Mouvements à force centrale

MOUVEMENT KEPLERIEN
Les données suivantes pourront être utilisées dans les différents exercices :
•rayon de la Terre RT= 6,37.103km
•champ de pesanteur au niveau de la mer : g= 9,8m.s−2
•constante de gravitation : G= 6,67.10−11 kg−1.m3.s−2
•masse de la Terre : MT= 5,97.1024 kg
•durée d’un jour sidéral Tsid = 86164 s
1 Modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène
L’électron de masse met de charge −etourne autour du proton sur une orbite circulaire de
rayon rà la vitesse constante v.
a) Exprimer en fonction de rla vitesse vainsi que la fréquence νdu mouvement de l’électron.
b) Exprimer en fonction de r: l’énergie potentielle Epde l’électron, son énergie cinétique
Ec, son énergie mécanique Em=Ec+Ep.
c) L’énergie d’ionisation de l’atome H dans son état fondamental étant de −13,6eV, calculer
le rayon r1de l’orbite de l’électron dans l’état fondamental.
On donne ε0= 8,85.10−12 S.I. et e= 1,60.10−19 C.
2 Satellite en orbite polaire
Un satellite décrit une orbite circulaire autour du centre de la Terre, dont le plan contient les
pôles. Au cours d’une même révolution ce satellite passe à la verticale de Marseille puis à la
verticale de Paris.
1) Quel est l’intervalle de temps minimal ∆tentre ces deux passages, et préciser dans ce cas
le sens de rotation du satellite sur son orbite ?
2) Déterminer ensuite :
– sa période de révolution T
– son altitude h.
Données :
•latitude de Paris : 48◦500N – longitude de Paris 2◦200E
•latitude de Marseille : 43◦150N – longitude de Marseille 5◦200E
Réponses : ∆t= 718 s ; T= 46,3.103s ; h= 21,5.106m.
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3 Mouvement orbital de la Terre
On suppose que la Terre n’est soumise qu’à la seule attraction solaire et qu’elle décrit dans
son mouvement une ellipse dont le foyer se trouve au centre du Soleil. Quand la Terre
est à son aphélie, sa distance au Soleil vaut rmax = 1,52.1011 m et sa vitesse orbitale
vmin = 2,93.104m.s−1. Sachant qu’à son périhélie la Terre se trouve à la distance
rmin = 1,47.1011 m, exprimer puis calculer sa vitesse orbitale au périhélie.
4 Énergie de mise en orbite d’un satellite terrestre
Un satellite terrestre de masse mest lancé d’une base Mosituée à la latitude λpour être
placé sur une orbite circulaire de rayon r.
1) Rappeler dans quel référentiel on doit se placer pour étudier le mouvement de ce satellite.
2) Exprimer l’énergie mécanique initiale Em0de ce satellite en M0juste avant le lancement,
puis l’énergie mécanique finale Emlorsqu’il est sur son orbite. En déduire l’expression de
∆Em=Em−Em0, l’énergie minimale à fournir à ce satellite pour sa mise sur orbite. On
exprimera ∆Emen fonction de Gconstante de gravitation, MTmasse de la Terre, m,r,RT
rayon de la Terre, Tsid durée du jour sidéral et λlatitude de la base de lancement.
3) On note les latitudes des trois bases de lancement :
— Baïkonour au Kazakhstan : λ= 45,9◦
— Cap Canaveral en Floride : λ= 28,4◦
— Kourou en Guyane : λ= 5,23◦
a) Laquelle de ces trois bases offre les meilleures conditions de lancement ?
b) On considère un satellite de masse m= 6,0t en orbite circulaire à l’altitude h= 1,0.103km.
Calculer ∆Empour la base de Kourou puis calculer l’énergie gagnée entre Baïkonour et Kou-
rou. Commenter.
5 Transfert d’orbite d’un satellite artificiel
On considère un satellite artificiel placé sur une
orbite terrestre circulaire C1de rayon R1. On
veut transférer ce satellite sur une autre orbite
circulaire C2de rayon R2. Le transfert s’effectue
sur une orbite elliptique Htangente aux deux
trajectoires précédentes. Une telle ellipse est ap-
pelée ellipse de Hohmann.
a) Donner les expressions des vitesses circu-
laires v1et v2sur les orbites circulaires C1et C2.
b) En déduire l’expression de l’énergie méca-
nique sur les orbites circulaires C1et C2. Que
devient l’expression de l’énergie mécanique
pour une orbite elliptique ? Donner alors l’ex-
pression de l’énergie mécanique sur l’ellipse de
Hohmann.
2

c) En déduire les expressions des vitesses v0
1en Pet v0 2en Asur l’orbite elliptique de Hohmann.
d) Exprimer puis calculer les variations de vitesse ∆v1=v0
1−v1et ∆v2=v2−v0 2du satellite
lors des transferts respectifs de C1sur Het de Hsur C2.
e) Calculer la durée du transfert sur l’ellipse de Hohmann.
A.N : R1= 8,00.103km ; R2= 2R1;
6 Freinage d’un satellite en orbite quasi-circulaire
On étudie le mouvement d’un satellite artificiel de la Terre dans le référentiel géocentrique
RGsupposé galiléen. Le satellite subit la seule force de gravitation de la Terre considérée à
symétrie sphérique. On désignera par MTla masse de la Terre. On note Gla constante de
gravitation universelle.
Le satellite Mde masse men orbire circulaire de rayon rsubit dans les hautes couches d’air
raréfié de l’atmosphère, une force de frottement de la forme :
~
Ff=−αmv~v
Le coefficient αest positif et vest le module de la vitesse ~v du satellite dans RG.
La force de frottement étant très faible, la trajectoire du satellite reste quasi-circulaire et,
pendant une révolution, le rayon de la trajectoire passe de la valeur rà la valeur r+ ∆r, la
variation de la distance au centre ∆rrestant très inférieure à ren valeur absolue. La durée
d’une révolution est notée T.
1) Dans le cas d’une trajectoire circulaire du satellite, alors que les frottements sont négligés,
montrer que les énergies mécanique, cinétique et potentielle du satellite vérifient :
Em=−EC=1
2Epavec Ep= 0 à l’∞
Ces relations restent valables dans le cas de la trajectoire quasi-circulaire
2) Déterminer pour une révolution, la variation ∆Epde l’énergie potentielle de gravitation en
fonction de G,m,MT,ret ∆r. En déduire la variation ∆Emd’énergie mécanique sur une
révolution.
3) Calculer sur la même période, le travail Tfde la force de frottement en fonction de α,m,
vet r. En déduire que :
∆r=−4παr2
Quel est l’effet des forces de frottement sur la trajectoire et sur la vitesse du satellite ?
4) En supposant que dr
dt'∆r Tmontrer que rsuit une loi de la forme : pr(t) = √r0+Kt où
Kest une constante à déterminer en fonction de α,Get MT.
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7 Distance de plus courte approche d’un météore
Un météore, assimilable à un point matériel Mde de masse mnégligeable devant la masse MT
de la Terre, arrive de l’infini avec la vitesse −→ vopar rapport à la Terre. Son paramètre d’impact
est OH =b, où Ocorrespond au centre de la Terre. On note Sle point de la trajectoire le
plus proche du centre de la Terre.
1) Quelles sont les deux grandeurs physiques conservées au cours du mouvement ?
2) Soit ~σOle moment cinétique par rapport à Odu point M.
2.a) Donner l’expression de ~σOlorsque Mest à l’infini (M=M∞) en fonction de m,v0,b
et ~uz.
2.b) On note vSla norme de la vitesse de Mlorsqu’il passe au plus près de la Terre (M=S).
Donner l’expression de ~σOlorsque Mest en Sen fonction de m,vS,rmin et ~uz.
3) En utilisant la conservation des grandeurs données au 1), exprimer la distance rmin de plus
courte approche de la Terre, en fonction de vo,b,MT,Gconstante de gravitation. À quelle
condition le météore évitera-t-il l’impact avec la Terre ?
Réponse : rmin =−GMT
v2
0
+sGMT
v2
02
+b2
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