Correction devoir 11

TISSERAND Correction Devoir n°11 : TS2 04/02/2010
1.1. Un mouvement est circulaire et uniforme si la trajectoire est un cercle et la valeur de la vitesse est
constante.
1.2. Pour observer un mouvement circulaire uniforme, le vecteur accélération
a
r
du mobile doit être radial
(porté par le rayon du cercle), centripète (orientée vers le centre du cercle) et de norme constante.
1.3.
Force d'interaction gravitationnelle
A B
F
→
r
exercée par le corps A sur le corps B :
A B
A B
M .M
F G. .u
d
→
= −
r
r
2.1. Période de révolution
La période de révolution de Pluton est la durée nécessaire pour que Pluton fasse un tour complet autour du Soleil,
soit 248 années sidérales.
2.2. Étude du mouvement de Charon2.2.1. Appliquons la deuxième loi de Newton au centre d’inertie G de
Charon de masse M
C
dans le référentiel plutonocentrique galiléen :
P C C G
F M .a
→
=
r
r
Or
P C
P C
M .M
F G. .u
R
→
= −
r
r
donc
P C
M .M
G. .u
R
−
r
=
C G
M .a
r
En simplifiant par M
C
il vient :
G
a
r
=
P
M
G. .u
R
−
r
Caractéristiques du accélération
G
a
r
:
- direction : droite Pluton-Charon (direction radiale)
- sens : de Charon vers Pluton : vecteur centripète car dirigé selon -
u
r
.
- norme :
1
2
P
G
M
a G.
R
= : la norme est constante car G, M
P1
et R sont
constants.
A B
F
→
r
P
C
R
u
r
G
a
r
Image de Pluton et Charon, prise
par le télescope spatial Hubble, le
21 Février 1994

TISSERAND Correction Devoir n°11 : TS2 04/02/2010
2.2.2. Le vecteur accélération est radial, centripète et de norme constante. D’après la question 1.2. ces deux
conditions satisfont à un mouvement circulaire et uniforme.
D’autre part, dans le cas d’un mouvement circulaire et uniforme, le vecteur accélération s’écrit aussi :
G
a
r
=
v
.n
R
r
avec
n
r
vecteur unitaire tel que
n u
= −
r
r
Et
G
a
r
=
P
M
G. .u
R
−
r
=
P
M
G. .n
R
r
En identifiant les deux expressions de
G
a
r
, il vient :
v
.n
R
r
=
P
M
G. .n
R
r
v² =
1
P
M
G.
R
finalement : v =
1
P
G.M
R
(en ne gardant que la solution positive).
2.2.3. La période de révolution T de Charon autour de Pluton, est la durée pour que Charon fasse un tour complet
autour de Pluton (parcourant ainsi la distance 2πR) à la vitesse v.
Ainsi v =
2
R
T
π
⇔ T =
2
R
v
π
2.2.4. Reportons l’expression de v dans celle de T :
T =
3
1
1
2 2 2
P
P
R R R
v G.M
G.M
R
π π
= = π
En élevant au carré : T² = 4π². 3
1
P
R
G.M
Finalement :
2 2
3
P1
T 4
R G M
π
=⋅
2.3.1. La détermination de la masse de Pluton, à partir de 1978, a été faite à partir de la période de révolution T de
Charon autour de Pluton et de la distance moyenne R entre Pluton et Charon.
2.3.2. On a :
2 3
1
2
4
P
. .R
M
G.T
π
= avec R en m et T en s !!
M
P1
(
)
( )
3
2 7
2
11
4 1 94 10
6 673 10 6 387 86400
. . , .
, . . ,
−
π
=× = 1,42.10
22
kg.
Remarque : on vérifie bien que M
P1
> M
C
… avec environ un facteur 10 seulement.
2.3.3. Avec la relation :
2 2
3
P2 C
T 4
R G (M M )
π
=⋅ + il vient :
2 3
2
2
4
P C
. .R
M M
G.T
π
+ =
soit finalement : 2 3
22
4
P C
. .R
M M
G.T
π
= − = M
P1
– M
C
M
P2
22 21
1 42 10 1 61 10
, . , .= − = 1,26.10
22
kg
2.3.4. La valeur admise pour la masse de Pluton est 1,31.10
22
kg. Cette valeur est plus proche de 1,26.10
22
kg (écart
relatif de
, ,
,
1 31 1 26
100
131
−×
= 4%) que de 1,42.10
22
kg (écart relatif de
, ,
,
131 1 42
100
131
−×
= 8%).
On ne peut donc pas négliger la masse de Charon devant celle de Pluton. L’hypothèse formulée au 2.3.3. est sans
doute vraie.