Correction devoir 11

TISSERAND
Correction Devoir n°11 : TS2
04/02/2010
1.1.
Un mouvement est circulaire et uniforme si la trajectoire est un cercle et la valeur de la vitesse est
constante.
1.2.
Pour observer un mouvement circulaire uniforme, le vecteur accélération a du mobile doit être radial
(porté par le rayon du cercle), centripète (orientée vers le centre du cercle) et de norme constante.
r
1.3.
r
FA →B
r
Force d'interaction gravitationnelle FA → B exercée par le corps A sur le corps B :
2
r
M .M r
FA →B = −G. A B .u
d
2.1. Période de révolution
La période de révolution de Pluton est la durée nécessaire pour que Pluton fasse un tour complet autour du Soleil,
soit 248 années sidérales.
2.2. Étude du mouvement de Charon2.2.1. Appliquons la deuxième loi de Newton au centre d’inertie G de
Charon de masse MC dans le référentiel plutonocentrique galiléen :
C
r
r
FP →C = MC .aG
donc
P
r
u
12
En simplifiant par MC il vient :
r
M .M r
−G. P C .u = MC .aG
R
2
2
r
aG
1
1
r
M .M r
Or FP →C = −G. P C .u
R
r
M r
aG = −G. P .u
R
R
r
Caractéristiques du accélération aG :
- direction : droite Pluton-Charon (direction radiale)
r
- sens : de Charon vers Pluton : vecteur centripète car dirigé selon - u .
- norme : aG = G.
MP1
R2
: la norme est constante car G, MP1 et R sont
constants.
Image de Pluton et Charon, prise
par le télescope spatial Hubble, le
21 Février 1994
TISSERAND
Correction Devoir n°11 : TS2
04/02/2010
2.2.2. Le vecteur accélération est radial, centripète et de norme constante. D’après la question 1.2. ces deux
conditions satisfont à un mouvement circulaire et uniforme.
2
D’autre part, dans le cas d’un mouvement circulaire et uniforme, le vecteur accélération s’écrit aussi :
finalement :
v=
12
MP1
R
2
v² = G.
12
12
r
r
r
v r
.n avec n vecteur unitaire tel que n = −u
R
r
M r
M r
Et
aG = −G. P .u = G. P .n
R
R
r
En identifiant les deux expressions de aG , il vient :
r
aG =
v r
M r
.n = G. P .n
R
R
G.MP1
(en ne gardant que la solution positive).
R
2.2.3. La période de révolution T de Charon autour de Pluton, est la durée pour que Charon fasse un tour complet
autour de Pluton (parcourant ainsi la distance 2πR) à la vitesse v.
Ainsi
v=
2πR
T
⇔
T=
2πR
v
2.2.4. Reportons l’expression de v dans celle de T :
T=
2πR
=
v
2πR
G.MP1
R
= 2π
R3
G.MP1
T2
4π 2
=
Finalement :
R 3 G ⋅ M P1
R3
T² = 4π².
G.MP1
En élevant au carré :
2.3.1. La détermination de la masse de Pluton, à partir de 1978, a été faite à partir de la période de révolution T de
Charon autour de Pluton et de la distance moyenne R entre Pluton et Charon.
2.3.2. On a : MP1 =
MP1 =
4.π2 .R3
G.T 2
(
4.π2 . 1, 94.107
avec
)
3
6, 673.10 . ( 6, 387 × 86400 )
−11
R en m et T en s !!
2
= 1,42.1022 kg.
Remarque : on vérifie bien que MP1 > MC … avec environ un facteur 10 seulement.
2.3.3. Avec la relation :
soit finalement : MP 2 =
4.π2 .R3
T2
4π2
=
il
vient
:
M
+
M
=
P2
C
R 3 G ⋅ (M P 2 + M C )
G.T 2
4.π2 .R3
− MC = MP1 – MC
G.T 2
MP2 = 1, 42.1022 − 1, 61.1021 = 1,26.1022 kg
2.3.4. La valeur admise pour la masse de Pluton est 1,31.1022 kg. Cette valeur est plus proche de 1,26.1022 kg (écart
relatif de
1, 31− 1, 26
1, 31− 1, 42
× 100 = 4%) que de 1,42.1022 kg (écart relatif de
× 100 = 8%).
1, 31
1, 31
On ne peut donc pas négliger la masse de Charon devant celle de Pluton. L’hypothèse formulée au 2.3.3. est sans
doute vraie.