Construction du diagramme de Bergeron

ENSEIRB-Matmeca
© Tesson P.
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Régime transitoire entre terminaisons linéaires passives.
Méthode graphique par construction du diagramme de Bergeron
Soit le circuit suivant avec une ligne idéale d'impédance caractéristique Rc et de temps de traversée t,
connectant une source de tension de résistance interne Rg et une résistance de charge Ru.
Régime transitoire pour eg(t) = E.u(t) échelon de tension
Rappelons le schéma équivalent de Thévenin de la ligne :
i) Pour la tranche de temps : 0+  t < 2.on le schéma équivalent côté entrée de la ligne ci-dessous, avec :
wa(t) = 2 vb(t-) - wb(t-) = 2[vb(t-) - wb(t-)/2] = 0
Dans le diagramme tension-courant, on trace les droites associées à :
va(t) = Rc ia(t)
et
va(t) = -Rg ia(t) + E
Les valeurs de ia(t) et va(t) sont respectivement les coordonnées d'un point nommé A(0+) correspondant au
point de fonctionnement.
La tension va(t) est le front d'onde incident de tension de tension né à l'instant t = 0+ du fait de la
commutation de e(t) de 0 à E. Idem pour le courant ia(t).
On a : va(t) = vi + vr = vi = Rc ia(t) = Rc (ii + ir) = Rc /Rc (vi – vr) = vi
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ii) Tranche de temps +  t < 3.on a le schéma équivalent côté sortie de la ligne avec :
wb(t) = 2 va(t-) - wa(t-) = 2[va(t-) - wa(t-)/2]
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wb(t) = vb(t) + Rc ib(t) = vi + vr + Rc R (vi – vr ) = 2 vi
c
vi = [va(t-) - wa(t-)/2] = va(t-)
Dans le diagramme tension-courant, on trace les droites associées à :
wb(t) = 2.va(0+)= vb(t) + Rc ib(t)
et
vb(t) = Ru ib(t)
Les valeurs de ib(t) et vb(t) sont respectivement les coordonnées d'un point nommé B() correspondant au
point de fonctionnement.
La tension vb(t) = va(0+) + vr , avec vr l'onde de tension réfléchie en sortie (positive ici).
ib(t) = ia(0+) + ir , avec ir l'onde de courant réfléchie en sortie (négative ici).
Aux variations ce couple d'ondes réfléchies est dans un rapport
v
= - Rc .
i
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iii) Pour la tranche de temps : 2+  t < 4.
Aux variations le couple d'ondes incidente qui va naitre à partir de t = 2+ est dans un rapport :
v
= +Rc .
i
On trace une droite de pente +Rc à partir de B() qui intersecte celle associée va(t) = -Rg ia(t) + E imposée par
la source. On obtient le point de fonctionnement A(2)
Une autre façon de comprendre la construction est de considérer que la source wa = 2 vr attaquant le circuit
amont. Dans le diagramme on trace sa caractéristique associée à partir d'un système d'axe centrée sur le point
de repos A(0+) et courant orienté dans l'autre sens.
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On a va(2) – va(0) = vi nouvelle ondelette de tension incidente née à t = 2+. Idem pour le courant
iv) Etc…
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