3. Les polynômes irréductibles de Fp[X] - UTC

3. Les polynˆomes irr´eductibles de p[X]
Soient p∈,n∈ \ {0}et q=pn.
1Factorisation de Xq−Xdans p[X]
2La fonction de M¨obius
3Le nombre Irrp(n)de polynˆomes irr´eductibles de p[X]de degr´e n

1. Factorisation de Xq−Xdans p[X]
Soient p∈,n∈ \ {0}et q=pn.
Th´eor`eme (factorisation de Xq−Xdans p[X])
Xq−Xest le produit de tous les polynˆomes P∈p[X]irr´eductibles, de
cœfficient dominant ´egal `a 1et tels que deg(P)|n.
D´emonstration :
•Soit P∈p[X]irr´eductible. Alors K=p[X]/(P)est un corps de
cardinal pdeg(P). D´esignons par π:p[X]→Kla projection canonique du
quotient, et posons α=π(X)∈K.
•Supposons que deg(P)|net montrons que P|Xq−Xdans p[X].
Comme [K:p] = deg(P), on a Frobdeg(P)
K= IdK, donc aussi
Frobn
K= IdKet en particulier αq=α. Mais alors π(Xq−X)=0et donc
P|Xq−Xdans p[X].

Factorisation de Xq−Xdans p[X](2)
Suite de la d´emonstration :
•R´eciproquement, supposons que P|Xq−Xdans p[X]et montrons que
deg(P)|n.
On a π(Xq−X)=0, donc αq=α. Ainsi Frobn
K(α) = α. Par suite
{x∈K: Frobn
K(x) = x}est un sous-anneau de Kqui contient α, donc il
co¨ıncide avec K=p[α]. On a donc Frobn
K= IdK. Comme FrobKest
d’ordre deg(P), il vient deg(P)|n.
•Par ailleurs, Xq−Xn’a pas de facteur multiple dans p[X]puisque son
polynˆome d´eriv´e est qXq−1−1 = −1.
•Enfin, comme Xq−Xest de cœfficient dominant ´egal `a 1, il est ´egal au
produit de ses facteurs irr´eductibles lorsque ceux-ci sont choisis avec leur
cœfficient dominant ´egal `a 1.

Cons´equence pour le d´enombrement des irr´eductibles
Soient p∈,n∈ \ {0}et q=pn.
Pour tout k∈, d´esignons par Irrp(k)le nombre de polynˆomes irr´eductibles
de p[X]de degr´e k:
Irrp(k)d´ef = card {P∈p[X] : deg(P) = k, irr´eductible
et de cœfficient dominant = 1}
Corollaire
pn=X
d|n
dIrrp(d)
D´emonstration : c’est l’´egalit´e des degr´es de Xq−Xet de sa factorisation
donn´ee par le th´eor`eme pr´ec´edent.

2. La fonction de M¨obius
D´efinition (fonction de M¨obius)
La fonction de M¨obius est d´efinie sur \ {0}par :
µ(1) = 1
(∀n > 1) µ(n) = 
0 si na un facteur carr´e
(−1)rsi nest produit de rnombres premiers
deux `a deux distincts
(∀n∈ \ {0})µ(n)∈ {−1; 0; 1}
Proposition (µest multiplicative)
(∀n, n0∈ \ {0})pgcd(n, n0) = 1 =⇒µ(nn0) = µ(n)µ(n0)
D´emonstration : exercice.