En Italique : Points du programme non exigibles pour le socle. En italique, précédé d’un astérisque : item exigible pour le socle dans une classe ultérieure. Connaissances 2.2 Opérations Division Capacités Commentaires - Multiplier ou diviser un nombre par 10, 100, 1000. La division décimale est limitée à la division d’un décimal par un entier. En calcul posé, le dividende comporte au maximum deux chiffres après la virgule. Multiples et diviseurs - Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5 et 10. - Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 3, 4 et 9. La notion de multiple, introduite à l'école primaire, est rappelée sur des exemples numériques, en même temps qu'est introduite celle de diviseur. Les différentes significations de ce dernier terme doivent être explicitées. Sens des opérations. - Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. Techniques élémentaires de calcul. - Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté. - Connaître la signification du vocabulaire associé : dividende, diviseur, quotient, reste. Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à l’aide d’une suite de calculs, *ou à l’aide de calculs avec parenthèses. La capacité à savoir calculer mentalement est une priorité et fait l’objet d’activités régulières. La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes. Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée. 12.10 Multiples et diviseurs Progression Nathan => Activité 1 Ex p 22 : 5 App 58+ : 59 60 - 63 - 64 - 65 1. DIVISION EUCLIDIENNE => Activité 2 2. MULTIPLES ET DIVISEURS HACHETTE Éducation 6è Oral p 78 : 56 App p78 : 59 Ex p 23 : 2 3 App 58+ : 66 68 - 69 - (70) Ex p 23 : 2 - 4 => Activités 3, 4, 5 3. CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ Oral p 76 : 29 - 30 App p 78 : 60 - 61 Ex p 23 : 5 - 6 Ex p 23 : 5 - 6 7-8 App 59 : 72 x73 - 74 4. LA DIVISION DÉCIMALE App 59 : 75 x76 - 80 - 82 x83 - 84 - x85 86 5. MULTIPLIER ET DIVISER PAR 10, 100, 1000 App p 60 : 88 ACTIVITÉ 1 a) Entourer en rouge tous les nombres divisibles par 2. Trois élèves ont écrits des phrases en utilisant la division suivante : Elodie : Vincent : 35 est un multiple de 5. 5 est un diviseur de 35. 3 5 5 0 7 Joséphine : 35 est divisible par 5. Qui parmi ces élèves a raison ? .................................................................................................................... ACTIVITÉ 2 a) Parmi les nombres entiers suivants, entourer les multiples de 6 : 12 ; 36 ; 45 ; 48 ; 54 ; 72 b) Écrire les diviseurs de 24 : ............................................................................................................... ACTIVITÉ 3 : CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ PAR 2 ; 5 ; 10 Remarque : un critère de divisibilité est une règle qui permet, sans effectuer la division, de savoir si un nombre est divisible ou non par un nombre donné. Sur la grille, on a écrit la suite des nombres de 0 à 99. Comment reconnaît-on qu’un nombre est divisible par 2 ? ............................................................................................................... b) Entourer en bleu tous les nombres divisibles par 5. Comment reconnaît-on qu’un nombre est divisible par 5 ? ............................................................................................................... c) Entoure en vert tous les nombres divisibles par 10. Comment reconnaît-on qu’un nombre est divisible par 10 ? ............................................................................................................... ACTIVITÉ 4 : CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ PAR 3 ; 9 Sur la grille ci-contre, on a écrit la suite des nombres de 0 à 99. a) Entourer en rouge tous les nombres divisibles par 3. b) Entourer en bleu tous les nombres divisibles par 9. ACTIVITÉ 5 : CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ PAR 4 1 Matthieu possède 317 billes qu’il veut partager en 4 paquets contenant chacun le même nombre de billes. Il commence par partager 300 billes. Combien met-il de billes dans chaque paquet ? ........................................... ...................................................................................................................... Combien reste-t-il de billes à partager ? ...................................................... Pourra-t-il répartir équitablement les billes restantes dans les 4 paquets ? .. ....................................................................................................................... 2 Si Matthieu avait possédé 320 billes, aurait-il pu les répartir équitablement dans les 4 paquets ? ............................................................. Pourquoi ? .............................................................................................. ................................................................................................................ a) Même question si Matthieu avait possédé 304 billes : .......................... ............................................................................................................... b) Même question si Matthieu avait possédé 309 billes : .......................... ............................................................................................................... c) Même question si Matthieu avait possédé 340 billes : .......................... ............................................................................................................... d) Même question si Matthieu avait possédé 328 billes : .......................... ............................................................................................................... 3 Comment peut-on savoir si un nombre est divisible par 4 sans effectuer la division de ce nombre ? ............................................................................ ....................................................................................................................... CHAPITRE 12 CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ Symbole « : » Introduit en 1698 par l’allemand Gottfried Willhelm Leibniz, un des plus grands génies qui aient existé. A la fois philosophe, théologien, mathématicien, physicien, historien, Leibniz cultive et perfectionne presque toutes les branches des connaissances humaines. 1. DIVISION EUCLIDIENNE Exemple : calculer la division euclidienne de 63 par 4 : dividende reste 63 -4 23 -2 0 3 4 15 diviseur quotient Définition Effectuer la division euclidienne du dividende 63 par le diviseur 4, c’est trouver un quotient entier 15 et un reste entier 3. Le reste doit toujours être inférieur au diviseur. Remarque : on utilise la division euclidienne dans les cas où on ne pas fractionner (faire des morceaux) de ce qui reste. Propriété Dans une division euclidienne, on a toujours : dividende = (diviseur × quotient) + reste , avec le reste inférieur au diviseur Exemple D’après la division précédente, on a : 63 = (4 × 15) + 3 avec 3 < 4 12.10 Multiples et diviseurs - MATHÉMATIQUES 6èem P. COULAUD 4/9 2. MULTIPLES ET DIVISEURS Définition Le reste de la division euclidienne de 21 par 7 est égal à 0, alors on dit que : - 21 est un multiple de 7 - 21 est divisible par 7 - 7 est un diviseur de 21 Exemple : 184 est-il divisible par 8 ? 184 8 Dans la division euclidienne de 184 par 8, on trouve 0 au reste ; 16 23 on peut donc dire que : 24 184 est divisible par 8 24 184 est un multiple de 8 0 8 est un diviseur de 184 3. CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ Propriétés - un nombre entier est divisible par 2 s’il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 - un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 - un nombre entier est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4. - un nombre entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5 - un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 - un nombre entier est divisible par 10 s’il se termine par 0 Exemples : Nombre divisible 120 558 par 2 par 3 par 4 par 5 X X X X X X 7 215 X 82 548 X 12.10 Multiples et diviseurs - MATHÉMATIQUES 6èem par 9 par 10 X X X X P. COULAUD 5/9 4. LA DIVISION DÉCIMALE 4 5, 0 0 0 -40 8 5, 6 2 5 50 -48 20 -16 40 lorsqu’on franchit la décimale(,) au dividende, on la franchit aussi au quotient -40 0 Exemples Poser 32,12 : 4 Poser 23 : 11 Remarque importante La division par 0 est interdite !!! 12.10 Multiples et diviseurs - MATHÉMATIQUES 6èem P. COULAUD 6/9 DIVISION EUCLIDIENNE PROBLÈME DE DIVISION EUCLIDIENNE 1 On effectue la division euclidienne de 63 par 9. De combien peut-on augmenter le dividende sans changer le quotient ? 7 Le CDI du collège a reçu 25 dictionnaires à 18€ l’unité et 20 atlas pour un montant total de 750 €. Quel est le prix d’un atlas ? 2 Recopie et effectue chaque division euclidienne puis écris l'égalité correspondante. 8 Dans un collège, 163 élèves sont inscrits à l’AS. Le responsable veut acheter un maillot pour chacun des inscrits. Les maillots vendus par lot de 14. 1 Combien de lots doit-il acheter ? 2 Combien de maillots restera-t-il ? 798 8 6594 9 4214 23 3 On effectue la division euclidienne d'un nombre par 5 ; on trouve 6 au quotient. Quelles sont la plus grande valeur et la plus petite valeur possible pour ce nombre ? 3 Le professeur d’EPS souhaite constituer des groupes contenant le même nombre d’élèves dans une classe de 24 élèves. Combien de groupes peut-il faire ? Indiquer toutes les possibilités ? 4 Suite à un concours remporté par les élèves, le « Club Sciences » a gagné un lot de 200 livres. Les 9 élèves du club désirent se partager équitablement ce lot. Les livres restants iront au CDI. Combien de livres auront chacun de ces élèves ? 5 Compléter le tableau ci-dessous (40 p 87 Phare) : Dividende Diviseur 78 9 11 222 11 19 41 45 Quotient entier Reste 13 7 9 24 6 (41 p 87 Phare) Le reste d’une division euclidienne est égal à 7, son quotient est le double du reste et son diviseur est le triple du reste. Quel est le dividende de cette division ? 12.10 Multiples et diviseurs P. COULAUD 7/9 CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ 4 Écrire tous les multiples de 15 entre 28 et 100 5 Écrire 3 diviseurs de 16 Nombre divisible 6 Vrai ou faux ? a) b) c) d) e) f) 13 Compléter le tableau ci-dessous en mettant des croix pour indiquer si le nombre est divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 9 ou par 10. 8 est divisible par 2 ? 4 est divisible par 8 ? 8 est un multiple de 2 ? 2 est un multiple de 8 ? 15 est un diviseur de 3 ? 3 est un diviseur de 15 ? par 2 par 3 par 4 par 5 par 9 par 10 120 528 7 215 82 548 7 Vrai ou faux ? a) b) c) d) e) f) g) h) 8 est un diviseur de 72 ? 44 est un diviseur de 11 ? 5 est un diviseur de 395 ? 3 est un diviseur de 111 ?. 9 est un diviseur de 1 998 ? 12 est un diviseur de 12 ? Tout nombre est divisible par lui-même ? 1 est un diviseur de tous les nombres ? 14 Compléter le tableau ci-dessous en mettant des croix pour indiquer si le nombre est divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 9 ou par 10. Nombre divisible 567 a) b) c) d) e) f) 23 547 b) 7 624 321 par 5 a) son chiffre des unités est 3,6 ou 9 b) Le produit de ses chiffres est divisible par 3. c) La somme de ses chiffres est divisible par 3. 11 Réécrire chaque phrase en employant le mot « multiple » a) 15 est un diviseur de 45 : b) 2 divise 28 c) 35 est divisible par 5 12 Réécrire chaque phrase en employant le mot par 10 15 Compléter le tableau ci-dessous en mettant des croix pour indiquer si le nombre est divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 9 ou par 10. Nombre divisible par 2 par 3 par 4 par 5 par 9 par 10 265 940 18 306 104 202 16 Compléter le tableau ci-dessous en mettant des croix pour indiquer si le nombre est divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 9 ou par 10. Nombre divisible par 2 par 3 par 4 par 5 73 425 14 520 6 731 8 3646 12.10 Multiples et diviseurs par 9 c) 56 890 10 Un nombre entier est divisible par 3 lorsque : « diviseur » a) 12 est divisible par 4 b) 132 est un multiple de 11 c) 7 divise 28 par 4 687 942 9 Quels sont les nombres entiers divisibles par 2 ? a) 2223 par 3 138 8 Vrai ou faux ? 55 est divisible par 5 9 est un multiple de 27 60 est un diviseur de 5 12 a pour diviseur 4 39 est divisible par 9 42 est un multiple de 6 par 2 P. COULAUD 8/9 par 9 par 10 17 Compléter le tableau ci-dessous en indiquant dans chaque case, les nombres que l’on peut obtenir en remplaçant, si cela est possible, le symbole _ par un chiffre pour que le nombre obtenu soit divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 9, par 10. par 2 par 3 par 4 par 5 par 9 22 par 10 31_ 15_6 18 Quel doit être le chiffre des unités pour que le nombre 48 ? soit divisible par 2 et par 3 en même temps ? Trouver toutes les possibilités. 19 Quotient ou reste ? a) 6 798 supporters d'un club de rugby doivent faire un déplacement en car pour soutenir leur équipe. Chaque car dispose de 55 places. Combien de cars faut-il réserver ? b) Des stylos sont conditionnés par boîte de 40. Marie a 2 647 stylos. Combien lui en manque-t-il pour avoir des boîtes entièrement remplies ? 20 Diviser par 10, 100 et 1000 a) b) c) d) e) f) g) h) 52 10 456 100 875 1000 314 100 20150 1000 33 100 5 10 67,89 1000 21 S4.11 - Diviser par 10, 100 et 1000 a) b) c) d) e) f) g) h) 4 338 10 1 297 1 000 12,3 10 0,87 100 3,8 1 000 0,04 100 354 10 12,5 100 12.10 Multiples et diviseurs P. COULAUD 9/9