UFR Sciences

I. Etude d’un tourne-disque
On considère un tourne-disque (vu de dessus sur la
figure ci-contre), constitué d’un plateau et d’un disque
que l’on suppose liés. On assimile l’ensemble, appelé
système dans la suite, à un cylindre homogène de
moment d’inertie 𝑰=!𝟏
𝟐
𝒎𝑹𝟐, avec 𝒎=𝟏𝟎𝟎 g et
𝑹=𝟑𝟎 cm. L’aiguille de lecture exerce sur le disque
une force de frottement constante
€
F
représentée sur la
figure de droite. On supposera qu’elle a une norme de
0,09 N et qu’elle est orthogonale à un rayon du disque.
On supposera que l’aiguille frotte sur le disque en un
point C situé à 10 cm du centre.
1) Le disque tourne à vitesse angulaire 𝝎𝟎=𝟑𝟑,𝟑𝟑 tours/min constante. Qu’est ce qui fait
tourner le système ? Moteur
Que peut-on dire de la somme des moments des forces extérieures exercées ? Justifier
votre réponse. 𝜔!=𝑐𝑡𝑒 ⟹!!!
!"
=0⟹𝑀=0
2) Calculer la valeur du moment du couple moteur ? Préciser, sa direction et son sens.
Faire l’application numérique. 𝑀=−𝑂𝐶 ∧𝐹 -> 𝑀 vertical vers le bas
𝑀=0,009 Nm
3) En déduire la puissance consommée par le moteur. 𝑃=𝑀𝜔!=31 mW
On suppose maintenant que l’on coupe le moteur et que le système plateau-disque peut tourner
librement. Il a initialement une vitesse angulaire 𝝎𝟎=𝟑𝟑,𝟑𝟑 tours/min. Seule la force de
frottement due à l’aiguille va le freiner. On suppose que le point de contact entre l’aiguille et le
disque est constamment à 10 cm du centre.
4) En appliquant le théorème du moment cinétique qui relie le moment cinétique aux
moments des forces extérieures, trouver l’équation différentielle qui régit l’évolution
temporelle de la vitesse angulaire 𝝎(𝒕). 𝐼𝑑𝜔
𝑑𝑡
=−𝑂𝐶.𝐹
5) En déduire l’expression de 𝝎(𝒕). 𝜔𝑡=𝜔!−!".!
!
𝑡
6) Au bout de combien de temps le système va-t-il s’arrêter ? Faire l’application
numérique. 𝑡=!!!
!".!
=1,7 s
ANNÉE 2012-2013
Examen terminal 1ère session
18 décembre 2012
LICENCE Sciences et Technologie – 2ème année
Examen terminal
EPC31
Physique du mouvement
Durée 1,5 heures
UFR Sciences
F
O
C

II. Pendule balistique
Le pendule balistique servait à mesurer la vitesse des
balles avant l’invention d’appareils électroniques. Le
modèle schématisé sur la figure ci-contre consiste en un
bloc de bois de masse M = 5 kg.
Le bloc est initialement au repos. On tire une balle de
masse m = 10 g horizontalement dans le bloc où elle
reste prisonnière. Le bloc et la balle se balancent alors
vers le haut pour atteindre une élévation maximale à
partir de laquelle on en déduit le module de la vitesse
de la balle avant la collision. On posera g=10 m/s2.
Etude du pendule :
Pour simplifier les calculs, on assimilera le bloc à un cube homogène de côté a. On négligera la
masse de la balle. Le moment d’inertie du bloc par rapport à un axe qui passe par son centre de
masse G est 𝑰=𝟏
𝟔
𝑴𝒂𝟐. Il est fixé à l’axe de rotation en O par une tige rigide de masse
négligeable. La distance entre G, le centre de masse du pendule, et l’axe de rotation est égale à
2a.
1) Donner l’expression de IO, le moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation.
𝐼!=𝐼+𝑀(2𝑎)!=!"
!
𝑀𝑎!
2) On suppose que le bloc et sa tige peuvent tourner librement autour de l’axe de rotation,
sans frottement. Si le bloc a tourné d’un angle 𝜽𝟎 par rapport à sa position d’équilibre,
montrer que la variation d’énergie potentielle de pesanteur est 𝚫𝑬𝒑 =𝑴𝒈(𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟎).
Attention, erreur d’énoncé : l’expression correcte est Δ𝐸𝑝 =𝑀𝑔2𝑎(1−cos 𝜃!)
3) Juste après le choc avec la balle, le bloc, en position verticale, a une vitesse v. En déduire
sa vitesse angulaire initiale en fonction de v et a. 𝜔!=!
!!
Quelle est son énergie cinétique initiale ? 𝐸𝑐!=!
!
𝐼!𝜔!
!=!"
!"
𝑀𝑣!
4) En déduire une relation entre v et 𝜽𝟎. Δ𝐸𝑐 =−Δ𝐸𝑝 ⇒𝑣=2𝑎!!"#(!!cos !!)
!!
Faire l’application numérique si 𝜽𝟎=𝟑𝟎° et 𝒂=𝟏𝟓 cm. 𝑣=0,88 m/s.
Etude du choc :
5) La balle va s’encastrer dans le bloc en bois. De quel type de choc s’agit-il ?
Choc mou
6) Connaissant la vitesse de v de l’ensemble bloc+balle juste après le choc, quelle est la
vitesse de la balle vb avant le choc ?
Conservation de la quantité de mouvement ⟹𝑣!=!!!
!
𝑣
Faire l’application numérique. 𝑣!=439 m/s
III. Pluton et Charon
Pluton, qui a longtemps été la dernière planète du système solaire avant d’être déclassée, a trois
satellites connus. Nous ne considérerons que le plus gros d’entre eux, Charon. Tout au long de
l’exercice, on négligera l’attraction du Soleil.
Vb
G
O
a
2a

1) Ecrire les équations du mouvement satisfaites par Pluton en M1 et Charon en M2 dans
un référentiel absolu galiléen d’origine O. On notera m1 la masse de Pluton et m2 celle de
Charon.
𝑚!
!!!!!
!!!=𝐹
!→!
𝑚!
!!!!!
!!!=𝐹
!→!!
2) En déduire le mouvement de G le centre de masse du système ? Justifier votre réponse.
𝐹
!→!=−𝐹 !→!⇒!!!"
!!!=0⇒ G est immobile ou translation rectiligne uniforme
3) On note 𝒓=𝑴𝟏𝑴𝟐, la distance relative entre Pluton et Charon. Déterminer les
distances 𝑮𝑴𝟏 et 𝑮𝑴𝟐 de Pluton et de Charon à leur centre de masse G en fonction de
r ?
𝐺𝑀!=!!
!!!!!
𝑟!!et!𝐺𝑀!=!!
!!!!!
𝑟!!
Pour ce système, m1 = 7m2. Sachant que la distance r = 20 000 km, faire l’application
numérique pour ces distances. 𝐺𝑀!=!
!
𝑟=2!500!km!!et!𝐺𝑀!=!
!
𝑟=17!500!km!
Le rayon de Pluton étant de 1 200 km, commenter ce résultat. Le rayon de la trajectoire
du Pluton est plus grand que le rayon de l’astre (contrairement à la Terre ou au Soleil).
4) Représenter sur un dessin, dans le référentiel barycentrique, les trajectoires de Pluton et
Charon supposées circulaires. Indiquer aussi le centre de masse et les vitesses.
cercles concentriques centrés sur G ;
Pluton + G + Charon alignés correctement ;
Vitesses.