Des critères gagnants

1.3 Des critères gagnants
Étant donné les connaissances et les compétences nécessaires à la
réalisation de cette activité, celle-ci est suggérée pour la 1re année
du premier cycle.
Comme les élèves ont pu le voir dans Show Math, la sécurité de certains systèmes de cryptage est liée à la factorisation des nombres.
Dans cette activité, les élèves pourront manipuler différents critères
de divisibilité dont certains ne sont pas au programme. Cette activité leur permettra d’approfondir leur compréhension de ce sujet. Enfin, ils pourront mieux apprécier l’utilité de cet outil mathématique.
L’activité donne également l’occasion de faire des conjectures.
Intentions pédagogiques
• Montrer aux élèves d’où viennent les critères de divisibilité
• Leur faire comprendre pourquoi ils fonctionnent
• Approfondir leur connaissance des critères de divisibilités et leur en
faire découvrir de nouveaux
• Permettre aux élèves de manipuler les différents critères afin de les
apprivoiser et se les approprier
Forme de la production attendue
• Réponses courtes et justifications
Concepts utilisés
• Opérations sur les entiers
• Critères de divisibilité
• Factorisation d’un nombre
Ressources matérielles
• Aucune
Présentation | 1.3 Des critères gagnants
Commentaires sur l’activité
Préparation
• Cette activité peut être vécue sans avoir vu directement les critères
de divisibilité en classe.
• Avant de commencer, il pourrait être de mise de rappeler ce qu’est
un diviseur d’un nombre.
Réalisation
• L’ensemble de l’activité peut se vivre de façon individuelle. Toutefois, on conseille de faire des retours en grand groupe à la fin de
chacune des parties afin de valider le travail des élèves.
• La première partie cherche à tirer profit des connaissances déjà acquises des élèves. Toutefois, on conseille de ne pas laisser les jeunes
travailler individuellement trop longtemps.
• Dans la deuxième partie, les élèves vont découvrir d’où viennent
les critères de divisibilité par 3 et par 4. Ces critères sont beaucoup
moins intuitifs que les critères par 2, 5 ou 10 et cette partie permettra de les démystifier.
• Dans le cas du critère de divisibilité par 3, il est important que les élèves
comprennent qu’il faut aussi montrer que les nombres dont la somme
des chiffres n’est pas divisible par 3 ne sont pas divisibles par 3.
• La troisième partie fera voir qu’on peut appliquer le critère par 3 et
par 9 de façon répétitive pour les très grands nombres.
• Les élèves devront former tous les nombres possibles qui sont divisibles par 3 ou par 9 avec certains chiffres. Cela leur permettra de
voir que si 123 est divisible par 3, alors tous les nombres formés avec
les chiffres 1-2-3 sont également divisibles par 3.
• Dans la quatrième partie, on montre deux critères de divisibilité pour
7, alors que, dans la cinquième partie, on montre un critère pour 11.
• La sixième partie permet à l’élève d’utiliser les critères de divisibilité pour déterminer si oui ou non le quotient est entier.
Intégration
• Dans la partie « Curieux », les élèves pourront avoir besoin d’un peu
d’accompagnement pour comprendre les directives. Cette partie
peut faire l’objet d’une différenciation puisqu’elle est plus complexe.
• Dans la dernière partie, les élèves doivent trouver le reste de la division pour déterminer le chemin qu’ils doivent prendre. Ils peuvent
fonctionner sans l’aide des critères, mais ils devraient rapidement
s’apercevoir qu’il est beaucoup plus rapide de les utiliser.
• Le dernier problème permet enfin de vérifier la compréhension
des critères.
Présentation | 1.3 Des critères gagnants
Pistes de différenciation
• Il serait intéressant que les élèves
vérifient s’il est important que,
dans le cas du critère de divisibilité par 7 ou par 11, lorsqu’on
intercale des + et des – entre les
chiffres du nombre, l’on commence par un + ou par un -.
Annexes
• Des_criteres_gagnants_annexe1 :
Dans cette annexe est présenté
un autre petit truc pour le critère
de divisibilité par 3. Les élèves
qui démontrent de l’intérêt pour
l’activité pourraient l’apprécier
puisqu’il permet de gagner en
efficacité.
• D e s _ c r i t e r e s _ g a g n a n t s _
corrigé_annexe1 : Dans cette
annexe est présenté le corrigé
de l’annexe 1.
Nom : _________________________________________________________
1.3 Des critères gagnants
Tu organises une réception pour ton bal
de finissants et tu invites 349 personnes.
Peux-tu les faire asseoir à des tables
de 7 sans qu’il n’y en ait d’incomplètes?
Comment le savoir si tu n’as pas ta calculatrice sous la main ? Il existe différentes méthodes permettant de déterminer si
un nombre est divisible par un autre. Allez,
viens découvrir quels sont les trucs !
Lors de Show Math, vous avez vu l’utilité de crypter certains messages afin de s’assurer que leur contenu ne pourra être lu que par
le destinataire de l’envoi. La difficulté de trouver des facteurs pour
les grands nombres procure un moyen très sécuritaire d’assurer la
protection de renseignements personnels lors des communications,
via Internet par exemple.
Notre capacité de factoriser un nombre est intimement liée à celle
de détecter si un nombre est divisible par un autre. Venez découvrir
quelques-unes de ces méthodes qui, comme vous le verrez, permettent de gagner beaucoup de temps et d’efficacité.
Il ne faut pas oublier que les grands
nombres utilisés en cryptographie
doivent avoir plus de 100 chiffres
pour être sécuritaires ! Nous n’utiliserons pas de si grands nombres
dans notre activité !
Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants | 1
Partie 1 : Les critères
de divisibilité
Vous connaissez certainement des méthodes ou des trucs qui
permettent de dire si un nombre est divisible par un autre.
1.
a) Complétez le tableau suivant pour les méthodes que vous
connaissez déjà.
Divisible
par
Méthode
Exemple
2
Si le nombre est pair, alors il est divisible par 2.
12 345 566 est divisible par 2, car ce nombre
est pair.
3
4
5
6
8
9
10
12
25
2 | Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants
b) En équipe, comparez les méthodes que vous avez trouvées et
complétez votre tableau.
Connais-tu la différence entre un
nombre et un chiffre ? On peut
dire que les nombres sont comme des mots et que les chiffres
sont comme les lettres qui les
composent !
Partie 2 : D’où viennent
les critères ?
Il est parfois très facile de comprendre et de se souvenir de certains critères de divisibilité. C’est le cas des critères de divisibilité par 2 et par 5 par
exemple. Par contre, les critères par 3 et par 4 sont un peu plus surprenants. Nous allons les regarder ensemble afin de mieux les comprendre.
Le critère de divisibilité par 3
2.
Pouvez-vous trouver deux nombres qui sont des multiples de 3
dont la somme n’est pas divisible par 3 ?
Avez-vous trouvé ?
Observons d’abord les premiers multiples de 3.
Multiple de 3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
...
Somme des
chiffres du
nombre
3
6
9
3
6
9
3
6
9
...
On remarque que dans chacun des cas, la somme des chiffres du nombre
est un multiple de trois.
Observons les multiples suivants.
Multiples de 3
30
33
36
39
42
45
48
51
54
57
60
Écrits autrement
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
60
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3
6
9
12
15
18
21
24
27
Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants | 3
À partir de 30, on retrouve la même liste de nombres que dans le premier
tableau à laquelle on additionne 30. À partir de 60, il en sera de même,
puis encore à partir de 90, 120, 150, etc. La somme des chiffres de chacun
de ces nombres est un multiple de 3.
Donc, la somme de tous les chiffres d’un multiple de 3 est un multiple de
3 puisque, comme vous l’avez constaté, la somme de deux multiples de 3
est un multiple de 3.
D’un autre côté, la somme des chiffres des autres nombres ne peut pas être
un multiple de 3, car ces nombres ont tous l’une des formes suivantes :
• un multiple de 3 plus 1
Par exemple, 13 peut s’écrire sous la forme 12 + 1 où 12 est un
multiple de 3 ;
• un multiple de 3 plus 2
Par exemple, 14 peut s’écrire sous la forme 12 + 2 où 12 est un
multiple de 3.
Si la somme des chiffres du nombre est divisible par 3, alors le nombre
lui-même est divisible par 3.
Le critère de divisibilité par 4
Comme pour 3, la somme de deux multiples de 4 est un multiple de 4.
Observons les multiples de 100.
100 ÷ 4 = 25
200 ÷ 4 = 50
300 ÷ 4 = 75
400 ÷ 4 = 100
…
1000 ÷ 4 = 250
1100 ÷ 4 = 275
1200 ÷ 4 = 300
4 | Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants
De la même manière, un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible
par 9. Seriez-vous capable de
le démontrer ?
3.
a) Est-ce que tous les multiples de 100 sont des multiples de 4 ?
Pourquoi ?
Un nombre supérieur à 100 peut être écrit sous la forme d’un multiple de 100 plus le nombre formé par ses deux derniers chiffres.
Exemples :
242 = 200 + 42
7 328 = 7 300 + 28
328 227 = 328 200 + 27
12 209 007 = 12 209 000 + 7
Dans tous les cas, comme le premier nombre est un multiple de
100, donc un multiple de 4, le nombre complet est divisible par 4 si
le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
Si les deux derniers chiffres d’un nombre sont divisibles par
4, alors le nombre est divisible par 4.
b) Pouvez-vous dire lesquels des nombres présents dans les
exemples plus hauts sont divisibles par 4 et pourquoi ?
c) Expliquez pourquoi 6000 est divisible par 4.
d) Expliquez pourquoi 12 250 n’est pas divisible par 4.
Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants | 5
Partie 3 :
Division de très grands
nombres par 3 et par 9
Tout comme le critère de divisibilité par 3, on sait qu’un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9.
Par contre, plus un nombre est grand, plus il devient difficile de savoir
s’il est divisible par 3 ou par 9 sans calculatrice. Un petit truc existe pour
nous aider : il s’agit d’appliquer à nouveau la méthode au nombre obtenu.
Essayons d’identifier si 56 784 126 est divisible par 3.
millions
milliers
dizaines
unités
centaines
dizaines
unités
centaines
dizaines
unités
5
6
7
8
4
1
2
6
On fait la somme des chiffres du nombre :
5 + 6 + 7 + 8 + 4 + 1 + 2 + 6 = 39
On aurait aussi pu refaire la
somme des chiffres de 12. On
aurait obtenu 3 et on sait que 3
est divisible par 3. En fait, cette
méthode peut être répétée tant
que notre nombre est formé de
plus d’un chiffre.
On fait la somme des chiffres du résultat (39) :
3 + 9 = 12
On sait que 12 est divisible par 3, donc 39 est divisible par 3 et 56 784 126
l’est aussi.
Maintenant, essayons d’identifier si 96 787 926 est divisible par 9.
millions
milliers
dizaines
unités
centaines
dizaines
unités
centaines
dizaines
unités
9
6
7
8
7
9
2
6
On fait la somme des chiffres du nombre :
9 + 6 +7 + 8 + 7 + 9 + 2 + 6 = 54
On fait la somme des chiffres de 54 :
5+4=9
On sait que 9 est divisible par 9, donc 54 est divisible par 9 et 96 787 926
l’est aussi.
Si un nombre est divisible par 9,
alors il est aussi divisible par 3.
Par exemple, 27 est divisible par 9
car 2 + 7 = 9.
Il est donc aussi divisible par 3.
Par contre, si un nombre n’est pas
divisible par 9, cela ne signifie pas
nécessairement qu’il n’est pas divisible par 3. Par exemple, 24 n’est
pas divisible par 9 car 2 + 4 = 6.
Mais 3 divise 24 car 3 divise 6.
6 | Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants
a) Est-ce que 1 986 344 567 961 est divisible par 3 ?
4.
b) Est-il divisible par 9 ? Pourquoi ?
5.
a) Écrivez tous les nombres de trois chiffres divisibles par trois
qui sont formés uniquement avec les chiffres 1, 2 et 3.
b) Écrivez tous les nombres de trois chiffres divisibles par neuf
et qui sont formés uniquement avec les chiffres 3, 7 et 8.
La propriété de commutativité de
l’addition permet d’obtenir plusieurs nombres divisibles par 3 et
par 9 avec les mêmes chiffres !
Partie 4 :
Deux méthodes pour 7
Pour déterminer si un nombre formé de trois chiffres est divisible par 7, il
existe une méthode simple à appliquer. Il s’agit de faire la différence entre
le nombre de dizaines (par exemple, pour 182, le nombre de dizaines est
de 18) et le double du chiffre à la position des unités. Si le résultat de cette
opération est divisible par 7, alors le nombre est divisible par 7.
Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants | 7
6.
a) On vous dit que 182 est divisible par 7. À l’aide des informations données dans le paragraphe précédent, montrez-le.
b) Est-ce que 939 est divisible par 7 ? Faites la démonstration à
l’aide des informations précédentes.
Une deuxième méthode existe pour déterminer si un nombre est divisible
par 7. Elle est particulièrement utile pour les grands nombres.
Par exemple, est-ce que 5 527 579 818 992 est divisible par 7 ?
1.
On sépare le nombre par tranche de trois chiffres, à partir des unités.
5 | 527 | 579 | 818 | 992
2. On intercale alternativement des + et des -, à
partir de la droite, en commençant par un +.
5 - 527 + 579 - 818 + 992
3. On effectue l'opération.
5 - 527 + 579 - 818 + 992 = 231
4. On détermine si 231 est divisible par 7 à l'aide de
la première méthode.
23 - 2 × 1 = 21
5. Si on trouve un résultat divisible par 7, alors
5 527 579 818 992 est divisible par 7 !
7.
Écrivez tous les nombres divisibles par 7 formés uniquement
avec les groupes de chiffres 455, 538 et 778. Chaque nombre
doit contenir tous les groupes de chiffres une seule fois.
Par exemple, 538 778 455 n’est pas divisible par 7, car
538 - 778 + 455 = 215 et 215 n’est pas divisible par 7 selon la
première méthode (21 – 2 × 5 = 11).
À vous de trouver ceux qui sont divisibles par 7 en gardant les
groupes 455, 538 et 778 présents dans le nombre.
8 | Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants
8.
Déterminez si les nombres suivants sont divisibles par 7 en utilisant
ce que vous connaissez maintenant sur les critères de divisibilité.
a) 354 402 062
b) 354 062 402
c) 169 087 255 499 471 471
d) 1 633 178 008 787 732 547
e)0 i) 641 001 854 115
ii) Est-ce que ce nombre est divisible par 14 ?
Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants | 9
Partie 5 :
Une méthode pour 11
La méthode pour savoir si un nombre est divisible par 11 consiste à placer
en alternance, en commençant par les unités, des + et des – entre les chiffres du nombre. Si le résultat est divisible par 11, alors le nombre original
est divisible par 11.
Par exemple, est-ce que 5 527 579 818 992 est divisible par 11 ?
1.On intercale alternativement des - et des +, à partir de la droite,
en commençant par un -.
-5 + 5 - 2 + 7 - 5 + 7 - 9 + 8 - 1 + 8 - 9 + 9 - 2
2. O
n effectue l'opération.
-5 + 5 - 2 + 7 - 5 + 7 - 9 + 8 - 1 + 8 - 9 + 9 – 2 = 11
3. P
uisque 11 est divisible par 11, alors 5 527 579 818 992 est
divisible par 11.
On vous dit que 93 016 est divisible par 11. À l’aide des informations données dans le paragraphe précédent, démontrez-le.
9.
2
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
➞
➞
➞
➞
➞
➞
➞
➞
➞
➞
➞
Quintillions
Milles quatrillions
Quatrillions
Milles trillions
Trillions
Milles billions
Billions
Milliards
Millions
Mille
Unités
Comment nomme-t-on les grands nombres ? Voici une représentation
chiffrée de deux quintillions.
10 | Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants
10.
a) E
ffectuez les multiplications suivantes sans l’aide de votre
calculatrice.
i) 23 × 11
ii) 45 × 11
iii) 62 × 11
iv) 38 × 11
b) Q
ue remarquez-vous ? Formulez une conjecture concernant
la multiplication de 11 par un nombre de deux chiffres.
c) T
estez votre conjecture avec les opérations suivantes :
24 × 11 et 75 × 11.
11.
Déterminez si les nombres suivants sont divisibles par 11 en
utilisant ce que vous avez appris sur les critères de divisibilité.
Laissez les traces de vos calculs.
a) 33 269 852 011
b) 33 269 852 011 000
c) 1 086 419 753 199
d) 909 090 009 080
Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants | 11
Partie 6 :
Reste ou reste pas
Le jeu de l’abeille
Une abeille ouvrière doit marcher sur les rebords des alvéoles pour aller
porter à manger à sa reine. Pour qu’elle y parvienne, tu dois la guider en
déterminant si le quotient est oui ou non sans reste. Pour t’aider, l’abeille
ouvrière a déjà commencé son parcours.
12.
☹
548 ÷ 4
☹
4 676 ÷ 6
☹
97 979 ÷ 5
☹
111 114 ÷ 9
☹
5 438 ÷ 2
☺
668 ÷ 8
☺
32 410 ÷ 12
☹
☹
7 512 ÷ 5
☺
☹
= Oui, le nombre est divisible
sans reste.
66 666 ÷ 8
☹
8 154 ÷ 8
☺
☺
☺
☺
11 111 ÷ 2
☹
☺
1 001 ÷ 7
☺
☹
visible sans reste.
3 497 ÷ 3
☹
☺
4 444 ÷ 3
☺
5 225 ÷ 7
4 561 ÷ 6
☺
☺
☹
☹ = Non, le nombre n’est pas di-
☹
☹
978 799 ÷ 4
☺
211 ÷ 2
123 ÷ 5
☺
☹
☺
1 175 ÷ 25
3 338 ÷ 2
9 429 ÷ 3
5 004 ÷ 4
☺
☺
☺
☺
6 245 ÷ 8
☹
☹
☹
2 688 ÷ 6
☺
2 853 ÷ 9
☹
☹
1 230 ÷ 5
☺
☹
☹
333 ÷ 7
☺
10 801 ÷ 11
7 755 ÷ 4
☺
☺
☹
62 ÷ 4
☹
☺
12 ÷ 3
12 | Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants
Curieux ?
13.
Dans un parc d’attractions se déroule un rallye mathématique.
Le joueur débute au point de départ et son but est d’identifier le point d’arrivée. Le plan du parc est à la page suivante.
À chaque intersection rencontrée, le joueur trouve la direction
qu’il doit prendre en déterminant le reste de la division suivante :
Nombre lié au numéro de l’intersection (voir le tableau plus bas)
Nombre de chemins à cette intersection
Comment savoir par où aller ?
Pouvez-vous utiliser les critères de divisibilité pour faciliter
votre tâche ?
0
3
1
2
Supposons que vous arrivez à l’intersection numéro 1. Le nombre lié à
cette intersection est 13 et il y a 4 chemins qui mènent à ce point. Votre
chemin d’arrivée portera le numéro 0.
Vous devez calculer le reste de la division de 13 par 4. Le reste est 1, donc
vous comptez dans le sens horaire à partir de l’endroit d’où vous venez.
Dans notre cas, on suivra le chemin numéro 1 qui va vers la droite et nous
mène à l’intersection que l’on nommera numéro 2.
Le numéro correspondant à l’intersection 2 est 62 et le nombre de chemins qui mènent à ce point est 3. Le reste de la division de 62 par 3 est 2.
Puisque le chemin par lequel on arrive est 0, on comptera deux chemins
dans le sens horaire et on se dirigera vers la disco ronde qui deviendra
l’intersection numéro 3.
On peut remarquer que si le nombre lié au numéro d’intersection est divisible par le nombre de chemins liés à cette intersection, alors on retourne
sur nos pas.
Pour les deux premières intersections, les chemins à prendre, selon les
différents restes possibles, ont été indiqués.
Voici les différents nombres liés aux intersections que vous parcourrez.
Nombres liés aux numéros
des intersections
No d’intersection
Nombre
1
13
2
62
3
10 801
4
29 381
5
7 676
6
584
7
12 343
8
23 310
9
458
10
153
11
1 099
12
180 061
13
2 235
14
Fin
Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants | 13
A : Grande roue
B : Kiosque de crème glacée
DÉPART
A
C : Autos tamponneuses
0
B
3
C
0
1
1
2
2
D
D : Bateau de pirates
2
E : Disco ronde
1
F : Toboggan
E
G : Pitoune
F
H : Train
G
I : Kiosque de jeux
H
J : Balançoires
K
J
K : Toilettes
I
L : Montagnes russes
M
P
O
N
M : Voyage au fond des mers
N : Restaurants
L
O : Scène de spectacles
P : Montagnes russes extrêmes
Q
U
R
S
T
Q : Premiers soins
R : Cinéma 3D
S : Arcades
T : Balançoires géantes
U : Tour de bateau
a) À quelle attraction vous retrouvez-vous à la fin ?
b) Décrivez les méthodes ou trucs que vous avez utilisés pour trouver
le chemin.
14 | Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants
14.
Votre ami a retrouvé un bout de papier sur lequel il avait écrit
un nombre de la plus grande importance. Malheureusement, le
papier est déchiré et vous n’avez que la fin du nombre. Si vous
aidez votre ami à identifier les diviseurs du nombre, il croit qu’il
pourra retrouver le nombre complet.
a) T
rouvez quels nombres divisent ce nombre. S’il y en a pour
lesquels vous ne pouvez vous prononcer, dites pourquoi.
038
b) Q
uels sont les nombres inférieurs à 10 000 qui sont divisibles par 3 et qui répondent à ces critères ?
c) V
otre ami se souvient soudainement que le nombre est divisible par 9 et qu’il est inférieur à 10 000. Quel est ce nombre ?
Cahier de l’élève | 1.3 Des critères gagnants | 15
1.3 Des critères gagnants
Annexe 1 : Une autre technique
pour la divison par 3...
Est-ce que 56 784 126 est divisible par 3 ?
Pour trouver si un nombre est divisible par 3, on peut faire la somme des
chiffres qui le composent.
5 + 6 +7 + 8 + 4 + 1 + 2 + 6 = 39
Il existe un autre truc pour identifier si un grand nombre est divisible par
3.
56 784 126
5 + 7 = 12
La somme de 5 et 7 est divisible par 3. On peut donc éliminer ces deux
chiffres.
56 784 126
8 + 4 = 12
La somme de 8 et 4 est divisible par 3. On peut donc éliminer ces deux
chiffres.
56 784 126
1+2=3
De même pour 1 et 2.
56 784 126
Il reste les deux 6, mais comme ils sont divisibles par 3. On peut aussi les
éliminer.
Il ne reste plus de chiffres à éliminer; on peut donc déterminer que
56 784 126 est divisible par 3.
Annexe 1 | 1.3 Les criètres gagnants
1.
En utilisant la même méthode, déterminez si les nombres suivants sont divisibles par 3.
a) 4 050 267
b) 554 985 648
c) 5 846 208 604
d) 1 333 666 999
2.
Cette méthode s’applique aussi pour 9. En utilisant cette méthode, déterminez si les nombres suivants sont divisibles par 9.
a) 14 847 498
b) 29 389 608
c) 99 999 993
Annexe 1 | 1.3 Des critères gagnants