Maths -Livret-corriges-Partie-03

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Séquence 7
SÉQUENCE 7
FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES
Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur
Séance 1
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e
1)
 5
 4
 0
 9
1)
L’image de 0 par la fonction f est le nombre f(0).
Pour calculer f(0), on remplace x par 0 dans l’égalité :
f(x) = 5x + 4.
f(0)= 5
× 0 + 4= 0 + 4 = 4.
2)
 4
 5
 0
 –0,8
2)
f(4) = 5
× 4 + 4 = 24
f(5) = 5
× 5 + 4 = 29
f(0) = 5 × 0 + 4 = 4
f(–0,8) = 5 × (–0,8) + 4 = –4 + 4 = 0.
Parmi les quatre nombre proposés, seul –0,8 est un antécédent de
0 par f.
On peut prouver que –0,8 est le seul antécédent de 0 par f en
résolvant l’équation : f(x) = 0
5x + 4 = 0
5x = – 4
x =
−
4
5
= – 0,8
3)
3 5 8 10 20
4,5 7,5 12 15 30
0 1 2 3 4
1 2 3 4 5
3)
On peut chercher s’il existe un nombre a tel que :
3
× a = 4,5 5 × a = 7,5 8 × a = 12
10 × a = 15 20 × a = 30
On voit que a = 1,5 convient.
On peut aussi comparer les quotients :
, ,
,
= = = = =
4 5 7 5 12 15 30
1 5
3 5 8 10 20
On peut passer de chaque nombre de la ligne du dessus à celui
juste en dessous en multipliant par 1,5.
Le tableau est donc un tableau de proportionnalité.
Attention : on ne peut pas utiliser la méthode utilisant la
comparaison des quotients
2
1
,
3
2
, … car le premier quotient « 1
divisé par 0 » ne peut pas se calculer !
Il n’existe aucun nombre qui multiplié par 0 donne 1.
Le tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité.
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Séquence 7
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0 0,33 0,67 1 1,33
Attention : là aussi, on ne peut pas utiliser la méthode de
comparaison des quotients
1
1
,
2
2
, … car le premier quotient « 0
divisé par 0 » ne peut pas se calculer !
Par contre, il existe un nombre a tel que :
0
× a = 0 1 × a = 1 2 × a = 2
3 × a = 3 4 × a = 4
Le nombre a est égal à 1.
Le tableau est donc un tableau de proportionnalité.
Attention : là aussi, on ne peut pas utiliser la méthode de
comparaison des quotients
,
0 33
1
,
,
0 67
2
, … car le premier
quotient « 0 divisé par 0 » ne peut pas se calculer !
1
× 0,33 = 0,33
Si ce tableau est un tableau de proportionnalité, son coefficient
est égal à 0,33.
Or on a : 2 × 0,33 = 0,66. On ne trouve pas 0,67.
Le tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité.
4)
 1,19 g
 119 g
 environ 97 g
 119 %
4)
Calculer 35 % de 340, c’est calculer : ×
35
340
100 .
,× = × =
35
340 0 35 340 119
100
EXERCICE 1
1)
Je regarde si les grandeurs masse et énergie semblent proportionnelles :
75 × 200 = 15 000 1 100 × 200 = 220 000 150 × 200 = 30 000 800 × 200 = 160 000
L’énergie cinétique de chacun des véhicules s’obtient en multipliant la masse du véhicule par 200.
Les grandeurs masse et énergie semblent proportionnelles.
Les commentaires du professeur :
On pouvait aussi rassembler ces données dans un tableau et regarder si ce tableau était un tableau de proportionnalité.
Le tableau est un tableau de proportionnalité donc les grandeurs semblent proportionnelles.
Pour être sûr que ces deux grandeurs sont proportionnelles, il faudrait tester non pas 4 valeurs de chacune des grandeurs, mais toutes
les valeurs. On ne peut donc dire que : « ces deux grandeurs semblent proportionnelles ».
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Séquence 7
2)
a) Le produit de la masse du véhicule en kg par 200 est égal à son énergie cinétique en J, d’où : f(x) = 200x.
b) La fonction f est linéaire. Son coefficient est 200.
c) Andry a raison : le tableau est bien un tableau de proportionnalité de coefficient 200.
Le coefficient du tableau est égal au coefficient de la fonction linéaire et c’est normal : dans les deux cas, c’est
le nombre qui multiplié par la masse d’un véhicule en kg donne son énergie cinétique.
d) Je sais que la représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine.
La masse x en kg d’un véhicule est positive ou nulle, donc la représentation graphique Cf de la fonction f est
une demi-droite d’origine O, l’origine du repère.
Je déduis de l’énoncé que le point A (par exemple) de coordonnées (50 ; 160 000) est un point de cette demi-
droite. Je trace donc Cf : c’est la demi-droite [OA).
Les commentaires du professeur :
Si on place sur le graphique les points de coordonnées (75 ; 15 000), (150 ; 30 000), (1 100 ; 220 000), on remarque que ces point
semblent sur la demi-droite [OA). C’était prévisible : la représentation graphique de la fonction linéaire f est l’ensemble de tous les
points de coordonnées (x ; f(x)) c’est-à-dire (0 ; 200x) avec x ≥ 0. Ces points appartiennent donc à [OA).
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Séquence 7
Si on utilise Geogebra, on tape : « f(x)=200x ». La représentation graphique de la fonction (une droite qui passe par l’origine)
s’affiche alors. On ne la voit cependant pas très bien car l’échelle n’est pas très adaptée. Regarde l’animation
sequence7exercice1corrige pour voir comment changer d’échelle.
3)
a) D’après le graphique de la page précédente,
l’énergie cinétique d’un véhicule de 700 kg qui roule
à la même vitesse que les véhicules d’essais est
140 000 joules.
b) D’après le graphique de la page précédente, un
véhicule qui roule à la même vitesse que les véhicules
précédents, et dont l’énergie cinétique est 100 000
joules a une masse de 500 kg.
3)
a)
On cherche graphiquement l’image par la fonction f de 700.
b)
On cherche graphiquement un antécédent par la fonction f de
100 000.
4)
énergie cinétique d’un véhicule de 700 kg :
On cherche f(700).
f(700) = 200 × 700 = 140 000.
L’énergie cinétique de ce véhicule est bien
140 000 joules.
4)
On cherche à l’aide d’un calcul l’image par la fonction f de 700.
masse d’un véhicule d’énergie cinétique 100 000
joules :
On cherche x tel que : f(x) = 100 000
Autrement dit tel que : 200 x = 100 000
D’où : 100 000
500
200
= =x
La masse de ce véhicule est 500 kg.
On cherche à l’aide d’un calcul un antécédent de 100 000 par la
fonction f.
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200
200
Séquence 7
EXERCICE 2
1) a) f : x ֏
֏֏
֏ 3x
b) f(7) = 3 × 7 = 21
c)
x –5 –3 0 1 4 7
f(x) –15 –9 0 3 12 21
2)
a) On obtient chaque nombre de la 2ème ligne en
multipliant le nombre qui se trouve juste au-dessus de
lui par 3. Ce tableau est donc un tableau de
proportionnalité de coefficient 3.
b) Les deux coefficients sont égaux.
3) Pour les valeurs positives de x, la fonction qui à x
associe 3x est la fonction qui au côté x d’un triangle
équilatéral associe son périmètre.
1)
a) On peut également écrire :
f est définie par : f(x) = 3x.
b)
Il suffit de remplacer x par 7 dans l’égalité : f(x) = 3x.
c)
f(–5) = 3
× (–5) = –15 f(–3) = 3 × (–3) = –9
f(0) = 3 × 0 = 0 f(1) = 3 × 1 = 3
f(4) = 3 × 4 = 12 f(7) = 21
2)
a) Dans ce cours, on a appelé coefficient de proportionnalité d’un
tableau de proportionnalité le nombre qui, multiplié par chaque
nombre de la ligne du dessus, permet d’obtenir le nombre du
tableau qui se trouve juste au dessous.
3)
Le périmètre d’un triangle équilatéral de côté x est x + x + x soit
3x.
EXERCICE 3
a) La fonction f est linéaire car elle est définie par la
relation : f(x) = ax avec a = 7.
Son coefficient est 7.
b) La fonction g n’est pas linéaire car 2x + 3 ne peut
pas s’écrire sous la forme ax.
c) La fonction h est linéaire car elle est définie par la
relation : h(x) = ax avec a = –3.
Son coefficient est –3.
d) La fonction i n’est pas linéaire car 3x2 ne peut pas
s’écrire sous la forme ax.
e) La fonction j est linéaire car elle est définie par la
relation : j(x) =
ax
avec a =
4
3
.
Son coefficient est
4
3
.
f) k(x) = 5(2x – 3) + 15 = 10x – 15 + 15 = 10x
La fonction k est linéaire car elle est définie par la
relation : k(x) = ax avec a = 10.
a)
b)
Attention ! 2x + 3 n’est pas égal à 5x.
2x + 3 ne peut pas s’écrire sous la forme ax car par exemple :
pour x = 0 2x + 3 = 2
× 0 + 3 = 3
ax = a
× 0 = 0
2x + 3 et ax ne sont pas égaux pour x = 0.
c)
d) Attention ! On ne peut pas prendre la valeur 3x pour a.
Le nombre a ne doit pas dépendre de x.
e)
f)
On développe 5(2x – 3) + 15 et on regarde si l’on obtient un
résultat de la forme ax. C’est le cas, donc la fonction k est
linéaire.
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