3. Les polynômes irréductibles de Fp[X] - UTC

3. Les polynômes irréductibles de
Soient p ∈
Fp[X]
P, n ∈ N \ {0} et q = pn.
Fp[X]
1
Factorisation de X q − X dans
2
La fonction de Möbius
3
Le nombre Irrp (n) de polynômes irréductibles de
Fp[X] de degré n
1. Factorisation de X q − X dans
Soient p ∈
Fp[X]
P, n ∈ N \ {0} et q = pn.
Fp[X])
X q − X est le produit de tous les polynômes P ∈ Fp [X] irréductibles, de
Théorème (factorisation de X q − X dans
cœfficient dominant égal à 1 et tels que deg(P )|n.
Démonstration :
• Soit P ∈ p [X] irréductible. Alors K = p [X]/(P ) est un corps de
cardinal pdeg(P ) . Désignons par π : p [X] → K la projection canonique du
quotient, et posons α = π(X) ∈ K.
• Supposons que deg(P )|n et montrons que P |X q − X dans p [X].
deg(P )
Comme [K : p ] = deg(P ), on a FrobK
= IdK , donc aussi
n
q
FrobK = IdK et en particulier α = α. Mais alors π(X q − X) = 0 et donc
P |X q − X dans p [X].
F
F
F
F
F
F
Factorisation de X q − X dans
Fp[X]
(2)
Suite de la démonstration :
• Réciproquement, supposons que P |X q − X dans p [X] et montrons que
deg(P )|n.
On a π(X q − X) = 0, donc αq = α. Ainsi FrobnK (α) = α. Par suite
{x ∈ K : FrobnK (x) = x} est un sous-anneau de K qui contient α, donc il
coı̈ncide avec K = p [α]. On a donc FrobnK = IdK . Comme FrobK est
d’ordre deg(P ), il vient deg(P )|n.
• Par ailleurs, X q − X n’a pas de facteur multiple dans p [X] puisque son
polynôme dérivé est qX q−1 − 1 = −1.
• Enfin, comme X q − X est de cœfficient dominant égal à 1, il est égal au
produit de ses facteurs irréductibles lorsque ceux-ci sont choisis avec leur
cœfficient dominant égal à 1.
F
F
F
Conséquence pour le dénombrement des irréductibles
P
N
Soient p ∈ , n ∈ \ {0} et q = pn .
Pour tout k ∈ , désignons par Irrp (k) le nombre de polynômes irréductibles
de p [X] de degré k :
F
N
déf
Irrp (k) = card {P ∈
Fp[X] :
deg(P ) = k, irréductible
et de cœfficient dominant = 1}
Corollaire
pn =
X
d Irrp (d)
d|n
Démonstration : c’est l’égalité des degrés de X q − X et de sa factorisation
donnée par le théorème précédent.
2. La fonction de Möbius
Définition (fonction de Möbius)
La fonction de Möbius est définie sur
(∀n > 1)
(∀n ∈
N \ {0} par :
µ(1) = 1
0
si n a un facteur carré
µ(n) = (−1)r si n est produit de r nombres premiers
deux à deux distincts
N \ {0})
µ(n) ∈ {−1; 0; 1}
Proposition (µ est multiplicative)
(∀n, n0 ∈
N \ {0})
pgcd(n, n0 ) = 1 =⇒ µ(nn0 ) = µ(n)µ(n0 )
Démonstration : exercice.
La fonction de Möbius
(2)
Proposition (une formule d’Euler pour µ ?)
(∀n ∈
N \ {0})
X
d|n
1 si
µ(d) = 0 si
n=1
n>1
Démonstration : Si n = 1, la somme se réduit à µ(1) = 1.
Si n > 1, on factorise n en facteurs premiers distincts :
m
Y
r
n=
pj j
j=1
m
k
Il y a exactement
2 à 2 distincts, ainsi
X
d|n
diviseurs de n qui sont produit de k nombres premiers
m X
m
µ(d) =
(−1)k = (1 − 1)m = 0
k
k=0
La fonction de Möbius
(3)
Proposition (formule d’inversion de Möbius)
N
Soit une application
f : \ {0} →
X
posé F (n) =
f (d), on a :
C. Alors, si pour tout n ∈ N \ {0} on a
d|n
(∀n ∈
N \ {0})
f (n) =
X
d|n
n
µ( )F (d)
d
Démonstration :
=1 si d0 =n, 0 sinon
z
f (n) =
X
d0 |n
f (d0 )
}| {
X

µ(d)
d| dn0
=
XX
d0 |n d| dn0
f (d0 )µ(d) =
XX
f (d0 ) µ(d)
d|n d0 | n
d
|
{z
=F ( n
)
d
}
3. Le nombre Irrp (n) de polynômes irréductibles de
de degré n
Fp[X]
Corollaire
1
(∀n ∈
N \ {0})
Irrp (n) =
1X n d
µ( )p
n
d
d|n
N \ {0})
2
(∀n ∈
3
Irrp (n) ∼n→∞
Irrp (n) ≥
pn
n
1
>0
n
Démonstration :
1
La formule d’inversion
de Möbius donne directement
P
n Irrp (n) = d|n µ( nd )pd .
2
exercice.
3
exercice.