Bac blanc de mathématiques no 2

Terminale S Samedi 31 mai 2014
Bac blanc de mathématiques no2
La calculatrice est autorisée.
Exercice 1 5 points
Commun à tous les candidats
Les 3 parties peuvent être traitées de façon indépendante.
Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.
L’ensemble des morceaux musicaux qu’il possède se divise en trois genres distincts selon la
répartition suivante :
30 % de musique classique, 45 % de variété, le reste étant du jazz.
Thomas a utilisé deux qualités d’encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage
de haute qualité et un encodage standart. On sait que :
•les 5
6des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité.
•les 5
9des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.
On considérera les événements suivants :
C:« Le morceau écouté est un morceau de musique classique » ;
V:« Le morceau écouté est un morceau de variété » ;
J:« Le morceau écouté est un morceau de jazz » ;
H:« Le morceau écouté est encodé en haute qualité » ;
S:« Le morceau écouté est encodé en qualité standard ».
Partie 1
Thomas décide d’écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3
en utilisant la fonction « lecture aléatoire ».
On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.
1. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un morceau de musique classique encodé en
haute qualité ?
2. On sait que P(H)=13
20.
(a) Les événements Cet Hsont-ils indépendants ?
(b) Calculer P(J∩H) et PJ(H).
Partie 2
Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction « lecture aléatoire » de
son MP3, 60 morceaux de musique.
1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la proportion de
morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60.
2. Thomas a comptabilisé qu’il avait écouté 12 morceaux de musique classique pendant
son voyage. Peut-on penser que la fonction « lecture aléatoire » du lecteur MP3 de Tho-
mas est défectueuse ?
Partie 3
On considère la variable aléatoire Xqui, à chaque chanson stocké sur le lecteur MP3, associe sa
durée exprimée en secondes et on établit que Xsuit la loi normale d’espérance 200 et d’écart-
type 20.
On écoute un morceau musical au hasard.
1

1. En utilisant une propriété du cours, justifier que P(180 ÉXÉ220) ≈0,683 à 10−3près.
2. Donner une valeur approchée à 10−3près de la probabilité que le morceau écouté dure
plus de 4 minutes.
EXERCICE 2 4,5 points
Commun à tous les candidats
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d’elles est vraie ou
fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct ³O, −→ u,−→ v´.
On considère les points A, B, C, D et E d’affixes respectives :
a=2+2i, b= −p3+i, c=1+ip3, d=−1+
p3
2i et e=−1+³2+p3´i.
1. Affirmation 1 : les points A, B et C sont alignés.
2. Affirmation 2 : les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E.
3. Affirmation 3 : Le nombre complexe ¡1+ip3¢4est un nombre réel.
4. Dans cette question, l’espace est muni d’un repère ³O, −→ ı,−→ ,−→ k´.
On considère les points I(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0) et K(0 ; 0 ; 1).
Affirmation 4 : la droite Dde représentation paramétrique 
x=2−t
y=6−2t
z= −2+t
où t∈R,
coupe le plan (IJK) au point Eµ−1
2; 1 ; 1 2¶.
5. Dans le cube ABCDEFGH, le point T est le milieu du segment [HF].
AB
C
D
E F
G
H
T
Affirmation 5 : les droites (AT) et (EC) sont orthogonales
6. L’espace est muni d’un repère orthonormé ³O, −→ ı,−→ ,−→ k´. Soit le plan Pd’équation car-
tésienne x+y+3z+4=0. On note S le point de coordonnées (1,−2,−2).
Affirmation 6 : La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan Pa pour
représentation paramétrique 
x=2+t
y=−1+t
z=1+3t
,t∈R.
2

Exercice 3 5,5 points
Commun à tous les candidats
Soit fla fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
f(x)=1+ln(x)
x2
et soit Cla courbe représentative de la fonction fdans un repère du plan. La courbe Cest
donnée ci-dessous :
1
−1
1 2 3
C
O
1. (a) Étudier la limite de fen 0.
(b) Que vaut lim
x→+∞
ln(x)
x? En déduire la limite de la fonction fen +∞.
(c) En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe C.
2. (a) On note f′la fonction dérivée de la fonction fsur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Démontrer que, pour tout réel xappartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[,
f′(x)=−1−2ln(x)
x3.
(b) Résoudre sur l’intervalle ]0 ; +∞[ l’inéquation −1−2ln(x)>0.
En déduire le signe de f′(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
(c) Dresser le tableau des variations de la fonction f.
3. (a) Démontrer que la courbe Ca un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses,
dont on précisera les coordonnées.
(b) En déduire le signe de f(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
4. Pour tout entier nÊ1, on note Inl’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine délimité
par l’axe des abscisses, la courbe Cet les droites d’équations respectives x=1
eet x=n.
(a) Démontrer que 0 ÉI2Ée−1
2.
(b) Vérifier que la fonction F, définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par F(x)=−2−ln(x)
x, est
une primitive de la fonction fsur l’intervalle ]0 ; +∞[.
(c) Calculer Inen fonction de n.
(d) Étudier la limite de Inen +∞. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
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Exercice 4 5 points
Candidats N’AYANT PAS SUIVI l’enseignement de spécialité mathématiques
On considère la suite (un)définie par u0=1 et, pour tout entier naturel n,
un+1=p2un.
1. On considère l’algorithme suivant :
Variables : nest un entier naturel
uest un réel positif
Initialisation : Demander la valeur de n
Affecter à ula valeur 1
Traitement : Pour ivariant de 1 à n:
| Affecter à ula valeur p2u
Fin de Pour
Sortie : Afficher u
(a) Donner une valeur approchée à 10−4près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque
l’on choisit n=3.
(b) Que permet de calculer cet algorithme ?
(c) Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algo-
rithme pour certaines valeurs de n.
n1 5 10 15 20
Valeur affichée 1,414 2 1,957 1 1,998 6 1,999 9 1,999 9
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (un)?
2. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 <unÉ2.
(b) Déterminer le sens de variation de la suite (un).
(c) Démontrer que la suite (un)est convergente. On ne demande pas la valeur de sa
limite.
3. On considère la suite (vn)définie, pour tout entier naturel n, par vn=lnun−ln2.
(a) Démontrer que la suite (vn)est la suite géométrique de raison 1
2et de premier terme
v0=−ln2.
(b) Déterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de vnen fonction de n, puis de
unen fonction de n.
(c) Déterminer la limite de la suite (un).
(d) Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et
de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de ntelle que un>1,999.
Variables : nest un entier naturel
uest un réel
Initialisation : Affecter à nla valeur 0
Affecter à ula valeur 1
Traitement :
Sortie :
(e) Indiquer la valeur de nrenvoyée par l’algorithme précédent.
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Exercice 4 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Exercice à rédigier sur une copie séparée
Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois
marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit nun entier naturel.
On note : Xnl’événement « la marque X est utilisée le mois n»,
Ynl’événement « la marque Y est utilisée le mois n»,
Znl’événement « la marque Z est utilisée le mois n».
Les probabilités des événements Xn,Yn,Znsont notées respectivement xn,yn,zn.
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.
Un acheteur de la marque X le mois n, a le mois suivant :
50 % de chance de rester fidèle à cette marque,
40 % de chance d’acheter la marque Y,
10 % de chance d’acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Y le mois n, a le mois suivant :
30 % de chance de rester fidèle à cette marque,
50 % de chance d’acheter la marque X,
20 % de chance d’acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Z le mois n, a le mois suivant :
70 % de chance de rester fidèle à cette marque,
10 % de chance d’acheter la marque X,
20 % de chance d’acheter la marque Y.
1. (a) Exprimer xn+1en fonction de xn,ynet zn.
On admet que :
yn+1=0,4xn+0,3yn+0,2znet que zn+1=0,1xn+0,2yn+0,7zn.
(b) Exprimer znen fonction de xnet yn. En déduire l’expression de xn+1et yn+1en fonc-
tion de xnet yn.
2. On définit la suite (Un)par Un=Ãxn
yn!pour tout entier naturel n.
On admet que, pour tout entier naturel n,Un+1=A×Un+Boù A=Ã0,4 0,4
0,2 0,1!et B=
Ã0,1
0,2!.
Au début de l’étude statistique (mois de janvier 2014 : n=0), on estime que U0=Ã0,5
0,3!.
On considère l’algorithme suivant :
5