son corrigé - ambition

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2nde / mathématiques / LFA Mme MAINGUY
!
!
!ÊExercice'1' ' ' !
Les questions suivantes sont indépendantes.
1/ Soit
Ω
un univers et
A
et
B
deux événements de
Ω
tels que
p A
( )
=0,4
,
p B
( )
=0,6
et
p A∩B
( )
=0,2
.
p A
( )
=1−p A
( )
=1−0,4 =0,6
p A∪B
( )
=p A
( )
+p B
( )
−p A∩B
( )
=0,4 +0,6 −0,2 =0,8
.
2/ Soit
Ω
un univers et
A
et
B
deux événements de
Ω
tels que
p A
( )
=0,35
,
p B
( )
=0,45
A
et
B
sont incompatibles : on en déduit que
p A ∩B
( )
=0
. On a alors :
p A∪B
( )
=p A
( )
+p B
( )
=0,35 +0,45 =0,8
!ÊExercice!2! ! ! !
Léa!souhaite!acheter!une!BD.!Elle!a!le!choix!entre!deux!formats!:!petit!format!ou!grand!format.!Elle!peut!aussi!choisir!une!
BD!en!couleur!ou!en!noir!et!blanc.!
Elle!décide!de!choisir!au!hasard!une!BD!parmi!celles!qui!lui!sont!proposées.!
On!note!les!événements!:!
C
!:!«!!la!BD!est!en!couleur!»! !
P
!:!«!!la!BD!est!d’un!petit!format!».!
!
Voici!la!répartition!es!BD!qui!lui!sont!proposées!:!
!
BD!en!couleur!
BD!en!noir!et!blanc!
Total!
BD!petit!format!
18!
5!
23!
BD!grand!format!
7!
0!
7!
Total!
25!
5!
30!
!
C
!est!l’événement!:!«!!la!BD!est!en!noir!et!blanc!»!;!
P
!est!l’événement!:!«!!la!BD!est!de!grand!format!».!
P
!et!
C
!ne!sont!pas!des!événements!contraires.!
Ces!deux!événements!sont!incompatibles!:!en!effet!d’après!le!tableau!:!
p P ∩C
( )
=0
.!
Ainsi!
P
!et!
C
!sont!incompatibles!sans!être!contraires.!
!
!
!ÊExercice!3! ! ! !
Une!urne!contient!25!jetons!:!des!bleus,!des!rouges!et!des!jaunes,!indiscernables!au!toucher.!
On!extrait!au!hasard!un!jeton!de!l’urne!et!on!note!sa!couleur.!
On!sait!que!la!probabilité!que!le!jeton!soit!bleu!est!égale!à!0,2!et!la!probabilité!que!le!jeton!soit!rouge!est!égale!à!0,16.!
´!Déterminons!le!nombre!de!jetons!de!chaque!couleur!dans!l’urne!:!!
!!!!!notons!:!
B
!l’événement!:!«!!on!extrait!un!jeton!bleu!»,!
R
!l’événement!:!«!!on!extrait!un!jeton!rouge!»!et!!
!!!!!
J
!l’événement!:!«!!on!extrait!un!jeton!jaune!»!.!Notons!aussi!
b
!le!nombre!de!jetons!bleus,!
r
,!le!nombre!de!jetons!rouges!!
!!!!!et!enfin!
j
!le!nombre!de!jetons!jaunes!contenus!dans!l’urne.!
!
!!!!!Calculons!d’abord!la!probabilité!d’extraire!un!jeton!jaune!:!
!!!!!
p J
( )
+p B
( )
+p R
( )
=1⇔p J
( )
=1−p B
( )
−p R
( )
=1−0,2 −0,16 =0,64
.!
!!!!!On!a!
64%
!de!chances!d’extraire!un!jeton!jaune!de!l’urne.!
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SECONDE
Fiche'exercices'n°1':'corrigé'
probabilités
'
Ch.7

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2nde / mathématiques / LFA Mme MAINGUY
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Remarquons!que!chaque!jeton!ayant!la!même!«!chance!»!d’être!extrait,!on!est!dans!une!situation!d’équiprobablité.!
On!en!déduit!que!:!
p B
( )
=nombre de jetons bleus
nombre total de jetons =b 25 =0,2
.!On!en!déduit!que!:!
b=0,2 ×25 =5
.!
L’urne!contient!donc!5!jetons!bleus.!
!
En!procédant!de!la!même!manière,!on!calcule!le!nombre!de!jetons!rouges!:!
p R
( )
=r
25 =0,16 ⇔r=0,16 ×25 =4
.!
Sachant!que!l’urne!contient!25!jetons,!on!a!alors!:!
j=25 −b−r=25 −5−4=16
.!
!
Conclusion):)!l’urne!contient!5!jetons!bleus,!4!jetons!rouges!et!16!jetons!jaunes.!
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!ÊExercice!4! ! ! !
Une!urne!de!Bernoulli!est!une!urne!contenant!deux!sortes!de!boules.!Elle!permet!de!modéliser!de!nombreuses!situations.!
1) a/
0≤Rand
( )
<1
, d’où :
0,3 ≤Rand
( )
+0,3 <1,3
..
b/ La longueur de l’intervalle
0,3 ; 1
⎡
⎣⎡ ⎣
est
0,7
, celle de l’intervalle
1;1,3
⎡
⎣⎡ ⎣
est
0,3
(voir schéma c-dessous)
!
!!!!!!
!
!
!
!c/!L’instruction!
int Rand
( )
+0,3
( )
!renvoie!la!valeur!0!avec!une!probabilité!égale!à!0,7!;!elle!renvoie!la!valeur!1!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!avec!une!probabilité!égale!à!0,3.!
!
!
2) a/!!Une urne contient 30% de boules bleues et 70% de boules rouges. L’expérience consiste à tirer au hasard
une
boule de l’urne et à noter sa couleur.
Simulation de cette expérience aléatoire avec le tableur d’une calculatrice :
! rappelons d’abord que la probabilité obtenue de façon expérimentale se rapproche de la probabilité
théorique
à condition de répéter l’expérience un très grand nombre de fois (théorie des grands nombres).
! Si on note
B
l’événement « on tire une boule bleue » et
R
l’événement « obtenir une boule rouge »
alors sur
notre feuille de calcul, l’événement
B
est représenté par la valeur 1 et l’événement
R
est représenté par
la
valeur 0.
! On peut considérer qu’en effectuant une simulation de 1000 tirages, les fréquences expérimentales
seront
proches des fréquences théoriques .
! Ainsi, il suffit de copier dans la cellule A1, la formule
=int Rand
( )
+0,3
( )
et de l’étirer jusqu’à la cellule
A1000.
! la fréquence de « 1 » sera proche de 0,3 et la fréquence de « 0 » sera proche de 0,7.
b/ Reprenons la question précédente avec 90% de boules bleues et 10% de boules rouges.
On utilise la formule
=int Rand
( )
+0,9
( )
. On a :
0,9 ≤Rand
( )
+0,9 <1,9
; la longueur de l’intervalle

!
2nde / mathématiques / LFA Mme MAINGUY
0,9 ; 1
⎡
⎣⎡ ⎣
est
0,1
. Donc
p R
( )
=0,1 =p"obtenir la valeur 0"
( )
.
La longueur de l’intervalle
1;1,9
⎡
⎣⎡ ⎣
est
0,9
, donc
p B
( )
=0,9 =p"obtenir la valeur 1"
( )
.
!
!
!
!
!
!ÊExercice!5! ! ! !
On!lance!une!roue!de!loterie!partagée!en!trois!secteurs!vert,!rouge!et!bleu.!Chaque!secteur!sort!avec!la!même!probabilité.!
puis!on!lance!un!dé!tétraédrique!supposé!bien!équilibré!dont!les!faces!sont!numérotées!1,!2,!3!et!4.!
1) Représentons la situation à l’aide d’un arbre :
2) a/ Soit
A
l’événement : « obtenir le secteur rouge et le numéro 1 » :
p A
( )
=p R ;1
( )
{ }
( )
=1
3
×1
4=1 12
.
b/ L’événement « obtenir un secteur non rouge et un numéro autre que 1 » est l’événement
A
et :
p A
( )
=1−p A
( )
=1−1
12 =12 12
−1
12 =11 12
.
!
!
!
!ÊExercice!6! ! ! !
On!considère!un!établissement!scolaire!de!2000!élèves!regroupant!des!collégiens!et!des!lycéens.!
!!19%!de!l’effectif!total!est!en!classe!de!terminale!:!
19
100
×2000 =380
.!Donc!380!élèves!sont!en!terminale.!
!!parmi!ces!élèves!de!terminale,!55%!sont!des!filles!:!
55
100
×380 =209
.!En!terminale,!il!y!a!209!filles!;!
!!!
380 −209 =171
.!Il!y!a!donc!171!garçons!en!terminales.!
!
!!le!taux!de!réussite!au!baccalauréat!dans!cet!établissement!est!de!85%!:!
85
100
×380 =323
.!Ainsi!323!élèves!de!terminale!ont!!
!!!réussi!le!baccalauréat.!
!!!
380 −323 =57
.!On!compte!57!élèves!qui!ont!échoué!au!baccalauréat.!
!!parmi!les!candidats!ayant!échoué,!la!proportion!des!filles!est!de!
8
19
!:!
8
19
×57 =24
.!Parmi!les!57!élèves!qui!ont!échoué,!il!y!!
!!!24!filles.!!
!!!
57 −24 =33
.!Il!y!a!33!garçons!qui!ont!échoué!au!baccalauréat.!
!!!!!
209 −24 =185
!:!185!filles!ont!réussi!le!bac!;!
171−33 =138
!:!138!garçons!ont!réussi!le!bac.!
1) On!obtient!le!tableau!suivant!:!
Garçons
Filles
Total
Réussite
138
185
323
Échec
33
24
57

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2nde / mathématiques / LFA Mme MAINGUY
Total
171
209
380
!
Après!la!publication!des!résultats,!on!choisit!au!hasard!un!élève!parmi!l’ensemble!des!élèves!de!terminale.!On!considère!les!
événements!suivants!:!
!!
G
!:!«!!l’élève!est!un!garçon!»! ! !!
R
!:!«!!l’élève!a!eu!son!baccalauréat!»!
2)
G
!est!l’événement!:!«!!l’élève!est!une!fille!»!;!
G∩R
!!est!l’événement!«!!l’élève!est!une!fille!qui!a!échoué!au!baccalauréat!»!
!
3)
p R
( )
=57
380 =3 20
.!L’élève!a!donc!3!chances!sur!20!d’échouer!au!bac.!
p G ∪R
( )
=p G
( )
+p R
( )
−p G ∩R
( )
=209
380 +57 380
−24
380
=242
380 =121 190
!!
Il!a!121!chances!sur!190!que!l’élève!choisi!vérifie!au!moins!l’une!des!deux!conditions!:!!
!!l’élève!est!une!fille!!!!!!!!l’élève!a!échoué!au!bac.!
!
4) On!sait!que!l’élève!a!réussi!son!bac.!Déterminons!la!probabilité!que!ce!soit!une!fille!.!Notons!
B
!cet!événement!:!!
p B
( )
=185
323
.!!
!
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!ÊExercice!7! ! ! !
Deux!joueurs!A!et!B!s’affrontent!en!lançant!chacun!un!dé!cubique!bien!équilibré.!
Le!dé!de!A!est!noir!et!porte!les!numéros!1,!2,!3,!2,!2,!3,!celui!de!B!est!rouge!et!porte!les!numéros!1,!2,!3,!1,!2,!2.!
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Le!joueur!A!gagne!si!son!dé!marque!plus!de!points!que!celui!de!B,!sinon!c’est!B!qui!l’emporte.!
1) A!semble!avantagé!à!ce!jeu!puisque!les!numéros!de!son!dé!sont!plus!élevés.!
2) Arbre!pondéré!illustrant!la!situation!:!
(on!note!A1!l’événement!«!le!joueur!a!obtenu!le!numéro!1!»,!etc…)!
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3) A!est!gagnant!si!l’un!des!trois!cas!suivant!est!réalisé!:!
!!A!obtient!le!numéro!2!et!B!obtient!le!numéro!1!,!
!!A!obtient!le!numéro!3!et!B!obtient!le!numéro!1!,!
!!A!obtient!le!numéro!3!et!B!obtient!le!numéro!2.!!
Notons!
GA
!l’événement!«!!A!est!gagnant!»!alors!
p GA
( )
=p A2et B1
( )
+p A3et B1
( )
+p A3et B2
( )
=1
2
×1
3+1 3
×1
3+1 3
×1
2=1 6+1 9+1 6=2 6+1 9=1 3+1 9=3 9+1 9=4 9
!
On!en!déduit!que!le!joueur!A!a!4!chances!sur!9!de!gagner,!le!joueur!B!a!donc!5!chances!de!gagner!sur!9,!ce!qui!
contredit!la!supposition!faite!à!la!question!1).!
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