M. Guediri SUR LA COMPLÉTUDE DES PSEUDO

Rend. Sem. Mat. Univ. Poi. Torino
Voi. 52, 4 (1994)
M. Guediri
SUR LA COMPLÉTUDE DES PSEUDO-MÉTRIQUES INVARIANTES
A GAUCHE SUR LES GROUPES DE LIE NILPOTENTS
Abstract. We prove that every left-invariant pseudo-riemannian metric on a 2-step
nilpotent Lie group is geodesically complete, and give an example of a non-complete
left-invariant Lorentz metric on a 3-step nilpotent Lie group.
Introduction
Le problème de la complétude d'une métrique pseùdo-riemannienne est très différent
du cas riemannien, puisque la métrique ne définit plus une distance. Il existe par exemple
des métriques homogènes non cpmplètes. L'exemple le plus simple d'une telle situation
est celui du groupe affine A(1,R), autrement dit du groupe de Lie résoluble non abélien
de dimension 2, muni d'une métrique Lorentzienne invariante à gauche.
Dans cet article, on se propose d'étudier le cas nilpotent en montrant que toutes les
métriques pseudo-riemanniennes invariantes à gauche sur un groupe de Lie 2-nilpotent
sont géodésiquement complètes. De plus, nous donnons un exemple d'une métrique
Lorentzienne invariante à gauche (incomplète) sur un groupe de Lie 3-nilpotent. Le cas
résoluble fera Tobjet d'une publication ultérieure.
1. Géodésiques des métriques invariantes a gauche
Soit G un groupe de Lie, et soit Q son algebre de Lie. On sait què la donnée d'une
métrique pseudo-riemannienne invariante à gauche sur G équivaut à celle d'une forme
quadratique non dégénérée sur Q. De plus, toute courbe de classe C1 t i-» c(t) de G est
déterminée à une translation à gauche près par la courbe L~}t.c(t) de Q.
Affirmation. Les courbes de Q associées aux géodésiques sont les solutìons de Véquation
x = ad*xx (*)
où ad% est Vadjoint de adx relativement au produit scalaire sur Q.

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Preuve. Ceci découle immédiatement de la formule (voir [C-E])
VX,Y€G VXY =\{[X,Y]-ad*xY-ad*YX}
où V est la connexion de Levi-Civita associée à la métrique. •
2. Cas semi-simple
Dans le cas d'un groupe de Lie semi-simple G, la donnée d'une métrique pseudo-
riemannienne invariante à gauche g sur G est aussi equivalente à celle d'un isomorphisme
linéaire If-adjoint (fi de Q; K étant la forme de Killing (non dégénérée) de Q. De plus, g
et (fi se déterminent mutuellement par la relation
VX,YeG ge(X,Y)=K((fi(X),Y).
D'autre part, l'équation (*) s'écrit maintenant
Dans [G-L] nous avons établi le résultat suivant.
THÉORÈME. Si la métrique invariante à gauche sur 57(2, R) définie par
l 'endomorphisme (fi est Lorentzienne, elle n 'est complète que dans les deux cas suivants
a) 4> admet un sous-espace propre de dimension 2 au moins.
b) (fi est diagonalisable sur R, admet deux valeurs propres opposées, et les vecteurs
propres associés engendrent un espace Lorentzien.
REMARQUE
Ce théorème implique qu'un groupe de Lie semi-simple (non compact) admet des
métriques pseudo-riemanniennes invariantes à gauche non-complètes. En effet, l'algebre
de Lie d'un tei groupe contient toujours une sous-algèbre de Lie isomorphe à 5/(2, R).
Si on choisit (fi laissant cette sous-algèbre invariante, le sous-groupe correspondant sera
totalement géodésique. D'autre part, on sait que tout groupe de Lie semi-simple admet des
sous-groupe discrèts co-compacts, on obtient ainsi une foule d'espaces pseudo-riemanniens
compacts localement homogènes et non-complets.
3. Cas nilpotent
Rappelons qu'un groupe de Lie N d'algebre de Lie N est dit 2-nilpotent si
[M,M]cZ où Z est le centre de A/\
Autrement dit
Va; e Af ad2x= 0.

Sur la completitele des pseudo-métriques
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L'exemple classique d'un tei groupe est le groupe de Heisenberg H2p+i dont le
centre est de dimension 1.
3.1. L'objet de cet article est le résultat suivant.
THÉORÈME. Toutes les métrìques pseudo-riemanniennes invariantes à gauche
sur un groupe de Lie 2-nilpotent soni géodésiquement complètes.
Preuve. Soit N un groupe de Lie 2-nilpotent, A/" son algebre de Lie, et Z le centre
de M. Par la suite, on designerà par (•, •) le produit scalaire (indéfini) sur H provenant de
la métrique invariante à gauche ainsi considérée.
Cas où (•, )|2 est non degènere.
Soit li le supplémentaire orthogonal à Z, c'est-à-dire :
N = U@Z et(Z,U)=0.
Il existe donc une application j : Z —> End(U)\ définie par
j(z)y = ad*yz VyeU , zeZ.-
G'est-à-dire
<j(z)v,V) = (z,[yìV]) WeAf.
Affirmation. Pour x e Af , y eU et z e Z', on a
l)ad*y = 0
2) ad*zx ='0
Preuve. On a
WeAf (ad*yy,V) = (y,[y,V})
or [2/,'V] G Z , d'où 1). L'égalité 2) est evidente. •
Cela étant, si e est une géodésique de N et si on pose
Lc~à*éW
= y(f) + *(*)
avec
i/W
e u
»
z(f)G z
»
l'équation (*) s'écrit
z = 0

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En posant 2(0) = ZQ et A = j(zo) , on obtient
v = Mv)-
Cette équation avec la condition initiale y(0) = yo admet pour solution
y{t) = etAy0
Par consequent, la géodésique e est prolongeable ; la metrique est donc complète.
Cas où (-,-)\z est degènere.
Faisons la preuve pour le cas Lorentzien, le cas general n'est pas très différent.
Par hypothèse, le sous-espace Z est tangent au cóne isotrope. Par consequent, on
peut trouver b e Z et Z\ un sous-espace euclidien de Z tels que
Z = Rb@Z1 , {b,b) = {b,Z1)=-Q.
D'autre part, dans Z± , on peut trouver un vecteur e tei que
<c,c)=0, (6,c) = -l.
Autrement dit, on a la décomposition orthogonale suivante
M = Vect{b,c] (&U\ © Z\ avec (•, •)\Ul$Zl definì positif.
L'application j est, cette fois-ci, définie comme suit
j : Zi®Rc-+ End{Vect{b, e} 0 Wi).
LEMME. Avec tes mèmes notations précédentes on a :
j(c)ceUu j{c)yieUi®Rb, j(c)b = 0
j(zi)ceUi, Jiz^yxeUxQRb, j(zi)b=0.
Preuve. directe. •
Considérons une géodésique e de N, et posons :
Lc(t)*òW)= z(f)b+y(t)c+2/1 w + ^iw avec
2/1G
wi' *iG ^i-
L'équation (*) s'écrit maintenant
zb + yc + yi 4-ii = 2/(j (21 )c) +.7(21)2/1 + y2(j(c)c) + 2/W(c)2/i)-
D'après le lemme précédent, le membre de droite de l'expression ci-dessus, est dans U\®Rb.
On en déduit en particulier que
y = zi = 0.

Sur la completitele des pseudo-métriques 375
D'autre part, comme j(zi)b.= j(c)b = 0 , on a donc le système linéaire non
homogène suivant :
(zb + yi)f = j(zi0 + y0c)(zb + 2/1) + 2/0(7(210 -\-yoc)c) avec z10 = 2i(0),?/o = 2/(0).
On l'écrira de fa?on compacte
X = 'À(X) + b.
Ainsi, la géodésique e est prolongeable, et la métrique est donc complète.
Le cas general se traile exactement de la mème fagon qu'auparavant. Dans ce cas
on aurait une décomposition orthogonale de type :
JV=-^Vec*{6i,Ci}eWie2i.-
La preuve du théorème est ainsi achevée. •
3.2. Un exemple d'une pseudo-métrique 3-nilpotente incomplète
Soit l'algebre de Lie nilpotente Q± , doni {ei,...., e A} est une base telle que
[ei,e2] = e3 , [ei,e3] = e4,
les autres crochets étants nuls.
Le centre de Q± qu'on noterà Z est réduit à la droite Re4. De plus, on voit bien
que C/4 n'est pas 2-nilpotente, mais 3-nilpotente.
Considérons le groupe de Lie 3-nilpotent (simplement connexe) qu'on note G4 ,
associé à £4.
Soit (•, •) le produit scalaire (Lorentzien) sur C?4 défìni par :
(ei,ei> = -1 , (e^ei) = 1 et (e^ej) = 0 avec i ^ j.
PROPOSITION. La métrique Lorentzienne invariante à gauche sur G\ associée au
produit scalaire .(•,•) n'est pas complète.
Preuve. On vérifìe aisément que
ad*eie3 = e2, ad^e^ = -e3, ad*2e3 = -e\ et ad*3e4 = e\
et que les autres termes sont tous nuls.
L'équation (*) s'écrit donc
X\ = X3(x2 +£4)
x2 = X1X3 ( x
X3 = X\X£
X4 = 0