Connaissances Capacités Commentaires 12.10 Multiples et

En Italique : Points du programme non exigibles pour le socle.
En italique, précédé d’un astérisque : item exigible pour le socle dans une classe ultérieure.
Connaissances Capacités Commentaires
2.2 Opérations
Division
Multiples et
diviseurs
Sens des
opérations.
Techniques
élémentaires de
calcul.
- Multiplier ou diviser un nombre par 10,
100, 1000.
- Connaître et utiliser les critères de
divisibilité par 2, 5 et 10.
- Connaître et utiliser les critères de
divisibilité par 3, 4 et 9.
- Choisir les opérations qui conviennent au
traitement de la situation étudiée.
- Savoir effectuer ces opérations sous les
diverses formes de calcul : mental, à la
main ou instrumenté.
- Connaître la signification du vocabulaire
associé : dividende, diviseur, quotient,
reste.
La division décimale est limitée à la
division d’un décimal par un entier. En
calcul posé, le dividende comporte au
maximum deux chiffres après la virgule.
La notion de multiple, introduite à l'école
primaire, est rappelée sur des exemples
numériques, en même temps qu'est
introduite celle de diviseur. Les différentes
significations de ce dernier terme doivent
être explicitées.
Pour les problèmes à étapes, la solution
peut être donnée à l’aide d’une suite de
calculs,
*ou à l’aide de calculs avec parenthèses.
La capacité à savoir calculer
mentalement est une priorité et fait l’objet
d’activités régulières.
La maîtrise des différents moyens de
calcul doit devenir suffisante pour ne pas
faire obstacle à la résolution de
problèmes.
Concernant le calcul posé, les nombres
doivent rester de taille raisonnable et
aucune virtuosité technique n’est
recherchée.
12.10 Multiples et diviseurs
Progression Nathan HACHETTE
Éducation 6è
=> Activité 1
1. DIVISION EUCLIDIENNE
Ex p 22 : 5
App 58+ : 59 -
60 - 63 - 64 - 65
=> Activité 2
2. MULTIPLES ET DIVISEURS
Oral p 78 : 56
App p78 : 59
Ex p 23 : 2 - 4
Ex p 23 : 2 3
App 58+ : 66 -
68 - 69 - (70)
=> Activités 3, 4, 5
3. CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ
Oral p 76 : 29 - 30
App p 78 : 60 - 61
Ex p 23 : 5 - 6
Ex p 23 : 5 - 6 -
7 - 8
App 59 : 72 -
x73 - 74
4. LA DIVISION DÉCIMALE App 59 : 75 -
x76 - 80 - 82 -
x83 - 84 - x85 -
86
5. MULTIPLIER ET DIVISER
PAR 10, 100, 1000
App p 60 : 88

ACTIVITÉ 1
Trois élèves ont écrits des phrases en utilisant la division suivante :
Qui parmi ces élèves a raison ?
....................................................................................................................
ACTIVITÉ 2
a) Parmi les nombres entiers suivants, entourer les multiples de 6 :
12 ; 36 ; 45 ; 48 ; 54 ; 72
b) Écrire les diviseurs de 24 :
...............................................................................................................
ACTIVITÉ 3 : CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ PAR 2 ; 5 ; 10
Remarque : un critère de divisibilité est une règle qui permet, sans
effectuer la division, de savoir si un nombre est divisible ou non par un
nombre donné.
Sur la grille, on a écrit la suite des nombres de 0 à 99.
a) Entourer en rouge tous les nombres divisibles par 2.
Comment reconnaît-on qu’un nombre est divisible par 2 ?
...............................................................................................................
b) Entourer en bleu tous les nombres divisibles par 5.
Comment reconnaît-on qu’un nombre est divisible par 5 ?
...............................................................................................................
c) Entoure en vert tous les nombres divisibles par 10.
Comment reconnaît-on qu’un nombre est divisible par 10 ?
...............................................................................................................
ACTIVITÉ 4 : CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ PAR 3 ; 9
Sur la grille ci-contre, on a écrit la suite des nombres de 0 à 99.
a) Entourer en rouge tous les nombres divisibles par 3.
b) Entourer en bleu tous les nombres divisibles par 9.
53 5
7 0
Elodie : 35 est un multiple de 5.
Vincent : 5 est un diviseur de 35.
Joséphine : 35 est divisible par 5.

ACTIVITÉ 5 : CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ PAR 4
1 Matthieu possède 317 billes qu’il veut partager en 4 paquets contenant
chacun le même nombre de billes. Il commence par partager 300 billes.
Combien met-il de billes dans chaque paquet ? ...........................................
......................................................................................................................
Combien reste-t-il de billes à partager ? ......................................................
Pourra-t-il répartir équitablement les billes restantes dans les 4 paquets ? ..
.......................................................................................................................
2 Si Matthieu avait possédé 320 billes, aurait-il pu les répartir
équitablement dans les 4 paquets ? .............................................................
Pourquoi ? ..............................................................................................
................................................................................................................
a) Même question si Matthieu avait possédé 304 billes : ..........................
...............................................................................................................
b) Même question si Matthieu avait possédé 309 billes : ..........................
...............................................................................................................
c) Même question si Matthieu avait possédé 340 billes : ..........................
...............................................................................................................
d) Même question si Matthieu avait possédé 328 billes : ..........................
...............................................................................................................
3 Comment peut-on savoir si un nombre est divisible par 4 sans effectuer
la division de ce nombre ? ............................................................................
.......................................................................................................................

CHAPITRE 12
CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ
Symbole « : » Introduit en 1698 par l’allemand Gottfried Willhelm Leibniz,
un des plus grands génies qui aient existé. A la fois philosophe, théologien,
mathématicien, physicien, historien, Leibniz cultive et perfectionne presque
toutes les branches des connaissances humaines.
1. DIVISION EUCLIDIENNE
Exemple : calculer la division euclidienne de 63 par 4 :
Définition
Effectuer la division euclidienne du dividende 63 par le diviseur 4, c’est trouver un
quotient entier 15 et un reste entier 3.
Le reste doit toujours être inférieur au diviseur.
Remarque : on utilise la division euclidienne dans les cas où on ne pas fractionner (faire
des morceaux) de ce qui reste.
Propriété
Dans une division euclidienne, on a toujours :
dividende = (diviseur × quotient) + reste , avec le reste inférieur au diviseur
Exemple
D’après la division précédente, on a : 63 = (4 × 15) + 3 avec 3 < 4
12.10 Multiples et diviseurs - MATHÉMATIQUES 6èem P. COULAUD 4 / 9
dividende 6 3 4 diviseur
-4 1 5 quotient
2 3
-2 0
reste 3

2. MULTIPLES ET DIVISEURS
Définition
Le reste de la division euclidienne de 21 par 7 est égal à 0, alors on dit que :
- 21 est un multiple de 7
- 21 est divisible par 7
- 7 est un diviseur de 21
Exemple : 184 est-il divisible par 8 ?
Dans la division euclidienne de 184 par 8, on trouve 0 au reste ;
on peut donc dire que : 184 est divisible par 8
184 est un multiple de 8
8 est un diviseur de 184
3. CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ
Propriétés
- un nombre entier est divisible par 2 s’il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8
- un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3
- un nombre entier est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre
divisible par 4.
- un nombre entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5
- un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9
- un nombre entier est divisible par 10 s’il se termine par 0
Exemples :
12.10 Multiples et diviseurs - MATHÉMATIQUES 6èem P. COULAUD 5 / 9
Nombre
divisible par 2 par 3 par 4 par 5 par 9 par 10
120 X X X X X
558 X X X
7 215 X X
82 548 X X
1 8 4 8
1 6 2 3
2 4
2 4
0