2014 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

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Scolarité
ANNEE UNIVERSITAIRE 2013 / 2014
EXAMEN DE PRINTEMPS
PARCOURS : L3 Mathématiques Code UE : N1MA6M12
Epreuve : Calcul Symbolique et Scientifique Avancés
Date : 06/05/2014 Heure : 8h30 Durée : 1h30
Documents : non autorisés
Epreuve de M. Gourmelon
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Obj101
Les exercices sont plus ou moins classés par difficulté croissante. Dans les exercices 3 et 4, bien
que ce ne soit pas algorithmiquement optimal, les graphes seront toujours présentés sous la forme
de matrices d’adjacence.
Les algorithmes seront présentés sous forme de pseudo-code.
Exercice 1 : Questions de cours : nombres parfaits
On rappelle qu’un nombre Nest parfait lorsque la somme σ(N)de ses diviseurs est 2N.
1. Soit p > 1un entier. Montrer que si Mp= 2p−1est premier alors pl’est aussi.
2. Montrer qu’un nombre parfait pair Nest de la forme 2pMpoù Mp= 2p−1et Mp
premier.
3. Donner le pseudo-code d’un test de primalité pour les nombres de la forme 2p−1
(Fermat, Rabin-Miller ou Lucas-Lehmer, au choix).
4. Ecrire un algorithme qui à un entier n > 0renvoie la liste des nombres parfaits 6n.
Exercice 2 : Nombres d’Ore
La moyenne harmonique de réels x1, ..., xk>0est le réel H > 0tel que 1/H soit la
moyenne arithmétique des 1/xi:
1
H=1 n1 x1
+... +1
xk.
Soit mla fonction qui à N∈N\ {0}associe la moyenne arithmétique des diviseurs de N.
Soit hla fonction qui à N∈N\ {0}associe la moyenne harmonique des diviseurs de N.
1. Montrer que pour tout N∈N\ {0}, on a h(N)m(N) = N.
Un nombre Nest dit d’Ore si h(N)est entier 1.
2. Soit ν(N)le nombre de diviseurs de N∈N(1et Ninclus).
(a) Montrer que ν(N)est pair si et seulement si il n’existe pas k∈Ntel que N=k2.
(b) Si Nest un nombre parfait pair, que peut-on donc dire de ν(N)?
(c) En déduire que tout nombre parfait pair est d’Ore. 2
3. Ecrire en pseudo-code un algorithme qui à Nrenvoie ’vrai’ si Nest un nombre d’Ore,
et ’faux’ sinon. Ecrire un algorithme qui à nassocie la liste des npremiers nombres d’Ore.
Exercice 3 : Opération Graphes non orientés simples
Un graphe non-orienté simple (V, E)est la donnée d’un ensemble de sommets (on suppose
V⊂Npour simplifier les notation), et d’un ensemble d’arêtes E. On note l’arête joignant
deux sommets i,jpar {i, j}.
1. Notion due à Øystein Ore (1948).
2. Il se trouve en fait que tout nombre parfait, pair ou impair, est d’Ore.
1

La matrice d’incidence d’un tel graphe est A= (aij )où aij = 1 s’il existe une arête allant
de iàj,aij = 0 sinon.
1. Etant donné deux ensembles disjoints Vet V0, La réunion disjointe de deux graphes
G= (V, E)et G0= (V0, E0)est le graphe G00 = (V∪V0, E ∪E0). Exprimer la matrice
d’adjacence de G00 en fonction de celles de Get G0.
2. Etant donné un graphe G= (V, E), l’identification de deux sommets i, j ∈Vest la
donnée du graphe G0= (V0, E0)obtenu à partir de Gen remplaçant les deux sommet i, j
par un seul sommet i0, de sorte que :
{i0, k} ∈ E0⇔ {i, k} ∈ Eou {j, k} ∈ E.
Ecrire un algorithme identification qui à une matrice d’adjacence Aet à un couple de
sommets i, j associe la matrice d’adjacence après identification des sommets iet j.
Exercice 4 : Topologie des graphes non orientés simples
Pour tout u, v ∈V, on écrit u∼vsi et seulement si il existe un chemin allant de uà
vdans G. Ceci définit une relation d’équivalence sur V. Chaque classe d’équivalence est
une composante connexe de G.
Etant donné un graphe G= (V, E)une contraction dans Gest une identification de deux
sommets qui sont joints dans Gpar une arête.
1. Montrer que le nombre de composantes connexes ne change pas par une contraction.
2. En déduire un algorithme calculant le nombre de composantes connexes d’un graphe
donné par sa matrice d’adjacence.
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