corrigé DS3 - Dominique Frin

CORRIGE
DEVOIR SURVEILLE N° 3
u 3v 0
7
21
119
217
, v1 = 0
=
, u2 =
, v2 =
.
3
4
36
48
3
4
u n3v n
2 un v n
3un 3v n 42 unvn 5 vn 5un
5 wn
2. a) On a wn + 1 = vn + 1 – un + 1 =
–
=
=
=
. Donc la suite
4
3
12
12
12
5
et de premier terme w0 = v0 – u0 = 7 .
(wn) est géométrique de raison
12
EXERCICE 1 : 1. u1 =
=
2
5
b) Ainsi wn = 7
12
2 u 0 v0
TERMINALE S 4
. La raison de la suite est strictement comprise entre – 1 et 1, donc la limite de (wn) est 0.
5
sont strictement positif, alors pour tout entier naturel n, wn > 0.
12
2 un v n
2 un v n3un
vn un
wn
3. a) un + 1 – un =
– un =
=
=
> 0, donc (un) est strictement croissante.
3
3
3
3
u n3v n
u n3v n 4 vn
u nv n
w n
b) vn + 1 – vn =
– vn =
=
=
< 0, donc (vn) est strictement décroissante.
4
4
4
4
c) On sait que (u ) est strictement croissante, (v ) est strictement décroissante, et lim v n u n = lim wn = 0, donc
Comme 7 et
n
n
n n ces deux suites sont adjacentes. On en déduit qu'elles convergent vers la même limite.
2 un v n
u n3 v n
+4
= 2un + vn + un + 3vn = 3un + 4vn = tn . Donc la suite (tn) est
4. a) tn + 1 = 3 un + 1 + 4 vn + 1 = 3
3
4
constante égale à t = 3u + 4v = 28. D'où lim t n = 28.
0
b) un = vn – wn =
0
t n 3un
4
0
n – wn =
Ainsi lim un = lim vn = lim
n n
t n 3un 4 wn
4
t n4w n
n
=
7
; soit 4un = tn – 3un – 4wn , et un =
t n 4 wn
7
.
284×0
= 4.
7
EXERCICE 2 : 1. La fonction f est continue sur * comme quotient de fonctions qui le sont. Il reste à vérifier que
x
la fonction est continue en 0: On sait que lim
x0
x
0
e 1
e e
= lim
= nombre dérivé de ex en 0 = 1 = f(0). Donc la
x
x 0 x0
fonction f est continue en 0 et donc sur .
x
x
x
1
e 1
e 1
e
. On sait que lim
2. On peut écrire f(x) =
=
= + et lim
= 0, donc lim f x = +.
x x
x x
x x
x x
x
x
On sait que lim e = 0, donc lim e 1 = – 1, donc lim f x = 0. On en déduit que la courbe C admet une
x x x asymptote horizontale en – d'équation y = 0.
3. a) La fonction f est dérivable sur * comme quotient de fonctions qui le sont. Pour tout x 0,
x
x
g x
e × xe 1×1
=
où g(x) = (x – 1)ex+ 1.
f '(x) =
2
2
x
x
b) La fonction g est dérivable sur comme somme et produit de fonctions qui le sont. On a g'(x) = ex+ (x – 1)ex = x ex .
Le signe de g' est le signe de x puisque pour tout réel x , ex > 0. Ainsi la fonction g est décroissante sur ]– ; 0] et
croissante sur [0; +[. Elle admet donc un minimum en x = 0 qui vaut g(0) = (0 – 1)e0+ 1 = – 1 + 1 = 0.
c) Le minimum de g étant 0, la fonction g est positive sur .
d) Le signe de f ' est le signe de g(x) puisque pour tout réel x , x2 0. Donc la fonction f est croissante sur .
EXERCICE 3 : 1. On résout l'équation : z2 – 2 3 z + 4 = 0 : = (2 3 )2 – 4×4 = – 4 < 0, il y a donc deux solutions
2 32 i
= 3 + i et z2 = 3 – i .
complexes: z1 =
2
2. Les formes exponentielles de z1 et z2 : calculons les modules : comme z2 = z1 , | z2 | = | z1 | =
Posons 1 = un argument de z1 = arg(z1). Alors cos 1 =
3
et sin 1 =
2
[2].
Posons 2 = arg(z2). Alors 2 = arg( z1 ) = – arg(z1) = –
6
Ainsi z1 = 2 e
3. (z1)6 =
i
i
et z2 = 2 e
6
2 e i
6
3 1
2
2
= 2.
1
, donc 1 =
[2].
6
2
6
.
6
= 26 ei = 64(– 1) = – 64 qui est un nombre réel strictement négatif.
4. On veut trouver n tel que (z2)n soit un nombre réel strictement positif. (z2)n =
n
2 e i 6
= 2n e
i
n
6
. Le nombre
n
est un multiple de 2 ; on peut donc prendre n = 12 (ou 12k avec k ).
6
5. La solution réelle de l'équation : z3 = 8 est 2 puisque 23 = 8.
3
3
6. L'équation précédente est équivalente à z – 8 = 0. Le polynôme z – 8 se factorise par z – 2 puisque 2 est solution de
l'équation z3 – 8 = 0. Ainsi z3 – 8 = (z – 2)(az2 + bz + c). on détermine a, b, c par identification:
2
3
2
(z – 2)(az + bz + c) = az + (b – 2a)z + (c – 2b)z – 2c . Soit a = 1, b – 2a = 0, c – 2b = 0 et 1 – 2c = – 8.
On trouve a = 1, b = 2 et c = 4. On résout alors l'équation z2 + 2z + 4 = 0 : = (2)2 – 4×4 = – 12 < 0, il y a donc deux
22i 3
22i 3
solutions complexes: z3 =
= – 1 + 3 i et z2 =
= – 1 – i 3 .
2
2
7. On sait que pour tout nombre complexe z, z + z = 2Re(z) et que z – z = 2i Im(z).
Donc z1 + z2 = z1 + z1 = 2Re(z1) = 2 3 et z3 + z4 = z3 + z3 = 2i Im(z3) = 2i 3 .
complexe ei
Ainsi
z 1z2
z 3z 4
n
6
=
est un réel positif si
2 3
2 i 3
=
1
= – i.
i