formes quadra tiques sur un corps - IMJ-PRG

Bruno Kahn
FORMES QUADRA TIQUES SUR UN
CORPS

BrunoKahn
Institutde Math¶ematiquesde Jussieu,175{179ruedu Chevaleret,75013Paris,
France.
E-mail:[email protected]
Classiflcationmath¶ematique par sujets(2000).| 11E04,11E81.
Mots clefs. | Formesquadratiques,corpsdefonctionsdequadriques,d¶eploiement
g¶en¶erique.
Avecun appendicede A. Laghribi.

FORMES QUADRA TIQUES SUR UN CORPS
Bruno Kahn
R ¶esum ¶e. | Ce livreexposelath¶eoriedesformesquadratiquessurun corps,en
mettant l’accent surlatechniquede Pflster-Arason-Knebusch d’extensionsaux corps
de fonctionsde quadriques.
A bstract (Quadraticforms over a fleld).| Thisbook presentsthetheoryof
quadraticformsovera fleld,focusingon thePflster-Arason-Knebusc
h techniqueof
extensionstofunctionfleldsofquadrics.

TABLE DES MA TI ERES
Av ant-propos ................................................................ ix
1.La th¶eoriede Witt ...................................................... 1
1.1.D ¶eflnitionsetnotations................................................ 1
1.2.Lesth¶eoremesde Witt .................................................. 4
1.3.L’anneaude Witt ...................................................... 7
1.4.Quelquesexemplesd’anneauxde Witt .................................. 9
1.5.Un th¶eoreme de E. ArtinetT.A.Springer.............................. 11
1.6.Exercices................................................................ 12
2.La th¶eoriede Pflster .................................................... 15
2.1.Formesde Pflster...................................................... 15
2.2.Applicationsaux sommes de carr¶es;leniveaud’uncorps................ 20
2.3.Formesde Pflsterli¶ees.................................................. 22
2.4.Th¶eoremesde Cassels-Pflster............................................ 23
2.5.Exercices................................................................ 27
3.Corps de fonctionsde quadriques...................................... 29
3.1.Corpsde fonctions...................................................... 29
3.2.Formesdevenant hyperboliquessurlecorpsdesfonctionsd’unequadrique
...................................................
..................... 30
3.3.Le th¶eoreme d’Arason-Pflster.......................................... 32
3.4.Exercices................................................................ 34
4.La th¶eoriede Knebusch .................................................. 35
4.1.Hauteur................................................................ 35
4.2.Formesde hauteur1 .................................................... 36
4.3.Degr¶e;lesid¶eauxJn.................................................... 37
4.4.Retoura lasection3.2.................................................. 40
4.5.Exercices................................................................ 41