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Classe de 4`eme
Jean Roussie
27 mai 2014

Chapitre 1
Nombre relatifs : Multiplication et
division
1.1 Rappels sur les nombres relatifs
1.1.1 Caract´eristiques des nombres relatifs
Signe, distance `a z´ero
Convention nombre positif
Exemples
1.1.2 Rappel : Nombre oppos´e `a un nombre relatif
D´ efinition 1.1 (Oppos´ e d’un nombre)
a+ (−a) = (−a) + a= 0
Propri´ et´ e 1.1 (L’oppos´ e de l’oppos´ e d’un nombre)
−(−a) = a
Particularit´ e : Z´ero (0)
Exemples :
1.1.3 Distributivit´e de la multiplication sur l’addition
Propri´ et´ e 1.2 (Distributivit´ e de la multiplication sur l’addition)
a×(b+c)=(b+c)×a=a×b+a×c
1.2 Multiplication de nombres relatifs
1.2.1 Introduction
Multiplication par 0 →Multiplication par −1
1

Propri´ et´ e 1.3 (Produit d’un nombre relatif par (−1))
ad´esigne un nombre relatif.
Le produit du nombre apar (−1) est ´egal `a l’oppos´e de a.
a×(−1) = (−1) ×a=−a
D´ emonstration : utiliser la distributivit´e.
Exemples :
Remarques :
1.2.2 Produit de 2 facteurs
Propri´ et´ e 1.4 (Produit de 2 nombres relatifs)
Le produit de deux nombres relatifs est un nombre relatifs dont :
— Le signe est positif si les deux nombres sont de mˆ eme signe et n´ egatif s’ils sont de
signes contraires.
— La distance ` a z´ ero est le produit des distances ` a z´ ero des deux nombres.
D´ emonstration : Etude des cas.
Synth` ese : Voir figure 1.1 page 5.
1.2.3 Produit de plusieurs nombres relatifs
M´ ethode 1.1 (Signe du produit de plusieurs facteurs)
Le signe d’un produit de plusieurs facteurs est :
—Positif s’il comporte un nombre pair de facteurs n´ egatifs.
—N´ egatif s’il comporte un nombre impair de facteurs n´ egatifs.
1.2.4 Retour sur l’addition et la soustraction de nombres relatifs
Synth` ese : Voir figure 1.1 page 5.
2

1.3 Division de 2 nombres relatifs
1.3.1 Quotient
D´ efinition 1.2 (Quotient de deux nombres relatifs)
Soient aet bdeux relatifs avec b6= 0.
Le quotient de apar bnot´e a
best le nombre relatif qui, multipli´e par bdonne a.
a
b×b=a
Propri´ et´ e 1.5 (Signe et distance ` a z´ ero d’un quotient)
Le quotient de d’un nombre relatif par u n nombre relatif non nul est un nombre relatifs dont :
— Le signe est positif si les deux nombres sont de mˆ eme signe et n´ egatif s’ils sont de
signes contraires.
— La distance ` a z´ ero est le quotient des distances ` a z´ ero des deux nombres.
D´ emonstration :
Imm´ediate.
Synth` ese : Voir figure 1.1 page 5.
1.3.2 Inverse d’un nombre
La somme alg´ebrique peut se sch´ematiser `a l’aide du tableau :
a
+k
b
−→
←−
+(−k)
La multiplication/division peut se sch´ematiser `a l’aide du tableau :
a
×k
b
−→
←−
÷k
D´ efinition 1.3 (Inverse d’un nombre relatif)
Soit aun nombre relatif non nul. On appelle inverse de ale nombre not´e 1
atel que :
a×1
a=1 a×a= 1
Remarques :
— Signe de l’inverse
— Diff´erence inverse / oppos´e
Synth` ese : Voir figure 1.1 page 5.
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1.3.3 Expression d’un quotient `a l’aide de l’inverse
Propri´ et´ e 1.6 (Quotient d’un nombre)
Diviser par un nombre ´equivaut `a multiplier par son inverse.
Soient aet bdeux nombres relatifs avec b6= 0. On a :
a
b=a×1 b
D´ emonstration :
a
b×b=a(par d´efinition du quotient)
a
b×b=a×1 (1 est l’´el´ement neutre de la multiplication)
a
b×b=a×1 b×b(par d´efinition de l’inverse)
a
b=a×1 b(par d´efinition de l’inverse)
Synth` ese : Voir figure 1.1 page 5.
Exemples :
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