a un développement en fraction continue fini ou infini

ACTA ARITHMETICA
LXXIII.1 (1995)
Transformation homographique appliqu´ee
`a un d´eveloppement en fraction continue fini ou infini
par
Salah Labhalla (Marrakech) et Henri Lombardi (Besan¸con)
Introduction. Soit mun entier positif et xun nombre rationnel. L’algo-
rithme de Mend`es France ([Men1]) permet de calculer le d´eveloppement en
fraction continue de mx `a partir de celui de xsans passer par le calcul
du rationnel x. Cet algorithme permet en cons´equence d’obtenir des in-
formations de nature th´eorique sur la mani`ere dont se comporte “la mul-
tiplication par m” lorsqu’elle est vue comme portant directement sur les
d´eveloppements en fraction continue. Dans [Men1] par exemple, Mend`es
France obtient la borne suivante. Notons θ(m) la longueur maximum des
d´eveloppements en fraction continue “pairs” pour les rationnels de d´enomi-
nateur m, et notons lf(x) la longueur du d´eveloppement en fraction con-
tinue de x(pour xrationnel). Alors, si xest un rationnel positif, on a
lf(mx)≤(lf(x)−1)θ(m) + 1.
Dans la suite, nous abr´egeons “d´eveloppement en fraction continue” par
dfc.
Des majorations analogues mais plus compliqu´ees sont obtenues dans
[Men2] pour lf ((ax +b)/(cx +d)) lorsque a,b,c,dsont des entiers premiers
entre eux dans leur ensemble.
Dans l’article pr´esent, nous constatons que l’algorithme de [Men1] calcule
en fait le dfc de (ax +b)/d pour xrationnel et a,b,dentiers avec ad > 0.
Ceci nous permet de simplifier l’algorithme donn´e dans [Men2] et nous en
d´eduisons une meilleure majoration pour lf((ax +b)/(cx +d)). Si on note
lfp(x) et lfi(x) les longueurs des d´eveloppements en fraction continue pair
et impair de xon a pr´ecis´ement le r´esultat suivant.
Th´ eor` eme 2. Soit un rationnel x et des entiers a, b, c > 0et d. On
suppose a,b,cet d premiers entre eux dans leur ensemble et le d´eterminant
∆=ad −bc 6= 0. Alors,si ∆ > 0, on a
1991 Mathematics Subject Classification: Primary 11A55.
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30 S. Labhall a et H. Lombardi
(lf(x)−lfi(−d/c)−2)/θ(∆)≤lf ax +b
cx +d≤lf(x)θ(∆) + lfi(a/c) + 2,
et si ∆ < 0, on a
(lf(x)−lfp(−d/c)−2)/θ(∆)≤lf ax +b
cx +d≤lf(x)θ(∆) + lfp(a/c)+2.
Ces r´esultats restent valables pour le cas c= 0 si nous prenons convention-
nellement lfi(∞) = −2et lfp(∞) = −1.
Enfin nous montrons (th´eor`eme 3) que les kpremiers termes du d´evelop-
pement en fraction continue de (ax +b)/(cx +d) ne d´ependent que des
kθ(ad −bc) + lf (−d/c) + 3 premiers termes du d´eveloppement en fraction
continue de x.
Ce r´esultat de continuit´e uniforme “lipschitzienne”, bien que d´ecoulant
intuitivement du th´eor`eme 2, semble a priori assez surprenant, dans la
mesure o`u il s’agit d’un r´esultat de continuit´e uniforme et non de continuit´e
en tout point. Cela permet aussi de montrer que, lorsque xest irrationnel,
le d´eveloppement en fraction continue de (ax +b)/(cx +d) peut ˆetre calcul´e
par “le mˆeme algorithme”.
1. Rappels sur les fractions continues. Soit a0un entier et (a1,
a2, . . . , an) une suite finie d’entiers strictement positifs. Nous notons par
/a0, a1, . . . , an/la fraction continue finie
a0+1
a1+1
a2+...
+1
an
.
Dans le cas d’une suite infinie, nous notons ´egalement /a0, a1, . . . , an, . . . /
la fraction continue infinie.
Alors chaque nombre irrationnel xa une unique repr´esentation en frac-
tion continue infinie et chaque nombre rationnel xa une unique repr´esenta-
tion en fraction continue finie
/a0, a1, . . . , an/avec an>1 si n≥1.
En outre /a0, a1, . . . , an/=/a0, a1, . . . , an−1,1/(avec n≥0). On en d´eduit
que tout rationnel xa une unique repr´esentation en fraction continue finie
/a0, a1, . . . , an/avec npair. Il existe ´egalement un unique d´eveloppement
en fraction continue se terminant avec nimpair.
Terminologie et notation. Dans la suite, nous dirons dfc pair (resp. dfc
impair ) pour un dfc se terminant sur un indice pair (resp. impair). Pour un
rationnel xon notera

D´eveloppement en fraction continue 31
•lf(x) la longueur du dfc de x,
•lfp(x) la longueur (impaire) du dfc pair de x,
•lfi(x) la longueur (paire) du dfc impair de x;
pour un entier positif mon note
•θ(m) la longueur maximum des d´eveloppements en fraction continue
“pairs” pour les rationnels de d´enominateur m, c’est-`a-dire encore le maxi-
mum des lfp(i/m) pour i= 0, . . . , m −1. Enfin par convention θ(−m) =
θ(m). Notez que θ(±1) = 1.
Les fonctions ψ(x) et ψ∗(x) dans [Men1] sont respectivement ´egales `a
lf(x)−1 et lfp(x)−1. A un d´eveloppement en fraction continue ordinaire
/a0, a1, . . . , an/est associ´ee une fonction homographique z7→ /a0, a1, . . . ,
an, z/, qui est la compos´ee des fonctions z7→ /ai, z/=ai+1/z. Ceci permet
d’attribuer une signification claire `a l’´ecriture /a0, a1, . . . , an, z/pour n’im-
porte quelles valeurs r´eelles des ai, avec zet /a0, a1, . . . , an, z/dans R∪{∞},
et donc aussi `a /a0, a1, . . . , an/=/a0, a1, . . . , an,∞/.
Terminologie. Si un rationnel xest ´egal `a un d´eveloppement /a0, a1, . . . ,
an/avec des entiers aiqui ne respectent pas la condition d’ˆetre strictement
positifs pour tous les i > 1, on dira que /a0, a1, . . . , an/est un faux dfc
de x. Un rationnel xa donc deux vrais dfc (son dfc pair et son dfc impair)
et . . . beaucoup de faux dfc.
Notez qu’on a pour tout k < n,
/a0, a1, . . . , ak, ak+1, . . . , an/=/a0, a1, . . . , ak,(/ak+1, . . . , an/)/,
ce qui permet d’attribuer raisonnablement la valeur ∞au dfc vide //.
Lorsqu’on repr´esente les fonctions homographiques par des matrices
(d´efinies `a un scalaire multiplicatif pr`es), la fonction z7→ /ai, z/corre-
spond `a la matrice ai1
1 0 et la fonction z7→ /a0, a1, . . . , an, z/correspond
au produit des matrices
a01
1 0 a11 1 0 . . . an1 1 0 .
Notez qu’un produit vide de matrices est raisonnablement ´egal `a la matrice
identit´e, qui correspond `a la fonction homographique x7→ xlaquelle prend
bien la valeur ∞en ∞.
Terminologie. Si on consid`ere un d´eveloppement en fraction continue
/a0, a1, . . . , an/(vrai ou faux) form´e d’entiers, et si on a
u u0
v v0=a01 1 0 . . . ai1 1 0 ,
on dit que l’´el´ement u/v de Q∪ {∞} est le (i+ 1)-`eme convergent du dfc
(alors u0/v0est le i-`eme convergent du dfc).

32 S. Labhall a et H. Lombardi
2. Calcul du d´eveloppement en fraction continue de (ax +b)/d
`a partir du d´eveloppement en fraction continue de x
2.1. Premier algorithme. Nous donnons dans cette section un algorithme
analogue `a celui donn´e par [Men1] et bien explicit´e dans [Coh]. Il conduit `a
un faux dfc du rationnel (ax +b)/d. Il est bas´e sur le lemme suivant qui est
l’analogue matriciel des lemmes 1 et 2 dans le papier cit´e.
Lemme 1. On consid`ere des entiers a > 0, b arbitraire,d > 0et v
arbitraire. On note /e0, e1, . . . , e2s/le dfc pair de (av +b)/d. On note g=
pgcd(|av +b|, d), a0= (av +b)/g,d0=d/g et d00 le d´enominateur de l’avant-
dernier convergent,c’est-`a-dire encore que a0,d0et d00 sont donn´es par
a0a00
d0d00 =e01 1 0 e11 1 0 . . . e2s1 1 0 .
Alors on a
(∗)a b
0dv1 1 0 =e01 1 0 . . . e2s1 1 0 g−d00a 0d0a
avec 0≤d00 < d0. Le cas d00 = 0 correspond au cas o`u s= 0, c’est-`a-dire,
(av +b)/d entier.
P r e u v e. La propri´et´e 0 ≤d00 < d0est bien connue et r´esulte de ce que
les eisont >0 pour i≥1. Le calcul de la matrice
A=a0a00
d0d00 −1a b 0dv1 1 0 =−d00 a00 d0−a0av +b a d0
fournit facilement les termes 0, d0aet −d00ade la matrice
A=g−d00a
0d0a.
Enfin le dernier coefficient est gpuisqu’on sait que le d´eterminant de Aest
´egal `a ad.
Remarquez que l’´egalit´e (∗) signifie qu’on peut remplacer le produit
d’une matrice du type a b
0det d’une matrice du type v1 1 0 par le pro-
duit de plusieurs matrices du type v1
1 0 et d’une matrice du type a b 0d. On
en d´eduit l’algorithme suivant :
Algorithme 1. Entr´ees : des entiers a > 0, barbitraire, d > 0 et le dfc
/x0, x1, . . . , xn/d’un nombre rationnel x. On note ∆le d´eterminant ad.
Initialisation :a0=a,b0=b,d0=d.
´
Etape k (pour kde 0 `a n) : On calcule /ek,0, ek,1, . . . , ek,2sk/le dfc pair
de (akxk+bk)/dk. On note λkla liste [ek,0, ek,1, . . . , ek,2sk].

D´eveloppement en fraction continue 33
Si k < n on fait quelques calculs suppl´ementaires :
•ak+1 = pgcd(|akxk+bk|, dk),
•dk+1 =∆/ak+1 et
•bk+1 =−fkako`u fkest “le d´enominateur de l’avant-dernier conver-
gent” du dfc λk: notez qu’on a −dk+1 < bk+1 ≤0 et que bk+1 = 0 ssi
(akxk+bk)/dkest entier (cf. lemme 1).
Sortie : la liste concat´en´ee des λk:
λ=λ0•λ1•. . . •λn= [e0,0, e0,1, . . . , e0,2s0, . . . , en,0, en,1, . . . , en,2sn].
Proposition 1. La sortie de l’algorithme 1, lorsque les entr´ees v´erifient
les hypoth`eses indiqu´ees,fournit un d´eveloppement en fraction continue (en
g´en´eral faux )de (ax +b)/d :
/e0,0, e0,1, . . . , e0,2s0, . . . , en,0, en,1, . . . , en,2sn/.
P r e u v e. L’´egalit´e matricielle obtenue par application r´ep´et´ee du
lemme 1 montre en fait le r´esultat un peu plus fort : la fonction homo-
graphique associ´ee au faux dfc calcul´e est ´egale `a la compos´ee
(z7→ (az +b)/d)◦(z7→ /x0, x1, . . . , xn, z/).
Les faits suivants, concernant le faux dfc calcul´e par l’algorithme, sont
expliqu´es en mˆeme temps qu’´enonc´es.
Faits 1. Dans le faux dfc obtenu, tous les entiers sont strictement positifs
sauf ´eventuellement les ek,0qui peuvent ˆetre ´egaux `a 0 ou −1 pour k=
1, . . . , n (et avec e0,0arbitraire). En outre:
•La longueur du faux dfc obtenu est major´ee par θ(∆)lf(x) (clair).
•Si un ek,0avec k≥1 est ´egal `a −1, l’entier bkest <0 et le rationnel
(akxk+bk)/dkest strictement compris entre −1 et 0, donc la longueur de
λk−1et celle de λksont ≥3. Ainsi un terme −1 non initial est toujours
pr´ec´ed´e et suivi de deux termes >0.
•Si une liste λkest de longueur 1 et si k < n, l’entier bk+1 est nul et le
rationnel (ak+1xk+1 +bk+1)/dk+1 est >0. Ainsi deux termes 0 cons´ecutifs
sont n´ecessairement suivis de deux termes >0. Remarquez cependant que
le faux dfc peut tr`es bien se terminer par un 0.
2.2. Algorithme de r´e´ecriture d’un faux dfc. Nous passons maintenant `a
la deuxi`eme phase de l’algorithme de Mend`es France, qui consiste `a r´etablir
le “faux dfc” dans sa forme normale. La version donn´ee dans [Men2] est
plus g´en´erale, et, nous semble-t-il, plus convaincante que celle donn´ee dans
[Men1]. Avec l’algorithme de [Men2] tout “faux dfc” peut ˆetre transform´e
en un vrai dfc au moyen de “transformations ´el´ementaires”.