e,l’homomorphisme
K 2M (F ) ! K 2M (K ) estinjectif
cequirendlad¶
emonstra
tionencoreplus((propre
)).
9.6.5.Th ¶
eoreme (Arason). | Iln’existe
pasd’applic
ationb :I2F ! H 3F ,commutanta l’extension
desscalair
esetdontlarestriction
a I3F este3.
D¶
emonstr
ation
. | Supposonsqu’untelb existe.
Consid
¶
erons,
pourtoutn,lecorps
dess¶
eries
formelles
it
¶
er¶
ees
L n = C ((t1)):::((tn )):
On voitfacilemen
t (enutilisan
t leth¶
eoreme de Springer
C.1.15
) que W (L n ) =
2
⁄
2
F2[ht1i;:::;htn i]=(htii = 1)etqueH L n = F2[(
t1);:::;(tn )]
=(ti) = 0 (enutilisan
t
cette
fois-ci
leth¶
eoreme C.1.16
).En particulier,
on a H 3L 2 = 0,doncb(hht1;t2ii)= 0.
Consid
¶
eronsmaintenan
t
’ = hht1;t2ii? hht3;t4ii2 W (L 4):
SurL 4(hht3;t4ii)on a ’ » hht1;t2ii,doncb(’)2 Ker(H 3L 4 ! H 3L 4(hht3;t4ii)).Par
cons
¶
equent,b(’) = (t3;t4;u) pouru 2 L ⁄4 convenabled’apr
esleth¶
eoreme 9.6.1
.De
esulte
queb(’)= 0.
m^
eme,on a b(’)= (t1;t2;v) pourun v 2 L ⁄4 .Maisilen r¶
Consid
¶
eronsenfln
ˆ = hht1;t2ii? hht3;t4ii? hht5;t6ii2 W (L 6):
Parlem ^
eme raisonnemen
t,on a b(ˆ)= 0.Maissoit
p
K = L 6(
p
p
t1 t2 t3 t4 ; t1 t3 t5 ; t2 t3 t6 ):
En ¶
ecriv
ant
L 6 = C ((t1))((
t2))((
t3))((
t1t2t3t4))((
t1t3t5))((
t2t3t6))
on voitque K = C ((t1))((
t2))((
t3))((
w 4))((
w 5))((
w 6))avec w 4 =
p
p
t1 t3 t5 etw 6 =
t2 t3 t6 ;en particulier,
(t1;t2;t3)6
= 0 2 H 3K .Mais
p
t1 t2 t3 t4 , w 5
=
ˆ K ’ hht1;t2ii? hht3;t1t2t3ii? hht1t3;t2t3ii» hht1;t2;t3ii
d’ou b(ˆ L )= (t1;t2;t3),contradiction.
9.7.Bijectivit
¶
e de an , bn et en
V. Voevodskya d¶
emontr¶
e leremarquable
th¶
eoreme suiv
ant :
9.7.1.Th ¶
eoreme ([216]). | PourtoutcorpsF de caract
¶
eristique
= 2 ettoutn ‚
6
0,bn estbije
ctif.
122
CHAPITRE
9.INV ARIANTS
¶
SUP ERIEURS
Le casn = 3 estd^
u ind¶
ependammenta M. Rost[184]eta Merkurjev
-Suslin
[161];
lecasn = 4 avait¶
et¶
e annonc
¶
e parRost.
Voevodskyen d¶
eduit,
avecD. Orlov etA. Vishik:
9.7.2.Th ¶
eoreme ([172]). | Soit’ 2 P n (F ).A lors,
pourtouti‚ 0,on a
Ker(H iF ¡! H iF (’))= en (’)H
i¡ n
F:
En particulier,
H iF ! H iF (’) estinjectif
pouri < n etestengendr
¶
e parses
symbolespour touti. Pour i = 4, n = 3, ce r¶
esultat
estd^
u ind¶
ependamment a
Jacob-Rost[92]eta Szyjewski
[205].
La d¶
emonstration
desth¶
eoremes 9.7.1
et9.7.2
utilise
lescat¶
egories
homologique
ethomotopique
desmotifs,
eten particulier
l’existence
d’op
¶
erations
de Steenro
d en
cohomologie
motivique
mo dulo2.Ellesortlargemen
tdu cadredececours.
On pourra
consulter
[100] et lestra
vaux originaux
de Voevodskyet Orlov-Vishik-V
oevodsky
[216, 172].
Parlespropositions
9.4.6
,9.4.8
,9.4.9
,on en d¶
eduit:
pourtoutn ‚ 0;an ,bn eten sontbije
9.7.3.Corollair
e. | en existe
ctifs.
Ilexiste
d’autres
d¶
emonstrations
du corollaire
9.7.3
.Morelen a donn¶
e plusieurs,
dontdeuxpubli
¶
ees[165,167].Kahn etSujatha
enontesquiss
¶
e unequin’utilise
queles
[216]deVoevodsky[105,rem.3.3]
.Toutescesd¶
emonstrations
tec
hniques
del’article
reposen
t de maniereessen
tielle
surleth¶
eoreme 9.7.1
,eton ne conna
^‡t aucuneautre
d¶
emonstration
de ceth¶
eoreme quecelle
de [216]a l’heure
actuelle.
9.7.4.Corollair
e. | On a Jn (F )= In F pourtoutn ‚ 1.
.| R¶
ecurrence
surn. On saitque In F ‰ Jn (F ). Soitq de degr
D¶
emonstr
ation
¶
e
¶
‚ n.Parr¶
ecurrence,
on a q 2 In ¡ 1F ;en particulier,
en (q) estd¶
eflni.Ecriv
onsq =
§ ’ 1 § ¢¢¢§ ’ r,ou ’ 1;:::;’ r 2 P n ¡ 1(F ).On va montrerqueq 2 In F parr¶
ecurrence
surr.Sir = 1,on a ’ 1 2 Jn (F ),d’ou q = ’ 1 = 0.Supposonsr ‚ 2.SoitK = F (’ r).
Alorsdeg(qK ) ‚ deg(q) ‚ n,doncqK 2 In K .En particulier,
en ¡ 1(q)K = 0,donc
en ¡ 1(q) = een ¡ 1(’ r), e 2 f0;1g (th¶
eoreme 9.7.2
).Alorsen ¡ 1(q ¡ e’ r) = 0, donc
n
q ¡ e’ r 2 I F .Maisalors
e’ r 2 Jn (F ),donce’ r = 0.
Le corollaire
suiv
ant esttresutile
:
9.7.5.Corollair
e. | Soit’ 2 P n (F ).A lors,
pourtoutq ‚ 0,on a
Ker(IqF =Iq+1 F ¡! IqF (’)=Iq+1 F (’))= ’Iq¡ n F =Iq¡ n +1 F:
9.8.Applicationa l’isotropie
des formes quadratiques
A titre
d’exemple
d’application
desr¶
esultats
pr¶
ec¶
edents,
donnonsuned¶
emonstration
partielle
du th¶
eoreme 8.2.11
a) etb),dont nousprenonslesnotations.
Nous avons
besoindu th¶
eoreme suiv
ant,d^
u a Emman uelPeyre:
9.8.APPLICA TION
A L’ISOTR OPIE DES F ORMES
QUADRA
TIQUES
123
9.8.1.Th ¶
eoreme (Peyre,[175]). | Soit une formed’Alb
ertsurF , etsoitK
lecorpsde d¶
eploiement
g¶
en¶
erique
de .A lors
Ker(H 3F ¡! H 3K )= c( )¢H 1F:
D’apr
eslecorollaire
8.1.6
,l’extension
K =F est¶
equiv
alen
teau corpsdesfonctions
de lavari
¶
et¶
e de Severi-Br
auerX de l’alg
ebrede Cli
fiordde :Peyred¶
emontrele
th¶
eoreme ci-dessus
pourcecorpsde fonctions
.La d¶
emonstration
utilise
lefait
quele
deuxi
eme groupe de Chow C H 2(X ) estsanstorsion
(Karpenko).
9.8.2.Corollair
e. | Sousleshypothesesdu th¶
eoreme 9.8.1
,on a
Ker(I3F =I4F ¡! I3K =I4K )=
IF =I4F:
D¶
emonstr
ation
. | Celar¶
esulte
du th¶
eoreme 9.8.1
etdu corollaire
9.7.3
(pourn = 3).
9.8.3.Lemme . | Soitq une formeanisotr
ope de dimension8, de discriminant
trivial
ettel
lequeindc(q)• 4.Soit uneformed’Alb
erttel
lequec( )= c(q) etsoit
K lecorpsde d¶
eploiement
g¶
en¶
erique
de .A lorsqK estanisotr
ope.
D¶
emonstr
ation
. | On a qK 2 I3K ,doncqK 2 GP 3(K ).SiqK estisotrop
e,elle
est
donchyperbolique,
ainsi
que(q ? ¡ )K .Parlecorollaire
9.8.2
,on a alors
q? ¡ ·
ha;¡ 1i› (mod I4F ) poura convenable,
d’ou q ? ¡ a 2 I4F .MaisleHauptsatz
l’anisotropie
de q.
implique
alors
queq ? ¡ a » 0,cequicontredit
9.8.4.Lemme . | A vec lesnotations
du lemme 9.8.3
, soit’ 2 Ker(I3F =I4F !
3
4
⁄
I K =I K ).A lorsilexiste
a 2 F telque’ · q ? ¡ aq (mod I4F ).
D¶
emonstr
ation
. | Parlecorollaire
9.8.2
,on a ’ · ‰ › (mod I4F ) pour‰ convenable.
Comme ’ 2 I3F ,dim‰ estpaire.
Soita = d§ ‰.Alors‰ · h1;¡ ai (mod I2F )
3
et · q (mod I F ).On en d¶
eduit:
‰ › ¿ · h1;¡ ai› q (mod I4F ):
D¶
emonstr
ationdu th¶
eoreme 8.2.11
a). | Soien
t ¿;K comme danslelemme 9.8.3
et
q0 telle
que q0 4 q. Quittea m ultiplier
q0 par un scalaire,
on peutsupposerque
q ? ¡ q0 estisotrop
e.Parlelemme 9.8.3
etleth¶
eoreme 5.3.4
,on a alors
qK0 • qK .
0
En particulier,
dimq • 8 (cequir¶
esulte
aussi
du th¶
eoreme 5.2.2
).Si estisotrop
e,
l’extension
K =F estexcellen
te(th¶
eoreme 5.6.4
),donc ilexiste
q00 surF telle
que
qK00 ’ (q ? ¡ q0)K .Soitq
~0 = q0 ? q00 :on a dim q
~ = 8.AlorsqK devien
t hyperbolique
0
surlecorpsdesfonctions
de q
~K ’ qK ;parlelemme 9.8.3
,qF (~q0) estdoncisotrop
e,
c’esta-dire
q
~0 4 q avec q0 • q
~0. Si estanisotrop
e,K =F n’estplusexcellen
teet
Laghribi
s’entire
pardesargumentsd¶
elicats.
Supposonsmaintenan
t dimq0 = 8.Alorsd§ q0 = 1 etc(q0)2 f0;c(q)g.
CHAPITRE
124
9.INV ARIANTS
¶
SUP ERIEURS
1)Sic(q0)= 0,alors
q0 2 GP 3(F ).La forme’ = q ? v¶
eri
fle d§ ’ = 1,c(’)= 0,
3
donc’ 2 I F .De plusen utilisan
t lelemme 9.8.4
,on obtien
t
’ ? ¡ q0 · q ? ¡ aq (mod I4F )
poura 2 F ⁄ convenable,
donc
q0 ? ¡ aq? ¡
2 I4F:
En passan
t a F (q0) eten utilisan
t leHauptsatz,
celaimplique
(aq?
)F (q0) » 0
d’ou (aq? )an » › q0.En comptantlesdimensions,
on voitquedim = 1.Ilexiste
doncb 2 F ⁄ telqueaq? ¡ bq0 » ¡ .Alorsi(aq? ¡ bq0)‚ 5 etq contien
tunevoisine
0
de q .
2)Sic(q0) = c(¿),on a q ? ¡ q0 2 I3F \ Ker(W (F ) ! W (K )).En appliquan
t le
lemme 9.8.4
,on a donc
q ? ¡ q0 · q ? ¡ aq (mod I4F )
pourun a 2 F ⁄ convenable,
d’ou
q0 · ¡ aq (mod I4F )
doncq etq0 sont conjugu
¶
ees(prop
osition
8.2.9
).
Supposonsmaintenan
t isotrop
e,soit » u¿ avecu 2 F ⁄ et¿ 2 P 2(F ).Siq0 ? aq
estisotrop
e,elle
esthyperbolique
etq0 ’ ¡ aq.Supposonsq0 ? aqanisotrop
e.On peut
¶
ecrire,
a un scalaire
pres,q0 = ¿1 ? b¿2 avec¿1;¿2 2 P 2(F )li
¶
ees(cf.
discussion
apresle
0
corollaire
8.2.16
).Soit… = ¿1 › h1;bi.Alors… 2 P 3F etq ? ¡ … » b(¿2 ? ¡ ¿1)» c¿
pourc 2 F ⁄ .En particulier,
qF0 (… ) estisotrop
e.On a i(… ? c¿) > 0,doncilexiste
⁄
x 2 F telque x 2 D F (…)\ D F (¡ c¿).Alorsen utilisan
t lam ultiplicativit
¶
e de … et
de ¿,on obtien
t
q0 » … ? c¿ ’ x… ? c¿ ’ x… ? ¡ x¿ ’ x(… ? ¡ ¿):
e,laformede Pflster
(q0 ? aq)F (… ) esthyperbolique
Comme qF0 (… ) estisotrop
eton
0
0
⁄
a q ? aq ’ … › h1;ei » q ? ¡ c¿ ? e… pourun e 2 F convenable,
cequidonne
¡ c¿ ? e… estisotrop
e.Parlem ^
eme raisonnemen
t que
aq» ¡ c¿ ? e….En particulier
ci-dessus,
on montreque¡ c¿ ? e… estsemblable
a … ? ¡ ¿,etdoncq » y(… ? ¡ ¿)
poury 2 F ⁄ .Ainsiq0 estsemblable
a q.
9.9.Exercices
9.9.1(d’apr
es Bass-Tate). | SoitE =F uneextension
quadratique.
Mon trerque,
M
pourtoutn ‚ 2,K n (E ) estengendr
¶
e parlessymbolesfx1;:::;xn ¡ 1;yn g avecxi 2
F ⁄ etyn 2 E ⁄ .(Se ramenerau casn = 2.)
9.9.EXER CICES
125
9.9.2
. | SoitE =F une extension
flnie.
Choisissons
une formeF -lin
¶
eaire
non nulle
s :E ! F ,d’ou un \transfert
de Scharlau"
s⁄ :W (E )! W (F )
induit
par (s⁄ q)(x) = s(q(x))(remarque1.5.3
).On se proposede d¶
emontrerque
s⁄ (In E )‰ In F (th¶
eoreme d’Arason,
[9]).
a) A l’aide
de l’exercice
9.9.1
,traiter
lecasou E =F estquadratique.
(Utiliser
la
proposition
9.3.1.
)
b)Traiter
lecasou E =F estradicielle
(Utiliser
lefait
queIn F ! In E estsurje
ctif.
)
c) SupposonsE =F s¶
eparable.
SoitL=F une extension
de degr
¶
e impair.
P osons
Q
E ›F L =
E i, lesE i ¶
etan
t desextensions
s¶
eparables
de L. Si leth¶
eoreme est
vraipourlesextensions
E i=L,ilestvraipourE =F.(Soitx 2 In E .Par r¶
ecurr
ence,
s⁄ x 2 In ¡ 1F . Utiliser
lefait
quel’homomorphisme
In ¡ 1F =In F ! In ¡ 1L=In L est
inje
ctif,
cf.remarque1.5.3.
)
ace a b),on peutseramenerau cas ou E =F ests¶
eparable.
Soit
d) Conclure.
(Gr^
E 0=F une cl^
otur
e galoisienne
de E =F, de groupe de GaloisG ; soitL lecorpsdes
invariants
d’un2-sous-gr
oupe de SylowS de G . A vec lesnotations
de c),observer
E i=L sontcompos¶
eesd’extensions
quadr
atiques
successives.
)
quelesextensions
e)Mon trerquel’application
In E =In +1 E ! In F =In +1 F induite
pars⁄ ne d¶
epend
pasdu choixde s.
CHAPITRE
10
DESCENTE
Dans toutcechapitre,
F estun corpsdecaract
¶
eristique
= 2.On ¶
6
etudie
lependant
desquestions
¶
etudi
¶
eesauxxx3.2
,4.4et9.5
,a savoirl’image
del’extension
desscalaires
(surl’anneau
de Wittetsurlacohomologie).
10.1.L’anneau de Witt non ramifl¶
e et lacohomologienon ramifl¶
ee
(L’undesrapporteurs
m’a signal
¶
e uner¶
ef¶
erence
int¶
eressan
teetpeu connue surce
sujet
:ils’agit
d’unemonographie
de M. Ojanguren,
[170].)
SoitK =F uneextension
detype flni.Un sous-anneau
devaluation
discr
eteA deK
contenan
t F etde corpsdesfractions
K seraappel
¶
e un bon sous-anne
au de valuation
discr
etedeK =F.Pourun telA ,ilexiste
(th¶
eoreme C.1.15
)un homomorphismer¶
esidu
@…2 :W (K )¡! W (k)
tede A etk estlecorpsr¶
esiduel
de A .L’homomorphisme
ou … estune uniformisan
@…2 d¶
epend du choixde … maissonnoyau n’end¶
epend pas:c’est
un sous-anneau
de
W (K ) qu’onnoteW nr(K ;A ).Un ¶
el
¶
ement de W nr(K ;A ) estditnon ramifl¶
e en A .
. | On appelleanneau de Wittnon ramifl¶
e de K =F lesous10.1.1.D ¶
eflnition
anneaude W (K )
2
@A;…
\
W
nr(K
=F)=
M
W
nr(K
;A )= Ker(W (F )
A
A
W (k(A ))
ou A d¶
ecrit
lesbonssous-anneaux
de valuation
discr
etede K =F, …A estune uniformisan
tede A etk(A ) estsoncorpsr¶
esiduel.
Pourn ‚ 1,on note
n
Inr
(K =F)= In K \ W
De m ^
eme :
nr(K
=F):
CHAPITRE
128
10.DESCENTE
10.1.2.D ¶
eflnition
. | On appelle
cohomolo
gienonramifl¶
eedeK =F lesous-anneau
de H ⁄ K
\
⁄
⁄
H nr
(K =F)=
H nr
(K ;A )
⁄
ou A d¶
ecrit
lesbonssous-anneaux
de valuation
discr
etede K =F etou H nr
(K ;A ) est
lenoyau de l’homomorphisme
r¶
esidudu th¶
eoreme C.1.16a).
On a lam ^
eme notionavecdescoe–cients
divisibles
,etc’est
celle
quiestlaplus
pertinen
teen pratique,
cf.th¶
eoreme 10.2.5
.
10.1.3.Proposition
. | SoitL une extension
de typ
e flnide K .A lors
a) L’applic
ationnatur
elleW (K )! W (L) envoieW
b) Si L=K esttransc
endantepure,l’applic
ationW
isomorphisme.
nr(K
nr(K
=F) dansW
=F) ! W
nr(L=F ).
nr(L=F )
estun
Lesm ^
emes¶
enonc¶
essontvraisen rempla»
cantanneau de Wittnon ramifl¶
e par cohomolo
gienon ramifl¶
ee.
D¶
emonstr
ation
a) Ilsu–t deremarquer
quetoutevaluation
discr
etesurK s’
¶
etendenunevaluation
discr
etesurL (prop
osition
C.1.9et[34,ch.VI,x10,prop.2]).
lecasL = K (T ).L’injectivit
¶
e r¶
esulte
du lemme 2.4.1
.Soit
b) Ilsu– t de traiter
maintenan
t q 2 W nr(L=F ).Parleth¶
eoreme C.2.4
,on a q = ’ L ,avec’ 2 W (K ).
Ilreste
a voirque’ estnon ramifl¶
ee.Maissoit
A un bon sous-anneau
de valuationdiscr
etedeK =F.Par[34,ch.VI,x10,prop.2],ilexiste
un bon sous-anneau
t A ,telquel’extension
r¶
esiduelle
soit
de valuation
discr
eteB de L=F contenan
transcendan
te pure.Le r¶
esultat
provien
t alorsd’unenouvelleapplication
du
lemme 2.4.1
(aur¶
esidude ’).
Le casde lacohomologie
setraite
de m ^
eme.
Consid
¶
eronsmaintenan
t lecasou K estlecorpsdesfonctions
d’unequadrique
.
10.1.4.Th ¶
eoreme . | Soientq;q0 deuxformesquadr
atiques
de dimension‚ 3.
un homomorphismecanonique
Supposonsq 4 q0.A lorsilexiste
W
0
nr(F (q )=F)¡!
W
nr(F (q)=F):
Cetteloid¶
eflnitun foncteur
contr
avariant
del’ensemble
pr¶
eordonn¶
e (W (F );4 )versla
(1)
0
cat¶
egorie
desW (F )-alg
ebr
escommutatives
unitair
es .Siq … q ,l’homomorphisme
W nr(F (q)=F)! W nr(F (q0)=F) estbije
ctif.
Lesm ^
emes ¶
enonc¶
esvalent
en rempla»
cantanneau de Wittnon ramifl¶
e par cohomologienon ramifl¶
ee.
(1)Cet ¶
enonc¶
e n’estpastouta
fait
correct,
carlecorpsdesfonctions
de laquadriqued¶
eflnieparune
formeanisotrop
e repr
¶
esentant une classe
donn¶
eede W (F ) n’estd¶
etermin
¶
e qu’a isomorphisme
pres.
¶
10.2.TH EOR
EMES
DE SURJECTIVIT
¶
E
129
D¶
emonstr
ation
. | Nous ne lafaisons
quepourl’anneau
de Wittnon ramifl¶
e.L’hypotheseimplique
quel’extension
F (q;q0)=F(q)esttranscendan
tepure(prop
osition
3.1.1
0
b)).
P arlaproposition
10.1.3
,l’application
W nr(F (q)=F)! W nr(F (q;q )=F)estbijectiv
e.L’homomorphisme
cherc
h¶
e estalors
d¶
eflnicomme lacomposition
de l’in
versede
cetisomorphisme
avecl’homomorphisme
naturel
W nr(F (q0)=F)! W nr(F (q;q0)=F).
On v¶
eri
fle facilemen
t latransitivit
¶
e.Enfln,siq … q0,F (q;q0)=F(q0) estaussi
transcendan
tepure,d’ou labijectivit
¶
e.
10.2.Th ¶
eoremes de surjectivit
¶
e
10.2.1.Th ¶
eoreme (Parimala[173,Th.5.1]
). | Soient
q une formequadr
atique
de dimension
3 et’ une formenon ramifl¶
eesurF (q).A lors’ estd¶
eflniesurF .En
particulier,
l’applic
ationW (F ) ! W nr(F (q)=F) estsurje
ctive.
(D’apr
eslecorollair
e
3.2.5
,sonnoyauest…W (F ),ou … estla2-formede Pflsterasso
ci¶
eea q.)
D¶
emonstr
ation(cf.
[44,d¶
em.du lemme 3.1]
). | On raisonne
parr¶
ecurrence
surdim’.
Celapermetde supposer’ anisotr
ope. Soien
t X laconiqueprojectiv
e d’¶
equation
q = 0,x 2 X un point ferm¶
e et… une uniformisan
tede O X ;x.Parlacaract
¶
erisation
du r¶
esidu@…2 , ilexiste
un espacequadratique
unimodulaire
E x surO X ;x telque
E x › O X ;x F (q)’ ’.On peutalors
recoller
lesE x enun flbr¶
e quadratique
unimodulaire
E surX .
Comme E ’ E ⁄ ,on a degE = 0.Appliquons
leth¶
eoreme de Riemann-Roch a E :
on trouv
e
dim¡(X ;E )‚ degE + rgE (1¡ g)
ou g estlegenrede X . On a g = 0 (lemmeC.4.8
),doncdim¡(X ;E ) ‚ rgE . La
structure
quadratique
de E d¶
eflnitune formequadratique
surleF -espace
vectoriel
¡(X ;E ) quiest¶
evidemmen
t anisotr
ope.Le morphismenaturel
de flbr¶
es
¡(X ;E )› O X ¡! E
resp
ectelesstructures
quadratiques
;comme sasource
estunimodulaire,
ilestinjectif,
doncsurjectif.
10.2.2.R emar que. | On retrouv
e en particulier
leth¶
eoreme 5.6.4
a).
En utilisan
tleth¶
eoreme 10.2.1
,Pflster
a donn¶
e d’autres
descriptions
tresexplicites
du noyau etdu conoyau de l’homomorphisme
apparaissan
t danslad¶
eflnition
10.1.1
:
en particulier,
siq estanisotrop
e,X estlaconiqueprojectiv
e asso
ci
¶
eeetU estun
ouverta–ne de X obten
u en retiran
t un point ferm¶
e quadratique,
lasuite
M
W (k(x))
0 ! W (U )! W (F (q)!
x2 U
CHAPITRE
130
10.DESCENTE
estexacte
[180,th.5].Nous renvoyonsa sonarticle
pourlesd¶
etails
de l’
¶
enonc
¶
e (voir
aussi
sesth¶
eoremes6a et6b)etpourlesd¶
emonstrations,
quiutilisen
t lath¶
eorie
des
r¶
eseauxquadratiques.
Le th¶
eoreme 10.2.1
estvraien rempla
cant anneaude Witt par cohomologie
»
(a
coe– cien
tsdivisibles),
maisjene connais
pasde preuv
e¶
el
¶
ementaire,
c’esta-dire
n’utilisan
t paslaconjecture
de Milnor
. La situation
esttouta fait
analogue
a celle
des
noyaux,ou lecalcul
de noyaux de Witt estsouvent ¶
el
¶
ementaire
alors
que celui
de
noyaux cohomologiques
utilise
laconjecture
de Milnor(ouestutilis
¶
e pourprouver
celle-ci...).
On a lesr¶
esultats
suiv
ants:
10.2.3.Th ¶
eoreme (Kahn-Rost-Sujatha[104,th.9]). | Soitq anisotr
ope dedimension‚ 3.A lors,
pourtoutn ‚ 0,leconoyaude l’homomorphisme
n
n +1
In F =In +1 F ¡! Inr
(F (q)=F)=Inr
(F (q)=F)
s’inje
ctedansleconoyaude l’homomorphisme
n
(F (q)=F;Q =Z(n ¡ 1))
:
H n (F;Q =Z(n ¡ 1))¡! H nr
(Ceth¶
eoreme estprouv¶
e pourn • 4 dans[104],maislad¶
emonstration
n’utilise
que
l’
¶
enonc
¶
e de laconjecture
de Milnor
.)
10.2.4.Th ¶
eoreme . | Soitq anisotr
ope de dimension
‚ 3.Leshomomorphismes
n
H n (F;Q =Z(n ¡ 1))¡! H nr
(F (q)=F;Q =Z(n ¡ 1))
et
W (F )=In +1 F ¡! W
n +1
nr(F (q)=F)=Inr
(F (q)=F)
sontsurje
ctifs
lorsque
a) Kahn-R ost-Sujatha
[104,th.4 etcor.10 (1)]
: n • 2.
b) op. cit.
, th.5 et cor.10 (2): n = 3,saufsiq estune formed’Alb
ert.
c) n = 4 pourdimq 2= [6;12]
, etpluspr¶
ecis
¶
ementdanslescassuivants
:
(i)Kahn-R ost-Sujatha[104,th.6 (3)etcor.10 (3)]
: q estune voisine
de Pflster,
dimq = 8 etd§ q = 1 ou dimq > 12.
(ii)
Kahn-Sujatha [106,th.3,th.4]: dimq • 5;dimq = 6 etq n’est
pas
une formed’Alb
ertou une ((formed’Alb
ertvirtuel
le))(celasigni
fle que
ope).
qF (p d § q ) resteanisotr
(iii)
Kahn-Sujatha [105,th.2], Izhboldin[86]: de nombreuxcasdis
paratesou 7 • dimq • 12.
10.2.5.Th ¶
eoreme (Kahn-Sujatha,[105,th.3 et4]). | Soitq unevoisine
dePflster.
A lors,
pourtoutn ‚ 0,leshomomorphismes
n
H n (F;Q =Z(n ¡ 1))! H nr
(F (q)=F;Q =Z(n ¡ 1))
¶
10.2.TH EOR
EMES
DE SURJECTIVIT
¶
E
131
et
n
In F ! Inr
(F (q)=F)
sontsurje
ctifs.
(Ce th¶
eoreme estdonn¶
e en caract
¶
eristique
z¶
erodans[105],maislad¶
emonstration
publi
¶
eedelaconjecture
deMilnorparVoevodskyetlesr¶
esultats
deHuber-Kahn[79,
prop.4.11etx6]¶
etendan
t ceuxde [101]a toutecaract
¶
eristique
validen
t lapreuv
e de
[105]en toutecaract
¶
eristique
difi¶
eren
tede 2.)
Dans leth¶
eoreme 10.2.4
, lad¶
emonstration
du secondr¶
esultat
utilise
lepremier
m^
eme pourn = 0 (danslecasde2-dimension
cohomologique
flnie,
c’est
uner¶
ecurrence
descendan
te surn),ce quiestassezinsatisfaisan
t¶
etan
t donn¶
ee lad¶
emonstration
¶
el
¶
ementaire
du th¶
eoreme 10.2.1
.On aimerait
en avoiruned¶
emonstration
¶
el
¶
ementaire
(aumoinspourn = 0).
Au vu du th¶
eoreme 10.2.4
,on peutconjecturer
:
p.845]
)
10.2.6.Conjecture (cf.[104,conj.
a)Le th¶
eoreme 10.2.5
estvraipourtouteformequadr
atique
q de dimension
• 5.
n +1
n +1
b) L’homomorphisme
W (F )=I F ! W nr(F (q)=F)=Inr (F (q)=F) estsurje
ctif
sidimq > 6 ¢2n ¡ 3.
En fait,
a)estmaintenan
t connu.Lescasnon couvertsci-dessus
sont :dimq = 4,
d§ q 6
= 1 etdimq = 5,q non voisine.
Le premier
caspeutsed¶
emontrerparlam ^
eme
m¶
ethode que leth¶
eoreme 10.2.5
gr^
aceaux r¶
esultats
de Vishik[211,x2.6]
.Maison
peutd¶
emontrera)de maniereuniforme
pardesm ¶
ethodesenti
eremen
t difi¶
eren
tes:
d’unepart,
P aulBalmeretCharles
W alter
ontmontr¶
e quesiX estuneF -vari
¶
et¶
e projectiv
e lisse
de dimension
• 3 de corpsdesfonctions
K ,l’homomorphisme
W (X )!
W nr(K =F)estbijectif
[28,cor.10.3]
.D’autre
part,
Charles
W alter
a d¶
emontr¶
e (2003,
non publi
¶
e)que pourtoutequadrique
projectiv
e lisse
X de dimension
non divisible
par4,W (F )! W (X ) estsurjectif.
Le premier
casou l’homomorphisme
W (F )! W nr(F (q)=F) n’est
passurjectif
est
celui
ou q estuneformed’Alb
ert:
10.2.7.Th ¶
eoreme (Kahn-Rost-Sujatha[104,Cor.10 (2)]
)
Siq estune formed’Alb
ert
, legroupe
Coker(W (F )=I4F ¡! W
4
nr(F (q)=F)=Inr(F (q)=F))
estd’or
dre 2,engendr
¶
e parlaclasse
de ¿ ou ¿ estlaformedominantede q.
La d¶
emonstration
reposesurlecalcul-cl
¶
e de[98,th.2 d)]concernan
tlacohomologie
non ramifl¶
eemo dulo2 (cf.exercice
8.3.3
).
10.2.8.Question. | Dans leth¶
eoreme 10.2.7
,on a ¿2 » q12 » 4¿.Est-il
vraique
leW (F )-moduleW nr(F (q)=F) estengendr
¶
e par1;¿ ?
132
CHAPITRE
10.DESCENTE
10.3.Deux problemes de descente
SoitK =F uneextension
de type flni,etsoit
’ uneformequadratique
surK .
10.3.1.Question. | A quelle(s)
condition(s)
’ est-elle
d¶
eflniesurF ?
Ici,
((d¶
eflniesurF ))signi
fle qu’il
existe
une F -formeˆ telle
que ˆ K ’ ’ (etpas
seulemen
t ˆ K » ’).La question
10.3.1
peut^
etrevuecomme un analogue
sup¶
erieur
du probl
eme d’hyperbolicit
¶
e d’uneformequadratique
surune extension
du corpsde
base.
Voici
unequestion
compl¶
ementaire
:
10.3.2.Question. | Supposonsque ’ 2 Im(W (F ) ! W (K )).Que peut-ondire
de ladimension
minimaled’uneF -formê telle
queˆ K » ’ ?
(Unereform
ulation
de cette
question
estlasuiv
ante.SoitI = Ker(W (F )! W (K )):
siˆ 2 W (F ),quelle
relation
y a-t-il
entredimI ˆ etdiman (ˆ K ),ou dimI estd¶
eflni
danslex7.4?)
nousabordonscesprobl
emeslorsque
K estlecorpsdesfoncComme d’habitude,
tions
d’unequadrique.
Dans laquestion
10.3.1
,lacondition
’ 2 W nr(K =F) est¶
evidemmen
t n¶
ecessaire.
SiK estlecorpsdesfonctions
d’uneconique,
leth¶
eoreme 10.1.4
¶
enoncequ’elle
est
en¶
erallesdeux
su–santeetque lar¶
eponsea laquestion
10.3.2
est((diman ’ )).En g¶
probablemen
t pasde
questions
sont largemen
t ouvertes
;pourlapremiere,
iln’existe
crit
ereg¶
en¶
eralassuran
tqu’uneforme’ 2 W nr(F (q)=F)estd¶
eflniesurF .Ilestfacile,
toutefois,
de donnerunecondition
d’unicit
¶
e:
10.3.3.Proposition
. | Soientq une formequadr
atiquesurF et ’ une forme
quadr
atique
surF (q). Si dim’ < dimq ¡ i1(q), ilexiste
au plusune formeˆ sur
F tel
lequeˆ F (q) ’ ’.
D¶
emonstr
ation
. | C’estunevarian
tede celle
du lemme 5.4.2
.Soien
t sipossible
ˆ6
=
ˆ 0 telles
que ˆ F (q) ’ ˆ F0 (q) ’ ’. Alors(ˆ ? ¡ ˆ 0)F (q) » 0, d’ou (ˆ ? ¡ ˆ 0)an ’
aq ? q0 poura;q0 convenables.
On a aq1 ? ¡ qF0 (q) » 0, donc dimq0 ‚ dimq1 et
0
2dim’ = dim(ˆ ? ¡ ˆ )‚ dimq + dimq1 = 2(dimq ¡ i1(q)),contradiction.
10.4.Une premiere conjecturede descente
La conjecture
suiv
ante,quiessa
ye der¶
epondrea laquestion
10.3.1
,devrait
r¶
esulter
d’unanalogue
sup¶
erieur
du th¶
eoreme 3.2.4
.
10.4.1.Conjecture ([97,conj.
2]). | Soitq une formequadr
atique
surF ,etsoit
K = F (q).Soit’ une formequadr
atique
surK .Supposonsque’ soitnon ramifl¶
ee.
10.4.UNE
PREMI ERE
CONJECTURE
DE DESCENTE
133
A lors,
pourque’ soitd¶
eflniesurF ,ilsu–t que
1
dim’ < dimq:
2
Dans [97],on montre:
10.4.2.Th ¶
eoreme . | La conje
ctur
e 10.4.1
estvraiedanslescassuivants
:
{ dim’ • 5.
{ ’ estune formed’Alb
ert
. A lors’ estd¶
eflniesurF parune formed’Alb
ert
.
{ ’ 2 GP 3(K ).A lors’ estd¶
eflniesurF parune formede GP 3(F ).
Lesr¶
esultats
de [97]sont en fait
pluspr¶
ecis
queleth¶
eoreme 10.4.2
:
10.4.3.Th ¶
eoreme ([97,th.2]). | Dans laconje
ctur
e 10.4.1
,pourque’ soitd¶
eflniesurF ilsu–t que
1.dim’ = 1 :
dimq > 2.
2.dim’ = 2 :
dimq > 4 ou dimq = 4,d§ q 2= f1;d§ ’g.
3.dim’ = 3 :
dimq > 6 ou dimq = 6,d§ q 6
= 1.
4.dim’ = 4 :
{ d§ ’ 6
= 1:
dimq > 6 ou dimq = 6,d§ q 2= f1;d§ ’g.
{ d§ ’ = 1 :
dimq ‚ 6 saufpeut^
etr
e (*)
.
5.dim’ = 5 :
{ ’ non voisine
:
dimq > 8.
{ ’ voisine
:
dimq ‚ 6 saufpeut^
etr
e (*)
.
6.dim’ = 6,’ d’Alb
ert:dimq > 8 ordimq = 8,saufpeut^
etr
e (**)
.
Cas exceptionnels
pour4 et5 :
(*)
dimq = 6;d§ q = 1;dimq = 7 ou 8;c(q)K = c(’):
pour6 :
Cas exceptionnels
(**)
dimq = 8;d§ q = 1;c(q)K = c(’):
On arriv
e parfois
aussia obtenir
laconclusion
de laconjecture
10.4.1
sousune
hypothesedifi¶
eren
tede dim’ < 12 dimq.Ainsi:
10.4.4.Th ¶
eoreme
Supposonsquedimq > 16,etsoit’ 2 W
nr(F (q)=F).
a) [97,th.2]: Si’ estune voisine
de Pflsterde dimension
6,7 ou 8,alorselle
estd¶
eflniesurF parune voisine
de Pflster.
’ estaussid¶
eflniesurF danslescassuivants
:
b) Laghribi[132]:
CHAPITRE
134
10.DESCENTE
{ dim’ • 6.
{ dim’ = 7 etindC 0(’)6
= 8.
{ dim’ = 8 etindC (’)K
p
(
d§ ’
)
• 2.
{ dim’ = 9 etindC 0(’)• 2.
{ dim’ = 10,’ 2 I2K etindC (’)• 2.
c) Izhboldin-Vishik
[91,th.3.9]
: dim’ = 7 etindC 0(’)= 8 (donc,
end¶
eflnitive,
desquedim’ • 7).
Toutceciindique
que l’
¶
enonc
¶
e de laconjecture
10.4.1
n’est
pasoptimal.
D’apr
es
leth¶
eoreme 10.1.4
,laquestion
10.3.1
ne d¶
ependen fait
quede laclasse
d’¶
equiv
alence
stable
deq (a savoir,
siq0 … q,on peuttransp
orter
’ sur’ 0 2 W nr(F (q0)=F)etalors
’
estd¶
eflniesurF sietseulemen
tsi’ 0 l’est).
Ilserait
parexempleagr¶
eable
deremplacer
et stablemen
t
danslaconjecture
10.4.1
laborne 21 dimq par une bornemeilleure
invarian
te.Un candidat
naturel
estdimq¡ i1(q)= dimes(q)¡ 1.Malheureusemen
tla
conjecture
corresp
ondanteestfausse
:prendre
pourq une formed’Alb
ertet’ = q1.
Cf.les\caslimites"
de [97,th.6].
Les m ¶
ethodesde d¶
emonstration
utilisen
t pratiquemen
t touslesr¶
esultats
surles
expliqu
¶
esaux chapitres
pr¶
ec¶
edents.Ilserait
int¶
einvarian
tsdesformesquadratiques
res
sant de parvenira s’endisp
enser.
10.5.Applicationa lahauteur et au degr¶
e
Lesr¶
esultats
de descen
teci-dessus
permetten
t de retrouv
ertouslesr¶
esultats
d¶
eja
connussurlesformesde hauteuretde degr
¶
e • 2 (voirx5.7
),etimpliquen
t de plus:
10.5.1.Th ¶
eoreme
a) Une formede hauteur
2 etde degr¶
e 3 non excellente
estde dimension
• 16.
b) Soitq une formede hauteur3 etde degr¶
e 1 quin’estpas voisine
d’uneforme
de Pflster
. Si dimq > 6, alorsq1 estexcellente
. Si de plusdimq1 = 6, on a
dimq • 16.
c) Soitq uneformedehauteur
3 etdedegr¶
e 2,quin’est
pasbonne.Supposonsque
q ne soitpasvoisine
d’uneformede Pflster
.A lorsdimq = 8.
Voir[97].Laghribi
a aussi
pr¶
ecis
¶
e leth¶
eoreme 10.5.1
.Maissesr¶
esultats
sont trop
tec
hniques
pour^
etrerepro
duits
icietjepr¶
efererenvoyera sonarticle
l’original
[133].
10.6.Une deuxieme conjecturede descente
La conjecture
quisuitessa
ye de r¶
epondrea laquestion
10.3.2
:
10.6.UNE
DEUXI EME
CONJECTURE
DE DESCENTE
135
10.6.1.Conjecture ([103,conj.
1.4]
). | Soient
q uneformequadr
atique
anisotrope surF , K = F (q) et’ une formequadr
atique
anisotr
ope surK . Supposonsque
’ 2 Im(W (F ) ! W (K )). A lorsilexiste
une formequadr
atiquê surF tel
leque
ˆ K » ’ etdimˆ • 2dim’.
SoitI = Ker(W (F ) ! W (K )). En termesde la((dimension
mo duloI ))dimI
du x7.4
,laconjecture
10.6.1
ditceci:pourtouteˆ 2 W (F ),dimI ˆ • 2diman ˆ K .
Dans [103],on ¶
etudie
cetteconjecture
qu’ond¶
emontredanscertains
casparticuliers.
Pour¶
enoncer
cesr¶
esultats,
introduisons
quelques
notations
:pour(q;’)comme
danslaconjecture
10.6.1
,soit
C F (q;’)= inf
fdimˆ jˆ 2 W (F ) et’ » ˆ F (q)g
(desorte
queC F (q;’) a lam ^
eme parit
¶
e quedim’).De plus,
soien
t
C F (q;n)= supfC F (q;’)jdim’ • ng • + 1
C (m; n)= supfC F (q;n)jF corpset dimq = m g • + 1
C (n)= supfC (mn; )jm ‚ 2g • + 1 :
Une reform
ulation
de laconjecture
10.6.1
estalors
: C (n) • 2n pourtoutn ‚ 1
(noter
quecelaimplique
C (n)• 2n ¡ 1 sin estimpair).
principaux
de [103]sont maintenan
t:
Lesr¶
esultats
10.6.2.Th ¶
eoreme . | Pour toutn ‚ 1,on a
(
2n
sin estpair
C (n)‚ C (4;n)‚
2n ¡ 1 sin estimpair.
Ce th¶
eoreme ditquelaconjecture
10.6.1
estoptimale.
10.6.3.Th ¶
eoreme
a) La conje
ctur
e 10.6.1
estvraiesi
(i)dim’ • 3.
(ii)
’ estsemblable
a une 2-formede Pflster.
(iii)
’ estune voisine
de Pflsterde dimension
5.
b) Pour toutm 6
= 4,C (m; 4)• 8 etC (m; 5)• 9.
c) C (4;4)• 10.En particulier,
C (4)• 10.
10.6.4.Th ¶
eoreme . | Soient
q;K ;’ comme danslaconje
ctur
e 10.6.1
;soit
D une
F -alg
ebr
e centr
alesimpletel
leque[D K ]= c(’).A lors
a) Sidimq = 5 etque’ n’est
pas une voisine
de Pflster,
laconje
ctur
e 10.6.1
est
vraie,saufpeut^
etr
e sidimq = 4,d§ q 6
= 1 etind(D )= ind(D › C 0(q))= 4.
b) Sidim’ = 6 etque’ estune formed’Alb
ert
, laconje
ctur
e 10.6.1
estvraieet
on a m ^
eme C F (q;’)• 8,saufpeut^
etr
e danslem ^
eme casexceptionnel
quea).
CHAPITRE
136
10.DESCENTE
10.6.5.R emar que. | Le casleplusdi–cile,
leseulou nousn’arriv
onspasenti
erement a conclure,
estcelui
ou dimq = 4 etd§ q 6
= 1.
10.7.Exercices
10.7.1(d’apr
es [97,lemme 3]). | Pour(q;’)comme dansleth¶
eoreme 10.4.3
,soit
n lepluspetit
entier
telque2n > dim’.Supposonsqu’il
existe
ˆ d¶
eflniesurF telle
que dim’ = dimˆ et’ · ˆ K (mod In +1 K ). Mon trerque ’ ’ ˆ K . (Utiliser
le
Hauptsatz
.)
10.7.2
.| D¶
emontrerleth¶
eoreme 10.4.3
pourdim’ = 1.
10.7.3
.| D¶
emontrer
leth¶
eoreme 10.4.3
pourdim’ = 2.(Utiliser
leth¶
eoreme 10.2.4
pourvoirqued = d§ ’ etc(’) sont\d¶
eflnissurF " par desclasses
d etc0.D ¶
eduir
e
e
de laproposition
6.4.13.
quec0F (p d ) = 0,doncquec0 estde laforme(a;d).Conclur
que’ ’ ha;¡ adi en utilisant
l’exer
cic
e 10.7.1
.)
10.7.4
.| D¶
emontrerleth¶
eoreme 10.4.3
pourdim’ = 3.(M ^
eme m ¶
etho
de quedans
l’exer
cic
e pr¶
ec¶
edent,
en utilisant
l’exer
cic
e 7.4.1
.)
telquelaconjecture
10.4.1
soit
10.7.5(d’apr
es [97,cor.2]). | a)Soitr un entier
vraiepour touteforme’ de dimension
r. Soien
t n telque 2n > r, etsoien
t ;q
deuxformestelles
quedim = 2n +1 ¡ r etquedimq > supf2n ;2rg.Alors estune
voisine
de Pflster
sietseulemen
t si F (q) estunevoisine
de Pflster.
(Pourmontrerla
su–sance,observer
quelaformecompl¶
ementair
e de F (q) estd¶
eflniesurF etconclur
e
en utilisant
l’exer
cic
e 4.5.5
.)
10.7.6(d’apr
es [68], [97]et [91]). | Soit uneformequadratique
a d¶
eploiemen
t
n +1
n
maximal(exercice
5.8.4
).Supposonsquedim = 2
¡ r avecr < 2 .Mon trerque
estuneformede Pflsterdanslescassuiv
ants:
{ n • 2,saufpeut^
etredimq = 5 (quesepasse-t-il
danscecas?);
{ n = 3 etr • 5;
{ n ‚ 4 etr • 7.
(Utiliser
l’exer
cic
e 10.7.5
etleth¶
eoreme 10.4.4
.)
(Pourdesexemples
de formesa d¶
eploiemen
t maximalde dimension
2n + 2n ¡ 2 qui
ne sont pasdesformesde Pflster,
voir[68,p.475,ex.2].Pourplusde d¶
etails
surcet
exercice,
voir[91].)
10.7.7(d’apr
es [97,cor.2]). | a)Soien
t m ‚ 1 ett2 [0;(2m + 2)=3[.Supposons
quelaconjecture
10.4.1
soit
vraie
pourtouteforme’ dedimension
2m + t.Soitq une
formeanisotrop
e et(F i;qi)0• i• h sasuite
ded¶
eploiemen
tg¶
en¶
erique
.Soiti> 0 telque
dimqi = 2m + t.Mon trerque,siqi estd¶
eflniesurF i¡ 1,alors
elle
estd¶
eflniesurF .
(En utilisant
leth¶
eoreme 5.4.3,
montrerquedimqi¡ 2 > 2dimqi.)
10.7.EXER CICES
137
b) En particulier,
laconclusion
de a) esttoujours
vraiesidimqi • 5. Supposons
dimqi = 6.Siqi estune formed’Alb
ert,
a)estencorevraien utilisan
t leth¶
eoreme
⁄⁄⁄⁄
10.4.3
6). Que sepasse-t-il
danslesautres
cas?
APPENDICE
RAPPELS
SUR
A
LE GR OUPE
DE BRA UER
Dans cechapitre,
nousrappelons
lesbasesde lath¶
eorie
du groupe de Brauerd’un
corps.
Pourplusde d¶
etails,
on sereportera
a [32,ch.8]ou a [30].
A.1. Algebressimpleset semi-simples
A.1.1.D ¶
eflnition
. | SoitA un anneau.
Un A -moduleM estditsimplesisesseuls
s’il
v¶
eri
fle lesconditions
sous-mo
dulessont lui-m
^
eme et 0. M estditsemi-simple
¶
equiv
alen
tessuiv
antes:
(i)M estsomme de sessous-mo
dulessimples.
(ii)
M estsomme directe
de mo dulessimples.
(iii)
Toutsous-mo
dulede M estfacteur
direct.
. | Un anneauA estditsemi-simple
s’il
v¶
eri
fle lesconditions
A.1.2.D ¶
eflnition
¶
equiv
alen
tessuiv
antes:
(i)ToutA -modulea gauche estsimple.
(ii)
Le A -modulea gauche A estsimple.
(iii)
Toutid¶
ealde A estfacteur
direct.
Un anneausemi-simple
A estsimple
s’il
n’apasd’autres
id¶
eauxbilat
eresquelui-m
^
eme
et0.
A.1.3.Th ¶
eoreme
a) Toutanneau semi-simple
estproduitdir
ectd’unnombre flnid’anne
auxsimples.
Ilestsimplesietseulement
sitoussesmodulessimples
sontisomorphes
entr
e
eux.
b) Toutanneau simpleestisomorphe
a une alg
ebr
e de matric
essurun corps(non
n¶
ecessai
rement commutatif
).
140
APPENDICE
A. RAPPELS
SUR
LE GR OUPE
DE BRA UER
Dans lasuite,
on flxeun corpscomm utatif
F .Le termeF -alg
ebr
e simpled¶
esigne
lesF -alg
ebres,
simples
entantqu’anneau
etdedimension
flniesurF .Une F -alg
ebre
A estcentr
alesisoncentreestr¶
eduita F .On emploiera
indi
fi¶
eremment lestermes
corpsnon n¶
ecessair
ementcommutatif
,corpsgaucheetalg
ebr
e a division
.
A.1.4.D ¶
eflnition
. | SoitA une F -alg
ebre,etsoitB une sous-alg
ebrede A .Le
commutantde B estB 0 = fa 2 A jab= ba8a 2 A g.C’estunesous-alg
ebrede A .
A.1.5.Th ¶
eoreme
1) SoitK =F uneextension.
Une F -alg
ebr
e A estcentr
alesimple
sietseulement
si
laK -alg
ebr
e A K := K › F A estcentr
alesimple.
2) SoitA une F -alg
ebr
e centr
alesimple.
a) La dimension
de A surF estun carr¶
e.
b) SoitB unesousF -alg
ebr
e simple
deA ,etsoit
B 0 soncommutant.A lors
:
(i)B 0 estsimple.
B 0 :F ]= [A :F ].
(ii)
[B :F ][
(iii)
Le commutantde B 0 est¶
egala B .
(iv)SiB estcentr
ale,
B 0 estcentr
B ›F B 0! A
aleetl’homomorphisme
estun isomorphisme.
c) SoitB une autr
e F -alg
ebr
e centr
alesimple.
A lorsA › F B estcentr
ale
simple.
d) SoitA 0 l’alg
ebr
e oppos¶
eea A .A lorson a un isomorphisme
canonique
A › F A 0 ’ EndF (A ):
A.2. Le groupe de Brauer
A.2.1.D ¶
eflnition
. | SoitF un corps(commutatif
).Deux F -alg
ebres
simples
A;B
de centreF etde dimension
flniesurF sont semblables
silesconditions
¶
equiv
alen
tes
suiv
antessont v¶
eri
fl¶
ees:
(i)Ilexiste
un corpsgaucheD decentreF etdesentiers
a;btels
queA ’ M a (D ),
B ’ M b(D ).
(ii)
Ilexiste
desentiers
a;b tels
queM b(A )’ M a (B ).
(iii)
Les cat¶
egories
desA -modulesa gauche et desB -modulesa gauche sont
¶
equi
valen
tes.
On ditqueA estneutr
e siA estsemblable
aF.
La condition
(iii)
montrequelarelation
desimilitude
estunerelation
d’¶
equiv
alence.
A.2.2.Th ¶
eoreme
A.2.LE GR OUPE
DE BRA UER
141
a) La colle
ctiondesclasses
de similitude
de F -alg
ebr
es centr
alessimples
estun
ensemble
B (F ).
b) Le produittensoriel
munitB (F )d’unestructur
e degroupe;l’inverse
delaclasse
0
d’unealg
ebr
e A estlaclasse
de l’alg
ebr
e oppos¶
eeA ;ce groupe estcommutatif.
c) SiK =F estune extension,
l’extension
desscalair
esinduit
un homomorphisme
B (F )! B (K ).
A.2.3.Exemples
1)SiF estalg
¶
ebriquemen
t clos,
B (F )= 0.
¡
¢
2)B (R )’ Z=2,engendr
¶
e parlesquaternions
d’Hamilton¡ 1R ¡ 1 (cf.section
A.3
ci-dessous).
3)SiF estun corpsC 1 (cf.sous-section
7.3.B
),alors
B (F )= 0.Exemples:corps
flnis,
corpsde degr
¶
e de transcendance
1 surun corpsalg
¶
ebriquemen
t clos.
4)SiF estcompletpourunevaluation
discr
ete,
a corpsr¶
esiduel
flni,alors
B (F )’
Q =Z.
5)SiF estun corpsde nombres,
ilexiste
unesuite
exacte
M
0 ¡! B (F )!
B (F v )¡! Q =Z ¡! 0
v
ou v d¶
ecrit
lesplaces
de F .
A.2.4.D ¶
eflnition
. | SoitA uneF -alg
ebrecentrale
simple
.Une extension
K deF
estun corpsneutr
alisant
pourA siA K estneutre.
A.2.5.Th ¶
eoreme . | SoientA une F -alg
ebr
e centr
alesimpleetE =F une extensionflnie.A lorsE estun corpsneutr
alisant
pourA sietseulement
s’il
existe
une
F -alg
ebr
e centr
alesimple
B ,semblable
a A ,tel
lequeE soit
unesous-alg
ebr
e commutative
maximalede B .De plus,
lesconditions
suivantes
sont¶
equivalentes
:
(i)E estune sous-alg
ebr
e commutative
maximalede B .
(ii)
E est¶
egala soncommutant.
(iii)
[B :F ]= [E :F ]2.
A.2.6.Th ¶
eoreme (Skolem-Noether)
. | SoientA une F -alg
ebr
e centr
alesimple,B ;C deuxsous-alg
ebr
es simples
de A etf : B ! C un isomorphisme
de F alg
ebr
es.A lorsilexiste
a 2 A ,inversible,
telquef(x)= axa¡ 1 pourtoutx 2 B .En
particulier,
toutautomorphisme
de A estint
¶
erieur.
A.2.7.Th ¶
eoreme . | SoitD un corpsgauchede centr
e F .Ilexiste
un sous-c
orps
commutatif
maximalde D ,s¶
eparable
surF .
¶
A.2.8.D ¶
eflnition
. | SoitA uneF -alg
ebrecentrale
simple
.Ecriv
onsA = M n (D ),
ou D estun corpsgauche.
p
a)Le degr¶
e de A estl’en
tier [A :F ].
142
APPENDICE
A. RAPPELS
SUR
LE GR OUPE
DE BRA UER
p
b)L’indic
e de A estl’en
tier [D :F ].
c)L’exposantde A estl’ordre
de laclasse
de A dansB (F ).
A.2.9.Proposition
. | Pour touteF -alg
ebr
e centr
alesimpleA ,
a) L’exp
osantde A divise
sonindic
e,quidivise
sondegr¶
e.
b) L’indic
e etl’exp
osantde A ontlesm ^
emes facteurs
premiers.
A.2.10.Proposition
. | SoientA une F -alg
ebr
e centr
alesimpleetK =F une extension.
a) ind(A K ) divise
ind(A ).
b) Si[K :F ]= n < + 1 ,ind(A )=ind(A K ) divise
n.
c) SiK =F esttranscendantepure,ind(A K )= ind(A ).
D¶
emonstr
ation
. | a)est¶
eviden
t.Pourd¶
emontrerb),on peutsupposerqueA estun
¶
corps.
Ecriv
ons
A K ’ M h (D )= EndD (D h )
ou D estun corpsgauche.On a d’abord:
dimF A = dimK A K = h2 dimK D
d’ou
h = ind(A )=ind(A K ):
D’autre
part,
D
h
estun A K -modulesimple,
etA K ’ A K (D h )h .Ilen r¶
esulte
[K :F ]= dimA A K = h dimA (D h )
donch divise
n.
Pourd¶
emontrer
c),on peutsupposerqueA estun corpsetqueK = F (T ).Comme
dimK (A K )< + 1 ,siA K n’est
pasun corps,
ilexiste
a;b 2 A K nf0g tels
queab= 0.
Quittea lesm ultiplier
parun polyn
ome de F [T ],on peutsupposerquea;b 2 A [T ].
^
en regardan
t lescoe–cientsdominants.
On obtien
t alors
unecontradiction
On a besoindanslasection
7.1du lemme suiv
ant :
A.2.11.Lemme (Albert)
. | SoientF un corpsde caract
¶
eristique
= 2, D un
6
p
corpsgauchedecentr
e F etdedimension
flniesurF eta 2 F ⁄ nF ⁄2.SoitE = F ( a).
A lorsD E n’est
pasun corpssietseulement
siD contient
un sous-c
orpsisomorphe
a
E.
D¶
emonstr
ation
. | Ilest¶
equiv
alen
t queD contienne
un souscorpsisomorphe
a E ou
p
p
un ¶
el
¶
ement x de carr
¶
e a.Sic’est
lecas,alors
(1› x ¡ a › 1)(1› x + a › 1)= 0,
doncD E n’est
pasa division.
R¶
ecipro
quement,siD E n’est
pasa division,
ilexiste
p
p
s;t;u;v 2 D , non tousnuls,telsque (1› s + d › t)(1› u + d › v) = 0. On a
A.3.EXEMPLES
143
n¶
ecessairemen
t s;u 6
= 0;quitte
a m ultiplier
a gauche pars¡ 1 eta droite
paru¡ 1,on
peutdoncsupposers = u = 1.On a alors
(ensimpli
flant l’
¶
ecriture)
p
p
p
0 = (1+ t d)(1+ v d)= 1 + tvd + (t+ v) d:
On en d¶
eduitv = ¡ tet1 ¡ dt2 = 0;ilsu–t doncde choisir
x = t¡ 1.
A.2.12.Proposition
. | SoientA une F -alg
ebr
e centr
alesimple
,E un sous-c
orps
commutatifde A etB lecommutantde E dansA (uneE -alg
ebr
e centr
alesimple
d’apr
esleth¶
eoreme A.1.5b)).A lorsA E estsemblable
aB.
D¶
emonstr
ation(Tignol)
. | On fait
de A un mo dulea gauche surA E = A › F E en
posant
(a › x)b = abx
poura;b 2 A etx 2 E .Lesendomorphismes
du A › E -moduleA sont lesm ultiplications
a droite
parles¶
el
¶
ementsde B .Comme, pourtoutealg
ebresimplecentrale
C
etpourtoutC -moduleM ,l’alg
ebreC estsemblable
a EndC (M ),ilen d¶
ecoule
que
B estsemblable
a AE .
A.3. Exemples
Dans cette
section,
on supposecarF 6
= 2.
A.3.A. Quaternions
ebr
e de quaternions
d¶
eflniepar(a;b)
. | Soien
t a;b 2 F ⁄ .L’alg
A.3.1.D ¶
eflnition
¡a b¢
estlaF -alg
ebre F de base(1;i;j;k),avec
i2 = a;j2 = b;ij= ¡ ji= k:
¡ ¢
ebresous-jacen
tea la
A.3.2.R emar que. | L’alg
ebre aF b n’estautreque (l’alg
superalg
ebre
) C (ha;bi) de lasection
6.2
.
A.3.3.Th ¶
eoreme . | Pour a;b 2 F ⁄ ,lesconditions
suivantes
sont¶
equivalentes
:
(i)La formequadr
atique
h1;¡ a;¡ bi estisotr
ope.
(ii)
La formequadr
atique
hha;bii estisotr
ope.
¡a b¢
pasun corps.
(iii)
L’alg
ebr
e Q = F n’est
(iv)L’alg
ebr
e Q estisomorphe
a M 2(F ).
En particulier,
l’alg
ebr
e Q estcentr
alesimplesurF ,de degr¶
e 2.
D¶
emonstr
ation
. | L’¶
equiv
alence
entre(i)et(ii)
estun casparticulier
du th¶
eoreme
5.3.4
.Pourvoirque(ii)
, (iii),
on remarqueque,pourx;y;z;t2 F ,on a l’iden
tit
¶
e
(x + yi+ zj+ tk)(x ¡ yi¡ zj¡ tk)= x2 ¡ ay2 ¡ bz2 + abt2 = q(x;y;z;t)
144
APPENDICE
A. RAPPELS
SUR
LE GR OUPE
DE BRA UER
ou q = hha;bii.Ilenr¶
esulte
queQ admetdesdiviseurs
dez¶
erosiq estisotrop
e,etque,
siq estanisotrop
e,tout¶
el
¶
ement x + yi+ zj + tk2 Q n f0g estinversible,
d’in
verse
(x ¡ yi¡ zj¡ tk)=q(x;y;z;t).
Ilest¶
eviden
t que (iv)
) (iii).
Mon tronsenfln que (iii)
) (iv).
Supposonsd’abord
¡ ¢
a = 1;b = ¡ 1,etconstruisons
un isomorphismeaF b ’ M 2(F ).Soit(E ij)i;j2 f0;1g la
basecanonique
de EndF (F '^ F ),ou E ij estlamatrice
dont leseultermenon nulest
¶
egala 1 etestd’indice
(i+ 1;j+ 1).On v¶
eri
fle quel’isomorphisme
cherc
h¶
e estdonn¶
e
par
1 7¡
! E 00 + E 11
i7¡
! E 01 + E 10
j 7¡
! E 01 ¡ E 10
k 7¡
! E 11 ¡ E 00:
¡ ¢ ¡ 2 2¢
On remarqueque aF b ’ as F bt pourtouts;t2 F ⁄ .Ilen r¶
esulte
que,poura;b
¡1 ¡ 1¢
quelconques,
ilexiste
uneextension
E =F telle
queQ E ’
.Le th¶
eoreme A.1.51)
E
¡ ¢
ebrecentrale
simple
eng¶
en¶
eral,
quiest¶
evidemmen
t
implique
alors
que aF b estunealg
de degr
¶
e 2. Si Q n’estpas un corps,
elleestdonc isomorphea M 2(F ) d’apr
es le
th¶
eoreme A.1.3b).
R¶
ecipro
quement :
A.3.4.Proposition(W edderburn). | TouteF -alg
ebr
e centr
alesimple
A dedegr¶
e
2 estune alg
ebr
e de quaternions
.
D¶
emonstr
ation
. | On peutsupposerqueA estun corps.
SoitE ‰ A un sous-corps
p
Soiti 2 E
comm utatif
maximalde A .On a E = F ( a) poura 2 F ⁄ convenable.
2
telque i = a. Consid
¶
eronsl’automorphisme
int¶
erieur de A d¶
eflnipar i : on a
2
= 1.Comme i n’est
pascentral, 6
= 1;ilexiste
doncj 2 A telque (j) = ¡ j,
c’esta-dire
ij= ¡ ji.Ceciimplique
quej n’est
pascentral,
doncengendre
un souscorpscomm utatif
maximalK de A .Mais laisse
K invarian
t etsarestriction
aF
esttriviale
:parcons
¶
equent,lespointsflxesde jK sont r¶
eduits
a F .En particulier,
j2 = b 2 F . Finalemen
t,soitk = ijetsoitx + yi+ zj + tk = 0 une relation
de
d¶
ependance.
En laconjuguan
t resp
ectiv
ement pari;j etk,on obtien
t lesnouvelles
relations
x + yi¡ zj¡ tk= 0
x ¡ yi+ zj¡ tk= 0
x ¡ yi¡ zj+ tk= 0:
quimontren
t quex = y = z = t= 0.
A.3.EXEMPLES
A.3.5.Lemme . | Poura;b 2 F ⁄ ,soit
(a;b)laclasse
del’alg
ebr
e
On a lesrelations
:
145
¡a b¢
F
dansB (F ).
(a;b)= (b;a)
(a2;b)= 0
(a;1 ¡ a)= 0 (a 6
= 1)
(a;¡ a)= 0
(a;bb0)= (a;b)+ (a;b0):
D¶
emonstr
ation
. | La premiererelation
est¶
eviden
te.Les trois
suiv
antesr¶
esulten
t
facilemen
t de l’
¶
equiv
alence
entre(i)et(iv)dansleth¶
eoreme A.3.3
.
Pourmontrerladerni
ereiden
tit
¶
e,on exhib
e un isomorphisme
¶
¶
¶
a b
a b0 »
a bb0
’:
›F
¡! M 2(
)
F
F
F
en suiv
ant lam ¶
ethode de [30, Ch. II,x3,ex.1]. Soien
t (1;i;j;k), (1;i0;j0;k0) et
¡ 0¢
¢
¡
¡
0¢
a
b
(1;i00;j00;k00) lesbasescanoniques
resp
ectiv
es de F , aFb et a Fbb . L’isomorphismecherc
h¶
e estalors
donn¶
e parexemplepar
¶
¶
00
i 0
¡ i00 0
0
’(i› 1)=
’(1› i)=
0 i00
0 i00
¶
¶
0 b0
0
¡ j00
0
’(1›
j
)=
’(j› 1)=
1 0
¡ b0¡ 1j00 0
¶
¶
00
0
¡k
0 ¡ b0i00
0
’(k › 1)=
’(1› k )=
:
¡ b0¡ 1k00
0
i00
0
Pourmontrerque ’ d¶
eflnitbienun isomorphisme,
on commenceparv¶
eri
flerque
¶
e au lecteur
en exercice.
Maistout
c’est
un homomorphismed’alg
ebres:ceciestlaiss
homomorphismed’unealg
ebresimpleversuneautreestinjectif
;donc’ estinjectif,
etilestsurjectif
pouruneraison
de dimension.
A.3.6.Lemme (Albert)
. | Soienta;b;c;d 2 F ⁄ tels
que(a;b) = (c;d). A lorsil
⁄
existe
e 2 F telque
(a;b)= (a;e)= (c;e)= (c;d):
¡ ¢
D 0 lesousF -espace
vectoriel
de D
D¶
emonstr
ation(Tate)
. | SoitD = aF b ,etsoit
form¶
e des¶
el
¶
ementsde trace
nulle
:on a dimD 0 = 3.Rappelons
quelanormer¶
eduite
d¶
eflnitsurD uneformequadratique
q (d’ailleurs
isom¶
etrique
a hha;bii).Sa restriction
a D 0 co˜‡ncide
avecl’application
x 7!¡ x2.Parhypothese,
ilexiste
fi;fl; ;– 2 D 0 tels
que
fi 2 = a;fl2 = b;fifl + flfi = 0
2
= c;–2 = d; – + – = 0:
146
APPENDICE
A. RAPPELS
SUR
LE GR OUPE
DE BRA UER
Autrement dit,(fi;fl) et ( ;–) sont des vecteurs
orthogonaux
pour q. Comme
dimD 0 = 3,ilexiste
" 2 D 0,orthogonal
a fi eta .Alorse = "2 convien
t.
A.3.B. Biquaternions
A.3.7.D ¶
eflnition
. | On appelle
alg
ebr
e de biquaternions
uneF -alg
ebreA quiest
isomorphe
a Q 1 › F Q 2,ou Q 1;Q 2 sont deuxalg
ebresde quaternions
.
A.3.8.Th ¶
eoreme (Albert)
. | TouteF -alg
ebr
e centr
alesimpleA de degr¶
e 4 et
d’exp
osant2 estisomorphe
a une alg
ebr
e de biquaternions
.
Pouruned¶
emonstration
(utilisan
tlath¶
eorie
desalg
ebresa involution),
voirRacine
[183].
A.3.C. Algebresd’exposant 2 et de degr¶
e ‚ 3. | SoitA une F -alg
ebrecenn
trale
simple
d’exp
osant2 etdedegr
¶
e 2 .Est-il
vraiqueA estisomorphe
a un produit
tensoriel
de n alg
ebresde quaternions
? D’apr
esce quipr¶
ecede,lar¶
eponseestoui
pourn • 2.Pourn = 3,lar¶
eponseestouistablemen
t:
A.3.9.Th ¶
eoreme (Tignol[206]). | Toutealg
ebr
e d’exp
osant2 etde degr¶
e 8 est
semblable
a un produittensoriel
de quatr
e alg
ebr
esde quaternions
.
t:
maisnon instablemen
A.3.10. Th ¶
eoreme (Amitsur-Row en-Tignol[4], Ro w en [187], Karp enko
[108])
SoitP l’ensemble
desnombrespremiers.
Pourtoutp 2 P [ f0g,ilexiste
un corps
F decaract
¶
eristique
p etun corpsgauchedecentr
e F ,d’exp
osant2 etdedegr¶
e 8,qui
n’est
pasproduittensoriel
de troisalg
ebr
esde quaternions
.
Pourn quelconque,
lar¶
eponseestouistablemen
t,d’apr
esleth¶
eoreme deMerkurjev
6.4.11
: toutealg
ebred’exp
osant 2 estsemblable
a un produittensoriel
d’alg
ebres
de quaternions
. Par desargumentsg¶
en¶
eriques,
on en d¶
eduitque,pour toutn ‚
ebred’exp
osant 2 et de degr
¶
e 2n soit
1, ilexiste
un entier‚(n) telque toutealg
semblable
a un produittensoriel
de ‚(n) alg
ebresde quaternions
, avec ‚(1)= 1
(prop
osition
A.3.4
),‚(2)= 2 (th¶
eoreme A.3.8
),‚(3)= 4 (th¶
eoremesA.3.9etA.3.10
).
^‡tpas lavaleuroptimale
de ‚(n). (L’auteur
Par contre,pour n > 3, on ne conna
conjecture
quecette
valeurest2n ¡ 1 pourn > 0.)
A.4. Exercice
A.4.1** (d’apr
es Merkurjev,[95,Th.3])
SoitF un corpsde 2-dimension
cohomologique
2 (cf.xB.8).
a)On supposequelegroupe de Galois
absolude F estun 2-group
e.Soitq 2 I2F
anisotrop
e.Mon trer
quel’alg
ebreE (q)del’exercice
6.5.2
a)esta division.
(Raisonner
par r¶
ecurr
ence surl’indic
e e de E (q). Le cas e = 1 estimpossible,
lecas e = 2
A.4.EXER CICE
147
estfacile.
Pour e ‚ 4, consid
¶
ererun sous-c
orpscommutatif
maximalM d’uncorps
gaucheD de centr
e F semblable
a E (q) :l’hyp
othesesurF implique
queM contient
une sous-extension
quadr
atique
de F .Conclur
e en utilisant
l’exer
cic
e 3.4.3.
)
¶
b) Etendre
a) au casg¶
en¶
eral(consid
¶
erer une extension
alg
¶
ebrique
parfaite
de F
d¶
etermin
¶
eeparun 2-sous-gr
oupe de Sylowdu groupe de Galoisabsolu
de F .)
c)En utilisan
t l’exercice
6.5.2
etleth¶
eoreme 6.4.11
,montrerquetoutealg
ebrea
division
de centreF etd’exp
osant 2 estisomorphe
a un produittensoriel
d’alg
ebres
de quaternions.
(L’
¶
enonc
¶
e analogue
pourun nombrepremier
impairestunequestion
ouverte.)
APPENDICE
RAPPELS
B
DE COHOMOLOGIE
GALOISIENNE
B.1. Cohomologie des groupes flnis
B.1.A. G ¶
en¶
eralit
¶
es
B.1.1.D ¶
eflnition
. | SoitG un groupe flni.Un G -module(a gauche)estun groupe
ab¶
elien
A ,m unid’uneaction
a gauchedeG ,c’esta-dire
d’unhomomorphisme’ deG
dansA ut(A ).SiA estnot¶
e additiv
ement,on note,
pour(g;a)2 G £ A ,ga = ’(g)(a),
de sorte
que
g(a + b)= ga + gb
(gh)a = g(ha):
B.1.2.R emar ques
1)Une action
a droitede G surA estun anti-ho
mo morphis
me de G versA ut(A ).
SiA estnot¶
e additiv
ement,elle
estnot¶
ee(g;a) 7! ag.Ilest¶
equiv
alen
t de sedonner
une action
a gauche ou une action
a droite
de G surA .En efiet,si’ estune action
a gauche,g 7!’(g)¡ 1 estuneaction
a droite,
etr¶
ecipro
quement.
2) SiA estnot¶
e m ultiplicativ
ement,une action
a gauche (resp.
a droite)
esten
g
g
g¶
en¶
eralnot¶
ee(g;a)7! a (resp.
(g;a)7! a ) pour¶
eviter
un con itde notation
entre
l’action
de G etlam ultiplication
de A .
3) Soitf : H ! G un homomorphismede groupes.Un G -moduleA d¶
eflnitun
H -module(encore
not¶
e A ) parlaloiha = f(h)a.
B.1.3.D ¶
eflnition
. | Soien
t G un groupe flnietA un G -modulea gauche (not
¶
e
additiv
ement).On d¶
eflnitlecomplexedescocha^‡nesinhomogenesdeG a valeurs
dans
A comme lecomplexe
d0
d1
dn ¡
1
dn
0 ¡! C 0(G;A ) ¡¡¡¡! C 1(G;A ) ¡¡¡¡! ::: ¡¡¡¡! C n (G;A ) ¡¡¡¡! :::
150
APPENDICE
B. RAPPELS
DE COHOMOLOGIE
GALOISIENNE
avecC n (G;A )= Appl(G n ;A ) et
dn f(g1;:::;gn +1 )= g1f(g2;:::;gn +1 )
Xn
+
(¡ 1)jf(g1;:::;gjgj+1 ;:::;gn +1 )+ (¡ 1)n +1 f(g1;:::;gn ):
j=1
Un ¶
el
¶
ementf 2 C n (G;A )s’app
elle
unen-cocha^‡nedeG a valeurs
dansA .Sidn f = 0,
n
f estun n-cocycle
;lesous-group
e desn-cocycles
estnot¶
e Z (G;A ).Sif 2 Im dn ¡ 1,
f estun n-cobord ;lesous-group
e desn-cob
ordsestnot¶
e B n (G;A ).
B.1.4.Exemples
1)Un 0-cocycle
estun ¶
el
¶
ement de A G := fa 2 A jga = a8g 2 G g.
2)Un 1-cocycle
estuneapplication
f :G ! A telle
quef(gh)= f(g)+ gf(h).On
ditaussi
quef estun homomorphismecrois
¶
e.
3)Un 2-cocycle
estuneapplication
f :G £ G ! A telle
que
f(g;h)+ f(gh;k)= gf(h;k)+ f(g;hk):
On ditaussi
quef estun syst
eme de facteurs
.
B.1.5.Lemme . | Pourtoutn ‚ 0,on a dn +1 dn = 0;end’autr
estermes,
B n (G;A )‰
n
Z (G;A ).
D¶
emonstr
ation
. | Celasev¶
eri
fle parun simplecalcul.
B.1.6.D ¶
eflnition
. | Le n-i
eme groupe de cohomolo
giede G a valeurs
dansA est
H n (G;A )= Z n (G;A )=B n (G;A ):
B.1.7.R emar que. | On trouv
eradans[37],[63],[195],[197]desd¶
eflnitions
plus
conceptuelles
de cesgroupes de cohomologie.
En particulier,
A 7! H n (G;A ) s’ineme foncteur
d¶
eriv
¶
e droitdu foncteur
((pointsflxes))A 7!A G .
terpr
etecomme len-i
B.1.8.Proposition
a) Le foncteur
(G;A ) 7! H n (G;A ) estcovariant
en A etcontr
avariant
en G . Si
f :H ! G estun homomorphismede groupes,on notef⁄ l’homomorphisme
induit
en cohomolo
gie.
b) Soit0 ! A 0 ! A ! A 00 ! 0 une suite
exacte
courtede G -modules.
A lorson a
une longuesuite
exacte
0 ¡! H 0(G;A 0)¡! H 0(G;A )¡! H 0(G;A 00)¡! H 1(G;A 0)¡! :::
¡! H n (G;A 0)¡! H n (G;A )¡! H n (G;A 00)¡! H
n +1
(G;A )¡! :::
c) Sil’action
de G surA esttriviale,
on a un isomorphisme
canonique
H 1(G;A )= H om (G;A ):
B.1.COHOMOLOGIE
DES GR OUPES
FINIS
151
D¶
emonstr
ation
. | a)est¶
eviden
t.Pourvoirb),onremarquequelasuite
decomplexes
0 ¡! C ⁄ (G;A 0)¡! C ⁄ (G;A )¡! C ⁄ (G;A 00)¡! 0
estexacte,
eton prendsacohomologie.
Enfln,l’isomorphisme
de c)provien
t du fait
que,danslecasconsid
¶
er¶
e,B 1(G;A ) = 0 etque touthomomorphismecrois
¶
e de G
dansA estun homomorphismeau sensordinaire.
B.1.B. Restriction,
in ationet corestriction
B.1.9.D ¶
eflnition
a) SoitH ‰ G . Le morphismeH ⁄ (G;A ) ! H ⁄ (H ;A ) d¶
ecrit
danslapropositionB.1.8s’app
elle
morphismede restriction
;ilestparfois
not¶
e ResHG .
b) SoitH ! G un morphismesurjectif.
Le morphismeH ⁄ (G;A ) ! H ⁄ (H ;A )
morphismed’ination
; ilestparfois
not¶
e
d¶
ecrit
danslaproposition
B.1.8s’app
elle
InfHG .
etde l’ination,
on disp
osed’unoutil
suppl
¶
ementaire
en
En plusde larestriction
cohomologie
desgroupesflnis:lacorestriction
.
B.1.10.Th ¶
eoreme
Soient
G un groupe flnietH un sous-gr
oupe de G .
a) Ilexiste
une uniquefamil
led’homomorphismes
CorGH :H n (H ;A )¡! H n (G;A )
elsen A , commutantaux
d¶
eflniepour toutG -moduleA ettoutn ‚ 0, natur
suites
exactes
longues
asso
ci¶
eesaux suites
exactes
courtesde G -modules(cf.
prop.B.1.8b)),ettels
qu’endegr¶
e 0,on ait
X
CorGH (a)=
ga
g2 G=H
poura 2 H 0(H ;A )= A H .
b) On a
CorGH –ResHG = m
ou m = (G :H ).
B.1.C. Cup-produit
B.1.11.D ¶
eflnition
. | Soien
t A;B deuxG -modules.
Le produittensoriel
de A et
B estlegroupe ab¶
elien
A › B m unide l’action
g(a › b)= ga › gb:
152
APPENDICE
B. RAPPELS
DE COHOMOLOGIE
GALOISIENNE
B.1.12.Th ¶
eoreme . | Soient
A;B deuxG -modules.
Ilexiste
deshomomorphismes
bilin
¶
eair
es
H p (G;A )£ H q(G;B )¡! H
p+ q
(G;A › B ); p;q ‚ 0
(x;y)7¡
! x ¢y
natur
elsen A etB .Ilsontlespropri
¶
et¶
essuivantes
:
(i)Associativit
¶
e :siC estun troisi
eme G -module,
on a pour(x;y;z)2 H p (G;A )£
q
r
H (G;B )£ H (G;C )
(x ¢y)¢z = x ¢(y ¢z)
»
pourl’isomorphisme
(A › B )› C ! A › (B › C )donn¶
e par(a› b)› c 7!a› (b› c).
(ii)
Comm utativit
¶
e :pour(x;y)2 H p (G;A )£ H q(G;B ),on a
x ¢y = (¡ 1)pqy ¢x
»
pourl’isomorphisme
A › B ! B › A donn¶
e para › b 7!b› a.
(iii)
Contra
variance
en G : sif : H ! G estun homomorphismede groupes,
alors
f⁄ (x ¢y)= f⁄ x ¢f⁄ y
pour(x;y)2 H p (G;A )£ H q(G;B ).
(iv)Formulede projection
:soitH un sous-gr
oupe de G .A lors
CorGH (x ¢ResHG y)= (CorGH x)¢y
pour(x;y)2 H p (H ;A )£ H q(G;B ).
Le cup-pro
duitestd¶
eflnia partir
desapplications
bilin
¶
eaires
suiv
antessurles
0
m
n
cocha^‡nes:si(f;f )2 C (G;A )£ C (G;B ),
(B.1.1) (f ¢f0)(g1;:::;gm + n )= f(g1;:::;gm )› g1 :::gm f0(gm +1 ;:::;gm + n ):
B.2. Cohomologie des groupes proflnis
B.2.1.Proposition
. | Pourun groupe topolo
giqueG ,lesconditions
suivantes
sont
¶
equivalentes
:
(i)G estcompact,totalement
disc
ontinu.
(ii)
G estlimite
proje
ctive
de groupesflnis.
(iii)
G ests¶
epar¶
e ;toutsous-gr
oupe ouvert
de G estd’indic
e flni.
D¶
emonstr
ation
. | Voir[33].
B.2.2.D ¶
eflnition
. | On appelle
groupe proflnitoutgroupe topologique
v¶
eri
flant
lesconditions
¶
equiv
alen
tesde laproposition
B.2.1
.
¶
B.4.LE TH EOR
EME
90 DE HILBER T
153
B.2.3.D ¶
eflnition
. | SoitG un groupe proflni.Un G -moduletopolo
gique(discr
et)
estun groupe ab¶
elien
A m unid’uneaction
a gauche de G etv¶
eri
flant lacondition
[
A =
AH
H
ou H parcourt
lessous-group
esouverts(c’esta-dire
ferm¶
esd’indice
flni)de G .
B.2.4.D ¶
eflnition
. | Soien
t G un groupe proflnietA un G -moduletopologique.
On d¶
eflnitlesgroupesde cohomolo
giede G a valeurs
dansA parlaformule
n
H
H n (G;A )= ¡
lim
! H (G=H ;A )
ou H parcourt
lessous-group
esouvertsdistingu
¶
es de G , etou lesmorphismesde
transition
sont lesmorphismesd’ination.
tquelacohomologie
d’ungroupeproflnia lesm ^
emespropri
¶
et¶
es
On v¶
eri
flefacilemen
formelles
quecelle
d’ungroupe flni,cf.[195],[197].(Lacorestriction
estd¶
eflniedans
lecasd’unsous-group
e ferm¶
e d’indice
flni.)
B.3. Cohomologie galoisienne
SoitF un corpscomm utatif.
NotonsF„ une cl^
oturealg
¶
ebrique
de F etF s ‰ F„
„
l’ensem
bledes¶
el
¶
ementsde F s¶
eparables
surF :F s estun sous-corps
de F„,appel
¶
e
cl^
otur
e s¶
eparablede F .On montre(cf.parexemple[32])que legroupe G F desF de groupe proflni:en fait
automorphismes
de F s a unestructure
G F = ˆ¡
limGal(E =F)
ou E =F d¶
ecrit
lessous-extensions
galoisiennes
flnies
deF s=F.Le groupeG F estappel
¶
e
groupe deGalois
absolu
deF ;sacohomologie
estappel
¶
eecohomolo
giegaloisienne
(de
F ).
SiA estun G F -moduletopologique,
on notehabituellemen
t H ⁄ (F;A ) lesgroupes
⁄
de cohomologie
H (G F ;A ).
B.4. Le th¶
eoreme 90 de Hilbert
Le lemme suiv
ant estbienconnu :
B.4.1.Lemme . | Lesautomorphismes
d’uncorpscommutatif
E sontdesapplic
ations
lin
¶
eair
ementind¶
ependantes
surE .
P
D¶
emonstr
ation
. | Soitsipossible a’ ’ = 0 une relation
de d¶
ependance,
ou ’
d¶
ecrit
l’ensem
bledesautomorphismes
de E etlesa’ sontdes¶
el
¶
ementsde E ,presque
tousnulsmaisnon tousnuls.
On peutsupposerl’ensem
bledes’ tels
quea’ 6
= 0 de
APPENDICE
154
B. RAPPELS
DE COHOMOLOGIE
GALOISIENNE
= 0,et
cardinal
minimum. Ila au moins2 ¶
el
¶
ements:soien
t’ 1 6
= ’ 2 tels
quea’ 1 ;a’ 2 6
soit
x 2 E telque’ 1(x)6
= ’ 2(x).On a,pourtouty 2 E
X
a’ ’(y)= 0
d’ou
X
0=
X
a’ ’(xy)¡ ’ 1(x)
soit
X
a’ ’(y)=
a’ (’(x)¡ ’ 1(x))’(y)
X
a’ (’(x)¡ ’ 1(x))’ = 0:
Maiscette
relation
ded¶
ependanceestnontriviale
eta strictemen
tmoinsdetermes
quelapr¶
ec¶
edente,contradiction.
B.4.2.Th ¶
eoreme . | SoitE =F une extension
galoisienne
de groupe G .A lors
H 1(G;E ⁄ )= 0:
D¶
emonstr
ation
. | Soit(ag )g2 G un 1-cocyclede G a valeurs
dansE ⁄ . D’apr
es le
P
g
a
x
=
6
0.On
a,pourtout
h
2
G
lemme B.4.1
,ilexiste
x 2 E telquea =
g
g2 G
X
X
X
¡1
h
h
hg
ag g x = a¡h 1a
ah ahg hg x = a¡h 1
a=
ag x =
g2 G
g2 G
g2 G
cequimontreque(ag ) estun 1-cob
ord.
B.4.3.Corollair
e. | On a H 1(F;F s⁄ )= 0.
quadr
atique,
etsoit leg¶
en¶
erateur
B.4.4.Corollair
e. | SoitE =F une extension
de Gal(E =F). Soitx 2 E ⁄ telque N E =F (x) = 1. A lorsilexiste
y 2 E ⁄ telque
x = y=y.
D¶
emonstr
ation
. | L’hypothesesurx implique
que la1-cocha^‡ne1 7! 1,
un 1-cocycle.
La conclusion
r¶
esulte
alors
du th¶
eoreme B.4.2
.
7! x est
B.5. Group e de Brauer et cohomologiegaloisienne
B.5.A. Produitscrois
¶
es
B.5.1.D ¶
eflnition
. | SoitE =F une extension
galoisienne
de groupe G . Faisons
op¶
ererG a gauche surE ,etsoitc un 2-cocyclede G a valeurs
dansE ⁄ .Le produit
crois
¶
e asso
ci
¶
e a c estlaF -alg
ebreE £ c G suiv
ante:
{ Structur
e additive
:E £ c G estleE -espace
vectoriel
de baseG .
{ Structur
e multiplic
ative:lam ultiplication
estF -bilin
¶
eaire
;pour(x;y;g;h) 2
E 2 £ G 2,on a
(x ¢g)(y ¢h)= x g ycg;h ¢gh:
B.5.2.Th ¶
eoreme
B.5.GR OUPE
DE BRA UER
ET COHOMOLOGIE
GALOISIENNE
155
a) L’alg
ebr
e E £ c G de lad¶
eflnition
B.5.1estasso
ciative
etcentr
alesimple
surF ,
de degr¶
e n = [E :F ];E estsous-alg
ebr
e commutative
maximalede E £ c G .
b) TouteF -alg
ebr
e centr
alesimpleA contenant
E comme sous-c
orpscommutatif
maximalestde laformeE £ c G .
c) Soient
c;c0 deux2-cocycles
de G a valeurs
dansE ⁄ .A lorsE £ c G ’ E £ c0 G si
0
etseulement
sic etc sontcohomolo
gues(c’esta-dir
e c=c0 2 B 2(G;E ⁄ )).
D¶
emonstr
ation
. | Voir[30,ch.IV](1) ou [20].Nous ne donnerons
qu’uneesquisse
delad¶
emonstration
deb).D’apr
esleth¶
eoreme A.2.6
,pourtoutg 2 G ilexiste
ag 2 A ⁄
telque g x = ag xa¡g 1 pourtoutx 2 E .On a
g
(hx)=
gh
x
soit
ag ah xa¡h 1a¡g 1 = a¡gh1xagh :
Pourg;h 2 G ,l’
¶
el
¶
ement dg;h = a¡gh1ag ah de A comm utedonca tout¶
el
¶
ement de
E :comme E estmaximal,on a dg;h 2 E ⁄ .Ilen estdoncde m ^
eme de
cg;h = ag ah a¡gh1
puisque
¡1
cg;h = agh dg;hagh
=
gh
dg;h:
En ¶
ecriv
ant (ag ah )ak = ag (ah ak ),on v¶
de cocycle
pourc.
eri
fle larelation
»
Ilreste
a exhib
erun isomorphisme
E £ c G ! A .On envoieg surag eton prolonge
parL-lin
¶
earit
¶
e.L’application
lin
¶
eaire
f ainsi
d¶
eflnieestun homomorphismede F e,ilsu–t de voirque lesag sont lin
¶
eairemen
t
alg
ebres.
P ourvoirque f estbijectiv
P
ded¶
ependance,
ind¶
ependantssurE .Maissoit
sipossibleg2 G xg ag = 0 unerelation
aveclesxg 2 L nontousnuls;choisissons
leurnombreminimal.
L’ensem
bledesxg 6
= 0
h
k
a alors
au moinsdeux¶
el
¶
ementsxh ;xk .Soity 2 L telque y 6
= y.On a
X
X
X
h
h
0= y
xg ag ¡
xg ag y =
xg ( y ¡ g y)ag :
g2 G
g2 G
g2 G
P
eta strictemen
t moins
Maislarelationg2 G xg (h y ¡ g y)ag = 0 estnon triviale
de termes6
= 0 quelapr¶
ec¶
edente,contradiction
(onremarquera
laressem
blance
entre
ceraisonnemen
t etcelui
de lad¶
emonstration
du lemme B.4.1
).
(1)On
prendra garde au fait que nos notationsne sont pas les m ^
emes que celles
de Blanchard. Celui-ciconvien
t de faireop¶
erer G a droite sur E ⁄ ; la famillecg;h
qu’ilutiliseest alors difi¶
erente de celleque nous utilisons,
et ne v¶
erifle pas les relationsd’un 2-cocycle. Il est toutefoisfacilede passer d’une langage a l’autre,
cf.remarqueB.1.2(1).Nous faisons
op¶
ererG a gauche pour ne pas entreren con itavec les
notations
cohomologiques
standard.
156
APPENDICE
B. RAPPELS
DE COHOMOLOGIE
GALOISIENNE
On remarquera
quelaproposition
A.3.4sed¶
eduitfacilemen
t du th¶
eoreme B.5.2
.
B.5.3.Corollair
e. | Ilexiste
un isomorphisme
canonique
»
uE =F :H 2(G;E ⁄ ) ¡! B (E =F)
ou B (E =F):= Ker(B (F )! B (E )).
D¶
emonstr
ation
. | Le th¶
eoreme B.5.2fournit
l’application
u etmontrequ’elle
est
injectiv
e.Soitx 2 B (E =F).D’apr
esleth¶
eoreme A.2.5
, ilexiste
une alg
ebreA dans
laclasse
x telle
queE soit
sous-corps
comm utatif
maximaldeA ;cette
alg
ebreestun
produitcrois
¶
e de G parE ,toujours
parleth¶
eoreme B.5.2
.
Ilreste
a montrerqueuE =F estun homomorphisme:pourcelanousrenvoyonspar
exemplea [30,d¶
em.du th.IV.3]
.
p
B.5.4.Exemple. | E = F ( a) aveca 2= F ⁄ =F ⁄2.On a G = f1;gg.Notonsx 7! x
„
l’action
de g.Un 2-cocycle
de G a valeurs
dansE ⁄ estladonn¶
eede quatre¶
el
¶
ements
c1;1,c1;g,cg;1 etcg;g v¶
eri
flant (enappliquan
t larelation
de cocycle
resp
ectiv
ement a
(1;1;g),(g;1;1)et(g;g;g)) :
c1;1 = c1;g
cg;1 = c1;1
cg;gc1;g = cg;gcg;1:
Quittea diviser
parun cobord,on peutsupposerc1;1 = 1 (onditquele2-cocycle
c estnormalis
¶
e).On a alors
c1;g = cg;1 = 1 etcg;g = b 2 F ⁄ .Soitfi 2 E ⁄ telque
fi 2 = a,etsoit
fl = fi ¢g 2 A .On a alors
fifl = ¡ dg = ¡ flfi
fl2 = ¡ ab
e l’alg
ebrede quaternions
(a;¡ ab)= (a;b).
eton retrouv
B.5.5.Th ¶
eoreme . | Lesisomorphismes
uE =F du corollair
e B.5.3fournissent
un
isomorphisme
»
uF :H 2(F;F s⁄ ) ¡! B (F ):
D¶
emonstr
ation
. | VoirBlanc
hard[30,ch.IV].
B.6. Th ¶
eoriede Kummer
Soitn un entier
premiera lacaract
¶
eristique
de F .Comme F s ests¶
eparablemen
t
⁄
clos,
l’
¶
el
¶
evationa lapuissance
n estsurjectiv
e dansF s .On a doncune suite
exacte
de G F -modules
(B.6.1)
n
1 ¡! „n ¡! F s⁄ ¡¡¡¡! F s⁄ ¡! 1
¶
B.6.TH EORIE
DE KUMMER
157
ou „n estlegroupe desracines
n-i
emesde l’unit
¶
e de F s.Cettesuite
estappel
¶
eesuite
exacte
de Kummer .
En prenan
t lacohomologie
galoisienne
de (B.6.1)
,on obtien
t unesuite
exacte
(cf.
proposition
B.1.8b))
n
1 ¡! H 0(F;„n )¡! H 0(F;F s⁄ ) ¡! H 0(F;F s⁄ )
–
n
¡! H 1(F;„n )¡! H 1(F;F s⁄ ) ¡! H 1(F;F s⁄ )
n
¡! H 2(F;„n )¡! H 2(F;F s⁄ ) ¡! H 2(F;F s⁄ ):
Parlath¶
eorie
deGalois,
on a H 0(F;F s⁄ )= F ⁄ ;parlecorollaire
B.4.3
,H 1(F;F s⁄ )=
0,etparleth¶
eoreme B.5.5
,H 2(F;F s⁄ )= B (F ).On en d¶
eduit:
B.6.1.Th ¶
eoreme (th¶
eoriede Kummer) . | La suite
exacte
ci-dessus
fournit
des
isomorphismes
»
F ⁄ =F ⁄n ¡! H 1(F;„n )
»
H 2(F;„n ) ¡!
n B (F ):
On noteclassiquemen
t
a 7¡
! (a)
⁄
⁄n
1
l’homomorphisme
F =F ! H (F;„n ) d¶
ecrit
ci-dessus.
Pourn = 2,leG F -module„2 esttrivial
ets’iden
ti
fle canoniquemen
t a Z=2.On a
doncdesisomorphismes
»
F ⁄ =F ⁄2 ¡! H 1(F;Z=2)
»
H 2(F;Z=2)¡!
2 B (F ):
⁄
En particulier,
sia;b 2 F ,laclasse
(a;b) de l’alg
ebrede quaternions
d¶
etermin
¶
ee
2
para etb estun ¶
el
¶
ement de H (F;Z=2).En fait
:
B.6.2.Proposition
. | On a (a;b)= (a)¢(b).
D¶
emonstr
ation
. | D’apr
eslaformule(B.1.1)
,lecup-pro
duit(a)¢(b) estrepr
¶
esen
t¶
e
parle2-cocycle
(g;h)7¡
! (a)(g)¢(b)(h)
doncsonimagedansH
2
(F;F s⁄ ) estrepr
¶
esen
t¶
eeparle2-cocycle
bg;h = (¡ 1)(a)(g)¢(b)(h):
Par ailleurs,
l’exemple
B.5.4montreque laclasse
de (a;b) dansH 2(F;F s⁄ ) est
repr
¶
esen
t¶
eeparle2-cocycle
(
1
si(a)(g)= 0 ou (a)(h)= 0
cg;h =
¡ ab si(a)(g)= (a)(h)= 1.
APPENDICE
158
B. RAPPELS
DE COHOMOLOGIE
GALOISIENNE
Ilsu–t doncde montrerquebg;h etcg;h sont cohomologues.
Soien
t fi;fl 2 F s⁄ tels
¡1
2
2
¡1
g
quefi = a;fl = b.On v¶
eri
fle quebg;hcg;h = f(gh) f(g) f(h) avec
8
>
si(a)(g)= 0
>
<1
f(g)=
si(a)(g)= 1;(b)(g)= 0
fifl
>
>
: ¡ fifl
si(a)(g)= (b)(g)= 1.
B.6.3.Lemme . | SoitE =F une extension
quadr
atique,
et soita 2 E ⁄ telque
⁄
⁄
CorE =F (a)= 0.A lorsilexiste
(b;c)2 F £ E telquea = bc=c
„,ou c
„ estleconjugu
¶
e
de c sousl’action
de Gal(E =F).
D¶
emonstr
ation
. | Par leth¶
eoreme B.6.1
, on a N E =F a = b¡ 2, ou b 2 F ⁄ , d’ou
N E =F (ab)= 1.Ilsu– t d’appliquer
lecorollaire
B.4.4
.
B.7. La longuesuiteexacted’une extensionquadratique
o)flnietsoit
H un sous-gr
oupe (ouvert)
B.7.1.Th ¶
eoreme . | SoitG un groupe (pr
1
de G , d’indic
e 2. Notonsfi 2 H (G;Z=2) l’homomorphisme
de noyauH . A lorsla
suite
Res
Cor
¢fi
(B.7.1)0 ¡! H 0(G;Z=2 ¡! H 0(H ;Z=2)¡! H 0(G;Z=2)¡! H 1(G;Z=2)¡! :::
Res
Cor
¢fi
¢¢¢¡! H n (G;Z=2)¡! H n (H ;Z=2)¡! H n (G;Z=2)¡! H
n +1
(G;Z=2)¡! :::
estexacte.
D¶
emonstr
ation
. | Ce th¶
eoreme estclassique
;noussuivrons
lad¶
emonstration
d’AraG
son [9].SoitA = IndH Z=2 : c’est
leG -moduledesapplications
(con
tin
ues)fl :
G ! Z=2 telles
que fl(hg) = fl(g) pour h 2 H . L’action
de G surA estdonn¶
ee
par(gfl)(h)= gfl(hg¡ 1)= fl(hg¡ 1).On a alors
[197,ch.I,2.5]
H n (G;A )’ H n (H ;Z=2):
D’autre
part,
on a unesuite
exacte
courte
i
…
0 ¡! Z=2 ¡¡¡¡! A ¡¡¡¡! Z=2 ¡! 0
aveci(1)= 1 et…(fl)= 1 sifl n’est
pasconstan
t,…(fl)= 0 sifl estconstan
t.On obtien
t
alors
une suite
exactedu type (B.7.1)
,aveci⁄ = Res,…⁄ = Cor (ibid.
),dont ilreste
a iden
ti
flerleconnectan
t @.D ¶
eflnissons
unesection
(non¶
equiv
arian
te!)s :Z=2 ! A
de … pars(0)= 0,s(1)= fi.On v¶
eri
fle imm ¶
ediatemen
t que
gs(")¡ s(")= i(fi(g)")
pourtout" 2 Z=2.
B.8.DIMENSION
COHOMOLOGIQUE
159
Soitmaintenan
t f : G n ! Z=2 un n-cocycle(con
tin
u).On a d(s – f)(G n +1 ) ‰
n
+1
i(Z=2),et@f„ estrepr
¶
esen
t¶
e pard(s – f):G
! Z=2,ou f„ estlaclasse
de f dans
H n (G;Z=2).Comme s estadditif
etquedf = 0,on a
d(s– f)(g1;:::;gn +1 )= g1s(f(g2;:::;gn +1 ))¡ s(f(g2;:::;gn +1 ))
= i(fi(g1)f(g2;:::;gn +1 )):
Mais,d’apr
eslaformule(B.1.1)
,(g1;:::;gn +1 )7!fi(g1)f(g2;:::;gn +1 ) repr
¶
esen
te
lecup-pro
duitfi ¢f.
B.8. Dimension cohomologique
Soitp un nombrepremier.
On appelle
p-dimension
cohomolo
giquede F lenombre
cdp (F )= supfn ‚ 0 j9A;H n (F;A )6
= 0g • + 1
ou A d¶
esigne
un G F -moduletopologique
detorsion
p-primaire.
Ilrevien
tau m ^
eme de
d’exp
osant p.
demanderqueA soit
On pose¶
egalemen
t
cd(F )= supfcdp (F )jp premier
g:
APPENDICE
COURBES
C
¶
ALG EBRIQUES
C.1. V aluations
discr
etes
C.1.A. G ¶
en¶
eralit
¶
es
. | Un anneaucomm utatif
unitaire
A estun anneau devaluation
C.1.1.D ¶
eflnition
discr
etes’il
v¶
eri
fle lesconditions
¶
equiv
alen
tessuiv
antes:
(i)A estlocaletprincipal.
(ii)
A estlocaletnoeth¶
erien
etsonid¶
ealmaximalestengendr
¶
e parun ¶
el
¶
ement
non nilp
oten
t.
(iii)
A estint¶
egralemen
t closetposs
edeun id¶
ealpremier
non nuletun seul.
Pourl’
¶
equiv
alence
de cespropri
¶
et¶
es,voirparexemple[195,ch.I,xx1,2].
C.1.2.D ¶
eflnition
. | SoitA un anneaude valuation
discr
ete,d’id
¶
ealmaximalm .
Un g¶
en¶
erateur
dem s’app
elle
uneuniformisante
deA .Le corpsA=m s’app
elle
lecorps
r¶
esiduel
de A .
C.1.3.Lemme . | SoitA un anneau princip
al,etsoitp un id¶
ealmaximalde A .
A lorslelocalis
¶
e A p estun anneau de valuation
discr
ete.
D¶
emonstr
ation
. | C’est¶
eviden
t.
C.1.4.Lemme . | SoitA un anneau de valuation
discr
ete,d’id
¶
ealmaximalm et
de corpsdesfr
actions
K .Pour a 2 A ,notonsv(a)= supfn ja 2 m n g 2 N [ f+ 1 g.
Pour a;b 2 A ,on a alors
a) v(a + b)‚ inf(v(a);v(b)).
b) v(ab)= v(a)+ v(b).
De plus,
c) v¡ 1(+1 )= f0g.
APPENDICE
162
¶
ALG EBRIQUES
C. COURBES
La fonction
v estlavaluation
de A .Elles’
¶
etendde maniere uniqueen une fonction
v :K ! Z [ f+ 1 g v¶
eri
flanta),b)etc).
Soit un nombre r¶
eel> 1;posonsjaj= ¡ v(a).A lorsjjd¶
eflnitunevaleur
absolue
surA etK .
D¶
emonstr
ation
. | Exercice.
C.1.5.Lemme . | SoitA un anneau de valuation
discr
ete,de corpsdesfr
actions
⁄
K ; soit… une uniformisante
de A . A lorstout¶
el
¶
ementx 2 K s’
¶
ecrit
de maniere
uniquex = …n u,ou n 2 Z etu 2 A ⁄ .
D¶
emonstr
ation
. | Exercice
(ona n = v(x)).
C.1.6.Lemme . | SoitA un anneau de valuation
discr
ete,de corpsr¶
esiduel
k.
A lorsl’homomorphisme
A ⁄ ! k⁄ estsurje
ctif.
D¶
emonstr
ation
. | C’estplusg¶
en¶
eralemen
t vraipourtoutanneaulocal:on a A ⁄ =
A ¡ m ,ou m estl’id
¶
ealmaximalde A .
C.1.7.Proposition
. | SoientA un anneau de valuation
discr
ete,K son corps
desfr
actions,
L une extension
flniede K etB lafermetur
e int
¶
egr
alede A dansL.
Supposons
(i)soitquel’extension
L=K soits¶
eparable
;
(ii)
soitqueA soitune alg
ebr
e de typ
e flnisurun corps.
A lors:
a) B estun A -modulelibr
e de rangn = [L :K ].
b) L’anne
au B estprincip
alsemi-lo
cal(i.e.
n’aqu’unnombre flnid’id
¶
eauxmaximaux).
D¶
emonstr
ation
. | Voirparexemple[195,ch.I,x4,prop.8 et9]danslecas(i)et
[34,ch.V] danslecas(ii).
C.1.8.D ¶
eflnition
. | Dans lasituation
de laproposition
C.1.7
, soitp un id¶
eal
maximalde B . L’indic
e de ramiflcationde B en p estep = vp (…), ou … estune
uniformisan
tede A .L’extension
B =A (ouL=K ) estnon ramifl¶
eeen p siep = 1.On
ditqueB =A estnon ramifl¶
ee siB =A estnon ramifl¶
eeen touslesid¶
eauxmaximaux
de B .
C.1.9.Proposition
. | Dans lasituation
de laproposition
C.1.7
, supposonsB =A
non ramifl¶
ee.Soitk lecorpsr¶
esiduel
de A .A lorson a
Y
k›A B ’
kp
p
ou p d¶
ecrit
lesid¶
eauxmaximauxde B etkp estlecorpsr¶
esiduel
en p.En particulier,
(i)ledegr
¶
e r¶
esiduel
fp = [kp :k]estflni;
C.1.V ALUA TIONS
(ii)
on a
P
p
DISCR ETES
163
fp = n = [L :K ].
En g¶
en¶
eral,on a
X
ep fp = n:
p
D¶
emonstr
ation
. | Voir[195,x4].
C.1.B. Anneaux de valuationdiscr
ete complets.| SoitA un anneaude
valuation
dis
crete,d’id
¶
ealmaximalm etde corpsdesfractions
K .Lespuissances
de
m formen
t une basede voisinages
de 0 pourune topologie
surA compatible
avecsa
structure
d’anneau.
Sijjestunevaleur
absolue
asso
ci
¶
eea lavaluation
de A ,on voit
facilemen
t que
(a;b)7¡
! ja ¡ bj
d¶
eflnitune distance
surA etK , etque cettedistance
d¶
eflnitlatopologie
d¶
ecrite
ci-dessus.
. | Un anneaudevaluation
discr
eteestcomplets’il
estcomplet
C.1.10.D ¶
eflnition
pourladistance
d¶
ecrite
ci-dessus.
SiA estun anneaudevaluation
discr
etequelconque,
soncompl¶
et¶
e A^ estencore
un
anneaude valuation
discr
ete:on a
A^ = ˆ¡
limA=m n
cf.[195,x1].En particulier,
A etA^ ont m ^
eme corpsr¶
esiduel.
C.1.11.Proposition
. | Dans laproposition
C.1.7
, soit
A^ lecompl¶
et¶
e de A .A lors
Q ^
B
,
ou
p
d¶
e
crit
l
es
id
¶
e
auxmaximauxde
B
.
En
particulier,
siA est
A^ › A B ’
p p
B estun anneau de valuation
discr
etecomplet.
complet,
D¶
emonstr
ation
. | Voir[195,prop.4].
C.1.12.Lemme . | SupposonsA completetsoncorpsr¶
esiduel
k decaract
¶
eristique
6 2.A lorsl’homomorphisme
=
A ⁄ =A ⁄2 ! k⁄ =k⁄2 estun isomorphisme
;on a une suite
exacte
1 ¡! k⁄ =k⁄2 ¡! K ⁄ =K ⁄2 ¡! Z=2 ¡! 0:
D¶
emonstr
ation
. | Pour lapremiereassertion,
ilsu–t d’apr
es lelemme C.1.6de
montrerl’injectivit
¶
e.Celle-ci
r¶
esulte
du lemme de Hensel[195].La suite
exactes’en
d¶
eduit.
164
APPENDICE
C. COURBES
¶
ALG EBRIQUES
C.1.C. Cohomologie, anneau de Witt et K -th¶
eoriede Milnor.|
men»
consparlaK -th
¶
eorie
de Milnor:
Com-
C.1.13.Lemme . | Toutsymbolede Steinb
erg surK s’
¶
ecrit
soitfu1;:::;un g,soit
fu1;:::;un ¡ 1;…un g,ou lesui sontdesunit
¶
esde A et… estune uniformisante
flx¶
ee.
D¶
emonstr
ation
. | Le casn = 1 esttrivial.
Le casn = 2 r¶
esulte
du calcul
suiv
ant
⁄
(pouru;v 2 A ) :
f…u;…vg = f¡…v;…vg + f¡u=v;…vg = f¡u=v;…vg:
C.1.14.Th ¶
eoreme (Milnor[162,x2], Serre,Bass-Tate [29,x4])
SoitA un anneau de valuation
discr
ete,de corpsdesfr
actions
K et de corps
r¶
esiduel
k.Posons
K ⁄M (k;ƒ) = K ⁄M (k)hti=(t2 ¡ f¡1gt)
ou t estun g¶
en¶
erateurpolynomial
de degr¶
e 1 (tx = (¡ 1)jxjxt pourx 2 K ⁄M (k) hoM
de A .Il
mogene)etnotonsƒ l’image
de t dansK ⁄ (k;ƒ).Soit… une uniformisante
existe
un uniquehomomorphismed’anne
aux
S… :K ⁄M (K )¡! K ⁄M (k;ƒ)
telque S… (f…m ug) = f„
ug + m ƒ . Cet homomorphismeestsurje
ctif,
de noyau
M
f1 + …A gK ⁄ (K ).Sil’on¶
ecrit
S… (x)= s… (x)+ ƒ @(x)
avec s… (x);@(x)2 K ⁄M (k),s… estun homomorphismed’anne
auxgradu¶
eset@ estun
homomorphismede groupesgradu¶
esde degr¶
e ¡ 1, quine d¶
epend pas du choixde ….
On a
@(x)= s… (f…g ¢x)
pourtoutx 2 K ⁄M (K );l’image
par@ d’unsymbolededegr¶
e n estun symbolededegr¶
e
n ¡ 1.
SiA estcompletetcark 6
= 2,S… induit
un isomorphisme
»
S„… :K ⁄M (K )=2 ¡! K ⁄M (k;ƒ)=2:
D¶
emonstr
ation
. | Pourvoirque S… existe,
ilsu–t de v¶
eri
flerque S… (fxg)S… (f1 ¡
on v¶
eri
fle d’abordqueS… (fxg)S… (f¡xg)= 0.En
xg)= 0 dansK ⁄M (k;ƒ).Pourcela,
efiet,six = …m u,avecu 2 A ⁄ ,on a :
S… (fxg)S… (f¡xg)= (f„
ug + m ƒ)(f¡ u
„g + m ƒ)
= f„
u;¡ u
„g + m f¡1gƒ + m 2ƒ 2 = (m + m 2)f¡1gƒ = 0:
Cecipermetde v¶
eri
flerS… (fxg)S… (f1 ¡ xg) = 0 seulemen
t pour v(x) ‚ 0 (en
rempla
cant ¶
»
eventuellemen
t x parx¡ 1).Siv(x) = v(1¡ x) = 0,c’est
imm ¶
ediat.
Si
C.1.V ALUA TIONS
DISCR ETES
165
estencorevraie.
Enfln,si
v(x) > 0,on a v(1¡ x) = 0 et1 ¡ x = 0,donclarelation
v(1¡ x)> 0,on serameneau caspr¶
ec¶
edent en ¶
echangean
t x et1 ¡ x.
Ilestclair
que S… estsurjectif.
Pourvoirque @ ne d¶
epend pasdu choixde …,il
su–t de lecalculer
surun symbole.
En utilisan
t lelemme C.1.13
,ilsu–t de calculer
S… fu1;:::;un g= f„
u1;:::;„
un g; donc@fu1;:::;un g = 0:
S… fu1;:::;un ¡ 1;…un g= f„
u1;:::;„
un ¡ 1g(fun g+ ƒ); donc@fu1;:::;un g= f„
u1;:::;„
un ¡ 1g:
Ce calcul
montre¶
egalemen
t quel’image
d’unsymbolepar@ estun symbole,
etla
formule@(x)= s… (f…g ¢x) s’end¶
eduitimm ¶
ediatemen
t.
Ilestclair
queJ := f1 + …A gK ⁄M (K ) ‰ KerS… .Pourvoirl’inclusion
inverse,
on
va d¶
eflnirunesection
s :K ⁄M (k;ƒ) ! K ⁄M (K )=J del’homomorphisme
induit
parS… .
Posons(cf.lemme C.1.6
)
s(f„
ug)= fug(u 2 A ⁄ );s(ƒ) = f…g:
Pourvoirque s estbiend¶
eflni,ilsu–t de v¶
eri
flerque s(f„
ug) ne d¶
epend pasdu
choixde u etques(f„
ug)s(f1 ¡ u
„g)= 0 pour„
u6
= 1,cequiestimm ¶
ediat.
Enfln,laderni
ereassertion
r¶
esulte
imm ¶
ediatemen
t du calcul
de KerS… .
Passons
maintenan
t a l’anneau
de Witt:
C.1.15.Th ¶
eoreme (Springer[201]). | SoitA un anneau de valuation
discr
ete,
K etdecorpsr¶
esiduel
k.Supposonscark 6
= 2 (donccarK 6
= 2).
decorpsdesfr
actions
a) Ilexiste
un uniquehomomorphismede groupes
@1 :W (K )¡! W (k)
ui siu 2 A ⁄ et@1(hai) = 0 siv(a) estimpair
telque@1(hui) = h„
e,ou u
„ est
l’image
r¶
esiduel
lede u.
b) Soit… une uniformisante
de A .Posons
@…2 (q)= @1(…q)
pourtoutq 2 W (K ).A lors
(i)Ker@…2 estun sous-anne
au de W (K ),ind¶
ependantdu choixde ….
(ii)
Pour toutn > 0,on a @…2 (P n (K ))= GP n ¡ 1(k) et@…2 (In (K ))= In ¡ 1(k).
c) L’homomorphisme
@1 + @…2 :W (K ) ! W (k) estun homomorphismesurje
ctif
d’anne
aux.
d) Posons
W (k;ƒ) = W (k)[
t]=(t2 ¡ h1;1it):
etnotonsƒ l’image
de t dansW (k;ƒ).A lorsl’homomorphisme
@… :W (K )¡! W (k;ƒ)
q 7¡
! @1q + @…2 q ¡ ƒ @…2 q
estun homomorphismesurje
ctif
d’anne
aux.
APPENDICE
166
C. COURBES
¶
ALG EBRIQUES
e) SiA estcomplet,
@… estun isomorphisme.
D¶
emonstr
ation
. | L’unicit
¶
e estclaire.
Pourvoirl’existence,
ilsu–t de v¶
eri
flerque
laregleresp
ectelesrelations
d¶
eflnissan
t W (K ) (prop
osition
1.3.5
).Soien
t a;b 2 K ⁄
tels
quea + b 6
= 0 :ilfautmontrerque
(C.1.1)
@1hai+ @1hbi= @1ha + bi+ @1hab(a + b)i2 W (k):
On peutsupposerv(a) • v(b);de plus,
quitte
a m ultiplier
a etb parun m ^
eme
carr
¶
e,on peutsupposerv(a)= 0 ou 1.Distinguons
plusieurs
cas:
1)v(a)= v(b)= v(a + b)= 0.(C.1.1)
estclair.
2)v(a)= v(b)= 0,v(a+ b)impair.
Alorsh„
bi= ¡ h„
aiet@1ha+ bi= @1hab(a + b)i=
0,d’ou (C.1.1)
.
¶
3) v(a) = v(b) = 0, v(a + b) pair> 0. Ecriv
onsa + b = …2n u avec u 2 A ⁄ (…
„
estune uniformisan
tede A ).On a hbi = h¡ a
„i; d’autre
part,@1ha + bi = h„
ui et
1
„
@ hab(a + b)i= h„
ab„
ui= ¡ h„
ui,donc(C.1.1)
estencorevrai.
4) v(a) = 0, v(b) impair.
Alorsv(a + b) = 0. On a @1hai = h„
ai, @1hbi = 0,
1
@ ha + bi= h„
ai et@hab(a + b)i= 0.(C.1.1)
estv¶
eri
fl¶
e.
¶
5) v(a) = 0, v(b) pair> 0. Ecriv
ons b = …2n u, u 2 A ⁄ . Alors@1hai = h„
ai,
@1hbi= h„
ui,@1ha + bi= h„
ai,@1hab(a + b)i= h„
ui,d’ou de nouveau(C.1.1)
.
6)v(a)= v(b)= 1,v(a + b) impair.
Touslestermesde (C.1.1)
sont nuls.
7)v(a) = v(b) = 1,v(a + b) pair.
On peut¶
ecrire
a = …u,b = …v avecu;v 2 A ⁄
etu + v = …m w avecm impairetw 2 A ⁄ .On a @1hai= @1hbi= 0,@1ha + bi= h„
w i,
@1hab(a + b)i= h„
uv
„w„i= ¡ h„
w i,donc(C.1.1)
estencorev¶
eri
fl¶
e.
8)v(a) = 1,v(b) impair> 1.Alorsv(a + b) = 1;touslestermesde (C.1.1)
sont
nuls.
¶
9)v(a)= 1,v(b)pair.
Ecriv
onsb = …2n u avecu 2 A ⁄ .Alors@1hai= 0,@1hbi= h„
ui,
1
1
@ ha + bi= 0 et@ hab(a + b)i= @1hb(1+ b=a)i= h„
ui,d’ou encore(C.1.1)
.
Soitq uneformequadratique
surK .On peut¶
ecrire
q = ha1;:::;ari? …hb1;:::;bsi
ou a1;:::;ar;b1;:::;bs 2 A ⁄ .Ilestclair
que
@1q = h„
a1;:::;„
ari
2
@ q = h„
b1;:::;„
bsi
1
@ q+
…
@…2 q =
h„
a1;:::;„
ar;„
b1;:::;„
bsi
„
„
@… q = h„
a1;:::;„
ar;b1;:::;bsi¡ ƒ hb1;:::;bsi:
On en d¶
eduitque Ker@…2 estlesous-group
e de W (K ) engendr
¶
e parleshui pour
⁄
u 2 A ;en particulier,
c’est
un sous-anneau
de W (K ),ind¶
ependant du choixde ….
On voitaussitoutde suite
que @1 + @…2 estun homomorphismed’anneaux,
quiest
¶
evidemmen
t surjectif.
Le fait
que@… soit
un homomorphismed’anneaux
sev¶
eri
fle sur
lesg¶
en¶
erateurs
hai de W (F );ilest¶
egalemen
t clair
qu’il
estsurjectif.
Pourmontrer
C.2.EXTENSIONS
RA TIONNELLES
167
b) (ii),
on d¶
eduitdu lemme C.1.13quetouten-formede Pflster’ surK s’
¶
ecrit
soit
hhu1;:::;un ii,soit
hhu1;:::;un ¡ 1;…un ii,ou lesui sontdesunit
¶
esdeA .Danslepremier
cas,on obtien
t @…2 ’ = 0;dansledeuxi
eme,on trouv
e
@…2 ’ = @…2 (hhu1;:::;un ¡ 1ii)¡ @…2 (…un hhu1;:::;un ¡ 1ii)= ¡ u
„n hh„
u1;:::;„
un ¡ 1ii:
Le noyau de@… contien
tvisiblemen
tl’id
¶
ealdeW (F )engendr
¶
e parlesh1+ ai¡ h1i,
a 2 m .On voitqu’il
ya¶
egalit
¶
e comme danslad¶
emonstration
du th¶
eoreme C.1.14
.
La bijectivit
¶
e de @… quandA estcompleten r¶
esulte.
Passons
enfln a lacohomologie
:
C.1.16.Th ¶
eoreme . | SoitA un anneau de valuation
discr
ete,de corpsdesfr
actions
K etde corpsr¶
esiduel
k.Supposonscark 6
= 2.
a) Ilexiste
pourtoutn > 0 un homomorphisme
@ :H n K ¡! H
n¡ 1
k
telque
(i)Pour n = 1,@(a)· v(a) (mod 2),ou a 2 K ⁄ .
(ii)
Pour n > 1,@(x ¢(a))= (@x)(a
„),ou x 2 H
n¡ 1
K eta 2 A ⁄ .
b) SiA estcomplet,
ilexiste
pourtoutn > 0 une suite
exacte
@
0 ¡! H n k ¡! H n K ¡! H
n¡ 1
k ¡! 0:
D¶
emonstr
ation
. | Voir[9,p.475]
,[197,p.121]
.
C.2. Extensionsrationnelles
SoitF un corpscomm utatif.
L’anneaude polyn
omesF [t]estprincipal
^
:pourtout
polyn
ome irr
^
¶
eductible
unitaire
P ,l’anneau
F [t](P ) estun anneaudevaluation
discr
ete
de corpsdesfractions
F (t).NotonsI l’ensem
blede cespolyn
omes,etsoitpourtout
^
P 2 I F (P ) = F [t]=(P ) lecorpsr¶
esiduel
de F [t](P ).D’apr
eslesth¶
eoremes C.1.14
,
C.1.15etC.1.16
,on disp
osed’homomorphismes
r¶
esidus
@P :K nM (F (t))¡! K nM¡ 1(F (P ))
@P2 :W (F (t))¡! W (F (P ))
@P :H n F (t)¡! H
n¡ 1
F (P ):
C.2.1.Th ¶
eoreme (Tate-Milnor[162,th.2.3]
). | PourtoutcorpsF ettoutn >
0,lasuite
L
(@P )
M
0 ¡! K nM (F )¡! K nM (F (t)) ¡¡¡¡!
P 2 I K n ¡ 1 F (P )¡! 0
estexacte.
D¶
emonstr
ation
. | Voir[162],[29,th.5.1]
.
168
APPENDICE
C. COURBES
¶
ALG EBRIQUES
C’estleth¶
eoreme C.2.1quipermetde d¶
eflnirletransfert
en K -th
¶
eoriede Milnor(cf.proposition
9.2.1
).Pourcela,
on a besoind’unanneaude valuation
discr
ete
suppl
¶
ementaire
: c’est
l’ensem
bleA desfractions
rationnelles
P =Q 2 F (t) telles
que
degP • degQ .L’anneauA estlelocalis
¶
e de F [1=t]parrapporta l’id
¶
ealmaximal
(1=t).Son corpsr¶
esiduel
F (1 ) n’est
autrequeF .
Notons1 lavaluation
discr
etecorresp
ondant a A .D’apr
esleth¶
eoreme C.2.1
,il
existe
un uniquehomomorphismeN de degr
¶
e 0 faisan
t comm uterlediagramme
L
(@P )
M
K ⁄M (F (t)) ¡¡¡¡!
P 2 I K ⁄ (F (P ))
?
?
?
?
¡ @1 y
N y
Id
K ⁄M (F ) ˆ¡¡¡¡
K ⁄M (F ):
(cf.[29,p.378]
).
Cethomomorphismesed¶
ecomposeen deshomomorphismes
N P :K nM (F (P ))¡! K nM (F );
sil’ond¶
eflnitN 1 comme ¶
etan
t l’iden
tit
¶
e,on obtien
tlasuite
exacte
suiv
ante,varian
te
de celle
du th¶
eoreme C.2.1:
M
@
N
K nM¡ 1F (P ) ¡!P K nM¡ 1(F )¡! 0:
(C.2.1)0 ¡! K nM (F )¡! K nM (F (t))¡!P
P 2 I[f1g
On v¶
eri
fle que,pourn = 0,N P estlam ultiplication
par[F (P ) :F ]etque,pour
¶ t donn¶
n = 1, N P s’iden
ti
fle a lanorme N F (P )=F . Etan
e une extension
flnieE =F,
on peutlad¶
ecomposeren une tourd’extensions
monogenesE i+1 =E i,avecE 0 = F ,
E r = E et,pourtouti,E i+1 = E i(P i) ou P i estun polyn
ome irr
^
¶
eductible
unitaire
surE i.On souhaite
alors
poser
N = N P 0 – ¢¢¢– N P r ¡ 1 :
Le probl
eme estde montrerquecette
d¶
eflnition
ne d¶
ependnide latourchoisie,
ni
du choixdespolyn
omesP i.Ceciestd¶
^
emontr¶
e partiellemen
tparBass-T
ate[29,(5.9)]
etcompl¶
et¶
e parKato [117,x1.7]
.
C.2.2.Th ¶
eoreme . | Pour toutcorpsF de caract
¶
eristique
difi¶
erentede 2 ettout
n > 0,lasuite
(@P )
0 ¡! H n F ¡! H n F (t) ¡¡¡¡!
L
P 2 I[ f1 g H
n¡ 1
(CorF
(P )=F
)
F (P ) ¡¡¡¡¡¡¡¡! H
n¡ 1
F ¡! 0
estexacte.
En particulier,
H n F ¡! H n F (t) estinje
ctif.
D¶
emonstr
ation
. | Voir[9,Satz4.17]
.
C.2.3.Corollair
e. | SoitK =F uneextension
transc
endante
pure.A lors,
pourtout
n ‚ 0,l’applic
ationH n F ! H n K estinje
ctive.
¶
C.3.COMP A TIBILIT ES
169
D¶
emonstr
ation
. | On peutsupposerK = F (t);alors
celar¶
esulte
du th¶
eoreme C.2.2
.
On a aussi
:
C.2.4.Th ¶
eoreme (Milnor). | PourtoutcorpsF de caract
¶
eristique
difi¶
erentede
2 ettoutn > 0,lasuite
(@ 2 )
P
0 ¡! W (F )¡! W (F (t)) ¡¡¡¡!
L
P 2I W
(F (P ))¡! 0
estexacte.
D¶
emonstr
ation
. | Voir[146,ch.IX,th.3.1]
.
C.3. Compatibilit
¶
es
C.3.1.Th ¶
eoreme . | SoitE =F une extension
flnie,ou F estun corpsde caract
¶
eristique
difi¶
erentede 2.A lors,
pourtoutn > 0,lediagr
amme
bn
K nM (E )=2 ¡¡¡¡! H n E
?
?
?
?
N E =F y
Cor E =F y
bn
K nM (F )=2 ¡¡¡¡! H n F
estcommutatif.
D¶
emonstr
ation
. | Voir[117,lemme 3].
discr
ete,
decorpsdesfr
actions
C.3.2.Th ¶
eoreme . | SoitA un anneau devaluation
K etde corpsr¶
esiduel
k.Supposonscark 6
= 2.A lorslediagr
amme
bn
K nM (K )=2 ¡¡¡¡!
?
?
@y
bn ¡
H nK
?
?
@y
1
K nM¡ 1(k)=2 ¡¡¡¡! H
n¡ 1
k
estcommutatif.
D¶
emonstr
ation
. | Voir[117,lemme 1].
C.3.3.Th ¶
eoreme . | Dans lasituation
du th¶
eoreme C.3.2
,soit
L=K uneextension
non ramifl¶
eeetsoitB lafermetur
e int
¶
egr
alede A dansL.Soitm l’id
¶
ealmaximalde
A , etsoitS l’ensemble
desid¶
eauxmaximauxde B . A lorslesdiagr
ammes suivants
APPENDICE
170
¶
ALG EBRIQUES
C. COURBES
sontcommutatifs
(p 2 S) :
@
m
K nM (K ) ¡¡¡¡!
K nM¡ 1(k)
@
m
¡¡¡¡!
N
L=K
(N
@
H
n¡ 1
k
H n L ¡¡¡¡!
?
?
?
?
y
k (p )=k (m ) )
m
K nM (K ) ¡¡¡¡!
Cor y
K nM¡ 1(kp )
p2 S
?
?
y
(@p )
@p
H n (L) ¡¡¡¡! H n ¡ 1kp
x
x
?
?
ep Res?
Res?
H nK
M
(@p )
K nM (L) ¡¡¡¡!
@p
K nM (L) ¡¡¡¡! K nM¡ 1(kp )
x
x
?
?
ep Res?
Res?
K nM¡ 1(k)
M
H
p2 S
n¡ 1
kp
?
?
(Cork (p )=k (m ))y
@
m
H n K ¡¡¡¡!
H n ¡ 1k:
D¶
emonstr
ation
. | La comm utativit
¶
e du premierdiagrammesev¶
eri
fle surlessymboles.
Pourledeuxi
eme,voir[117,x1.7]
.Pourles¶
enonc
¶
escohomologiques,
voir[9,
Sãtze4.13et4.14]
.
C.4. Courb es alg¶
ebriques
Danscette
section,
noussupposonslelecteur
familier
aveclelangage
delag¶
eom¶
etrie
alg
¶
ebrique
etavec desrudimen
tsde celle-ci.
Ilpeutlesacqu¶
erirparexempledans
Hartshorne
[65].
. | SoitF un corpscomm utatif.
Une courb
e alg
¶
ebrique
surF est
C.4.1.D ¶
eflnition
uneF -vari
¶
et¶
e alg
¶
ebrique
de dimension
1 (cf.[65,ch.I]
).
S
SoitX une courb
e alg
¶
ebrique
surF .On a X = i2 I U i,ou (U i) estune famille
flnied’ouv
ertsa–nes.On a doncU i = SpecR i,ou R i estuneF -alg
ebrede type flni,
de dimension
de Krull1.
Six estun point ferm¶
e de x,lecorpsr¶
esiduel
de X en x estuneextension
flniede
F :ilestnot¶
e F (x).
. | SoitX une courb
e alg
¶
ebrique
surF . Lesconditions
suivC.4.2.Proposition
antessont¶
equivalentes
:
(i)X estnormale.
(ii)
Pourtoutpointferm¶
e x 2 X ,l’anne
au localO X ;x estun anneau devaluation
discr
ete.
(iii)
X estnon singuli
ere (oulisse
siF estparfait).
D¶
emonstr
ation
. | Voir[65,ch.II,x6].
C.4.3.D ¶
eflnition
. | Une courb
e X surun corpsF estabsolument
irr
¶
eductible
(oug¶
eom ¶
etri
quement irr
¶
eductible)
siX › F F s estirr
¶
eductible,
ou F s estunecl^
oture
s¶
eparable
de F .
C.4.COURBES
¶
ALG EBRIQUES
171
C.4.4.Th ¶
eoreme
a) Une courb
e proje
ctive
r¶
eguli
ere irr
¶
eductible
surF estd¶
etermin
¶
eeparsoncorps
desfonctions.
Pluspr¶
ecis
¶
ement,soient
A lacat¶
egorie
descourb
es proje
ctives
r¶
eguli
eres irr
¶
eductibles
surF ou lesmorphismessontlesF -morphismes
non
constants,
B lacat¶
egorie
descorpsdefonctions
d’unevariable
surF etT :A !
B lefoncteur
(contr
avariant)
quienvoie
un courb
e C sursoncorpsdesfonctions
F (C ). A lorsT estune ¶
equivalenc
e de cat¶
egories.
De plus,
C estabsolument
irr
¶
eductible
sietseulement
sil’extension
F (C )=F estr¶
eguli
ere.
b) SoitX une courb
e a–ne r¶
eguli
ere surun corpsF .A lorsX seplongedansune
uniquecourb
e proje
ctive
r¶
eguli
ere X~,lacompl¶
et¶
eeprojectiv
e de X .
D¶
emonstr
ation
a) Voir[65, ch.I,x6](l’h
ypotheseF alg
¶
ebriquemen
t closn’estpas n¶
ecessaire).
Rappelonsleprincip
e de laconstruction
d’unquasi-in
versede T : siK est
un corpsde fonctions
d’unevariable
surF ,c’esta-dire
une extension
de F de
type flnietde degr
¶
e de transcendance
1,on montreque l’ensem
bledessousanneauxdevaluations
discr
etedeK contenan
t F estenbijection
aveclespoints
ferm¶
esd’unecourb
e projectiv
e r¶
eguli
erede corpsdesfonctions
K .Ce r¶
esultat
pasen dimension
sup¶
erieure.
ne subsiste
b) sed¶
eduitde a).
C.4.5.Exemple. | La droite
a–ne A 1F = SpecF [t]estune courb
e a–ne lisse
de
corpsdesfonctions
F (t).Sa compl¶
et¶
eeprojectiv
e estladroite
projectiv
e P 1F .
A partir
de maintenan
t,lemot ((courb
e ))d¶
esigne
unecourb
e alg
¶
ebrique
projectiv
e
etlisse.
Saufmentionexpresse
du contraire,
((point de X ))signi
fle ((point ferm¶
e de
X )).
C.4.6.D ¶
eflnition
. | SoitX unecourb
e irr
¶
eductible
surF .
a) Le groupe desdiviseurs
surX estlegroupe libre
Div(X ) surl’ensem
bledes
pointsde X .
x 7![F (x):F ]s’
¶
etendparlin
¶
earit
¶
e en unefonction
b)L’application
deg:Div(X )¡! Z
c)SoitK lecorpsdesfonctions
de X ,etsoitf 2 K ⁄ .Pourtoutpoint x 2 X ,
notonsvx lavaluation
discr
eteasso
ci
¶
eea l’anneau
localO X ;x.Le diviseur
de f est
X
vx (f)x 2 Div(X ):
div(f)=
x2 X
La fonction
divestun homomorphismede K ⁄ versDiv(X ):sonimageestappel
¶
eele
groupe desdiviseurs
princip
aux de X etnot¶
e D p(X ).
d)Le groupe de Picard de X estlegroupe Pic(X )= Div(X )=D p(X ).
APPENDICE
172
¶
ALG EBRIQUES
C. COURBES
‘
X ou lesX i sont lescomposantes
SiX n’estpasirr
¶
eductible,
on a X =
L
Li2 I i
(X i).
(X )=
irr
¶
eductibles
de X .On posealors
Div(X )=
i2 I Pic
i2 I Div(X i),Pic
Soitf :Y ! X un morphismenon constan
t entredeuxcourb
es.Alorsf induit
deuxhomomorphismes
f⁄ :Div(X )¡! Div(Y );
f⁄ :Div(Y )¡! Div(X ):
Pourd¶
eflnirf⁄ etf⁄ ,ilsu–t de donnerleurvaleursurlespointsde X etY .Si
x 2 X ,on d¶
eflnit
X
f⁄ x =
ey y
f(y)= x
ou ey estl’indice
de ramiflcation
de O Y ;y=O X ;x.Siy 2 Y ,on d¶
eflnit
f⁄ y = fy f(y)
ou fy estledegr
¶
e r¶
esiduel
[F (y):F (x)]
.On a f⁄ f⁄ = deg(f):= [F (Y ):F (X )]et
deg(f⁄ D )= deg(f)deg(D );
deg(f⁄ D 0)= deg(D 0)
esulte
de laproposition
C.1.9pourla
pourtout(D ;D 0) 2 Div(X )£ Div(Y );celar¶
premiereformule,
etc’est
trivial
pourlaseconde.
De plus,
on a
f⁄ div(g)= div(f⁄ g);
f⁄ div(g0)= div(N f (g))
pour(g;g0)2 F (X )⁄ £ F (Y )⁄ ,f⁄ g estl’image
def dansF (Y )etN f (g0)estlanorme
de g0.Parcons
¶
equent,f⁄ etf⁄ induisen
t deshomomorphismes
f⁄ :Pic(X )¡! Pic(Y );
f⁄ :Pic(Y )¡! Pic(X ):
En particulier,
sif 2 F (X )⁄ n’est
pasconstan
t,f d¶
eflnitun morphismeX ! P 1F ,
asso
ci
¶
e a l’homomorphisme
de corpsF (t) ! F (X ) envoyant t surf.On a doncun
morphismef⁄ :Div(P 1F )! Div(X ).Comme lediviseur
detdansDiv(P 1F )est0¡ 1 ,
on trouv
e
div(f)= f⁄ (0¡ 1 ):
C.4.7.Lemme
a) PourX comme danslad¶
eflnition
C.4.6
,on a Kerdiv= F ⁄ siX estabsolument
irr
¶
eductible.
b) Pour toutf 2 K ⁄ ,on a deg(div(f))= 0.Par cons¶
equent,
lafonction
degr¶
e se
factorise
en
deg:Pic(X )¡! Z:
Son noyauestnot¶
e Pic0(X ).
C.4.COURBES
¶
ALG EBRIQUES
173
D¶
emonstr
ation
. | Soitf 2 K ⁄ non constan
te.Consid
¶
eronsf comme un morphisme
1
X ! P F comme ci-dessus.
La proposition
C.1.9montreen particulier
quel’applica1
tioninduite
parf despointsferm¶
esde X verslespointsferm¶
esde P F estsurje
ctive
.
En particulier,
div(f)= f⁄ (0¡ 1 )6
= 0.De plus,
deg(div(f))= deg(f⁄ (0¡ 1 ))= deg(f)deg(0¡ 1 )= 0:
SoitX une courb
e absolumen
t irr
¶
eductible
surF . Le genr
e de X estun entier
g ‚ 0.Ilpeut^
etred¶
eflnide plusieurs
manieresdifi¶
eren
tes:
1.NotonsX„ = X › F F s,ou F s estunecl^
otures¶
eparable
deF .Le groupe Pic0(X„)
a une structure
canonique
de vari
¶
et¶
e ab¶
elienne
surF s ;g estladimension
de
cette
vari
¶
et¶
e ab¶
elienne.
2.Pourtoutl6
= carF ,lesous-group
e del-torsion
dePic(X„)estderang2g surFl.
3.g = dimF H 1(X ;O X ).
Cesconditions
montren
t quelegenreestinvarian
tparextension
desscalaires.
Dans
celivre,
nousn’aurons
besoinquede consid
¶
ererdescourb
esde genrez¶
ero.Pourune
telle
courb
e X ,on a X„ ’ P 1F s [65,ch.IV,ex.I.3.5]
.
C.4.8.Lemme . | Surun corpsF decaract
¶
eristique
= 2,toute
6
coniqueestdegenr
e
z¶
ero.
D¶
emonstr
ation
. | SoitX uneconique
d’¶
equation
X 2 ¡ aY 2 ¡ bZ2 = 0,ou a;b 2 F ⁄ .
p
t isotrop
e,doncsoncorpsdesfonctions
esttranscendan
t pur.
Sur F ( a),X devien
Parcons
¶
equent,X F (p a ) ’ P 1F (p a ) (th¶
eoreme C.4.4b))etX estde genrez¶
ero.
C.4.9.R emar que. | On peutmontrerque lar¶
ecipro
que estvraie:toutecourb
e
projectiv
e,lisse
etabsolumen
tirr
¶
eductible
degenrez¶
erosurun corpsdecaract
¶
eristique
difi¶
eren
tede 2 estuneconique.
C.4.10.Lemme . | SoitX une courb
e absolument
irr
¶
eductible
surF ,etsoitX„ =
X › F F s,ou F s estune cl^
otur
e s¶
eparablede F .A lorsl’applic
ationPic(X )! Pic(X„)
estinje
ctive.
D¶
emonstr
ation
. | Soitd 2 Div(X ) telque dF s = div(f), ou f 2 F s(X )⁄ . Soit
G = Gal(F s=F).Pourg 2 G ,ona div(g f)= gdiv(f)= div(f),d’ou ag := g f=f 2 F s⁄
pourtoutg 2 G (lemmeC.4.7a)).L’application
g 7!ag estun 1-cocycle
contin
u de
G a valeurs
dansF s⁄ .Parlecorollaire
B.4.3
,ilexiste
b 2 F s⁄ telqueag = g b=bpour
toutg 2 G .Parcons
¶
equent,f0 := f=b2 F (X )⁄ etd = div(f0) estprincipal.
C.4.11.Proposition
. | Pour touteconiqueC ,l’homomorphisme
deg:Pic(C ) !
Z estinje
ctif,
d’image
(
Z
siC estisotr
ope
2Z
siC estanisotr
ope.
174
APPENDICE
C. COURBES
¶
ALG EBRIQUES
D¶
emonstr
ation
. | Sur F s celar¶
esulte
de [65, ch. II,prop.6.4](ou du faitque
Pic0(P 1F s )= 0 puisque
P 1 estdegenre0).SurF ,lelemme C.4.10
montrequedegest
1
injectif.
SiX estisotrop
e,elle
estisomorphe
a P F quia despointsrationnels,
donc
degestsurjectif.
SiX estanisotrop
e,lavaleur
desonimager¶
esulte
du th¶
eoreme 1.5.1
:
en efiet,pourtoutecourb
e X ettoutpoint x 2 X ,lacourb
e X F (x) a (¶
evidemmen
t)
un point rationnel,
doncsiX estuneconique
anisotrop
e,leth¶
eoreme 1.5.1
implique
quetoutpointdeX estdedegr
¶
e pair
;d’autre
part,
X a despointsdedegr
¶
e 2,parexemplelesimagesr¶
ecipro
quesdespointsrationnels
deP F1 viaun morphismeX ! P 1F
de degr
¶
e 2 (cf.d¶
ebutde lasection
3.1
).
C.5. Le th¶
eoreme de Riemann-Ro ch
Dans cette
section
etlessuiv
antes,
toutes
lescourb
essont lisses
etprojectiv
es.
SoitD un diviseur
surun courb
e irr
¶
eductible
X . On ditque D estefiectifsi
P
t ‚ 0.SoitD un diviseur
quelconque
surX .On
D =
x2 X m x x,ou touslesm x son
luiasso
cieun sous-espace
vectoriel
L(D ) de F (X ) :
L(D )= ff 2 F (X )⁄ jdiv(f)+ D estefiectif
g [ f0g:
vectoriel
de F (X ) estlaiss
¶
e en exercice.)
(Lefait
queL(D ) estbienun sous-espace
⁄
Pourg 2 F (X ) ,on a
L(D + (g))= gL(D )
donc L(D ) ne d¶
epend,a isomorphisme
pres,que de laclasse
de D dansPic(X ).
D’autre
part,
ilestclair
queL(D )6
= 0 ) deg(D )‚ 0.
C.5.1.Th ¶
eoreme (th¶
eoreme de Riemann-Ro ch)
a) Pour toutdiviseur
D 2 Pic(X ),on a l(D ):= dimL(D )< + 1 .
b) Ilexiste
un diviseur
K 2 Pic(X ) telque,pourtoutdiviseur
D 2 Pic(X ),on ait
l(D )¡ l(K ¡ D )= deg(D )+ 1 ¡ g
ou g estlegenr
e de X .
D¶
emonstr
ation
. | Voir[65,ch.IV,th.1.3]
.
(La classe
K estasso
ci
¶
ee au faisc
eau canoniquesurX ,cf.[65, p.295]: celanous
entra
^‡nerait
troploin.)
C.5.2.Corollair
e. | SupposonsX de genr
e 0.A lors,
pourtoutD 2 Pic(X ),on a
(
deg(D )+ 1 sideg(D )‚ 0
l(D )=
0
sideg(D )< 0.
¶
¶ DE WEIL
C.6.R ECIPR
OCIT E
175
D¶
emonstr
ation
. | En appliquan
t leth¶
eoreme de Riemann-Roch a D = 0 puisa
D = K ,on obtien
t
l(0)¡ l(K )= 1;
l(K )¡ l(0)= deg(K )+ 1
d’ou deg(K ) = 2. Le casdeg(D ) < 0 du corollaire
estclair.
Sideg(D ) > 0, alors
deg(K ¡ D )< 0 etlaconclusion
r¶
esulte
du th¶
eoreme C.5.1
.
C.5.3.Corollair
e. | [220, cor.2.7]SupposonsX de genr
e 0 etsoient
x 2 X,
D 2 Div(X ) tels
quedeg(x)= deg(D ).Sivx (D )= 0,alors
l’applic
ation
‰ :L(D )¡! F (x)
f 7¡
! f(x)
estsurje
ctive.
D¶
emonstr
ation
. | L’application
‰ estF -lin
¶
eaire.
Parlecorollaire
C.5.2
,dimL(D )=
deg(D ) + 1 = [F (x) : F ]+ 1. L’hypotheseimplique
que Ker‰ = L(D ¡ x); en
r¶
eappliquan
t lecorollaire
C.5.2
,on en d¶
eduitdimKer‰ = 1,d’ou l’
¶
enonc
¶
e.
C.6. R ¶
ecipro
cit
¶
e de W eil
toutes
lescourb
essont lisses
etprojectiv
es.
Dans cette
section,
C.6.1.Proposition
. | SoitX une courb
e surun corpsF .A lors,
pourtoutn > 0,
on a un complexe
L
@
”
M
M
0 ¡! K nM (F )¡! K nM (F (X )) ¡¡¡¡!
x2 X K n ¡ 1 (F (x)) ¡¡¡¡! K n ¡ 1 (F )¡! 0
ou @ = (@x )x2 X etou ” estdonn¶
e parlacolle
ctiondesN F (x)=F .
non
. | Ilfautmontrerque” –(@x )= 0.Soitf 2 F (X ) unefonction
D¶
emonstr
ation
constan
te,consid
¶
er¶
eecomme morphismeX ! P 1F .On a un diagramme
M
@
”
K nM (F (X )) ¡¡¡¡!
K nM¡ 1(F (x)) ¡¡¡¡! K nM¡ 1(F )
x2 X
?
?
f⁄ y
?
?
jj
f⁄ y
@
K nM (F (t)) ¡¡¡¡!
M
”
K nM¡ 1(F (x)) ¡¡¡¡! K nM¡ 1(F ):
x2 P 1F
ou la eche verticale
de gauche estdonn¶
eeparlatransfert
en K -th
¶
eorie
de Milnor
(prop
osition
9.2.1
)et,pour(x;y)2 P 1F £ X ,lacomposantef⁄(x;y) dela echeverticale
du centreest0 sif(y) 6
= x et estdonn¶
ee par f⁄(x;y) = N F (y)=F (x) sif(y) = x.
Dans cediagramme,
lecarr
¶
e de gauche estcomm utatif
gr^
aceau th¶
eoreme C.3.3etle
carr
¶
e de droite
estcomm utatif
gr^
aceau th¶
eoreme 9.2.1
.La proposition
C.6.1r¶
esulte
maintenan
t du th¶
eoreme C.2.1
.
176
APPENDICE
C. COURBES
¶
ALG EBRIQUES
C.6.2.R emar que. | Prenonsn = 1 danslaproposition
C.6.1
.Alorslecomplexe
devien
t
div
deg
0 ¡! F ⁄ ¡! F (X )⁄ ¡¡¡¡! Div(X ) ¡¡¡¡! Z ¡! 0
eton retrouv
e lelemme C.4.7b).Cettesuite
estexacte
en F ⁄ eten F (X )⁄ d’apr
esle
lemme C.4.7a);siX estuneconique,
elle
estaussi
exacte
en Div(X ) etd’homologie
Z=2 ou 0 etZ selonqueX estanisotrop
e ou non,d’apr
eslaproposition
C.4.11
.
On d¶
emontrede m ^
eme :
C.6.3.Proposition
. | SoitX une courb
e surun corpsF de caract
¶
eristique
= 2.
6
A lors,
pourtoutn > 0,on a un complexe
L
@
”
n¡ 1
0 ¡! H n F ¡! H n F (X ) ¡¡¡¡!
F (x) ¡¡¡¡! H n ¡ 1F ¡! 0
x2 X H
ou @ = (@x )x2 X etou ” estdonn¶
e parlacolle
ctiondesCorF (x)=F .
APPENDICE
UN
D
APERC »U SUR LES FORMES
QUADRATIQUES
¶
CARA CT ERISTIQUE 2
par Ahmed
EN
Laghribi
D.1. Introduction
Le butde cetappendiceestde donnerau lecteur
une breve id¶
eede l’
¶
etatactuel
de lath¶
eorie
alg
¶
ebrique
desformesquadratiques
en caract
¶
eristique
2,etde luiperdesdifi¶
erences
quiapparaissen
t quandon passede la
mettreainsi
de voircertaines
caract
¶
eristique
= 2 a lacaract
6
¶
eristique
2.C’esten caract
¶
eristique
= 2 quelath¶
6
eorie
alg
¶
ebrique
desformesquadratiques
a connu leplusgrandint¶
er^
etdepuisplusieurs
ann¶
ees,ce quiexplique
l’existence
de certains
th¶
eoremes puissan
ts en cettecaract¶
eristique.
N¶
eanmoins,
lath¶
eorie
encaract
¶
eristique
2 a connu r¶
ecemmentun renouveauquiluipermetd’avoirun statut
a part.
La caract
¶
eristique
2 poss
edesespropres
tec
hniques
quiladistinguen
tdelacaract
¶
eristique
= 2.Parfois,
6
ilestdi– cile
d’¶
etendre
2 un th¶
eoreme bienconnu en caract
¶
eristique
= 2,
6
completemen
t a lacaract
¶
eristique
etparfois
ilarriv
e qu’ond¶
emontreun importan
t th¶
eoreme en caract
¶
eristique
2 par
descalculs
simples,
alors
qu’encaract
¶
eristique
= 2 on n’arriv
6
e pasa d¶
emontrerson
analogue
ou on led¶
emontreavecdesm ¶
ethodestressophistiqu
¶
ees.
desquadriques
,y
Notreexpos¶
e estcentr¶
e surlath¶
eoriedescorpsde fonctions
comprislesquadriques
singuli
eres,
puisque
c’est
cette
partie
de lath¶
eorie
alg
¶
ebrique
desformesquadratiques
en caract
¶
eristique
2 quia connu r¶
ecemment desavanc¶
ees.
D¶
ecriv
onsmaintenan
tlecontenu decetappendice.
Apresun brefrappeldequelques
notions
debasesurlesformesquadratiques
etbilin
¶
eaires,
on expliquera
lafa»
condont
(1)
une formequadratique
senormalise
, puison parlera
de ladiagonalisation
d’une
formebilin
¶
eaire
(sym¶
etrique
nond¶
eg¶
en¶
er¶
ee).
Aprescela,
on ¶
evoqueralasimpli
flcation
de Wittetlad¶
ecomposition
de Wittpourlesformesquadratiques
etbilin
¶
eaires.
On
donneaussi
au lecteur
une breve id¶
eesurl’in
varian
t d’Arfd’uneformequadratique
(1)Pour
lesformesquadratiques
en caract
¶
eristique
2, le terme ((normalisation
))vien
t remplacer
((diagonalisation
))puisqu’on
va voirque dansune baseconvenable,
une formequadratique
ne s’
¶
ecrit
pastoujours
de fa»
con diagonale.
178
APPENDICE
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
non singuli
ere.
Cetinvarian
testl’analogue
du discriminan
ta signe
en caract
¶
eristique
6 2.On introduitl’anneau
=
de Wittdesformesbilin
¶
eaires
etlegroupe de Wittdes
formesquadratiques
nonsinguli
eres.
On d¶
eflnitensuite
larelation
desous-forme
entre
lesformesquadratiques,
puisondonnel’analogue
du classique
th¶
eoreme desous-forme
de Cassels
etPflster.
On incorp
oreaussilaversion
de ceth¶
eoreme pourlesformes
bilin
¶
eaires.
Une importan
teclasse
de formesquadratiques
quiesttrait
¶
eeestcelle
desformes
de Pflster.
En caract
¶
eristique
2, on s’ap
er»
coitqu’a cetteclasse
s’a
jouten
t de nouvelles
formesdites
quasi-formes
de Pflster.
Cesderni
eresjouen
t ler^
oledesformesde
Pflster
pourlesformesquadratiques
totalemen
tsinguli
eres,
etproviennen
tdesformes
bilin
¶
eaires
dePflster
comme on va l’expliquer.
On introduitaussi
lanotion
devoisines
desformesetquasi-formes
de Pflster,
eton donnelaclassi
flcation
de cesderni
eres
au mo yen de lath¶
eorie
du d¶
eploiemen
t standard.
On met ¶
egalemen
t en ¶
evidence
la
difi¶
erence
entrelath¶
eorie
ded¶
eploiemen
tg¶
en¶
erique
etlath¶
eorie
ded¶
eploiemen
tstandarddesformesquadratiques
:nousverrons
que cette
derni
eresu– t pourclassi
fler
completemen
t lesformesquadratiques
excellen
tes.
Concernan
tlesvoisines
desformes
de Pflster,
on donneuneg¶
en¶
eralisation
partielle
a lacaract
¶
eristique
2 d’unth¶
eoreme
de Knebusc
h caract
¶
erisan
t celles-ci
viaune propri
¶
et¶
e de d¶
eploiemen
t surleurproprecorpsde fonctions.
On ne manquerapasd’exp
oserlesformesbili
n¶
eairesvoisines
introduites
r¶
ecemment,etleurcaract
¶
erisation
parun th¶
eoreme analogue
a celui
de
Knebusc
h pourlesformesquadratiques
voisines
en caract
¶
eristique
= 2.
6
En cequiconcerne
leprobl
eme d’isotropie,
on donneuneg¶
en¶
eralisation
completea
2 du th¶
eoreme fondamen
taldeHofimann surlesdimensions
s¶
epar
¶
ees
lacaract
¶
eristique
parunepuissance
de2,puisuneautreg¶
en¶
eralisation
d’unimportan
t th¶
eoreme d’Izhboldin
surl’
¶
equiv
alence
birationnelle
stable
de deuxquadriques
projectiv
esde m ^
eme
dimension
2n ¡ 1,n ‚ 1.Cesdeuxth¶
eoremespermetten
td’avoirquelques
cons
¶
equences
surlesformesdites
a d¶
eploiemen
t maximal.
On introduitun nouvelinvarian
t desformesquadratiques
totalemen
t singuli
eres,
ditdegr
¶
e normique
.Cetinvarian
tfournit
de bonnesinformations
surlaformetotaleere,comme lecalcul
de sahauteurstandard,
etun crit
erepourqu’une
ment singuli
oisine
de Pflster.
telle
formesoit
unequasi-v
Une desavanc¶
eesfaite
r¶
ecemment en caract
¶
eristique
2 estcelle
due a Aravireet
Baezaconcernan
tlecomportemen
tdesformes
difi¶
eren
tielles,
deF surF 2,surlescorps
defonctions
dequadriques,
etleurpreuv
e delaconjecture
du degr
¶
e encaract
¶
eristique
2. Nous donnonsune id¶
ee de leursr¶
esultats
quiconstituen
t l’analogue
de certains
¶
evoqu¶
esdanslechapitre
6 du pr¶
esen
t livre,
etnousterminons
notreappendicepar
quelques
calculs
r¶
ecen
tsde noyaux de Witt.
Lesd¶
etails
desr¶
esultats
quenous¶
evoquonssontactuellemen
t,pourlaplupart,
consultables
danslesr¶
ef¶
erences
[14],[16],[22],[76],[77]et[134]{[143].Peu de preuv
es
sont incorp
or¶
ees(saufdanslasection
D.17) pourlasimpleraison
que nousvoulons
D.2.PREMI ERES
¶
D EFINITIONS
179
rester
danslecadred’unappendice,
etquenousprojetons
d’¶
ecrire
prochainemen
t en
collab
oration
avecD.W. Hofimann un livre
consacr
¶
e a lath¶
eorie
descorpsdefonctions
encaract
¶
eristique
2.Ceciaurapourbutderegroup
erlesr¶
ecen
tsd¶
evelopp
ementsqu’a
connuscette
th¶
eorie
etde compl¶
eterainsi
lalitt
¶
erature
d¶
eja existan
tesurlesformes
quadratiques.
Remerciemen ts.| C’est
lors
d’unerencon
treau s¶
eminaire
N.Bourbaki
denovembre2004queBrunoKahn m’ademand¶
e d’¶
ecrire
cetappendice
surlacaract
¶
eristique
2
pourcompl¶
eterlepr¶
esen
t livre.
Jetiens
a leremercier
treschaleureusemen
tdem’avoir
donn¶
e cette
opportunit
¶
e.
Cet appendicea ¶
et¶
e r¶
evis
¶
e et compl¶
et¶
e durant un s¶
ejoura l’Univ
ersit
ãt
Bielefeld
pourlap¶
erio
de mars-mai2006.Je remercie
vivement UlfRehmann d’avoir
permiscette
visite.
Je remercie
aussi
leSonderforsc
hungsbereic
h 701pourlesoutien
ofiertdurant ces¶
ejour.
D.2. Premieresd¶
eflnitions
Dans toutcetappendic
e,F d¶
esigne
un corpscommutatif
de caract
¶
eristique
2.
etnotations
donton aurabesoin
ontd¶
eja ¶
et¶
e utilis
¶
eesdansla
Quelques
d¶
eflnitions
partie
principale
de celivre.
Maisnousen rappelonstoutde m ^
eme certaines
dansle
butde pr¶
eserv
erl’autonomie
de cetappendice.
1. Une formebilin
¶
eaire
sym¶
etrique
estladonn¶
ee d’uncouple(V;B ) form¶
e d’un
F -espace
vectoriel
V etd’uneapplication
B :V £ V ! F telle
que:
† B (v;v0)= B (v0;v) pourtoutv;v0 2 V .
† Pourtoutv 2 V ,l’application
V ! F ,donn¶
eepar:v0 7!B (v;v0)estF -lin
¶
eaire.
Poursimpli
flerlelangage,
l’expr
ession
((formebilin
¶
eair
e))signifler
a ((formebilin
¶
eair
e
sym¶
etrique
)).
2.Une formequadratique
estladonn¶
eed’uncouple(V;’) form¶
e d’unF -espace
vectoriel
V etd’uneapplication
’ :V ! F telle
que:
† ’(fiv)= fi 2’(v) pourtoutv 2 V etfi 2 F .
† L’application
B ’ :V £ V ! F ,donn¶
eepar:(v;w )7!’(v + w )¡ ’(v)¡ ’(w )
estF -bilin
¶
eaire
(sym¶
etrique).
On ditqueB ’ estlaformepolaire
asso
ci
¶
eea ’.
On ditque V estl’espace
sous-jacen
t a laformebilin
¶
eaire
(ouquadratique)
en
question.
3.Pour(V;B )et(V 0;B 0)deuxformesbilin
¶
eaires
(resp.
deuxformesquadratiques),
uneisom¶
etrie
entre(V;B ) et(V 0;B 0) estladonn¶
eed’unisomorphisme
de F -espaces
vectoriels
:V ! V 0 telqueB (v;v0)= B 0( (v); (v0))(resp.
B (v)= B ( (v0))) pour
toutv;v0 2 V .Dans cecas,on noteB ’ B 0,eton ditqueB estisom¶
etrique
a B 0.
APPENDICE
180
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
4.Pourfi 2 F ⁄ et(V;B ) une formebilin
¶
eaire
(resp.
une formequadratique),
on
notefiB laformebilin
¶
eaire
(resp.
laformequadratique)
ayantpourespace
sous-jacen
t
0
0
V etdonn¶
eepar:(v;v )7!fiB (v;v ) (resp.
v 7!fiB (v)) pourtoutv 2 V .
5.Deux formes
bilin
¶
eaires
(ouquadratiques)
(V;B )et(V 0;B 0)sontdites
semblables
0
⁄
siB ’ fiB pourun certain
fi 2 F .
6. A partir
de deuxformesbilin
¶
eaires
(resp.
deuxformesquadratiques)
(V;B ) et
(V 0;B 0), on formeleursomme orthogonale
quiestl’unique
formebilin
¶
eaire(resp.
formequadratique)
B ? B 0 donn¶
eesurlasomme directe
V ' V 0 par:B ? B 0(v '
v0;w ' w 0) = B (v;w )+ B 0(v0;w 0) (resp.
B ? B 0(v ' v0) = B (v)+ B 0(v0)) pourtout
0
0
0
(v;v );(w ;w )2 V £ V .
7.Pourn ‚ 1 un entier
etB uneformebilin
¶
eaire
(ouquadratique),
on noten £ B
.
lasomme B
?
¢¢¢?
B
|
{z
}
n fois
8.On ditqu’uneformebilin
¶
eaire
(resp.
une formequadratique)
(V 0;B 0) estune
sous-forme
(resp.un facteur
direct
) d’uneautreforme(V;B ) s’il
existe
une forme
(V 00;B 00) telqueB ’ B 0 ? B 00.Dans cecas,on noteB 0 ‰ B .
On verraque pourlesformesquadratiques,
larelation
de facteur
direct
ne su–t
paspour¶
etendre
a lacaract
¶
eristique
2 certains
th¶
eoremesconnus en caract
¶
eristique
= 2,etqu’il
6
fautintroduireuneautrerelation
beaucoupplussubtile
(cf.section
D.8).
Dans lasection
D.7,on donneradeuxautres
op¶
erations
importan
tes.
Ils’agit
du
¶
eaires,
etleproduitd’uneformequadratique
parune
produitentredeuxformesbilin
formebilin
¶
eaire.
9.PourK =F uneextension,
et(V;C ) uneformebilin
¶
eaire
(resp.
(V;’) uneforme
¶
eaire
(resp.
’ K l’unique
quadratique),
on d¶
esigne
parC K l’unique
forme
formebilin
quadratique)
d’espace
sous-jacen
tV › F K ,donn¶
eepar:C K (v› fi;w › fl)= fiflC (v;w )
(resp.
’ K (v› fi)= fi 2’(v)avecB ’ K (v› fi;w › fl)= fiflB ’ (v;w ))pourtout(v;w )2
V 2 et(fi;fl)2 K 2.
10.Pouruneformebilin
¶
eaire
(resp.
uneformequadratique)
(V;B ),on noteD F (B )
l’ensem
bledesscalaires
de F ⁄ := F ¡ f0g de type B (v;v) (resp.
de type B (v)).
11.Une formebilin
¶
eaire
(resp.
uneformequadratique)
(V;B )estditeisotrop
e s’il
existe
v 2 V ¡ f0g telqueB (v;v)= 0 (resp.
B (v)= 0).Dans lecascontraire,
on dit
queB estanisotrop
e.
12.Le radical
d’uneformebilin
¶
eaire
(resp.
d’uneformequadratique
)(V;B ),qu’on
noterad(B ),estlesous-espace
vectoriel
deV d¶
eflniparrad(B )= fv 2 V jB (v;V )=
0g (resp.
estleradical
de saformepolaire).
Dans cetappendic
e,on ne consid
ere quelesformesbilin
¶
eair
es (etquadr
atiques)
ayantun espace sous-jac
entde dimension
flnie.
13.Pour(V;B )uneformebilin
¶
eaire
(resp.
uneformequadratique),
on notedimB
ladimension
deV ,qu’onappelle
ladimension
deB .Apreslechoixd’uneF -base
deV ,
D.3.NORMALISA
TION
D’UNE
F ORME
QUADRA
TIQUE
181
P
P
on peutiden
ti
flerB a un polyn
o
^me 1• i;j• n ai;jxiyj (resp. 1• i;j• n ai;jxixj) avec
dimB = n.Ainsi,
on va souvent tra
vailler
aveccepolyn
ome en n¶
^
egligean
t l’espace
vectoriel
V en question.
D.3. Normalisationd’une forme quadratique
En caract
¶
eristique
= 2 on tra
6
vaille
souventavecdesformesquadratiques
deradical
nul.Ceciestd^
u,essen
tiellemen
t,au fait
quepourunetelle
caract
¶
eristique,
uneforme
de radical
non nulestisotrop
e.En caract
¶
eristique
2,lasituation
estdifi¶
eren
te.On
peutavoirdesformesquadratiques
deradical
nonnuletanisotro
pes.Cecimotivedonc
l’id
¶
eede tra
vailler
avecdesformesquadratiques
quipeuventpr¶
esen
terun radical
non
nul.Maisen m ^
eme temps,lath¶
eorie
desformesquadratiques
en caract
¶
eristique
2 se
ramifle,cequilarendric
he.
plusloin,
faisons
remarquer
quelarestriction
d’uneformequadratique
Avantd’aller
’ a sonradical
rad(’) estuneformequadratique
donn¶
eeparun polyn
ome de type :
^
(D.3.1)
a1x21 + ¢¢¢+ asx2s
avecai = ’(ei),ou fe1;:::;esg estuneF -basede rad(’).
De plus,
ilestfacile
de voirqu’uneisom¶
etrie
entredeuxformesquadratiques
induituneisom¶
etrie
entrelesrestrictions
a leurs
radicaux.
Ainsi,
laformequadratique
donn¶
eedans(D.3.1)
ne d¶
ependquede laclasse
d’isom
¶
etrie
de ’.
D.3.1.Notation-D¶
eflnition
. | La formequadratique
donn¶
eedans(D.3.1)
s’appelle
lapartie
quasi-lin
¶
eaire
de ’.On lanoteql(’).
Quand on tien
t comptedu radical,
on doitdistinguer
entredifi¶
eren
tstypes de
qu’onpr¶
ecise
danslad¶
eflnition
suiv
ante:
formesquadratiques
D.3.2.D ¶
eflnition
. | Une formequadratique
’ estdite:
(1)non singuli
eresidimql(’)= 0.
t singuli
eresidim’ = dimql(’).
(2)totalemen
(3)singuli
erelorsque
dimql(’)> 0.
(4)non d¶
efectiv
e sisapartie
quasi-lin
¶
eaire
estanisotro
pe (ounulle).
Voici
desreform
ulations
de cesnotions
en termede l’espace
radical
:
D.3.3.Proposition
. | Soit’ une formequadr
atique
d’esp
ace sous-jac
entV . On
a:
(1)’ estnon singuli
ere sietseulement
sirad(’)= 0.
(2)’ esttotalement
singuli
ere sietseulement
sirad(’)= V .
(3)’ estsinguli
ere sietseulement
sirad(’)6
= f0g.
APPENDICE
182
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
(4)’ estnon d¶
efe
ctive
sietseulement
sirad0(’)= f0g,ou rad0(’)= fv 2 rad(’)j
’(v)= 0g.
On ¶
enonceun lemme tresutile
pourlasuite
:
D.3.4.Lemme . | Soient
’ uneformequadr
atique
dedimension
‚ 1,etfg1;:::;gsg
une F -basede rad(’).A lors,
cettebasesecompleteen une F -base
fe1;f1;:::;er;fr;g1;:::;gsg
de V tel
leque:
(
B ’ (ei;fj)= –i;j
B ’ (ei;ej)= B ’ (fi;fj)= 0 sii6
= j:
En ¶
ecritur
e polynomiale,
on a :
Xr
Xs
’=
(aix2i + xiyi + biyi2)+
(D.3.2)
cizi2
i=1
i=1
avec ai = ’(ei),bi = ’(fi) (1 • i• r),etci = ’(gi) (1 • i• s).
¶
D¶
emonstr
ation
. | Ecriv
onsV = W ' rad(’) pourun certain
sous-espace
vectoriel
W de V . Ilestclair
que ’ ’ ˆ ? ql(’), ou ˆ estlarestriction
de ’ a W . Si
dimF W = 0,alors
lelemme sed¶
eduitde (D.3.1)
.SupposonsdimF W > 0,etsoit
e1 2 W nonnul.Puisquê estuneformequadratique
nonsinguli
ere,
ilexiste
f1 2 W
telque B ˆ (e1;f1) = B ’ (e1;f1) 6
= 0.Quittea m ultiplier
f1 parun scalaire,
on peut
de W engendr
¶
e pare1 etf1.Puisque
supposerB ˆ (e1;f1)= 1.SoitU lesous-espace
0
larestriction
ˆ de ˆ a U estuneformequadratique
non singuli
ere,
on obtien
t parle
m^
eme argument quedans[191,Lem. 3.4,p.7]queˆ ’ ˆ 0 ? ˆ 00 pourune certaine
formequadratique
ˆ 00.Puisquedimˆ 00 < dimˆ etˆ 00 estaussinon singuli
ere(car
ˆ 00 ‰ ˆ),on conclut
parr¶
ecurrence
surdimW .
D.3.5.Notation
(1)Poura;b 2 F ,on note[a;b](resp.
hai) laformequadratique
ax2 + xy + by2
2
ax ).
(resp.
(2)On notesimplemen
t ha1;:::;asi une formequadratique
totalemen
t singuli
ere
ha1i? ¢¢¢? hasi.
D.3.6.D ¶
eflnition
. | Aveclesnotations
D.3.5
,l’
¶
ecriture
dans(D.3.2)
devien
t
’ ’ [a1;b1]? ¢¢¢? [ar;br]? hc1;:::;csi;
qu’onappelle
unenormalisation
de ’.
Aveclesm ^
emesnotations
quedanslad¶
eflnition
D.3.6
,etvu l’unicit
¶
e de laforme
hc1;¢¢¢;csi,lecouple
d’en
tiers
(r;s)ned¶
ependalors
quedelaclasse
d’isom
¶
etrie
de’.
D.3.7.D ¶
eflnition
. | Le couple(r;s) s’app
elle
letype de ’.
D.4.DIA GONALISA
TION
D’UNE
F ORME
¶
BILIN EAIRE
183
D.3.8.R emar que. | Si’ = R ? ql(’)estde type (r;s)avecs > 0,alors
laforme
R n’est
pastoujours
uniquecomme lemontrel’exemple
quisuit.
D.3.9.Exemple. | Soien
t tunevariable
surF ,’ uneformequadratique
surF (t)
telle
quedim’ ¡ dimql(’)= 2.SoitB = fe1;f1;g1;:::;gsg uneF (t)-basedel’espace
sous-jacen
t a ’ avec fg1;:::;gsg une F (t)-basede rad(’).On supposequ’ona les
conditions
suiv
antes:
8
>
’(e1)= 0;
>
>
>
< ’(f )= 1;
1
>
’(g1)= t¡ 1;
>
>
>
:
B ’ (e1;f1)= 1:
Alors,
lepassage
delabaseB a labaseB 0 = fe1 + g1;f1;g1;:::;gsg donnel’isom
¶
etrie
:
(D.3.3)
[0;1]? ql(’)’ [t¡ 1;1]? ql(’)
etpourtan
t [0;1]6
’ [t¡ 1;1]car[t¡ 1;1]n’est
pasisotrop
e.
Terminonscette
section
en donnant quelques
isom¶
etries
tressimples
a v¶
eri
fler,et
a uneautre.
dont on sesertsouvent pourpasser
d’unenormalisation
esa;b;c;d 2 F ,on a :
D.3.10.Lemme . | Pour tousscalair
8
[a;b]? [c;d]’ [a + c;b]? [c;b+ d];
>
>
>
>
>
>
[ca;c¡ 1b]’ c[a;b] si c 6
= 0,
>
<
(D.3.4)
[a;b]? hci’ [a + c;b]? hci,
>
>
>
>
ha;bi’ ha + b;bi,
>
>
>
:
[a;b]’ [a;a + b+ 1].
D.4. Diagonalisation
d’une forme bilin
¶
eaire
. | Une basefe1;¢¢¢;en g de l’espace
D.4.1.D ¶
eflnition
sous-jacen
t a une forme
bilin
¶
eaire
B estditeorthogonale
pourB si:B (ei;ej)= –i;jpour1 • i;j • n.
D.4.2.R emar que. | SiB estuneformebilin
¶
eaire
dontl’espace
sous-jacen
tadmet
unebaseorthogonale
fe1;¢¢¢;en g pourB ,alors
B ’ ha1ib ? ¢¢¢? han ib;
avec ai = B (ei), et haib d¶
esigne
laformebilin
¶
eairede dimension
1 donn¶
ee par :
(x;y)7!axy.Dans cecas,on ditqueB estdiagonalisable
eton lanoteha1;:::;an ib.
La diagonalisation
d’uneformebilin
¶
eaire
n’est
pastoujours
imm ¶
ediate
comme le
montreler¶
esultat
suiv
ant :
184
APPENDICE
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
D.4.3.Proposition([164,Cor.3.3,
p.6]). | SoitB une formebilin
¶
eair
e.A lors,
on a une d¶
ecomposition
B ’ ha1;¢¢¢;an ib ? C telquea1;¢¢¢;an 6
= 0 etC (v;v)= 0
pourtoutvecteurv de l’esp
ace sous-jac
enta C .
Le corollaire
suiv
ant estimm ¶
ediat:
D.4.4.Corollair
e. | Touteformebilin
¶
eair
e anisotr
ope estdiagonalisable.
D.4.5.D ¶
eflnition
. | Une formebilin
¶
eaire
estditenon d¶
eg¶
en¶
er¶
eesisonradical
est
nul.
Pourlasuite
decetappendic
e,toutes
lesformesbilin
¶
eair
esconsid
¶
er¶
eesser
ontnon
d¶
eg¶
en¶
er¶
ees.
D.5. Invariant d’Arfet algebre de Clifiord
Plusde d¶
etails
surlesr¶
esultats
de cette
section
peuvent ^
etreconsult
¶
esdans[22].
del’alg
ebredeCli
fiordquia ¶
et¶
e donn¶
eedanslechapitre
5 du pr¶
esen
t
La construction
livre
reste
¶
evidemmen
t valable
en caract
¶
eristique
2 pourtouteformequadratique.
Posons}(a) = a2 + a pour touta 2 F . Alors,
} (F ) = f}(a)ja 2 F g estun
sous-group
e additif
de F .
Lorsque’ estune formequadratique
non singuli
ere,l’alg
ebreC (’) estsimple
centrale
surF ,etlecentreZ (’) de l’alg
ebrede Cli
fiordpaireC 0(’) estunealg
ebre
quadratique
s¶
eparable
surF ,c’esta-dire,
ilexiste
– 2 F v¶
eri
flant Z (’)= F [x]=(x2 +
x + –).La classe
de – mo dulo}(F ) ne d¶
epend quede laclasse
d’isom
¶
etrie
de ’,on
l’app
elle
l’in
varian
t d’Arfde ’ eton lanote¢ (’).Souvent,on iden
ti
fle ¢ (’) avecle
repr
¶
esen
tant dansF de saclasse
dansF =}(F ).
Plusconcr
etemen
t,si’ ’ a1[1;b1] ? ¢¢¢ ? an [1;bn ] (onpeuttoujours
¶
ecrire
’
souscette
formeen partan
t de l’une
de sesnormalisations
puison utilise
laseconde
isom¶
etrie
d¶
ecrite
danslelemme D.3.10
),alors
¢ (’)= b1 + ¢¢¢+ bn 2 F =}(F );
et
C (’)= [b1;a1)F › F ¢¢¢› F [bn ;an )F ;
ou [b;a)F (a 2 F ⁄ , b 2 F ) d¶
esigne
l’alg
ebrede quaternions
engendr
¶
ee par deux
2
2
¶
el
¶
ementsu;v surF ,aveclesrelations
:u = a,v + v = b,uv = (v + 1)u.C’estune
F -alg
ebresimple
centrale
dedimension
4 quidevien
ttriviale
danslegroupe deBrauer
de F lorsque
b 2 }(F ).Sib 6
2 }(F ),alors
cette
alg
ebreesttriviale
sietseulemen
t si
a estunenormede l’extension
F [x]=(x2 + x + b) surF [191,p.314]
.
D.6.SIMPLIFICA TION
DE WITT
¶
- D ECOMPOSITION
DE WITT
185
D.6. Simpliflcation
de Witt - D ¶
ecomp ositionde Witt
D.6.A. Cas des formes quadratiques.
| En caract
¶
eristique
2 lasimpli
flcation
de Wittne s’applique
pasa toutes
lesformesquadratiques.
L’exemple
D.3.9en est
une illustration.
Le fait
qu’ona [0;1]6
’ [1;t¡ 1]et[0;1]? ql(’) ’ [t¡ 1;1]? ql(’)
signi
fle qu’onne peutpassimpli
flerdanscette
derni
ereisom¶
etrie
parlaformeql(’).
N¶
eanmoins,
ona lasimpli
flcation
deWittpourcertaines
formesquadratiques
particuli
eres.
Le premier
casdesimpli
flcation
qu’ondonneraestd^
u a Knebusch etconcerne
lesformesquadratiques
non singuli
eres:
D.6.1.Proposition([121,Prop.1.2]
). | Soient’;’ 0 deux formesquadrati
ques
de m ^
eme dimension(¶
eventuel
lementsinguli
eres).Si ˆ estune formequadr
atique
non singuli
ere v¶
eri
flant’ ? ˆ ’ ’ 0 ? ˆ,alors
’ ’ ’ 0.
On a aussi
lasimpli
flcation
de Wittpourlesformesquadratiques
totalemen
t singuli
eresnulles
:
). | Soient’ et’ 0 deuxformesquadr
atiques
D.6.2.Proposition([76,Lem. 2.6]
non d¶
efe
ctives
de m ^
eme dimension
tel
lesque’ ? j £ h0i ’ ’ 0 ? j £ h0i pour un
certain
entier
j ‚ 0.A lors,
’ ’ ’ 0.
Comme ila ¶
et¶
e prouv¶
e dans[76],lespropositions
D.6.1etD.6.2su–ssent pour
:
avoirlad¶
ecomposition
de Wittde touteformequadratique
D.6.3.Th ¶
eoreme ([76,Prop.2.4]
). | Touteformequadr
atique’ de dimension
‚ 1 sed¶
ecomposede maniere uniquecomme suit:
’ ’ i£ H ? j£ h0i? ’ an ;
olique.
atique
anisotrope etH = [0;0]estleplanhyperb
ou ’ an estune formequadr
Le th¶
eoreme D.6.3existait
d¶
eja dans[19,p.160]
, [121,p.283]danslecasd’une
formequadratique
’ non d¶
efectiv
e.
D.6.4.Notation-D¶
eflnition
. | On gardelesm ^
emesnotations
quedansleth¶
eoreme
pr¶
ec¶
edent.
(1)La formequadratique
’ an s’app
elle
lapartie
anisotro
pe de ’.
(2)La formequadratique
i£ H ? ’ an s’app
elle
lapartie
non d¶
efectiv
e de ’.On la
note’ nd .
(3)L’en
tier
i (resp.
j) s’app
elle
l’indice
de Wittde ’ eton lenoteiW (’) (resp.
l’indice
de d¶
efautde ’ eton lenoteid (’)).
(4)L’indice
totale
de ’ estl’en
tier
i+ j qu’onnoteit(’).
(5)Une formequadratique
’ non singuli
ereestdithyperbolique
siiW (’)= dim2 ’ .
D.6.5.R emar que. | L’indice
total
d’uneformequadratique
(V;’)n’est
autreque
ladimension
d’unsous-espace
totalemen
tisotrop
e maximaldeV .(Un sous-espace
W
de V estdittotalemen
t isotrop
e pour’ lorsque
’(w )= 0 pourtoutw 2 W .)
186
APPENDICE
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
D.6.B. Cas des formes bilin
¶
eaires
D.6.6.Notation. | Poura1;a2;;b 2 F ,on noteha1 :b :a2i laformebilin
¶
eaire
B dont l’espace
sous-jacen
t admet une F -basefe1;e2g quisatisfait
aux relations
:
B (ei;ei)= ai etB (e1;e2)= b.
Comme pourlesformesquadratiques,
lasimpli
flcation
de Wittn’est
pasvraie,
en
g¶
en¶
eral,
pourlesformesbili
n¶
eaires.
V oici
un exemple(voiraussi
[22,Cor.4.4,
p.82]
):
D.6.7.Exemple. | Soitt une variable
surF .Alors,
ht :1 :0i ? htib ’ h0 :1 :
0i? htib etht:1 :0i6
’ h0 :1 :0i.
D¶
emonstr
ation
. | PosonsB = ht :1 :0i ? htib,etsoitfe;f;gg une F (t)-basede
l’espace
sous-jacen
t a B aveclesrelations
:
8
>
>
< B (e;e)= B (g;g)= t;
B (e;g)= B (f;g)= B (f;f)= 0;
>
>
: B (e;f)= 1:
La restriction
de B a l’espace
engendr
¶
e parfe + g;fg estlaformeh0 :1 :0i.Ainsi,
ht : 1 : 0i ? htib ’ h0 : 1 : 0i ? hfiib pourun certain
fi 2 F ⁄ . En comparan
t les
d¶
eterminan
tsdanscettederni
ereisom¶
etrie,
on trouv
e que t = fi mo duloun carr
¶
e.
De plus,
lesformesht :1 :0i eth0 :1 :0i ne peuvent ^
etreisom¶
etriques
puisquela
premiererepr
¶
esen
tetalors
queladeuxi
eme repr
¶
esen
teuniquemen
t 0.
D.6.8.D ¶
eflnition
. | Un planm ¶
etabolique
estune formebilin
¶
eaire
iso
m¶
etri
quea
ha :1 :0i pourun certain
a2 F.
Contrairemen
t au casdu planhyperbolique
H , ilpeuty avoirplusieurs
plans
m¶
etaboliques
non isom¶
etriques.
¶
eaires
peut^
etrevueautremen
t:
L’isotropie
desformesbilin
D.6.9.Lemme . | Une formebilin
¶
eair
e B estisotr
ope sietseulement
siellecontient
un planm ¶
etab
olique
comme une sous-forme.
D.6.10.D ¶
eflnition
. | Une formebilin
¶
eaire
B estditem ¶
etabolique
lorsqu’elle
est
isom¶
etrique
a unesomme orthogonale
de plansm ¶
etaboliques.
Voici
lad¶
ecomposition
de Wittpourlesformesbilin
¶
eaires
:
D.6.11.Th ¶
eoreme ([164]). | SoitB une formebilin
¶
eair
e de dimension‚ 1.
A lors,
ilexiste
une formebilin
¶
eair
e m¶
etab
olique
M etune formebilin
¶
eair
e anisotrope B an tel
lesqueB ’ M ? B an . De plus,
laformeB an ne d¶
epend quelaclasse
d’isom
¶
etrie
de B .
D.7.ANNEA
U DE WITT
{ GR OUPE
DE WITT
187
Comme lemontrel’exemple
D.6.7
,laformem ¶
etabolique
M donn¶
eedansleth¶
eoreme
D.6.11n’est
pastoujours
unique.
R¶
ecemment on a donn¶
e dans[141,Prop.5.15]
une
version
ra– n¶
eede lad¶
ecomposition
donn¶
eedansleth¶
eoreme D.6.11
.Maison n’en
aurapasbesoinici.
D.6.12.Notation-D¶
eflnition
. | Aveclesnotations
du th¶
eoreme D.6.11
,laforme
¶
e l’indice
deWitt
B an estappel
¶
eelapartie
anisotro
pe deB ,etl’en
tierdim2 M estappel
de B .On lenoteiW (B ).
D.6.13.R emar que. | Comme pourl’indice
total
d’uneformequadratique,
l’indice
deWittd’uneformebilin
¶
eaire
(V;B )n’est
autrequeladimension
d’unsous-espace
totalemen
tisotrop
e maximaldeV .(Un sous-espace
W deV estdittotalemen
tisotrop
e
pourB lorsque
B (w ;w 0)= 0 pourtoutw ;w 0 2 W .)
D.7. Anneau de Witt { Group e de Witt
1. Produitsdes formes bilin
¶
eaires.
| Le produitde deux formesbilin
¶
eaires
0
0
0
(V;B ) et(V ;B ) estd¶
eflnicomme ¶
etan
t l’unique
formebilin
¶
eaire
B › B d’espace
sous-jacen
t V › V 0 donn¶
eepar:
B › B 0(v › v0;w › w 0)= B (v;w )B 0(v0;w 0)
pourtout(v;w );(v0;w 0)2 V £ W .
2. Produit d’une forme quadratiquepar une forme bilin
¶
eaire.| A une
formebilin
¶
eaire(V;B ) et une formenon singuli
ere(W ;’), on asso
cieune forme
quadratique
non singuli
ereB › ’ d’espace
sous-jacen
t V › W donn¶
eepar:
B › ’(v › w )= B (v;v)’(w )
pourtoutv 2 V;w 2 W ,etde formepolaire
asso
ci
¶
eeB › B ’ .
e,et
On v¶
eri
fle ais
¶
ement que lapremiereop¶
eration
estcomm utativ
e etasso
ciativ
quelesdeuxop¶
erations
sont distributiv
esparrapporta lasomme orthogonale.
(F ) (resp.Quad(F )) laclasse
desformesbilin
¶
eaires
D.7.1.Notation. | SoitBil
(resp.
laclasse
desformesquadratiques
non singuli
eres)
a isom¶
etrie
pres.
D.7.2.D ¶
eflnition
. | Deux formesbilin
¶
eaires
(resp.
deuxformesquadratiques)
B
etB 0 sont dites
Witt¶
equiv
alen
tes
, qu’onnoteB » B 0,lorsque
B ? M ’ B0? M 0
pourcertaines
formesm ¶
etaboliques
(resp.
formeshyperboliques)
M etM 0.
Ilestclair
que » estune relation
d’¶
equiv
alence
surBil
(F ) etQuad(F ).On note
W (F ) (resp.
W q(F )) l’ensem
blequotien
t Bil
(F )= » (resp.
Quad(F )= » ).
L’ensem
bleW (F )(resp.
W q(F ))estun anneaupourl’addition
etlam ultiplication
induites
parlasomme orthogonale
etleproduitdesformesbilin
¶
eaires.
De m ^
eme,
W q(F ) estun groupe pourl’addition
induite
parlasomme orthogonale
desformes
188
APPENDICE
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
quadratiques
non singuli
eres.
On a bienque tout¶
el
¶
ement de W (F ) (etW q(F )) est
sonpropreoppos¶
e.
D.7.3.D ¶
eflnition
. | On appelle
W (F )(resp.
W q(F ))l’anneau
deWittdeF (resp.
legroupe de Wittde F ).
D.7.4.R emar que. | Par unicit
¶
e de lapartie
anisotrop
e,lacondition
B » B0
0
.Ainsi,
chaque¶
el
¶
ementdeW (F )(resp.
W q(F ))estrepr
¶
esen
t¶
e
implique
queB an ’ B an
paruneuniqueformeanisotrop
e.
Ilestclair
queladonn¶
eed’uneextension
decorpsK =F induit
un homomorphisme
d’anneaux
(resp.
de groupes)W (F ) ! W (K ) (resp.
W q(F ) ! W q(K )) donn¶
e par
extension
desscalaires.
Biens^
ur,en g¶
en¶
eral,
cethomomorphismen’est
pasinjectif.
On reviendra
danslasection
D.18pour¶
etudier
lesnoyaux de ceshomomorphismes
corpsK .
pourcertains
Le produitdesformesquadratiques
non singuli
eresparlesformesbilin
¶
eaires
rend
W q(F ) un W (F )-module.Ceciva nouspermettra
de d¶
eflnirlanotiondesformes
quadratiques
de Pflster(cf.Section
D.11).
¶
ealfondamen
taldeW (F )form¶
e desformesbilin
¶
eaires
dedimension
On noteIF l’id
n ‚ 0,on poseIn F = (IF )n (avecI0F = W (F )).Ainsi,
paire.
Pourtoutentier
on a
uneflltration
de l’anneau
W (F ) donn¶
eepar:W (F )= I0F
IF
I2F ¢¢¢.
En utilisan
tlastructure
deW (F )-moduledeW q(F ),on obtien
taussi
uneflltration
1
2
3
n
de W q(F ) :W q(F )= I W q(F ) I W q(F ) I W q(F )¢¢¢;ou I W q(F )= In ¡ 1F ›
W q(F ) pourtoutn ‚ 1.
En ¶
evoquant cesdeuxflltrations,
on donnel’analogue
du Hauptsatz
d’Arasonet
Pflster,
etuneg¶
en¶
eralisation
d’unr¶
esultat
r¶
ecen
t de Karpenko :
D.7.5.Th ¶
eoreme . | Soientn ‚ 1 un entier,
B une formebilin
¶
eair
e (resp.une
formequadr
atique)
appartenant
a In F (resp.In W q(F )).On a :
(1)SiB estanisotr
ope,alors
dimB ‚ 2n .
(2)SidimB < 2n +1 ,alors
dimB 2 f2n +1 ¡ 2i j1 • i• n + 1g.
Rappelonsquel’assertion
(1)de ceth¶
eoreme a ¶
et¶
e prouv¶
eedans[21]danslecas
desformesquadratiques,
puiselle
a¶
et¶
e¶
etenduer¶
ecemment aux formesbilin
¶
eaires
dans[141,Lem. 4.8]
.L’assertion
(2)estfaite
dans[141,Prop.5.7,
Rem. 5.8]
.
D.8. Relationde sous-formeentrelesformes quadratiques
(2)
La relation
de sous-forme
entrelesformesquadratiques
estd¶
eflniecomme suit:
(2)Dans
[76],[77],[134]{[
143],on utilise
laterminologie
((relation
de domination
))au lieude ((relation
de sous-forme
)).
D.8.RELA TION
DE SOUS-F ORME
ENTRE
LES F ORMES
QUADRA
TIQUES
189
D.8.1.D ¶
eflnition
. | Soien
t (V;’)et(W ;ˆ)deuxformesquadratiques.
On ditque
’ estune sous-forme
de ˆ,qu’onnote’ • ˆ,s’il
existe
une application
F -lin
¶
eaire
injectiv
e :V ! W telle
que:’(v)= ˆ( (v))pourtoutv 2 V .
En caract
¶
eristique
= 2 danslecasdesformes
6
quadratiques
deradical
nul,larelation
de facteur
direct
(d¶
eflniedansleparagraphe
D.2) coincide
aveclarelation
de sousforme.Parcontre,
en caract
¶
eristique
2,larelation
de facteur
direct
n’est
qu’uncas
particulier
de larelation
de sous-forme.
Ceciestd^
u a lapr¶
esence
de lapartie
quasilin
¶
eaire.
La proposition
suiv
anteclari
fle cecommentaire
:
D.8.2.Proposition([76,Lem. 3.1]
). | Soient’ etˆ deuxformesquadr
atiques.
A lors,
on a ¶
equivalenc
e entr
e:
(1)’ • ˆ.
eres’ r etˆ 0,desentiers
s0 • s •
(2)Ilexiste
desformesquadr
atiques
non singuli
s00,ci 2 F (1 • i• s00) etdj 2 F (1 • j • s0) tels
que:
’ ’ ’ r ? hc1;:::;csi;
0
ˆ ’ ’ r ? ˆ ? [c1;d1]? ¢¢¢? [cs0;ds0]? hcs0+1 ;:::;cs00i:
Voici
quelques
remarques
:
D.8.3.R emar ques
(1)Comme ila ¶
et¶
e mention
¶
e dans[76,Rem. 3.2]
,laforme’ r interv
enant dansla
erev¶
eri
flant ’ ’ ’ r ?
proposition
D.8.2peut^
etren’importequelle
formenon singuli
ql(’).
(2)Si(’ estnon singuli
ere)ou (’ etˆ sont toutes
deuxtotalemen
t singuli
eres),
alors
lacondition
’• ˆ¶
equiv
auta ’ ‰ ˆ.
D.8.4.D ¶
eflnition
. | Une formequadratique
nonsinguli
ereˆ estditecompl¶
ement
d’uneformequadratique
totalemen
t singuli
ere’ si’ • ˆ etdimˆ =
non singulier
2dim’.
La notion
de compl¶
ementnon singulier
joueun r^
oleimportan
t.On l’utilisera
pour
d¶
eflnirlaformecompl¶
ementaire
d’uneformevoisine
de Pflster.
D.8.5.Lemme . | Siˆ estun compl¶
ementnon singulier
de ’,alors
’ ? ˆ » ’.
D¶
emonstr
ation
. | On utilise
l’isom
¶
etrie
[a;b] ? hai ’ H ? hai pour touta;b 2
F.
Le lemme suiv
ant,ditlemme de compl¶
etion
,permetd’¶
etendre
uneisom¶
etrie
entre
deux formesquadratiques
singuli
eresen une autreentredeux formesquadratiques
quilescontiennen
t comme sous-forme
:
APPENDICE
190
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
D.8.6.Lemme ([76,Cor.3.10]
). | Soient’ etˆ deuxformesquadr
atiques
non
singuli
ereset ,¿ deuxformesquadr
atiques
totalement
singuli
erestel
lesque’ ? ?
¿ ’ ˆ ? ? ¿.Si‰ estun compl¶
ementnon singulier
de ,alors
ilexiste
‰0 un autr
e
0
compl¶
ementnon singulier
de telque’ ? ‰ ? ¿ ’ ˆ ? ‰ ? ¿.
L’exemple
suiv
ant montrequelaformequadratique
‰0 interv
enant danslelemme
D.8.6n’est
pastoujours
isom¶
etrique
a‰:
D.8.7.Exemple. | Soitt unevariable
surF .Pourlesformes’ = [1;t¡ 1],ˆ = H
¡1
et = ht i,on a lesisom¶
etries
’?
’ ˆ?
;
’ ? [1;t¡ 1]’ ˆ ? H ;
mais[1;t¡ 1]etH sont deuxcompl¶
ementsnon singuliers
de ht¡ 1i non isom ¶
etri
ques.
Comme expliqu
¶
e dans[77],lelemme de compl¶
etionpermetd’obtenir
lecorollaire
suiv
ant quijoueun r^
oleimportan
t danslapreuv
e du th¶
eoreme D.12.1:
D.8.8.Corollair
e. | Soient
’ etˆ deuxformesquadr
atiques
non singuli
ereset
une formequadr
atique
totalement
singuli
ere tel
lesque
’?
A lors,̂ ?
’ (dim )£ H ? ˆ ?
:
• ’.
D.9. Formes bilin
¶
eaires- Formes totalement singuli
eres
onva donnerquelques
liens
quiexisten
tentrelesformes
bilin
¶
eaires
Danscette
section,
etlesformesquadratiques
totalemen
t singuli
eres.
. | Soit(V;B ) une formebilin
¶
eaire.
On d¶
esigne
par(V;Be) la
D.9.1.D ¶
eflnition
formequadratique
donn¶
eepar:
Be(v)= B (v;v) pourtout v 2 V:
C’estune formequadratique
totalemen
t singuli
erene d¶
ependant que de laclasse
d’isom
¶
etrie
de B .On l’app
elle
laformequadratique
asso
ci
¶
eea B .
Le lemme suiv
ant donneune autrecaract
¶
erisation
de laformequadratique
introduitedanslad¶
eflnition
pr¶
ec¶
edente:
D.9.2.Lemme . | Soit(V;B ) une formebilin
¶
eair
e. Une formequadr
atiquetotalement
singuli
ere ’ estisom¶
etrique
a Be siet seulement
sidimB = dim’ et
D F (B )= D F (’).
D¶
emonstr
ation
. | Par laproposition
D.9.7(2),on saitque deux formesquadratiques
totalemen
t singuli
eressont isom¶
etriques
sietseulemen
t sielles
sont de m ^
eme
dimension
etrepr
¶
esen
tent lesm ^
emesscalaires
de F ⁄ .
D.9.F ORMES
¶
BILIN EAIRES
- F ORMES
TOT ALEMENT
SINGULI ERES
191
D.9.3.R emar que
(1)La corresp
ondanceB 7! Be estcompatible
avec lasomme orthogonale
etla
m ultiplication
pardesscalaires
non nuls.
(2)LesformesB etBe sont simultan
¶
ement isotrop
esou anisotrop
es.
Le lemme suiv
ant completelaremarqueD.9.3(2)danslecasde lam ¶
etabolicit
¶
e
de B :
D.9.4.Lemme . | Si (V;B ) estune formebilin
¶
eair
e m¶
etab
olique,
alorsid (Be) ‚
dim B
2 .
D¶
emonstr
ation
. | PuisqueB estm ¶
etabolique,
ilexiste
W un sous-espace
de V todim V
e
talemen
t isotrop
e pour B de dimension 2 . En particulier,
B (W ) = 0. Ainsi,
dim Bean • dimV ¡ dimW = dim2 V ,c’esta-dire,
id (Be)‚ dim2 B .
La r¶
ecipro
quedu lemme D.9.4n’est
pastoujours
vraie
comme lemontrel’exemple
quisuit:
t t une variable
surF ,B = h1 :1 :0i ? h1 :0 :ti.La
D.9.5.Exemple. | Soien
formeB n’est
pasm ¶
etabolique
puisqueB an ’ h1 :0 :ti (Th¶
eoreme D.6.11
),mais
Be ’ h1;0;1;ti’ h0;0;1;ti a pourindice
de d¶
efaut2 ‚ dim2 B .
En vertudu lemmeD.9.4
,on proposeuned¶
eflnition
del’analogue
del’h
yperbolicit
¶
e
pourlesformestotalemen
t singuli
eres:
. | Une formequadratique
totalemen
tsinguli
ere’ estdite
quasiD.9.6.D ¶
eflnition
hyperbolique
sidim’ estpaireetid (’)‚ dim2 ’ .
Cettenotionde quasi-h
yperbolicit
¶
e estinvarian
teparextension
desscalai
res.
On
l’aintroduiteaupara
vant dans[137] et[139] dansune version
un peu restrictiv
e.
On verraqu’a
vec lanotionde quasi-h
yperbolicit
¶
e,on peutretrouv
erl’analogue
de
certains
th¶
eoremesquin’¶
etaien
t connusquedanslecasdesformesquadratiques
non
singuli
eres,
a savoirleth¶
eoreme de norme(cf.Th¶
eoreme D.15.1
) etleth¶
eoreme de la
sous-forme
(cf.Proposition
D.10.5
).
Un autrecadreou lesformesbilin
¶
eaires
etlesformestotalemen
t singuli
eresse
rappro
chent estleurs
classi
flcations.
D.9.A. Cas des formes totalement singuli
eres.| Lesformestotalemen
t singuli
eresseclassi
flent parl’in
termidiaire
desF 2-espaces
vectoriels
de dimension
flnie
contenus dansF . Pourcela,
on va seservir
du faitque pourune telle
forme’ ’
ha1;:::;asi, leF 2-sous-espace
vectoriel
de F engendr
¶
e parfa1;:::;asg n’est
autre
que D F (’)[ f0g.De plus,
sifai1 ;:::;aik g estune F 2-basede D F (’)[ f0g,alors
au r¶
esultat
suiv
ant.
’ an ’ hai1 ;:::;aik i.Ceciconduit
D.9.7.Proposition([76,Prop.8.1]
)
192
APPENDICE
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
(1)On a lacorrespondanc
e biunivo
quesuivante
:
‰
‰ 2
Formestotalement
singuli
eres,
F -sous-esp
acesde F
›
£N
a isom¶
etrie
pres
de dimension
flnie
’
¡!
(V;dim’ ¡ dimF 2 V ) pourV = D F (’)[ f0g
ha1;:::;an i? m £ h0i
ˆ¡
(V;m ) pourune F 2-basefa1;:::;an g de V
(2)’ ’ ha1;:::;an i ‰ ˆ ’ hb1;:::;bm i sietseulement
sim ‚ n etleF 2-sousespace vectoriel
de F engendr
¶
e par fa1;:::;an g estcontenudansleF 2-sousespace vectoriel
de F engendr
¶
e par fb1;:::;bn g sietseulement
sim ‚ n et
D F (’)[ f0g ‰ D F (ˆ)[ f0g.
(3)Pourtoute
formequadr
atique
totalement
singuli
ere ’ ’ ha1;:::an ietpourtoute
extension
K =F, ilexiste
(¶
eventuel
lementapresr¶
e-indexation)
0 • m • n tel
que(’ K )an ’ ha1;:::;am iK .
D.9.B. Cas des formes bilin
¶
eaires.
| Une classi
flcation
desformesbilin
¶
eaires
a¶
et¶
e donn¶
ee aupara
vant parMilnor[163].Pourd¶
ecrire
celle-ci
on donnequelques
pr¶
eliminaires.
Soit :F ! F 2 l’application
donn¶
eepar:fi 7! fi 2.C’estune formequadratique
2
Soitc l’injection
de F dansC ( ),l’alg
ebrede
surF ,vu comme F -espace
vectoriel.
Cli
fiordde .Comme ila ¶
et¶
e remarqu
¶
e parMilnor,
C ( ) estun anneaulocal(comm utatif
) d’id
¶
ealmaximalM = fx 2 C ( ) jx2 = 0g,etque C ( )=M estisomorphe
aF.
D.9.8.D ¶
eflnition
. | Un ¶
el
¶
ement de C ( ) estditd¶
ecomposable
s’il
s’
¶
ecrit
sousla
formec(f1)¢¢¢c(fk ) pourcertains
scalaires
f1;¢¢¢;fk 2 F .
Voici
laclassi
flcation
desformesbilin
¶
eaires
:
D.9.9.Th ¶
eoreme ([163,Th.1]). | Le groupe additif
W (F )estisomorphe
au groupe multiplic
atif
des¶
el
¶
ementsd¶
ecomposables
du quotient
C ( )⁄ =F ⁄2, ou C ( )⁄ estle
groupe desunit
¶
esde C ( ).
L’ingr
¶
edien
t essen
tiel
pourlapreuv
e de ceth¶
eoreme estlanotionde d¶
eterminant
de Cli
fiord introduiteparMilnor,
dont voici
unedescription
:
Soien
t B une formebilin
¶
eairesurF et fe1;¢¢¢;en g une F -basede son espace
sous-jacen
t.Pour1 • i;j • n, posonsfi i;j = B (ei;ej). La matrice(c(fi i;j))esta
coe–cientsdansC ( ) etdont led¶
eterminan
t s’app
elle
led¶
eterminant
de Clifior
d de
B .C’estun ¶
el
¶
ement de lacomposantepaireou impaire
de C ( ) suiv
ant quel’en
tier
n estpairou impair.
Comme a ¶
et¶
e prouv¶
e dans[163, Lem. 2], led¶
eterminan
t de Cli
fiord de B est
une unit
¶
e d¶
ecomposable
de C ( ) etuniquemo duloF ⁄2. On note4 (B ) l’in
varian
t
det((c(fi i;j)))¢F ⁄2 2 C ( )⁄ =F ⁄2. On a alorsun homomorphisme4 : W (F ) !
C ( )⁄ =F ⁄2 donn¶
e par:B 7!4 (B ).
D.10.CORPS
DE F ONCTIONS
¶
- TH EOR
EMES
DE SOUS-F ORME
193
Ila ¶
et¶
e prouv¶
e dans[163,Lem.3]qu’uneformebilin
¶
eaire
anisotrop
e B estuniquement d¶
etermin
¶
eeparl’in
varian
t 4 (B ).Celapermetd’obtenir
leth¶
eoreme D.9.9
.
Voici
uneautreclassi
flcation
desformesbilin
¶
eaires
quiserappro
chebeaucoupplus
a laproposition
D.9.7:
D.9.10.Th ¶
eoreme ([163,Th.3]). | Une formebilin
¶
eair
e B estd¶
etermin
¶
ee,a
2
isom¶
etrie
pres,par sa partieanisotr
ope B an , leF -esp
ace vectoriel
D F (B ) [ f0g,
etdimB quivaut2dim(Be)an ¡ dimB an + 2h,ou h estlemaximalde copiesdu plan
m¶
etab
olique
h0 :1 :0i quiappara^‡tdanslad¶
ecomposition
de Wittde B .
D.10. Corps de fonctions
- Th ¶
eoremes de sous-forme
Soit’ = ? ri=1 [ai;bi]? hc1;:::;csi une formequadratique
non nullede dimension
‚ 1.
P r
P s
2
2
2
Le polyn
ome P =
^
sietseulemen
t
eductible
i=1 (aixi + xiyi+ biyi )+
i=1 cizi estr¶
si(’ nd estde type (0;1)) ou (’ nd estde type (1;0)etestisom¶
etrique
a H ) [155].
Ilestabsolumen
t irr
¶
eductible
sietseulemen
t si’ estde type (r;s) avec r ‚ 1 et
dim’ nd ‚ 3 [2].
D.10.1.D ¶
eflnition
. | Lorsque
P estirr
¶
eductible,
lecorpsdefonctions
de’,qu’on
noteF (’),estd¶
eflnicomme ¶
etan
tlecorpsdefonctions
delaquadrique
a–ne d’¶
equation
’ = 0.SiP estr¶
eductible
ou ’ estnulle,
on poseF (’)= F .
D.10.2.D ¶
eflnition
. | Le corpsde fonctions
d’uneformebilin
¶
eaireB estd¶
eflni
comme ¶
etan
t lecorpsF (Be).
En caract
¶
eristique
= 2,l’extension
6
donn¶
eeparlecorpsde fonctions
d’uneforme
quadratique
esttranscendan
tepuresurlecorpsde basesietseulemen
t silaforme
quadratique
estisotrop
e.En caract
¶
eristique
2,lasituation
estassez
difi¶
eren
tecomme
lepr¶
ecise
lelemme quisuit:
D.10.3.Lemme . | Pour une formequadr
atique
’ ,on a :
(1)L’extension
F (’)=F esttransc
endantepure sietseulement
si’ nd estisotr
ope.
(2)Si’ estd¶
efe
ctive,
disons
’ ’ ’ nd ? m £ h0i,alors
F (’)=F(’ nd ) esttransc
endantepure de degr¶
e de transc
endanc
em.
Un r¶
esultat
fondamen
talen th¶
eorie
descorpsde fonctions
en caract
¶
eristique
2 est
l’analogue
du th¶
eoreme de lasous-forme
de Cassels-P
flster:
D.10.4.Th ¶
eoreme ([76,Th.4.2]
, [134,Prop.3.4]
). | Soient’, ˆ deuxformes
quadr
atiques
avec ’ anisotrope etˆ non d¶
efe
ctive.
Si’ devient
hyperb
olique
surF (ˆ),
alors
fi ˆ • ’ pourtoutfi 2 D F (’)D F (ˆ).En particulier,
dimˆ • dim’.
194
APPENDICE
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
Le th¶
eoreme D.10.4s’
¶
etendau casdesformestotalemen
t singuli
eres(Proposition
D.10.5
) etdesformesbilin
¶
eaires
(Proposition
D.10.6
),etplusg¶
en¶
eralemen
t au cas
desformessinguli
erespastotalemen
t singuli
eres(Proposition
D.15.6
):
D.10.5.Proposition([137,Th.1.3]
, [67]). | Soient
’ etˆ deuxformesquadrati
questotalement
singuli
erestel
lesque’ soit
anisotrope etdevienne
quasi-hyp
erb
olique
surF (ˆ).A lors,
fiˆ an ‰ ’ pourtoutfi 2 D F (ˆ)D F (’).
D.10.6.Proposition([138,Prop.1.1]
). | SoientB une formebilin
¶
eair
e anisotrope et’ une formequadrati
queanisotrope tel
lesqueB devienne
m¶
etaboli
quesur
F (’).A lors:
(1)’ esttotalement
singuli
ere.
(2)Pourtoutfi 2 D F (’)D F (B ),ilexiste
B 0 unesous-forme
defiB quiestasso
ci¶
ee
dim’ • dimB .
a ’.En particulier,
D¶
emonstr
ation
. | Soitfi = uv avec u 2 D F (’) et v 2 D F (B ) = D F (Be). La
m¶
etabolicit
¶
e de B F (’ ) implique
que ’ esttotalemen
t singuli
ere[134],etque BeF (’ )
estquasi-h
yperbolique
(Lemme D.9.4
).Par laproposition
D.10.5
, on a u’ ‰ vBe.
e
Ainsi,
D F (’)‰ fiD F (B )= fiD F (B ).Posons’ = ha1;:::;an i,etsoitxi lesvecteurs
de l’espace
V sous-jacen
t a B telsque B (xi;xi) = fi ¡ 1ai.Ces vecteurs
xi sont F lin
¶
eairemen
tind¶
ependantspuisque
lesscalaires
ai sontF 2-lin
¶
eairemen
tind¶
ependants
0
vueque’ estanisotro
pe.SoitW lesous-espace
deV engendr
¶
e parxi,etB larestrictionde fiB a W .Parl’anisotropie
de B ,ilexiste
B 00 une formebilin
¶
eaire
telle
que
fiB ’ B 0 ? B 00.Ilestclair
queD F (B 0)= D F (’) etdimB 0 = dim’,cequidonnele
r¶
esultat.
D.11. Les formes de Pflster et leursvoisines
D.11.A. Formes de Pflster.| Une importan
teclasse
de formesbilin
¶
eaires
et
quadratiques
estcelle
desformesvoisines
de Pflster.
C’estlesformesbilin
¶
eaires
de
D’unepart,
on va seservir
de
Pflsterquivont g¶
en¶
ererleurs
analogues
quadratiques.
lastructure
de W (F )-modulede W q(F ) pourd¶
eflnirlesformes(nonsinguli
eres)
de
Pflster,
etd’autre
parton va utiliser
lelienmention
¶
e danslasection
D.9 entreles
formesbilin
¶
eaires
etlesformestotalemen
tsinguli
erespourd¶
eflnirlesformesdePflster
pourcesderni
eres.
Entreautres,
on va introduirelesvoisines
decesdifi¶
eren
tesformes
dePflster,
eton donneradespropri
¶
et¶
es,descaract
¶
erisations
etdesclassi
flcations
pour
lesformesquadratiques
voisines
de Pflster.
D.11.1.D ¶
eflnition
. | Soitn ‚ 1 un entier.
(1)Une n-formebilin
¶
eaire
de Pflsterestune formeisom¶
etrique
a h1;a1ib › ¢¢¢›
h1;an ib pourcertains
ai 2 F ⁄ .
D.11.LES F ORMES
DE PFISTER
ET LEURS
V OISINES
195
(2)Une quasin-forme
dePflster
estuneformetotalemen
tsinguli
ereasso
ci
¶
eea une
n-formebilin
¶
eaire
de Pflster.
(3)Une (n+ 1)-forme
dePflster
estuneformeisom¶
etrique
a B › [1;a]pourcertains
a 2 F etB unen-formebilin
¶
eaire
de Pflster.
Une 1-formede Pflster
estuneformede
type [1;a]poura 2 F .
D.11.2.Notation. | Poura1;¢¢¢;an 2 F ⁄ etb 2 F ,on notepar:
(1)hha1;¢¢¢;an iib lan-formebilin
¶
eaire
de Pflsterh1;a1ib › ¢¢¢› h1;an ib.
(2)hha1;¢¢¢;an ii laquasi-forme
de Pflsterdonn¶
eeparhha1;¢¢¢;an iib.
(3)hha1;¢¢¢;an ;b]
]la(n + 1)-formede Pflsterhha1;¢¢¢;an iib › [1;b].
(4)P n F (resp.
GP n F )l’ensem
bledesformesquadratiques
isom¶
etriques
(resp.
semblables)
a desn-formes
de Pflster.
Les deux propositions
quivont suivre
donnent deux propri
¶
et¶
esimportan
tesdes
¶
eaires
de Pflster,
on a :
formesde Pflster.
En cequiconcerne
lesformesbilin
D.11.3.Proposition
. | SoitB une formebilin
¶
eair
e de Pflster.
A lors:
(1)[22,Th. 2.8,p.97]: B estmultiplic
ative,
c’esta-dir
e,fi 2 D F (B ) sietseulement siB ’ fiB .
(2)[138,Prop.3.3]
: B estisotr
ope sietseulement
sielleestm ¶
etab
olique.
De fa»
conanalogue
pourlesformesde Pflsteretlesquasi-formes
de Pflster,
on a :
D.11.4.Proposition
. | Soit’ une formede Pflster(resp.une quasi-forme
de
Pflster).
A lors:
p.95];resp.[76,Section
8]: Pourtoutfi 2 D F (’),on a ’ ’ fi’.
(1)[22,Th.2.4,
(2)[22,Cor.3.2,p.105]; resp.[76,Section
8]: ’ estisotr
ope sietseulement
si
erb
olique).
elleesthyperb
olique
(resp.quasi-hyp
Une caract
¶
erisation
desformesde Pflsterestqu’uneformebilin
¶
eaire
anisotrop
e
(resp.
une formenon singuli
ereanisotrop
e)estsemblable
a une formede Pflstersi
et seulemen
t sielleestm ¶
etabolique
(resp.hyperbolique)
surson proprecorpsde
fonctions
(Corollaire
D.14.6
, resp.Th¶
eoreme D.13.9
).On a lem ^
eme r¶
esultat
pour
lesquasi-formes
de Pflsteren utilisan
t lanotionde quasi-h
yperbolicit
¶
e ([137,Cor.
1.8]
).Pour cesderni
eres,
on a une autrecaract
¶
erisation
bas¶
ee surlapropri
¶
et¶
e de
m ultiplicativit
¶
e:
D.11.5.Proposition([76,Prop.8.5]
). | Soit’ uneformequadr
atique
totalement
singuli
ere anisotrope.A lors,
’ estisom¶
etrique
a unequasi-forme
dePflstersietseulement si’ ’ fi’ pourtoutfi 2 D F (’).
196
APPENDICE
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
D.11.B. V oisines
de Pflster : D ¶
eflnitions,
propri
¶
et¶
es et classiflcations
D.11.6.D ¶
eflnition
. | Une formequadratique
’ estditeune voisine
de Pflster
(resp.
une quasi-v
oisine
de Pflster
) s’il
existe
une formede Pflster(resp.
une quasiformede Pflster)
… telle
que2dim’ > dim… etfi’ • … pourun certain
fi 2 F ⁄ .
Dans [138]on a introduitlanotionde formebilin
¶
eaire
voisine
de Pflster.
Sa form ulation
difierel¶
egementdecequiestdonn¶
e danslad¶
eflnition
D.11.6
,etestmotiv¶
ee
parleth¶
eoreme de sous-forme
pourlesformesbilin
¶
eaires
(Th¶
eoreme D.10.6
):
D.11.7.D ¶
eflnition
. | Une formebilin
¶
eaire
B estdite
voisine
d’uneformebilin
¶
eaire
de Pflster… si2dimB > dim… ets’il
existe
uneformebilin
¶
eaire
C telle
que:Be ’ Ce
etfiC ‰ … pourun certain
fi 2 F ⁄ .
Comme encaract
¶
eristique
= 2,voici
6
quelques
propri
¶
et¶
esclassiques
desformesquadrati
quesvoisines
etquasi-v
oisines
de Pflster:
D.11.8.Proposition([134,Prop.3.1]
, [136,Cor.2.5]
, [76,Section
8])
Soit’ une formequadr
atique
anisotr
ope.A lorson a lesassertions
suivantes
:
(1)Si’ estune voisine
de Pflster,
alors
ellen’est
pastotalement
singuli
ere.
(2)Si’ estvoisine
ou quasi-voisine
de …,alors
… estuniquea isom¶
etrie
pres.
(3)Si’ estvoisine
ou quasi-voisine
de …,alors
pourtouteextension
K =F,’ K est
ope.En particulier,
lesformes…F (’ ) et
isotr
ope sietseulement
si…K estisotr
’ F (… ) sontisotr
opes.
(4)’ estune voisine
ou une quasi-voisine
de … sietseulement
si2dim’ > dim…
et…F (’ ) estisotr
ope.
En cequiconcerne
lesclassi
flcations,
on donnecelle
desformesvoisines
de Pflster
de dimension
au plus8 :
). | Soit’ uneformequadr
atique
anisotroD.11.9.Proposition([134,Prop.3.2]
pe tel
leque2 • dim’ • 8.On a :
(1)Sidim’ • 3, alors’ estune voisine
de Pflstersietseulement
si’ n’estpas
totalement
singuli
ere.
(2)Sidim’ = 4,alors
’ estune voisine
de Pflstersietseulement
si’ 2 GP 2F .
(3)Si dim’ = 5, alors’ estune voisine
de Pflstersietseulement
si’ estde
typ
e (2;1)etindC 0(’)• 2;ou bien’ ’ a[1;x]? hb;c;di etl’alg
ebr
e [x;a) est
p
p
d¶
eploy
¶
eesurF ( bd; cd).
(4)Sidim’ = 6, alors’ estune voisine
de Pflstersietseulement
si’ estnon
singuli
ere ethyperb
olique
surF [x]=(x2 + x + –) avec ¢(’)= –+ }(F );ou bien
p
’ ’ ˆ ? ha;bi avec ˆ non singuli
ere ethyperb
olique
surF ( ab).
(5)Sidim’ = 7,alors
’ estune voisine
de Pflstersietseulement
si’ estde typ
e
(3;1)etl’alg
ebr
e C 0(’) estd¶
eploy
¶
ee.
D.11.LES F ORMES
DE PFISTER
ET LEURS
V OISINES
197
(6)Sidim’ = 8,alors
’ estune voisine
de Pflstersietseulement
si’ 2 GP 3F .
On a aussi
uneclassi
flcation
desquasi-v
oisines
de Pflsterjusqu’
a dimension
7:
D.11.10.Proposition([76,Prop.8.12]
). | Soit’ une formequadr
atique
totalement singuli
ere anisotrope.On a :
(1)Sidim’ • 3,alors
’ estune quasi-voisine
de Pflster.
(2)Sidim’ = 2n ,alors
’ estune quasi-voisine
de Pflstersietseulement
si’ est
semblable
a une quasi-forme
de Pflster.
(3)Sidim’ = 5,alors
’ estunequasi-voisine
dePflstersietseulement
siilexiste
⁄
a;b;c 2 F tels
que’ soitsemblable
a h1;a;b;ab;ci.
(4)Sidim’ = 6,alors
’ estunequasi-voisine
dePflstersietseulement
siilexiste
a;b;c 2 F ⁄ tels
que’ soitsemblable
a h1;a;b;ab;c;aci.
(5)Sidim’ = 7,alors
’ estunequasi-voisine
dePflstersietseulement
siilexiste
a;b;c 2 F ⁄ tels
que’ soitsemblable
a ha;b;c;ab;ac;bc;abci.
La classi
flcation
donn¶
eedanslaproposition
D.11.10
estparall
elea celle
desformes
quadratiques
voisines
de Pflsterdonn¶
eeparKnebusc
h en caract
¶
eristique
= 2 [123,
6
p.10{11]
.
Maintenan
t on revien
t au casdesformesbilin
¶
eaires
voisines
pourdonnerquelques
unesde leurs
propri
¶
et¶
es:
D.11.11.Proposition([138,Prop.5.2,
Prop.5.3]
)
(1)SoitB 0 uneformebili
n¶
eaire voisine
d’uneformebilin
¶
eair
e dePflsterB .A lors:
(i)Pour touteextension
K =F, lesformesB K etB K0 sontsimultan
¶
ement
isotr
opesou anisotropes.En particulier,
B F (B 0) etB F0 (B ) sontisotr
opes.
(ii)
SiB 0 estanisotrope etestvoisine
d’uneautr
e formebilin
¶
eair
e de Pflster
C ,alors
Be ’ Ce.
(2)SiB etB 0 sontdeuxformesbilin
¶
eair
esanisotropesavec B uneformebilin
¶
eair
e
0
de Pflster,
alorsB estvoisine
de B sietseulement
siB devient
isotr
ope sur
F (B 0) et2dimB 0 > dimB .
On a d¶
emontr¶
e cetteproposition
comme pour lecasdes formesquadratiques
voisines
(quasi-v
oisines)
de Pflsteren utilisan
t laproposition
D.10.6etlefait
qu’une
formebili
n¶
eairede Pflsterisotrop
e estm ¶
etabolique
(Proposition
D.11.3
).
En g¶
en¶
eral,
une formebilin
¶
eaire
peut^
etrevoisine
de plusieurs
formesbilin
¶
eaires
de Pflster
(cf.ExempleD.11.12
),cequin’est
paslecaspourlesformesquadratiques
voisines
(quasi-v
oisines)
de Pflster.
D.11.12.Exemple. | Soien
t x;y desvariables
surF ,…1 = hhx;yiib,…2 = hhx;x +
yiib etB = h1;x;x + y;xyib.Alors,
surlecorpsF (x;y) lesformes…1;…2 etB sont
anisotrop
es,B estvoisine
de …1 et…2 mais…1 6
’ …2.
198
APPENDICE
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
D¶
emonstr
ation
. | PosonsK = F (x;y).Puisque…
f1 ’ Be ’ …
f2 et…1 estanisotrop
e,
lesformes…2 etB sontaussi
anisotrop
es.De plus,
(…1)K (B ) et(…2)K (B ) sontisotrop
es.
Parlaproposition
D.11.11
(2),
B estvoisine
de …1 et…2.On a …1 ? …2 » hy;xy;x +
y;x(x + y)ib. Par laquatri
eme relation
d’isom
¶
etrie
du lemme D.3.10
, on voitbien
que laformequadratique
hhx;yii estasso
ci
¶
eea hy;xy;x + y;x(x + y)ib.Ainsi,
cette
derni
ereformene peut^
etreisotrop
e,etdonc…1 ne peut^
etreisom¶
etrique
a …2.
Dans [141]on a contin
u¶
e l’
¶
etudedesformesbilin
¶
eaires
voisines
quia ¶
et¶
e entam¶
ee
dans[138].Parmilesr¶
esultats
qu’ona d¶
emontr¶
e dans[141]on peutciter
lapropositionsuiv
antequimontrequelesformesbilin
¶
eaires
voisines
secorresp
ondentm utuellementaveclesformesquasi-v
oisines
,etqu’uneformebilin
¶
eaire
anisotrop
e devien
tune
voisine
de Pflsterapresextension
desscalaires
a un corpsconvenable:
D.11.13.Proposition([141,Prop.3.8,
Prop.3.13]
)
(1)Une formebilin
¶
eair
e anisotr
ope B estune voisine
de Pflstersietseulement
si
Be estune quasi-voisine
de Pflster.
(2)SiB estuneformebilin
¶
eair
e anisotr
ope,alors
ilexiste
uneextension
K =F tel
le
ope.
queB K soitune voisine
de Pflsteranisotr
On reviendra
dans lasection
D.14 pour discuter
quelques
caract
¶
erisations
des
formesbilin
¶
eaires
(resp.
quadratiques)
voisines
utilisan
t led¶
eploiemen
t surleurproprescorpsde fonctions
.De plus,
on va voirque lath¶
eorie
de d¶
eploiemen
t standard
su– tpourcaract
¶
eriser
completemen
t lesquasi-v
oisines
de Pflster(Th¶
eoreme D.17.10
(3)).
D.11.C. Le compl¶
emen taired’une forme quadratiquevoisinede Pflster.
| Fixons’ = ’ r ? ql(’) uneformequadratique
anisotro
pe voisine
d’uneformede
Pflster….Soita 2 F ⁄ telque’ • a….
Parlaproposition
D.11.8on a dim’ r > 0,etparlaproposition
D.8.2ilexistê
uneformenon singuli
ereet un compl¶
ement non singulier
de ql(’) tels
que:
(D.11.1)
a… ’ ’ r ? ˆ ?
:
On a laproposition
suiv
ante:
D.11.14.Proposition
. | A vec lesm ^
emes notations
quedans(D.11.1)
,on a :
(1)La formequadr
atiquê ? ql(’) ne d¶
ependquede laclasse
d’isom
¶
etrie
de ’.
(2)’ F (’ ) » (ˆ ? ql(’))F (’ ).
(3)dim’ + dim(ˆ ? ql(’))= dim….
D¶
emonstr
ation
D.12.ISOTR OPIE SUR
LES CORPS
DE F ONCTIONS
DES QUADRIQUES
199
(1)Soien
t ˆ 0 une formenon singuli
ere, 0 un autrecompl¶
ement non singulier
de
⁄
ql(’) etb 2 F telsque b… ’ ’ r ? ˆ 0 ? 0. Alors,
parm ultiplicativit
¶
e,on
obtien
t’ r ? ˆ ? ’ ’ r ? ˆ 0 ? 0,etparlasimpli
flcation
deWitt(prop
osition
D.6.1
),on d¶
eduit̂ ? ’ ˆ 0 ? 0.Puisque ? ql(’)» ql(’)» 0 ? ql(’),on
utilise
de nouveaulasimpli
flcation
de Wittpouravoirˆ ? ql(’)’ ˆ 0 ? ql(’).
(2)R ¶
esulte
de l’
¶
equiv
alence ? ql(’)» ql(’) etde l’h
yperbolicit
¶
e de …F (’ ).
¶
(3)Eviden
t.
D.11.15.D ¶
eflnition
(1)Aveclesm ^
emes notations
que dans(D.11.1)
,laformeˆ ? ql(’) s’app
elle
la
formecompl¶
ementaire
de ’.
(2)La codimension
d’uneformequadratique
voisine
estladimension
de saforme
compl¶
ementaire.
Dans lecasd’uneformequadratique
voisine
’ non singuli
ere,on retrouv
e la
d¶
eflnition
de Knebusc
h de laformecompl¶
ementaire
d’uneformevoisine
en caract¶
eris
ti
que6
= 2.
D.12. Isotropie
sur lescorpsde fonctions
des quadriques
D.12.A. Le th¶
eoreme de Hofimann et un autreth¶
eoreme d’Izhboldin.|
Le probl
eme d’isotropie
surlescorpsde fonctions
desquadriques
consiste
a donner
desconditions
n¶
ecessaires
etsu–santespourqu’uneformequadratique
anisotro
pe
donn¶
eedevienne
isotrop
e surlecorpsdefonctions
d’uneautre.
Aveclelemme D.10.3
,
desformesquadratiques
anisotro
pes.
ilsu–t de consid
¶
ererlescorpsde fonctions
Un r¶
esultat
fondamen
talprouv¶
e cesderni
eres
ann¶
eessurceprobl
eme estleth¶
eoreme
de Hofimann ,connu souslenom ((th¶
eoreme desdimensions
s¶
epar
¶
eesparune puis. Ce th¶
eoreme a permisbeaucoupd’applications,
et
sancede 2 ))[68,Main Theorem]
a motiv¶
e d’autres
probl
emescomme l’
¶
etudedel’
¶
equiv
alence
birationnelle
stable
entre
lesquadriques.
R¶
ecemment,encollab
oration
avecHofimann,nousavonsdonn¶
e uneg¶
en¶
erali
sation
completede sonth¶
eoreme a lacaract
¶
eristique
2:
D.12.1.Th ¶
eoreme ([77,Th.1.1]
). | Soient’ etˆ deuxformesquadrati
quesanisotropes(¶
eventuel
lementsinguli
eres)tel
lesquedim’ • 2n < dimˆ pourun certain
n ‚ 1.A lors,
’ F (ˆ ) estanisotrope.
Une premiereg¶
en¶
eralisation
du th¶
eoreme de Hofimann a lacaract
¶
eristique
2a¶
et¶
e
donn¶
ee en collab
oration
avec Mammone lorsque
dim’ + dimql(’) • 2n < dimˆ
[142].
200
APPENDICE
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
La preuv
e du th¶
eoreme D.12.1estfond
¶
eesurl’id
¶
eeutilis
¶
eeparHofimann en caract¶
eristique
= 2 quiconsiste
6
a rendre
uneformequadratique
anisotro
pe dedimension
n
• 2 un facteur
direct
d’une(n + 1)-formede Pflsterapresextension
desscalaires
a
uneextension
convenable
du corpsdebase.
En caract
¶
eristique
2,on a g¶
en¶
eralis
¶
e cette
id¶
eeen l’
¶
etendan
t aussi
au casd’uneformede dimension
2n + 1 comme suit:
D.12.2.Proposition([77,Prop.3.1]
). | Soientn ‚ 1 un entier
et’ une forme
quadr
atique
anisotrope tel
leque:
(A) dim’ • 2n ,ou
(B) dim’ = 2n + 1 et’ n’est
pastotalement
singuli
ere.
A lors,
ilexiste
une extension
K =F etune forme… 2 P n +1 K anisotrope tel
lesque:
(1)’ K • …,
(2)Touteformequadr
atique
anisotrope surF resteanisotrope surK (…) danslecas
(A).
D’autre
part,
ona montr¶
e quedanslecas(B),onpeutchoisir
l’extension
K (’)=F(’)
unirationnelle,
c’esta-dire,
K (’) estcontenu dansuneextension
transcendan
tepure
deF (’).Cetteid¶
eeestduea Izhboldin
encaract
¶
eristique
= 2,etluia permisdeprou6
verun th¶
eoreme g¶
en¶
eralsurl’
¶
equiv
alence
birationnelle
stable
entredeuxquadriques,
dont lag¶
en¶
eralisation
a lacaract
¶
eristique
2 estlasuiv
ante:
D.12.3.Th ¶
eoreme . | Soient’ etˆ deuxformesquadrati
quesanisotropestel
les
quedim’ = 2n + 1 etdimˆ > 2n .Si’ F (ˆ ) estisotr
ope,alorŝ F (’ ) estisotr
ope,et
singuli
ere (resp.n’est
pastotalement
singuli
ere)si’ esttotalement
ˆ esttotalement
singuli
ere (resp.si’ n’est
pastotalement
singuli
ere).
Ce th¶
eoreme a ¶
et¶
e prouv¶
e dans[77,Th. 1.3]lorsque
’ n’est
pastotalemen
t singuli
ere,
puisila¶
et¶
e r¶
ecemmentcompl¶
et¶
e parTotarolorsque
’ esttotalemen
tsinguli
ere
[210].
Rappelonsque dans[134]etr¶
ecemment dans[53],leprobl
eme d’isotropie
d’une
pe surlecorpsde fonctions
d’uneautreformeˆ a ¶
et¶
e
formequadrati
que ’ anisotro
¶
etudi
¶
e danslescassuiv
antspourcertaines
formesˆ :
(1)(’ estde dimension
7) ou (’ 2 I2W q(F ) de dimension
8),etC (’) estBrauer¶
equiv
alen
tea unealg
ebrede quaternions
.
(2)’ estde type (3;0)isotrop
e surF ([1
;4 (’)])
,ou ’ ’ ¿ ? ch1;di pourcertains
c;d 2 F ⁄ et¿ 2 GP 2F .
(3)’ estuneformed’Alb
ert
,c’esta-dire,
dim’ = 6 et¢ (’)= 0.
(4)’ estde dimension
5 etde type (2;1).
(5)’ estde dimension
4 etde type (2;0)ou (1;2).
(6)’ estde dimension
• 3.
D.12.ISOTR OPIE SUR
LES CORPS
DE F ONCTIONS
DES QUADRIQUES
201
On renvoiea [134]et[53]pourlesd¶
etails
des¶
enonc
¶
es,etlespreuv
esquiutilisen
t
parfois
destec
hniquesplussubtiles
que celles
utilis
¶
eesen caract
¶
eristique
= 2 pour
6
traiter
lescassimilaires.
Toujours
danslecadredu probl
eme d’isotropie,
on donneun r¶
esultat
g¶
en¶
eralconcernan
t l’isotropie
desformesquadratiques
totalemen
t singuli
eressurlescorpsde
fonctions
:
D.12.4.Proposition([134,Cor.3.3]
). | Si ’ estune formequadr
atique
totalement singuli
ere anisotrope etˆ une formequadr
atique
quin’estpas totalement
singuli
ere,alors
’ estanisotrope surF (ˆ).
Le corollaire
suiv
ant estimm ¶
ediat
en utilisan
t l’unicit
¶
e de lapartie
quasi-lin
¶
eaire
:
D.12.5.Corollair
e. | Soient’ etˆ deuxformesquadr
atiques
tel
lesque ’ soit
anisotrope etˆ ne soitpas totalement
singuli
ere.A lors,
ql(’)F (ˆ ) estanisotrope et
coincide
avec lapartie
quasi-lin
¶
eair
e de (’ F (ˆ ))an . En particulier,
si’ estde typ
e
(r;s),alors
(’ F (ˆ ))an estde typ
e (r0;s) pourun certain
r0 • r.
de Wittetd’indice
total,
lecorollaire
D.12.5setraduit
comme
En termesd’indice
suit:
D.12.6.Corollair
e. | Soient
’ etˆ deuxformesquadr
atiques
avec ’ anisotrope.
(1)Si’ etˆ nesontpastotalement
singuli
ereset’ F (ˆ ) estisotr
ope,alors
it(’ F (ˆ ))=
iW (’ F (ˆ ))‚ 1.
(
iW (’ F (’ )) si’ n’est
pastotalement
singuli
ere
(2)
it(’ F (’ ))=
id (’ F (’ )) sinon.
D.12.B. Formes quadratiquesa d¶
eploiement maximal. | (cf.
exercice
5.8.4
).
Le th¶
eoreme D.12.1a quelques
cons
¶
equences
importan
tes.La premiereconcerne
lesformesvoisines
de Pflster:
D.12.7.Proposition
. | Soient
’ uneformequadrati
queanisotrope voisine
dePflsementair
e.A lors,
(’ F (’ ))an ’ ‰F (’ ).
ter
, et‰ saformecompl¶
D¶
emonstr
ation
. | Supposonsque ’ soitvoisine
d’unen-formede Pflster.
Soit‰ la
formecompl¶
ementaire
de’.On sait
parlaproposition
D.11.14
quedim’ + dim‰ = 2n
et’ F (’ ) » ‰F (’ ).Puisque2dim’ > dim…,on obtien
t dim‰ < 2n ¡ 1 < dim’.Parle
th¶
eoreme D.12.1
,‰F (’ ) estanisotro
pe.Ainsi,
(’ F (’ ))an ’ ‰F (’ ).
La deuxi
eme cons
¶
equenceconcerne
l’indice
total
d’uneformequadrati
que apres
extension
desscalaires
a sonproprecorpsde fonctions
:
D.12.8.Proposition
. | Soit’ une formequadrati
que anisotrope de dimension
n
n
2 + m avec 0 < m • 2 .A lors,
it(’ F (’ ))• m .
202
APPENDICE
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
D¶
emonstr
ation
. | SoitV l’espace
sous-jacen
t a ’. Posonsi = it(’ F (’ )) ‚ 1. On
choisit
W un sous-espace
de V › F F (’) totalemen
t isotrop
e de dimension
i,etW 0
un sous-espace
de V de dimension
dim’ ¡ i+ 1. Par raisonde dimension,
on a
W \ (W 0 › F F (’))6
= f0g.Celaveutdireque larestriction
’ 0 de ’ a W 0 devien
t
isotrop
e surF (’).Parleth¶
eoreme D.12.1
,on a dim’ 0 > 2n ,c’esta-dire,
i• m .
D.12.9.D ¶
eflnition
. | Une formequadrati
que’ anisotro
pe de dimension
2n + m ,
n
avec0 < m • 2 ,estditea d¶
eploiemen
t maximalsiit(’ F (’ ))= m .
Le lemme quisuitdonnedesd¶
eflnitions
¶
equiv
alen
tesa lanotionde d¶
eploiemen
t
maximal.
D.12.10.Lemme . | Soit’ uneformequadrati
queanisotrope dedimension2n + m
n
0 0
avec 0 < m • 2 .Notons(r;s) letyp
e de ’ et(r ;s ) letyp
e de (’ F (’ ))an .A lors,
on
a¶
equivalenc
e entr
e:
(1)’ esta d¶
eploiement
maximal.
(
2n ¡ m si’ n’est
pastotalement
singuli
ere,
(2)
dim(’ F (’ ))an =
n
2
sinon.
(
(r ¡ m; s) si’ n’est
pastotalement
singuli
ere,
(3)
(r0;s0)=
n
(0;2 )
sinon.
Voici
quelques
exemples
de formesquadrati
quesa d¶
eploiemen
t maximal:
D.12.11.Exemples. | Les formesquadrati
ques’ v¶
eri
flant l’unedesconditions
suiv
antessont a d¶
eploiemen
t maximal:
(1)dim’ = 2n + 1 avecn ‚ 1.
(2)’ estunevoisine
de Pflster
.
D¶
emonstr
ation
(1)Cons¶
equencede laproposition
D.12.8
.
(2)Se d¶
eduitde laproposition
D.12.7
.
D.12.12.R emar que. | Ilexiste
desformesquadrati
quesanisotro
pesquisont a
d¶
eploiemen
t maximalmaispasdesvoisi
nesde Pflster.
D¶
emonstr
ation
. | Pour x;y;z;t des variables
surF , la formequadratique
’ =
x[1;y]? h1;z;ti esta d¶
eploiemen
t maximalsurF (x;y;z;t) carde dimension
5 (ExempleD.12.11
),maiselle
n’est
pasunevoisine
parlaproposition
D.11.9
.
Cependant,leth¶
eoreme suiv
antmontrequesouscertaines
conditions
surladimension,
une formequadrati
que a d¶
eploiemen
t maximalne peut^
etrequ’unevoisine
de
Pflster:
D.12.ISOTR OPIE SUR
LES CORPS
DE F ONCTIONS
DES QUADRIQUES
203
D.12.13.Th ¶
eoreme ([77,Th.1.2]
). | Soitˆ une formequadrati
que anisotrope
quin’est
pas totalement
singuli
ere,de dimension
• 2n +1 .Supposonsqu’onaitl’une
desconditions
suivantes
:
(1)dimˆ ‚ 2n +1 ¡ 2 avec n ‚ 2.
(2)dimˆ = 2n +1 ¡ 3 avec n ‚ 2 sidimql(ˆ)= 1,etn ‚ 3 sinon.
(3)dimˆ = 2n +1 ¡ 4 avec n ‚ 3.
(4)dimˆ = 2n +1 ¡ 5 avec n ‚ 3 et(dimql(ˆ) = 1 ou ql(ˆ) estsemblable
a
h1;a;b;abi? hci pourcertains
a;b;c 2 F ⁄ ).
(5)dimˆ = 2n +1 ¡ 6 avec n ‚ 3 etˆ 2 I2W q(F ).
Siˆ esta d¶
eploiement
maximal
, alors
elleestune voisine
de Pflster
.
Apresceth¶
eoreme,on peutseposerlaquestion
suiv
ante:
D.12.14.Question([68,p.475]
). | Pourtoutentier
n ‚ 1,existe-t-il
uneborne
optimale
M (n) avec1 • M (n)• 2n telle
quetouteformequadrati
queanisotrop
e de
dimension
2n + m avecM (n) • m • 2n a d¶
eploiemen
t maximalestune voisine
de
Pflster
?
On a quelques
r¶
esultats
quidonnentlecomportemen
tdelapropri
¶
et¶
e ded¶
eploiemen
t
maximalapresextension
de scalaires
a certains
corps:
D.12.15.Proposition([77,Lem. 4.5]
). | Soit’ uneformequadrati
queanisotrope quin’estpas totalement
singuli
ere,de dimension
2n + m avec 0 < m • 2n . Soit
ˆ uneformequadrati
queanisotrope quin’est
pastotalement
singuli
ere,de dimension
> 2n .A lors,
on a :
(1)Supposonsque’ soit
detyp
e (r;s)avec 2r ‚ m .A lors,
’ n’est
pasa d¶
eploiement
maximalsietseulement
siilexiste
une extension
K =F tel
lequeiW (’ K )< m .
(2)SiK =F estuneextension
transc
endante
pure,alors
’ esta d¶
eploiement
maximal
sietseulement
si’ K esta d¶
eploiement
maximal.
(3)Si’ F (ˆ ) estanisotrope,alors’ esta d¶
eploiement
maximalsietseulement
si
’ F (ˆ ) esta d¶
eploiement
maximal.
Comme prouv¶
e dans[77],on utilise
leth¶
eoreme D.12.3etlaproposition
D.12.15
pouravoir:
D.12.16.Proposition([77,Prop.4.6]
). | Soient’ etˆ deuxformesquadrati
n
quesanisotropesquine sontpastotalement
singuli
eres,dedimension
respectives
2 +
m et2n + lavec 0 < m; l• 2n .On supposeque’ esta d¶
eploiement
maximaletque
’ F (ˆ ) estisotr
ope.A lors,̂ estaussia d¶
eploie
ment maximaletlaformeˆ F (’ ) est
isotr
ope.
APPENDICE
204
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
Finalemen
t,en utilisan
t lesth¶
eoremes D.12.3
,D.12.13etlaproposition
D.12.16
,
on d¶
eduitun r¶
esultat
g¶
en¶
eralsurleprobl
eme d’isotropie
:
D.12.17.Corollair
e. | Soient
’ etˆ deuxformesquadrati
quesanisotropestel
les
que’ ne soit
pastotalement
singuli
ere,dim’ = 2n + 1 pourun certain
entier
n ‚ 1,
etqueˆ satisfasse
l’unedesconditions
(1){(5)du th¶
eoreme D.12.13pource m ^
eme
entier
n.Si’ F (ˆ ) estisotr
ope,alors
’ etˆ sontdesvoisines
delam ^
eme (n+ 1)-forme
de Pflster
.
D¶
emonstr
ation
. | Par leth¶
eoreme D.12.3
, laformeˆ F (’ ) estisotrop
e etˆ n’est
pastotalemen
t singuli
ere.Puisque’ esta d¶
eploiemen
t maximaletdimˆ > 2n ,on
obtien
t parlaproposition
D.12.16que ˆ estaussia d¶
eploiemen
t maximal.Par le
th¶
eoreme D.12.13
,ˆ estunevoisine
d’une(n + 1)-formede Pflster….Puisquê F (’ )
estisotrop
e,alors
…F (’ ) estisotrop
e.Puisque
dim’ > 2n ,onobtien
tparlaproposition
D.11.8que’ estunevoisine
de ….
D.13. D ¶
eploiement standarddes formes quadratiques
D.13.A. G ¶
en¶
eralit
¶
es sur lestoursde d¶
eploiement standard.| Comme en
caract
¶
eristique
= 2, a touteformequadratique
6
’ non nulle,
on asso
cieune tour
(F i;’ i)0• i• h d’extensions
de F etde formesquadratiques,
ditetourde d¶
eploiemen
t
standard
de ’,comme suit:
F 0 = F; ’ 0 = ’ an ;
etpouri‚ 1,on prend
F i = F i¡ 1(’ i¡ 1); et ’ i = ((’ i¡ 1)F i )an :
D.13.1.D ¶
eflnition
. | La hauteurstandardde ’, qu’onnotehs(’), estleplus
petit
entier
h telquedim’ h • 1.
On a quelques
r¶
esultats
g¶
en¶
erauxsurlestoursde d¶
eploiemen
t standard[135,
Th.4.6]
:
D.13.2.Lemme . | Soient
’ une formequadr
atique
anisotrope de dimension
‚ 2,
(F i;’ i)0• i• h satourde d¶
eploiement
standar
d avec h = hs(’).Notons(ri;si) letyp
e
de ’ i pour0 • i• h.A lors,
on a h ‚ 1 et:
(1)r0 ‚ r1 ‚ :::‚ rh .
(2)s0 ‚ s1 ‚ :::‚ sh .
(3)2ri + si > 2ri+1 + si+1 pour0 • i• h ¡ 1.
¶
D.13.D EPLOIEMENT
ST AND ARD
DES F ORMES
QUADRA
TIQUES
205
Lorsque’ n’estpas totalemen
t singuli
ere
, sa tourde d¶
eploie
ment standardse
partage
en deuxparties.
La premierecomportedescorpsquifont augmenterl’indice
de Witt de ’ touten gardan
t anisotro
pe ql(’), puisladeuxi
eme faitd¶
eplo
yerla
partie
quasi-lin
¶
eaire
ql(’).Ceciestformul¶
e danslesdeuxpremieresassertions
de la
proposition
quisuit:
D.13.3.Proposition
. | Soient’ une formequadr
atique
anisotrope quin’estpas
totalement
singuli
ere dedimension
‚ 2,(F i;’ i)0• i• h satourded¶
eploiement
standar
d
avec h = hs(’).Notons(ri;si) letyp
e de ’ i et·i = ql(’ i) pour0 • i• h.A lors,
il
existe
un entier
0 • hr • h telque:
(1)si = s0 etri¡ 1 > ri pouri• hr (pr
emiere partie).
(2)ri = 0 etsi > si+1 pouri‚ hr (deuxi
eme partie).
(3)(rh r ;sh r )= (0;s0).
(4)·i ’ (ql(’))F i eths(ql(’))= hs(·i) pouri• hr.
De plus,
on a hr = hs(’)¡ hs(ql(’))• r0.
Aveclesm ^
emesnotations
quedanslaproposition
D.13.3
,lelemme suiv
ant donne
plusd’informations
surlescaslimites
hr = 0 ethr = h,etsurlesdeux derni
eres
formes’ h¡ 1 et’ h de latourde ’ :
D.13.4.Lemme . | On garde lesm ^
emesnotations
quedanslaproposition
D.13.3
.
On a :
(1)hr = h sietseulement
sis0 2 f0;1g.
(2)hr = 0 sietseulement
sir0 = 0.
(3)Sis0 ‚ 1,alors
(rh ;sh )= (0;1).
(4)Sis0 ‚ 2,alors
(rh¡ 1;sh¡ 1)= (0;2).
Comme faitdans [135],leslemmes D.13.2
, D.13.4et laproposition
D.13.3se
d¶
emontren
t en utilisan
t de fa»
concruciale
lecorollaire
D.12.5
.
On mentionne
deuxr¶
esultats
surlahauteurstandard
.Le premier
seplaceen parall
eleaveclaproposition
D.12.4:
D.13.5.Proposition([135,Th.4.4]
). | Soient’ etˆ deuxformesquadr
atiques
anisotropes tel
lesque ’ soittotalement
singuli
ere etque ˆ ne soitpas totalement
singuli
ere.A lors,
hs(’)= hs(’ F (ˆ )).
Le secondr¶
esultat
donneune interpr
¶
etation
de lahauteurstandard
d’uneforme
quadratique
comme ¶
etan
t lemaximum surtoutes
leshauteurs
destoursd’extensions
de F d¶
eployant celle-ci
:
D.13.6.Th ¶
eoreme ([76,Th.8.16]
). | Soit’ une formequadr
atique
anisotrope,
etsoit
F = K 0 ‰ K 1 ‰ ¢¢¢‰ K m unetourd’extensions
deF tel
lequedim(’ K i¡ 1 )an >
dim(’ K i )an pour1 • i• m .A lorsm • hs(’).
206
APPENDICE
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
D.13.B. Quelques cas de g¶
en¶
ericit
¶
e des tours de d¶
eploiement standard.
| La question
quiseposeestde savoirsilatourde d¶
eploiemen
t standard
v¶
eri
fle
lesm ^
emespropri
¶
et¶
esde g¶
en¶
ericit
¶
e qu’encaract
¶
eristique
= 2.Lorsquedimql(’)• 1,
6
Knebusc
h etRehmann ont prouv¶
e quecelaestvrai[125].Lorsquedimql(’)‚ 2,la
situation
estpluscompliqu
¶
ee.A cepropos,Knebusc
h montrequeled¶
eploiemen
tpartiel
donn¶
e parlasous-tour
(F i;’ i)0• i• h r ,ou hr estcomme danslaproposition
D.11.8
,
estg¶
en¶
erique
au sensde cequiestconnu en caract
¶
eristique
= 2 quandon ne con6
sid
erequelesextensions
K =F pourlesquelles
ql(’)K estanisotrop
e [119].C’estsans
doutecelaquil’apouss
¶
e a prendrehr comme d¶
eflnition
de lahauteurde ’.Ill’appellelahauteurnon d¶
efectiv
e de ’. En particulier,
une formequadratique
’ est
de hauteurnon d¶
efectiv
e 1 sietseulemen
t si’ an n’est
pastotalemen
t singuli
ereet
((’ an )F (’ an ))an ’ ql(’ an )F (’ an ).
Voici
un exemplesimplede formesquadratiques
de hauteurnon d¶
efectiv
e1 :
D.13.7.Exemple. | Touteformequadratique
anisotro
pe detype (1;s)estdehauteurnon d¶
efectiv
e 1.
D¶
emonstr
ation
. | Parlecorollaire
D.12.5
,on a ’ F (’ ) ’ H ? ql(’)F (’ ) etql(’)F (’ )
anisotro
pe.Ainsi,
(’ F (’ ))an ’ ql(’)F (’ ).
Signalons
que laquestion
de classi
flerlesformesquadratiques
de hauteurnon
d¶
efectiv
e1 estencore
ouverte.
N¶
eanmoins,
leth¶
eoreme quisuit
donneuneclassi
flcation
de cesformesayant une partie
quasi-lin
¶
eairede petite
dimension
, et donc donne
d’autres
exemples
non triviaux
de formesquadratiques
de hauteurnon d¶
efectiv
e1 :
D.13.8.Th ¶
eoreme ([76,Th.7.5]
). | Soit’ uneformequadr
atique
anisotrope de
typ
e (r;s) avec r ‚ 2.On supposes • 4 ou s = 5 etql(’) estsemblable
a une forme
h1;u;v;uvi? hw i pourcertains
u;v;w 2 F ⁄ .A lors,
’ estde hauteur
non d¶
efe
ctive
1
sietseulement
si’ estde l’undestyp
essuivants
quis’excluent
mutuel
lement:
(1)Ilexiste
un entier
n ‚ 1 telquer+ s = 2n etque’ soitune voisine
de Pflster.
(2)(r;s) = (2;4) et ilexiste
a;b;c;d;e 2 F ⁄ telsque ’ ’ dh1;ai › [1;b] ?
eh1;a;c;aci.
Parcontre,
on a uneclassi
flcation
completedesformesde hauteurstandard
1:
D.13.9.Th ¶
eoreme ([135,Th.3.1]
). | Une formequadr
atique
’ anisotrope estde
hauteur
standar
d 1 sietseulement
sielleestde l’undestroistyp
essuivants
:
(1)’ estde typ
e (0;2).
(2)’ 2 GP n F pourun certain
entier
n ‚ 1.
(3)’ ’ ’ r ? hai avec ’ r non singuli
ere et’ r ? a[1;¢(’ r)]estsemblable
a une
formede Pflster
.
Toujours
concernan
t leprobl
eme de g¶
en¶
ericit
¶
e,on a prouv¶
e dans[76,Prop.4.6]
le
r¶
esultat
suiv
ant :
¶
D.13.D EPLOIEMENT
ST AND ARD
DES F ORMES
QUADRA
TIQUES
207
D.13.10.Proposition
. | Soient
’ uneformequadr
atique
anisotrope,(F i;’ i)0• i• h
sa tourde d¶
eploiement
standar
d eth sa hauteur
standar
d.Notons(ri;si) letyp
e de
’ i pour0 • i • h. Pour touteextension
K =F, si(r;s) d¶
esigne
letyp
e de (’ K )an ,
alors
ilexiste
i2 f0;:::;hg telquer = ri.
D’autre
part,
ona montr¶
e qu’eng¶
en¶
eral
lasous-tour
(F i;’ i)h r • i• h nepeutpr¶
esen
ter
lesm ^
emes propri
¶
et¶
esde g¶
en¶
ericit
¶
e qu’encaract
¶
eristique
= 2.On a construit
6
un exempled’uneformetotalemen
t singuli
ere’ etd’uneextension
K =F telle
quel’indice
de d¶
efautid (’ K ) (cf.D.6.4
) estdifi¶
eren
t de touslesautresindices
de d¶
efautqui
appara
^‡ssen
t danslatourde d¶
eploiemen
t standard
de ’ [76,Exam. 8.15]
.
D.13.C. Le degr¶
e d’uneforme quadratique.| En plusdelahauteur
standard,
on asso
ciea une formequadratique
un autreinvarian
t num ¶
erique
importan
t,qu’on
appelle
ledegr
¶
e.
Soit’ uneformequadratique
dehauteur
standard
h avecdim’ an ‚ 2.On a h ‚ 1
eths(’ h¡ 1) = 1.Parleth¶
eoreme D.13.9
,’ h¡ 1 estune formevoisine
de Pflsterde
codimension
• 1,ou detype (0;2).Aveccesnotations,
on poselad¶
eflnition
suiv
ante:
D.13.11.D ¶
eflnition
(1)Le degr
¶
e de ’,qu’onnotedeg(’),estd¶
eflni(3) comme suit:
(i)Si’ 0 estnon singuli
ere,
alors
deg(’)= d ou ’ h¡ 1 2 GP d F h¡ 1.
ere,
alors
deg(’)= 0.
(ii)
Si’ 0 estsinguli
(2)Une formequadratique
de partie
anisotrop
e nulle(resp.
de partie
anisotrop
e
de dimension
1) estditede degr
¶
e 1 (resp.
de degr
¶
e 0).
Comme encaract
¶
eristique
= 2,onintroduitl’ensem
6
bleJn (F )= f ’ jdeg(’)‚ ng,
avecn ‚ 1.Ilestbienclair
queGP n F ‰ Jn (F ) etW q(F )= J1(F ).D’autre
part,
on
= 2 laproposition
6
suiv
ante:
prouve comme en caract
¶
eristique
D.13.12.Proposition
. | Pour toutn ‚ 1, l’ensemble
Jn (F ) estun W (F )-sousmodulede W q(F ) contenant
In W q(F ).
R¶
ecemment,AravireetBaezaont montr¶
e leth¶
eoreme suiv
ant quiconstitue
une
e a l’analogue
de laconjecture
de degr
¶
e en caract
¶
eristique
2:
r¶
eponsepositiv
D.13.13.Th ¶
eoreme ([16]). | Pour toutn ‚ 1,on a In W q(F )= Jn (F ).
Dans [141] on a introduitlanotionde degr
¶
e d’uneformebilin
¶
eaire,
puison a
¶
etenduleth¶
eoreme D.13.13
au casdesformesbilin
¶
eaires.
Indiquons
aussi
quequelques
r¶
esultats
de classi
flcation
desformesquadratiques
(bilin
¶
eaires)
parhauteuretdegr
¶
e
ont¶
et¶
e donn¶
esdans[135,Section
6],[141].
(3)Notred¶
eflnition
de degr¶
e difierede celle
adopt¶
ee par AravireetBaeza dans[16].La n^
otre¶
etend
lad¶
eflnition
de degr¶
e en caract
¶
eristique
= 2.
6
APPENDICE
208
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
D.13.D. Les formes quadratiquesexcellen
tes
D.13.14.D ¶
eflnition
(1)Une formequadratique
’ estditeexcellen
tesielle
estdedimension
• 1,ou est
unevoisine
de dimension
‚ 2 dont laformecompl¶
ementaire
estexcellen
te.
(2)PourK =F une extension
et’ une formequadratique
surK ,on ditque’ est
d¶
eflniesurF si’ ’ ˆ K pourunecertaine
formequadratique
ˆ surF .
La tourde d¶
eploiemen
t standardpermetde classi
flercompletemen
t lesformes
quadratiques
excellen
tes:
D.13.15.Th ¶
eoreme ([135,Cor.5.11]
). | Soient
’ une formequadr
atique
anisotrope,(F i;’ i)0• i• h satourde d¶
eploiement
standar
d eth sahauteur
standar
d.A lors,
’ estexcellentesietseulement
sidimql(’) • 1 et’ i estd¶
eflniesurF pour tout
0 • i• h.
Cetteclassi
flcationestanaloguea celle
donn¶
ee par Knebusc
h pour lesformes
quadratiques
excellen
tesen caract
¶
eristique
= 2 [123].
6
D.14. Un th¶
eoreme de Fitzgerald
et un autrede Knebusch
Un importan
t th¶
eoreme enth¶
eorie
descorpsdefonctions
encaract
¶
eristique
= 2 est
6
d^
u a Fitzgerald
[54,Th.1.6]
.Ildonnedesconditions
pourqu’uneformequadratique
anisotrop
e soit
semblable
a uneformedePflster
desqu’elle
devienne
hyperbolique
sur
lecorpsdefonctions
del’une
desessous-formes.
On a ¶
etendua lacaract
¶
eristique
2 ce
r¶
esultat
deFitzgerald
enprenan
t enconsid
¶
eration
lesformesquadrati
quessinguli
eres:
D.14.1.Th ¶
eoreme ([76,Th.5.1]
). | Soientˆ, ·r, ’ r desformesquadrati
ques
eres,et uneformequadrati
quetotalement
singuli
ere.Soit‰ un compl¶
ement
nonsinguli
non singulier
de .On supposeque:
(1)ˆ,· = ·r ?
,’ = ’ r ?
sontanisotropes,
(2)dimˆ; dim’ ‚ 2,
(3)ˆ » ’ r ? ·r ? ‰,
(4)dim· < dim’ + 2deg(ˆ ).
A lors,̂ esthyperb
olique
surF (’) sietseulement
siˆ estsemblable
a une formede
Pflsteretˆ ’ ’ r ? ·r ? ‰.
Ce th¶
eoreme a permisd’avoirencaract
¶
eristique
2 l’analogue
d’unr¶
esultat
deKnebusch [106,Cor.13.4]
:
D.14.2.Corollair
e ([76,Cor.5.3]
). | Soient
’ etˆ deuxformesquadrati
questel
les
queˆ soitnon singuli
ere anisotrope et’ soitnon d¶
efe
ctive.
Si’ estde typ
e (r;s)
avec 3dim’ + s > dimˆ etˆ F (’ ) esthyperb
olique,
alorŝ estsemblable
a uneforme
de Pflster.
¶
D.14.UN TH EOR
EME
DE FITZGERALD
ET UN A UTRE
DE KNEBUSCH
209
En particulier
cecorollaire
permetde retrouv
erler¶
esultat
caract
¶
erisan
tlesformes
dePflstercomme ¶
etan
t lesformesquadrati
quesnon singuli
eresquideviennen
thyperboliques
surleurs
propres
corpsde fonctions
(Th¶
eoreme D.13.9
).
Un autreth¶
eoreme d^
u a Knebusc
h en caract
¶
eristique
= 2 a–rme qu’uneforme
6
quadrati
queanisotro
pe ’ pourlaquelle
laforme(’ F (’ ))an estd¶
eflniesurF ne peut
^
etrequ’unevoisine
de Pflster.
Ce r¶
esultat
ne seg¶
en¶
eralise
pas completemen
t a la
caract
¶
eristique
2.Dans [76,p.21{22]on a donn¶
e plusieurs
exemples
de formesquadrati
quesanisotro
pes’ quine sontpasdesvoisines
de Pflster
maisque(’ F (’ ))an est
d¶
eflniesurF .Un simple
exempleestqu’uneformequadrati
que’ totalemen
tsinguli
ere
anisotro
pe nepeut^
etreunevoisine
dePflster
(prop
osition
D.11.8(1)),
etpourtan
ton
sait
quelapartie
anisotro
pede’ F (’ ) esttoujours
d¶
eflniesurF (prop
osition
D.9.7(3)).
On a aussi
donn¶
e d’autres
exemples
non triviaux
de formesquadrati
quessinguli
eres
anisotro
pes’ non voisines
avec(’ F (’ ))an d¶
eflniesurF .Ce qu’ona not¶
e estquetous
nosexemples
utilisen
tdesformesquadrati
quesanisotro
pesde type (r;s)avecs ‚ 2r.
Cecinousa pouss
¶
e a conjecturer
cequisuit:
D.14.3.Conjecture ([76,Conj.6.5]
). | Soit’ une formequadrati
queanisotrope
de typ
e (r;s) tel
leque2r > s etquelaforme(’ F (’ ))an soitd¶
eflniesurF .A lors,
’
estune voisine
de Pflster.
On a r¶
epondu parl’a
–rmative a cette
conjecture
danscertains
cas:
D.14.4.Th ¶
eoreme . | La conje
ctur
e D.14.3estvraiesis • 4 ou s = 5 etql(’)
estsemblable
a h1;a;b;abi? hci pourcertains
a;b;c 2 F ⁄ .
Dansl’esprit
desdeuxth¶
eoremesdeFitzgerald
etKnebusc
h qu’onvien
t d’¶
evoquer,
certains
r¶
esultats
ont¶
et¶
e obten
usr¶
ecemmentsurlesformesbilin
¶
eaires.
Voici
lepremier
d’en
treeuxdont lapreuv
e estbas¶
eeessen
tiellemen
t surleth¶
eoreme D.18.2:
D.14.5.Proposition([138,Cor.5.4]
). | SoitB une formebilin
¶
eair
e anisotrope
et’ une formetotalement
singuli
ere anisotrope tel
lesqueB F (’ ) soitm ¶
etaboli
queet
2dim’ > dimB .A lors:
(1)B estsemblable
a une formebilin
¶
eair
e de PflsterC .
(2)Touteformebili
n¶
eaire B 0 asso
ci¶
eea ’ estune voisine
de C .
Une cons
¶
equenceimm ¶
ediate
de cetteproposition
estlaclassi
flcation
desformes
bilin
¶
eaires
B v¶
eri
flant dim(B F (B ))an • 1,c’esta-dire,
celles
de hauteurstandard
1
danslelangage
de lath¶
eorie
du d¶
eploiemen
t standard
:
D.14.6.Corollair
e ([138,Cor.5.5]
, [141]). | SoitB uneformebilin
¶
eair
e anisotrope.A lorsB devient
m¶
etab
olique
surF (B ) sietseulement
sielleestsemblable
a
une formebilin
¶
eair
e de Pflster.
D¶
emonstr
ation
. | On applique
laproposition
D.14.5a ’ = Be.
APPENDICE
210
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
On a ¶
etenduaux formesbilin
¶
eaires
en caract
¶
eristique
2 ler¶
esultat
de Knebusch
cit
¶
e aupara
vant surlesformesquadratiques
voisines
en caract
¶
eristique
= 2:
6
D.14.7.Corollair
e ([138,Cor.5.6]
). | SoitB une formebilin
¶
eair
e anisotrope.
A lors,
on a ¶
equivalenc
e entr
e:
(1)B estune voisine
d’uneformebilin
¶
eair
e de Pflster.
(2)Ilexiste
une formebilin
¶
eair
e C tel
leque Be ’ Ce et(C F (B ))an soitd¶
eflniesur
F.
Mais contrairemen
t au casdesformesquadratiques
voisines,
on peutavoirune
formebilin
¶
eaire
voisine
B etuneformebilin
¶
eaire
C avecBe ’ Ce et(C F (B ))an ’ D F (B )
pourunecertaine
formebilin
¶
eaire
D ,maisquelaformeC ? D estisotrop
e.Voici
un
exemple:
D.14.8.Exemple. | Soien
t K = F (x;y)avecx;y desvariables
surF ,… = hhx;yiib,
B = h1;1 + x;y;xyib etC = h1;x;x + y;xyib quisont desformesanisotrop
essurK .
Alors:
(1)B estunevoisine
de ….
(2)(C K
(B ))an
’ (hy;x + yib)K
(B )
etC ? hy;x + yib estisotrop
e.
D¶
emonstr
ation
. | Puisqueh1i? h1+ xi’ h1i? hxi(cf.D.3.10
),on a Be ’ …
e.Ainsi,
B estvoisine
de ….En particulier,
…K (B ) » 0.PuisqueC » … ? hy;x + yib,on d¶
eduit
que(C K (B ))an ’ (hy;x + yib)K (B ).Ilestclair
queC ? hy;x + yi estisotrop
e.
Comme lemontrel’exemple
suiv
ant,on a m ^
eme desformesbilin
¶
eaires
voisines
B
dont laforme(B F (B ))an n’est
pasd¶
eflniesurF :
D.14.9.Exemple. | Soien
t K = F (x;y;z) avecx;y;z desvariables
surF ,et
B = hx;y;xy;1 + x;z;(1+ x)zib:
Alors,
B estunevoisine
de Pflstermaislaforme(B K
(B ))an
n’est
pasd¶
eflniesurK .
D¶
emonstr
ation
. | Puisque
hxi? h1+ xi’ h1i? hxiethzi? hz(1+ x)i’ hzi? hxzi,
on obtien
tqueBe estasso
ci
¶
eea unesous-forme
dehhx;y;ziib,etdoncB estunevoisine
dePflster.
D’apr
es[141,Th.5.10]
laforme(B K (B ))an nepeut^
etred¶
eflniesurK .
D.15. Le th¶
eoreme de norme
D.15.A. Cas des formesbilin
¶
eairesetformesquadratiquesnon singuli
eres.
| Un autrer¶
esultat
classique
danslath¶
eorie
alg
¶
ebrique
desformesquadrati
quesest
leth¶
eoreme de norme.Ce th¶
eoreme,prouv¶
e parKnebusch en caract
¶
eristique
= 2,
6
(4)
a–rme que pourp 2 F [x1;:::;xn ]un polyn
ome irr
^
¶
eductible
unitaire
,une forme
(4)Unitaire
veutdireque lecoe–cient dominant du
polyn^
ome p pourl’ordre
lexicographique
est1.
¶
D.15.LE TH EOR
EME
DE NORME
211
quadrati
que ’ anisotro
pe devien
t hyperbolique
surF (p), lecorpsdesfractions
de
l’anneau
quotien
t F [x1;:::;xn ]=(p),sietseulemen
t sip estunenormede ’ (i.e.
,les
formesquadrati
ques’ etp’ sont isom¶
etriques
surlecorpsdesfractions
rationnelles
F (x1;:::;xn )) [121,Th.4.2]
.
En fait,
Knebusc
h a prouv¶
e sonth¶
eoreme de normepourlesformesbilin
¶
eaires
en
toutecaract
¶
eristique,
cequipermetde l’a
voiren particulier
pourlesformesquadrati
quesen caract
¶
eristique
= 2.
6
La m ¶
ethode d¶
evelopp
¶
eeparKnebusch ne s’applique
pasaux formesquadrati
ques
non singuli
eres.
Elleutilise
lasuite
exactede Milnord¶
ecriv
ant l’anneau
de Wittdu
corpsF (x1) desfractions
rationnelles
en lavariable
x1,alors
qu’encaract
¶
eristique
2
on nedisp
osepasd’unetelle
suite
pourlegroupe W q(F (x1)).R ¶
ecemment,Aravireet
Jacobont¶
etabli
cette
suite
pourW q(F (x1))lorsque
F estparfait
decaract
¶
eristique
2
[18].Cependant,lecasd’uncorpsquelconque
decaract
¶
eristique
2 esttoujours
ouvert.
Bienapresler¶
esultat
deKnebusc
h,Baezaa ¶
etenduleth¶
eoreme denormeaucasdes
formesquadrati
quesnonsinguli
eres[23].Danssapreuv
e,Baezaa utilis
¶
e un argument
de rel
evement en consid
¶
eran
t lecorpsF comme ¶
etan
t lecorpsr¶
esiduel
d’unanneau
decaract
¶
eristique
0 completpourunevaluation
discr
ete,
cequiluia permisd’utiliser
leth¶
eoreme de normede Knebusch en caract
¶
eristique
0.
D.15.B. Cas des formesquadratiquessinguli
eres.| Bienentendu,
lesformes
quadratiques
singuli
eresse partagen
t en deux types s’excluan
t m utuellemen
t : les
t singuli
eresetlesformes’ telles
que dim’ > dimql(’) > 0.On
formestotalemen
appelle
cesderni
eresdesformessemi-singuli
eres
.
R¶
ecemment on a ¶
etenduleth¶
eoreme de norme au casdesformesquadratiques
totalemen
t singuli
eresen d¶
emontran
t:
D.15.1.Th ¶
eoreme ([139,Th.1.1]
). | Soient
’ uneformequadrati
quetotalement
singuli
ere anisotrope dedimension
‚ 2,etp 2 F [x1;:::;xn ]un polyn^
ome irr
¶
eductible
unitair
e.A lors,
on a ¶
equivalenc
e entr
e:
(1)’ estquasi-hyp
erb
olique
surF (p).
(2)p estune norme de ’.
Comme on l’aindiqu
¶
e apreslad¶
eflnition
D.9.6
,on a utilis
¶
e dans[137],[139]qu’une
formequadrati
que’ totalemen
tsinguli
erede dimension
paire
estquasi-h
yperbolique
dequasi-h
yperbolicit
¶
e flx¶
eedanslad¶
eflnition
lorsque
id (’)= dim2 ’ .Maisaveclanotion
D.9.6
,lesr¶
esultats
de [137],[139]resten
t aussi
vrais.
Rappelonsque Hofimann a prouv¶
e de maniereind¶
ependanteleth¶
eoreme D.15.1
parune m ¶
ethode difi¶
eren
tede lan^
otreen tra
vaillan
t surlesp-formes
diagonales
en
caract
¶
eristique
p > 0 [74].
Dans un article
r¶
ecen
t avecMammone, on a tra
vaill
¶
e suruneversion
du th¶
eoreme
de norme pour lesformesquadrati
quessemi-singuli
eres.
On a obten
u un r¶
esultat
partiel
quiestlesuiv
ant :
APPENDICE
212
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
D.15.2.Th ¶
eoreme ([143,Th.1.1]
). | Soient
’ une formequadrati
quesemi-sin
guli
ere anisotrope,etp 2 F [x1;:::;xn ]un polyn
ome irr
^
¶
eductible.
(1)Sip estune norme de ’,alors
:
(i)p estins
¶
eparable,
i.e.
,@p=@xi = 0 pour1 • i• n.En particulier,
sip est
donn¶
e parune formequadrati
queˆ,alorŝ esttotalement
singuli
ere.
(ii)
iW (’ F (p))=
dim ’ ¡ dim ql(’ )
2
etql(’)F (p) estquasi-hyp
erb
olique.
(2)R ¶
ecipr
oquement,etsip estdonn¶
e par une formequadrati
queˆ quirepr¶
esente
1,alors
lesassertions
suivantes
sont¶
equivalentes
:
(i)p estune norme de ’.
(ii)
ˆ esttotalement
singuli
ere,iW (’ F (p)) =
quasi-hyp
erb
olique.
(iii)
ˆ esttotalement
singuli
ere etit(’ F (p))=
dim ’ ¡ dim ql(’ )
2
dim ’
2
etql(’)F (p) est
.
Signalons
quel’assertion
(2)de ceth¶
eoreme esttoujours
ouvertedanslecasd’un
polyn
omes irr
^
¶
eductible
unitaire
quin’est
pasdonn¶
e paruneformequadrati
que.
ql(’ )
D.15.3.R emar que. | L’a–rmationiW (’ F (p))= dim ’ ¡ dim
de l’assertion
(1)
2
du th¶
eoreme D.15.2n’implique
pas,en g¶
en¶
eral,
queR F (p) » 0 ou ’ ’ R ? ql(’).
Voici
un exemplequiilluste
cette
remarque:
D.15.4.Exemple. | Soitx;y;z desvariables
surF ,etsoit
’ = [1+ z¡ 1;x¡ 1]? y[1;x¡ 1]? z¡ 1h1;yi:
Alors,’ estanisotro
pe surF (x;y;z), et admet p = X 2 + y comme norme sur
F (x;y;z)(X ),mais[1+ z¡ 1;x¡ 1]? y[1;x¡ 1]n’est
pashyperbolique
surF (x;y;z)(p).
D¶
emonstr
ation
. | Puisque
[1+z¡ 1;x¡ 1]? hz¡ 1i’ [1;x¡ 1]? hz¡ 1i(Lemme D.3.10
),
¡1
on obtien
t ’ ’ [1;x ]? y[1;x¡ 1]? z¡ 1h1;yi,etdoncp estune norme de ’ sur
F (x;y;z)(X ) puisqu’il
estrepr
¶
esen
t¶
e par lesformes[1;x¡ 1] ? y[1;x¡ 1] et h1;yi.
De plus,’ estanisotro
pe surF (x;y;z) puisque[1;x¡ 1] ? y[1;x¡ 1] eth1;yi sont
aussi
anisotro
pessurF (x;y) [139,Lem. 3.1]
.Le polyn
ome p n’est
^
pasunenormede
¡1 ¡1
¡1
[1+ z ;x ]? y[1;x ],carsinoncette
formeserait
hyperbolique
surF (x;y;z)(p y),
etdonc[z¡ 1;x¡ 1]serait
hyperbolique
surF (x;y;z)(p y),cequiestabsurde.
Lesa–rmationsobten
uesdansleth¶
eoreme D.15.2motiv
enta ¶
etendre
lanotion
de
quasi-h
yperbolicit
¶
e au casdesformessemi-singuli
erescomme suit:
D.15.5.D ¶
eflnition
. | Une formequadrati
que ’ semi-singuli
ereestditequasihyperbolique
sidim’ estpaireetit(’)‚ dim2 ’ .
Aveccette
d¶
eflnition
etleth¶
eoreme D.15.2
,on a ¶
etenduleth¶
eoreme desous-forme
au casdesformesquadrati
quessemi-singuli
eres:
D.16.F ORMES
¶
DIFF ERENTIELLES
ET CORPS
DE F ONCTIONS
213
D.15.6.Proposition([143,Prop.1.4]
). | Soient
’ = R ? ql(’)etˆ deuxformes
quadrati
quesanisotropestel
lesque’ soit
semi-singuli
ere etdevienne
quasi-hy
perboli
quesurF (ˆ).A lors,
on a lesa– rmations
suivantes
:
(1)ˆ esttotalement
singuli
ere.
(2)Pour fi 2 D F (ˆ), fl 2 D F (R ) et 2 D F (ql(’)), ilexiste
une formequadrati
quenon singuli
ere R 0 tel
leque’ ’ R 0 ? ql(’),etˆ estdomin¶
ee par fiflR 0 et
fi ql(’).En particulier,
dimR
;dimql(’)):
dimˆ • min(
2
D.16. Formes difi¶
erentielles
et corpsde fonctions
Un autreaspectde lath¶
eorie
alg
¶
ebrique
desformesquadratiques
etbilin
¶
eaires
en
2 estsonlien
aveclacohomologie
galoisienne
etlesformes
difi¶
eren
tielles
caract
¶
eristique
¶
etabli
aupara
vantparArason[10]etKato[118].Ceciprendsamotiv
ation
d’untra
vail
de Milnor[162].
D.16.A. Une esquisse
surlescontributions
d’ArasonetKato. | Dans[162]
Milnora introduitlesgroupesK nM (F ) (n ‚ 0) dont lad¶
eflnition
etlespropri
¶
et¶
es
Comme expliqu
¶
e danslem ^
eme
ont ¶
et¶
e donn¶
eesdanslechapitre
9 du pr¶
esen
t livre.
chapitre,
on a un homomorphismesurjectif
an :K nM (F )=2 ! In F =In +1 F envoyant
chaquesymbolefa1;¢¢¢;an g surhha1;¢¢¢;an iib + In +1 F 2 In F =In +1 F . Milnora
conjectur
¶
e que an estun isomorphisme
pourtoutentierpositif
n ettoutcorpsF .
en
Quelquesann¶
eesplustard,Kato a r¶
epondu parl’a
–rmative a cetteconjecture
M
eren
tielles
[118].
donnant un lien
entrelesgroupesK n (F ) etlesformesdifi¶
Vn 1
Rappelonsque › 0F = F etpourn ‚ 1, › nF =
› F estl’espace
desn-formes
difi¶
eren
tielles
de K ãhler
,ou › 1F estleF -espace
vectoriel
engendr
¶
e parlessymboles
da,a 2 F ,aveclesrelations
:
(1)d(a + b)= da+ dbpoura;b 2 F .
(2)d(ab)= adb+ bdapoura;b 2 F .
Par (2)on obtien
t da = 0 pourtouta 2 F 2. Ainsi,
l’application
d : F ! › 1F
envoyanta surda estF 2-lin
¶
eaire.
Cetteapplication
s’
¶
etendenun homomorphismede
n +1
2
n
F -espaces
vectoriels
d :› F ¡! › F ,ditop¶
erateur
difi¶
eren
tiel,
quiestdonn¶
e par:
d(xda1 ^ da2 ^ ¢¢¢^ dan )= dx ^ da1 ^ da2 ^ ¢¢¢^ dan :
e surles
On a l’existence
d’unhomomorphisme} n : › nF ¡! › nF =d› Fn ¡ 1 donn¶
g¶
en¶
erateurs
par:
db1
dbn
dbn
db1
^ ¢¢¢^
)= (fi 2 ¡ fi)
^ ¢¢¢^
:
b1
bn
b1
bn
On flxequelques
notations
:
} n (fi
APPENDICE
214
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
D.16.1.Notation. | Pourtoutentier
n ‚ 1,on notera:
(1)”F (n) lenoyau de } n .
(2)H n (F ) leconoyau de } n .
(3)In W q(F )= In W q(F )=In +1 W q(F ).
(4)In F = In F =In +1 F .
M
Dans [118],Katoa montr¶
e qu’il
y a un isomorphisme
dlog
n :K n (F )=2 ! ”F (n),
donn¶
e par:
dlog
(fa1;¢¢¢;an g)=
dan
da1
^ ¢¢¢^
:
a1
an
Cecidonneunedescription
de ”F (n) (n ‚ 1) :
X da1
dan
”F (n)= f
^ ¢¢¢^
jai 2 F ⁄ g:
a1
an
Toujours
dans[118],Kato a li
¶
e lesformesdifi¶
eren
tielles
aveclesformesquadratiques
non singuli
eresetlesformesbilin
¶
eaires
en montran
t cequisuit:
D.16.2.Th ¶
eoreme ([118]). | Pour toutentier
n ‚ 1, on a desisomorphismes
»
»
esrespectivement
surlesg¶
en¶
erateurs
par:
H n F ! In +1 W q(F ) et”F (n) ! In F donn¶
fi
dan
da1
^ ¢¢¢^
a1
an
dan
da1
^ ¢¢¢^
a1
an
7¡
!
hha1;:::;an ;fi]
];
7¡
!
hha1;:::;an iib:
Lesgroupes”F (n)etH n F s’in
terpr
eten
tparlemo yendelacohomologie
galoisienne
comme suit:
. | SoitG s legroupe de Galoisd’unecl^
otur
e s¶
eparableF s de
D.16.3.Proposition
on a
F .En consid
¶
erantde maniere natur
ellelegroupe ”F s (n) comme un G s-module,
n
1
0
”F (n)= H (G s;”F s (n))etH F = H (G s;”F s (n)).
D¶
emonstr
ation
. | Consid
¶
eronslasuite
exacte
:
(D.16.1)
}n
0 ¡! ”F s (n)¡! › nF s ¡! › nF s =› Fn ¡s 1 ¡! H n F s ¡! 0:
PuisqueF s ests¶
eparablemen
t clos,
on a H n F s = 0.On peutaussivoirque › nF s =
n
› F › F F s.Ainsi,
en prenan
t lacohomologie
de lasuite
(D.16.1
),on obtien
t laconclusion
d¶
esir
¶
ee.
De maniereanalogue
a cequia ¶
et¶
e fait
danslaproposition
D.16.3
,on peutaussi
n
n
donnerune interpr
¶
etation
desgroupesI W q(F ) etI F en termede lacohomologie
galoisienne
,etceen utilisan
t leth¶
eoreme D.16.2
.
Arasona essa
y¶
e de faire
celaun peu avant lesr¶
esultats
de Katoen d¶
emontran
t ce
quisuit:
D.16.F ORMES
¶
DIFF ERENTIELLES
ET CORPS
DE F ONCTIONS
215
D.16.4.Th ¶
eoreme ([10]). | SoitG s legroupe de Galoisd’unecl^
otur
e s¶
eparable
F s de F .En consid
¶
erantde maniere natur
elleW (F s) comme un G s-module,
on a :
(1)W (F )= H 0(G s;W (F s))etW q(F )= H 1(G s;W (F s)).
(2)Ik F = H 0(G s;Ik F s) etIk F › W q(F )= H 1(G s;Ik F s) pourk = 1;2.
Compl¶
etonsceth¶
eoreme parlaremarquequelesgroupesde cohomologie
galoisienneendegr
¶
e > 1 eta coe– cien
tsdansW (F s)(ouIk F s)sontnulsdu fait
queW (F s)
estde torsion
2-primaire
[197].
D.16.B. Comp ortement desformesdifi¶
erentielles
surlescorpsde fonctions
n
n
Pourtouteextension
K =F,on note› (K =F),H (K =F) et”K =F (n) lesnoyaux
resp
ectifs
deshomomorphismes› nF ! › nK , H n (F ) ! H n (K ) et”F (n) ! ”K (n)
induits
parl’inclusion
F ‰ K.
Par leth¶
eoreme D.16.2
, lescalculs
de H n (K =F) et”K =F (n) permetten
t d’avoir
n
n
In F ! In K et
lesnoyaux I (K =F) etI W q(K =F) deshomomorphismesnaturels
In W q(F )! In W q(K ).C’est
cequ’onfait
leplussouvent,puisqu’en
g¶
en¶
eral
ilestplus
que pourlesformesquadrafacile
de faire
cescalculs
pourlesformesdifi¶
eren
tielles
tiques
ou bilin
¶
eaires.
R¶
ecemment,AravireetBaezaont calcul
¶
e cesnoyaux lorsque
K estlecorpsde
fonctions
d’uneformequadratique
ou bilin
¶
eaire
de Pflster.
On renvoiea [16]et[17]
qu’onva lister.
pourtouslesd¶
etails
surlesr¶
esultats
Une descons
¶
equences
de cescalculs
faits
par AravireetBaezaestleurpreuv
e
de laconjecture
de degr
¶
e en caract
¶
eristique
2 (Th¶
eoreme D.13.13
).Son analogue
en
caract
¶
eristique
= 2 sed¶
6
eduitdesr¶
esultats
r¶
ecen
tsde Voevodsky(Corollaire
9.7.4
).
D.16.B.1.
Cas desnoyaux› n (K =F) et”K =F (n).| Faisons
remarquer
quelesnoyn
aux › (F (B )=F) et”F (B )=F (n) sont nulspourB une formequadratique
anisotrop
e
quin’est
pastotalemen
t singuli
ere.
AravireetBaezaont prouv¶
e laproposition
suiv
anteparun calcul
direct
surles
:
formesdifi¶
eren
tielles
D.16.5.Proposition([16,Lem. 2.2,
2.7]
)
(1)Pour K =F une extension
transc
endantepure,on a › n (K =F)= 0.
(2)Pour B = hha1;:::;an iib une n-formebilin
¶
eair
e de Pflster,
on a :
(
› Fm ¡ n ^ da1 ^ ¢¢¢^ dan sim ‚ n;
› m (F (B )=F)=
0
sim < n:
En utilisan
tcette
fois-ci
un calcul
beaucoupplussubtil,
ils
ontprouv¶
e lesth¶
eoremes
suiv
ants:
APPENDICE
216
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
D.16.6.Th ¶
eoreme ([15,Th.1.4]
). | Pour B = hha1;¢¢¢;an iib une n-formebili
n¶
eair
e de Pflster,
on a :
”F (B )=F (n)= fa
da1
dan
^ ¢¢¢^
ja 2 F avec a2 + a 2 F 2(a1;¢¢¢;an )0g
a1
an
ou F 2(a1;¢¢¢;an )0 d¶
esigne
l’ensemble
desscalair
esrepr¶
esent
¶
espar lapartie
pure de
B quiestl’unique
formeB 0 v¶
eri
flantB ’ h1ib ? B 0.
Dans lebutde garderun ¶
enonc
¶
e simpli
fl¶
e,on n’apasincorp
or¶
e dansleth¶
eoreme
D.16.6l’expression
du noyau ”F (B )=F (m ) pourm > n etB unen-formebilin
¶
eaire
de
Pflster.
On renvoiea [15,Cor.3.2]
pourplusde d¶
etails
surcecas.
eoreme suiv
ant :
En cequiconcerne
lenoyau In (K =F),on a leth¶
D.16.7.Th ¶
eoreme ([15,Cor.3.3]
). | PourB = hha1;:::;an iib unen-for
me bilin
¶
eair
e
de Pflster,
on a pourm ‚ n :
Im (F (B )=F)= fIm ¡ n F › hhx1;:::;xn iib jxi 2 F 2(a1;:::;an )¡ f0gg:
En particulier,
pourm = n on a :
In (F (B )=F)= fhhx1;:::;xn iib jxi 2 F 2(a1;:::;an )¡ f0gg:
D.16.B.2.
Cas du noyauH n (K =F).| Pourcenoyau on tiendra
compteaussidu
casdescorpsde fonctions
desformesquadratiques
non singuli
eres.
D.16.8.Th ¶
eoreme
: Pour B = hha1;:::;an iib une n-formebilin
¶
eair
e de Pflster,
on
(1)[16,Th. 4.1]
a:
(
› Fm ¡ n ^ da1 ^ ¢¢¢^ dan sim ‚ n;
m
H (F (B )=F)=
0
sim < n:
(2)[17,Th.1.2]
: Pour’ = hha1;¢¢¢;an ;b]
]une(n+ 1)-formequadr
atique
dePflster,
on a :
(
dan
1
sim ‚ n;
”F (m ¡ n)^ bda
a1 ^ ¢¢¢^ an
H m (F (B )=F)=
0
sim < n:
Le th¶
eoreme D.16.2de Kato permetde reform
ulerleth¶
eoreme D.16.8danslecas
desformesquadrati
ques:
D.16.9.Corollair
e
(1)Pour B = hha1;:::;an iib une n-formebilin
¶
eair
e de Pflster,
on a :
(
B › Im ¡ n +1 W q(F ) sim ‚ n;
Im +1 W q(F (B )=F)=
0
sim < n:
D.17.UN INV ARIANT
POUR
LES F ORMES
TOT ALEMENT
SINGULI ERES
217
(2)Pour ’ = hha1;¢¢¢;an ;b]
] une (n + 1)-formequadr
atique
de Pflster,
on a :
(
Im ¡ n F › ’ sim ‚ n;
Im +1 W q(F (B )=F)=
0
sim < n:
D.17. Un invariant pour lesformes totalement singuli
eres
Fixonsuned¶
eflnition
:
D.17.1.D ¶
eflnition
. | Soit’ une formequadrati
que totalemen
t singuli
erenon
nulle.
(1)Le corpsnormiquede ’,not¶
e N F (’),estlecorpsF 2(abja;b 2 D F (’)).
(2)Le degr
¶
e normiquede ’,not¶
e ndegF (’),estl’en
tier
[N F (’):F 2].
Cetted¶
eflnition
estanalogue
a lanotion
du groupe normiqued’unequadri
queQ en
= 2,quiestd¶
6
eflnicomme ¶
etan
t lesous-group
e du groupe m ultiplicatif
caract
¶
eristique
du corpsdebaseengendr
¶
e parles¶
el
¶
ementsab,ou a etb sontrepr
¶
esen
t¶
esparlaforme
quadrati
qued¶
eflnissan
t Q (cf.[43,Lem. 2.2]
).
Le lemme suiv
ant sev¶
eri
fle sansdi–cult
¶
e etprouve que lecorpsnormiqueetle
degr
¶
e normiqued’uneformetotalemen
t singuli
ere’ sont desinvarian
tsde laclasse
desformesquadrati
quessemblables
a’ :
D.17.2.Lemme . | Soit’ ’ ha1;:::;an i une formetotalement
singuli
ere avec
⁄
pourtouta 2 F on a :
a1 6
= 0.A lors,
N F (a’)= N F (’)= F 2(a1a2;:::;a1an ):
De celemme,on d¶
eduit:
que totalement
singuli
ere non
D.17.3.Corollair
e. | Soit’ une formequadrati
nulle.Soientb1;:::;bm 2 F telsque N F (’) = F 2(b1;:::;bm ). A lors,
N K (’ K ) =
K 2(b1;:::;bm ) pourtouteextension
K =F.
Une premiereapplication
delanotion
dedegr
¶
e normiqueestuneautrecaract
¶
erisation
desquasi-formes
de Pflsterquis’a
joutea celle
de laproposition
D.11.5(d’ailleurs
cette
derni
ereproposition
sed¶
emontreaussi
parlemo yen de degr
¶
e normique,
cf.[76,
Section
8]) :
D.17.4.Proposition([76,Prop.8.5]
)
(1)Pour ’ = hha1;:::;an ii,on a N F (’)= F 2(a1;:::;an )= D F (’)[ f0g.
(2)Une formetotalement
singuli
ere anisotrope ’ estsemblable
a une quasi-forme
de Pflstersietseulement
sidim’ = ndegF (’).
APPENDICE
218
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
(3)Ily a unecorrespondanc
e biunivo
queentr
e lesquasi
n-formes
dePflster
anisotr
opes
etlesextensions
purementins
¶
eparablesde F 2 de degr¶
e 2n contenues
dansF .
Cettecorrespondanc
e estdonn¶
eepar
hha1;:::;an iiˆ ! F 2(a1;:::;an ):
D¶
emonstr
ation
(1)On a N F (’)= F 2(a1;:::;an ).Ilestclair
que
F 2[a1;:::;an ]= D F (’)[ f0g ‰ N F (’):
Puisqueles¶
el
¶
ementsai sont alg
¶
ebriques
surF 2, on obtien
t D F (’) [ f0g =
N F (’).
(2)Soien
t ndegF (’) = 2n eta1;:::;an 2 F avec N F (’) = F 2(a1;:::;an ). Supposonsque dim’ = ndeg(’). On peutsupposerque ’ ’ h1;:::i, et donc
D F (’) [ f0g ‰ N F (’) = D F (hha1;:::;an ii) [ f0g. Par laproposition
D.9.7
(2),on obtien
t que ’ ‰ hha1;:::;an ii,etdonc’ ’ hha1;:::;an ii parraison
de
dimension.
La r¶
ecipro
quesed¶
eduitde (1).
(3)Facile
a faire.
Voici
quelques
r¶
esultats
g¶
en¶
erauxsurledegr
¶
e normique:
D.17.5.Proposition([76,Prop.8.6]
). | Soit’ une formetotalement
sin
guli
ere
non nulle.
(1)Ilexiste
m ‚ 0 telquendegF (’)= 2m .
(2)Pour m comme dans(1),on a m + 1 • dim’ an • 2m = ndegF (’).
(3)Pourm comme dans(1)etpoura1;:::;am 2 F ⁄ tels
queN F (’)= F 2(a1;:::;am ),
on a quepourtouta 2 D F (’),a’ an ‰ hha1;:::;am ii.Sideplusb1;:::;bm 2 F ⁄
v¶
eri
flenta’ an ‰ hhb1;:::;bm ii,alors
hha1;:::;am ii’ hhb1;:::;bm ii;
etcettequasim -formede Pflsterestanisotrope.
D¶
emonstr
ation
. | On peut supposer’ anisotro
pe et ’ ’ h1;a1;:::;an i. Ainsi,
N F (’)= F 2(a1;:::;an ).Soitm • n minimalpourlapropri
¶
et¶
e,qu’apr
esr¶
eindexation
sin¶
ecessaire,
N F (’) = F 2(a1;:::;am ).Ilestclair
que2m = ndeg(’),cequimontre
(1).Pourprouver(2),on notequel’anisotropie
de ’ implique
quef1;a1;:::;an g ‰
N F (’) sont F 2-lin
¶
eairemen
t ind¶
ependants,etdoncon peutlescompl¶
eteren uneF 2basede N F (’),cequiimplique
que’ ‰ hha1;:::;am ii.Ainsi,
m + 1 • dim’ • 2m .
(3)sed¶
eduitde laproposition
D.17.4(3).
D.17.6.Notation. | Avec leshypothesesetnotations
de laproposition
D.17.5
,
l’unique
quasi-forme
de Pflsterhha1;:::;am ii seranot¶
ee’ qp .
D.17.UN INV ARIANT
POUR
LES F ORMES
TOT ALEMENT
SINGULI ERES
219
Voici
lafa»
condont changeledegr
¶
e normiqueapresextension
desscalaires
:
D.17.7.Proposition
. | Soit’ une formetotalement
singuli
ere anisotrope avec
ndegF (’) = 2m . Soienta1;:::;am 2 F ⁄ tels
queN F (’) = F 2(a1;:::;am ), etK =F
une extension
tel
leque’ K soitisotr
ope.A lors:
(1)ndegK (’ K )= 2l < 2m .
(2)Ilexiste
un sous-ensemble
fai1 ;:::;ail g ‰ fa1;:::;am g telqu’onaitN K (’ K )=
2
pourtoutx 2 D K (’), on obtient
x(’ K )an ‰
K (ai1 ;:::;ai‘ ). En particulier,
hhai1 ;:::;ail iiK .
D¶
emonstr
ation
. | A un scalaire
pres,on peutsupposer1 2 D F (’).ParlapropositionD.17.5(3),’ ‰ hha1;:::;am ii.Comme ’ K estisotrop
e,ilen estde m ^
eme pour
hha1;:::;am iiK .La proposition
D.17.4(3)implique
que
[K 2(a1;:::;am ):K 2]= 2l < 2m :
Ilestclair
qu’onpeuttrouv
erune partie
fai1 ;:::;ail g de fa1;:::;am g telle
que
N K (’ K )= K 2(ai1 ;:::;aim ).Toutcelaavec
K 2(a1;:::;am )= K 2(ai1 ;:::;ail ).Ainsi,
laproposition
D.17.5(3)permetde conclure.
LorsqueK = F (’) laproposition
D.17.7sepr¶
ecise
comme suit:
D.17.8.Proposition([76,Lem. 8.10]
). | Soient’ = h1i ? ’ 0 une formetotalement singuli
ere anisotrope de dimension
‚ 2,etK = F (’).SupposonsndegF (’) =
m
⁄
2 etsoient
b1;:::;bm 2 F tels
queN F (’)= F 2(b1;:::;bm ).A lors:
(1)ndegK (’ K )= 2m ¡ 1.
(2)N K (’ K )= K 2(b2;:::;bm ).En particulier,
(’ K )an ‰ hhb2;:::;bm iiK .
A laproposition
D.11.8s’a
jouteune autredonnant lacaract
¶
erisatiion
desformes
quasi-v
oisines
vialedegr
¶
e normique:
D.17.9.Proposition([76,Prop.8.9]
). | Soit’ une formetotalement
singuli
ere
anisotrope.A lors:
(1)Si’ estune quasi-voisine
d’unequasim -formede Pflsteranisotrope …, alors
N F (’)= N F (…).
(2)’ estune quasi-voisine
sietseulement
si2dim’ > ndegF (’).
D¶
emonstr
ation
(1)On a bienN F (’) ‰ N F (…).Ainsi,
ndegF (’) • ndegF … = 2m .Comme ’ est
m ¡1
anisotro
pe de dimension
> 2
,on d¶
eduitparlaproposition
D.17.5(2)que
ndegF (’)= 2m etdoncN F (’)= N F (…).
220
APPENDICE
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
(2)Si’ estquasi-v
oisine,
disons
d’unequasi
m -forme
dePflster
…,alors
(1)implique
2dim’ > dim… = 2m = ndegF (…) = ndegF (’).R ¶
eciproquement,supposons
2dim’ > ndegF (’).Soien
t a1;:::;am 2 F ⁄ tels
queN F (’) = F 2(a1;:::;am )
m
etndegF (’) = 2 . La forme… = hha1;:::;am ii estanisotro
pe etpour tout
a 2 D F (’),on a a’ ‰ … (Proposition
D.17.5(3)).
Ainsi,
2dim’ > ndegF (’)=
2m = dim… implique
que’ estunequasi-v
oisine
de ….
Donnonsquelques
applications
du degr
¶
e normiquea latourde d¶
eploie
ment standardd’uneformetotalemen
t singuli
ere,etplusparticuli
eremen
t a celle
d’unequasi(5)
voisine
:
D.17.10.Th ¶
eoreme ([76,Th.8.11]
). | Soient
’ uneformetotalement
singuli
ere
anisotrope,(F i;’ i)0• i• h sa tourde d¶
eploiement
standar
d avec h = hs(’). Soient
b1;:::;bm 2 F ⁄ tels
queN F (’)= F 2(b1;:::bm ) etndegF (’)= 2m .Soitsi = dim’ i
ni
etni v¶
eri
flant2 < si • 2n i+1 .
(1)Pour touti2 f1;¢¢¢;hg,on a :
(i)ndegF i (’ i)= 2m ¡ i.
(ii)
N F i (’ i)= F i2(b1;:::;bm ¡ i).
(iii)
maxfm ¡ i+ 1;2n i¡ 1 g • dim’ i • 2m ¡ i.
(2)h = m .De plus,
pourtouta 2 D F (’),on a
a’ i ‰ hhb1;:::;bm ¡ iiiF i :
(3)(s0;s1;:::;sh )= (dim’;2m ¡ 1;2m ¡ 2;:::;1)sietseulement
si’ estune quasivoisine
de Pflster.
Dans ce cas,a’ i ’ hhb1;:::;bm ¡ iiiF i pourtouta 2 D F (’) et
i‚ 1.
du th¶
eoreme de sous-forme
pourlesformestotalemen
t
Autrel’
¶
enonc
¶
e classique
singuli
eres(prop
osition
D.10.5
),on donneun autreutilisan
t ledegr
¶
e normique:
D.17.11.Proposition([137,Prop.1.4]
). | Soient
’ etˆ deuxformestotalement
singuli
eres.On supposeque’ estanisotr
ope etdevient
quasi-hyp
erb
olique
surF (ˆ).
A lorspourtouta 2 D F (’),on a :
(1)N F (ˆ)‰ D F (a’)[ f0g.
(2)ˆ qp ‰ a’ (cf.Notation
D.17.6
).
(5)Les r¶
esultats
du th¶
eoreme D.17.10ont ¶
et¶
e obtenus ant¶
erieuremen
t dans [136]par desm ¶
ethodes
n’utilisan
t pasledegr¶
e normique.
D.18.QUELQUES
CALCULS
DE NO Y A UX DE WITT
221
D.18. Quelques calculs
de noyaux de Witt
PourK =F uneextension
de corps,
on noteW (K =F)(resp.
W q(K =F))lenoyau de
l’homomorphisme
d’anneaux
W (F )! W (K ) (resp.
de l’homomorphisme
de groupes
W q(F ) ! W q(K )) induit
parl’inclusion
F ‰ K .En g¶
en¶
eral,
ilesttresdi–cilede
calculer
cesnoyaux pourK quelconque.
Cependant,comme pourleprobl
eme d’i
sotro
pie,lecasd’uncorpsde fonctions
d’uneformequadratique
suscite
beaucoup
d’in
t¶
er^
et.C’estcecasquiva nousint¶
eresser
danscette
section,
etdont l’analogue
en
caract
¶
eristique
= 2a¶
6
et¶
e trait
¶
e parFitzgerald
[55].
On commencepardonnerquelques
r¶
esultats
pr¶
eliminaires
surlesdeuxnoyaux :
(1)Ilestbienconnu que lesnoyaux W (K =F) etW q(K =F) sont nulspourK =F
transcendan
tepure.
(2)Le noyau W (F (’)=F)estnulpour’ non totalemen
tsinguli
ere.
Cecised¶
eduit
du faitqu’uneformebilin
¶
eaireanisotrop
e resteanisotrop
e surF (’) (Proposition
D.12.4
).
(3)Pour ’ et ’ 0 deux formesquadratiques
anisotrop
es telles
que ’ F (’ 0) soit
0
isotrop
e,on a W q(F (’)=F)‰ W q(F (’ )=F) [138,Prop.3.9]
.
(4)Pour’ et’ 0 deuxformesquadratiques
totalemen
tsinguli
eresanisotrop
estelles
que’ 0 • ’ etdim’ 0 ‚ 2,on a W (F (’)=F)‰ W (F (’ 0)=F) [138,Prop.3.6]
.
t leth¶
eoreme de sous-forme
(Th¶
eoreme D.10.4
),
Le cas(3)sed¶
emontreen utilisan
parcontrelecas(4)s’obtien
tdefa»
conbeaucoupplussubtile
enutilisan
tdesr¶
esultats
de lath¶
eorie
de sp¶
ecialisation.
En parall
elea l’
¶
etudedesnoyauxW (K =F) etW q(K =F),on peut¶
etudier
laquasi¶
e desformestotalemen
tsinguli
eressurlecorpsdesfonctions
d’uneautre.
hyperbolicit
Dans cecason a uner¶
eponsecomplete:
D.18.1.Th ¶
eoreme ([137,Th.1.5]
). | Soient’ et ˆ deuxformesquadrati
ques
anisotr
opes.On supposeque’ esttotalement
singuli
ere.A lors,
on a ¶
equivalenc
e entr
e
lesassertions
:
(1)’ F (ˆ ) estquasi-hyp
erb
olique
.
(2)ˆ esttotalement
singuli
ere etilexiste
desscalair
esconvenables
a1;:::;an 2 F ⁄
tels
que’ ’ a1ˆ qp ? ¢¢¢? an ˆ qp (cf.Notation
D.17.6
).
D.18.A. Le noyau W (F (’)=F). |
Pourcenoyau,on a uner¶
eponsecomplete:
D.18.2.Th ¶
eoreme ([138,Th.1.2]
). | Soit’ une formequadrati
que anisotrope
de dimension
‚ 2 tel
lequeW (F (’)=F)6
= 0.A lors:
(1)’ esttotalement
singuli
ere.
(2)SoitndegF (’) = 2d . Une formebilin
¶
eair
e anisotrope B surF devient
m¶
etaboli
que surF (’) sietseulement
siB ’ fi 1B 1 ? ¢¢¢ ? fi rB r pour certains
fi 1;:::;fi r 2 F ⁄ etB 1;:::;B r desd-formesbilin
¶
eair
es de Pflsterasso
ci¶
eesa
’ qp (cf.Notation
D.17.6
).
APPENDICE
222
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
Pourprouverceth¶
eoreme,on a proc¶
ed¶
e parinduction
surndegF (’)enrassem
blan
t
beaucoupde r¶
esultats,
parmilesquels
laproposition
D.10.5
,leth¶
eoreme D.18.1etla
proposition
D.10.6
.
Un autrecalcul
fait
surlenoyau W (K =F) estd^
u a Hofimann lorsque
l’extension
K =F v¶
eri
fle laproppri
¶
et¶
e K 2 ‰ F .Son r¶
esultat
estlesuiv
ant :
D.18.3.Th ¶
eoreme ([66,Th.1.1]
). | SoitK =F uneextension
tel
lequ’onaitl’in2
clusion
K ‰ F .A lorslenoyauW (K =F) estl’id
¶
ealde W (F ) engendr
¶
e parfh1;aib j
a 2 K ⁄2g.
On renvoiea [75]pourlesd¶
etails
delapreuv
e deceth¶
eoreme,etd’autres
r¶
esultats.
D.18.B. Le noyau W q(F (’)=F). | Contrairemen
tau casdu noyau W (F (’)=F),
on estloinde donnerune caract
¶
erisation
completedu noyau W q(F (’)=F).Certains
calculs
ont¶
et¶
e faits
aupara
vantsurcenoyau pourdesextensions
¶
el
¶
ementaires,
comme
quadrati
quesetbiqua
drati
ques.Pluspr¶
ecis
¶
ement,poura;b 2 F on a :
lesextensions
p.128]:
(1)D’apr
esBaeza[22,Cor.4.16,
W q(F (} ¡ 1(a);} ¡ 1(b))=F)= W (F )[1
;a]+ W (F )[1
;b]:
(2)D’apr
esBaeza[21]danslecasquadratique,
puisMammone etMoresi[153]
:
danslecasbiquadratique
p
p
W q(F ( a; b)=F)= h1;aib › W q(F )+ h1;bib › W q(F ):
(3)D’apr
esAhmad [3]:
p
;a]+ h1;bib › W q(F ):
W q(F (} ¡ 1(a); b)=F)= W (F )[1
On reviendra
a lafln de cette
sous-section
pouruneg¶
en¶
eralisation
du calcul
dans
(2)a uneextension
m ultiqua
drati
quepurementins
¶
eparab
e.Parcontre,
lecalcul
dans
(1)ne seg¶
en¶
eralise
pasau casdesextensions
triquadratiques
s¶
eparables
comme ila
¶
et¶
e prouv¶
e parMammone etMoresi[153].De maniereanalogue,
en caract
¶
eristique
= 2,Elman,Lam ,TignoletW adsworth[52]ont montr¶
6
e que lecalcul
dans(1)(ou
(2))ne seg¶
en¶
eralise
pasa uneextension
triquadra
ti
que.
= 2 etlorsque
6
W q(F (’)=F)n’est
pasnul,certains
quesComme encaract
¶
eristique
tionsseposen
t surcenoyau,a savoirs’il
contien
t desformesde Pflster,
ou s’il
est
engendr
¶
e pardesformessemblables
a desformesde Pflsterqu’il
contien
t,etsic’est
lecas,sousquelles
conditions
lecalcul
peut^
etreexprim
¶
e a isom¶
etrie
presetnon pas
a¶
equiv
alence
deWittpres.Dans cesenson rappelle
uned¶
eflnition
dueoriginalemen
t
a Elman,Lam etW adsworth[51]:
D.18.4.D ¶
eflnition
. | Soien
t n ‚ 1 un entier,
etI unepartie
deN .PourK =F une
extension,
on ditque:
(1)W q(K =F)estun I-group
edePflster
s’il
estengendr
¶
e parlesformesquadratiques
de W q(K =F)\ GP n F pourn 2 I.
D.18.QUELQUES
CALCULS
DE NO Y A UX DE WITT
223
(2)W q(K =F) estfortemen
t un I-group
e de Pflstersitouteformequadratique
de
W q(K =F) estisom¶
etrique
a unesomme orthogonale
de formesquadrati
quesde
W q(K =F)\ GP n F pourn 2 I.
On a unedescription
completedeW q(F (’)=F)lorsque
’ unevoisine
ou unequasivoisine
de Pflster:
D.18.5.Th ¶
eoreme ([138,Th.1.4]
). | Soit’ une formequadrati
que anisotrope
n
voisine
ou quasi-voisine
de ….Soitdim… = 2 .A lors:
(1)W q(F (’)=F)= W q(F (…)=F).
(2)Si ’ estune voisine
de Pflster,
alorstouteformeanisotrope appartenant
a
W q(F (’)=F) estisom¶
etrique
a ¿ › … pourune certaine
formebili
n¶
eaire ¿.En
particulier,
W q(F (’)=F) estfortement
un n-gr
oupe de Pflster.
(3)Si’ estune quasi-voisine
de Pflster,
alors
touteformeanisotrope appartenant
a W q(F (’)=F) estisom¶
etrique
a B › ‰ pour une certaine
formenon sin¶
eair
e de Pflsterasso
ci¶
eea ….En particulier,
guli
ere ‰,ou B estune formebilin
W q(F (’)=F) estfortement
un (n + 1)-gr
oupe de Pflster.
Rappelons
quel’assertion
(3)de ceth¶
eoreme a ¶
et¶
e prouv¶
e aupara
vant parAhmad
danslecasn = 1 [1,Cor.2.8]
.
Pour’ uneformequadratique
quelconque,
ona donn¶
e desr¶
esultats
surW q(F (’)=F)
g¶
en¶
erali
sant essen
tiellemen
t ceuxprouv¶
esparFitzgerald
en caract
¶
eristique
= 2 [55].
6
Plusexactemen
t,on s’est
bas¶
e surl’id
¶
ee quipermetd’avoirdesinformations
sur
0
0
W q(F (’)=F) a partir
d’unautrenoyau W q(F (’ )=F) sachant que ’ satisfasse
certaines
conditions
visa-vis
de ’.Notreprincipal
r¶
esultat
danscesensestleth¶
eoreme
suiv
ant :
D.18.6.Th ¶
eoreme ([138,Th.1.5]
). | Soient’ une formequadrati
queanisotrope (¶
eventuel
lementsinguli
ere)de dimension
‚ 3,et’ 0 une formequadrati
quetel
les
que:
(1)’ 0 • ’ etdim’ = dim’ 0 + 1.
(2)W q(F (’ 0)=F) estfortement
un n-gr
oupe de Pflsterpourun certain
n ‚ 1.
oupe de Pflster.
A lorsW q(F (’)=F) estun fn;n + 1g-gr
On a ra–n ¶
e ceth¶
eoreme lorsque
’ 0 estunevoisine
de Pflster:
D.18.7.Th ¶
eoreme ([138,Th.1.6]
). | Soient’ une formequadrati
queanisotro0
pe (¶
eventuel
lementsinguli
ere)de dimension
‚ 3,et’ une formequadrati
quetel
les
que:
(1)’ 0 • ’ etdim’ = dim’ 0 + 1.
(2)’ 0 estune voisine
d’unen-formede Pflster.
A lorsW q(F (’)=F)estfortement
un m -gr
oupe dePflster
avec m = n ou n + 1 suivant
que’ estune voisine
d’unen-formede Pflsterou non.
APPENDICE
224
¶
D. CARA CT ERISTIQUE
2
Comme on l’a¶
evoqu¶
e au d¶
ebutde cette
sous-section,
on a d¶
ecrit
completemen
t le
noyauW q(K =F)lorsque
K estuneextension
m ultiqua
drati
quepurementins
¶
eparable
:
D.18.8.Th ¶
eoreme ([140]). | Pourdesscalair
esfi 1;:::;fi n 2 F ⁄ (n ‚ 1),on a :
Xn
h1;fi iib › W q(F ):
W q(F (p fi 1 ;:::;p fi n )=F)=
i=1
Pourmontrerceth¶
eoreme on a utilis
¶
e laconjecture
deMilnord¶
emontr¶
eeparKato
[118],etdescalculs
surlesformesdifi¶
eren
tielles.
En combinan
t lesth¶
eoremesD.18.5
,D.18.6etD.18.7
,on a obten
u unedescription
pr¶
ecise
du noyau W q(F (’)=F) lorsque
’ estde dimension
• 5 etde partie
quasilin
¶
eaire
de dimension
s:
Dimension de ’
2
3
4
5
Conditionssur ’
Le noyau W q (F (’)=F )
s= 0
fortemen
t un 1-group
e de Pflster
s= 2
fortemen
t un 2-group
e de Pflster
s= 1
fortemen
t un 2-group
e de Pflster
s= 3
fortemen
t un 3-group
e de Pflster
s = 0 et’ n’est
passemblable fortemen
t un 3-group
e de Pflste
a une 2-formede Pflster
s= 2
fortemen
t un 3-group
e de Pflster
s = 4 et’ n’est
passemblable fortemen
t un 3-group
e de Pflster
a une quasi2-formede Pflster
s = 0 et’ estsemblable
fortemen
t un 2-group
e de Pflster
a une 2-formede Pflster
passemblable
s = 4 et’ n’est
un f3;4g-group
e de Pflster
a une quasi2-formede Pflster
s = 1 ou 3 et’ n’est
pas
un 4-group
e de Pflster
une voisine
de Pflster
s = 1 ou 3 et’ est
fortemen
t un 3-group
e de Pflster
une voisine
de Pflster
s = 5 et’ estune
fortemen
t un 4-group
e de Pflster
quasi-v
oisine
de Pflster
s = 5 et’ n’est
pasune
?
quasi-v
oisine
de Pflster
APPENDICE
FORMES
QUADRA
TIQUES
E
ET CYCLES
D’APR ES R OST, V OEV ODSKY,
¶
ALG EBRIQUES
VISHIK, KARPENK
O...
Introduction
La th¶
eorie
alg
¶
ebrique
desformesquadratiques
(paropposition
a lath¶
eorie
arith
m¶
eti
quedanslalign
¶
eede Legendre,
Gauss,Hermite,
Minkowski,Hasse...)
estl’
¶
etude
surun corpsquelconque
: l’article
fondateur
estcelui
de
desformesquadratiques
Witt ([223],1937).Ellea connu un d¶
evelopp
ement par a-coups,
impuls
¶
e par des
id¶
eesnouvelles
etfondamen
tales
introduites
successiv
ement parun petit
nombrede
math¶
ematiciens.
Ils’agit
maintenan
t d’uneth¶
eorie
foisonnan
te,enpleine
clari
flcation,
ou cependant lesm ¶
ethodeslesplussophistiqu
¶
eesvoisinen
t toujours
de maniereun
peu m yst
¶
erieuse
aveclesplus¶
el
¶
ementaires,
donnant parfois
desd¶
emonstrations
tres
difi¶
eren
tesd’unm ^
eme th¶
eoreme.
s surun corpsF ? Sousun angle,
Qu’est-ce
quelath¶
eorie
desformesquadratique
ils’agit
de l’
¶
etudedespolyn
omes homogenesde degr
^
¶
e 2.Le point de vue de Witt
¶
etait
qu’onpeutm unircespolyn
o
^mesd’unesomme etd’unproduit,
enconsid
¶
eran
t la
somme directe
etleproduittensoriel
desespaces
vectoriels
sous-jacen
ts:on obtien
t
k)deF .La tentation
ainsi
l’anneau
deWitt(ouplusexactemen
tdeWitt-Grothendiec
de placer
ainsi
lath¶
eorie
danslecontexteplusg¶
en¶
eralde l’
¶
etudedesformesde degr
¶
e
d esttrompeuse:pourd ‚ 3,lasituation
devien
t troprigide
etl’anneau
obten
u est
essen
tiellemen
t inin
t¶
eressan
t (cf.[64](1)).
D’un autrepoint de vue,laquadrique
projectiv
e desz¶
erosd’uneformequadratiqueq estun exemplede vari
¶
et¶
e projectiv
e homogene(ici,
sousl’action
du groupe
SO (q)); en particulier
c’est
une vari
¶
et¶
e rationnelle.
L’¶
etudede l’isotropie
de cette
quadrique
surlesextensions
de F estcentraledans lath¶
eorie.
Quoiqued’autres
Reproductionde l’exp
os¶
e no 941du S¶
eminaire
Bourbaki(novem bre2004),
avecl’aimable
autorisation
desorganisateurs.
(1)Parexemple,
d’apr
esun r¶
esultat
remontant a CamilleJordan,siF estde caract
¶
eristique
z¶
ero,le
groupe desautomorphismes
d’unetelle
formeestflnidesquel’h
ypersurface
projectiv
e corresp
ondante
estlisse
;voir[192]pourune d¶
emonstration
mo derneetun peu plusg¶
en¶
erale.
226
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
vari
¶
et¶
es projectiv
es homogenessoien
t naturellemen
t attac
h¶
eesa desstructures
alg¶
ebri
ques(parexemplelesvari
¶
et¶
esde Severi-Brauer),
iln’ya pasd’autre
famille
de
telles
vari
¶
et¶
esquisoitrepr
¶
esen
t¶
eepardesstructures
alg
¶
ebriques
qu’onpuisse
additionner
etm ultiplier
comme lesformesquadratique
s.Cecidonnesa ric
hesseetsa
sp¶
eci
flcit
¶
e a lath¶
eorie,
quise trouv
e naturellemen
t au con uent de deux mondes
(formes
etvari
¶
et¶
esde drapeauxg¶
en¶
eralis
¶
ees).
Pendantlongtemps,
cette
th¶
eorie
a pu passer
pourunecuriosit
¶
e a mi-c
heminentre
l’
((arithm
¶
etique
descorps
))etuneg¶
eom¶
etrie
alg
¶
ebrique
relativ
ement¶
el
¶
ementaire.
Elle
estentrain
detrouv
ersavraie
place:d’unepartelle
intervien
tdemaniereessen
tielle
danslad¶
emonstration
de laconjecture
de MilnorparVoevodsky([216],voir[100]
pourun rapportdansceS¶
eminaire).
D’autre
part,
elle
estintrins
equement pr¶
esen
te
danslath¶
eorie
homotopique
dessch¶
emasdeMorel-V
oevodsky[168]:cefait,
anticip
¶
e
parRost, estillustr
¶
e parleth¶
eoreme fondamen
talde Morel(cf.[166, rem.6.4.2]
)
selon
lequel
l’anneau
desendomorphismes
del’ob
jetunit
¶
e delacat¶
egorie
homotopique
stable
desF -sc
h¶
emasn’est
autrequel’anneau
de Witt-Grothendiec
k de F ,lorsque
F
estparfait
de caract
¶
eristique
= 2.
6
Parailleurs,
lath¶
eorie
desformesquadratique
ssurun sch¶
ema,qui¶
etait
longtemps
rest
¶
ee embryonnaireapres letra
vailde fondemen
tsde Knebusc
h dans lesann¶
ees
1970,conna
^‡t depuisunedizaine
d’ann
¶
eesun d¶
evelopp
ement spectaculaire
gr^
aceaux
r¶
esultats
de Balmer,W alter
etd’autres,
obten
usa l’aide
descat¶
egories
triangul
¶
eesa
dualit
¶
e [25,27].Ce n’est
paslelieu
d’enparler
ici,
maiscelaconflrme quelath¶
eorie
arriv
e a maturit
¶
e.
Dans cetexpos¶
e,j’ai
d’abord vouluofirirun surv
olde lath¶
eorietelle
qu’elle
s’est
d¶
evelopp
¶
eejusqu’au
milieu
desann¶
ees1990:mal connue desnon sp¶
ecialistes,
elle
pr¶
esen
teune¶
el
¶
eganceetune originalit
¶
e qui,j’esp
ere,s¶
eduiron
t certains
lecteurs
comme elles
m’onts¶
eduit
moi-m^
eme.(Nepouvant^
etreexhaustif
dansun telexpos¶
e,je
me suisn¶
eanmoinslimit
¶
e aux aspectsdirectemen
t li
¶
esaux derniers
d¶
evelopp
ements:
ainsi,
lestra
vaux d’Elman-Lamou ceuxsurlescorpsordonn
¶
es ne sont pas mentionn
¶
es.)
Ensuite
expliquer
lesd¶
evelopp
ementsdenature
motivique
(oupour^
etreplus
tinterv
enirlescorresp
ondances
alg
¶
ebriques)
quilar¶
evolutionnen
t
terre
a terre,
faisan
pardesapplications
frappan
tesqui
depuisun peu moinsde 10 ans,etlesillustrer
semblaien
t horsde port
¶
eeavant l’apparition
de cesm ¶
ethodes.
J’aiessa
y¶
e de donnerun traitemen
t aussi
g¶
eom¶
etrique
quepossible
de lath¶
eorie
;
en particulier,
chaquefois
quecelaa ¶
et¶
e possible
jeme suisefiorc
¶
e de laplacer
dans
lecontexteplusg¶
en¶
eraldesvari
¶
et¶
esprojectiv
eshomogenes(voirci-dessus).
Ce rapport¶
etan
t d¶
eja excessiv
ement long,
j’ai
¶
et¶
e conduit
a faire
deschoixcorn¶
eliens.
En particulier,
j’ai
renonc
¶
e a exposerlapartie
delath¶
eorie
faisan
tinterv
enirles
invarian
tssup¶
erieurs
desformesquadratique
s,c’esta-dire
lasecondeconjecture
de
Milnor([172];cf.[100,(2)a lafln del’in
troduction]
).On n’ytrouv
eraquedebreves
allusions
iciou la,voirnotamment remarquesE.6.9etE.11.32
.Un avantagede ce
¶
E.1.D EFINITIONS
ET NOT A TIONS
227
choixestquelesr¶
esultats
expliqu
¶
esicisont tousde d¶
emonstrations
((¶
el
¶
ementaires
)),
n’utilisan
t paslath¶
eorie
homotopique
dessch¶
emas.
Je remercie
YvesAndr¶
e,H ¶
eleneEsnault,
DetlevHofimann etAlexander
Vishik
pour leuraidedanslapr¶
eparation
de ce texte,
ainsi
que NikitaKarpenko, JeanPierre
SerreetTam ¶
asSzamuelypourdiverses
remarques
leconcernan
t.Je remercie
¶
egalemen
tleCIMA T de Guanajuato,
ou ila ¶
et¶
e en partie
con»
cu,poursonhospitalit
¶
e
etpourlesexcellen
tesconditions
de tra
vaildont j’ai
b¶
en¶
eflci
¶
e.
On tra
vaille
surun corpsF decaract
¶
eristique
= 2.On noteF„ unecl^
6
otures¶
eparable
de F .
I.FORMES
QUADRA
TIQUES
E.1. D ¶
eflnitionset notations
Une formequadr
atiquesurF estun espacevectoriel
V m unid’uneapplication
¡
q :V ! F telle
queq(‚x)= ‚2q(x)pour(‚;x)2 F £ V etque•
q(x;y):= 21 q(x+ y)¡
¢
q(x)¡ q(y) (laformepolair
e de q) soit
bilin
¶
eaire
:V estl’
espace sous-jac
enta q;sa
dimension
estappel
¶
eeladimension
de q,etnot¶
eedimq.On a lesnotions
classiques
de vecteurs
orthogonaux
etd’orthogonal
X ? d’unepartie
X de V .On ditqueq est
non d¶
eg¶
en¶
er¶
ee siV ? = f0g.
A partir
demaintenant,
((formequadr
atique
))signifle
formequadr
atique
dedimensionflnie,non d¶
eg¶
en¶
er¶
ee.
Un morphismede (V;q) vers(V 0;q0) estune application
lin
¶
eaire
f :V ! V 0 telle
0
que q – f = q : alorsf estautomatiquemen
t injectiv
e etf(V ) estfacteur
direct
0
orthogonal
de V .Sif estun isomorphisme,
on ditquec’est
uneisom¶
etrie
.On note
q ’ q0 s’il
existe
une isom¶
etrie
entreq etq0,etq • q0 s’il
existe
un morphismede q
siq estisom¶
etrique
a unesous-forme
de q0).On noteO (q) legroupe des
versq0 (i.e.
isom¶
etries
d’uneformequadratique
q :c’est
legroupe ortho
gonalde q.
0
On ditaussi
quedeuxformesq;q surF sont semblables
s’il
existe
a 2 F ⁄ telque
0
q ’ aq .
etm ultiplier
lesformesquadratique
s:
On peutadditionner
{ Somme dir
ecteortho
gonale:(V;q)? (V 0;q0)= (V ' V 0;q? q0),ou (q? q0)(x;x0)=
0 0
q(x)+ q (x ).
{ Produittensoriel
:entermesdeformespolaires,
(V;•
q)› (V 0;•
q0)= (V › V 0;•
q› q
•0),
0
0
0
0 0 0
ou (•
q› q
• )(x › x ;y › y )= q
•(x;y)•
q (x ;y ).
On peutaussi
¶
etendr
e lesscalair
esde F a une extension
quelconque
K de F :on
noteraq 7!qK cette
op¶
eration.
Si(V;q)estuneformequadratique
,parlechoixd’unebase(ei)deV ,q corresp
ond
P
P
2
2a
T
T
,ou
a
=
q(
e
)
eta
=
q
•
(
e
;e
)
a
T
+
a un polyn
ome Q =
^
ij i j
i
i
i;j
i j .Si
i<j
i i i
228
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
dimq ‚ 3,Q estirr
¶
eductible
etd¶
eflnitunehypersurface
lisse
X q ‰ P (V ):laquadrique
asso
ci
¶
eea q.On a dimX q = dimq¡ 2.Sidimq = 2,X q n’est
plus(g¶
eom¶
etriquemen
t)
irr
¶
eductible,
maisconsiste
endeuxpointsrationnels
ou un pointquadratique
deP (V ).
sietseulemen
tsiq etq0 sontsemblables.
Deux quadriques
X q etX q0 sontisomorphes
E.2. La th¶
eoriede Witt
E.2.A. Base orthogonaleet th¶
eoreme de simpliflcation
E.2.1.Th ¶
eoreme
a) Touteformequadr
atique
q possedeune baseortho
gonale.
b) Soientq;q1;q2 troisformesquadr
atique
s surF . Si q ? q1 ’ q ? q2, alors
q1 ’ q2.
seperddans
La partie
(a)de ce th¶
eoreme estbienconnue etsa d¶
emonstration
la nuitdes temps.La partie
(b)(th¶
eoreme de simpli
flcation)
estessen
tiellemen
t
¶
equiv
alen
teau fait
que,sidimq = n,tout¶
el
¶
ementdeO (q)estproduitden r¶
e exions.
Elleestcourammentattribu
¶
eea Witt[223];toutefois,
Scharlau
[191,x2](2) a fait
observ
erqu’elle
avait¶
et¶
e obten
ue30ansaupara
vantparDickson[46](tr
esprobablemen
t
sansqueWitten aitconscience).
P
Si(e1;:::;en ) estune baseorthogonale
de q etx =
xiei,on a q(x) = a1x21 +
⁄
2
esumececiparlanotation
q ’ ha1;:::;an i.
¢¢¢+ an xn avecai = q(ei)2 F .On r¶
E.2.B.Indicede Witt. | Soitq uneformequadratique
d’espace
vectoriel
sousjacen
t V . Un vecteurx 2 V estisotr
ope siq(x) = 0. Un sous-espace
W ‰ V est
totalement
isotr
ope siqjW = 0.La formeq estisotr
ope s’il
existe
un vecteur
isotrop
e
= 0,anisotr
6
ope sielle
n’est
pasisotrop
e.
On appelle
planhyperb
olique
,eton noteH ,laformequadratique
de dimension
2,
d’espace
vectoriel
sous-jacen
t F 2,d¶
eflnieparq(x;y) = xy ((x;y) 2 F 2).Pourtout
a 2 F ⁄ , on a H ’ ha;¡ ai; touteformequadratique
isotrop
e de dimension
2 est
isom¶
etrique
a H . On ditqu’uneformeh esthyperb
olique
sih ’ m H = pour m
convenable.
E.2.2.Th ¶
eoreme . | Touteformequadr
atique
q sed¶
ecomposede maniere unique
(a isom¶
etrie
pres)en somme dir
ecteortho
gonaleqan ? h,ou qan estanisotr
ope eth
esthyperb
olique.
Ce th¶
eoreme,d^
u a Witt[223],sed¶
eduitfacilemen
t du th¶
eoreme E.2.1
.Ilramene
dansunelarge
mesurel’
¶
etudedesformesquadratique
sa celle
desformesquadratique
s
anisotrop
es.On en d¶
eduitimm ¶
ediatemen
t que,si(V;q) estune formequadratique
,
touslessous-espaces
totalemen
t isotrop
esmaximaux de V ont lam ^
eme dimension
:
(2)Je remercie
Serrede m’avoirindiqu
¶
e cetter¶
ef¶
erence.
¶
E.3.LE TH EOR
EME
DE SPRINGER
229
c’est
l’
indic
e de Wittde q,not¶
e i(q).Aveclanotation
du th¶
eoreme E.2.2
,on a i(q)=
1
1
dimh
•
dimq.
La
formeq
esthyperb
olique
s
ietseulemen
t
sii
(
q)
= 21 dimq.
2
2
Notonslelemme suiv
ant,fortutile
etquidonneuneid¶
eede l’esprit
du sujet
:
E.2.3.Lemme
a) Soientq;q0 deuxformesquadr
atique
s anisotr
opes,etsoitn = i(q? ¡ q0).A lors
0
lesque
ilexiste
desformesquadr
atiques
’;q1;q1,avec dim’ = n,tel
q ’ ’ ? q1;
q0 ’ ’ ? q10:
b) Soient
q uneformequadr
atique
surF etq0 • q,decodimension
r.A lorsi(q0)‚
0
0
i(q)¡ r.En particulier,
sidimq > dimq ¡ i(q),alors
q estisotr
ope.
Voici
uned¶
emonstration
de(b):soien
tV l’espace
sous-jacen
ta q,W lesous-espace
de V corresp
ondant a q0 etH ‰ V un sous-espace
totalemen
t isotrop
e de dimension
i(q).AlorscodimH (W \ H )• r.
E.2.C.Anneau de Witt
equivalentes
au sensde
. | Deux formesquadratique
s q;q0 sont ¶
E.2.4.D ¶
eflnition
0
0
Wittsiqan ’ qan ;on notecette
relation
q» q.
s,
L’¶
equiv
alence
de Wittresp
ectelasomme etleproduitdesformesquadratique
d’ou
E.2.5.D ¶
eflnition
. | L’anneau de Wittde F ,not¶
e W (F ),estl’anneau
desclasses
d’¶
equiv
alence
delarelation
» ,pourl’addition
etlam ultiplication
induites
resp
ectiv
ement par? et› .
D’apr
esleth¶
eoreme E.2.2
,uneformequadratique
estcaract
¶
eris
¶
ee,a isom¶
etrie
pres,
parsadimension
etsaclasse
dansW (F ).On a parfois
besoin
de consid
¶
ererunevariantede l’anneau
de Witt,l’anneau
de Witt-Grothendiec
k :c’est
l’anneau
desclasses
d’¶
equiv
alence
de larelation
’ de l’in
troduction,
pourl’addition
etlam ultiplication
e (ici)
W^ (F ).Ilestclair
qu’ona un
induites
resp
ectiv
ement par? et› .Ilestnot¶
^
homomorphismesurjectif
W (F )! W (F ),de noyau isomorphe
a Z (engendr
¶
e parla
classe
du planhyperbolique).
D’apr
esleth¶
eoreme E.2.1(a),cesdeuxanneauxsont
engendr
¶
esparlesclasses
desformesquadratique
s de dimension
1,etilestfacile
d’en
donneren fait
unepr¶
esentation
(cf.[146,ch.II]
).
E.3. Le th¶
eoreme de Springer
E.3.1.Th ¶
eoreme ([200]). | Soitq une formequadr
atique
anisotr
ope surF , et
soitE =F une extension
flniede degr¶
e impair.A lorsqE estencore anisotr
ope.
Ce th¶
eoreme avait¶
et¶
e conjectur
¶
e parWitt.Ilestcontenu dansun th¶
eoreme plus
r¶
ecen
t de Swan [204]etKarpenko [107,prop.2.6]
:
230
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
E.3.2.Th ¶
eoreme . | SoitX une quadrique
anisotr
ope surF , etsoitx 2 X un
pointferm¶
e de degr¶
e 2. A lorstout0-cycle
surX estlin
¶
eair
ement¶
equivalent
a un
multiple
de x.
Utilisons
l’argumen
tdeSpringer
pourd¶
emontrer
ceth¶
eoreme(3) :soit
ha0;:::;ad+1 i
d+1
une¶
equation
deX ,ou d = dimX ,etX ‰ P
leplongemen
tprojectif
asso
ci
¶
e.Pour
commencer,on peuttrouv
erune droite
l ‰ P d+1 telle
que l\ X = fxg. Ensuite,
on voitque toutpoint ferm¶
e estlin
¶
eairemen
t¶
equiv
alen
t a un point ferm¶
e a corps
r¶
esiduel
s¶
eparable
(silacaract
¶
eristique
estp > 0 avecp impair,
utiliser
l’endomorp¡ 1
p¡ 1
p
2
yd+1
)).Soitmainphisme((de Frobenius
))(y0 : ::: : yd+1 ) 7! (a0 2 y0p : ::: : ad+1
tenan
t y 2 X un point ferm¶
e a corpsr¶
esiduel
s¶
eparable,
de degr
¶
e n :lechoixd’un
¶
el
¶
ementprimitif
fi de F (y)fournit
despolyn
omesp0;:::;pd+1 de degr
^
¶
es< n tels
que
(y0 :::::yd+1 )= (p0(fi):::::pd+1 (fi));on peutd’ailleurs
supposerlespi premiers
entreeuxdansleurensemble.
SoitC lacourb
e rationnelle
d¶
eflnieparlespi :elle
est
de degr
¶
e m < n.De plusC n’est
pascontenue dansX ,sansquoiX aurait
un point
efiectif
de X ,de degr
¶
e 2m et
rationnel.
Parcons
¶
equent,Z = C \ X estun 0-cycle
contenan
t y.Comme C » ml,on a Z » mx (» d¶
esigne
l¶
e
’quiv
alence
lin
¶
eaire).
Mais
Z ¡ y estun 0-cycle
efiectif
dedegr
¶
e 2m ¡ n < n :sin = 2,on a n¶
ecessairemen
tZ = y
et,sin > 2,lesautres
pointsferm¶
esinterv
enant dansZ ¡ y sont de degr
¶
es< n.Par
Z ¡ y estlin
¶
eairemen
t¶
equiv
alen
t a un m ultiple
de x,doncaussi
y.
r¶
ecurrence,
E.4. La th¶
eoriede Pflster : puissancesde I
L’anneauW (F ) estm unid’uneaugmentation
((dimension
mo dulo2))
dim :W (F )! Z=2:
li
’d¶
ealfondamental
de W (F ).On notetraditionOn noteIF = Kerdim :c’est
nellemen
t sespuissances
In F .
E.4.A. Formes de Pflster.| Ilestclair
queIF estengendr
¶
e additiv
ement par
h1;¡ ai,etdoncqueIn F estengendr
¶
e additiv
ementparlesformes
lesformesbinaires
hha1;:::;an ii:= h1;¡ a1i› ¢¢¢› h1;¡ an i:
Cesformessontappel
¶
eesn-formes
de Pflster
.Le premier,
Pflster
a reconn
u quece
sont lespierres
de touc
he de lath¶
eorie
desformesquadratiques.
Ilen a d¶
emontr¶
e des
propri
¶
et¶
esremarquables
:
E.4.1.Th ¶
eoreme ([176,Theorem2]). | Pourtoute
n-formedePflster
’ ,’(x)6
=
0 ) ’ ’ ’(x)’.En particulier,
lesvaleurs
non nullesde ’ formentun sous-gr
oupe
de F ⁄ .
(3)Je remercie
H¶
eleneEsnaultpourune remarque¶
eclairan
tea
cesujet.
¶
E.4.LA TH EORIE
DE PFISTER
: PUISSANCES
DE I
231
On a m ^
eme mieux:touteformeanisotrop
e m ultiplicativ
e en cesensestuneforme
de Pflster.
Celased¶
eduitdu th¶
eoreme E.4.3ci-dessous.
Pourn = 1;2;3,on disp
oseclassiquemen
t d’alg
ebresexpliquan
t leth¶
eoreme E.4.1
(extensions
quadratiques
de F , quaternions,
octonions)
: ce n’estpluslecaspour
n > 3.D’ailleurs,
pourcesvaleurs
den,lesformulesimplicites
dansleth¶
eoreme E.4.1
contiennen
t desd¶
enominateurs.
Du th¶
eoreme E.4.1
,Pflsterd¶
eduitfacilemen
t:
E.4.2.Corollair
e
a) Une formede Pflsterisotr
ope esthyperb
olique.
b) Deux formesde Pflstersemblables
sontisom¶
etriques.
E.4.B.Th ¶
eoremes de Cassels-Pflster.
| Ils’agit
de trois
th¶
eoremes ditsde
repr¶
esentation
.Soit(V;q) uneF -formequadratique
etsoit
A uneF -alg
ebrecomm utativ
e :on ditqueq repr¶
esente
a 2 A surA s’il
existe
~
a 2 A › F V telqueq(~
a)= a.
Notation
: a 2 D (qA ). La partie
(a)du th¶
eoreme ci-dessous
avait¶
et¶
e initialemen
t
d¶
emontr¶
eeparCassels
pourdessommesdecarr
¶
es;laversion
g¶
en¶
erale
etlasuite
sont
dusa Pflster[176].
E.4.3.Th ¶
eoreme
a) Soient
q une formequadr
atique
surF etf 2 F [T ]¡ f0g.Siq repr¶
esente
f sur
F (T ),alors
q repr¶
esente
d¶
eja f surF [T ].
b) Soientq = ha1;:::;an i une formeanisotr
ope surF (n ‚ 2), q0 = ha2;:::;an i
0
⁄
2
etd 2 F .A lorsd 2 D (q ) , d + a1T 2 D (qF (T )).
c) Soient
q;’ deuxformesquadr
atique
s surF ,avec q anisotr
ope.Soient
V l’esp
ace
vectoriel
sous-jac
enta ’ etK = F (V ⁄ ), de sorteque ’ peut^
etr
e vu comme
¶
el
¶
ementde K .A lors’ 2 D (qK ) , ’ • q.
E.4.C.Le discriminan
t.| A partladimension
mo dulo2,c’est
leseulinvarian
t
quenousutiliserons.
Siq = ha1;:::;an i,on pose
n (n ¡ 1)
2
d§ q = (¡ 1)
a1 ¢¢¢an 2 F ⁄ =F ⁄2:
C’estlediscriminan
t de q : ilne d¶
epend que de laclasse
de q dansW (F ). Il
interviendra
implicitemen
t a causedu lemme suiv
ant :
E.4.4.Lemme
»
a) L’applic
ationq 7!d§ q induit
un isomorphisme
IF =I2F ! F ⁄ =F ⁄2.
b) Soientq;q0 deuxformesde dimension
impair
e.A lorsilexiste
un scalair
e a tel
queq ? ¡ aq0 2 I2F .
232
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
E.5. Corps de fonctions
de quadriques
Soitq une formequadratique
surF ,etsoitX = X q laquadrique
projectiv
e associ
¶
ee:c’est
une vari
¶
et¶
e F -rationnelle
sietseulemen
t siq estisotrop
e (cela
r¶
esulte
facilemen
t du th¶
eoreme E.2.2
).On noteen g¶
en¶
eralF (q) lecorpsdesfonctions
F (X ).
C’estun invarian
t importan
t de q (ou de X ).On peutdireque,tenan
t compte
destra
vauxant¶
erieurs
de Pflster
,sonutilisation
syst
¶
ematique
remontev¶
eritablemen
t
a Arason[13, 9].
E.5.A. Th ¶
eoreme de lasous-forme
E.5.1.Proposition
. | Soient
q;’ deuxformesquadr
atique
ssurF ,avec ’ anisotr
ope
etdimq= n > 2.Supposons’ F (q) » 0.A lors,
pourtoutb 2 F ⁄ repr¶
esent
¶
e parq,on a
bq(T1;:::;Tn )’ K ’ ’ K
ou K = F (T1;:::;Tn ).
Cetteproposition
sed¶
emontrefacilemen
t parr¶
eduction
a uneextension
quadratique.Knebusch [121]en a d¶
emontr¶
e lar¶
ecipro
que.
Du th¶
eoreme E.4.3(c)etde laproposition
E.5.1
,on d¶
eduitl’imp
ortan
t th¶
eoreme
suiv
ant,appel
¶
e th¶
eoreme d’Arason-Cassels-P
flster
ou simplemen
tth¶
eoreme delasousforme:
E.5.2.Th ¶
eoreme . | Soient
q;’ deuxformesquadr
atique
ssurF ,avec ’ anisotr
ope
etdimq > 2. Supposons’ F (q) » 0. A lors,
pour tout(a;b) 2 D (q)£ D (’), on a
abq• ’.En particulier,
dim’ ‚ dimq.
). | Si dansleth¶
eoreme E.5.2
, on supE.5.3.Corollair
e (Arason [9,Satz1.3]
posequeq estune formede Pflster,
alors
’ ’ q › ‰ pour‰ 2 W (F ) convenable.
surdimq,ennotan
t queqF (q) » 0 parlecorollaire
E.4.2
.
Celasevoitparr¶
ecurrence
E.5.B.Th ¶
eoreme d’Arason-Pflster.
|
C’estlesuiv
ant :
E.5.4.Th ¶
eoreme ([13]). | Soitq anisotr
ope surF tel
lequeq 2 In F pourn ‚ 0.
A lors,
dimq ‚ 2n .
T
De ceth¶
eoreme ilr¶
esulte
imm ¶
ediatemen
t que In F = f0g.
¶
D¶
emonstr
ation
. | Ecriv
onsq = § ’ 1 + ¢¢¢+ § ’ r dansW (F ), ou les’ i sont des
n-formes
de Pflster.
Puisqueq estanisotrop
e,on a r > 0.Proc¶
edonsparr¶
ecurrence
surr.Sir = 1 etdimq < 2n ,on a § ’ 1 ’ q ? m H pourm > 0 convenable
;alors
’1
esthyperbolique
(corollaire
E.4.2
) etq aussi,
absurde.
Sir > 1,posonsK = F (’ r).
Distinguons
deuxcas:
1)qK esthyperbolique.
Parlecorollaire
E.5.3
,ilexiste
‰ telque q ’ ’ r › ‰.En
particulier,
2n = dim’ rjdimq,d’ou dimq ‚ 2n .
¶
E.6.LA TH EORIE
DE KNEBUSCH
¶
: D EPLOIEMENT
¶ ERIQUE
¶
G EN
233
2)qK n’est
pashyperbolique.
Soitq0 = (qK )an .Alorsq0 = § ’ 1 + ¢¢¢+ § ’ r¡ 1 dans
W (K ).Parr¶
ecurrence
surr,dimq0 ‚ 2n ;alors
dimq ‚ 2n ¶
egalemen
t.
E.6. La th¶
eoriede Knebusch : d¶
eploiement g¶
en¶
erique
Dans [122] et[123],Knebusc
h d¶
evelopp
e une th¶
eorie
de d¶
eploiemen
t g¶
en¶
erique
pourlesformesquadratique
s,quipeutsevoircomme une conceptualisation
etune
extension
desr¶
esultats
pr¶
ec¶
edents.Elleconduita lad¶
eflnition
de deux importan
ts
invarian
tsnum ¶
eriques
desformesquadratique
s :lahauteuretledegr¶
e.
E.6.A. T oursde d¶
eploiement g¶
en¶
eriques;hauteur.| Consid
¶
eronsuneforme
quadratique
q surF .On asso
ciea q un entier
h = ht(q) etune suite
(F i;qi)0• i• h ,
ou F i estune extension
de F etqi estune formequadratique
surF i,de lamaniere
suiv
ante:
(i)q0 = qan ;F 0 = F .
(ii)
SupposonsF i etqi d¶
eflnis.
Sidimqi = 0 ou 1,alors
i= h.Sinon,
F i+1 = F i(qi)
etqi+1 = ((qi)F i+1 )an .
E.6.1.D ¶
eflnition
. | L’en
tier
ht(q)s’app
elle
lahauteur
deq (4).La suite
F = F0 ‰
F 1 ‰ ¢¢¢‰ F h s’app
elle
latourde d¶
eploiement
canoniquede q.La formeqi s’app
elle
lei-i
eme noyau de q. Le corpsF h¡ 1 (resp.
F h ) s’app
elle
lecorpsdominant(resp.
corpsde d¶
eploiement
canonique
) de q.On note,pourn > 0
in (q)= i((qn ¡ 1)F n )
c’est
len-i
eme indic
e de Wittsup¶
erieur
de q.La suite
(i1(q);:::;ih (q))
de d¶
eploiement
de q.
s’app
elle
lasuite
SiX estlaquadrique
d¶
eflnieparq,on noteraaussi
in (X ):= in (q).
Comme dimq ‚ dimq0 > dimq1 > :::,l’en
tier
h estbiend¶
eflni;comme lesdimqi
ont lam ^
eme parit
¶
e quedimq,ht(q)• 12 dimq.
eploiemen
t))est,
faute
demieux,unetraduction
fran
caise
»
de((Splitting
((Suiteded¶
pattern
)), terminologie
introduiteparHurrelbrink
etRehmann.Signalons
que leur
d¶
eflnition
difierede lan^
otre,
quiestcelle
de Vishik: ilsutilisen
t plut
ot lasuite
^
(i1(q);i1(q)+ i2(q);:::).Quanta Hofimann etIzhboldin,
ils
pr¶
eferen
t utiliser
lasuite
(dimq0;:::;dimqh ).On prendradoncgardeque laterminologie
recouvre
plusieurs
d¶
eflnitions
(auxcontenus¶
equiv
alen
ts)danslalitt
¶
erature.
Pourall
¶
eger,
introduisons
lanotation
diman q = dimqan :
(4)Nous
utilisons
lanotationht(q) plut^
ot que h(q) pour ¶
eviter
touteconfusion
avec lemotifde la
quadriqueX d¶
eflnieparq,quiseranot¶
e h(X ).
234
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
E.6.2.Th ¶
eoreme (Knebusch [122,th.5.1]
). | Soientq une formequadr
atique
surF etK =F une extension
quelc
onque.A lorsilexiste
un uniquei2 f0;:::;ht(q)g
telquediman qK = dimqi.
D¶
emonstr
ation
. | L’unicit
¶
e estclaire.
Knebusc
h d¶
emontrel’existence
en utilisan
t
sa th¶
eoriede lasp¶
ecialisation
desformesquadratique
s [121](5) : donnons-en
une
d¶
emonstration
directe.
Soiti lepluspetitentiertelque dimqi • diman qK .Ilfaut
montrerque dimqi = diman qK .Posons,
pourtoutj < h,K j = K F j.Pourj < i,
e; alorsK j+1 =K j esttranscendan
te pure(voird¶
ebutdu
(qj)K j » qK j estisotrop
xE.5).Ilen r¶
esulte
que K i=K esttranscendan
tepure,d’ou ilr¶
esulte
facilemen
t que
((qK )an )K i estanisotrop
e.Maisalors
(E.6.1)
diman qK i = diman qK ‚ dimqi ‚ diman (qi)K i
et
(qK i )an ’ ((qi)K i )an :
Parcons
¶
equent ily a partout
¶
egalit
¶
e dans(E.6.1)
.
E.6.3.D ¶
eflnition
. | Une suite
F = K 0 ‰ ¢¢¢‰ K h estune tourde d¶
eploiement
g¶
en¶
erique
de q sielle
poss
edelapropri
¶
et¶
e du th¶
eoreme E.6.2avecqi = (qK i )an etsi
lesextensions
K i+1 =K i sont r¶
eguli
eres.
(Dans[122],Knebusch demande de plusque,pourtouteextension
E =F, ilexiste
une F -place
de K i versE ayant ((bonner¶
eduction
))en qi, ou i estl’en
tiertelque
compos¶
ee
propri
¶
et¶
e estautomatique
puisque
l’extension
diman qE = dimqi,maiscette
E K i=E esttranscendan
tepure,cf.remarqueau d¶
ebutdu xE.5.)
La d¶
eflnition
suiv
ante,duea Izhboldin,
estparticuli
eremen
t importan
te.
E.6.4.D ¶
eflnition
. | Supposonsq anisotrop
e.La dimension
essentiel
lede X q est
dimes X q = dimX q ¡ i1(q)+ 1:
Nous poserons
aussi
dimes q = dimq ¡ i1(q)+ 1:
Le lemme suiv
ant estcons
¶
equenceimm ¶
ediate
du lemme E.2.3(b).
E.6.5.Lemme . | Soient
q uneformeanisotr
ope etq0 • q.Supposonsquedimq0 ‚
0
dimes q.A lorsqF (q) estisotr
ope.
Nous verrons
plusloin(xE.8.B
) quelar¶
ecipr
oqueestvraie
.
(5)Ild¶
emontreplus:ilexiste
une F -place
‚ :F i 99K K telle
que qi aitbonne r¶
eductionen ‚ etque
‚(qi) ’ qK .
¶
E.6.LA TH EORIE
DE KNEBUSCH
¶
: D EPLOIEMENT
¶ ERIQUE
¶
G EN
235
E.6.B.Interpr¶
etationen termes de groupes alg¶
ebriques.| Kersten
etRehmann [125]ontg¶
en¶
eralis
¶
e lanotion
detourded¶
eploiemen
tg¶
en¶
erique
danslecontexte
desgroupesalg
¶
ebriques
lin
¶
eair
es.
SoitG un F -group
e r¶
eductif
connexe,
de diagrammede Dynkin¢ ,etsoit£ un
sous-ensem
blede ¢ .Une extension
K =F estun £ -corpsde d¶
eploiement
de G siG K
contien
t un K -sous-group
e parabolique
P de type £ ; K estditg¶
en¶
eriquesitout
£ -corps
de d¶
eploiemen
t de G estune F -sp
¶
ecialisation
de K (ausensdesF -places).
L’existence
d’untelK se d¶
emontreainsi
:¶
etan
t donn¶
e P (d¶
eflnisurune cl^
oture
s¶
eparable
F„ de F ),l’espace
projectif
homogeneV£ = G F„ =P estd¶
eflnisurune plus
petite
extension
flnies¶
eparable
F £ de F :l’extension
minimaletelle
quela⁄-action
de Gal(F„=F£ ) sur¢ laisse
£ invarian
t.On a alors
K = F £ (V£ ).
Dans lecasd’uneformequadratique
(V;q),avecdimq = n ‚ 3,legroupe G =
SO (q) estde rangi(q).Sii(q) ‚ i,alors
SO (q) operetransitiv
ement surl’ensem
ble
dessous-espaces
totalemen
tisotrop
esdeV dedimension
i;sii< n=2,lestabilisateur
de l’und’en
treeux estun sous-group
e parabolique
P i corresp
ondant a ¢ ¡ ffi ig,
ou fi i estlai-eme racine.
R¶
ecipro
quement,siP i estrationnel
surF on a i(q) ‚
i. La vari
¶
et¶
e Vi = G=P i corresp
ondante estla((grassmannienne
quadratique
))des
sous-espaces
totalemen
t isotrop
esde rangi de V .(Danslecasi = n=2,c’est
plus
compliqu
¶
e.)Sanshypothesesuri(q), une tourde d¶
eploiemen
t g¶
en¶
eriquede q est
((contenue))danslasuite
de corpsK i = F (Vi) :elle
estplus((¶
economique
))quecelle
de lad¶
eflnition
E.6.1en cequesesdegr
¶
esde transcendance
sontpluspetits,
cf.[125,
p.61]
.
E.6.C.Formes de hauteur 1; degr¶
e.| La proposition
suiv
anteestdue ind¶
ependamment a Knebusc
h etW adsworth([122,d¶
emonstration
du th.5.8]
,[218]):
. | Une formeq estde hauteur
1 sietseulement
sielleest
E.6.6.Proposition
{ semblable
a une formede Pflsterau casou dimq estpair
e;
{ semblable
a une sous-forme
de codimension
1 d’uneformede Pflsterau casou
dimq estimpair
e.
Elleconduit
imm ¶
ediatemen
t a la
E.6.7.D ¶
eflnition
. | Soitq uneformequadratique
surF .
a) Sidimq estimpaire,
ledegr¶
e de q estdeg(q)= 0.
b) Sidimq estpaireetnon hyperbolique,
soitF h¡ 1 soncorpsdominant.Par la
proposition
E.6.6,
qh¡ 1 estsemblable
a une formede Pflster¿ :¿ estappel
¶
ee
formedominantede q.Sidim¿ = 2n ,ledegr¶
e de q estl’en
tier
deg(q)= n.
c) Siq » 0,deg(q)= 1 .
Cettenotionestint¶
eressan
tea causedu th¶
eoreme suiv
ant,d^
u a Knebusc
h [122,
th.6.4]
.
236
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
E.6.8.Th ¶
eoreme . | Pour toutn ‚ 0,l’ensemble
Jn (F )= fq 2 W (F )jdeg(q)‚ ng
estun id¶
ealde W (F ) contenant
In F .
(Sia 2 F ⁄ etq 2 Jn (F ),ilestclair
que haiq 2 Jn (F ),etde m ^
eme ilestclair
que
Jn (F ) contien
t lesn-formes
de Pflster
; ladi–cult
¶
e estde voirqueJn (F ) eststable
paraddition.)
E.6.9.R emar que. | En fait,
on a Jn (F ) = In F : ce th¶
eoreme estd^
u a OrlovVishik-V
oevodsky[172].Leurd¶
emonstration
reposesurlestec
hniques
de[216],donc
surlath¶
eorie
homotopique
dessch¶
emas.Iln’enserapasfait
usageici.
Le th¶
eoreme E.6.8fournit
une nouvelled¶
emonstration
du th¶
eoreme E.5.4: si
q 2 In F ¡ f0g, alorsdeg(q) ‚ n, doncdim(q) ‚ 2n . On a de pluslecompl¶
ement
suiv
ant :
2n .Siq 2 Jn (F ),alors
E.6.10.Corollair
e. | Soitq de dimension
q estsemblable
a une formede Pflster.
de lath¶
eorie
de Knebusc
h,mentionnons
lera–nementsuiv
ant
Comme application
du th¶
eoreme de lasous-forme
E.5.2:
E.6.11.Th ¶
eoreme (cf.[122,prop.6.11]
, [12,Satz18]
). | Soit’ uneformequadratique
surF de dimension
pair
e,de corpsdominantL etde formedominante¿.
Soitq une autr
e formesurF . A lorsdeg(’ F (q)) > deg’ sietseulement
siqL est
semblable
a une sous-forme
de ¿.En particulier,
en posantn = deg(’),
(i)Sidimq > 2n ,on a deg(’ F (q))= deg’.
(ii)
Sidimq = 2n ,on a deg(’ F (q))> deg’ sietseulement
siq estsemblable
a
une formede Pflster¿0 tel
leque(¿0)L ’ ¿.
En particulier,
’ F (q) » 0 ) dimq • 2deg(’ ).
Danslam ^
eme direction
on a leth¶
eoreme sensationnel
suiv
ant,d^
u a Fitzgerald
[54,
th.1.6]
:
E.6.12.Th ¶
eoreme . | Soientq;’ deuxformesquadr
atique
s surF , avec ’ 6
» 0.
Supposonsque’ F (q) » 0 etque’ ne soit
passemblable
a uneformedePflster
.A lors
dim’ ¡ 2deg(’ ) ‚ 2dimq.
E.6.D. V oisines
de Pflster;formesexcellen
tes.|
tresutiles
:
Lesnotations
suiv
antessont
E.6.13.Notation. | Pourun entier
n,onnotel(n)l’unique
entier
telque2l(n )¡ 1 <
n • 2l(n ).Pouruneformequadratique
q,on notel(q)= l(dimq).
La d¶
eflnition
suiv
anteestduea Knebusc
h [123].
¶
E.7.EQUIV
ALENCE
BIRA TIONNELLE
ST ABLE
237
E.6.14.D ¶
eflnition
. | Soien
t q uneformequadratique
et’ unen-formedePflster
(¶
eventuellemen
t isotrop
es).
La formeq estditevoisine
de ’ si
(i)dimq > 2n ¡ 1
(ii)
q estsemblable
a unesous-forme
de ’.
Une formeq0 telle
queq ? q0 soit
semblable
a ’ s’app
elle
formecompl¶
ementair
e deq.
Noterquen = l(q).En utilisan
t leth¶
eoreme d’Arason-P
flster,
on d¶
emontrefacilement :
E.6.15.Th ¶
eoreme ([123,p.3]). | Lesformes’ etq0 delad¶
eflnition
E.6.14sont
uniquement
d¶
etermin
¶
eesparq.
Knebusch d¶
emontreensuite
:
E.6.16.Th ¶
eoreme . | Pour une F -formequadr
atique
q, lesconditions
suivantes
sont¶
equivalentes
:
(i)Pour touteextension
K =F,laforme(qK )an estd¶
eflniesurF .
(ii)
Pour touti,laformeqi de lad¶
eflnition
E.6.1estd¶
eflniesurF .
(iii)
Ilexiste
desF -formes
de Pflster¿1;:::;¿h (h = ht(q)),tel
lesque¿j j¿j¡ 1
0
0
pourj 2 [1;h],desF -formes
q0;:::;qi etun scalair
e a tels
queq00 = qan etque,
0
0
j+1
pourtoutj 2 [1;h],on aitqj¡ 1 ? ¡ qj ’ (¡ 1) a¿j.
Lorsquecesconditions
sontv¶
eri
fl¶
ees,on a
[q]= a([
¿1]¡ [¿2]+ ¢¢¢+ (¡ 1)h+1 [¿h ])
dansW (F ).
E.6.17.D ¶
eflnition
. | Une formev¶
eri
flantlesconditions
¶
equiv
alen
tesdu th¶
eoreme
E.6.16
estditeexcellente
.
tespeuvent^
etreconsid
¶
er¶
eescomme lesplussimples
desformes
Lesformesexcellen
quadratique
s.Par exemple,
lasuite
de d¶
eploiemen
t S d’uneformeexcellen
teq (en
termesde dimensions
anisotrop
es) ne d¶
ependquede n = dimq,a savoir:
S = fn;c(n);c(c(n));:::g
ou,pourtoutk 2 N ,c(k)= 2l(k) ¡ k (notation
E.6.13
).
¶
E.7. Equivalencebirationnelle
stable
E.7.A. G ¶
en¶
eralit
¶
es.| SoitX une vari
¶
et¶
e projectiv
e homogene.Lesconditions
suiv
antessont¶
equiv
alen
tes[31,th.21.20]
:
(i)X a un point rationnel.
(ii)
Ilexiste
uneF -place
de F (X ) versF .
238
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
(iii)
X estunevari
¶
et¶
e F -rationnelle,
i.e.
l’extension
F (X )=F esttranscendan
tepure.
SoitY uneautrevari
¶
et¶
e :de cequipr¶
ecede,ilr¶
esulte
quelesconditions
suiv
antes
sont¶
equiv
alen
tes:
(i)X a un point rationnel
surF (Y );autremen
t dit,
ilexiste
une application
Frationnelle
de Y versX .
(ii)
Ilexiste
uneF -place
de F (X ) versF (Y ).
(iii)
X £ Y estY -birationnel
a P n £ Y (n = dimX ).
Sicesconditions
sont v¶
eri
fl¶
ees,on ditque Y domineX eton ¶
ecrit
Y < X ou
X 4 Y .Cetterelation
estparticuli
eremen
t int¶
eressan
tequandY estaussi
projectiv
e
homogene: lacondition
(ii)
montrequ’elle
d¶
eflnitune relation
de pr¶
eordre surla
famille
decesvari
¶
et¶
es.La relation
d’¶
equiv
alence
asso
ci
¶
eeestl’
¶
equiv
alence
birationnelle
st
stable
:nouslanoterons
ici… (d’autres
auteurs
utilisen
t lanotation
» ).
Nousutiliserons
principalemen
tlesrelations
4 et… danslecasdesquadriques
.On
notera
q 4 q0 pourX q 4 X q0,etc.
On a lespropri
¶
et¶
es¶
eviden
tessuiv
antes(latroisi
eme
t du lemme E.6.5
):
r¶
esultan
E.7.1.Lemme
a) La relation
4 (resp.… ) d¶
eflnitune relation
de pr¶
eordre (resp.d’¶
equivalenc
e)
sur(l’ensemble
sous-jac
enta l’anne
au)W (F ).
b) q0 • q ) q0 4 q.
c) Siq0 • q etdimq0 ‚ dimes q,alors
q0 … q.
De celemme,du corollaire
E.4.2etdu th¶
eoreme E.5.2
,on d¶
eduitfacilemen
t:
E.7.2.Th ¶
eoreme . | Soient… une formede Pflster,
q une voisine
de … etq0 une
formequadr
atique
anisotr
ope surF .A lors,
a) q … ….
b) q0 4 q , q0 estsemblable
a une sous-forme
de ….
0
0
c) q … q ( q estvoisine
de ….
En fait
l’implication
) dans(c)est¶
egalemen
t vraie,
maisc’est
un r¶
esultat
plus
imm ¶
ediatdu th¶
eoreme de Hofimann quisuit.
profond,
casparticulier
E.7.B.Th ¶
eoreme de Hofimann. |
C’estlesuiv
ant :
E.7.3.Th ¶
eoreme . | Siq 4 q0,alors
l(q)• l(q0)(cf.notation
E.6.13
).En d’autr
es
termes,
s’il
existe
n telquedimq0 • 2n < dimq,alors
qF0 (q) estanisotr
ope.
Pourlad¶
emonstration
originelle
on pourrasereporter
a [68];une d¶
emonstration
un peu plussimple,
maisdanslem ^
eme esprit,
setrouv
e dans[82].On peutaussi
d¶
eduire
ceth¶
eoreme delaformule
du degr¶
e deRost[149,th.5.3.1]
(cette
observ
ation
estdue a Rost)
. Nous d¶
eduirons
au xE.8leth¶
eoreme de Hofimann de r¶
esultats
plus
flnsobten
usult
¶
erieuremen
t (corollaire
E.8.3etth¶
eoreme E.8.5
).
E.8.QUA TRE
¶
R ESUL
T A TS F OND AMENT
A UX
239
E.7.4.Corollair
e. | Pour touteq anisotr
ope,on a dimes q > 2l(q)¡ 1.
Pourvoirceci,
prendre
unesous-forme
q0 • q de dimension
2l(q)¡ 1 etappliquer
le
lemme E.7.1(c)etleth¶
eoreme E.7.3
.On a m ^
eme [68, 82]:
E.7.5.Proposition
. | Pourq anisotr
ope,lesconditions
suivantes
sont¶
equivalentes
:
(i)dimes q = 2l(q)¡ 1 + 1;
(ii)
ilexiste
K =F telqueqK soit
voisine
d’uneK -formedePflster
etht(qK )= ht(q).
Une formev¶
eri
flant lespropri
¶
et¶
esde laproposition
E.7.5estditea d¶
eploiement
maximal(i1(q) prendlaplusgrandevaleurpossible)
: cesformessont donc((sta
ble
ment))desvoisines
de Pflster,
maison a desexemplesde formesa d¶
eploiemen
t
maximalquine sont pasdesvoisines
de Pflster(parexemplede dimension
5).Un
ph¶
enomenecurieux,
toutefois,
estquequanddimq est((proche))de 2l(q),uneformea
d¶
eploiemen
t maximalestunevoisine
de Pflster.
Conjecturalemen
t c’est
lecasquand
l(q)¡ 3
dimq > 5 ¢2
,cequiestconnu pourl(q) • 4;pourl(q) > 4,c’est
lecasquand
dimq ‚ 2l(q) ¡ 7 [91,th.1.7]
.
E.8. Quatre r¶
esultats
fondamentaux
Jusqu’
a maintenan
t,lesr¶
esultats
¶
enonc
¶
esavaien
t¶
et¶
e obten
us pardesm ¶
ethodes
ne faisan
t interv
enirque desr¶
esultats
¶
el
¶
ementaires
d’alg
ebrecomm utativ
e,voirede
dessuiv
antsutilise
lescorresp
ondances
th¶
eorie
descorps.
Parcontre,
lad¶
emonstration
alg
¶
ebriques,
quoiquede maniere¶
el
¶
ementaire
pourunelarge
part.
E.8.A. Dimension des formes dans In
E.8.1.Th ¶
eoreme . | Soitq 2 In F ,anisotr
ope.A lors
{ soitdimq ‚ 2n +1 (etdimq estpair
e);
{ soitdimq estde laforme2n +1 ¡ 2i pourun entier
i2 [1;n].
De plus,
toutes
lesdimensions
vis
¶
eessontatteintes.
Ce th¶
eoreme g¶
en¶
eralise
leth¶
eoreme d’Arason-P
flster
; ilavait¶
et¶
e conjectur
¶
e par
Vishik
.La derni
erepartie
estrelativ
ement facile.
Ilestd^
u a Vishiketa Karpenko,
seulelad¶
emonstration
de Karpenko ¶
etan
t r¶
edig
¶
ee [113].Le casparticulier
disan
t
que dimq > 2n ) dimq ‚ 2n + 2n ¡ 1 avait¶
et¶
e d¶
emontr¶
e parPflsterpourn = 3,
parHofimann pourn = 4 etparVishikpourtoutn [211, th.6.4]en utilisan
t le
th¶
eoreme E.11.31
ci-dessous.
Voiraussi
dans[116,th.4.4]une d¶
emonstration
de ce
casparticulier
duea Hofimann etnereposantquesurlecorollaire
E.8.3ci-dessous.
Le
th¶
eoreme E.8.1rappelle
de manierefrappan
telecomportemen
t despremieresclasses
de Stiefel-Whitney
non nulles
d’unflbr¶
e quadratique
(our¶
eel),
cf.[96,prop.1.1(c)]
.
240
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
E.8.B.Dimension essentielle
des quadriques
E.8.2.Th ¶
eoreme . | Soient
X unequadrique
anisotr
ope etY uneF -vari
¶
et¶
e propre
(¶
eventuel
lementsinguli
ere)donttouslespoints
ferm¶
essontde degr¶
e pair.
Supposons
queYF (X ) aitun pointferm¶
e de degr¶
e impair.A lors
1.dim(Y )‚ dimes(X );
2.sidim(Y )= dimes(X ),X F (Y ) estisotr
ope.
E.8.3.Corollair
e. | Soientq;q0 deuxformesquadr
atique
s anisotr
opes tel
lesque
q 4 q0.A lors
1.dimes q • dimes q0 ;
2.dimes q = dimes q0 ) q … q0.
Ces r¶
esultats
sont dus a Karpenko-Merkurjev
[116];lecorollaire
E.8.3avait¶
et¶
e
conjectur
¶
e parIzhboldin.
Mutatismutandis
,l’
¶
enonc
¶
e du th¶
eoreme E.8.2estexactement lem ^
eme quecelui
d’unr¶
esultat
annonc
¶
e parVoevodskydansunelettre
a Rost
(6)
[100,th.9.3]
{ Y estlisse
;
{ F estde caract
¶
eristique
0;
{ l’
¶
enonc
¶
e vautpourun nombrepremier
l quelconque
;
{ X estsuppos¶
e^
etreune (((vn ;l)-vari
¶
et¶
e ))(loc.cit.
) etlaconclusion
de (1)est
dimY ‚ dimX .
d estune(vn ;2)-vari
¶
et¶
e sietseulemen
t sid = 2n ¡ 1 :
(Unequadrique
de dimension
pourl= 2,leth¶
eoreme E.8.2n’est
doncpasrecouv
ertparcelui
de Voevodsky,m ^
eme
pouri1(X )= 1 etm ^
eme sousleshypothesesadditionnelles
decedernier
surF etY .)
Lecasparticulier
suiv
antavait¶
et¶
e obten
u ant¶
erieuremen
tparVishik
([211,cor.
4.9]
,
cf.xE.11.Dci-dessous)
:
E.8.4.Corollair
e. | q … q0 ) dimes q = dimes q0.
v¶
eri
fl¶
eesiq • q0 etq0 4 q,cequifournit
L’hypotheseestenparticulier
lar¶
ecipro
que
promisedu lemme E.6.5
.
Pourlad¶
emonstration
du th¶
eoreme E.8.2
,voirxE.12.A
.
E.8.C.Une borne pour i1(q)
E.8.5.Th ¶
eoreme . | Pour touteformeanisotr
ope q,on a i1(q)• jdimes q¡ 1j¡2 1,
ou jj2 estlavaleur
absolue
dyadique.
(6)Loc.cit.
,ilfautlire
((toutmorphismeau-dessus
de
Z (l) )).
E.9.TR OIS APPLICA TIONS
241
Ce th¶
eoreme estd^
u a Karpenko [112];ilavait¶
et¶
e conjectur
¶
e parHofimann. En
particulier,
i1(q) = 1 sidimes q estpaire.
Une autreformulation
estlasuiv
ante:il
existe
un entier
n telquei1(q)¡ 1 soit
lereste
de ladivision
de dimq ¡ 1 par2n .
Pourtoutentier
m ,notons
m es = m ¡ 1 + jm ¡ 1j¡2 1:
Un peud’arithm
¶
etique
¶
el
¶
ementaire
montrequel(m )= l(m es)(cf.
notation
E.6.13
):
ainsi,
leth¶
eoreme E.8.5implique
lecorollair
e E.7.4
. Ilen d¶
ecoule
que lecorollair
e
E.8.3etleth¶
eoreme E.8.5impliquen
tleth¶
eoreme deHofimann E.7.3
.(Leurs
d¶
emonstra
tions
n’utilisen
t pasceth¶
eoreme!)
Pourlad¶
emonstration
du th¶
eoreme E.8.5
,voirxE.12.B
.
E.8.D. Une relation
entrelesindicesde Witt sup¶
erieurs
atique
dehauteur
h,etsoient
i1;:::;ih
E.8.6.Th ¶
eoreme . | Soitq uneformequadr
sesindic
es de Wittsup¶
erieurs.
Notonsv2 lavaluation
dyadique.
A lors,
pour tout
q 2 [1;h ¡ 1],on a
v2(iq)‚ inf(v2(iq+1 );:::;v2(ih ))¡ 1:
Side plusdimq estpair
e etl’entier
iq + 2(iq+1 + ¢¢¢+ ih ) n’estpas une puissanc
e
de 2,on a
v2(iq)• sup(v2(iq+1 );:::;v2(ih )):
Ce th¶
eoreme estd^
u a Karpenko [114].Ilen d¶
eduitune autred¶
emonstration
du
a ce th¶
eoreme,on serameneen month¶
eoreme E.8.1: siq estun contre-exemple
tant danssatourde d¶
eploiemen
t g¶
en¶
erique
a supposerqueq1;:::;qh en v¶
eri
flent la
conclusion,
cequicontredit
laborneinf
¶
erieure
du th¶
eoreme E.8.6
.
E.9. T roisapplications
E.9.A. Dimension des formes de hauteur 2
E.9.1.Th ¶
eoreme . | Soitq une formeanisotr
ope de hauteur
2 etde degr¶
e n ‚ 0.
A lors
a) Sin = 0,dimq estde laforme2a ¡ 2b + 1 eti1(q) estde laforme2a¡ 1 ¡ 2b + 1
poura > b > 1 (lecasa = b+ 1 estpermis).
b) Sin > 0,on a
dimq 2 f2n + 2n ¡ 1;2n +1 ;2r+1 ¡ 2n (r > n)g:
Ce th¶
eoreme estd^
u a Vishik[212,th.3.1]
.Donnons-enune autred¶
emontration,
reposant surlesth¶
eoremesE.8.5etE.8.6:
242
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
D¶
emonstr
ation
. | Traitons
(b):lecasde (a)setraite
de m ^
eme.D’apr
eslapropositionE.6.6
,on a dimq1 = dimq¡ 2i1(q)= 2n .Appliquons
leth¶
eoreme E.8.5:ilexiste
r telquei1(q)• 2r etdimq ¡ 1 · i1(q)¡ 1 (mod 2r).Deux cassepr¶
esen
tent :
1.r > n.Alorsi1(q)= 2r ¡ 2n ,doncdimq = 2r+1 ¡ 2n .
2.r • n.On a i1(q)· 0 (mod 2r),donci1(q)= 2r etdimq = 2n + 2r+1 .
Cettealternativ
e avait¶
et¶
e obten
ue ant¶
erieuremen
t parVishikdanssa these,au
moinsquand¡ 1 estun carr
¶
e [211,Statemen
t6.2]
.On applique
maintenan
tleth¶
eoreme
E.8.6
,quimontreque(2)n’est
possible
quepourr ‚ n ¡ 2 (noter
que,pourr = n,
on retrouv
e lecasr = n + 1 de (1)).
Pluspr¶
ecis
¶
ement,on conjecture
(parexemple[211,Question
6.4]
):
E.9.2.Conjecture. | Une formeanisotr
ope q de hauteur
2 etde degr¶
e n > 0 est
d’undestroistyp
essuivants
:
(i)excellente
;
(ii)
q ’ ’ › ˆ,ou ’ estune (n ¡ 1)-formede Pflsteretdimˆ = 4,ˆ 6
2 I2F ;
(iii)
q ’ ’ › ˆ, ou ’ estune (n ¡ 2)-formede Pflsteretdimˆ = 6, ˆ 2 I2F
(onditqueˆ estune formed’Alb
ert
).
estconnue pourn = 1 (Knebusc
h,[123,x10]
) etpourn = 2 [99].
Cetteconjecture
E.9.3.R emar que (Hofimann) . | Dans lecasn = 0, lasituation
estun peu
difi¶
eren
te.D’apr
esKnebusc
h [122,x10]
,q estexcellen
tedesquesaformedominante
estd¶
eflniesurF :ilobtien
tainsi
leth¶
eoreme E.9.1(a)danscecasparticulier.
D’autre
estde hauteur2 maispasexcellen
teen g¶
en¶
eral(parexemple
part,
sidimq = 5,elle
siq estune sous-forme
d’uneformed’Alb
ertanisotrop
e,cf.conjecture
E.9.2(iiii)).
Mais parailleurs,
leth¶
eoreme E.9.1(a)entra
^‡neque q esta d¶
eploiemen
t maximal
sia > b+ 1.Poura = b+ 1,q estexcellen
ted’apr
eslelemme E.9.4ci-dessous.
La
conjecture
mentionn
¶
ee a lafln du xE.7implique
ainsi
que q doit^
etr
e excellenteen
toutedimension
= 5.C’estparexemplevraipoura • 4 ou pourb • 3.
6
E.9.4.Lemme (Hofimann) . | Soitq une formede hauteur2 etde dimension
2b + 1,avec b ‚ 3.A lorsq estexcellente.
D¶
emonstr
ation
. | Comme q estde hauteur2,ilexiste
un scalaire
u 2 F 1⁄ telque
q1? huisoit
semblable
a uneb-forme
dePflster
(prop
osition
E.6.6
).En fait,
laclasse
de
carr
¶
esu estd¶
eflniesurF (pourlevoir,
on peutl’in
terpr
¶
etercomme lediscriminan
t
de q1,etdoncde q).Soitq0 = q? hui.Notonsque q0 2 I2F ,doncque deg(q0)‚ 2.
¶
Evidemmen
t,on a deg(q0)• b.Supposonsquedeg(q0)< b.Alorsilexiste
uneextensionL telle
que
4 • diman (qL0 )• 2b¡ 1
E.9.TR OIS APPLICA TIONS
243
etdonc
1 < 3 • diman (qL )• 2b¡ 1 + 1 < 2b ¡ 1 (carb ‚ 3)
Or parhypothese,
lesseules
dimensions
((anisotrop
es))possibles
de q sont1;2b ¡ 1;
2 + 1.D’ou unecontradiction.
Parcons
¶
equent,deg(q0)= b.Comme b‚ 3,leth¶
eoreme E.8.1
implique
quediman q0 =
2b (observ
erqu’a priori
diman (q0)‚ 2b parconstruction
de q0).Ainsiq = q00 + h¡ ui
00
avecq semblable
a uneb-formede Pflster.
b
E.9.B.Une borne pour l’indice
de Witt
E.9.5.Th ¶
eoreme . | Supposonsqueq 4 q0 ou q etq0 sontdeuxformesanisotr
opes.
A lors
i(qF0 (q))¡ i1(q0)• dimes q0 ¡ dimes q:
Ce th¶
eoreme estd^
u a Karpenko-Merkurjev
[116,cor.4.2]
;unevarian
tetoutaussi
frappan
teestdimq0¡ i(qF0 (q))+ 1 ‚ dimes q.Voici
leurd¶
emonstration
:posonsX = X q
¶
enonc
¶
e esttrivial.
Sinon,
soitY 0 une sous-quadrique
etY = X q0.Sidimes(X ) = 0,l’
0
de Y de dimension
dimes(X ) ¡ 1. Puisquedimes(Y ) < dim(Y 0) < dimes(X ), la
0
quadrique
Y reste
anisotrop
e surF (X ) parlapremierepartie
du corollaire
E.8.3
.
Donc,d’apr
eslelemmeE.2.3
(b),
ona i(YF (X ))• codimY (Y 0)= dim(Y )¡ dimes(X )+
1,d’ou l’in
¶
egalit
¶
e.
E.9.C.Degr¶
e de transcendanced’un corps d’isotropie
g¶
en¶
erique.| Par
d¶
eflnition,
un corpsd’isotropie
g¶
en¶
erique
d’uneformeanisotrop
e q estun corpsde
type K 1,ou (K i)estunetourded¶
eploiemen
tg¶
en¶
erique
au sensdelad¶
eflnition
E.6.3
.
E.9.6.Th ¶
eoreme . | Le pluspetit
degr¶
e de transc
endanc
e d’uncorpsd’isotr
opie
g¶
en¶
erique
K de q est¶
egala dimes(X q)(=dimes(q)¡ 2).
Ce th¶
eoreme estencored^
u a Karpenko-Merkurjev
[116, th.4.3](ils
utilisen
t la
terminologie
((corpsded¶
eploiemen
tg¶
en¶
erique
)),attribu
¶
eeparKnebusc
h au corpsK h
de lad¶
eflnition
E.6.3
).Illed¶
eduisen
t facilemen
t du th¶
eoreme E.8.2:nousrenvoyons
a loc.cit.
pourlesd¶
etails.
II.CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
244
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
E.10. Formes quadratiqueset motifs: r¶
esultats
de base
E.10.A. Motifs de Cho w. | Nous nousdisp
enserons
de rappeleren d¶
etail
la
construction
delacat¶
egorie
desmotifs
deChow,celle-ci
¶
etan
t maintenan
t bienconnue
etayant fait
l’ob
jetd’excellen
tesexpositions,
y comprisdansceS¶
eminaire
[156, 45,
193, 5].Rappelonsseulemen
t que:
1)On partde lacat¶
egorie
desF -vari
¶
et¶
esprojectiv
eslisses.
2) On ((agrandit
))celle-ci
en gardan
t lesm ^
emes objetsmaisen prenan
t comme
morphismeslescorrespondanc
es de Chow : SiX estpurement de dimension
d, les
corresp
ondancesde X versune autrevari
¶
et¶
e Y sont les¶
el
¶
ements du groupe de
Chow CH d (X £ Y ).La cat¶
egorie
obten
ue estadditiv
e.Elleestm unied’unestructure
mono˜‡dale
sym¶
etrique,
induite
parleproduitdesvari
¶
et¶
es,etbilin
¶
eaire
parrapport
a l’addition
descorresp
ondances(ondiraqu’elle
esttensoriel
le).La corresp
ondance
((graphed’unmorphisme))d¶
eflnitun foncteur
(covarian
t,avecnosconventions)
de la
cat¶
egorie
de (1)verscette
cat¶
egorie.
3)On agrandit
lacat¶
egorie
de (2)en adjoignan
t desnoyaux aux endomorphismes
idempoten
ts(envelopp
e pseudo-ab
¶
elienne
ou karoubienne).
La cat¶
egorie
obten
ue est
de Chow efiectifs
.Elles
estencoretensorielle
etnot¶
eeMotefi (F ).Si
celle
desmotifs
X estunevari
¶
et¶
e projectiv
e lisse,
on noteh(X ) sonimagedansMotefi (F ).
4) Dans Motefi (F ), on a une d¶
ecomposition
canonique
h(P 1) = 1 ' L, ou 1 =
efi
h(SpecF ) etL estlemotifde Lefschetz
.On passede Mot (F ) a Mot(F ),cat¶
egorie
desmotifs
de Chow, en inversan
t L pourlastructure
mono˜‡dale.
SiM 2 Mot(F ) et
n 2 Z,nousnoterons
ici
M (n):= M › L › n :
La cat¶
egorie
Mot(F ) estrigide,
ce quisigni
fle qu’elle
porteune dualit
¶
e parfaite
_
relativ
ement a sastructure
tensorielle
:on notera
M leduald’unmotifM (7).Dans
lesapplications
arithm
¶
etico-g
¶
eom¶
etriques
desmotifs,
ilestfr
¶
equent de tensoriser
les
au contraire,
ilesttresimportan
t delesconsid
¶
erer
groupesdemorphismes
parQ :ici,
a coe–cientsentiers.
En fait
nousauronsa consid
¶
ererdesvarian
tesa coe–cientsflnis:
sip estun nombrepremier,
on note
Motefi (F;Fp );
Mot(F;Fp )
lescat¶
egories
d¶
eflnies
comme ci-dessus
enprenan
t comme groupesdecorresp
ondances
lesgroupesCH d (X £ Y )=p.La cat¶
egorie
Mot(F;Fp ) estencorerigide.
E.10.1.Notation. | PourM 2 Mot(F ),on note–(M ) 2 Z ladimension
de M
(au sensdescat¶
egories
rigides
: c’est
latracede l’iden
tit
¶
e).De m ^
eme pour M 2
Mot(F;Fp );on a alors
–(M )2 Fp .
(7)On
prendragardeau faitque,dans [211],Vishikutilise
cettenotationdans un sensdifi¶
erent :
siN estun facteur
direct
du motifd’unequadriquede dimensiond,ce qu’il
noteN _ corresp
ond a
ceque nousnotonsN _ (d).
E.10.F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET MOTIFS
¶
: R ESUL
T A TS DE BASE
245
On saitque,siM = h(X ) pour une vari
¶
et¶
e projectiv
e lisse
X , –(h(X ))estla
caract
¶
eristique
d’Euler-Poinc
ar¶
e de X parrapporta une cohomologie
de W eilquelconque.
E.10.B.V ari¶
et¶
es cellulaires
et motifsde T ate purs.| SoitX une vari
¶
et¶
e
projectiv
e lisse
de dimension
d admettan
t une d¶
ecomposition
cellulaire
:celasigni
fle
que X admet une strati
flcation
pardesespaces
a–nes.Le motifde X a alors
une
description
tressimple:lesgroupesde Chow de X sont libres
de type flniet
L d
n
h(X )’
(E.10.1)
n =0 CH n (X )› L :
De plus,lesaccouplemen
tsCH n (X ) £ CH d¡ n (X ) ! Z donn¶
es par leproduit
d’in
tersection
sont parfaits.
La premiereassertion
(vraie
sanssupposerX projectiv
e
nilisse)
semontrepar d¶
evissage
etr¶
ecurrence
surlenombrede cellules
(c’est
un
castresparticulier
de laproposition
E.10.7
ci-dessous)
;laseconde,
quirevien
t a une
e d’iden
tit
¶
e de Manin,sed¶
emontrede lam ^
eme
formulede K ũnnethvialeprincip
eme sed¶
eduitde (E.10.1)
pardualit
¶
e (voirci-dessous).
Ainsi,
maniere;enfln latroisi
h(X ) estsomme directe
de motifs
de laformeL n :on ditqueh(X ) estun motifde
Tatepur.
La sous-cat
¶
egorie
pleine
desmotifs
de Tatepursesttressimple:on a
(
Z sim = n
m
n
Hom (L ;L )=
(E.10.2)
0 sim 6
= n.
Ainsi,
lesHom sont desgroupesab¶
eliens
libres
de type flni,etsont invariants
par
extension
desscalair
es.Ilest¶
egalemen
t clair
que
(E.10.3)
–(L n )= 1 pourtoutn (cf.
notation
(E.10.1)
).
Plusg¶
en¶
eralemen
t,soit
X unevari
¶
et¶
e projectiv
e lisse
telle
queh(X ) soit
un motif
de Tatepur.Alorslesgroupesde Chow de X sont desZ-moduleslibres
de type flni,
comme lemontrelaformule
Hom (L n ;h(X ))= CH n (X ):
Ces groupessont en dualit
¶
e parfaite,
comme ilr¶
esulte
desformules(E.10.2)
etde
ladualit
¶
e surh(X ).
SiF ests¶
eparablemen
t closetque l estun nombrepremierdifi¶
eren
t de lacarj
act¶
eristique
de F ,on a H ¶et(X ;Z l)= 0 pourj impairetlaclasse
de cycle
CH i(X )›
2i
Z l ! H ¶et(X ;Z l(i))estbijectiv
e:c’est
¶
eviden
tenconsid
¶
eran
tlefoncteur
der¶
ealisation
l-adique
. Les groupes de Chow formen
t donc (pour une telle
X ) une ((cohomologiede W eil
))a coe– cien
tsentiers.
De plus,l’
¶
equiv
alencerationnelle
co˜‡ncide
avec
l’
¶
equiv
alence
num ¶
erique.
On peutpousser
plusloinl’analogie
:on a desisomorphismes
de K ũnnethpour
touteautrevari
¶
et¶
e projectiv
e lisse
Y (¶
eviden
tsenconsid
¶
eran
t unefois
depluslemotif
246
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
de X ) :
(E.10.4)
CH n (X £ Y )’
L
i+ j= n
CH i(X )› CH j(Y ):
En tenan
t comptedeladualit
¶
e surlesgroupesdeChow deX donn¶
eeci-dessus,
on
obtien
t ainsi
unedesciption
canonique
de Hom (h(X );h(Y )):
Y
Hom (h(X );h(Y ))’
Hom (CH i(X );CH i(Y )):
(E.10.5)
i‚ 0
E.10.C.Motifsg¶
eom ¶
etriquement de T ate purs
E.10.2.D ¶
eflnition
. | Un motifM 2 Mot(F ) estg¶
eom¶
etriquement
de Tatepursi
M„ 2 Mot(F„)estun motifdeTatepur.On noteMot(F )tatelasous-cat
¶
egorie
pleine
de
Mot(F )form¶
eedesmotifs
g¶
eom¶
etriquemen
tdeTatepurs.
Sip estun nombrepremier,
on d¶
eflnitde m ^
eme lacat¶
egorie
Mot(F;Fp )tate.
La cat¶
egorie
Mot(F )tateestvisiblemen
tunesous-cat
¶
egorie
rigide
deMot(F ),stable
parfacteurs
directs,
de m ^
eme queMot(F;Fp )tate dansMot(F;Fp ).
on peutd¶
eflnirl’
¶
equivalenc
e num¶
erique
dans
De m ^
eme quedanslecasclassique,
Mot(F;Fp ) etMot(F;Fp )tate :pourM ;N 2 Mot(F;Fp ),introduisons
N (M ;N )= ff :M ! N j8g :N ! M ;tr(gf)= 0g
ou trestlatrace,
donn¶
eeparlastructure
rigide
deMot(F;Fp ):c’est
un id¶
ealmono˜‡dal
decette
cat¶
egorie
(cf.
[6,lemme7.1.1]
)eton d¶
eflnitMotnum (F;Fp )comme l’en
velopp
e
pseudo-ab
¶
elienne
de Mot(F;Fp )=N ,etde m ^
eme pourMotnum (F;Fp )tate.
Donnons-nous
un nombrepremier
p.SiF ests¶
eparablemen
tclos,
lefoncteur
canoniqueMot(F;Fp )tate ! Motnum (F;Fp )tate estune¶
equiv
alence
de cat¶
egories
(N = 0).
desscalaires
On prendragardeau fait
quelefoncteur
d’extension
H :Mot(F;Fp )tate¡! Mot(F„;Fp )tate
n’induit
pasun foncteur
deMotnum (F;Fp )tateversMotnum (F„;Fp )tate(voirci-dessous).
L’analogie
aveclasituation
classique
esttentante:d¶
eflnissons
l’
¶
equivalenc
e homolo
gique
surMot(F;Fp )tate comme lenoyau de H , etMothom (F;Fp )tate comme l’en
velopp
e
pseudo-ab
¶
elienne
de Mot(F;Fp )tate=Ker(H ).On estdoncdanslasituation
suiv
ante:
Mot(F;Fp )tate
H
o
ƒ
(E.10.6)
Mothom (F;Fp )tate
/Mot(F„;Fp )tate
H„
/Motnum (F„;Fp )tate
Motnum (F;Fp )tate
ou lefoncteur
H„ est(pard¶
eflnition)
fldele.
L’argumen
t de Jannsen[94](cf.aussi
[5,
prop.2.6]
ou [7,th.1]) donne:
E.10.F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET MOTIFS
¶
: R ESUL
T A TS DE BASE
247
E.10.3.Proposition
. | La cat¶
egorie
Motnum (F;Fp )tate estab¶
elienne
semi-simple.
Malheureusemen
t,pourM 2 Mothom (F;Fp )tate,iln’est
pasvraien g¶
en¶
eralque
N (M ;M ) soit
¶
egalau radical
de End(M );c’est
m^
eme loind’^
etrelecas:
E.10.4.Proposition
. | SoitX une quadrique
anisotr
ope.A lorsl’image
de h(X )
dansMotnum (F;F2)tate est¶
egalea 0.
D¶
emonstr
ation
. | Il su– t de voir que tout endomorphismede h(X ) dans
Mot(F;F2)tate estde tracenulle.
Celad¶
ecouleimm ¶
ediatemen
t du faitque tout0cycle
surX £ X estde degr
¶
e pair,
cequir¶
esulte
du th¶
eoreme E.3.2
.
Cecilimite
fortemen
t l’in
t¶
er^
etde laproposition
E.10.3
.N¶
eanmoins,
lapropositionE.10.4
a unecons
¶
equenceint¶
eressan
te:
E.10.5.Lemme . | SoitN un facteur
dir
ectde h(X ), ou X estune quadrique
anisotr
ope.A lors–(N ) estpair(voir
notation
E.10.1
).
En efiet,–(N ) = tr(…N ),ou …N 2 End(h(X ))estleprojecteur
d¶
eflnissan
t N ;le
lemme r¶
esulte
doncimm ¶
ediatemen
t de laproposition
E.10.4
.
D’apr
es(E.10.3)
,celaveutdirequelenombre de motifs
de Tateintervenant
dans
H (N ) estpair
.
E.10.D. V ari¶
et¶
es projectiv
es homog enes.| SoitX unevari
¶
et¶
e projectiv
e homogenesousun grouper¶
eductif
connexe
G .SiG estd¶
eplo
y¶
e,X admetuned¶
ecomposition
cellulaire
[42]eton estdanslasituation
du xE.10.B
. C’estparexemplelecassiX
hyperb
olique
.En g¶
en¶
eralon estdanslasituation
du xE.10.C
.
estunequadrique
Si G n’estpas d¶
eplo
y¶
e maisque X a un point rationnel,
on peutd¶
ecomposer
partiellemen
tlemotifde X .Parexemple,
siX estunequadrique
isotrop
e d¶
eflniepar
q ’ H ? q0,on a
laformequadratique
(E.10.7)
h(X )’ 1 ' h(X 0)(1)
' Ld
ou d = dimX etX 0 estlaquadrique
d’¶
equation
q0 = 0.Ce r¶
esultat
estd^
u a Rost
[186].Ilmontrequeh(X )((contien
t))l’indice
de Witti= i(q):en it
¶
eran
t,on obtien
t
uned¶
ecomposition
(E.10.8)
h(X )’ 1 ' L ' ¢¢¢' L i¡ 1 ' h(Y )(i)' L d¡ i+1 ' ¢¢¢' L d
ou Y estunequadrique
dont l’
¶
equation
estdonn¶
eeparlapartie
anisotrop
e de q.De
plus,
E.10.6.Lemme . | h(X ) ne contient
pasL i en facteur
dir
ect.
En efiet
Hom (L i;h(X ))= Hom (1;h(Y ))= CH 0(Y )
et
Hom (h(X );L i)= Hom (h(Y );1)= CH 0(Y ):
248
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
La composition
descorresp
ondances
Hom (h(X );L i)£ Hom (L i;h(X ))! Hom (1;1)
corresp
ond au produitd’in
tersection
CH 0(Y )£ CH 0(Y ) ! Z.Or leth¶
eoreme E.3.2
montrequeceproduitestd’image2Z.
La d¶
ecomposition
(E.10.7)
a¶
et¶
e g¶
en¶
eralis
¶
eeparKarpenko,puisparChernouso
vGille-Merkurjev
au casd’unevari
¶
et¶
e projectiv
e homogenequelconque
ayant un point
rationnel
:
E.10.7.Proposition([109,th.6.5etcor.6.11]
; [41,th.7.1]
)
SoitX une vari
¶
et¶
e proje
ctive
lisse
admettant
une flltr
ation
; = X ¡ 1 ‰ X 0 ‰ ¢¢¢‰ X n = X
ou lesX i sontferm¶
esetou,pourtouti2 [0;n],X i ¡ X i¡ 1 estflbr¶
e surune vari
¶
et¶
e
proje
ctive
lisse
Yi a flbresdesespacesa–nes de dimension
constante
ai.A lorson a
un isomorphisme
canonique
dansMot(F )
L n
h(X )’
ai):
i=0 h(Yi)(
tpaslamoinschere)decomprendre
La manierelaplusagr¶
eable(maiscertainemen
lad¶
emonstration
decette
proposition
estdeseplacer
danslacat¶
egorie
triangul
¶
eedes
efi
motifs
g¶
eom¶
etriques
D M gm
(F ) de Voevodsky([215],voiraussi
l’exp
os¶
e Bourbakide
Friedlander
[57,x3]):rappelons
quedanscette
cat¶
egorie,
lemotifM (U )d’unevari
¶
et¶
e
efi
lisse
U estd¶
eflnietquelacat¶
egorie
Mot (F )s’yplongedemanierepleinemen
tfldele
d’apr
es[214].Traitons
lecasn = 1 :c’est
de toutefa»
con lecasessen
tiel.
On a le
triangle
exactde Gysin
+
M (X ¡ X 0)! M (X )! M (X 0)(c)[2
c]! :
Soitp :X ¡ X 0 ! Y1 laprojection
de l’
¶
enonc
¶
e.Parinvariance
homotopique,
le
morphismeM (p)estun isomorphisme.
Le pointestalors
quel’adh
¶
erence
dansX £ Y0
du graphede p fournit
unecorresp
ondancede Chow quiscinde
cetriangle
exact.
On
obtien
t ensuite
laproposition
en dualisan
t.
Ilen r¶
esulte
:
E.10.8.Th ¶
eoreme ([41,th.7.4]
). | SoitX unevari
¶
et¶
e proje
ctive
homogeneayant
¶
un pointrationnel.
Ecrivons
X = G=P , ou G estsemi-simple
adjoint
etP estun
sous-gr
oupe parabolique
de G d¶
eflnisurF (c’est
toujours
possible
).A lorson a un
isomorphisme
canonique
dansMot(F ),de laforme
L
l(–))
h(X )=
–2 ¢ h(Z –)(
ou ¢ estl’ensemble
(flni)desco˜‡nvariants
de l’action
de Galoissur(P nX )(F„) et
ou l(–);Z – sontun certain
entier
‚ 0 etune certaine
vari
¶
et¶
e proje
ctive
homogene
asso
ci¶
esa –.
E.10.F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET MOTIFS
¶
: R ESUL
T A TS DE BASE
249
Karpenko avaitobten
u aupara
vantceth¶
eoreme danslecasou G estclassique
[109].
En it
¶
eran
t,ilen r¶
esulte
quelemotifde Chow d’unevari
¶
et¶
e proje
ctive
homogeneest
somme dir
ectecanonique
detor
dusa laTatedemotifs
deChow devari
¶
et¶
esproje
ctives
homogenesanisotr
opes.
E.10.E.Le th¶
eoreme de nilpotencede Rost
E.10.9.Notation. | On noteMot(F )hmg la sous-cat
¶
egorie
¶
epaisse
(c’esta-dire
pleine,
additiv
e etstable
parfacteurs
directs)
de Mot(F ) engendr
¶
eeparlesh(X )(n),
ou n 2 Z etX estunevari
¶
et¶
e projectiv
e homogene.On notede m ^
eme Mot(F;Fp )hmg
lacat¶
egorie
corresp
ondantea coe– cien
tsFp .
La cat¶
egorie
Mot(F )hmg estvisiblemen
t stable
parproduittensoriel
etpardual;
d’apr
eslesremarques
du d¶
ebutdu xE.10.D
,c’est
unesous-cat
¶
egorie
pleine
deMot(F )tate.
M^
emesremarques
a coe– cien
tsflnis.
E.10.10.Th ¶
eoreme . | Pour M ;N 2 Mot(F )hmg ,notonsI(M ;N ) l’ensemble
des
pourtoutM 2 Mot(F )hmg ,
homomorphismes
f de M versN tels
quefF„ = 0.A lors,
I(M ;M ) estun nilid
¶
ealde End(M ).(8)
Ce th¶
eoreme estd^
u a Chernouso
v{Gille
{Merkurjev
[41,th.8.2]
;danslecasou M
estlemotifd’unequadrique,
c’est
lec¶
elebreth¶
eoreme de nilp
otencede Rost.Pour
led¶
emontrer,
on peutvisiblemen
t supposerqueM estsomme de motifs
de laforme
h(X )(n) pourX projectiv
e homogene(casqueconsid
eren
t lesauteurs).
En utilisan
t
leth¶
eoreme E.10.8
,on seramenefacilemen
t au th¶
eoreme suiv
ant :
E.10.11.Th ¶
eoreme . | Soient
X ;Y deuxvari
¶
et¶
esproje
ctives
lisses
etf 2 Endh(X ).
Supposonsquef agisse
trivialement
surCH ⁄ (X F (y)) pour toutpointy 2 Y . A lors
surCH ⁄ (Y £ X ).
fdim Y +1 agittrivialement
Ce th¶
eoreme estd^
u a Brosnan[35, th.3.1]
; lecasCH dim Y (Y £ X ) avait¶
et¶
e
de CH ⁄ (Y £ X ) parla
d¶
emontr¶
e parRost. Soit(F n CH ⁄ (Y £ X ))n ‚ 0 laflltration
dimension
du supportde Y .Si(grn )n ‚ 0 estlegradu
¶
e asso
ci
¶
e,ilsu–t de montrer
que f agittrivialemen
t surgrn pourtoutn. Brosnanled¶
emontreen g¶
en¶
eralisan
t
l¶
egeremen
t lacomposition
classique
descorresp
ondances,
autorisan
t trois
vari
¶
et¶
es
X 1;X 2;X 3 quelconques
a condition
que lavari
¶
et¶
e interm¶
ediaire
X 2 soitprojectiv
e
lisse.
Pourcefaire,
ilutilise
laformule
f – g = (p13)⁄ ’ !(g › f)
(8)La d¶
emonstration
donne m ^
eme qu’il
existe
un entierd ne d¶
ependant que de M telque fd = 0
pour toutf 2 I = I(M ;M ).Contrairemen
t a ce qui¶
etaitindiqu
¶
e dans laversiondifius
¶
ee lorsde
l’exp
os¶
e,on ne peutpasen d¶
eduireque I estnilp
otent,carlelemme de NagataetHigman invoqu¶
e
danscetteversion
(cf.
[6,lemme 7.2.8])
ne s’applique
qu’auxQ -alg
ebres.
J’ignore
siI estnilp
otent;
heureusemen
t celan’apasd’importancepourl’application
aux corollaires
E.10.13etE.10.14.
250
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
ou ’ estl’immersion
r¶
eguli
ereX 1 £ X 2 £ X 3 ! X 1 £ X 2 £ X 2 £ X 3 donn¶
eeparla
diagonale
de X 2 et’ ! estlemorphismede Gysincorresp
ondant [58,ch.6].Essentiellemen
t,celaluipermetde faire
op¶
ererlacorresp
ondancef surlasuite
spectrale
de niveau quiaboutita laflltration
(F n ) (9). Rost, quant a lui,
utilisait
une suite
spectrale
obten
ue a l’aide
de sath¶
eorie
desmo dulesde cycles.
E.10.12.R emar ques
de type flni,I(M )estaussi
lesous-gr
oupe
a) Comme legroupe End(M F„ )estlibre
de torsion
de End(M ) comme lemontreun argument de transfert
bienconnu.
b) Lesth¶
eoremes E.10.8etE.10.10
s’
¶
etenden
t aux motifsa coe–cientsdansFp ,
aveclesm ^
emesd¶
emonstrations.
c) J’ignore
sileth¶
eoreme E.10.10
s’
¶
etenda touslesobjetsde Mot(F )tate.M ^
eme
perplexit
¶
e a coe–cientsflnis.
PuisquelesHom dansMot(F„;Fp )tate sontde dimension
flnie,
laremarqueE.10.12
(b)entra
^‡ne,
via[188,pp.40/41,235,241/242]
:
E.10.13.Corollair
e. | Soitp un nombre premier.A lorspour toutobjetM 2
Mot(F;Fp )hmg ,l’anne
au End(M ) estextension
d’uneFp -alg
ebr
e semi-simple
par un
nilid
¶
eal.En particulier
leth¶
eoreme de Krull-Schmidt
estvrai:toutobjet
estsomme
dir
ected’unnombre flnid’objets
ind¶
ecomposables,
uniques
a isomorphisme
pres.
). | SoitM 2 Mot(F )hmg , soitK =F une
E.10.14.Corollair
e (cf.[41,cor.8.3]
extension,
etsoit
(pi)2 Im (End(M )! End(M K ))unefamil
ledeproje
cteurs
ortho
gonauxdesomme 1.A lorslespi sereleventen unefamil
ledeproje
cteurs
ortho
gonaux
de somme 1 de End(M ),de maniere uniquea conjugaison
pres.
Cet¶
enonc¶
e restevraia coe–cientsflnis.
On aimerait
pouvoir¶
egalemen
td¶
emontrerquelefoncteur
d’extension
desscalaires
„
Mot(F )! Mot(F )estconserv
atif.
Ilfautfaire
un peu atten
tioncarcefoncteur
n’est
pasplein.
Le probl
eme estde montrerque,sif estun morphismetelque fK soit
un isomorphisme,
l’in
versede fK estd¶
eflnisurF :on s’entire
essen
tiellemen
t quand
on saitcecia priori
ou quand lasourceet lebut de f sont ¶
egaux.Ce probl
eme
estde m ^
eme naturequepourlaconjecture
standard
B. Celadonnel’
¶
enonc
¶
e un peu
d¶
esagr
¶
eablesuiv
ant.
E.10.15.Corollair
e
a) SoientM ;N 2 Mot(F )hmg , K =F une extension,
etf :M ! N , g :N ! M
deuxmorphismestelsque (gf)K soitun isomorphisme.
A lorsgf estun isomorphisme.Si (fg)K est¶
egalement
un isomorphisme,
alorsf etg sontdes
isomorphismes.
(9)Sa
formulation
estplus¶
el¶
ementaire.
E.10.F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET MOTIFS
¶
: R ESUL
T A TS DE BASE
251
b) SiN estind¶
ecomposable,
ilsu–t dedemanderque(gf)K soit
un isomorphisme
pourquef etg soient
desisomorphismes.
c) [41,cor.8.4]
: SoientX ;Y deuxvari
¶
et¶
esproje
ctives
homogenes,K =F une extension
etf 2 Hom (h(X );h(Y )). SifK estun isomorphisme,
alorsf estun
isomorphisme.
Ces ¶
enonc¶
esrestent
vraisa coe–cientsflnis.
D¶
emonstr
ation
a) On se ramene imm ¶
ediatemen
t au casM = N ;g = 1. Quittea agrandir
K,
on peutsupposerque M K estun motifde Tatemixte.AlorsEnd(M K ) est
produitd’alg
ebresde matrices
M i surZ ;en observ
ant que letermeconstan
t
du polyn
ome caract
^
¶
eristique
de l’image
de fK dansM i est¶
egala § 1 (c’est
le
t),on voitque l’in
versede fK estdonn¶
e parun polyn
ome Q (fK ).
^
d¶
eterminan
En consid
¶
eran
t fQ (f),on serameneau casou fK = 1;alors
f estunipoten
t,
doncinversible.
b) En utilisan
t (a),on serameneau casou (gf)K = 1.Alors(fg)K estidempotent,donc¶
egala 0 ou 1 parhypothese.Mais(fg)K = 0 estimpossible
:cela
impliquerait
quegK = (gfg)K = 0,contredisan
t (gf)K = 1.
c) On peutencoresupposerqueX etY sont d¶
eplo
y¶
eessurK .En consid
¶
eran
t le
motifdeTatedepoidsmaximalinterv
enantdansh(X K )eth(YK ),on remarque
que n¶
ecessairemen
t dimX = dimY .Alorslatransp
os¶
eede f d¶
eflnitun morOn estdonc
phismeg :h(Y )! h(X ) etgK est¶
evidemmen
t un isomorphisme.
ramen¶
e au cas(a).
Dans laveinede (E.10.6)
,lad¶
eflnition
suiv
anteclari
fle bienleschosesetserautile
plusloin:
E.10.16.D ¶
eflnition
a)On noteMothom (F )hmg lequotien
t de lacat¶
egorie
Mot(F )hmg parl’id
¶
ealI du
th¶
eoreme E.10.10
.
b) Soitp un nombrepremier.
On noteMothom (F;Fp )hmg l’image
essen
tielle
de
Mot(F;Fp )hmg dansMothom (F;Fp )tate (cf.(E.10.6)
etnotation
E.10.9
).
Pard¶
eflnition,
lesmorphismesdanslacat¶
egorie
Mothom (F )hmg
(resp.Mothom (F;Fp )hmg );
entredesmotifs
de vari
¶
et¶
esh(X ) eth(Y ),disons,
sont form¶
esde l’image
de
CH dim X (X £ Y ) dans CH dim X (X„ £ Y„ ) (resp.
dans CH dim X (X„ £ Y„ )=p):
252
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
Le th¶
eoreme E.10.10
etsaversion
mo dulop montren
t,comme ci-dessus,
quelesfoncteurs
Mot(F )hmg ! Mothom (F )hmg
et Mot(F;Fp )hmg ! Mothom (F;Fp )hmg
sont conserv
atifs
etque l’image
d’unmotifind¶
ecomposable
estind¶
ecomposable.
Le
corollaire
E.10.15
etlesremarques
lepr¶
ec¶
edant concernen
t laconserv
ativit
¶
e partielle
(?)desfoncteurs
Mothom (F )hmg ! Mothom (F„)hmg
et Mothom (F;Fp )hmg ! Mothom (F„;Fp )hmg :
E.10.F.La m ultiplicit
¶
e d’une corresp
ondance.| Soitfi :h(X )! h(Y ) une
corresp
ondanceentrevari
¶
et¶
esprojectiv
eslisses.
Ilexiste
un uniqueentier„(fi) tel
que (pY )⁄ – fi = „(fi)(pX )⁄ ,ou pX etpY sont lesmorphismesstructuraux
:c’est
la
multiplicit
¶
e de fi.Cettefonction
a lespropri
¶
et¶
es¶
eviden
tessuiv
antes:
1.„(fi + fl)= „(fi)+ „(fl).
2.„(fi – fl)= „(fi)„(fl).
3.„(fi › fl)= „(fi)„(fl).
4.Sifi estlegraphed’uneapplication
rationnelle,
„(fi)= 1.
siX = Y et que … estune corresp
ondanceidempoten
te,on a
En particulier,
„(…)= 0 ou 1;lesecondcasseproduitsietseulemen
t silacomposition
N ! h(X )! 1;
ou N estlefacteur
direct
d¶
eflnipar…,estnon triviale.
¶
e d’unecorresp
ondancefi 2 CH dim X (X £ Y ),
On peutaussi
d¶
eflnirlam ultiplicit
ou X etY sont desvari
¶
et¶
esquelconques
avecY propre:c’est
l’en
tier
„(fi) telque
p⁄ fi = „(fi)[
X ]2 CH dim X (X ),ou p estlaprojection
X £ Y ! Y .Elleco˜‡ncide
avec
lapr¶
ec¶
edentedanslecasprojectif
lisse.
E.10.G. Op ¶
erationsde Steenrod sur lesgroupes de Cho w. | Dans [217],
Voevodskyd¶
eflnitdesop¶
erations
de Steenro
d en cohomologie
motivique
mo dulop :
pourp = 2,cesop¶
erations
jouen
t un r^
oleessen
tiel
danssapreuv
e de laconjecture
de
Milnor([216],voiraussi
[100,x6]).En comptant lesdegr
¶
es,on observ
e quelesplus
importan
tesd’en
treelles
pr¶
eserv
ent lesgroupesde Chow mo dulop
CH i(X )=p= H
2i
(X ;Z=p(i))
pourX une F -vari
¶
et¶
e lisse.
Ilesttentant d’essa
yerde lesd¶
eflnirdirectemen
t dans
cecadre,
en ¶
evitan
t lath¶
eorie
homotopique
dessch¶
emas :celacorresp
ond d’ailleurs
a une question
de Fulton[58,ex.19.2.8]
.C’estce qu’afait
Brosnandanssa these
[36].Sa construction
etlespropri
¶
et¶
esprincipales
de cesop¶
erations
(pourp = 2) sont
expos¶
eeslucidemen
t etsuccinctemen
t parKarpenko dans[112,x2]:
E.10.F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET MOTIFS
¶
: R ESUL
T A TS DE BASE
253
Au moinspourlesvari
¶
et¶
esquasi-pro
jectiv
eslisses
X ,Brosnansuitexactemen
t la
construction
de Steenro
d,en utilisan
t lesgroupesde Chow ¶
equiv
arian
tsd¶
eflnispar
EdidinetGraham [47](voiraussi
T otaro[210]).
Ilobtien
t ainsi
desop¶
erations
S i :CH n (X )=2 ! CH n + i(X )=2
(encohomologie
mo dulo2, S i corresp
ondrait
a l’op
¶
eration
de Steenro
d Sq2i).Ces
op¶
erations
ont lespropri
¶
et¶
essuiv
antes:
P i
1.L’op¶
eration
de Steenro
d totale
S =
S estun endomorphisme
de l’anneau
CH ⁄ (X )=2.
2.S estcontra
varian
tpourlesmorphismes
quelconques.
Compte tenu de (1),
cela
fournit
laformule
de Cartanpourlescross-pro
duitsde cycles.
3.SurCH n (X )=2,S i est¶
egala
{ 0 pourn < i;
{ l’
¶
el
¶
evationau carr
¶
e pourn = i.
4.S = 0 pouri< 0;S 0 estl’iden
tit
¶
e.
i
5.Formulede R iemann-R
och: sif : Y ! X estun morphismepropreetfi 2
⁄
CH (Y )=2,on a
f⁄ (S(fi)¢c(¡ TY ))= S(f⁄ fi)¢c(¡ TX )
esigne
la
ou TX etTY sont resp
ectiv
ement lesflbr¶
estangen
tsde X etY etc d¶
classe
de Cherntotale
(les
expressions
¡ TX et¡ TY ayant un sensdansK 0(X )
etK 0(Y )).
Dans lecasou f estune immersion
ferm¶
eeetou fi estlaclasse
de Y ,laformule
de Wu :
de Riemann-Ro
ch ser¶
eduita laformule
(E.10.9)
S([
Y ])= f⁄ c(N )
ou N estleflbr¶
e normalde l’immersion
f.
E.10.H. Le motifd’unequadriqued¶
eploy¶
ee.| SoitX unequadrique
d¶
eplo
y¶
ee
de dimension
d etd’¶
equation
q = 0.L’anneaude Chow de X admetune description
tressimple:on a
8
i
>
sii< d=2
>
< Zh
(E.10.10)
CH i(X )=
Zld¡ i
>
>
: Zl1 ' Zl2
sii> d=2
sii= d=2
ou h estlaclasse
d’unesection
hyperplane
de X et,sij < d=2,lj d¶
esigne
laclasse
d’unsous-espace
projectif
de X de dimension
j.Pourj = d=2 (doncd pair),
on a
deuxtelles
familles
desous-espaces
l1 etl2,quisontconjugu
¶
eessousl’action
deO (q).
Pluspr¶
ecis
¶
ement :
E.10.17.Lemme
254
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
¶
ALG EBRIQUES
ET CYCLES
a) Soitu 2 O (q).A lorsu opere trivialement
surCH i(X ) sii6
= d=2.Sii= d=2,u
i
opere trivialement
surCH (X ) siu 2 SO (q) et¶
echangel1 etl2 siu 6
2 SO (q).
b) L’applic
ationnatur
elleO (q) ! End(h(X ))esttriviale
sid estimpairetse
factorise
(nontrivialement)
a traversled¶
eterminant
sid estpair.
(Ilsu–t de tester
(a)surlesr¶
e exions
puisque
celles-ci
engendren
t O (q),cequiest
facile
; (b)r¶
esulte
de (a)puisqueEnd(h(X ))operefldelemen
t surlesCH i(X ), cf.
(E.10.5)
ci-dessous.)
On a de pluslesrelations
(cf.parexemple[107])
hi = 2ld¡ i (i> d=2)
hd=2 = l1 + l2
hhi;ld¡ ii= 1
(
(E.10.11)
sid estpair
(i< d=2)
0 sid · 0 (mod 4)
hl1;l2i=
1 sid · 2 (mod 4)
(
hla ;la i=
1 sid · 0 (mod 4)
0 sid · 2 (mod 4)
poura = 1;2.
Cecipermetdedonneruneformuleexplicite
pourles((projecteurs
deK ũnneth))…i
de X selonlad¶
ecomposition
(E.10.4)
(…i projette
surCH i(X )) :
8
>
li £ hi
sii< d=2
>
>
>
< hd¡ i £ l
sii>
d=2
d¡ i
…i =
(E.10.12)
1
1
2
2
>
l £ l + l £ l sii= d=2 etd · 0 (mod 4)
>
>
>
: 1
l £ l2 + l2 £ l1 sii= d=2 etd · 2 (mod 4).
Bienentendu,touscescalculs
resten
t valables
mo dulo2.
E.10.18.R emar que. | (E.10.10)
et(E.10.11)
sont descasparticuliers
de [175,
prop.1],quipermettrait
de g¶
en¶
eraliser
laformule(E.10.12)
a une vari
¶
et¶
e projectiv
e
homogened¶
eplo
y¶
eequelconque.
Lesop¶
erations
de Steenro
d operen
t de lamanieresuiv
antesurlesimagesde h et
desli danslesgroupesde Chow mo dulo2 :
(E.10.13)
S(hi)= hi(1+ h)i
(i‚ 0)
i+1
S(ld¡ i)= ld¡ i(1+ h)
(i‚ d=2):
(La premiereformuleser¶
eduitau casi = 1 parlapropri
¶
et¶
e (1)du xE.10.G; elle
estalors
¶
eviden
tecomptetenu de (3)et(4).Quant a ladeuxi
eme formule,elle
est
d¶
emontr¶
eeparexempleparKarpenko dans[112,cor.3.3]
au mo yen de laformulede
W u (E.10.9)
.Noter¶
egalemen
tquehi = 0 pouri> d=2 d’apr
eslesrelations
(E.10.11)
,
E.11.F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET MOTIFS
¶
: TH EORIES
DE R OST
ET DE VISHIK
255
de sorte
que lacontradiction
entrelesdeuxformulespouri= d=2 quandd estpair
n’est
qu’apparen
te!)
E.11. Formes quadratiqueset motifs: th¶
eoriesde Rost et de Vishik
Dans cettesection,
nousexposonslesr¶
esultats
de Rostet Vishiksurlastructuredu motifd’unequadrique.
Ilsreposen
t surleth¶
eoreme de nilp
otencede Rost
(th¶
eoreme E.10.10
),queRosta d¶
emontr¶
e pourcalculer
lemotifd’unequadrique
de
Pflster(th¶
eoreme E.11.14
).Ce calcul
a ensuite
¶
et¶
e vastemen
t g¶
en¶
eralis
¶
e parVishik
danssathese[211].Vishiky tra
vaille
apparemment danslacat¶
egorie
D M ¡efi (F ) des
motifs
triangul
¶
esde Voevodsky,maisl’article
[211],surlequel
nousnousreposons,
clari
fle leschosesetmontreque toutsepasseen faitdanslacat¶
egorie
desmotifs
pursetr¶
esulte
de calculs
remarquablemen
t¶
el
¶
ementaires
(a l’exception
d’unr¶
esultat,
lesop¶
erations
de Steenro
d motiviques).
leth¶
eoreme E.11.31
quiutilise
E.11.A. Facteursdirects
du motifd’unequadrique,d’apresVishik.|
X unequadrique
anisotrop
e de dimension
d.Notons
Soit
{ h(X ) sonmotifdansMot(F )hmg ;
{ h(X ;F2) sonmotifdansMot(F;F2)hmg ;
{ hhom (X ) sonmotifdansMothom (F )hmg ;
{ hhom (X ;F2) sonmotifdansMothom (F;F2)hmg .
On notera
aussi
X„ = X £ F F„ etonnedistinguera
pash(X„)ethhom (X„),nih(X„;F2)
„
ethhom (X ;F2).
D’apr
eslecorollaire
E.10.14
,lesfacteurs
directs
de h(X ) (resp.
de h(X ;F2)) sont
en corresp
ondancebijectiv
e,a isomorphisme
pres,avec ceuxde hhom (X ) (resp.
de
hhom (X ;F2)).Vishikd¶
emontrede plusque lesfacteurs
directs
de hhom (X ) et de
hhom (X ;F2) sont aussien corresp
ondancebijectiv
e.Son raisonnemen
t pourrelev
er
mo dulo2 en desprojecteurs
entiers
estassezd¶
elicat
danslecasou d
desprojecteurs
estpair:nousen donnonsl’essen
tiel
en E.11.A.2
.En r¶
ealit
¶
e,toutes
lesapplications
auxformesquadratique
sutilisen
tlesgroupesdeChow mo dulo2 :ladistinction
entre
lecasentier
etlecasmo dulo2 n’adoncpasunegrandeimportance
en pratique.
E.11.A.1.
Le cas de dimensionimpair
e. | Si d estimpair,
lasituation
estrelativ
ement simple:pourtouti 2 [0;d],lacorresp
ondance2…i (cf.(E.10.12)
) estrationnelle
surF ,repr
¶
esen
t¶
eeparlecyclehd¡ i £ hi.En particulier,
End(hhom (X ))=
Im(End(h(X ))! End(h(X„)))contien
t 2End(h(X„)).Pourcomprendrecetteimage
on peutdoncr¶
eduire
mo dulo2;d’apr
es(E.10.5)
,on a un isomorphisme
d’anneaux
End(h(X„;F2))’
Yd
F2 :
i=0
256
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
L’imageEnd(hhom (X ;F2))de End(hhom (X ))danscetanneaucorresp
ond donca
une partition
P de f0;:::;dg,ettoutidempoten
t de End(hhom (X ;F2))serel
eve en
un idempoten
t de End(hhom (X )),uniquepuisque
cette
alg
ebreestcomm utativ
e.
Explicitemen
t,soitI une partie
de f0;:::;dg telle
que lacorresp
ondance…I :=
P
d¶
eflniesurF :alors
lesI minimauxformen
t lapartition
en question.
i2 I …i soit
En appliquan
t lecorollaire
E.10.14
, on obtien
t que les(…I )I2 P serel
event en des
projecteurs
orthogonaux
…
~I de somme 1 dansEnd(h(X )),de maniereuniquea conjugaison
pres.En particulier,
les…
~I d¶
eflnissen
t uned¶
ecomposition
L
h(X )’
I2 P N (I)
en somme directe
de motifs
ind¶
ecomposables,
uniquea isomorphisme
pres.On a
L
›i
N (I)F„ ’
i2 I L :
Vishik
noteN 7!⁄(N )labijection
inversedeI 7!N (I):ilappelle
⁄(N )lesupport
du facteur
direct
ind¶
ecomposable
N.
¶
Enon»
consunepartie
de cequipr¶
ecede:
E.11.1.Proposition
. | Supposonsd impair.
A lorsl’alg
ebr
e End(hhom (X ;F2))est
commutative
etsemi-simple
.En particulier,
(i)Toutfacteur
dir
ectind¶
ecomposable
de hhom (X ;F2) appara^‡tavec multiplicit
¶
e
1.
(ii)
SiN ;N 0 sontdeuxfacteurs
dir
ectsind¶
ecomposables
de hhom (X ;F2) non isomorphes,on a Hom (N ;N 0)= 0.
E.11.A.2.
Le cas de dimension
pair
e. | Le premierr¶
esultat
di–cilede Vishikest
queladescription
pr¶
ec¶
edentes’
¶
etend(essen
tiellemen
t)au caspair.
E.11.2.Th ¶
eoreme . | SoitX une quadrique
non hyperb
olique
de dimension
pair
e
d.A lors
a) Le radic
alde End(hhom (X ;F2))estengendr
¶
e par := 1¡ ¿,ou ¿ est(legraphe
d’)uner¶
e exionquelc
onque.
b) L’alg
ebr
e quotient
estcommutative.
c) Toutsyst
eme d’idemp
otents
ortho
gonauxde somme 1 de End(hhom (X ;F2))se
relevedansEnd(hhom (X )),de maniere uniquea conjugaison
pres.
En particulier,
toutfacteur
dir
ectind¶
ecomposable
de h(X ) appara^‡tavec multiplicit
¶
e 1.
Ce th¶
eoreme est(essen
tiellemen
t)lecontenu de [211,Sublemma5.11]
.
D¶
emonstr
ation
. | Voici
uned¶
emonstration
de(a)et(b):d’apr
es(E.10.5)
,End(h(X ))
estunesous-alg
ebrede
Yd
i=0
End(CH i(X„)=2)=
Y
F2 £ M 2(F2):
i6
= d=2
E.11.F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET MOTIFS
¶
: TH EORIES
DE R OST
ET DE VISHIK
257
L’imagede danscette
alg
ebreestnulle
danschaquefacteur
F2,etvaut„ = (11 11 )
dansM 2(F2) (lemmeE.10.17
).
Comme X n’est
pashyperbolique,
tousles¶
el
¶
ementsde CH d=2(X )=2 sont de degr
¶
e
pair(cf.remarquessuiv
ant (E.10.7)
).En particulier,
pour toutˆ 2 End(h(X )),
ˆ(hd=2) estde degr
¶
e pair
; autremen
t dit,si(ac db ) estl’image
de ˆ dansM 2(F2),
on a a+ b+ c+ d = 0.NotonsA lasous-alg
ebredeM 2(F2)d¶
eflnieparcette
condition.
E.11.3.Lemme (Vishik)
. | Pour x 2 A ,soitx,soitx + „ estidempotent.
Ce lemme entra
^‡nequesoit̂ ,soit̂ + estidempoten
t.Pourconclure
lapreuv
e
de (a)et(b),ilsu–t de montrerque estdansleradical
de End(h(X )):maisilest
clair
que „ estdecarr
¶
e nuletquesonproduitavectoutematrice
deA estun m ultiple
de .
Quant a (c),
iln’appara
^‡tpassouscette
formedans[211],maisvoici
unemaniere
de led¶
eduire
descalculs
quiy sont faits.
Toutd’abord,l’
¶
enonc
¶
e de (c)estvraipour
l’homomorphisme
End(h(X„))! End(h(X„;F2))(v¶
;ceci
implique
(c)
eri
flcation
facile)
au casou l’ona
(E.11.1)
2End(h(X„))‰ End(hhom (X )):
estvraidanslescassuivants
:
E.11.4.Lemme . | (E.11.1)
(i)End(hhom (X ))contient
un ¶
el
¶
ementˆ telquetr(ˆ jCH d=2(X„))soitimpair.
(ii)
Le groupe de Galoisabsolu
G F opere non trivialement
surCH ⁄ (X„) (c’estadir
e surCH d=2(X„)).
D¶
emonstr
ation
. | (i)est[211,sublemma5.7]:nousrenvoyonsa loc.cit.
pourla
d¶
emonstration,
trestec
hnique.
(ii)
Sil’action
de G F n’est
pastriviale,
G F permute
EndG F (CH d=2(X„))= Z ' Z et(E.11.1)
l1 etl2,doncoperecomme O (q);alors
est
v¶
eri
fl¶
e.
D¶
eduisons-en
(c): lecasint¶
eressan
t estcelui
ou lacondition
du lemme E.11.4
n’est
pasv¶
eri
fl¶
ee.Soit† 2 End(hhom (X ;F2))un idempoten
t.L’hypotheseimplique
quelatracede † op¶
eran
t surCH d=2(X„)=2 est¶
egalea 0.Donc † operesurcegroupe
comme 0 ou l’iden
tit
¶
e.Quittea leremplacer
par1 ¡ †,on peutsupposerqu’il
opere
trivialemen
t.Or X estd¶
eplo
y¶
eeparune extension
m ultiquadratique
de F :ilexiste
doncun entier
s telque2sEnd(h(X„))G F = 2sEnd(h(X„))‰ End(hhom (X )).
SoitA s l’image
de End(hhom (X ))dansEnd(h(X„))=2s.Comme lenoyau de A s !
End(hhom (X ;F2))estnilp
oten
t,† se rel
eve en un idempoten
t †s 2 A s, dont l’acd=2 „
s
tionsurCH
(X )=2 estn¶
ecessairemen
t triviale.
Parcons
¶
equent,l’image
de †s dans
End(h(X„))=2s serel
eve en un idempoten
t † de End(h(X„)),eton a automatiquemen
t
†2 End(hhom (X )).
Pourcompl¶
etercette
description,
ilfautencore
¶
etudier
leshomomorphismes
entre
1
2
facteurs
directs
ind¶
ecomposables.
Notons…d=2
et…d=2
lesdeuxidempoten
tsde A de
258
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
somme 1 (voirlad¶
eflnition
de A juste
avant lelemme E.11.3
)
¶
¶
1 1
0 1
1
2
…d=2
=
;
…d=2
=
:
0 0
0 1
On a
1 „
2 „
1
2
…d=2
= 0; …d=2
= „; „…d=2
= „; „…d=2
= 0:
Deux cassepr¶
esen
tent donc:
E.11.5.Proposition
a) Supposonsque,dansEnd(h(X ))=h i,un idempotent
ind¶
ecomposable
†contienne
1
2
…d=2
+ …d=2
. A lors,
siN † estlefacteur
dir
ectcorrespondantde h(X ), on a
End(N †) = F2 ' F2† †. Pour toutautr
e facteur
dir
ectind¶
ecomposable
N , on
a End(N ) = F2, etHom (N ;N 0) = 0 siN etN 0 sontdeuxfacteurs
dir
ects
ind¶
ecomposables
non isomorphes.
b) Supposonsque,dansEnd(h(X ))=h i, un idempotentind¶
ecomposable
†1 conti2
1
.Soient
etqu’unautr
e idempotentind¶
ecomposable
†2 contienne
…d=2
enne…d=2
A lors,
pourtoutfacteur
N 1 etN 2 lesfacteurs
dir
ectsde h(X ) correspondants.
N de h(X ),on a End(N )= F2.SiN ;N 0 sontdeuxfacdir
ectind¶
ecomposable
teursdir
ectsind¶
ecomposables
non isomorphes,
on a Hom (N ;N 0) = 0, saufsi
0
2
1
(N ;N )= (N 1;N 2) auquelcasHom (N 1;N 2)= …d=2
…d=2
F2 6
= 0.
observ
erVishik
,ilestfacile
de donner
E.11.6.R emar que. | Comme me l’afait
un exemplede deuxfacteurs
directs
ind¶
ecomposables
M ;N de motifs
de quadriques
(di
fi¶
eren
tes)
tels
quedimHom (M ;N )‚ 3 dansMothom (F;F2)hmg :prenons
uneforme
quadratique
q de dimension
d + 2 avec d ‚ 5, de quadrique
asso
ci
¶
ee X , telle
que
N = hhom (X ;F2) soit
en¶
erique).
On voitfacilemen
t
ind¶
ecomposable
(parexempleq g¶
queIm(CH 2(X £ X ) ! CH 2(X„ £ X„)=2 a pourbase(h2 £ 1;h £ h;1 £ h2) ou h est
unesection
hyperplane.
Mais
Hom (N (d ¡ 2);N )= Hom (N (d ¡ 2);N _ (d))= Hom (N › N ;L 2)
est¶
egala ce groupe.(Noterque N (d ¡ 2) estfacteur
direct
de h(Y ), ou Y estla
quadrique
d¶
eflnieparq ? (d ¡ 2)H ,cf.(E.10.8)
.)
E.11.A.3.
Lesdiagr
ammes de Vishik
. | On a vu en E.11.A.1
que,siladimension
d
de laquadrique
X estimpaire,
lesfacteurs
directs
ind¶
ecomposables
de h(X ) sont en
bijection
avecunecertaine
partition
del’ensem
bledesmotifs
deTateinterv
enantdans
H (h(X )),quipeut^
etreiden
ti
fl¶
e a f0;:::;dg.Lorsqued estpair,
lem ^
eme ¶
enonc
¶
e est
vraid’apr
esE.11.A.2
,maison nepeutplusiden
ti
flercetensemblea un ensembled’entiers
puisque
L d=2 intervien
t avecm ultiplicit
¶
e 2.En fait,
comme leremarqueVishik,
E.11.F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET MOTIFS
¶
: TH EORIES
DE R OST
ET DE VISHIK
259
cesdeuxfacteurs
sont dissym
¶
etriques.
Pluspr¶
ecis
¶
ement,ilfait
lechoixsuiv
ant :
…up = l1 £ (l1 + l2)
…lo = …d=2 ¡ …up
(cf.
(E.10.12)
).
2
2
(Ainsi,
…up operecomme …d=2
surCH 2(X„)=2 sid · 2 (mod 4) etcomme …d=2
+ „
sid · 0 (mod 4).)IlnoteL up etL lo lesdeux facteurs
directs
corresp
ondants: la
up
) estnulletandis
quesarestriction
a
restriction
de degX a CH d=2(L ) (cf.E.11.A.4
CH d=2(L lo) estnon nulle.
Ilnote⁄(X ) l’ensem
blede cesmotifs
de Tate:ainsi,
pour
toutfacteur
direct
M deh(X ),on peutiden
ti
flerl’ensem
ble⁄(M )desmotifs
deTate
interv
enant dansH (X ) a un sous-ensem
blede ⁄(X ),etM estd¶
etermin
¶
e par⁄(M )
¶
a isomorphisme
pres.Enon»
consceciexplicitemen
t,pourr¶
ef¶
erence
ult
¶
erieure
:
E.11.7.Proposition
. | SoientN ;N 0 deuxfacteurs
dir
ectsdu motifd’unem ^
eme
quadrique.
Si⁄(N )\ ⁄(N 0)6
= ;,alors
N ’ N 0.
Pourrepr
¶
esen
terlad¶
ecomposition
de h(X ) en facteurs
directs
ind¶
ecomposables,
Vishik
dessine
desdiagrammes
fond
¶
essurcette
description.
Ainsi,
voici
un diagramme
repr
¶
esen
tant lad¶
ecomposition
motivique
d’unequadrique
d¶
eflnieparune3-formede
Pflster:
†
†
†
†
†
†
†
†
E.11.A.4.
Le caractere deVishik
. | Vishik
a introduitun crit
eretrespratique
pour
d¶
emontrerun isomorphisme
entremotifs
ind¶
ecomposables
:
E.11.8.D ¶
eflnition
. | SoitX unequadrique.
On notedegX l’homomorphisme
degX :CH ⁄ (X„)=2 ! F2
prenan
t lavaleur1 surtouslesg¶
en¶
erateurs
apparaissan
t dans(E.10.10)
. C’estle
caractere de Vishik
.
suiv
ant :
On a lelemme trivial
E.11.9.Lemme . | Si dimX estpair
e,degX – = 0, ou
th¶
eoreme E.11.2
.
estcomme dans le
On en d¶
eduit:
E.11.10.Th ¶
eoreme ([211,th.3.8]
). | SoientX 1;X 2 deuxquadriques
et a1;a2
deuxentiers
‚ 0. Soientfi :h(X 1)(a1) ! h(X 2)(a2) etfl :h(X 2)(a2) ! h(X 1)(a1)
=
deuxmorphismesde Mot(F;F2), etsoitr ‚ 0 tels
que(degX 1 –fl – fi)jCH r (X„1 )=2 6
0. A lorsilexiste
desfacteurs
dir
ectsind¶
ecomposables
N 1 et N 2 de h(X 1)(a1) et
h(X 2)(a2),isomorphes,
tels
queL r 2 ⁄(N 1) etL r 2 ⁄(N 2).
260
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
D¶
emonstr
ation
. | Toutd’abord,on peutseramenera a1 = a2 = 0 en remplacan
t
X 1 etX 2 parX 10 etX 20,ou X i0 estd’¶
equation
aiH ? qi siX i estd’¶
equation
qi (cf.
(E.10.8)
).Choisissons
maintenan
t desd¶
ecompositions
en somme de facteurs
directs
ind¶
ecomposables
L
L
1
2
h(X 1)’
h(X 2)’
s2 S N s ;
t2 T N t :
Travaillons
dansMothom (F;F2)hmg .Surlesd¶
ecompositions
ci-dessus,
lesmorphismes
ƒ(fi) etƒ(fl) ont des¶
ecritures
matricielles
(fi st) et(flts) (voir(E.10.6)
pourserappeler
lad¶
eflnition
desfoncteurs
H etƒ ).De m ^
eme,ƒ(fl –fi)a une¶
ecriture
matricielle
((fl –fi)ss0).De plus,
laproposition
E.11.5
implique
que,mo dulo sidimX estpaire,
cettematriceestdiagonale.
L’hypotheseetlelemme E.11.9impliquen
t donc qu’il
existe
s0 telque
X
flts0 fi s0 t · 1 (mod h i):
(fl – fi)s0 s0 =
t2 T
Parcons
¶
equent,ilexiste
aussi
un t0 telqueflt0 s0 fi s0 t0 · 1 (mod h i).Soien
tN 1 =
E.10.15
(b)implique
queN 1 ’ N 2.De plus,
l’h
ypothese
N s10 etN 2 = N t20 :lecorollaire
implique
imm ¶
ediatemen
t queL r 2 ⁄(N 1) etL r 2 ⁄(N 2).
E.11.B.Premieresapplications
E.11.11.D ¶
eflnition
. | Pourtoutequadrique
anisotrop
e X ,on noteN 0(X ) l’uniquefacteur
direct
ind¶
ecomposable
de h(X ) telque 1 2 ⁄(N 0(X )):c’est
lemotif
initial
de X .
E.11.12.Th ¶
eoreme . | Soient
X ;Y deuxquadriques
anisotr
opes.A lorsX … Y ,
N 0(X )’ N 0(Y ).
L’implication
) estlecorollaire
3.9de [211].
D¶
emonstr
ation
. | Voici
lad¶
emonstration
de Vishik:choisissons
un point rationnel
p 2 Y (F (X ))etun point rationnel
q 2 X (F (Y )).Alorsp etq corresp
ondent a des
appplications
rationnelles
p : X ˆ Y etq : Y ˆ X . Soien
t fi : h(X ) ! h(Y ) et
fl :h(Y ) ! h(X ) lescorresp
ondancesdonn¶
eesresp
ectiv
ement par(l’adh
¶
erencedu)
graphede p etde q.Ilestimm ¶
ediat
quelacondition
du th¶
eoreme E.11.10
estv¶
eri
fl¶
ee
avecr = 0.
Je n’aipastrouv
¶
e l’implication
( dans[211],maissad¶
emonstration
estfacile
:
soit
’ :N 0(X )! N 0(Y ) un isomorphisme.
Ilinduit
un morphisme
’
h(X )¡! N 0(X ) ¡¡! N 0(Y )¡! h(Y )
»
quiinduit
¶
evidemmen
t un isomorphisme
CH 0(X„) ! CH 0(Y„ ).Parleth¶
eoreme E.3.2
,
toutpoint rationnel
de X (surune extension
de F ) fournit
un point rationnel
de Y ,
doncX 4 Y ,etde m ^
eme Y 4 X .
E.11.F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET MOTIFS
¶
: TH EORIES
DE R OST
ET DE VISHIK
261
E.11.13.Th ¶
eoreme . | SoitX une quadrique
anisotr
ope.A lorsh(X ) contient
L i1 (X )¡ 1
N 0(X )(i)
i=0
en facteur
dir
ect(cf.lad¶
eflnition
E.6.1pourserappelerlad¶
eflnition
de i1(X )).
C’estlecorollaire
3.10de [211].Vishikled¶
emontreainsi
: comme lesN 0(X )(i)
sont visiblemen
t deux a deux non isomorphes,
ilsu–t de montrerque chacunest
facteur
direct
de h(X ). Fixonsi < i1(X ). Dans X F (X ), choisissons
un sous-espace
projectif
L de dimension
i.Son adh¶
erencedansX £ X d¶
eflnitune corresp
ondance
fi :h(X )(i) ! h(X ).D’autrepart,consid
¶
eronsune section
planede codimension
i
de X ,etplongeons-la
diagonalemen
t dansX £ X :celad¶
eflnitune corresp
ondance
fl :h(X ) ! h(X )(i).Ilestalors
facile
de voirquelacondition
du th¶
eoreme E.11.10
estv¶
eri
fl¶
eeavecr = i.
E.11.C.Le motifde Rost
E.11.14.Th ¶
eoreme . | Soit’ une n-formede Pflsteranisotr
ope,etsoitX = X ’
laquadrique
asso
ci¶
ee.A lorsilexiste
un uniquemotifM = M ’ telque
n¡ 1
’ 1 ' L › (2 ¡ 1) ;
L 2n ¡ 1 ¡ 1
(ii)
h(X )’
M (i).
i=0
(i)M
F„
ci
¶
e
¶
e lemotifde Rostasso
Ce th¶
eoreme estd^
u a Rost[186].Le motifM ’ estappel
a ’ : iljoueun r^
olecl
¶
e danslad¶
emonstration
parVoevodskyde laconjecture
de
Milnor(cf.[100,x8.1]
).
D¶
emonstr
ation
. | Voici
commentVishik
led¶
eduit
du th¶
eoreme E.11.13
:nousallons
fler).
Comme
voirqueM ’ = N 0(X ’ ).Partons
decedernier
motif(not
¶
e N poursimpli
n¡ 1
i1(X ’ )= 2 ,h(X ’ ) contien
t
L 2n ¡ 1 ¡ 1
M =
N (i)
i=0
enfacteur
direct.
D’autre
part,
lelemmeE.10.5
implique
queH (N )contien
tau moins
deuxmotifs
de Tate.En comptant,on voitsuccessiv
ement que
{ lenombrede motifs
de Tateinterv
enant dansM est‚ au nombrede motifs
de
Tateinterv
enant dansh(X );
{ M = h(X );
{ H (N ) contien
t exactemen
t deuxmotifs
de Tate;
n¡ 1
{ lemotifde Tate6
= 1 interv
enant dansH (N ) estn¶
ecessairemen
t L2
¡1
.
On a lecompl¶
ement suiv
ant :
E.11.15.Lemme . | Posonsd = 2n ¡ 2 = dimX . A lorslefacteur
L d=2 contenu
dans⁄(M ’ ) estL up .
262
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
C’estlepoint cl
¶
e du contenu de [211,x5.7]
(d¶
emonstration
de laproposition
4.8).
Le raisonnemen
t de Vishikestlesuiv
ant :⁄(M ’ (d=2))contien
t L d ,donc
CH d (H (M ’ (d=2)))= CH d (X„)= CH 0(X„)
dontleg¶
en¶
erateur
est¶
evidemmen
t d¶
eflnisurlecorpsdebase.
Ilenestdoncdem ^
eme
pour leg¶
en¶
erateur
de CH d=2(H (M ’ ))= CH d (H (M ’ (d=2)))
. Comme X n’estpas
hyperbolique,
ceg¶
en¶
erateur
estn¶
ecessairemen
thd=2,etdoncdegX (CH d=2(H (M ’ )))=
0.
Avant d’¶
enoncer
un corollaire,
donnonsuned¶
eflnition
:
E.11.16.D ¶
eflnition
. | SoitN un facteur
direct
de h(X ).On note:
{ a(N ) lepluspetit
entier
a telqueL a 2 ⁄(N ).
{ b(N ) leplusgrandentier
b telqueL b 2 ⁄(N ).
{ t(N )= b(N )¡ a(N ) (c’est
latail
lede N ).
E.11.17.Corollair
e. | SoitX une quadrique
anisotr
ope de dimensiond. Soit
a < i1(X ),etsoit
N un facteur
dir
ectind¶
ecomposable
deh(X ) telqueL a 2 ⁄(N ).Si
a < d=2,on a N ’ N 0(X )(a).Sia = d=2,on a N ’ N 0(X )(a) ou N ’ N 0(X ) selon
queL a = L lo ou queL a = L up .
.Pourled¶
emontrer,
rappelonsque
Cet ¶
enonc
¶
e recouvre
lecontenu de [211,x5.7]
N 0(X )(a)estfacteur
direct
de h(X )d’apr
esleth¶
eoreme E.11.13
.Sia < d=2,⁄(N )\
⁄(N 0(X )(a))6
= ;, d’ou l’assertion.
Supposonsmaintenan
t a = d=2. Alorsd=2 <
i1(X ), donc d’apr
es laproposition
E.6.6
, X estd¶
eflniepar une formede Pflster.
texactemen
tdeuxmotifs
ind¶
ecomposables
D’apr
esleth¶
eoreme E.11.14
,h(X )contien
N 0 tels
queL d=2 2 ⁄(N 0),a savoirN 0 = N 0(X )etN 0 = N 0(X )(d=2).L’¶
enonc
¶
e r¶
esulte
doncdu lemme E.11.15
.
E.11.D. La taille
du motifinitial
E.11.18.Th ¶
eoreme . | SoitX une quadrique
anisotr
ope.A lors:
a) t(N 0(X ))= dimes(X ).
b) N 0(X )’ N 0(X )_ (dimes(X )).
4.7de[211];ladeuxi
eme partie
La premierepartie
deceth¶
eoreme estlecorollaire
estun casparticulier
du th¶
eoreme 4.19de op.cit.
La d¶
emonstration
sefait
en deux
¶
etapes:
1.Le casi1(X )= 1.
2.R ¶
eduction
au cas(1).
Pourl’
¶
etape (1),nousproposonslad¶
emonstration
suiv
ante,difi¶
eren
tede celle
de
Vishik:posonsN = N 0(X ) etK = F (X ).D’apr
es(E.10.7)
,on a
h(X )K ’ 1 ' h(X 1)(1)
' Ld
E.11.F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET MOTIFS
¶
: TH EORIES
DE R OST
ET DE VISHIK
263
ou X 1 estlaquadrique
anisotrop
e d¶
eflnieparq1.On a aussi
N K ’ 1 ' N 0:
D’autre
part,
–(N )= –(N K )= 1 + –(N 0)
estpair(lemmeE.10.5
),donc–(N 0) estimpair.
En r¶
eappliquan
t lelemme E.10.5
,
0
ilen r¶
esulte
que N n’est
pasfacteur
direct
de h(X 1)(1)
.Maisalors
on a forc
¶
ement
L d 2 ⁄(N ),cequid¶
emontre(a).
Pour(b),on observ
e que N _ (d) estfacteur
direct
de h(X )_ (d) ’ h(X ) etque,
_
d’apr
es(a),
⁄(N )\ ⁄(N (d))6
= ; eton conclut
parlaproposition
E.11.7
.
L’¶
etape (2)estune m ¶
ethode devenue classique
dans lesujet.
Ily a plusieurs
manieresde faire
cetter¶
eduction
: dans[86,d¶
em. du lemme 7.9]
,Izhboldinutilise
une tec
hniqueg¶
en¶
erique.
Vishik
,poursa part,d¶
emontreque X contien
t une sousquadrique
Y telle
que X … Y eti1(Y ) = 1 [211,sublemma5.25]
.Sii1(X ) = 1,il
n’ya riena d¶
emontrer.
Supposonsque i1(X ) > 1.Alorstoutesous-quadrique
Z de
codimension
1 eststablemen
tbirationnellemen
t¶
equiv
alen
tea X (lemmeE.7.1(c))et
on s’entire
parr¶
ecurrence
surd = dimX .
Le th¶
eoreme E.11.12
montremaintenan
t queN 0(X )’ N 0(Y ).D’apr
esleth¶
eoreme
E.11.13
,N 0(X )(i1(X )¡ 1)estfacteur
direct
de h(X ),cequiimplique
a priori
que
b = b(N 0(X ))• dimes(X ). Pourmontrerl’in
¶
egalit
¶
e inverse,
Vishikobserv
e que le
lemme E.10.6
implique
d’abordqueb > d=2,puisqueb > d¡ i1(X )parcequeN F (X ),
etdonch(X )F (X ),contien
t un facteur
direct
isomorphe
a L b.
Le corollaire
E.8.4d¶
ecoule
imm ¶
ediatemen
t desth¶
eoremesE.11.12
etE.11.18
.On
d¶
eduitaussi
du th¶
eoreme E.11.18
lecorollaire
suiv
ant,d^
u a Karpenko [110,th.6.4]
:
e deX verselle-m
^
eme,ou X est
E.11.19.Corollair
e. | Soitfi unecorrespondanc
ope tel
lequei1(X )= 1.A lors„(fi)· „(fi t) (mod 2),ou fi t est
unequadrique
anisotr
lacorrespondanc
e transpos¶
eeet„ estlamultiplicit
¶
e (cf.E.10.F
).
. | Soit… leprojecteur
d¶
eflnissan
t N 0(X ) : on a „(…) = 1 (cf.fln
D¶
emonstr
ation
de E.10.F
).On a doncparE.10.F(2)
„(fi)= „(…fi…):
Le th¶
eoreme E.11.18
implique
en particulier
que… = …t.On a donc
(…fi…)t = …fi t…:
Rappelonsque End(N 0(X ))= F2 ou F2 ' F2 ,ou = 1 ¡ ¿ 2 E nd(h(X ))est
l’
¶
el
¶
ement du th¶
eoreme E.11.2(prop
osition
E.11.5
).SoitA = End(N 0(X ))dansle
premier
casetA = End(N 0(X ))=h i danslesecond.
Remarquonsque t = ,doncla
transp
osition
induit
uneinvolution
de A ’ F2,etcette
involution
estn¶
ecessairemen
t
l’iden
tit
¶
e.Ainsi
(…fi…)t = …fi…
dansA .
264
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
D’autre
part,
„( )= „(1)¡ „(¿⁄ )= 0 parE.10.F(4).
On obtien
t doncflnalemen
t,
mo dulo2 :
„(fi)= „(…fi…)= „((…fi…)t)= „(…fi t…)= „(fi t)
comme demand¶
e.
E.11.E.Motifssup¶
erieurs.
| SoitX unequadrique
anisotrop
e de dimension
d,
d’¶
equation
q = 0,etsoit(i1;:::;ih ) sasuite
de d¶
eploiemen
t (d¶
eflnition
E.6.1
).Pour
0 • r • h,posons¶
egalemen
t
Xr
Ir =
it:
t=1
AinsiIr estl’indice
de Wittde qF r (voirencored¶
eflnition
E.6.1
).
existe
un facteur
dir
ect
E.11.20.Th ¶
eoreme . | Soitr 2 [0;h[. Supposonsqu’il
ind¶
ecomposable
N de h(X ) telquea(N )2 [Ir;Ir+1 [.A lors:
a) Pour toutj 2 [Ir;Ir+1 [,N (j¡ a(N ))estfacteur
dir
ectde h(X ).
b) On a t(N )= dimes(X r).
c) On a N ’ N _ (2a(N )¡ dimes(X r)).
Ce th¶
eoreme est¶
equiv
alen
t a [211, th.4.13et cor.4.14]
. Pour d¶
emontrer(a),
Vishik
distingue
deuxcas:j ‚ a(N ) etj • a(N ).Dans lepremier,
lad¶
emonstration
estanalogue
a celle
du th¶
eoreme E.11.13
([211,x5.8]
; ilutilise
lesmotifs
desgrassmanniennes
quadratiques
du xE.6.B
).Ensuite,
ilrameneledeuxi
eme au premier
par
dualit
¶
e.
Nous proposonslad¶
emonstration
suiv
antede (b),un peu difi¶
eren
tede celle
de
Vishik: danslecasr = 0, c’est
d¶
eja connu (th¶
eoreme E.11.13
, corollaire
E.11.17
,
th¶
eoreme E.11.18
).A partir
de la,on procedepar r¶
ecurrence
surr de lamaniere
suiv
ante.
E.11.21.Lemme (cf.[211,sublemma5.29]
). | b(N )• d ¡ Ir.
D¶
emonstr
ation
. | En efiet,supposonslecontraire.
Alorsa(N _ (d))= d¡ b(N )< ir.
Observ
onsqueN _ (d) estfacteur
direct
(ind
¶
ecomposable)
de h(X )_ (d)’ h(X ).Par
r¶
ecurrence,
on a
t(N )= t(N _ (d))= dimes(X s)= d ¡ Is + 1
pourun s < r.Maisalors
b(N )= a(N )+ d ¡ Is + 1 ‚ d + Ir ¡ Is + 1 > d + 1
cequiestimpossible.
E.11.F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET MOTIFS
¶
: TH EORIES
DE R OST
ET DE VISHIK
265
direct
deh(X r)(Ir).Parcons
¶
equen
t,
LelemmeE.11.21
implique
queN F r estun facteur
N 0 = N F r (¡ Ir) estfacteur
direct
de h(X r),eta(N 0) < i1(X r).Ilr¶
esulte
du corollaire
E.11.17
queN 0 contien
tN 0(X r)(a(N 0))enfacteur
direct,
etd’apr
esleth¶
eoreme E.11.18
que
t(N )= t(N 0)‚ dimes(X r):
Gr^
acea lapartie
(a)du th¶
eoreme E.11.20
,on peutsupposerquea(N )= Ir+1 ¡ 1.
Alorst(N )‚ dimes(X r)) b(N )‚ Ir+1 + dim(X r)¡ ir+1 = d¡ Ir,doncb(N )= d¡ Ir
gr^
aceau lemme E.11.21
, d’ou (b).Enfln,pour (c),on remarqueque d ¡ b(N ) 2
[Ir;Ir+1 [eton applique
laproposition
E.11.7
.
E.11.22.Corollair
e. | Pour N comme dansleth¶
eoreme E.11.20
, on a b(N ) ‚
d=2.
D¶
emonstr
ation
. | En efiet,on a
b(N )= a(N )+ t(N )‚ Ir + dimes X r = Ir + d ¡ 2Ir ¡ ir+1 + 1 = d ¡ Ir+1 + 1
‚ d=2.
etcetentier
esttoujours
Le corollaire
E.11.22
implique
pardualit
¶
e quea(N )• d=2 pourtoutfacteur
direct
N deh(X ):ainsi
leth¶
eoreme E.11.20
d¶
ecrit
touscesfacteurs
dir
ects
.
ind¶
ecomposable
En particulier
:
E.11.23.Corollair
e ([211,th.4.19]
). | Toutfacteur
dir
ectind¶
ecomposable
N du
motifd’unequadrique
estpolarisable
:ilexiste
un entier
r telqueN _ ’ N (r).
On en d¶
eduit:
E.11.24.Corollair
e. | Soient
N ;N 0 deuxfacteurs
dir
ectsind¶
ecomposables
demotifs
de quadriques
etsoitf : N ! N 0 un morphisme.Supposonsque fK soitun
isomorphisme,
ou K =F estune extension.
A lorsf estun isomorphisme.
D¶
emonstr
ation
. | En tenan
t comptedu corollaire
E.11.23
,c’est
lam ^
eme que celle
du corollaire
E.10.15
(c)(onobserv
e d’abordque,n¶
ecessairemen
t,a(N ) = a(N 0) et
b(N )= b(N 0)).
E.11.25.R emar que. | Vishik
m’adonn¶
e un exempleou,bienquet(N )= dimes(X r)
dansleth¶
eoreme E.11.20
,N F r n’est
pasisomorphe
a un twistde N 0(X r) :ilprend
unesous-forme
q de codimension
1 d’uneformep de dimension
12 telle
quep 2 I3F .
SiX estlaquadrique
corresp
ondante(dedimension
9),on a h(X ) = N 0(X )' N
ou N estind¶
ecomposable
(avec⁄(N ) = fL;L 3;L 6;L 8g).Maisq1 estune voisine
de
Pflster(cer¶
esulat
estd^
u a Izhboldin),
doncN 0(X 1) estun motifbinaire
d’apr
esle
ecomposable.
cf.[211,p.77]
.
th¶
eoreme E.11.14
,cequimontrequeN F 1 estd¶
266
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
¶
E.11.F.Equivalencemotivique
E.11.26.Th ¶
eoreme . | Soientq;p deuxformesquadr
atique
s,m; n ‚ 0 etX ;Y
lesquadriques
asso
ci¶
ees.Supposonsque,pour touteextension
K =F, lesconditions
i(pK )> n eti(qK )> m soient
¶
equivalentes.
Supposonsqueh(Y ) admetteun facteur
dir
ectind¶
ecomposable
N telque a(N ) = n. A lorsh(X ) admet N (m ¡ n) comme
facteur
dir
ect.
C’estleth¶
eoreme 4.17de [211].Sa preuv
e estdans[211,x5.9]
:c’est
uneg¶
en¶
erali
sationde celle
de l’implication
) dansleth¶
eoreme E.11.12
,quirepose¶
egalemen
t
surleth¶
eoreme E.11.10
etutilise
lesgrassmanniennes
quadratiques.
En voicideux
corollaires
:
E.11.27.Corollair
e. | SoitX unequadrique
anisotr
ope,etsoit
r 2 [0;h[ou h est
lahauteur
deX .On prendlesnotations
delad¶
eflnition
E.6.1
. Supposonsqu’il
existe
(r+1)
(r+1)
unequadrique
anisotr
ope Y tel
lequeY … X
,ou X
estunegrassmannienne
othese
¶
equivalent
a F r+1 (cf.xE.6.B).A lorsl’hyp
quadr
atique
de corpsdesfonctions
du th¶
eoreme E.11.20
estv¶
eri
fl¶
ee.
D¶
emonstr
ation
. | C’estlecasparticulier
n = 0 du th¶
eoreme E.11.26
.
¶
E.11.28.Corollair
e (Equivalencemotivique)
. | SoientX ;Y deuxquadriques
anisotr
opesde lam ^
eme dimension.
A lorsh(X ) ’ h(Y ) sietseulement
sii(X K ) =
i(YK ) pourtouteextension
K =F.
C’est
l’undesplusbeauxr¶
esultats
deVishik,
leth¶
eoreme 4.18de[211].La n¶
ecessit
¶
e
r¶
esulte
facilemen
t du th¶
eoreme E.11.26
;pourlasu– sance,
Vishikremarquesimplede Y ) ((code))lesindices
de Witt sup¶
erieurs
(cf.
ment que lemotifde X (oucelui
lemme E.10.6
).
Izhboldina remarqu
¶
e:
E.11.29.Proposition([84,cor.2.9]
). | Si danslecorollair
e E.11.28ladimensioncommune deX etY estimpair
e,alors
sesdeuxconditions
¶
equivalentes
¶
equivalent
encore a X ’ Y .
D¶
emonstr
ation
. | En efiet,choisissons
deux ¶
equations
q;q0 de X et Y . Quittea
0
m ultiplier
q parun scalaire,
on peutsupposerque q ? ¡ q0 2 I2F (lemmeE.4.4
).
Parhypothese,lecorpsF 1 = F (q) estun corpsd’isotropie
g¶
en¶
erique
comm un a q et
q0.Parr¶
ecurrence
surlahauteurcomm unede q etq0,on peutsupposerqueq1 ’ q10 ;
autremen
t dit,
(q ? ¡ q0)F 1 » 0.En appliquan
t leth¶
eoreme E.6.12
de Fitzgerald
(ou
laversion
plusfaible
obten
ueplus¶
el
¶
ementairemen
tparIzhboldin
dans[84,cor.1.2]
),
0
on end¶
eduitqueq ? ¡ q estsoit
hyperbolique,
soit
semblable
a uneformedePflster.
Maisledeuxi
eme casestimpossible
puisque
dimq = dimq0 estimpaire.
E.11.F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET MOTIFS
¶
: TH EORIES
DE R OST
ET DE VISHIK
267
E.11.G. La taille
d’un motifbinaire
E.11.30.D ¶
eflnition
. | Un motifN 2 Mot(F )tate estbinair
e siH (N ) estde la
formeL a ' L b.
Le th¶
eoreme suiv
ant estl’undesr¶
esultats
lesplusprofonds
de Vishik:
E.11.31.Th ¶
eoreme ([211,th.4.20]
). | SoitN un motifbinair
e,facteur
dir
ect
du motifd’unequadrique
anisotr
ope X .A lorst(N ) estde laforme2n ¡ 1.
Sa d¶
emonstration
originelle
[211, d¶
em. de Statemen
t 6.1]utilise
lesop¶
erations
de Steenro
d motiviques
de Voevodsky: elle
estrepro
duitedans[91, th.6.1]
. Plus
r¶
ecemment,Karpenko etMerkurjev
ont donn¶
e dans[115]une d¶
emonstration
n’utilisan
t quelesop¶
erations
construites
parBrosnan(cf.E.10.G
).
E.11.32.R emar que. | Vishikprouve plus: sidimes X = 2n ¡ 1 (casauquel
on peuttoujours
seramener),
alorsKer(H n +1 (F;Z=2) ! H n +1 (F (X );Z=2))6
= 0.
Karpenko etMerkurjev
ne retrouv
ent pascecompl¶
ement.Ilestdirectemen
t li
¶
e a la
conjecture
ci-dessous
(cf.[104,((conjecture
))¶
enonc
¶
eeapreslecorollaire
2 de l’in
troduction]
:cette
conjecture
pr¶
editquelenoyau pr¶
ec¶
edentestengendr
¶
e parun symbole
nousrenvoyonsa l’article
[91]d’Izh(a1;:::;an +1 )).Pourdescompl¶
ementsla-dessus,
boldinetVishik.
E.11.33.Conjecture. | SoitN un facteur
dir
ectind¶
ecomposable
binair
e du motif
n
d’unequadrique,
de tail
le2 ¡ 1.A lorsilexiste
une (n + 1)-formede Pflster’ tel
le
queN soitde laformeN 0(X ’ )(a).
C’estlaconjecture
4.21de [211],cf.aussi[111,conj.
1.6]:elle
implique
que,si
touslesfacteurs
ind¶
ecomposables
de h(X ) sont binaires,
laquadrique
anisotrop
eX
estd¶
eflnieparuneformeexcellen
te.Elleestconnue pourn • 2 (facilemen
t)etpour
n = 3 (Karpenko [111]).
E.11.H. Compl ¶
emen tssurlemotifinitial.
| SoitX unequadrique
anisotrop
e.
La proposition
E.11.7
montrequelestermesde⁄(N 0(X ))contr^
olen
tdansunecertaine
mesurequelsmotifs
sup¶
erieurs
interviennen
t dansleth¶
eoreme E.11.20
,etpr¶
esen
tent
aveclasuite
de d¶
eploiemen
t de X .Vishika explicit
¶
e cette
obdoncune interaction
serv
ationdansun certain
nombrede th¶
eoremes.
E.11.34.Notation. | Gardonslesnotations
du th¶
eoreme E.11.20
.Soitr 2 ]1;h].
On note
⁄ r(X )= fn 2 [Ir;Ir+1 [jL n 2 ⁄(N 0(X ))g:
(Vishik
emploie
letermer-thshel
lpourd¶
esigner
l’ensem
ble[Ir;Ir+1 [.)
E.11.35.Th ¶
eoreme
a) Soitr 2 ]1;h].Siir < i1,alors
⁄ r(X )= ;.
268
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
b) Sii2 n’est
pasdivisible
pari1,alors
⁄ 2(X )= ;.
E.11.36.Th ¶
eoreme . | Supposonsque⁄ r(X ) = ; pourtoutr > 0. A lorsN 0(X )
estbinair
e.
L i2 ¡ 1
E.11.37.Th ¶
eoreme . | Supposonsque h(X 1) ’
(X 1)(l) (on pourr
ait
l=0 N 0L
i1 ¡ 1
dir
e queh(X 1) estengendr
¶
e par N 0(X 1)).A lorssoith(X ) ’
N
(
X
)(
l
)
,
soit
0
l=0
N 0(X ) estbinair
e (les
deuxcas¶
etantpossibles
simultan
¶
ement).
Ce sont resp
ectiv
ement lesth¶
eoremes 7.7,7.8et7.9de [211]:ilssed¶
emontren
t
pardesargumentsdecomptage.
Nousrenvoyonsa [211,x7]pourlesd¶
emonstrations,
ou laissons
au lecteur
leplaisir
de lesreconstituer
a partir
desr¶
esultats
expos¶
es
pr¶
ec¶
edemment.Nous leurajoutons
:
E.11.38.Th ¶
eoreme . | Supposonsque,pourr 2 [1;h], ilexiste
un facteur
dir
ect
ind¶
ecomposable
N de h(X ) telque a(N ) 2 [Ir;Ir+1 [. A lorstouslesN 0(X r) sont
binair
es.
La d¶
emonstration
estdu m ^
eme tonneau.
on peutbiens^
urajouter
ceuxsurlataille
desmotifs
sup¶
erieurs
A touscesr¶
esultats
(th¶
eoreme E.11.18
) etd’unmotifbinaire
(th¶
eoreme E.11.31
).Dans [211,x7],Vishik
utilise
cecien conjonction
avec desth¶
eoremes de structure
d’autres
auteurspour
t possibles
pourlesformesde dimension
d¶
eterminer
toutes
lessuites
de d¶
eploiemen
paire• 12 ou impaire
• 21.(Hofimann [73]avaitaupara
vant trait
¶
e lecasde toutes
lesformesde dimension
• 10.)
E.12. Quelques d¶
emonstrations
E.12.A. D ¶
emonstrationdu th¶
eoreme E.8.2.| Cetted¶
emonstration
n’utilise
paslesop¶
erations
de Steenro
d nilath¶
eorie
de Vishik
; nousallons
lasimpli
flertres
l¶
egeremen
t en utilisan
t cetteth¶
eorie,
cequinouspermetde consid
¶
ererlecorollaire
E.8.4comme connu,cf.remarquejuste
avantlecorollaire
E.11.19
,ainsi
quecedernier
E.8.4montreque l’
¶
enonc
¶
e du th¶
eoreme E.8.2eststablemen
t
¶
enonc
¶
e.Le corollaire
birationnel
enX ,etlar¶
ecipro
quedu lemme E.6.5nousr¶
eduit
alors
au casou i1(X )=
1,cequefont Karpenko etMerkurjev
plus¶
el
¶
ementairemen
t.Ilsd¶
emontren
t alors
(1)
et(2)simultan
¶
ementpardoubler¶
ecurrence
surn = dimX + dimY ,lecasn = 0 ¶
etan
t
trivial.
Soitfi 2 CH d (X £ Y ) lacorresp
ondancedonn¶
eeparlegrapheZ de l’application
rationnelle
X ˆ Y d¶
eduite
d’unpoint ferm¶
e de YF (X ) de degr
¶
e impair:alors
„(fi)
estimpair.
Supposonsd’aborddimX = dimY =: d etd¶
emontrons(2):nousallons
en fait
montrerque „(fi t) estimpair.
Supposonslecontraire,
etsoitx 2 X un point de
degr
¶
e 2 :quitte
a mo diflerfi parun m ultiple
de x £ Y ,on peutalors
supposerque
E.12.QUELQUES
¶
D EMONSTRA
TIONS
269
„(fi t)= 0.Comme deg:CH 0(X F (Y ))! Z estinjectif
(th¶
eoreme E.3.2
),celaimplique
quefi provien
t d’unecorresp
ondancefi 0 2 CH d (X £ Y 0) avecY 0 un ferm¶
e proprede
0
0
Y ,et„(fi )= „(fi)estimpair.
Choisissan
tun cycle
repr
¶
esen
tantfi ,on peutsupposer
cecycle
irr
¶
eductible
etdoncaussi
Y 0.MaisdimY 0 < dimY = dimX ,cequicontredit
(1)parr¶
ecurrence
surn.
Cettepartie
delad¶
emonstration
utilise
seulemen
tlefait
queX estunequadrique,
maispasencorel’h
ypothesei1(X )= 1;elle
va interv
enirmaintenan
t.
D¶
emontrons
maintenan
t(1).
Supposonsaucontraire
quedimY < dimX .Karpenko
etMerkurjevseramenent d’abordau casou Z ! Y estsurjectif
en rempla
cant Y
»
parl’image
de Z .Leurstrat
¶
egieestalors
lasuiv
ante:
(i)Produireunecorresp
ondance :Y ! X de m ultiplicit
¶
e impaire.
(ii)
A l’aide
de fi et ,fabriquer
unecorresp
ondance– :X ! X telle
que„(–) soit
impaire
mais„(–t)= 0,cequicontredira
lecorollaire
E.11.19
.
Pour (i),
ilsfont interv
enirune astuce: quitte
a faire
une extension
transcendantepure,cequine changepaslasituation,
on peutsupposerqueX contien
t une
0
sous-quadrique
X dem ^
eme dimension
queY etv¶
eri
flantencore
i1(X )= 1 (cette
construction
estdue a Izhboldin
;nousy avonsfait
allusion
au xE.11.D
).Si¶:X 0 ! X
estl’immersion
ferm¶
eecorresp
ondante,ils
prennen
t
= ¶⁄ ¶⁄ (fi t)
quiestbiende m ultiplicit
¶
e impaire
gr^
acea (2),
parr¶
ecurrence.
Pour(ii),
comme danslad¶
emonstration
de (2)on peut((extraire
))de unecorre0
spondance de supportT irr
¶
eductible,
telque laprojection
T ! Y soitsurjectiv
e
de degr
¶
e g¶
en¶
erique
impair.
Choisissons
maintenan
t une vari
¶
et¶
e propreS m uniede
morphismesS ! T;S ! Z g¶
en¶
eriquemen
t flnis,
lesecond¶
etan
t de degr
¶
e g¶
en¶
erique
impair(prendre
pourS unecomposanteirr
¶
eductible
convenable
deT £ Y Z ).Lesdeux
(passan
tparZ etparT )S ! X fournissen
tlacorresp
ondance– cherc
h¶
ee
projections
(ona „(–t)= 0 parceque n’est
pasdominante).
(Comme ils
leremarquen
t,siY estlisse
ilsu–t deprendre
lacompos¶
ee –fi ;on s’en
tire
danslecasg¶
en¶
eralen appro
ximant cette
construction,
parcequeleprobl
eme est
birationnel.)
E.12.B.D ¶
emonstrationdu th¶
eoreme E.8.5.| Cetted¶
emonstration
utilise
lesop¶
erations
de Steenro
d (pluspr¶
ecis
¶
ement une op¶
eration)
et,implicitemen
t,la
th¶
eoriede Vishik
, mais Karpenko exprimesa d¶
emonstration
en termesde cycles
alg
¶
ebriques
sansparler
de motifs.
Nous allons
lar¶
esumer.Celadonneraune id¶
eede
sad¶
emonstration
du th¶
eoreme E.8.6
,quiestde lam ^
eme eaumaisen pluscompliqu
¶
e.
Karpenko raisonne
parl’absurde
ensupposantqu’il
existe
unequadrique
anisotrop
eX
dedimension
d telle
quei1 := i1(X )> 2r,ou r = v2(d¡ i1 + 2).Quittea prendre
une
section
hyperplane
it
¶
er¶
ee,on peutsupposeri1 = 2r + 1 sanschangerd¡ i1 (r¶
ecipro
que
du lemme E.6.5
).En particulier,
on remarquequed estimpair
.
270
APPENDICE
E. F ORMES
QUADRA
Posons
(
i
e =
hi
TIQUES
ET CYCLES
¶
ALG EBRIQUES
sii< d=2
ld¡ i sii> d=2
r
cf.(E.10.10)
.Dans CH d¡ 2 (X„ £ X„)=2,toutcycle
fi s’
¶
ecrit
Xd
fi =
r
fi iei £ ed¡ 2
¡i
; fi i 2 F2:
i=0
Karpenko exhib
e un cyclefi, d¶
eflni surF , telque fi d¡ 2r = 1 : pour celail
prendlem ^
eme cycle
queVishik
danslad¶
emonstration
du th¶
eoreme E.11.13
,a savoir
l’adh
¶
erencedansX £ X d’unsous-espace
projectif
de dimension
2r de X F (X ).Obr
r
serv
ant queei £ ed¡ 2 ¡ i = hi £ hd¡ 2 ¡ i estd¶
eflnisurF pourd=2 ¡ 2r < i< d=2,il
mo difle fi de fa»
cona assurer
fi i = 0 pourcesvaleurs
de i.
r
r
Comme 2r < i1 • d=2, e2 estd¶
eflnisurF . Le cyclefl = fi ¢(e0 £ e2 ) s’
¶
ecrit
P
ci-dessus
fliei£ ed¡ i,avecfli = fi i pouri2 [0;d¡ 2r]:ceci
r¶
esulte
delanormalisation
etdesformules(E.10.11)
.Consid
¶
eran
t maintenan
t fl comme une corresp
ondancede
X verslui-m
^
eme,lesth¶
eoremesE.11.13
etE.11.18
impliquen
t
(E.12.1)
fli = fld¡ i1 +1+ i = fld¡ 2r + i pouri2 [0;2r]:
Comme on a ¶
evidemmen
t fli = 0 pouri 2 [d ¡ 2r + 1;d],(E.12.1)
implique
que
r
fli = 0 pouri2 [1;2 ],etdoncque
(E.12.2)
fi 1 = ¢¢¢= fi 2r = 0
(remarquer
que2r • d ¡ 2r).
r
Karpenko consid
eremaintenan
t lacorresp
ondancede degr
¶
e 0 = S 2 (fi). Ilva
obtenir
unecontradiction
enmontran
t parun calcul
que(avecdesnotations
analogues
aux pr¶
ec¶
edentes) d = 0,etparun autrecalcul
que d = 1.
Pourlepremier
calcul,
en r¶
eappliquan
t (E.12.1)
,ilsu–t de montrerque 2r = 0 :
tde(E.12.2)
enappliquan
tsimplemen
tlespropri
¶
et¶
es(2)
maiscelad¶
ecoule
trivialemen
(form
ulede Cartan),
(3)(pourn = 0) et(4)desop¶
erations
de Steenro
d (xE.10.G
).
r
Pourlesecondcalcul,
l’
¶
egalit
¶
e fi d¡ 2 = 1 (quin’apasencore
¶
et¶
e utilis
¶
ee!)implique
que
r
r
r
r
r
S 2 (ed¡ 2 £ e0)= d (ed £ e0),etdoncqueS 2 (ed¡ 2 )= d ed ouencore
S 2 (l2r )= d l0.
Maisen appliquan
t (E.10.13)
,on obtien
t
¶
d ¡ 2r + 1
2d
r
l0
S (l2 )=
2r
¡ r ¢
et d¡ 22r +1 estimpair.
APPENDICE
SOLUTION
F
DE CER TAINS EXER CICES
Chapitre1
Exercice1.6.1.| SoitN = jF ⁄ =F ⁄2j,etsoit’ une N + 1-formede Pflster.
On
a ’ ’ hha;a;:::ii pourun a convenable.
Comme ¡ 1 2 F ⁄2, hha;aii ’ hha;¡ aii est
isotrop
e,donchyperbolique.
Donc ’ » 0 etIN +1 F = 0.Comme In F =In +1 F estun
⁄
⁄2 › n
quotien
t de (F =F ) pourtoutn,cequotien
t estflnipourtoutn etdoncW (F )
estflni.
Sil’onretire
l’h
ypothese¡ 1 2 F ⁄2,ler¶
esultat
n’est
plusvraien g¶
en¶
eral:on a
W (R )’ Z.
Chapitre2
Exercice2.5.2
a) a 2 D 2(q) , 9 b;c 2 D (q) : a = b=c, D (q)\ D (aq) 6
= ; , q ? ¡ aq est
isotrop
e.
b)C’est¶
eviden
t parexempleen utilisan
t a).
c)La premiereinclusion
estclaire
en utilisan
ta),puisque
a 2 G (q), q ? ¡ aq est
La deuxi
eme est¶
egalemen
t imm ¶
ediate
en utilisan
t a).
hyperbolique.
d)C’est¶
eviden
t puisque
D (q)‰ D (q0).
e)Siq estuneformede Pflster,
on a G (q)= D (q),d’ou G (q)= D 2(q).D’apr
esb),
celas’
¶
etendau casou q estsemblable
a uneformede Pflster.
R¶
ecipro
quement,supposonsque G (qK ) = D 2(qK ) pour touteextension
K =F.
Quittea m ultiplier
q parun scalaire,
on peutsupposerque1 2 D (q);alors
D (qK )‰
D 2(qK )pourtouteextension
K =F.On a doncD (qK )‰ G (qK ),d’ou D (qK )= G (qK )
pourtoutK =F.Celaimplique
queq estuneformede Pflster.
f)On a G (q)‰ D 2(q)d’apr
esc),D 2(q)‰ D 2(‚’)pour‚ 2 F ⁄ convenable
d’apr
es
d),D 2(‚’)= D 2(’) d’apr
esb)etD 2(’)= G (’) d’apr
ese).
272
APPENDICE
F. SOLUTION
DE CER T AINS EXER CICES
g)D’apr
esd),on a D 2(q) ‰ D 2(’).R ¶
ecipro
quement,sia 2 D 2(’),’ ? ¡ a’ est
isotrop
e d’apr
esa),donchyperbolique
puisque
c’est
une formede Pflster.
Soitq0 la
formecompl¶
ementaire
de q.On a
q ? ¡ aq» aq0 ? ¡ q0:
Comme dimq0 < dimq, celaimplique
que q ? ¡ aq estisotrop
e,doncque a 2
D (q).La deuxi
eme a–rmationr¶
esulte
de e).
2
h)Soitq anisotrop
ededimension
3 :elle
estdoncvoisine
d’une2-forme
dePflster
’.
Soitq0 saformecompl¶
ementaire.
Comme G (q)‰ G (’)d’apr
esf),on a G (q)‰ G (q0).
Mais dimq0 = 1, d’ou G (q0) = F ⁄2 et donc G (q) = F ⁄2. D’autrepart,D 2(q) =
D 2(’)= D (’),quiesteng¶
en¶
eral
difi¶
eren
tdeF ⁄2 :si’ = hha;bii,alors
¡ a;¡ b 2 D (’).
SiparexempleF = k(a;b) ou a etb sont desind¶
etermin
¶
eessurk,on a ¶
evidemmen
t
¡ a;¡ b 2= F ⁄2.
Chapitre3
Exercice3.4.1.| Parhypothese,diman ’ F (ˆ ) < 2n ,doncparleHauptsatz
(th¶
eoreme 3.3.1
) ’ F (ˆ ) » 0;parcons
¶
equen
t,’ ’ ˆ › ¿ pourun ¿ convenable(corollaire
3.2.5
).On a dim¿ < 2n ¡ l + 1, donc dim¿ • 2n ¡ l, dim’ • 2n et ’ 2 GP n (F )
(corollaire
4.3.7
).On sait
qu’alors
on peutchoisir
¿ 2 GP n ¡ l(F )(prop
osition
2.4.11
).
Exercice3.4.2.| On a ¶
evidemmen
t q0 » ’ 0 ? ·0.Siq0 ? ¡ ’ 0 estanisotrop
e,on a
0
0
0
0
0
e,cela
· ’ q ? ¡ ’ .Supposonsq ? ¡ ’ isotrop
e.On a qK0 (’ ) » 0;si’ K estisotrop
0
0
0
0
implique
queq = 0 (lemme2.4.1
etproposition
3.1.1
b)),d’ou · ’ ¡ ’ = q ? ¡ ’ 0.
0
0
e,on a ’ = ’ ;comme D (q )\ D (’ 0)6
Si’ K estanisotrop
= ;,parleth¶
eoreme de la
sous-forme
3.2.4
ilexiste
‰ telqueq0 ’ ’ 0 ? ‰.Maisalors
n¶
ecessairemen
t ‰ ’ ·0 et
doncq0 ’ ’ 0 ? ·0.
Chapitre4
Exercice4.5.1.| Soien
t F r = F (un ;p ¡ u n u n ¡ 1 ;:::;un ¡ 2r+2 ;p ¡ u n ¡ 2r +2
L r = F r(u1;:::;un ¡ 2r).On a
un ¡
2r +1
) et
qL r » hu1;:::;un ¡ 2ri
doncpourvoirquei(qL r )= 2r,ilsu–t de voirquehu1;:::;un ¡ 2riestanisotrop
e sur
L r.Celased¶
emontreparr¶
ecurrence
surr comme danslecasd’uneformede Pflster
g¶
en¶
erique.
On saitque h(q) • [n=2].Comme i(qL ) peutprendretoutes
lesvaleurs
paires
entre0 et2[n=2],h(q) vautn¶
ecessairemen
t [n=2].
SOLUTIONS
CHAPITRE
5
273
Exercice4.5.2
a)Sim = n,alorŝ 2 GP n (F ) d’apr
eslecorollaire
4.3.7
.
b)Supposonsm = n ¡ 1.Alorsdimˆ ‚ 2n ¡ 1.Soien
t L lecorpsdominant de ˆ et
¿ saformedominante.D’apr
esleth¶
eoreme 4.4.1
,…L estsemblable
a unesous-forme
de ¿,soit¿ ’ aˆ L ? ‰.On a aˆ L · ¡ ‰ (mod Jn (L)),doncdeg(‰) = deg(ˆ L ) ‚
deg(ˆ) = n ¡ 1. Par cons
¶
equent dim‰ ‚ 2n ¡ 1, d’ou dimˆ = dimˆ L = 2n ¡ 1 et
ˆ 2 GP n ¡ 1(F ).
Exercice4.5.3.| Sin = degq+ 1,l’exercice
4.5.2
implique
queq 2 GP (F ),donc
que q 2 P (F ) puisqueq repr
¶
esen
te1. Mais alors
a 2 D (q) = G (q), contradiction.
Supposonsmaintenan
t n > degq + 1.Parleth¶
eoreme 3.2.4
,on peut¶
ecrire
q’ ’ ? ‰
aq’ ’ ? ‰0
Alorsh1;¡ ai› q » ‰ ? ¡ ‰0,cequidonne
avec‰;‰0 convenables.
2deg q+2 • diman (h1;¡ ai› q)• 2(dimq ¡ dim’)
ou 2deg q+1 • dimq¡ dim’.En additionnan
tcette
in¶
egalit
¶
e aveccelle
del’h
ypothese,
on obtien
t 2deg q < dim’.Maisalors
qF (’ ) ne peutpas^
etrehyperbolique,
d’apr
esle
th¶
eoreme 4.4.1
.
Exercice4.5.4
a)Soitq1 = (qF (q))an .Alors(F (q);’ F (q);q1)v¶
et
eri
fle leshypothesesde l’exercice,
N (q1)< N (q).Parminimalit
¶
e,N (q1)= 0,doncq1 2 GP (F ) eth(q)• 2.Comme on
supposequeN (q)> 0,on a h(q)= 2.
b) Soita 2 D (q).Comme dansl’exercice
4.5.3
,¶
ecriv
onsq ’ ’ ? ‰,aq ’ ’ ? ‰1,
d’ou h1;¡ ai› q » ‰ ? ¡ ‰1.On a (‰ ? ¡ ‰1)F (q) » 0 et
N (‰ ? ¡ ‰1)= dim‰ + dim‰1 ¡ 2deg(< 1;¡ a> › q)
• 2(dimq ¡ dim’)¡ 2deg(q)+1 = 2N (q)¡ 2dim’ < 2dim’
d’ou N (‰ ? ¡ ‰1)= 0 parminimalit
¶
e.Ainsi, = ‰ ? ¡ ‰1 2 GP (F ).
c)Pourtouteformeˆ surF ,notonsˆ 0 = (ˆ K )an .En particulier,
q0 = q1.Par
l’exercice
3.4.2
, on a soitq0 ’ ’ 0 ? ‰0, soit‰0 ’ q0 ? ¡ ’ 0. Mais q0 6
= 0 et
0
0
0
0
0
qK (’ ) » 0 implique
que ’ = ’ K . L’isom
¶
etrie
‰ ’ q ? ¡ ’ impliquerait
donc
2deg q + dim’ • dim‰ = dimq ¡ dim’,soitN (q) ‚ 2dim’,contrairemen
t a l’h
y0
0
0
0
0
0
pothese.
P arcons
¶
equent,on a q ’ ’ ? ‰ ,etde m ^
eme aq ’ ’ ? ‰1,d’ou
diman (< 1;¡ a > › q0)• dim‰0 + dim‰01 = 2(2deg q ¡ dim’)< 2deg(q)+1
donc< 1;¡ a > › q0 » 0 etaqK ’ qK .En appliquan
t l’exercice
4.5.3
,ilen r¶
esulte
queaq’ q,c’esta-dire
quea 2 G (q).
274
APPENDICE
F. SOLUTION
DE CER T AINS EXER CICES
d) SoitK = F (T1;:::;Tr;U 1;:::;U r),avec r = dimq.Alors(K ;’ K ;qK ) v¶
eri
fle
leshypothesesde l’exercice.
Parc),on a doncG (qK )= D (qK ).En particulier,
q est
m ultiplicativ
e(d¶
eflnition
2.4.9
).Maisalors
q 2 P (F )(th¶
eoreme 2.4.10
),contradiction.
Chapitre5
Exercice5.8.3.|
R¶
ecurrence
surs.Le cass = 1 estconnu :danscecas,on a
q ? ¡ q1 ’ a‰
pourun a 2 F ⁄ convenable.
Supposonss > 1.On distingue
deuxcas:
a)Sis estimpair,
s ¡ 1 estpair.
On applique
lar¶
ecurrence
a q1,dont qs estla
descen
tede la(s ¡ 1)-i
eme formenoyau.On obtien
t queq1 ’ ’ 1 ? (¡ 1)s¡ 1qs,avec
’ 1 excellen
te.Parcons
¶
equent
q ? (¡ 1)sqs ? ¡ ’ 1 ’ a‰
etq ? (¡ 1)sqs estbienexcellen
teetvoisine
de ‰.
0
b)Sis estpair,
s¡ 1 estimpair,
doncq = q1 ? (¡ 1)s¡ 1qs estexcellen
teetvoisine
de ‰1.Comme ‰1 • ‰,ilexiste
b 2 F ⁄ et’ tels
que¡ q0 ? ’ ’ b‰,soit
(¡ 1)sqs ? ’ ? ¡ q1 ’ b‰:
On en d¶
eduitque hb;¡ ai› ‰ » (¡ 1)sqs ? ’ ? ¡ q estisotrop
e,donchyperbolique,
etdoncqueq ’ (¡ 1)sqs ? ’.
On a dimq0 • dim‰1 • 21 dim‰, donc dim’ ‚ 21 dim‰. Supposonsdim’ >
1
de ‰, de formecompl¶
ementaire
q0 quiestexcellen
te,
2 dim‰. Alors’ estvoisine
1
et ’ estexcellen
te.Supposonsmaintenan
t dim’ = 2 dim‰. Cettecondition
est
egalit
¶
e a lieu
sietseulemen
t si
¶
equiv
alen
tea dimq0 = dim‰1 = 21 dim‰.La premiere¶
0
s¡ 1
q = q1 ? (¡ 1) qs estsemblable
a ‰1 ;ceciseproduitsietseulemen
tsis = 2.Dans
te.
a ‰1,doncestencoreexcellen
cecas,’ estsemblable
Exercice5.8.4
a) Siq estvoisine
de laformede Pflster…, on a q ? q0 ’ a… avec q 2 F ⁄ et
0
n
dimq = 2 ¡ m .Alors(qF (q))an ’ qF0 (q) (th¶
eoreme 5.4.3
),donci(qF (q))= m .
n
b) Sidimq = 5 (plusg¶
en¶
eralemen
t sidimq = 2 + 1),q a d¶
eploiemen
t maximal
d’apr
eslecorollaire
5.2.8
.Supposonsqueq soit
unesous-forme
d’uneformed’Alb
ert
anisotrop
e etvoisine
d’une3-formede Pflster’.Ilexiste
alors
a 2 F ⁄ telque
diman (a’ ? ¡ )• 8 + 6 ¡ 2 £ 5 = 4:
Comme a’ ? ¡ 2 I2F ,¿ = (a’ ? ¡ )an estsemblable
a une2-formede Pflster.
La forme¿ estanisotrop
e,sansquoi’ serait
isotrop
e,donchyperbolique,
etq serait
isotrop
e.Mais
a’ F (¿) »
F (¿)
SOLUTIONS
CHAPITRE
6
275
donc’ F (¿) estisotrop
e,donchyperbolique
et F (¿) » 0.D’apr
eslecorollaire
3.2.5
,¿
divise,cequiestabsurdepourdesraisons
de dimension.
c)On a q0 … q d’apr
eslelemme5.1.4
c);enparticulier,
q0 estvoisine
sietseulemen
t
0
0
siq l’est
(th¶
eoreme 5.3.4
).De plus,
i(qF (q0))= i(qF (q)).SurF (q),on a q ’ q1 ? m H ,
avecdimq1 = 2n ¡ m ,etq ’ q0 ? q00 avecdimq00 = m ¡ m 0.D’ou
q0 » q1 ? ¡ q00
avecdim(q1 ? ¡ q00)= 2n ¡ m 0.Parcons
¶
equent,i(qF0 (q))‚ m 0,d’ou i(qF0 (q))= m 0 par
lecorollaire
5.2.8
.
Exercice5.8.5
a) Soien
t ’ 1;’ 2 deux n-formes
de Pflsteranisotrop
escontenan
t une sous-forme
⁄
semblable
a q.Ilexiste
donca1;a2 2 F tels
que
i(a1’ 1 ? ¡ a2’ 2)> 2n ¡ 2
d’ou i(’ 1 ? ¡ ’ 2)‚ 2n ¡ 1,et(’ 1 ? ¡ ’ 2)an 2 GP n (F ) parleth¶
eoreme 2.3.2
.
Soit’ lan-formede Pflsterasso
ci
¶
ee.Ilreste
a voirque,si’ estanisotrop
e,elle
⁄
contien
t unesous-forme
semblable
a q.Mais’ » b(’ 1 ? ¡ ’ 2) pourun b 2 F ,d’ou
’ F (q) » b(’ 1)F (q) ? ¡ b(’ 2)F (q) » 0:
La conclusion
r¶
esulte
alors
du th¶
eoreme d’Arason-Cassels-P
flster.
a),… est
b) Soien
t E = F (T1;:::;Tn ) et… = hhT1;:::;Tn ii. Par lelemme 5.2.6
anisotrop
e surE , et qE est¶
egalemen
t anisotrop
e puisqueE =F esttranscendan
te
pure.Consid
¶
eronslaforme~
q = … ? ¡ qE .
Soit(E 0;~
q0);(E 1;~
q1);:::;(E h ;~
qh ) latourde d¶
eploiemen
t g¶
en¶
eriquede q
~. L’hypothesesurdimq montrequelesconditions
du corollaire
5.2.4
sontv¶
eri
fl¶
ees.
Ilexiste
e,(qE i )an • …E i etque E i(…)=E(…) soittrandonci < h telque …E i soitanisotrop
scendan
tepure.
Parlelemme 5.2.6
b),E (…)=F esttranscendan
tepure,doncE i(…)=F esttranscendantepure.Ilen r¶
esulte
queqE i(… ) estanisotrop
e.On
e,etdoncqueqE i estanisotrop
peutdoncchoisir
K = E i.
¶
c) Ecriv
onsq ’ q0 ? hai, avec dimq0 = 2n . Soien
t K ;… comme dansb) : on a
0
’ K (’ ) estisotrop
e,donca 2 D (qK00 (’ )) et
… ’ qK ? q00.Soit’ = q00 ? h¡ai :alors
qK (’ ) • …K (’ ).
Ilreste
a montrer
que…K (’ ) estanisotrop
e.Supposonslecontraire.
Alors…K (’ ) » 0,
d’ou
{ ’ estunevoisine
de … (Arason-Cassels-P
flster)
;
{ qK
(’ )
estisotrop
e.
Maisalors
qK (… ) est¶
egalemen
t isotrop
e;c’est
unecontradiction,
puisque
K (…)=F
esttranscendan
tepure.
APPENDICE
276
F. SOLUTION
DE CER T AINS EXER CICES
d) Silesconditions
de l’
¶
enonc
¶
e sont remplies,
alors
qa¶
evidemmen
t d¶
eploiemen
t
maximalpuisque
i1(q)= i1(qK )= dimq ¡ 2n ¡ 1.Mon tronslar¶
ecipro
que.Soitq0 une
sous-forme
de q de dimension
2n + 1.En reprenan
t laconstruction
de c)(appliqu
¶
ee
0
a q ),on trouv
e une extension
K =F etune n-formede Pflster… anisotrop
e surK
telles
que K (…)=F soittranscendan
tepureetque qK0 (’ ) soitvoisine
anisotrop
e de
…K (’ ), ou ’ estune K -formede dimension
2n + 1 convenable.
PosonsL = K (’).
D’apr
esl’exercice
5.8.4
c),q … q0,doncqL … qL0 etqL est¶
egalemen
t voisine
de …L
(th¶
eoreme 5.3.4
).
Ilreste
a voirqueh(qL )= h(q).On a h(qK )= h(q)puisque
K =F estcontenuedans
l’extension
transcendan
tepureK (…)=F.Soit(F i;qi)latourded¶
eploiemen
tg¶
en¶
erique
e.
de q,etsoien
t pourtouti K i = K F i,L i = LF i.Pourtouti,(qi)K i estanisotrop
Supposonsi‚ 1.On a
On sait
queqL estanisotrop
e,puisque
qL0 l’est.
{ dimqi < 2n ;
{ L i = K i(’).
e surL i,puisque
dim’ >
doncanisotrop
D’apr
esleth¶
eoreme deHofimann,qi reste
2n ;celaimplique
h(qL )‚ h(q),donch(qL )= h(q).
Chapitre8
Exercice8.3.1.| Soit une formed’Alb
ert
, etsupposonsque ’ ’ ? ¿ avec
dim’ = 4 etd§ ’ = 1.Alorsdim¿ = 2 etd§ ¿ = 1,donc¿ estisotrop
e,ainsi
que .
Exercice8.3.2.| Soit une formed’Alb
ertsurF , etsoien
t q1;q2 deux sousformesde de dimension
5,soit ’ q1 ? hd1i’ q2 ? hd2i pourd1;d2 convenables.
On a alors
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GLOSSAIRE
’ : Isom¶
etrie
de formesquadratiques
ou bilin
¶
eaires
2,179
• : Relation
de sous-forme
entreformesquadratiques
2,189
/ : Similitude
¶
» : Equiv
alence
de Witt
4 : Domination
¶
… : Equiv
alence
stable
3
7,187
43
43
? : Somme directe
orthogonale
3,180
› : Produittensoriel
3,187
dim : Dimensiond’uneformequadratique
(oubilin
¶
eaire)
diman : Dimensionanisotrop
e
1
6
dim : Dimensionmo dulo2
15
dimes : Dimensionessen
tielle
36
D (q) : Ensembledesvaleurs
= 0 d’uneformequadratique
6
q
8
G (q) : Groupe desfacteurs
de similitude
d’uneformequadratique
q
8
2
D (q) : Ensembledesproduitsde deux¶
el
¶
ementsde D (q)
W (F ) : Anneaude Wittdesformesbilin
¶
eaires
sym¶
etriques
du corpsF
^
W (F ) : Anneaude Witt-Grothendiec
k
W q(F ) : Groupe de Wittdesformesquadratiques
(encaract
¶
eristique
2)
In F : n-i
eme puissance
de l’id
¶
ealfondamen
tal
n
I W qF : Filtration
de W q(F )
27
7,187
7
187
15,188
188
Jn (F ) : Id¶
ealdesformesde degr
¶
e‚ n
38
P n (F ) : Ensembledesclasses
d’isom
¶
etrie
de n-formes
de Pflster
16
P (F ) : Ensembledesclasses
d’isom
¶
etrie
de formesde Pflster
16
GP n (F ) : Ensembledesclasses
de similitude
de n-formes
de Pflster
16
GLOSSAIRE
292
GP (F ) : Ensembledesclasses
de similitude
de formesde Pflster
16
d§ : Discriminan
t
67
¢ : Invarian
t d’Arf
184
C (q) : Algebrede Cli
fiordd’uneformequadratique
q
69,184
C 0(q) : Partie
pairede l’alg
ebrede Cli
fiord
69,184
c : Invarian
t de Cli
fiord
n
e : n-i
eme invarian
t sup¶
erieur
76
109
F (q) : Corpsdesfonctions
de laquadrique
projectiv
e asso
ci
¶
eea q
29
h(q) : Hauteurd’uneformequadratique
q
35
deg(q) : Degr¶
e de q
in : n-i
eme indice
de Wittsup¶
erieur
37
233
INDEX
Ahmad, H.,222,223
Albert,A.A.,95,145,146
algebre
centralesimple,
71,72,74,76,79,81,82,
135,140{144,146,155
d’octonions,
17,231
de biquaternions,
146
de Clifiord,69,70,76,123,184,192
de quaternions,
17,73,75,79,84,101,141,
143,144,146,156,157,184,200,231
semi-simple,
74,139,250,256
Amitsur,S.A.,146
anneaude Witt,7,164,165
desformesbilin
¶
eaires,
188
non ramifl¶
e,127
Arason,J.Kr.,32,33,58,79,113{115,117,
118,121,158,213,214,232
Aravire,
R.,207,211,215
Baeza,R.,207,211,215,222
Balmer,P.,131,226
Bass,H.,110,164,168
classi
flcation
desformesbilin
¶
eaires,
192
desformesquadratiques
voisines,
196
desformesquasi-v
oisines,
197
desformestotalemen
t singuli
eres,
191
cohomologie
galoisienne,
16,109,149,153,154,157,213,
214
non ramifl¶
ee,128
compl¶
ement non singulier,
189,198
con itde notations,
16
conjecture
de Milnor,
113,117,130,131,213,224,226,
252,261
du degr¶
e,178,207,215
corpsde fonctions,
123,171
d’uneformebilin
¶
eaire,
193,198,213
d’uneformequadratique/d’une
quadrique,
29,39,116,177,193,195,198{201,208,
209,213,216,221
corpsnormique,217
dimensiond’uneformequadratique,
1,4,5,
7,15,16,19,20,29,30,33,37{39,47,
54,56,62{65,68,70,71,79,81,88,91,
93,95{99,101,102,104{107,112,116,
118,119,123,128{133,135,178,182,
185,190,193,196,200,203{206,208,
211,219,221,224,227{229,236,239,
242,244,255,268,272,276
anisotrop
e,6,33,36,51,60,64,78,84,85,
88,103,106,132,135,237,272{274
essen
tielle,
36,134,234,238{240,243,262,
263,265
mo duloun id¶
eal,89,132
discriminan
t,67,75,85,93{96,100{102,104{
107,123
d¶
ecomposition
de Witt
d’uneformebilin
¶
eaire,
186
d’uneformequadratique,
6,185
d¶
eploiemen
t
anisotrop
e,104
g¶
en¶
erique,
35,37,38,40,45,47,49,51,54,
55,62,84,85,116,123,136,206,233{
235,241,243,275,276
maximal,65,66,136,178,201{204,239,
242,274,276
standard,
198,204,206{209,220
d¶
eterminan
t de Clifiord,192
Elman,R.,22,33,113,222
294
equiv
alencede Witt,7,187
extension
excellen
te,57,58,123
Fitzgerald,
R.W., 41,54,61,101,208,223
formebilin
¶
eaire
quaside P flster,
195,217
de P flster,
194
isotrop
e,180
m¶
etabolique,
186,221
non d¶
eg¶
en¶
er¶
ee,184
partie
anisotrop
e d’une,187
quasi-v
oisine
de P flster,
196,198,219,223
radical
d’une,180
sous-forme
d’une,180
voisine
de P flster,
196{198,210
formequadratique
d’Albert,64,65,84,93,95,99{101,104,
107,108,123,131,133{135,142,200,
242,274,276
de P flster,
16{20,22,26,27,31,32,36,37,
40,41,44,47,51,54,58,86,88,93,94,
96{98,101,104{106,111,113,115,117,
124,167,195,206,208,235,236
formepured’une,16,17,22,23,33,57,
91{93,97,114
voisine
d’une,41,47,48,50,57,79,97{
101,103{107,118,124,134
de P flstercrois
¶
ee,54
degr¶
e d’une,35,37,41,57,63,64,69,84,
85,105,106,122,134,207,217,233,235,
241
normique(car.
2),178,217{220
dominante,235
excellen
te,55,56,61,62,96{99,134,208
facteur
direct
d’une,180,200
hauteurd’une,35,36,41,61,65,84,98,
105,106,134,178,233,235,241,242,
266
non d¶
efectiv
e (car.
2),206
standard(car.
2),204{209
hyperbolique,
185,208
isotrop
e,180
non d¶
efectiv
e,181
non singuli
ere,181,198
normalisation
d’une,182
partie
anisotrop
e d’une,185
partie
non d¶
efectiv
e d’une,185
partie
quasi-lin
¶
eaired’une,181,205,206
radical
d’une,180
semi-singuli
ere,211
quasi-h
yperbolique,
212
singuli
ere,181
sous-forme
d’une,189
totalemen
t singuli
ere,181,205,207
INDEX
associ¶
eea une formebilin
¶
eaire,
190
quasi-h
yperbolique,
191,211,221
type d’une,182,202,204
voisine
de P flster,
196,199,201{204,223
compl¶
ementaired’une,49, 56, 96, 97,
199,201
formes
conjugu
¶
ees,104,105,124
isom¶
etriques,
179
semblables,
105,180
formesde P flsterli
¶
ees,22,23,55,60,61,117,
124
formesdifi¶
erentielles
de K ãhler,
213
groupe de Witt des formesnon singuli
eres,
188
Ho fimann, D.,54,58,61,63,93,101,104,105,
199,222
Hub er,.,131
Hurrelbrink,
J.,44,61
indice
de d¶
efaut,
185
indice
de Witt,6,185,187,205
sup¶
erieur,
36
indice
total,
185,201
invarian
t
d’Arason,
118,121
d’Arf,,
184
de Clifiord,67,76,78,93{96,98,101,106,
107
Izhboldin,
O.,58,93,104{107,134,199,200
Jacob,W.T.,117,122,211
Jacobson,
N.,95,107
K-th¶
eoriede Milnor,109,164,168,175
Kahn, B.,61,94,117,122,130,131,133,146
Karpenko,N.,93,104{107,123,146,225,227,
229,239,241,243,248,252,254,263,
267,268,270
Kato,K.,110,168,213,214,224
Knebusch,M., 35,36,40,47,49,51,53,61,
96,185,206,208,210
Laghribi,
A.,100,104,105,123,133
Lam, T.Y.,16,22,33,76,113,222
Leep,D.P.,100
lemme de compl¶
etion,
189
Mammone, P.,95,199,222
Merkurjev,
A.S.,78,79,81,85,87,100,117,
122,146,240,243,248,249,267,268
Milnor,J.,110,111,113,164,167,169,192,
211,213
Morel,F.,122,226
Moresi,R.,222
noyau de Witt,221
Ojanguren,M., 127
Orlov,D.,38,117,122,236
INDEX
Parimala,
R.,94,129
Peyre,E.,122,123
P flster,
A.,11,15,17,32,58,63,91,232
produitd’uneformebilin
¶
eaire
parune formebilin
¶
eaire,
187
parune formequadratique,
187
Rehmann, U.,44,61,104,206
Rost,M.,58,93,117,122,130,131,225,226,
238,240,247,249,250,255,261
Row en,L.H.,146
Scharlau,
W.
transfert
de,12,93,107
Shapiro,
D.,95,100
somme de deux formes,
180
Springer,
T.A.,11,12,45,165
Sujatha,
R.,117,122,130,131
superalg
ebre,69{74,143
centrale
simple,
72
Suresh,V.,94
Suslin,
A.,121
Szyjewski,
M., 117,122
Tate,J.,110,145,164,167,168
th¶
eoriede Kummer, 157
th¶
eoreme
d’Arason-P
flster,
32,38,188
295
de Ho fimann, 44,199
de Riemann-Roch,129,174
de Skolem-Noether,
141
de Springer,
11,121,165
th¶
eoreme de norme pourlesformes
bilin
¶
eaires,
210
quadratiques
non singuli
eres,
211
quadratiques
semi-singuli
eres,
212
quadratiques
totalemen
t singuli
eres,
211
th¶
eoreme de sous-forme
pourlesformes
bilin
¶
eaires,
194
quadratiques
non singuli
eres,
193
quadratiques
semi-singuli
eres,
213
quadratiques
totalemen
t singuli
eres,
194
Tignol,
J.-P
.,82,93,143,146,222
Totaro,
B.,200
van Geel,J.,58
Vishik,A.,38,117,122,131,134,225,227,
233,236,239{241,244,255{261,263{269
V oevodsky, V.,38,117,121,131,215,225,
226,236,240,248,252,255,261,267
W adsworth,A.,36,94,222
W alter,
C.,131,226
Witt,E.,1,4{7,11,15,79