Chapitre 5 - Fonction logarithme népérien

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Chapitre 5 - Fonction logarithme népérien
2012-2013
Chapitre 5 - Fonction logarithme népérien
I
La fonction logarithme népérien
TD1 : Fonction exponentielle et réciproque
1. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = ex . On note Cf sa courbe représentative.
(a) Tracer la courbe Cf dans un repère orthonormé d’unité graphique 2 cm, en s’aidant du
graphique donné par la calculatrice (on veillera à laisser l’axe des ordonnées se poursuivre
jusqu’à la valeur −5).
(b) Donner le tableau de variation de f sur R.
(c) Déterminer les solutions des équations f (x) = 1 et f (x) = e.
(d) Déterminer graphiquement un encadrement d’amplitude 0, 5 des solutions des équations
f (x) = 2 et f (x) = 3. On note α2 et α3 ces solutions.
(e) À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée , à 10−2 près, de α2 et α3 .
(f) À l’aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions de l’équation f (x) = k pour
k réel, en fonction des valeurs de k.
2. (a) On note ln k l’unique solution de l’équation ex = k pour tout k strictement positif.
En utilisant la question précédente et sans calculatrice, déterminer ln e et ln 1.
(b) Utiliser la touche ln de la calculatrice pour comparer α2 et α3 avec ln 2 et ln 3.
3. On note Cg la courbe représentative de la fonction g définie sur ]0; +∞[ par g(x) = ln x.
(a) Sur le même graphique que Cf , placer les points de Cg d’abscisses 1, e, α2 et α3 .
(b) À l’aide de la calculatrice, déterminer les ordonnées des points de Cg d’abscisses 0, 1 ; 0, 25 ;
0, 5 et 5.
Tracer alors Cg dans le même repère que Cf .
Rappel : On a vu au chapitre 3 que la fonction exponentielle est une fonction continue et strictement
croissante sur R et que ex est strictement positif.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, quel que soit le réel strictement positif k, l’équation
ex = k admet une unique solution dans R.
Définition 1
◇ On appelle logarithme népérien du réel strictement positif k, l’unique solution de l’équation
ex = k. On note cette solution ln k qui se lit « logarithme népérien de k ».
◇ La fonction logarithme népérien est la fonction qui, à tout réel strictement positif x, associe
y = ln x.
y = ln x et x > 0 équivaut à ey = x
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On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Les courbes représentatives des fonctions ln et exponentielle sont symétriques par rapport à la droite
d’équation y = x (voir TD1).
Propriété
◇ La fonction ln est définie et continue sur ]0; +∞[.
◇ Pour tout réel x, ln(ex ) = x et pour tout réel x strictement positif, eln x = x.
◇ ln 1 = 0 et ln e = 1.
Exemple
ln(e3 ) = 3 et eln 3 = 3.
Pour tout x réel, ln(e2 + ex ) = ln(e2+x ) = 2 + x.
Pour tout x réel strictement positif, eln(x+1) + eln(x+3) = (x + 1) + x(3) = 2x + 4.
TD2 : À la découverte d’une dérivée
Dans le graphique ci-dessous sont tracés la courbe représentative Cf de la fonction f définie pour
tout x de ]0; +∞[ par f (x) = ln x, et les tangentes à Cf aux points A, B et C d’abscisses 1, 2 et 5.
(Rappel : le nombre dérivé de f en x0 , noté f ′ (x0 ), est le coefficient directeur de la tangente à la
courbe représentative de f au point d’abscisse x0 .)
2
C
b
1
B
b
0,6
A
b
1
2
3
4
5
-1
1. À l’aide du graphique ci-dessus, déterminer les valeurs approchées de f ′ (1), f ′ (2) et f ′ (5).
Quelle conjecture peut-on faire sur la valeur de f ′ (x) pour x réel strictement positif ?
2. Dans cette question, on va utiliser la calculatrice pour vérifier cette conjecture, car elle permet
de calculer une valeur approchée d’un nombre dérivé.
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Sélectionner le menu TABLE.
Dans la ligne Y1, saisir ln(X) .
Dans la ligne Y2, compléter la commande d/dx
en saisissant ln(X),X .
On obtient la commande d/dx avec les touches
OPTN , puis CALC, puis d/dx.
Appuyer sur la touche f(x)
Dans la ligne Y1, saisir ln(X) .
Dans la ligne Y2, compléter la commande
nbreDérivé( en saisissant ln(X),X,X .
On obtient la commande nbreDérivé( avec les
touches math , puis 8 .
Régler les paramètres de la table pour obtenir des valeurs de x de 0 à 10 avec un pas de 0, 5.
Saisir une formule dans la ligne Y3 qui permette de confirmer la conjecture faite à la question 1.
Propriété
(1) On admet que la fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ et ln′ (x) =
1
.
x
(2) La fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.
(3) 0 < x < 1 équivaut à ln x < 0 et x > 1 équivaut à ln x > 0.
(4) Pour tous réels a et b strictement positifs, a = b équivaut à ln a = ln b et a < b équivaut à
ln a < ln b.
Démonstrations :
1
est strictement positive sur cet
x
intervalle donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.
(2) La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ et sa dérivée x z→
(3) En appliquant la fonction ln, strictement croissante, à l’inégalité 0 < x < 1, on obtient : ln x < ln 1
soit ln x < 0. De même si x > 1 alors ln x > 0.
(4) Cette propriété se déduit de la stricte croissance de la fonction ln.
Exemple
7
7
15
15
0<
< 1 donc ln ( ) < 0 et
> 1 donc ln ( ) > 0.
11
11
13
13
Sur ]0; +∞[, ln(x + 2) = ln 3 si et seulement si x + 2 = 3 soit x = 1.
II
Relation fonctionnelle du logarithme népérien
TD3 : Additionner pour calculer un produit
1. (a) À l’aide de la calculatrice, donner des valeurs approchées à 10−3 près de :
A = ln 5 + ln 7 ; B = ln 3 + ln 11 ; C = ln 13 + ln 6 ; D = ln 33 ; E = ln 78 ; F = ln 35.
Quels regroupement peut-on faire ?
(b) Compléter le tableau ci-dessous et émettre une conjecture.
a
b
ln a + ln b
ln(ab)
2
3
4
7
3
10
-3-
5
2
40
27
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2. En utilisant la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle, comparer
eln a+ln b et eln(ab) pour a et b réels strictement positifs. Que peut-on en
déduire ?
3. Les tables de logarithmes de Néper permettaient, à une époque sans calculatrice, d’effectuer plus rapidement des multiplications grâce à la relation :
ln a + ln b = ln(a × b) pour tous réels positifs non nuls a et b.
En se servant uniquement de l’extrait de table de logarithmes ci-contre et
de la relation précédente, donner une valeur approchée de 15, 3 × 7.
x
6, 9
7
7, 1
...
15, 1
15, 2
15, 3
...
107, 1
107, 2
107, 3
ln x
1, 931
1, 946
1, 960
...
2, 715
2, 721
2, 728
...
4, 674
4, 675
4, 676
Théorème
Pour tous réels a et b strictement positifs, ln(a × b) = ln a + ln b.
On dit que la fonction ln vérifie la relation fonctionnelle suivante : f (a × b) = f (a) + f (b) pour tous
réels a et b strictement positifs.
Exemple
ln 5 = ln(3 × 5) = ln 3 + ln 5.
ln 10 − ln 14 = ln(2 × 5) − ln(2 × 7) = ln 2 + ln 5 − (ln 2 + ln 7) = ln 5 − ln 7.
Pour x ∈]1; +∞[ : ln(x − 1) + ln(x + 1) = ln((x − 1)(x + 1)) = ln(x2 − 1).
Si dans la relation fonctionnelle, on prend a = b, on obtient : ln(a × a) = ln a + ln a soit ln(a2 ) = 2 ln a.
De la même façon, on obtient :
ln(a3 ) = ln(a2 × a) = 2 ln a + ln a = 3 ln a et ln(a4 ) = ln(a3 × a) = 3 ln a + ln a = 4 ln a.
On peut généraliser avec la propriété suivante :
Propriété
Pour tout entier naturel n et tout réel a strictement positif : ln(an ) = n ln a
Exemple
ln(54 ) = 4 ln 5 ; ln 8 − ln 4 = ln(23 ) − ln(22 ) = 3 ln 2 − 2 ln 2 = ln 2.
Propriété
1
= − ln b.
b
a
(2) Pour tous réels a et b strictement positifs, ln = ln a − ln b.
b
(3) Pour tout entier naturel n et tout réel a strictement positif, ln(a−n ) = −n ln a.
√
1
(4) Pour tout réel a strictement positif, ln ( a) = ln a.
2
(1) Pour tout réel b strictement positif, ln
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Démonstrations :
1
1
1
1
(1) On a × b = 1 donc ln ( × b) = ln 1 donc ln + ln b = 0 donc ln = − ln b.
b
b
b
b
a
1
a
1
1
(2) On a = a × donc ln = ln (a × ) = ln a + ln = ln a − ln b.
b
b
b
b
b
1
1
−n
−n
(3) a peut s’écrire n donc ln(a ) = ln n = ln 1 − ln(an ) = 0 − n ln a = −n ln a.
a
a
√
√ 2
√
1
(4) On a 2 ln ( a) = ln (( a) ) = ln a donc ln ( a) = ln a.
2
Exemple
a7
Pour a et b réels de ]0; +∞[, ln ( ) + 2 ln(a−3 ) = 7 ln a − ln b + 2 × (−3) ln a = ln a − ln b.
b
√
√
1
1
ln 25 + 2 ln ( 3) = ln ( 25) + 2 × ln 3 = ln 5 + ln 3.
2
2
III
III.1
Équation xn = k et concavité de la fonction ln
Équation de la forme xn = k
TD4 : Une nouvelle équation
1. On donne les représentations graphiques des fonctions fn définies sur R par fn (x) = xn pour
n = 2, 3, 4 et 5. Dresser le tableau de variation de chacune de ces fonctions sur R.
50
n=4
40
n=5
n=3
n=2
30
20
10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-10
2. (a) Soit k un réel positif. À l’aide de l’animation sur Geogebra, donner le nombre de solutions
sur ]0; +∞[ de l’équation xn = k, où n est un entier naturel.
(b) Par lecture graphique, donner une valeur approchée de la solution de l’équation x5 = 20.
3. On admet que, pour tout k positif, l’équation xn = k admet une unique solution positive quel
que soit l’entier naturel n.
(a) Vérifier que le réel x = e
ln k
n
est la solution de l’équation xn = k.
(b) En déduire la valeur exacte de la solution de l’équation x5 = 20 et comparer avec la réponse
donnée à la question 2.(b).
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Propriété
Soit x et k des réels strictement positifs et n un entier naturel.
L’équation xn = k admet dans ]0; +∞[ une unique solution x = e
ln k
n
.
Démonstration :
Pour tout x de ]0; +∞[, xn (où n est un entier naturel) est encore un réel strictement positif. k est
aussi un réel strictement positif. L’équation est donc équivalente à ln(xn ) = ln k soit n ln x = ln k.
ln k
ln k
ln k
On en déduit ln x =
d’où eln x = e n soit x = e n .
n
Exemple
ln 3
L’équation x7 = 3 admet comme unique solution x = e 7 .
L’équation (x + 1)5 = 0, 2 est équivalente à l’équation x + 1 = e
III.2
ln 0,2
5
. La solution peut donc s’écrire x = e
ln 0,2
5
− 1.
Concavité de la fonction ln et application
TD5 : Monter de moins en moins vite
Soit Cf la courbe représentative de la fonction définie pour tout x de ]0; +∞[ par f (x) = ln x.
À l’aide de Geogebra, on trace Cf et la tangente Ta à Cf au point M d’abscisse a avec a un réel
strictement positif.
1. (a) On note k la valeur du coefficient directeur de Ta . Exprimer k en fonction de a.
(b) Que dire des valeurs de k, lorsque les valeurs de a augmentent ?
2. Que dire de la position relative de Cf et de Ta lorsque les valeurs de a appartiennent à ]0; +∞[ ?
3. Les résultats précédents caractérisent une propriété de la fonction logarithme népérien ; préciser
cette propriété, puis la démontrer en utilisant la dérivée seconde de la fonction ln sur ]0; +∞[.
Propriété
La fonction logarithme népérien est concave sur ]0; +∞[.
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Remarque
Par définition de la concavité, la courbe représentative de la fonction ln est située en-dessous de toutes
ses tangentes. La dérivée seconde étant négative, la dérivée de la fonction ln est décroissante sur
]0; +∞[, donc les coefficients des tangentes à la courbe représentative de la fonction ln deviennent de
plus en plus faibles : on dit que la croissance de la fonction ln est de moins en moins rapide.
Propriété
Sur l’intervalle ]0; +∞[, la fonction logarithme est au-dessous de la courbe représentative de la
droite d’équation y = x.
Démonstration :
La tangente T à la courbe représentative C de la fonction logarithme népérien au point d’abscisse 1
1
a pour équation y = f ′ (1)(x − 1) + f (1) = (x − 1) + ln 1 soit y = x − 1. Or la fonction logarithme est
1
concave, donc C est en-dessous de toutes ses tangentes, en particulier C est en-dessous de la tangente
T d’équation y = x − 1.
La droite (d) d’équation y = x est parallèle à T et (d) et au-dessus de T , donc (d) est au-dessus de C.
Remarque
La courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de la droite d’équation y = x + 1
pour tout réel x et donc au-dessus de la droite d’équation y = x. On peut en conclure que la courbe
représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de la courbe représentative de la fonction
logarithme népérien sur l’intervalle ]0; +∞[.
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