Fonctions affines, cours de degré secondaire II

Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008
Fonctions affines
Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hypertexte vers la page mère
http://www.deleze.name/marcel/sec2/index.html
1. Notion de fonction (rappels)
Vous pouvez également vous reporter au livre CRM 27, § 1.2, p. 3 à 6.
1.1 Points du plan
Exemple
Dans le plan, la position d'un point est décrite par ses coordonnées, par exemple
H3; -2L
(voir fig 1.1).
La première coordonnée, ici 3, est appelée abscisse du point;
la deuxième coordonnée, ici
-2
, est appelée ordonnée du point.
3
-2
x
y
Fig. 1.1
Définitions
Les coordonnées d'un point du plan consistent en une liste ordonnée de deux nombres
Hx,yL
. L'abscisse du point est la
première coordonnée que l'on lit sur le premier axe (horizontal); l'ordonnée du point est la deuxième coordonnée que
l'on lit sur le deuxième axe (vertical).
Dans la représentation graphique, l'axe des abscisses est l'ensemble des points
8Hx, 0LÈxÎR<
;
l'axe des ordonnées est l'ensemble des points
8H0, yLÈyÎR<
.
FctsAffines.nb 1

Dans la représentation graphique, l'axe des abscisses est l'ensemble des points
8Hx, 0LÈxÎR<
;
l'axe des ordonnées est l'ensemble des points
8H0, yLÈyÎR<
.
Applications
L'ensemble des points du plan dont l'ordonnée est positive
8Hx,yLÈy>0<
est le demi-plan situé au-dessus de l'axe des
abscisses (voir fig. 1.2).
L'ensemble des points du plan dont l'abscisse est positive
8Hx,yLÈx>0<
est le demi-plan situé à droite de l'axe des
ordonnées (voir fig. 1.3).
x
y
Fig. 1.2
x
y
Fig. 1.3
1.2 Fonctions
Exemple 1
Le prix d'une course en taxi est de 2 Fr par km plus une taxe fixe de 5 Fr de prise en charge. Notons
d (distance) le nombre de km et
p le prix correspondant, en francs.
On a la relation
p=2d+5
;
on dit que p est une fonction de d que nous apellerons t (comme tarif).
Dressons un tableau de valeurs particulières
d@kmD0 1 2 3 4 5 6 7
p@FrD5 7 9 11 13 15 17 19
et dessinons le graphique (voir fig. 2.1).
L'image de 4 par t est notée
tH4L=13
ce qui signifie que le tarif d'une course de 4 km est de 13 Fr. Dans la fig. 2.2,
l'image de 4 se situe à l'extrémité de la deuxième flèche, sur l'axe des ordonnées.
FctsAffines.nb 2

1
2
3
4
5
6
7
d
@kmD
5
10
15
20
@FrDp
Fig. 2.1
4
d
@kmD
5
tH4L=13
@FrDp
Fig. 2.2
L'ordonnée à l'origine est
tH0L=5
, ce qui signifie que le tarif d'une course de 0 km est de 5 Fr. Dans la fig. 2.3, elle se
situe à l'extrémité de la flèche, sur l'axe des ordonnées.
La fonction t est décrite en indiquant l'ensemble de départ, l'ensemble d'arrivée et la formule pour calculer le prix
t:@0; ¥@R
d#p=t HdL=2d+5.
Dans le graphique, l'ensemble de départ, aussi appelé ensemble de définition de la fonction t
Dt=8dÎRÈd³0<=@0; ¥@
est situé sur l'axe des abscisses (voir fig. 2.4).
Nous disons que la fonction t est définie en 4 (noté
4ΕDt
) car on peut calculer le prix pour 4 km; par contre, nous
disons que la fonction t n'est pas définie en
-3
(noté
H-3LÏDt
) car le prix d'une course de
-3 km
n'existe pas.
d
@kmD
tH0L=5
@FrDp
Fig. 2.3
1
2
3
4
5
6
7
Dt
5
10
15
20
@FrDp
Fig. 2.4
Dans le graphique, l'ensemble d'arrivée est situé sur l'axe des ordonnées (voir fig. 2.5). Dire que l'ensemble d'arrivée
est
R
signifie que le prix d'une course en taxi est un nombre réel.
Dans le graphique, l'ensemble des valeurs de la fonction t
Vt=82d+5Èd³0<=8yÎRÈy³5<
signifie que l'ensemble des prix des courses en taxi sont les nombres
³5
. L'ensemble des valeurs se représente comme
une partie de l'axe des ordonnées (voir fig. 2.6).
FctsAffines.nb 3

1
2
3
4
5
6
7
d
@kmD
5
10
15
20
R
Fig. 2.5
1
2
3
4
5
6
7
d
@kmD
5
10
15
20
Vt
Fig. 2.6
1
2
3
4
5
6
7
d
@kmD
5
10
15
20
R
Fig. 2.5
1
2
3
4
5
6
7
d
@kmD
5
10
15
20
Vt
Fig. 2.6
FctsAffines.nb 4

Dans le graphique, visualisons le graphe de t noté
Gt
Gt=8Hd,pLÈp=2d+5et d³0<=8Hd, 2 d+5LÈd³0<.
Dans cet exemple, le graphe est une demi-droite (voir fig. 2.7).
Dans le graphique, visualisons l'ensemble des antécédents de 12
8dÈt HdL=12 et d³0<=83.5<
qui signifie que, pour 12 Fr, on peut parcourir 3.5 km (voir fig. 2.8). Il faut remarquer que 12 est sur l'axe des
ordonnées et ses éventuels antécédents sur l'axe des abscisses.
1
2
3
4
5
6
7
d
@kmD
5
10
15
20
@FrDp
Fig. 2.7
Gt
3.5
d
@kmD
12
@FrDp
Fig. 2.8
Dans le graphique, visualisons l'ensemble des antécédents de 3
8dÈt HdL=3etd³0<= Æ
(voir fig. 2.9) ce qui signifie qu'il n'existe pas de course à 3 Fr.
d
@kmD
3
5
@FrDp
Fig. 2.9
L'ensemble des zéros de t est l'ensemble des distances d dont le prix est de 0 Fr
Zt=8dÈt HdL=0etd³0<= Æ
Il est représenté par les points situés à l'intersection du graphe et le l'axe des abscisses.
FctsAffines.nb 5