son corrigé - ambition

2nde / mathématiques / LFA
SECONDE
Mme MAINGUY
Ficheexercicesn°1:corrigé
Ch.7
probabilités
ÊExercice1
Les questions suivantes sont indépendantes.
1/
( )
( )
( )
( )
(
)
Soit Ω un univers et A et B deux événements de Ω tels que p A = 0,4 , p B = 0,6 et p A ∩ B = 0,2 .
( )
( )
p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) = 0,4 + 0,6 − 0,2 = 0,8 .
p A = 1− p A = 1− 0,4 = 0,6
2/
Soit Ω un univers et A et B deux événements de Ω tels que p A = 0,35 , p B = 0,45
A et B sont incompatibles : on en déduit que p ( A ∩ B ) = 0 . On a alors :
(
)
( ) ( )
p A ∪ B = p A + p B = 0,35 + 0,45 = 0,8
Ê Exercice2
LéasouhaiteacheteruneBD.Ellealechoixentredeuxformats:petitformatougrandformat.Ellepeutaussichoisirune
BDencouleurouennoiretblanc.
ElledécidedechoisirauhasarduneBDparmicellesquiluisontproposées.
Onnotelesévénements:
C :«laBDestencouleur»
P :«laBDestd’unpetitformat».
VoicilarépartitionesBDquiluisontproposées:
BDencouleur BDennoiretblanc Total
BDpetitformat
18
5
23
BDgrandformat
7
0
7
Total
25
5
30
C estl’événement:«laBDestennoiretblanc»; P estl’événement:«laBDestdegrandformat».
P et C nesontpasdesévénementscontraires.
Cesdeuxévénementssontincompatibles:eneffetd’aprèsletableau: p P ∩ C = 0 .
(
)
Ainsi P et C sontincompatiblessansêtrecontraires.
Ê Exercice3
Uneurnecontient25jetons:desbleus,desrougesetdesjaunes,indiscernablesautoucher.
Onextraitauhasardunjetondel’urneetonnotesacouleur.
Onsaitquelaprobabilitéquelejetonsoitbleuestégaleà0,2etlaprobabilitéquelejetonsoitrougeestégaleà0,16.
´Déterminonslenombredejetonsdechaquecouleurdansl’urne:
notons: B l’événement:«onextraitunjetonbleu», R l’événement:«onextraitunjetonrouge»et
J l’événement:«onextraitunjetonjaune».Notonsaussi b lenombredejetonsbleus, r ,lenombredejetonsrouges
etenfin j lenombredejetonsjaunescontenusdansl’urne.
Calculonsd’abordlaprobabilitéd’extraireunjetonjaune:
p J + p B + p R = 1 ⇔ p J = 1− p B − p R = 1− 0,2 − 0,16 = 0,64 .
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
Ona 64% dechancesd’extraireunjetonjaunedel’urne.
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Remarquonsquechaquejetonayantlamême«chance»d’êtreextrait,onestdansunesituationd’équiprobablité.
nombre de jetons bleus b
Onendéduitque: p B =
=
= 0,2 .Onendéduitque: b = 0,2 × 25 = 5 .
nombre total de jetons 25
L’urnecontientdonc5jetonsbleus.
Enprocédantdelamêmemanière,oncalculelenombredejetonsrouges:
r
p R =
= 0,16 ⇔ r = 0,16 × 25 = 4 .
25
Sachantquel’urnecontient25jetons,onaalors: j = 25 − b − r = 25 − 5 − 4 = 16 .
Conclusion:l’urnecontient5jetonsbleus,4jetonsrougeset16jetonsjaunes.
( )
( )
Ê Exercice4
UneurnedeBernoulliestuneurnecontenantdeuxsortesdeboules.Ellepermetdemodéliserdenombreusessituations.
0 ≤ Rand
<1
0,3 ≤ Rand
+ 0,3 < 1,3
1) a/
, d’où :
..
()
()
⎡0,3 ;1 ⎡⎣
⎡1;1,3 ⎡⎣
b/ La longueur de l’intervalle ⎣
est 0,7 , celle de l’intervalle ⎣
est 0,3 (voir schéma c-dessous)
(
c/L’instruction int Rand
( ) + 0,3) renvoielavaleur0avecuneprobabilitéégaleà0,7;ellerenvoielavaleur1
avecuneprobabilitéégaleà0,3.
2) a/Une urne contient 30% de boules bleues et 70% de boules rouges. L’expérience consiste à tirer au hasard
une
boule de l’urne et à noter sa couleur.
Simulation de cette expérience aléatoire avec le tableur d’une calculatrice :
– rappelons d’abord que la probabilité obtenue de façon expérimentale se rapproche de la probabilité
théorique
à condition de répéter l’expérience un très grand nombre de fois (théorie des grands nombres).
– Si on note B l’événement « on tire une boule bleue » et R l’événement « obtenir une boule rouge »
alors sur
notre feuille de calcul, l’événement B est représenté par la valeur 1 et l’événement R est représenté par
la
valeur 0.
– On peut considérer qu’en effectuant une simulation de 1000 tirages, les fréquences expérimentales
seront
proches des fréquences théoriques .
(
– Ainsi, il suffit de copier dans la cellule A1, la formule = int Rand
( ) + 0,3)
et de l’étirer jusqu’à la cellule
A1000.
– la fréquence de « 1 » sera proche de 0,3 et la fréquence de « 0 » sera proche de 0,7.
b/ Reprenons la question précédente avec 90% de boules bleues et 10% de boules rouges.
(
On utilise la formule = int Rand
( ) + 0,9) . On a : 0,9 ≤ Rand ( ) + 0,9 < 1,9
; la longueur de l’intervalle
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⎡⎣0,9 ;1⎡⎣
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( )
(
)
est 0,1 . Donc p R = 0,1 = p "obtenir la valeur 0" .
( )
(
)
La longueur de l’intervalle ⎡⎣1;1,9 ⎡⎣ est 0,9 , donc p B = 0,9 = p "obtenir la valeur 1" .
Ê Exercice5
Onlanceunerouedeloteriepartagéeentroissecteursvert,rougeetbleu.Chaquesecteursortaveclamêmeprobabilité.
puisonlanceundététraédriquesupposébienéquilibrédontlesfacessontnumérotées1,2,3et4.
1) Représentons la situation à l’aide d’un arbre :
( )
2) a/ Soit A l’événement : « obtenir le secteur rouge et le numéro 1 » : p A = p
({( R ;1)}) = 13 × 14 = 121 .
b/ L’événement « obtenir un secteur non rouge et un numéro autre que 1 » est l’événement A et :
1 12 1 11
.
p A = 1− p A = 1− = − =
12 12 12 12
( )
Ê Exercice6
( )
Onconsidèreunétablissementscolairede2000élèvesregroupantdescollégiensetdeslycéens.
19
–19%del’effectiftotalestenclassedeterminale:
× 2000 = 380 .Donc380élèvessontenterminale.
100
55
–parmicesélèvesdeterminale,55%sontdesfilles:
× 380 = 209 .Enterminale,ilya209filles;
100
380 − 209 = 171 .Ilyadonc171garçonsenterminales.
85
–letauxderéussiteaubaccalauréatdanscetétablissementestde85%:
× 380 = 323 .Ainsi323élèvesdeterminaleont
100
réussilebaccalauréat.
380 − 323 = 57 .Oncompte57élèvesquiontéchouéaubaccalauréat.
8
8
–parmilescandidatsayantéchoué,laproportiondesfillesestde
: × 57 = 24 .Parmiles57élèvesquiontéchoué,ily
19 19
24filles.
57 − 24 = 33 .Ilya33garçonsquiontéchouéaubaccalauréat.
– 209 − 24 = 185 :185fillesontréussilebac; 171− 33 = 138 :138garçonsontréussilebac.
1) Onobtientletableausuivant:
Réussite
Échec
Garçons
138
33
Filles
185
24
Total
323
57
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Total
171
209
380
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Aprèslapublicationdesrésultats,onchoisitauhasardunélèveparmil’ensembledesélèvesdeterminale.Onconsidèreles
événementssuivants:
– G :«l’élèveestungarçon» – R :«l’élèveaeusonbaccalauréat»
2)
G estl’événement:«l’élèveestunefille»;
G ∩ R estl’événement«l’élèveestunefillequiaéchouéaubaccalauréat»
57
3
3) p R =
.L’élèveadonc3chancessur20d’échoueraubac.
=
380 20
( )
p (G ∪ R ) = p (G ) + p ( R ) − p (G ∩ R )
209 57
24
+
−
380 380 380
242 121
=
=
380 190
Ila121chancessur190quel’élèvechoisivérifieaumoinsl’unedesdeuxconditions:
–l’élèveestunefille–l’élèveaéchouéaubac.
4) Onsaitquel’élèvearéussisonbac.Déterminonslaprobabilitéquecesoitunefille.Notons B cetévénement:
185
.
p B =
323
=
( )
Ê Exercice7
DeuxjoueursAetBs’affrontentenlançantchacunundécubiquebienéquilibré.
LedédeAestnoiretportelesnuméros1,2,3,2,2,3,celuideBestrougeetportelesnuméros1,2,3,1,2,2.
LejoueurAgagnesisondémarqueplusdepointsqueceluideB,sinonc’estBquil’emporte.
1) Asembleavantagéàcejeupuisquelesnumérosdesondésontplusélevés.
2) Arbrepondéréillustrantlasituation:
(onnoteA1l’événement«lejoueuraobtenulenuméro1»,etc…)
3) Aestgagnantsil’undestroiscassuivantestréalisé:
–Aobtientlenuméro2etBobtientlenuméro1,
–Aobtientlenuméro3etBobtientlenuméro1,
–Aobtientlenuméro3etBobtientlenuméro2.
Notons G A l’événement«Aestgagnant»alors
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 4
× + × + × = + + = + = + = + = 2 3 3 3 3 2 6 9 6 6 9 3 9 9 9 9
OnendéduitquelejoueurAa4chancessur9degagner,lejoueurBadonc5chancesdegagnersur9,cequi
contreditlasuppositionfaiteàlaquestion1).
p ( G A ) = p ( A2 et B1) + p ( A3 et B1) + p ( A3 et B2 ) =