Sur certaines connexions naturelles d`un groupe de lie

Séminaire Ehresmann.
Topologie et géométrie
différentielle
P H . T ONDEUR
Sur certaines connexions naturelles d’un groupe de Lie. Applications
Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle, tome 6 (1964), exp. no 5,
p. 1-9
<http://www.numdam.org/item?id=SE_1964__6__A5_0>
© Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle
(Secrétariat mathématique, Paris), 1964, tous droits réservés.
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Vol. VI
TOPOLOGIE ET GEOMETRIE DIFFERENTIELLE
Séminaire
dirigé
par C. EHRESMANN
FEVRIER 1963
SUR CERTAINES CONNEXIONS NATURELLES D’UN GROUPE DE LIE.
APPLICATIONS.
par Ph. TONDEUR
Introduction.
E. Cartan
a
étudié
en
aires que l’on peut introduire
propose de
me
sur
basant
1. Connexions linéaires
sur
sur une
[1]
certaines connexions liné-
la variété d’un groupe de Lie. Dans
travail [ 6 ]
le
mémoire
son
d’abord les définitions
rappeler
question, en
applications.
détail dans
et
de
cet
exposé je
me
quelques propriétés des connexions en
Nomizu, et de donner ensuite quelques
variété différentiable.
pris au sens C et sera le plus souvent
sous-entendu. Soit V une variété différentiable (séparée, à base dénombrable), C
le C ( V ) - module des champs de
l’anneau des fonctions différentiables
Dans
vecteurs
qui suit, différentiable
tout ce
de V
V
et
caractérisant V par
une
sera
connexion linéaire
l’application
encore
sur
V. On utilise la définition de
Koszul,
notée V
BJ :
( X, Y )
satisfaisant certaines
connexion linéaire
sur
propriétés (voir
p.
ex.
~~..~-~
[4],
V peut être obtenue à
Vx Y
p. 26
partir
ou
de V
[6] ,
en
p.
35 ) . Toute
ajoutant
une
autre
application
bilinéaire
Q:
= DX Y +
(1.1)
et toute
Nous
application bilinéaire Q définit par
nous
intéres
sons au
cas Q = -
Q(X, Y),
la formule (1.1)
une
connexion linéaire
S , S étant la torsion de D définie par
Q~.
2
y- Vy x - [x,
Y)
(I.2)
y] .
La connexion V définie par
(1. 3)
Y
DX
Y - S(
DX
=
X, Y)
dite la connexion associée à D . Pour la torsion S de V
sera
S =-
(I.4)
on
obtient immédiatement
S.
0
On considérera
la connexion V définie par
encore
0
7xY
ou
de
manière
équivalente
Y-
s S ( X , Y~
par
QX
(1.5’)
qui
7x
=
manifestement
est
si pour
un
champ
de tenseurs t
V, V
Cette dernière
symétrique.
sur
égalité
montre
V la dérivée covariante
est
la
suivante :
propriété
nulle par rapport à deux
o
2014
des connexions
Y),
7,
et
alors elle
aussi nulle par rapport à la troisième
est
-nexion.
con-
_
0
2014
connexions
LEMME
Ceci découle de { 1.1)
qui
~7,~7,
montre
7
ont
que 7
mêmes
géodésiques.
ont mêmes géodésiques lorsque
~7
et
0
est
antisymétrique.
2. Métrique
pseudo.riemannienne
Soit g
de type
un tenseur
satisfaisant à la relation
à dérivée covariante nulle.
(0,2)
alors
(1.1),
sur
on
V. Si V
et
Q7
_
sont
deux connexions
sur
établit la relation suivante pour X, Y, Z ED
V
1(V)
r2. ~
Supposons Vg
=
définie par (1.5).
Vy g
0 , c’est-à-dire
Appliquant ~2.1)
on
=
0 ~X
~
D
et
considérons la connexion
V
obtient
.
D X g( Y, Z)
r2.2)
=
s{
Y), 2;)
Z))~ .
+
g symétrique et non-dégénéré. En vertu de la
Supposons plus particulièrement
o
0. Mais la deuxième condition caractérise
0 ~==~
remarque suivant ( 1.5’)
2014
=
la
connexion symétrique canoniquement associée
LEMME
V g
=
2.1.
Soit g
un
tenseur
à g. En résumant
de type (0,2), symétrique,
0. Les conditions suivantes sont
non
on a
dégénéré
le
et
équivalentes :
.’
0
(ii) V est la connexion symétrique canoniquement associée à g ,
(iii) g ( S ( X , Y), Z) + g ( Y , S ( X , Z)) 0 pour X, Y, Z 6D ~ V).
=
satisfaisant à
3
3. Tenseur de type
(1 , 1)
à dérivée covariante nulle.
Soit 7 un tenseur de type ( 1 , 1 ) sur V et supposons p J
manière analogue à la formule (2.2) du dernier paragraphe la relation
=
0. On établit de
(3. 1 )
plus particulièrement
Soit J
J2
=
-
identité de D
1( V ).
Son
structure
une
de torsion T
tenseur
presque
est
défini
complexe, c’est-à-dire
par ([ 3 ] , (15.9))
(3.2)
l’application R - bilinéaire [ , ] :
sur les champs de vecteurs.
LEMME
3.1.
Soit J
tions suivantes sont
une
D
1( V )
X
D 1( V
)~ D
1( V ) désignant
presque complexe satisfaisant à
structure
~J
le crochet défini
=
0. Les condi-
équivalentes :
o
f~ ~7 = o
(iii) JS ( X, Y )
Si l’une de
=
S ( X, J Y ) pour X, Y
conditions
ces
est
satisfaite, J
E D 1( V ).
est
une
..
structure
complexe.
L’équivalence des conditions indiquées suit de (3.1) et des remarques antérieures. (ii) implique d’après [ 3 ], p. 70 que la torsion T de J est nulle, donc
que J est complexe.
DEMONSTRATION.
.
4. Certaines connexions linéaires
sur un
groupe de Lie
groupe de Lie.
l’algèbre des champs de vecteurs invariants à
gauche. Les éléments de G engendrent le C ( G )- module D 1( G ) et une connexion
Y pour X, Y E G. Si
Y 6 G VX,Y ê G,
linéaire "7 est définie par les valeurs de
V
dû
alors
est invariant par les translations à gauche. Ce résultat est
à Nomizu [6 ] ,
x
aussi
une
bilinéaire
G
application
qu’inversement
p. 37 qui démontre
G - G détermine
une connexion invariante à gauche.
Soit
G
un
G
et
Considérons la connexion définie par
(4.1)
Cette
Y
connexion,
=
X, Y E ~
0
ainsi que celles que
nous
,
allons introduire
tout
de
suite,
ont
été étu-
[ 1 ] (voir aussi Nomizu [ 6 ] , p. 49). Les champs de vecteurs invariants
d’après (4.1) invariants par transport parallèle. Le transport parallèle n’est
diées par Cartan
à
gauche
donc
Il
en
sont
autre
chose que l’effet des translations à
suit que la connexion 7
torsion S de
(4.2)
i7 ,
il vient
est
à courbure
gauche
1
les
vecteurs
tangents de G.
(et même à holonomie) nulle. Quant
d’après (1.2)
S(X, Y) = - [X, Y]
sur
X,
à la
4
On voit
que S
est
respectent le transport
biin variant
gauche, c’est-à-dire ~S
invariant à
parallèle (c’est l’associativité
=
0. Les translations à droite
de la loi de
groupe), donc V
est
G.
sur
Pour la connexion V associée
à ~ d’après (1.3)
on a
donc
(4.3)
et sa
torsion S
est
donnée par
5’fX, Y; = [X, y ]
Il
est
facile à voir que le transport
tions à droite de G
se
traduit
par ~ S
=
et
que donc la courbure
0. 7
La connexion
parallèle
est
par rapport
de ~
est
à ~7
coïncide
avec
les transla-
nulle. L’invariance à droite de S
biin variante.
symétrique V
du
paragraphe
1
est
donnée ici par
‘
X , Y E G
et est
biinvariante. Pour
sa
courbure R
on a
par définition
] 2; - ~ ~ y ]
et
d’après l’identité
de
J acobi
on
obtient
]
([ 1 ],
p. 64
et
[6 ],
p. 49)
D’après le lemme 1.1, les connexions V , V , V ont mêmes géodésiques. Les
géodésiques de i7 passant par l’élément neutre e E G coïncident avec les sous-groupes
à un paramètre de G, puisque le transport parallèle est défini par les translations à
gauche de G. Toute géodésique de ~ étant la translatée à gauche d’un sous-groupe à oun
paramètre, on voit que G est complet pour la connexion 7 , donc aussi pour V et ~.
2014
5.
Métrique pseudo.riemanienne biinvariante
Considérons
lieu à
de
une
sur
G.
forme bilinéaire
symétrique non-dégénérée ge sur
métrique pseudo-riemannienne invariante à gauche g sur G. Du
une
(4.2) résulte immédiatement
PROPOSITION 5.1.
est
G
qui
donne
lemme 2.1
et
la
Les conditions suivantes sont
équivalentes :
biinvariant,
o
(ii ) V
est
la connexion symétrique canoniquement associée à g.
pour X , Y , Z EG.
_
o
D’après (ii) le tenseur de courbure R de ~ s’identifie
au tenseur de courbure de g. Soit 03A3 un 2 - plan de
T f6’ ) ne contenant pas de vecteurs
Si X x, Yx engendrent 03A3, la courbure sectionnelle de g dans la direcisotropes de
tion 03A3 au point x est définie par
Soit g
biinvariant
sur
G.
5
c fx; 1 > = -
f3. ~
YxÎ~ 2
yx
où
.
champs de vecteurs invariants à gauche auxquels appartiennent
Y~ .
D’après (4.4) on peut exprimer R à l’aide du crochet. En tenant compte de la propriété
(iii) de la proposition 5.1, on obtient alors
Soient X, Y les
.
= ~ ~( [ X, Y ]~,[ X, Y]~) /
1)
~.2~
PROPOSITION 5.2.
La courbure sectionnelle d’une
riante g dans la direction du
( Xx
et
Yx~1 ~
X, Y
~
G
métrique pseudo-riemannienne biinva-
(7) engendré par
X x, Yx
G ) (et
~
ne
est donnée par (5.2)
isotropes de gz)
Dans la suite nous supposons plus particulièrement que g est une métrique riemanbiinvàriante (c’est-à-dire définie positive). Alors dans (5.1)
yx ~2 > 0
sont linéairement indépendants) et on obtient
Y
vecteurs
contenant
nienne
A
,
.
f~.3)
où l’on
a
égalité
si
et
X, Y ~
seulement
=
0. Ceci
implique (Samelson [7 ] )
groupe de Lie admettant une métrique riemannienne biinvariante. Toutes les valeurs de la courbure sectionnelle sont non-négatives. La courbure
PROPOSITION 5.3.
Soit G
un
sectionnelle dans la direction du
engendre
un
au
point e
est
null e si
et
seulement si 03A3
groupe abélien.
REMARQUE.
Soit G
connexe
admettant
une
métrique
riemannienne biinvariante.
(5.3)
implique la compacité de G (pour dim G > 1) dans le cas où G ne possède aucune sousalgèbre commutative de dimension deux, ce qui signifie que [X,Y]4=0 si Xe et Y
sont linéairement indépendants. Alors
et une telle variété riemannienne
(complète) est compacte. (Mais on a naturellement un résultat plus fort pour tout groupe
semi-sim ple).
L’existence d’une métrique riemannienne biinvariante g sur G (connexe) permet
encore la conclusion suivante. Comme la connexion symétrique canoniquement associée
à g coïncide d’après la proposition 5.1 avec V, G est une variété riemannienne complète
par rapport à g. Tout point de G est donc atteint par au moins une géodésique de g
passant par e (voir H. Hopf et W. Rinow, Comment. Math. Helv. 3 ( 1931), p. 209- 225) .
Mais ces géodésiques se confondent avec les sous-groupes à un paramètre de G (voir
fin du paragraphe 4). D’où la
o
PROPOSITION
nienne
groupe.
5.4.
Soit’ G
un
groupe de Lie
connexe
biinvariante. Alors les sous-groupes a
un
admettant
une
métrique
rieman-
paramètre recouvrent la variété du
6
6. Remarque
Pour
xion
les 2 . formes biinvariantes
sur
une
symétrique)
2 - forme
ce
ce
invariant à
(0, 2),
type
de ~ 0e {V
G, d03C9 s’exprime à l’aide
sur
étant
une
conne-
par
Y, Z)
’Soit
G.
sur
~X ce ( Y , Z) +
=
gauche.
La formule
y
+z
w( Z. X )
étant valable pour
(2.2)
w( X. Y) .
arbitraire de
un tenseur
obtient
on
o
0
0
OX w( Y, Z) + ~Y w( z , X) ~Z
=
ce ( X , Y)
Y), Z)
+
d’où
.
o
Y, Z)
2,~Z w(
=
X, Y)
Y), Z ) .
+
o
Si
biinvariant, alors 7 0e
ce est
(et
0
c~([X,Y~,Z)=4
(6. 1 )
C’est
=
que l’on utilise
l’expression
groupe
[ X, Y ~ ,
non
implique
qui implique
commutatif il n’ y
telle
est une
ce
a
que G
est
bien que
si c~(
pour
montrer
ce
est
Z)
=
on a
qu’un
semi-simple
engendré par les
groupe
est
nul). (6.1) implique aussi que
non-dégénérées
0 yZ
E
donc
.
nulles (car alors G
non
pas de 2 - formes
forme, c’ est-à-dire
fermée). En utilisant (4.2)
pour X,Y,Z E
classiquement
n’admet pas de 2 - formes biinvariantes
crochets
ce est
sur un
biinvariantes. Car si
G entraîne
X
=
w
0 , alors (6.1)
commutative.
7. Groupes de Lie
Dans
complexes.
paragraphe, le
ce
groupe de Lie G
sera
nécessairement de dimension
opérateur de carré =-identité sur G définissant une
complexe invariante à gauche J sur G, satisfaisant donc à ~ J 0. ~
Considérons
un
structure
paire.
presque
=
PROPOSITION 7.1.
(i) J
Les conditions suivantes sont
est
biinvariant,
J
0,
.
équivalentes :
o
=
pour X, Y EG,
(iv) J
est
complexe
D EMONSTR ATIO N .
(4.2)
et
et
G
un
groupe de Lie complexe par rapport à J.
le lemme 3.1
montrent
que
(i)
4*b
(ii)
C~
(iii)
et
que chacune
implique que J est complexe. Mais] étant invariant par les translations du groupe, les opérations de G respectent la structure complexe J et G est un
groupe de Lie complexe. Inversement la structure complexe d’un groupe de Lie complexe
est naturellement biinvariante, ce qui démontre la proposition.
de
ces
conditions
REMARQUE. La condition
j
(iii) peut être interprétée directement
par les translations à droite de G. Car la dérivée de Lie de
s’écrit
comme
l’ invariance de
J par rapport
à X
E
G
7
La nullité de
L ( X ) J exprime que J est invariant par le groupe engendré par X (invariant à gauche) qui n’est autre que la translation à droite par expt X .
Une autre démonstration de l’équivalence des propriétés (i), (iii) et (iv) de la
proposition (7.1) est indiquée par Helgason [4], p. 323. Suivant [4], p. 153 nous
posons la
Un
opérateur j dé f init une structure complexe sur une algèbre de L ie
réelle E si ( a ) J 2 = -:identité , ( 6 ) J ( X,
pour X, Y E E. La condition
( b) est encore équivalente à ( b’ ) J [ X Y ] ( JX, y] pour X Y E E.
On peut écrire ( b ) à l’aide de Ad X : Y -~ ~ X , Y ~ comme suit
DEFINITION.
=
f 7. 1 )
J oAd
X =Ad
XoJ
J o Ad
X = Ad
( J X) .
et(b’)
( 1. I’)
PROPOSITION
structure
7.2.
L’algèbre
de Lie
n’est pas
simple.
complexe J
complexifiée
E
d’une
algèbre
de Lie E
avec
La
coïncide
représentation complexifiée
représentation adjointe de E. L’ opérateur complexifié /E -+ E possède les
deux valeurs propres i, - i et A d est donc réductible d’après le lemme de Schur. La
proposition résulte alors du fait qu’un sous-espace A d-invariant de E est un idéal de E.
DEMONSTRATION.
la
avec
PROPOSITION 7.3. La
plexe J satisfait
forme de Killing
B d’une
algèbre
de Lie E
avec
structure
com-
à l’identité
(7. 2)
X, Y E E .
DEMONSTRATION. Soit Tr
1’ abbr éviation de
B(X,Y)
En utilisant
B (J X IJ Y )
(7.1’)
=
(7.1)
et
on a
Tr(Ad( JX)
=
trace.
Alors B
est
déf inie par
Tr(Ad X oAd Y)
donc
))
o
=
Tr( JoAd X 0 ]
Y) =
o
Ad X
o
Ad Y)
C.Q.F.D.
PROPOSITION 7.4.
bre
dérivée
structures
et
Z
Soit E
complexes.
E. On
a
alors le
algèbre
de Lie
centre. La restriction de
son
Ceci résulte
sur
une
de la
structure
complexe J,
E’
algèalgèbres des
son
J
définit
particulier de dimension ~aire,
propriété (b) dans la définition d’une structure complexe
E’ et Z sont donc
encore
avec
en
à E’ et Z
sur ces
8
groupe de Lie complexe. La
complexe de G induit
des structures complexes sur les sous-groupes G’ et Z engendrés par l’algèbre dérivée
G’ et le centre Z de G, et G’ et Z sont des groupes complexes par rapport à ces
structures complexes.
COROLLAIRE,
Soit G
un
structure
’
PROPOSITION
Soit G
7.5.
groupe complexe connexe admettant
un
nienne biinvariante. Alors G est
Nous allons
une
rieman-
métrique
commutatif.
décomposition directe G = G’ eZ
l’algèbre dérivée G’ ne contient que l’élément zéro, ce qui impliquera bien l’énoncé. La
forme de Killing B’ de G’ est définie négative (Pontrjagin, L.S. TopologischeGruppen
II. Leipzig 1958, p. 233). D’autre part d’après les propositions 7.3 et 7.4 la restriction
B’ ( X, X ) VX E G’ . Donc X 0
J’ = 7/6’ satisfait à l’identité B’ ( J’X, J’X)
V X E!i’
{ 0 ;,
C.Q.F.D.
DEMONSTRATION.
montrer
que dans la
=
’
=
-
=
,
8. Remarque finale.
o
Nous
utilisée
P
=
indiquons
encore
est
autre
une
la variété d’un groupe de Lie G
sur
interprétation
connexe.
de la connexion 7
Considérons le groupe
produit
G X G . Par la définition
(xl, x2 ) 0
P
brièvement
opère transitivement
la
diagonale
morphe
de
L’
( x 1, x 2 )
en tant
([5],
groupe ad G où ad : G -~
au
E
G
sur
( xl’ x 2 ) E P , x E G
x =
défini
involutif S : P ~ P
sme
G X G donne lieu à
que variété
d’ isotropie H au point e E G
Le groupe d’isotropie linéaire H est donc isoG L ( G ) désigne la représentation adjointe de G.
p. 181 ) . Le groupe
([ 5 ] ,
p.
x
2j
= (x2’
181). La
sur
G
à la
0
o
connexion V introduite
par la
pour
d’espace homogène symétrique
connexion canonique de cet espace s’identifie
une structure
symétrie Se :
au
paragraphe
4. Pour cela il suffit de voir
G - G définie par passage
au
quotient de S :P
que 7 est.invariante
-~ P
([ 6 ],
theorem
’
15.3).
Les
riants
tenseurs
biinvariants
l’opération (8.1)
sous
sont exactement
et sont
donc
en
les
tenseurs
en
exprimant
cette
ce
avec
tenseurs
(iii) des propositions 5.1
biinvariants
sur
G
sont
et
qui démontre
les conditions
les
dernière condition
7.1. Et il suit
on
de [6 ] ,
à dérivée covariante nulle dans la
o
connexion ~ ,
P/H inva-
l’invariance par ad G par l’invariance par rapport à Ad G
obtient immédiatement les conditions
theorem 15.4 que les
sur
correspondance biunivoque
resp. G invariant par ad G. En linéarisant
tenseurs sur
c’est-à-dire
de P
G
sur
(ii) des propositions 5.1
et
7.1.
9
Références.
[1]
E. CARTAN. La géométrie des groupes de
6
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
(1927),
C.
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Pures et
Appl.
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FRÖLICHER.
S.
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K.
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Invariant affine connexions
curvature
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J. Math.
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Math. J. 5 (1958), 13 - 18.
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Ann. 147
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Ph. TONDEUR. Fastkomplexe Strukturen auf einer Lieschen Gruppe.
Comment. Math. Helv. 38
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ihre