Afrique 2008 EXERCICE II. PLUTON ET CHARON

Afrique 2008 EXERCICE II. PLUTON ET CHARON (5 points)
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1. Généralités
1.1. Un mouvement est circulaire et uniforme si la trajectoire est un cercle et la valeur de la
vitesse est constante.
1.2. Pour observer un mouvement circulaire uniforme, le vecteur accélération
a
du mobile
doit être radial (porté par le rayon du cercle), centripète (orientée vers le centre du
cercle) et de norme constante.
1.3.
Force d'interaction gravitationnelle
AB
F
exercée par le corps A sur le corps B :
AB
AB M .M
F G. .u
d
 2
2. Étude du système Pluton - Charon
2.1. Période de révolution
La période de révolution de Pluton est la durée nécessaire pour que Pluton fasse un tour
complet autour du Soleil, soit 248 années sidérales.
2.2. Étude du mouvement de Charon
2.2.1. Appliquons la deuxième loi de Newton au centre d’inertie G de Charon de masse MC
dans le référentiel plutonocentrique galiléen :
P C C G
F M .a
Or
PC
PC M .M
F G. .u
R
 1
2
donc
PC
M .M
G. .u
R
1
2
=
CG
M .a
En simplifiant par MC il vient :
G
a
=
P
M
G. .u
R
1
2
Caractéristiques du accélération
G
a
:
- direction : droite Pluton-Charon (direction radiale)
- sens : de Charon vers Pluton : vecteur centripète car
dirigé selon -
u
.
- norme :
1
2
P
GM
a G. R
: la norme est constante car G, MP1
et R sont constants.
AB
F
P
C
R
u
G
a
Image de Pluton et Charon, prise
par le télescope spatial Hubble, le
21 Février 1994

2.2.2. Le vecteur accélération est radial, centripète et de norme constante. D’après la
question 1.2. ces deux conditions satisfont à un mouvement circulaire et uniforme.
D’autre part, dans le cas d’un mouvement circulaire et uniforme, le vecteur accélération s’écrit
aussi :
G
a
=
v.n
R
2
avec
n
vecteur unitaire tel que
nu
Et
G
a
=
P
M
G. .u
R
1
2
=
P
M
G. .n
R1
2
En identifiant les deux expressions de
G
a
, il vient :
v.n
R
2
=
P
M
G. .n
R1
2
v² =
1P
M
G. R
finalement : v =
1P
G.M
R
(en ne gardant que la solution positive).
2.2.3. La période de révolution T de Charon autour de Pluton, est la durée pour que Charon
fasse un tour complet autour de Pluton (parcourant ainsi la distance 2R) à la vitesse v.
Ainsi v =
2R
T
 T =
2R
v
2.2.4. Reportons l’expression de v dans celle de T :
T =
3
1
1
222P
P
R R R
v G.M
G.M
R
En élevant au carré : T² = 4².
3
1P
R
G.M
Finalement :
22
3P1
T4
R G M
2.3. Détermination de la masse de Pluton
2.3.1. La détermination de la masse de Pluton, à partir de 1978, a été faite à partir de la période
de révolution T de Charon autour de Pluton et de la distance moyenne R entre Pluton et
Charon.
2.3.2. On a :
23
12
4
P. .R
MG.T
avec R en m et T en s !!
MP1
3
27
2
11
4 1 94 10
6 673 10 6 387 86400
. . , .
, . . ,
= 1,42.1022 kg.
Remarque : on vérifie bien que MP1 > MC … avec environ un facteur 10 seulement.
2.3.3. Avec la relation :
22
3P2 C
T4
R G (M M )
il vient :
23
22
4
PC
. .R
MM G.T
soit finalement :
23
22
4
PC
. .R
MM
G.T
= MP1 – MC
MP2
22 21
142 10 161 10, . , .
= 1,26.1022 kg
2.3.4. La valeur admise pour la masse de Pluton est 1,31.1022 kg. Cette valeur est plus proche
de 1,26.1022 kg (écart relatif de
,,
,
131 126 100
131
= 4%) que de 1,42.1022 kg (écart relatif de
,,
,
131 142 100
131
= 8%).
On ne peut donc pas négliger la masse de Charon devant celle de Pluton. L’hypothèse
formulée au 2.3.3. est sans doute vraie.