Algorithmique d`Euclide et d`Euclide étendu

Fiche du site : http://www.vincentobaton.fr/MathsLycee/
Algorithmique d’Euclide et d’Euclide étendu
Evaluation
Algorithme 01
AA
A
EA
NA
Algorithme 02
AA
A
EA
NA
Histoire
Le mot Algorithme
vient du nom
Algorithmi
Mathématicien du
IXième siècle
Les babyloniens ont
écrits les premiers
algorithmes au IIIième
siècle avant J.C
Le plus célèbre est
l’algorithme
d’Euclide qui permet
de calculer le PGCD de
deux nombres pas des
divisions successives.
Un algorithme est
une suite finie
d’instructions
permettant de donner
la réponse à un
problème.
Exercice 01 : (Algo d’Euclide)
On donne a et b deux entiers naturels.
1. Ecrire un algorithme qui permet de
déterminer le pgcd de a et b sans
utiliser la commande pgcd d’une
calculatrice ou d’un langage de
programmation. (On utilisera
l’algorithme d’Euclide)
2. Traduire cet algorithme en langage
Ti82 et faire fonctionner votre
programme pour les nombres
suivants :
i)
33 35a et b
ii)
27 21a et b
iii)
435 643a et b
iv)
1017 2013a et b
3. Transformer votre programme pour
que le quotient et le reste de chacune
des divisions euclidienne soit mis en
mémoire dans deux listes d’un tableau.
Exercice 04 : (Euclide Etendu)
On souhaite construire un algorithme
qui permet de trouver un couple (u,v)
solution de au+bv=PGCD(a,b)
Nous savons que tous les restes
obtenus dans l’algorithme d’Euclide,
peuvent s’exprimer sous la forme d’une
combinaison linéaire de a et b.
Si l’on prend trois restes successifs de
l’algorithme on peut donc trouver :
2 2 2
1 1 1
n n n
n n n
n n n
r au bv
r au bv
r au bv
De plus il existe q un entier naturel tel
que
21n n n
r qr r
1. Démontrer que
21
21
n n n
n n n
u u qu
v v qv
2. En posant
01
r a et r b
déterminer les deux premiers termes
des suites (u) et (v).
3. On cherche donc à calculer les
termes des suites (u) et (v) tant que
10 n
r
. Ecrire un algorithme qui
permet de déterminer ces termes et qui
affiche un couple (u,v) solution de
au+bv=PGCD(a,b)
4. Construire un programme Ti82
traduisant l’algorithme ci-dessus et le
tester avec a=2958 et b=497
(on trouve u=-145 et v=863)
5. Construire un programme qui donne
les solutions de l’équation
diophantienne de la forme
xu+yv=c
après avoir vérifié qu’il y a des couples
possibles.
6. Vérifier votre programme avec
l’équation : 4x+5y=7
Exercice 02 :
1. Ecrire un algorithme qui permet de
déterminer le pgcd de deux nombres
entiers naturels, en utilisant la
méthode des soustractions.
2. Ecrire un programme Ti82 qui
traduit l’algorithme précédent.
Le faire fonctionner avec les exemples
précédents.
Exercice 03 :
1. Ecrire un algorithme qui insère dans
une liste les diviseurs d’un entier
naturel a puis dans une autre liste les
diviseurs de l’entier naturels b.
2. Ecrire un algorithme qui détermine
le pgcd de deux nombres entiers
naturels a et b, par la méthode des
diviseurs.
3. Ecrire un programme Ti82 qui
permet de trouver le pgcd de deux
nombres à l’aide de la méthode des
diviseurs. Le faire fonctionner avec les
exemples précédents.