Mathematique Elementaire - Département de Mathématique

Table des matières
I Fonctions et inéquations polynomiales 4
1 Notions de base 4
1.1 Fonctions affines ............................ 4
1.2 Ordre sur Ret valeur absolue ..................... 4
1.3 Polynôme du second degré ....................... 5
2 Exercices 5
3 Exercices supplémentaires 6
II Fonctions élémentaires et manipulation de graphes 10
4 Manipulations de base 10
5 Exercices 10
6 Exercices supplémentaires 14
III Notion générale de fonction 16
7 Similis de définitions 16
8 Exercices 17
9 Exercices supplémentaires 18
IV Fonctions inverses, fonctions périodiques 20
10 Définitions 20
11 Exercices 20
12 Exercices supplémentaires 21
V Dérivée des fonctions d’une variable réelle 22
1

13 Définition et interprétation géométrique 22
14 Exercices 24
15 Exercices supplémentaires 25
VI Fonctions à deux variables et courbes de niveau 27
16 Définitions 27
17 Exercices 27
18 Exercices supplémentaires 28
VII Dérivées de fonctions de deux variables réelles 29
19 Définitions 29
20 Exercices 30
21 Exercices supplémentaires 30
VIII Éléments d’algèbre linéaire 31
22 Optimisation linéaire 31
22.1 Notions de base ............................ 32
22.2 Optimiser une fonction ......................... 34
22.3 Exercices ................................ 38
23 Droites et plans 39
23.1 Exercices ................................ 40
24 Systèmes linéaires 41
24.1 Calcul matriciel ............................ 41
24.2 Exercices ................................ 45
24.3 Transformations élémentaires ..................... 45
24.4 Exercices ................................ 52
24.5 Inverse d’une matrice ......................... 52
2

24.6 Exercices ................................ 56
24.7 Déterminants .............................. 56
24.8 Exercices ................................ 59
24.9 Systèmes de Cramer .......................... 60
24.10 Exercices ................................ 65
3

I. Fonctions et inéquations
polynomiales
1 Notions de base
1.1 Fonctions affines
Une fonction f:R→R:x7→ f(x)est dite affine si elle peut s’écrire sous la forme
f(x) = ax +b
pour certains a,b∈R. Le graphe d’une fonction f:R→Rest l’ensemble des points
(x,y)∈R2tels que yest l’image de xpar f. On le note Graph f. Plus concisément,
Graph f:=x,f(x):x∈Ret f(x)existe.
Il est important de remarquer que, pour tout x∈R, il y a au plus un y ∈Rtel que
(x,y)∈Graph(f). Le graphe d’une fonction affine est une droite. Plus précisément, le
graphe de la fonction f(x) = ax +best la droite d’équation cartésienne y=ax +bet
d’équation paramétrique
(x,y) = (0,b) + λ(1,a),λ∈R.
La relation entre les équations cartésiennes et paramétriques est expliquée à la sec-
tion 23, page 39.
Le ad’une fonction affine f(x) = ax +bs’appelle le coefficient angulaire, la pente ou
encore la dérivée de f. Si a>0, la fonction est croissante; si a<0, elle est décrois-
sante; si a=0, elle est constante. 1Si (x1,y1)est un vecteur directeur d’une droite avec
x16=0, cette droite est 2le graphe d’une fonction affine dont le coefficient angulaire
est y1/x1.
1.2 Ordre sur Ret valeur absolue
L’ordre 6sur Rpossède les propriétés élémentaires suivantes :
1. Vous êtes invités à essayer de donner des définitions formelles (donc pas seulement une intuition)
des notions « fest croissante », « fest décroissante » et « fest constante ».
2. Démontrez le !
4

réflexivité : pour tout x∈R,x6x;
antisymétrie : pour tout x,y∈R, si x6yet y6xalors x=y;
transitivité : pour tout x,y,z∈R, si x6yet y6zalors x6z.
compatibilité avec l’addition : pour tout x,y∈R, si x>0 et y>0 alors x+y>0.
compatibilité avec la multiplication : pour tout x,y∈R, si x>0 et y>0 alors
xy >0.
La valeur absolue |x|d’un nombre réel xest définie par
|x|:=(xsi x>0,
−xsi x60.
Notez que √x2vaut |x|et non x(essayez avec des valeurs numériques!). Pour la réso-
lution d’inéquations comportant des valeurs absolues, on peut revenir à la définition et
distinguer les différents cas possibles ou, plus efficacement, utiliser les équivalences
|x|<r⇐⇒ (−r<xet x<r)
|x|>r⇐⇒ (x<−rou r<x)
qui sont valides pour tout 3r∈R. Nous vous laissons le soin de déduire les équi-
valences analogues pour 6(resp. >) au lieu de <(resp. >). Il est attendu que vous
puissiez tracer le graphe de |f|à partir du graphe de f. Vous devez être également
capables de résoudre graphiquement des inéquations.
1.3 Polynôme du second degré
On dit qu’une fonction f:R→Rest un polynôme du second degré si fpeut s’écrire
sous la forme
f(x) = ax2+bx +c
pour certains a,b,c∈Ravec a6=0. Le graphe d’une telle fonction est une parabole
de sommet −b/2a. Si a>0, la parabole est « tournée vers le haut »; si a<0, elle est
« tournée vers le bas ».
2 Exercices
I.1. Tracez le graphe des fonctions suivantes :
f(x) = 2x−3
3. Évidemment, si r60, on a des équivalences plus simples...
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