Ceci est un document actif : cliquer sur le lien de la partie souhaitée : Constructions et calculs d’aires Aires de figures Feuille avec mesures et d’aires Formules et équations Carré augmenté d’un demi-cerclee Figure de périmètre 6x et d’aire x² Equerre d’onglet, angles et aires Enclos à moutons Table à rallonges Constructions et aires ! C onstruire un parallélogram m e AB C D : la diagonale [AC ] m esure 9cm , l’ angle B AC m esure 37° et le côté [AB ] m esure 5cm (faire d’ abord un dessin avec la légende, puis réaliser la figure aux dim ensions indiquées). ! C onstruire un losange DEF G de diagonale [DF ] = 8cm , l’ angle EDF m esure 27°.(faire d’ abord un dessin avec la légende, puis réaliser la figure aux dim ensions indiquées). C alculer son aire, indiquer les m esures effectuées et les tracés sur la figure. Constructions et calculs d’aires Construire les f igures suivantes en indiquant la ou les propriétés utilisées. Calculer leur aire : en classes de 6° et de 5° effectuer les tracés nécessaires et les m esures effectuées sur la figure ; en classes de 4° et de 3° calculer et donner le résultat exact puis une valeur approchée à 10 -5 près ( lorsque le calcul est possible). Méthode à utiliser : faire une figure en indiquant les dim ensions et m esures d'angles indiquées, réfléchir à la façon de procéder puis construire soigneusem ent la figure avec les instrum ents. 1° T riangle AB C isocèle en A. B C = 6 cm ; la hauteur [AH] m esure 8 cm . (R éponse 24 cm 2 ) 2° T riangle AB C isocèle en A. " L'angle B m esure 40° et AB = 7cm . (24,12779 cm 2 ). 3° T riangle AB C rectangle en A. B C = 10 cm et l'angle ! AB C m esure 37°. (24,03154 cm 2 ) 4° T riangle AB C rectangle en A. B C = 9 cm et AB = 5 cm . (18,70829 cm 2 ) 5° P arallélogram m e AB C D. AC = 6 cm ; B D = 8 cm et AB = 3,5 cm . (20,3 cm 2 environ, le calcul par la trigo est hors programme de 4° et de 3°) 6° P arallélogram m e AB C D. AB = 8 cm ; B C = 5 cm . ! L'angle B AD m esure 37°. (24,07260 cm 2 ) 7° P arallélogram m e AB C D. B D = 8,5 cm ; AB = 7 cm . ! L'angle AB D m esure 58°. (50,45886 cm 2 ) 8° Losange AB C D. AB = 7 cm et AC = 11 cm . (47,63140 cm 2 ) 9° Losange AB C D. AC = 11 cm . ! L'angle B C D m esure 68°. (40,80777 cm 2 ) 10° Losange AB C D. AB = 8 cm . ! L'angle AB C m esure 128° (50,43269 cm 2 ) 13° Un rectangle de diagonale 10 cm . Un côté m esure 6 cm . (48 cm 2 ) 15° Un trapèze rectangle 14° Un rectangle de d'aire 24 cm 2 , de bases diagonale 10 cm . L'angle d'un côté avec la 6 cm et 2 cm . diagonale m esure 18°. (29,38926 cm 2 ) 18° Un trapèze HIJK de bases KJ et HI : KJ = 12 cm ; IJ = 4 cm ; ! l'angle HKJ m esure 68° ! et l'angle IJK m esure 50°. (30,93416 cm 2 ) 19° Un triangle LM P .M L = 10 cm ; ! l'angle M LP m esure 70° ! et l'angle M P L m esure 50°. (53,11687 cm 2 ) 12° Un carré de 11° Losange AB C D. diagonale 10 cm . AB = 8 cm . La hauteur m esure 5 cm . (50 cm 2 ) (40 cm 2 ) 16° Un triangle AB C . AC = 7 cm ; AB = 9 cm ; l'angle ! C AB m esure 49°. (23,77335 cm 2 ) 17° Un trapèze rectangle DEF G. ! L'angle DGF est droit; GF = 10 cm . EF = 3 cm ; l'angle ! DEG m esure 60°. (24,O3220 cm 2 ) Aires de figures C OR R IGE Aire du triangle rectangle AB C : AC × BF 2 (22 + 13 + 20) × 30 = 2 55 × 30 = = 825 m2 2 Aire du triangle C DG : CG × DG 20 × 35 = 2 2 = 350 m 2 C eci est le plan d'un terrain AB C DE. ! ! Les angles AF B et AGD sont droits. AF = 22 m FG = 13 m GC = 20 m BF = 30 m AE = 20 m GD = 35 m C alculer : l’ aire de AB C : L’ aire de AGDE : L’ aire de DC G : L’ aire du terrain AB C DE : Aire du trapèze rectangle AEDG (AE + GD) × AG 2 ( 20 + 35) × (22 + 13) = 2 55 × 35 = = 962,5 m2 2 L’ aire de AB C DE est la som m e des trois aires : 825 + 350 + 962 ,5 = 2137,5 m 2 Nom m er chacune des figures suivantes (carré, triangle rectangle … … ..) C alculer leur aire de une, deux ou trois m anières différentes selon les figures. Indiquer les m esures effectuées ainsi que les tracés (à l’ équerre) sur chaque figure : // X X // C OR R IGE // 1,5cm 3,8cm 3,2cm X X 2,3 cm 3,6 cm 3 cm // 3,4 cm 6,4cm C alculs : F igure T riangle Aire ≈ 6 ,4 × 3 ,8 = 1216 , cm2 2 P arallélogram m e ≈ 3, 2 × 2 ,3 = 7 ,36 cm2 T rapèze rectangle ≈ (1,5 + 3, 4) × 3 = 7, 35 cm2 2 Disque : rayon 3, 6 / 2 = 1,8 cm ≈ 3,14 × 1,82 = 10,1736 cm2 Feuille de figures avec dimensions à mesurer et aires à calculer C OR R IGE P érim ètre : B C DF est un carré de côté 10 cm # # 10 × 3,14 10 × 3,14 AB + B C + DC + ED + EA = 5 + 10 + + 5+ 2 4 # # AB + B C + DC + ED + EA = 43,55 cm C alculer le périm ètre et l’ aire de la figure grisée AB C DE. Aire de AB C D m oins l’ aire de trois quarts de cercle : 3 10 × 10 − 3,14 × 52 × = 41125 , cm2 4 Formules équations C haque colonne du tableau correspond à un cercle différent. Dans la prem ière colonne, écrire les form ules en fonction de R . Com pléter les cases blanches du tableau en indiquant les calculs dans les cases (et si possible les "équations").(π ≈ 3,14). R ayon R Diam ètre (form ule) P érim ètre du cercle (form ule) Aire du disque (form ule) 5cm 7cm 14,13cm 113,04cm 2 C OR R IGE 7 = 3,5 cm 2 14,13 = 2 ,25 cm 2 × 3,14 R ayon R 5cm Diam ètre 2×R 2 R × 3,14 = 6,28 R 2 × 5 = 10 cm 7 cm = 2 R 2 × 2 ,25 = 4 ,5 cm 10 × 3 ,14 = 31,4 cm 7 × 3 ,14 = 21,98 cm 2 R × 3,14 = 14,13 cm , ×R×R = 314 , × 52 = 3,14 × 25 314 3,14 × 3,52 , R2 314 = 78,5 cm2 = 3,14 × 12, 25 P érim ètre du cercle Aire du disque R= R= R2 = 6 × 6 R = 6 cm 3,14R2 = 113,04cm2 113,04 = 36 R2 = 3,14 = 38,465 cm2 C OR R IGE III 1° L’ aire de la figure est 5x ; Aire = 35cm2 5 x = 35 x est la deuxièm e dim ension du rectangle représenté ci-dessus 1° Exprim e en fonction de x l'aire de la figure. ................ De préférence en écrivant une équation, calcule la valeur de x telle que: Aire = 35cm 2 2° Exprim er en fonction de x le périm ètre P de la figure, sim plifier l'expression si possible. .............. De préférence en écrivant une équation, calcule la valeur de x telle que: P érim ètre = 18,4 cm 35 5 x = 7 cm 2° Le périm ètre P de la figure : P = 2 (5 + x) P = 2 x + 10 P érim ètre = 18,4 cm 18,4 = 2x + 10 x= 18,4 − 10 = 2 x 2 x = 8,4 8 ,4 2 x = 4,2 cm x= Carré augmenté et diminué d’un demi-cercle C OR R IGE 1° 314 , × x = 3,14x III 2° Deux côtés de longueur x, plus la longueur d’ un cercle de diam ètre x : périm ètre de la figure : 2 x + 3 ,14x = 5,14x x x Le périm ètre de la figure est égal à 30,84 cm : Equation : 5,14x = 30 ,84 30,84 x= 5,14 (on utilisera 3,14 com m e valeur approchée de π) La figure grisée est form ée x = 6 cm d’ un carré de côté x et de deux dem i-cercles de diam ètre x. Le diam ètre est égal à 6 cm 1° Quelle est la longueur d’ un cercle de diam ètre x ? 2° Exprim er en fonction de x le périm ètre de la figure grisée, sim plifier l'expression. T rouver x pour que le périm ètre de la figure grisée soit égal à 30,84 cm . 3° En déplaçant le dem i-disque extérieur à l’ intérieur du carré, on obtient un carré de côté x et de m êm e aire. L’ aire de la figure est donc x 2 a) 9 × 9 = 9 2 = 81 cm2 donc x = 9 cm b) par essais, on trouve : 5 ,2 × 5,2 = 5,2 2 = 27,04 cm2 3° Exprim er en fonction de x l’ aire de la figure grisée. donc x = 5,2 cm En faisant des essais, trouver x pour que l'aire de la figure grisée soit de : a) 81 cm2 b) de 27,04 cm2 Figure Périmètre 6x aire x² C OR R IGE x 1° Le périm ètre de cette figure est 6x et il vaut 18,6 cm // // // c’ est-à-dire x = 3,1cm // x \\ donc : 6x = 18,6 soit x = 18,6 ÷ 6 \\ x \\ 2° P ar découpage, on rassem ble cette figure en un carré ayant un côté x ; l’ aire de cette figure est x × x = x 2 L’ aire de cette figure est 25 cm2 C i-dessus une figure en gris, tous les côtés ont la m êm e longueur que l’ on appelle x ; 1° Exprim er en fonction de x le périm ètre de cette figure. C alculer x pour que le périm ètre de cette figure soit 18,6 cm 2° En rassem blant la figure, exprim er en fonction de x l’ aire de cette figure, calculer x pour que l’ aire de cette figure soit 25 cm2 . x 2 = 25 = 5 2 donc x = 5 cm Equerre d’onglet, triangles angles aires C OR R IGE 1° Le triangle NGL est rectangle isocèle en G donc ses angles à la base m esurent 45°: L’ objet ONLIT représenté (figure grisée) est une « équerre de ! ! m enuisier » . OGLT est un rectangle. GNL = GLN = 45°. OG = TL = 12cm ; OT = GL = 8cm ; IT = TE = EI = EL = 6 cm . 2° Le triangle T IE est équilatéral donc ses angles m esurent 60°. ! ! O N G 3° Les angles IEL et IET sont adjacents supplém entaires donc ! ! IEL = 180° - IET = 180° - 60° = 120° Le triangle IEL est isocèle en E, ses angles à la base sont égaux I donc : 8 cm ! ! ! 180° - IEL 180° - 120° EIL = ELI = = = 30°. 2 2 ! ! ! ! GLT = GLN + ILN + ILT ! ! ! ! ILN = GLT – GLN – ILT E ! ILN = 90° – 45° – 30° ! 12 cm T L (Ecrire sur le ILN = 15° La som m e des angles du triangle T IL est 180° : dessin la m esure des angles au fur et à m esure.) ! ! ! 1° Quelle est la nature du triangle NGL ? T IL = 180° – ILT – IT L ! ! ! Quelle est la m esure des angles GNL et GLN ? T IL = 180° – 30° – 60° = 90° ! ! 4° Les angles ONL et LNG sont adjacents supplém entaires donc 2° Quelle est la nature du triangle T IE ? ! ! Quelle est la m esure de chacun de ses angles ? ONL = 180° – LNG = 180° – 45° = 135° ! ! 5° Les angles OT I et IT L sont adjacents com plém entaires donc ! 3° Quelle est la m esure de l’ angle IEL ? (justifier) ! ! OT I = 90° – IT L = 90° – 60° = 30° Quelle est la nature du triangle IEL ? 6° Utiliser l’équerre et le compas. ! ! C alculer la m esure des angles EIL et ELI . Aire du rectangle OGLT : En utilisant les résultats précédents, calculer la m esure de OG × OT = 12 × 8 = 96 cm2 ! NG × GL l’ angle ILN . AireNGL = ! 2 C alculer la m esure de l’ angle T IL . 8 ×8 AireNGL = = 32 cm2 2 ! 4° C alculer l’ angle ONL. T IL est rectangle en I : TI × IL AireTIL = ! 2 5° C alculer la m esure de l’ angle OT I . 6 × 10,4 AireTIL ≈ 2 6° R eproduire aux dim ensions réelles le dessin. AireTIL ≈ 312 , cm2 C alculer l’ aire du rectangle OGLT . C alculer l’ aire du triangle NGL. C alculer l’ aire du triangle T IL (Indiquer sur le dessin les m esures effectuées). C alculer l’ aire de l’ équerre d’ onglet ONLIT . Aire de ONLIT = aireOGLT – aireNGL – aireT IL = 96 – 32 – 31,2 = 32,8 cm 2 L’enclos à moutons Un berger dispose de 60 m de clôture m obile pour faire un enclos à m outons. Il hésite entre un enclos : a) carré b) circulaire. c) rectangulaire dont la longueur est le double de la largeur. c) de form e un hexagone régulier (polygone à six côtés égaux, inscrit dans un cercle). 1° P our chaque form e, calculer l’ aire obtenue et classer les form es selon leur aire. 2° A l’ échelle 1/100° (1 cm représente 1 m ), dessiner sur le m êm e dessin les quatre enclos envisagés, en faisant coïncider le centre de chaque enclos. R etrouver le classem ent obtenu en 1° en com parant les dessins. La table à rallonges C OR R IGE 1° P érim ètre : 1,2 × 314 , = 3, 768 m Utiliser 3,14 com m e valeur approchée de π. Une table de 1,2 m de diam ètre est form ée de deux dem i-disques R ayon de la table : 1,2 = 0, 6 m 2 que l’ on peut écarter pour intercaler une rallonge rectangulaire Aire : 0 6 0 6 3 14 11304 , × , × , = , m2 dont une dim ension est 1,2 m selon le dessin ci dessous : 2° P our doubler l'aire de la table, on utilise une rallonge qui a la m êm e aire que la table, l'aire de la rallonge est donc de table rallonge 1,1304 m2 . 1,2 m seule La dim ension x de la rallonge vérifie l'équation: 1,2 × x = 11304 , m2 1,1304 1,2 x = 0,942 m x= 1° C alculer le périm ètre et l’ aire de cette table sans rallonge. La rallonge m esure 1,2 m sur 0,942 m 2° On veut doubler l’ aire de la table seule en ajoutant une rallonge. Quelle doit être l’ aire de la rallonge ? C alculer la largeur de la rallonge. 3° P our doubler le périm ètre de la table, le total des deux dim ensions x de la rallonge doit être égal au périm ètre de la table: 2 × x = 3,768 m 3° On veut doubler le périm ètre de la table en lui ajoutant une rallonge. Quelle doit être la largeur de la rallonge ? 3,768 2 x = 1,884 m x= La rallonge m esure 1,2 m sur 1,884 m 4° Dessiner les plans de la table dans chacun des trois cas décrits dans les questions 1°, 2° et 3°. On utilisera l’ échelle : 1 cm sur le dessin représente 20 cm = 0,2 m en réalité (échelle 1 20 ). 4° Longueurs: S ur le dessin 1 60 20 = 3 cm En réalité 20 0,6 m = 60 cm 94,2 20 = 4,71 cm 94,2 cm 188 ,4 20 = 9 ,42 cm 188,4 cm Réaliser les trois dessins aux dimensions calculées. Indiquer en légende les dimensions réelles ( comme sur une carte)