Bac blanc de mathématiques no 2

Terminale S
Samedi 31 mai 2014
Bac blanc de mathématiques no 2
La calculatrice est autorisée.
Exercice 1
Commun à tous les candidats
Les 3 parties peuvent être traitées de façon indépendante.
5 points
Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.
L’ensemble des morceaux musicaux qu’il possède se divise en trois genres distincts selon la
répartition suivante :
30 % de musique classique, 45 % de variété, le reste étant du jazz.
Thomas a utilisé deux qualités d’encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage
de haute qualité et un encodage standart. On sait que :
5
• les des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité.
6
5
• les des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.
9
On considérera les événements suivants :
C : « Le morceau écouté est un morceau de musique classique » ;
V : « Le morceau écouté est un morceau de variété » ;
J : « Le morceau écouté est un morceau de jazz » ;
H : « Le morceau écouté est encodé en haute qualité » ;
S : « Le morceau écouté est encodé en qualité standard ».
Partie 1
Thomas décide d’écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3
en utilisant la fonction « lecture aléatoire ».
On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.
1. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un morceau de musique classique encodé en
haute qualité ?
13
2. On sait que P (H ) = .
20
(a) Les événements C et H sont-ils indépendants ?
(b) Calculer P (J ∩ H ) et P J (H ).
Partie 2
Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction « lecture aléatoire » de
son MP3, 60 morceaux de musique.
1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la proportion de
morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60.
2. Thomas a comptabilisé qu’il avait écouté 12 morceaux de musique classique pendant
son voyage. Peut-on penser que la fonction « lecture aléatoire » du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?
Partie 3
On considère la variable aléatoire X qui, à chaque chanson stocké sur le lecteur MP3, associe sa
durée exprimée en secondes et on établit que X suit la loi normale d’espérance 200 et d’écarttype 20.
On écoute un morceau musical au hasard.
1
1. En utilisant une propriété du cours, justifier que P (180 É X É 220) ≈ 0, 683 à 10−3 près.
2. Donner une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité que le morceau écouté dure
plus de 4 minutes.
E XERCICE 2
Commun à tous les candidats
4,5 points
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d’elles est vraie ou
fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
³ →
− →
−´
Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct O, u , v .
On considère les points A, B, C, D et E d’affixes respectives :
p
³
p
p ´
p
3
a = 2 + 2i, b = − 3 + i, c = 1 + i 3, d = −1 +
i et e = −1 + 2 + 3 i.
2
1. Affirmation 1 : les points A, B et C sont alignés.
2. Affirmation 2 : les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E.
p ¢4
¡
3. Affirmation 3 : Le nombre complexe 1 + i 3 est un nombre réel.
³ →
−´
− →
− →
4. Dans cette question, l’espace est muni d’un repère O, ı ,  , k .
On considère les points I(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0) et K(0 ; 0 ; 1).



 x = 2−t
Affirmation 4 : la droite D de représentation paramétrique
y = 6 − 2t


 z = −2 + t
¶
µ
1
1
.
coupe le plan (IJK) au point E − ; 1 ;
2
2
5. Dans le cube ABCDEFGH, le point T est le milieu du segment [HF].
où t ∈ R,
G
H
T
E
F
C
D
A
B
Affirmation 5 : les droites (AT) et (EC) sont orthogonales
³ →
−´
− →
− →
6. L’espace est muni d’un repère orthonormé O, ı ,  , k . Soit le plan P d’équation cartésienne x + y + 3z + 4 = 0. On note S le point de coordonnées (1 , −2 , −2).
Affirmation 6 : La droite qui 
passe par S et qui est perpendiculaire au plan P a pour


 x = 2+t
représentation paramétrique
y = −1 + t , t ∈ R.


 z = 1 + 3t
2
Exercice 3
Commun à tous les candidats
5,5 points
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
f (x) =
1 + ln(x)
x2
et soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. La courbe C est
donnée ci-dessous :
1
O
C
1
2
3
−1
1. (a) Étudier la limite de f en 0.
ln(x)
(b) Que vaut lim
? En déduire la limite de la fonction f en +∞.
x→+∞ x
(c) En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe C .
2. (a) On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Démontrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[,
f ′ (x) =
−1 − 2 ln(x)
.
x3
(b) Résoudre sur l’intervalle ]0 ; +∞[ l’inéquation −1 − 2 ln(x) > 0.
En déduire le signe de f ′ (x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
(c) Dresser le tableau des variations de la fonction f .
3. (a) Démontrer que la courbe C a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses,
dont on précisera les coordonnées.
(b) En déduire le signe de f (x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
4. Pour tout entier n Ê 1, on note I n l’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine délimité
1
par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations respectives x = et x = n.
e
1
(a) Démontrer que 0 É I 2 É e − .
2
−2 − ln(x)
, est
(b) Vérifier que la fonction F , définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par F (x) =
x
une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
(c) Calculer I n en fonction de n.
(d) Étudier la limite de I n en +∞. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
3
Exercice 4
Candidats N’AYANT PAS SUIVI l’enseignement de spécialité mathématiques
5 points
On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et, pour tout entier naturel n,
u n+1 =
1. On considère l’algorithme suivant :
Variables :
p
2u n .
n est un entier naturel
u est un réel positif
Initialisation :
Demander la valeur de n
Affecter à u la valeur 1
Traitement :
Pour i variant de 1 à n :
| Affecter à u la valeur
p
2u
Fin de Pour
Sortie :
Afficher u
(a) Donner une valeur approchée à 10−4 près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque
l’on choisit n = 3.
(b) Que permet de calculer cet algorithme ?
(c) Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algorithme pour certaines valeurs de n.
n
1
5
10
15
20
Valeur affichée
1,414 2
1,957 1
1,998 6
1,999 9
1,999 9
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (u n ) ?
2. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 < u n É 2.
(b) Déterminer le sens de variation de la suite (u n ).
(c) Démontrer que la suite (u n ) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa
limite.
3. On considère la suite (v n ) définie, pour tout entier naturel n, par v n = ln u n − ln 2.
1
(a) Démontrer que la suite (v n ) est la suite géométrique de raison et de premier terme
2
v 0 = − ln 2.
(b) Déterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de v n en fonction de n, puis de
u n en fonction de n.
(c) Déterminer la limite de la suite (u n ).
(d) Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et
de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que u n > 1, 999.
Variables :
n est un entier naturel
u est un réel
Initialisation :
Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 1
Traitement :
Sortie :
(e) Indiquer la valeur de n renvoyée par l’algorithme précédent.
4
Exercice 4
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Exercice à rédigier sur une copie séparée
5 points
Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois
marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit n un entier naturel.
On note : X n l’événement « la marque X est utilisée le mois n »,
Yn l’événement « la marque Y est utilisée le mois n »,
Zn l’événement « la marque Z est utilisée le mois n ».
Les probabilités des événements X n , Yn , Zn sont notées respectivement x n , y n , z n .
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.
Un acheteur de la marque X le mois n, a le mois suivant :
50 % de chance de rester fidèle à cette marque,
40 % de chance d’acheter la marque Y,
10 % de chance d’acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Y le mois n, a le mois suivant :
30 % de chance de rester fidèle à cette marque,
50 % de chance d’acheter la marque X,
20 % de chance d’acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Z le mois n, a le mois suivant :
70 % de chance de rester fidèle à cette marque,
10 % de chance d’acheter la marque X,
20 % de chance d’acheter la marque Y.
1. (a) Exprimer x n+1 en fonction de x n , y n et z n .
On admet que :
y n+1 = 0, 4x n + 0, 3y n + 0, 2z n et que z n+1 = 0, 1x n + 0, 2y n + 0, 7z n .
(b) Exprimer z n en fonction de x n et y n . En déduire l’expression de x n+1 et y n+1 en fonction de x n et y n .
à !
xn
pour tout entier naturel n.
2. On définit la suite (Un ) par Un =
yn
Ã
!
0, 4 0, 4
On admet que, pour tout entier naturel n, Un+1 = A ×Un + B où A =
et B =
0, 2 0, 1
à !
0, 1
.
0, 2
à !
0, 5
Au début de l’étude statistique (mois de janvier 2014 : n = 0), on estime que U0 =
.
0, 3
On considère l’algorithme suivant :
5
Variables
n et i des entiers naturels.
A, B et U des matrices
Entrée et initialisation
Demander la valeur de n
i prend la valeur 0
Ã
!
0, 4 0, 4
A prend la valeur
0, 2 0, 1
à !
0, 1
B prend la valeur
0, 2
à !
0, 5
U prend la valeur
0, 3
Traitement
Tant que i < n
U prend la valeur A ×U + B
i prend la valeur i + 1
Fin de Tant que
Sortie
Afficher U
(a) Donner les résultats affichés par cet algorithme pour n = 1 puis pour
n = 3.
(b) Quelle est la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril ?
Dans la suite de l’exercice, on cherche à déterminer une expression de Un en fonction
de n.
Ã
!
1 0
On note I la matrice
et N la matrice I − A.
0 1
3. On désigne par C une matrice colonne à deux lignes.
(a) Démontrer que C = A ×C + B équivaut à N ×C = B .

45 20
 23 23 

(b) On admet que N est une matrice inversible et que N −1 = 
 10 30 .
23 23
 
17
 46 

En déduire que C = 
 7 .
23
4. On note Vn la matrice telle que Vn = Un −C pour tout entier naturel n.

(a) Montrer que, pour tout entier naturel n, Vn+1 = A × Vn .
(b) On admet que Un = A n × (U0 −C ) +C .
Quelles sont les probabilités d’utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?
6