Modèle mathématique.

FICHE D'EXERCICES
Calcul d'antécédents , d'images et d'ensembles de définition
Exercice 1 :
Soit la fonction f définie par f (x) = x ( x + 3 )
CORRECTION FICHE D'EXERCICES
Calcul d'antécédents , d'images et d'ensembles de définition
Exercice 1 :
Soit la fonction f définie par f (x) = x ( x + 3 )
1) Quel est l'ensemble de définition de f ?
1) Quel est l'ensemble de définition de f ? D f = IR
2) Calculer les images de 0 ; 3 et – 3 par f .
2) Calculer les images de 0 ; 3 et – 3 par f . f(0) = 0 ; f(3) = 3
3) Calculer le(s) antécédent(s) de 0 par f .
3) Calculer le(s) antécédent(s) de 0 par f . x(x + 3 ) = 0
Les antécédents de 0 par f sont 0 et – 3.
Exercice 2 :
Soit la fonction g définie par g(x) =
5x – 4
3 – 2x
1) Quel est l'ensemble de définition de g?
5
2) Calculer les images de 2,5 et
par g.
3
3) Donner les valeurs de g ( 3) et g ( ) à 0,01 près.
Exercice 3 :
Soit la fonction h définie par h(x) = 3x – 1
1) Quel est l'ensemble de définition de h ?
1
2) Calculer les images de 1 ; – 5 ; et 7 par h.
4
1
3) Calculer le(s) antécédent(s) de 1 ; – 5 ; et 7 par h.
4
Exercice 4 :
Soit la fonction k définie par k (x) =
x–5
1) Quel est l'ensemble de définition de k ?
2) Calculer les images de 9 ; 5 ; 2 ; – 1 et 8 par k.
3) Calculer le(s) antécédent(s) de 0 ; – 4 et 3 par k.
Exercice 5 :
Soit la fonction p définie par p(x) =
1
4–x
1) Quel est l'ensemble de définition de p ?
2) Calculer les images de 0 ; 2 et 4 par p.
3) Calculer le(s) antécédent(s) de 0 ; 2 et 4 par p.
6 = 18 ; f(– 3) = 0
x = 0 ou x = –3
Exercice 2 :
Soit la fonction g définie par g(x) =
5x – 4
3 – 2x
1) Quel est l'ensemble de définition de g? 3 – 2x = 0
Dg = ] –
;
3
[
2
]
3
;+
2
x=
3 3
est la valeur interdite.
2 2
[
2) Calculer les images de 2,5 et
5
par g.
3
5 2,5 – 4 8,5
=
= – 4,25 L'image de 2,5 par g est –4,25.
3 – 2 2,5 – 2
5
13
5
–4
3
3
5
13 3
5
g
=
=
=–
= – 13 L'image de par g est – 13.
3
5
1
3 1
3
3–2
–
3
3
g(2,5) =
3) Donner les valeurs de g ( 3) et g ( ) à 0,01 près.
5
3–4
5
–4
g( 3 ) =
– 10,04 ; g( ) =
3–2
3–2
3
– 3,57
Exercice 3 :
Soit la fonction h définie par h(x) = 3x – 1
1) Quel est l'ensemble de définition de h ? D h = IR
1
2) Calculer les images de 1 ; – 5 ; et 7 par h.
4
h(1) = 3 – 1 = 2 L'image de 1 par h est 2;
h(–5) = 3 (– 5) – 1 = – 16 L'image de –5 par h est – 16;
1
1
1
1
1
h
=3
–1=–
L'image de par h est – ;
4
4
4
4
4
h ( 7) = 3 7 – 1 L'image de 7 par h est 3 7 – 1 .
3) Calculer le(s) antécédent(s) de 1 ; – 5 ;
3x – 1 = 1
3x – 1 = – 5
3x – 1 =
1
4
3x – 1 = 7
1
et
4
Exercice 5 :
Soit la fonction p définie par p(x) =
1) Quel est l'ensemble de définition de p ? 4 – x = 0
Dp = ] –
7 par h.
2
3
Exercice 4 :
Soit la fonction k définie par k (x) =
0
x
5 Dk = [ 5 ; +
[
2) Calculer les images de 9 ; 5 ; 2 ; – 1 et 8 par k.
k(9) =
9–5= 4=2
k(5) =
5 – 5 = 0 L'image de 5 par k est 0;
2
–1
L'image de 9 par k est 2 ;
D k donc 2 n'a pas d'image par k.
D k donc – 1 n'a pas d'image par k ;
k(8) = 8 – 5 = 3 L'image de 8 par k est
3.
3) Calculer le(s) antécédent(s) de 0 ; – 4 et 3 par k.
x–5 =0
x–5=0
x = 5 5 est l'antécédent de 0 par k.
x – 5 = – 4 Une racine carrée est toujours positive donc – 4 n'a pas d'antécédent par k.
x–5 =3
x–5=9
x = 14
14 est l'antécédent de 3 par k.
]4;+
[
p(0) =
1
1
=
4–0 4
p(2) =
1
1
1
=
L'image de 2 par p est ;
2
4–2 2
L'image de 0 par p est
1
;
4
4 est la valeur interdite donc 4 n'a pas d'image par p.
x–5
1) Quel est l'ensemble de définition de k ? x – 5
;4[
x = 4 4 est la valeur interdite.
2) Calculer les images de 0 ; 2 et 4 par p.
2
est l'antécédent de 1 par h ;
3
4
4
x=–
– est l'antécédent de – 5 par h ;
3
3
5
5
1
x=
est l'antécédent de par h ;
12
12
4
7+1
7+1
x=
est l'antécédent de 7 par h ;
3
3
x=
1
4–x
3) Calculer le(s) antécédent(s) de 0 ; 2 et 4 par p.
1
= 0 n'a pas de solution car une fraction est nulle si son numérateur est nul.
4–x
donc 0 n'a pas d'antécédents par p.
1
7
=2
2(4–x)=1
8 – 2x = 1
– 2x = – 7
x=
4–x
2
7
est l'antécédent de 2 par p.
2
1
15
=4
4(4–x)=1
16 – 4x = 1
– 4x = – 15
x=
4–x
4
15
est l'antécédent de 4 par p.
4