division euclidienne et decimale

DIVISION EUCLIDIENNE ET DECIMALE
Activité 1, polycopié
I)
Division euclidienne
Vocabulaire : strictement inférieur (ou supérieur) à un nombre signifie qu’il est plus petit (ou plus grand) que
ce nombre et ne peut pas lui être égal.
Déf : effectuer la division euclidienne d’un nombre entier appelé dividende, par un nombre entier différent de
zéro appelé le diviseur, revient à trouver deux nombres entiers, appelés le quotient et le reste, vérifiant :
Dividende=(diviseur×quotient)+reste, et le reste est strictement inférieur au diviseur.
Exemple :
Avec 180 crayons, on peut faire au maximum 22 paquets de 8 crayons (car
8×22<180<8×23) et il restera 4 crayons
1 8 0 8
On peut écrire l’égalité :
1 6
2 2
180=(8×22)+4 (on a bien 4<8)
quotient
2 0
− 1 6
4
reste
Ex 1−2−3−6 p 51, ex 1 polycopié
II)
Multiples et diviseurs- Critères de divisibilité
1) Définition
Définition : On dit qu’un nombre entier (par exemple 7) est un diviseur d’un autre nombre entier (par exemple
42) lorsque le reste de la division euclidienne de 42 par 7 est égal à 0.
On dit aussi que 42 est divisible par 7 ou que 42 est un multiple de 7
Exemple : 52=(4×13)+0=4×13. On peut dire :
13 (ou 4) est un diviseur de 52
52 est divisible par 13 (ou 4)
52 est un multiple de 4 (ou de 13)
14 = 4×3,5 mais 4 n’est pas un diviseur de 14 car le reste de la division euclidienne de 14 par 4 est 2
!
Ex 7 p 51
2) Critères de divisibilité
• Un nombre entier est divisible par 2 (ou est un multiple de 2) lorsque son chiffre des
unités est égal à 0, 2, 4, 6, 8 et seulement dans ces cas. On dit alors que le nombre est pair,
sinon il est impair.
Exemple :336 est divisible par 2 car son chiffre des unités est égal à 6 : 336=2×168
ex 2 polycopié a)b) puis activité 3 polycopié
• Un nombre entier est divisible par 4 (ou est un multiple de 4) lorsque le nombre formé
par ses 2 derniers chiffres est divisible par 4 et seulement dans ce cas.
Exemple :1148 est divisible par 4 car il se termine par 48et 48 est divisible par 4 :48=4×12
• Un nombre entier est divisible par 5 (ou est un multiple de 5) lorsque son chiffre des
unités est égal à 0 ou 5 et seulement dans ces cas.
Exemple :228 n’est pas divisible par 5 car son chiffre des unités n’est ni égal à 0 ni à 5.
Ex 1 c) d) polycopié puis activité 2 polycopié
• Un nombre entier est divisible par 3 (ou est un multiple de 3) lorsque la somme de ses
chiffres est divisible par 3 et seulement dans ce cas.
1
• Un nombre entier est divisible par 9 (ou est un multiple de 9) lorsque la somme de ses
chiffres est divisible par 9 et seulement dans ce cas.
Exemple :34872 est divisible par 3 car 3+4+8+7+2=24 et 24 est divisible par 3 (24=3×8)
Mais il n’est pas divisible par 9 car 24 n’est pas divisible par 9.
Ex 1 e) f), ex 3 polycopié puis activité 4 polycopié
III)
Division décimale
Définition: 3× ?=5
Ce nombre ? est appelé quotient de 5 par 3, est le résultat de la division décimale de 5 par 3. Il est noté 5÷3 ou
5
3
Sa valeur décimale est soit une valeur exacte, soit une valeur approchée.
Exemple :
27,6 est la valeur décimale exacte du quotient de 138 par 5 (on obtient un reste égal à zéro).138 :5=27,6
Par contre, 92 :11 n’a pas de valeur décimale exacte. Dans ce cas ;
8
92
2
92 :11 ou 11
2 :7 ou 7
8÷3 ou 3
Valeur exacte
Valeur affichée par la calculatrice
Encadrement
à l’unité près
Valeurs approchées à l’unité près
2<2,666<3
par défaut : 2
par excès : 3
Encadrement
au dixième près
2,6<2,666<2,7
Valeurs approchées au dixième près par défaut : 2,6
par excès : 2,7
8<8,363<9
par défaut : 8
par excès : 9
8,3<8,3636<8,4
par défaut : 8,3
par excès : 8,4
0<0,285<1
par défaut : 0
par excès : 1
0,2<0,2857<0,3
par défaut : 0,2
par excès : 0,3
Remarque : par facilité, on a fait une troncature des nombres au millième, c’est-à-dire qu’on a gardé tous les
chiffres jusqu‘au millième et « coupé » le reste.
Ex 4-5-6-7 polycopiés, ex 37 p 54
2
Valeur exacte
8
8÷3 ou 3
Valeur affichée par la calculatrice
Encadrement
à l’unité près
Valeurs approchées à l’unité près
2<2,666<3
par défaut : 2
par excès : 3
Encadrement
au dixième près
2,6<2,666<2,7
Valeurs approchées au dixième près par défaut : 2,6
par excès : 2,7
Valeur exacte
8
8÷3 ou 3
Valeur affichée par la calculatrice
Encadrement
à l’unité près
Valeurs approchées à l’unité près
2<2,666<3
par défaut : 2
par excès : 3
Encadrement
au dixième près
2,6<2,666<2,7
Valeurs approchées au dixième près par défaut : 2,6
par excès : 2,7
Valeur exacte
8÷3 ou
8
3
Valeur affichée par la calculatrice
Encadrement
à l’unité près
Valeurs approchées à l’unité près
2<2,666<3
par défaut : 2
par excès : 3
Encadrement
au dixième près
2,6<2,666<2,7
Valeurs approchées au dixième près par défaut : 2,6
par excès : 2,7
Valeur exacte
8
8÷3 ou 3
Valeur affichée par la calculatrice
Encadrement
à l’unité près
Valeurs approchées à l’unité près
2<2,666<3
par défaut : 2
par excès : 3
Encadrement
au dixième près
2,6<2,666<2,7
Valeurs approchées au dixième près par défaut : 2,6
par excès : 2,7
Valeur exacte
Valeur affichée par la calculatrice
Encadrement
à l’unité près
Valeurs approchées à l’unité près
8÷3 ou
8
3
2<2,666<3
par défaut : 2
par excès : 3
Encadrement
au dixième près
2,6<2,666<2,7
Valeurs approchées au dixième près par défaut : 2,6
par excès : 2,7
92
92÷11 ou 11
8<8,363<9
par défaut : 8
par excès : 9
8,3<8,3636<8,4
par défaut : 8,3
par excès : 8,4
92
92÷11 ou 11
8<8,363<9
par défaut : 8
par excès : 9
8,3<8,3636<8,4
par défaut : 8,3
par excès : 8,4
92
92÷11 ou 11
8<8,363<9
par défaut : 8
par excès : 9
8,3<8,3636<8,4
par défaut : 8,3
par excès : 8,4
92
92÷11 ou 11
8<8,363<9
par défaut : 8
par excès : 9
8,3<8,3636<8,4
par défaut : 8,3
par excès : 8,4
92÷11 ou
92
11
8<8,363<9
par défaut : 8
par excès : 9
8,3<8,3636<8,4
par défaut : 8,3
par excès : 8,4
2
2÷7 ou 7
0<0,285<1
par défaut : 0
par excès : 1
0,2<0,2857<0,3
par défaut : 0,2
par excès : 0,3
2
2÷7 ou 7
0<0,285<1
par défaut : 0
par excès : 1
0,2<0,2857<0,3
par défaut : 0,2
par excès : 0,3
2
2÷7 ou 7
0<0,285<1
par défaut : 0
par excès : 1
0,2<0,2857<0,3
par défaut : 0,2
par excès : 0,3
2
2÷7 ou 7
0<0,285<1
par défaut : 0
par excès : 1
0,2<0,2857<0,3
par défaut : 0,2
par excès : 0,3
2÷7 ou
2
7
0<0,285<1
par défaut : 0
par excès : 1
0,2<0,2857<0,3
par défaut : 0,2
par excès : 0,3
3
4