corrigé DS3 - Dominique Frin
CORRIGE DEVOIR SURVEILLE N° 3 TERMINALE S 4
EXERCICE 1 : 1. u1 =
2u0v0
3
=
7
3
, v1 =
u
0
3v
0
4
=
21
4
, u2 =
119
36
, v2 =
217
48
.
2. a) On a wn + 1 = vn + 1 – un + 1 =
un3vn
4
–
2unvn
3
=
3un3vn42unvn
12
=
5vn5un
12
=
5wn
12
. Donc la suite
(wn) est géométrique de raison
5
12
et de premier terme w0 = v0 – u0 = 7 .
b) Ainsi wn = 7
5
12
2
. La raison de la suite est strictement comprise entre – 1 et 1, donc la limite de (wn) est 0.
Comme 7 et
5
12
sont strictement positif, alors pour tout entier naturel n, wn > 0.
3. a) un + 1 – un =
2unvn
3
– un =
2unvn3un
3
=
vnun
3
=
wn
3
> 0, donc (un) est strictement croissante.
b) vn + 1 – vn =
un3vn
4
– vn =
un3vn4vn
4
=
unvn
4
=
wn
4
< 0, donc (vn) est strictement décroissante.
c) On sait que (un) est strictement croissante, (vn) est strictement décroissante, et
lim
n
vnun
=
lim
n
wn
= 0, donc
ces deux suites sont adjacentes. On en déduit qu'elles convergent vers la même limite.
4. a) tn + 1 = 3 un + 1 + 4 vn + 1 = 3
2unvn
3
+ 4
un3vn
4
= 2un + vn + un + 3vn = 3un + 4vn = tn . Donc la suite (tn) est
constante égale à t0 = 3u0 + 4v0 = 28. D'où
lim
n
tn
= 28.
b) un = vn – wn =
tn3un
4
– wn =
tn3un4wn
4
; soit 4un = tn – 3un – 4wn , et un =
tn4wn
7
.
Ainsi
lim
n
un
=
lim
n
vn
=
lim
n
tn4wn
7
=
284×0
7
= 4.
EXERCICE 2 : 1. La fonction f est continue sur * comme quotient de fonctions qui le sont. Il reste à vérifier que
la fonction est continue en 0: On sait que
lim
x0
ex1
x
=
lim
x0
exe0
x0
= nombre dérivé de ex en 0 = 1 = f(0). Donc la
fonction f est continue en 0 et donc sur .
2. On peut écrire f(x) =
ex1
x
=
ex
x
1
x
. On sait que
lim
x
ex
x
= + et
lim
x
1
x
= 0, donc
lim
x
fx
= +.
On sait que
lim
x
ex
= 0, donc
lim
x
ex1
= – 1, donc
lim
x
fx
= 0. On en déduit que la courbe C admet une
asymptote horizontale en – d'équation y = 0.
3. a) La fonction f est dérivable sur * comme quotient de fonctions qui le sont. Pour tout x 0,
f '(x) =
ex×xex1×1
x2
=
gx
x2
où g(x) = (x – 1)ex+ 1.
b) La fonction g est dérivable sur comme somme et produit de fonctions qui le sont. On a g'(x) = ex+ (x – 1)ex = x ex .
Le signe de g' est le signe de x puisque pour tout réel x , ex > 0. Ainsi la fonction g est décroissante sur ]– ; 0] et
croissante sur [0; +[. Elle admet donc un minimum en x = 0 qui vaut g(0) = (0 – 1)e0+ 1 = – 1 + 1 = 0.
c) Le minimum de g étant 0, la fonction g est positive sur .
d) Le signe de f ' est le signe de g(x) puisque pour tout réel x , x2 0. Donc la fonction f est croissante sur .
EXERCICE 3 : 1. On résout l'équation : z2 – 2
3
z + 4 = 0 : = (2
3
)2 – 4×4 = – 4 < 0, il y a donc deux solutions
complexes: z1 =
2
32i
2
=
3
+ i et z2 =
3
– i .
2. Les formes exponentielles de z1 et z2 : calculons les modules : comme z2 =
z1
, | z2 | = | z1 | =
3
2
1
2
= 2.
Posons
1
= un argument de z1 = arg(z1). Alors cos
1
=
3
2
et sin
1
=
1
2
, donc
1
=
6
[2].
Posons
2
= arg(z2). Alors
2
= arg(
z1
) = – arg(z1) = –
6
[2].
Ainsi z1 =
2e
i
6
et z2 =
2e
i
6
.
3. (z1)6 =
2e
i
6
6
= 26
e
i
= 64(– 1) = – 64 qui est un nombre réel strictement négatif.
4. On veut trouver n tel que (z2)n soit un nombre réel strictement positif. (z2)n =
2e
i
6
n
= 2n
e
in
6
. Le nombre
complexe
e
in
6
est un réel positif si
n
6
est un multiple de 2 ; on peut donc prendre n = 12 (ou 12k avec k ).
5. La solution réelle de l'équation : z3 = 8 est 2 puisque 23 = 8.
6. L'équation précédente est équivalente à z3 – 8 = 0. Le polynôme z3 – 8 se factorise par z – 2 puisque 2 est solution de
l'équation z3 – 8 = 0. Ainsi z3 – 8 = (z – 2)(az2 + bz + c). on détermine a, b, c par identification:
(z – 2)(az2 + bz + c) = az3 + (b – 2a)z2 + (c – 2b)z – 2c . Soit a = 1, b – 2a = 0, c – 2b = 0 et 1 – 2c = – 8.
On trouve a = 1, b = 2 et c = 4. On résout alors l'équation z2 + 2z + 4 = 0 : = (2)2 – 4×4 = – 12 < 0, il y a donc deux
solutions complexes: z3 =
22i
3
2
= – 1 +
3
i et z2 =
22i
3
2
= – 1 – i
3
.
7. On sait que pour tout nombre complexe z, z +
z
= 2Re(z) et que z –
z
= 2i Im(z).
Donc z1 + z2 = z1 +
z1
= 2Re(z1) = 2
3
et z3 + z4 = z3 +
z3
= 2i Im(z3) = 2i
3
.
Ainsi
z1z2
z3z4
=
2
3
2i
3
=
1
i
= – i.
1
/
2
100%
