Calcul Variationnel #4 Mécanique de Lagrange

Calcul Variationnel #4
Mécanique de Lagrange
Astrid Morreale J-012 [email protected]
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Rappel de la séance 3
Problèmes
Principe de Hamilton, Variations
Systèmes continus
Pendule sur une roue tournante.
Retour : Principe de Moindre Action
Le principe de moindre action stipule que l'objet suit une trajectoire le long de
laquelle une intégrale particulière de son énergie totale (cinétique + potentielle),
appelée l'action, est une extremum.
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Principe de Hamilton
Le principe de moindre action stipule que l'objet suit une trajectoire le long de
laquelle une intégrale particulière de son énergie totale (cinétique + potentielle),
appelée l'action, est une extremum.
L’action doit être extrémale, c’est à dire posséder un minimum ou un maximum.
La majorité des solutions physiques d’un problème correspondent à un minimum, ce qui fait
que le principe de Hamilton est parfois appelé ”principe de moindre action”.
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Principe de moindre action,
Variation
Passage à la limite continue
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Lagrangienne des milieux continus
Considérons une corde continue de longueur l tendue à ses deux extremites.
Nous connaissons sa forme à l’équilibre
Mais...
que devient-elle lorsqu’on Maria marche sur la corde (gravité négligée pour
le moment) ?
Maria Spelterini
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Lagrangienne des milieux continus
Considérons une corde continue de longueur l tendue à ses deux extrémités
On va donc modéliser la corde comme une succession de N masses m reliées entre elles
par des ressorts de raideur k.
k
i
a
Au voisinage de la position d’ ́équilibre:
tout potentiel d’interaction est en effet assimilable à un potentiel harmonique.
i : l’indice décrivant une masse particulière,
● i = 0 et i = N + 1 correspondant aux deux extrémités.
● η (t): La coordonné ́généralisée, décrit le déplacement de la masse i par rapport à sa
i
position d’équilibre.
●
a = l/ (N + 1) :la distance entre deux masses à l’équilibre, est
Le lagrangien de la corde est donc:
●
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La corde continue
k
i
a
N équations de E-Lagrange:
... N fois
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La corde continue
k
i
a
N équations de E-Lagrange:
Que se passe-t-il d’ailleurs lorsque N → ∞ ? :
On a a → 0 et m/a → μ, μ étant la masse linéique de la corde.
Tout se passe donc comme si l’on s’éloignait de la corde et que l’on ne pouvait plus séparer deux
masses l’une de l’autre.
L’indice i
remplacé par la position x de la masse m.
x est maintenant une variable continue.
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La corde continue
k
i
a
l’allongement d’un ressort est proportionnel à la force appliquée par unité de longueur
Loi de Hooke
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Y: module de Young, caractérise la dureté du matériau (raideur linéique).
µ : Masse/unité de longuer
La corde continue
k
i
a
l’allongement d’un ressort est proportionnel à la force appliquée par unité de longueur
-µgƞ dxdt
(gravité pas negligée)
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Y: module de Young, caractérise la dureté du matériau (raideur linéique).
µ : Masse/unité de longuer
La Lagrangien revisité
Une nouvelle façon d’écrire le lagrangien d’un système continu sans avoir a refaire, à chaque fois,
explicitement passage à la limite.
Donc pour un corde, ou poutre :
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La poutre : empilement continu
Une poutre est un empilement continu (de longueur l )de micro-solides rigides
symétriques d’epaisseur dx, de section et de masse volumique ρ.
Quatre types de forces possibles appliqués à une poutre:
●
Traction/compression (similaire a la corde)
●
Pesanteur
●
Flexion
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La poutre : empilement continu
Une poutre est un empilement continu (de longueur l )de micro-solides rigides
symétriques d’epaisseur dx, de section et de masse volumique ρ.
Quatre types de forces possibles appliqués à une poutre:
●
Traction/compression (similaire a la corde)
●
Pesanteur
●
Flexion
– et torsion
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La poutre : empilement continu
Une poutre est un empilement continu (de longueur l )de micro-solides rigides
symétriques d’epaisseur dx, de section et de masse volumique ρ.
Quatre types de forces possibles appliqués à une poutre:
●
Traction/compression (similaire a la corde)
●
Pesanteur
●
Flexion
– et torsion
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