Calcul littéral

3
3
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•
•
•
Niveau 3
Niveau 1
Niveau 3
Niveau 2
Niveau 2
Niveau 2
Niveau 1
Niveau 3
• Une fois introduit le rôle de la lettre et du signe égal, ce chapitre étudie
les identités et comment transformer une expression littérale en une expression
littérale qui lui est égale c'est à dire qui est vraie pour toutes valeurs que l'on
donne aux lettres.
• À cet effet, la règle de la distributivité est introduite et étudiée puis étendue
à la double distributivité.
• Les identités remarquables sont énoncées.
Objectifs de cycle
Factoriser
Le facteur commun est « simple » tests n° 1 et 2
Le facteur commun est une expression littérale tests n° 3, 4 et 5
Développer en utilisant la distributivité simple
Avec des nombres positifs tests n° 6
Avec des nombres négatifs tests n° 8 et 9
Développer en utilisant la double distributivité
Avec des nombres positifs tests n° 7
Avec des nombres négatifs tests n° 10
Utiliser les identités remarquables
Factoriser test n° 11
Développer test n° 12
A7
Calcul littéral

2
2
2
Activité Rectangles cousins
Dans cette activité, on s'intéresse uniquement aux rectangles dont le périmètre
est 40 cm.
1. Un rectangle a pour longueur L = 16,5 cm. Calcule sa largeur l puis son aire.
2. Donne les mesures d'un autre rectangle de même périmètre.
3. La longueur peut-elle valoir 8 cm ? Et 21 cm ?
Justifie et donne toutes les valeurs possibles pour la longueur.
4. Écris une expression pour calculer la largeur l en fonction de la longueur L.
5. En voulant exprimer l'aire du rectangle en fonction de sa longueur L,
des élèves ont donné les réponses suivantes.
Gaël : = L × 20 − L
Inès : = 2 × L  2 × (20 − L)
Hamid : = L ×
(20 − L)
José: = L × 20 − 2 × L
Karen : = 20 L − L2
Liam: = L2 − 20 × L
Parmi ces expressions, lesquelles sont fausses ? Y a-t-il plusieurs bonnes réponses ?
Activité Développer ( a + b )( c + d )
1. On considère le produit P = 86 × 53. Justifie les égalités suivantes :
P = 86 × 50 + 86 × 3 puis P = 80 × 50 + 6 × 50 + 80 × 3 + 6 × 3.
Déduis-en l'égalité : (80 + 6) × (50 + 3) = 80 × 50 + 6 × 50 + 80 × 3 + 6 × 3
puis calcule P sans poser de multiplication (et sans calculatrice !).
2. Complète : (3x – 2)(5x + 4) = (... + ...) × (... + ...).
Déduis-en un développement de ce produit.
3. Pour développer le produit (2a + 3)(3a – 4), on peut poser
la multiplication comme indiqué ci-contre.
Effectue-la sans oublier le décalage.
Quel type de nombre peut remplacer la lettre a ?
Activité Factorisations
1. Pour chacune des expressions suivantes , indique quelle expression ou quel nombre peut
jouer le rôle de k, quelles expressions ou quels nombres peuvent jouer le rôle de a et de b
(si on considère l'égalité k(a
b) =ka kb)
A = 7x  14 (remarque : 14 = 7 × 2) ; B = 8y  7y ; C = 6ab  5a ; D = 6m − 9m2 ;
F = (7x  5)(3x  2)  (7x  5)(x − 9) ; G = (x − 4)(3x − 5) − (8x  7)(3x − 5).
Transforme chacune de ces expressions en un produit de facteurs.
2. Voici trois expressions développées et réduites : 9x2 − 4 ; 9x2 − 12x  4 et 9x2  12x  4.
Voici les expressions factorisées correspondantes : (3x  2)2 ; (3x  2)(3x − 2) et (3x − 2)2.
a. Sans développer, associe chaque forme réduite à sa forme factorisée.
b. Contrôle tes réponses précédentes.
C ALCUL LITTÉRAL • A7
2a+ 3
×3a – 4
2
3
Activités de découverte
1
100

5
5
5
1
1
Entraîne-toi à
Entraîne-toi à
Entraîne-toi à
Entraîne-toi à
Propriété de la simple distributivité (de la multiplication sur l'addition)
Soient k, a et b trois nombres.
k × (a  b) = k × a  k × b et k × (a – b) = k × a – k × b
» Remarque : Ces égalités s'utilisent dans les deux sens.
• Transformer de gauche à droite s'appelle Développer
• Transformer de droite à gauche s'appelle Factoriser
Factoriser
Définition
Factoriser, c'est transformer une somme algébrique en produit.
Factoriser une expression
Le facteur commun peut avoir plusieurs formes : un nombre en écriture décimale, en écriture
fractionnaire, sous forme d'une lettre ; une expression littérale.
 Énoncé
Factorise : E = 14a – 7b
Correction
E = 14a – 7b
E = 7 × 2a – 7 × b
E = 7 × (2a – b)
 Énoncé
Factorise : F = – x² + 3x.
Correction
F = – x² + 3x.
F = (– x) × x + 3 × x
F = x(– x + 3)
 Énoncé
Factorise :
D = (9x − 4)(5x  6)  (9x − 4)(3x  11).
Correction
D = (9x − 4)(5x  6)  (9x − 4)(3x  11).
D = (9x − 4)(5x  6)  (9x − 4)(3x  11)
D = (9x − 4
)[ (5x  6)  (3x 11)]
D = (9x − 4)[5x  6  3x  11]
D = (9x − 4)(8x  17)
 Énoncé
Factorise :
D = (9x − 4)(5x  6) − (9x − 4)(3x  11).
Correction
D = (9x − 4)(5x  6) − (9x − 4)(3x  11).
D = (9x − 4)(5x  6) − (9x − 4)(3x  11)
D = (9x − 4
)[ (5x  6) − (3x 11)]
D = (9x − 4)[5x  6 − 3x − 11]
D = (9x − 4)(2x − 5)
Définition
Réduire une somme algébrique, c'est l'écrire avec le moins de termes possibles.
Réduire une somme en factorisant
 Énoncé
Réduis : A =
2
3
x +
5
4
x
Correction
A =
2
3
x +
5
4
x =
(
2
3+5 4
)
x =
23
12
x
C ALCUL LITTÉRAL • A7
Cours et méthodes
101

4
4
4
2
2
Entraîne-toi à
Entraîne-toi à
Entraîne-toi à
Entraîne-toi à
Développer
Définition
Développer, c'est transformer un produit en somme algébrique.
A. Développer en utilisant la simple distributivité
Développer une expression
 Énoncé
Développe : A = 3(x  7).
Correction
A = 3(x  7)
A = 3 × (x  7)
A = 3 × x  3 × 7
A = 3x  21
 Énoncé
Développe : C = – 3,5(x – 2).
Correction
C = – 3,5(x – 2)
C = – 3,5 × (x – 2)
C = (– 3,5) × x + (– 3,5) × (– 2)
C = – 3,5x + 7
B. Développer en utilisant la double distributivité
Propriété de la double distributivité
Pour tous nombres relatifs a, b, c et d :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Développer avec la double distributivité
 Énoncé
Développe et simplifie l'expression suivante :
D = (3x + 1)(y + 4).
Correction
D = (3x + 1)(y + 4).
D = 3x × y + 3x × 4 + 1 × y + 1 × 4
D = 3xy + 12x + y + 4
 Énoncé
Développe et simplifie l'expression suivante :
E = (3x – 1)(y – 4).
Correction
D = (3x – 1)(y – 4).
D = 3x × y + 3x × (– 4) – 1 × y – 1 × (– 4)
D = 3xy – 12x – y + 4
C ALCUL LITTÉRAL • A7
Cours et méthodes
102

5
5
5
3
3
Entraîne-toi à
Entraîne-toi à
Entraîne-toi à
Entraîne-toi à
Utiliser les identités remarquables
Propriété
Pour tous nombres a et b,
carré d'une somme : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
carré d'une différence : (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 .
différence de deux carrés (a  b)(a − b) = a2 − b2.
A. Factoriser
Factoriser avec les identités remarquables
 Énoncé
Factorise les expressions suivantes.
•A = x2  6x  9.
•B = 25x2 − 20x  4
•C = 64x2 − 49.
Correction
•A = x2  6x  9
A = x2  2 × x × 3  32
A = (x  3)2
•B = 25x2 – 20x  4
B = (5x)2 − 2 × 5x × 2  22
B = (5x − 2)2
•C = 64x2 − 49
C = (8x)2 − 72
C = (8x  7)(8x − 7)
B. Développer
Développer avec les identités remarquables
 Énoncé
Développe et réduis les expressions suivantes
•A = (x  1)2
•B = (x − 4)2
•C = (3x − 5)2.
•D = (7x  2)(7x − 2).
Correction
•A = (x  1)2
A = x2  2 × x × 1  12
A = x2  2x  1
•B = (x − 4)2
B = x2 − 2 × x × 4  42
B = x2 − 8x  16
•C = (3x − 5)2
C = (3x)2 − 2 × 3x × 5  52
C = 9x2 − 30x  25
•D = (7x  2)(7x – 2)
D = (7x)2 − 22
D = 49x2 − 4
C ALCUL LITTÉRAL • A7
103