SUITES NUMÉRIQUES 1ère S DEVOIR SURVEILLÉ - ambition

PremièreS
Devoirsurveillé
MmeMAINGUY
SUITES NUMÉRIQUES 1 ère S
DEVOIR SURVEILLÉ
Exercice 1
1)
( )
Danschacundescasci-dessous,calculerlesquatrepremierstermesdelasuite un :
( )
n
cas1:pourtout n ∈!∗ , un = −1 +
6
= −1+ 6 = 5
1
3
6
u3 = ( −1) + = −1+ 2 = 1
3
u1 = ( −1) +
1
;
;
6
n
6
= 1+ 3 = 4
2
4
6
3 5
u4 = ( −1) + = 1+ =
4
2 2
u2 = ( −1) +
2
⎧⎪u0 = 2
cas2: ⎨
2
⎪⎩ pour tout n ≥ 1, un = un−1 − 10n + 3
( )
u0 = 2
( )
( )
u1 = u0
;
2
2
− 10 × 1+ 3 = 22 − 10 + 3 = −3
( )
2
u2 = u1 − 10 × 2 + 3 = −3 − 20 + 3 = −8
;
( )
u3 = u2
2
( )
2
− 10 × 3+ 3 = −8 − 30 + 3 = 37
2)
( )
Onconsidèrelasuite vn définiepourtoutentiernaturel,par: vn = 3n − 4 .
Calculsde vn+1 , vn + 1 , vn−1 , vn − 1 :
(
)
vn+1 = 3 n + 1 − 4 = 3n + 3− 4 = 3n − 1
vn + 1 = 3n − 4 + 1 = 3n − 3
(
)
vn−1 = 3 n − 1 − 4 = 3n − 3− 4 = 3n − 7
vn − 1 = 3n − 4 − 1 = 3n − 5
Exercice 2
1
Soitlasuite un définiepar: u0 = 0,2 etpourtout n ∈! , un+1 = un 2 + 1 .
4
( )
1)
Constructiondanslerepèreorthonorméci-dessousdescinqpremierstermesdelasuite(constructionen
chemin).
Onplaceralestermesdelasuitesurl’axe Ox .
( )
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2)
Parlecturegraphique,ilsembleque lim un = 2 .
+∞
( )
( )
Eneffet,lasuite un estdéfinieparunerelationderécurrencedelaforme un+1 = f un avec f fonctiondéfinie
1 2
x + 1 .Surlegraphique,onatracélacourbe Cf etladroited’équation y = x .Lalimite
4
estl’abscisse(oul’ordonnée)dupointd’intersectiondecettedroiteetde Cf .
3) Onadmetquelasuite ( un ) admetunelimitefinie l lorsque n tendvers +∞ .
()
sur ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ par: f x =
()
Lalimite l vérifiel’équation l = f l .Onaalors:
1
1
l = l2 + 1 ⇔ l2 − l + 1 = 0
4
4
⇔ l 2 − 4l + 4 = 0 (
)
2
⇔ l−2 =0
⇔l=2
−4
4) a/Algorithmeanlangagenaturelquiaffichelerang N àpartirduquel un − l < 10 .
Variables:
sontdesnombres.
Début:
Traitement:
Affecterà
Affecterà
lavaleur
lavaleur Affecterà
lavaleur
Affecterà
lavaleur
Sortie:
FinTantQue
Tantque
Afficher
faire
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b/
5)
Onposemaintenant u0 = 2,2 .
a/Algorithmeenlangagenaturelquiafficheensortielavaleurde un ,pour n entréparl’utilisateur:
Variables:
sontdesnombres.
Début:
Traitement:
Affecterà
Affecterà
Sortie:
FinPour
lavaleur
Pour allantde à Afficher
lavaleur
b/Programmercetalgorithmesurcalculatriceetdonnerlesvaleursde u10 , u25 et u30 .
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Exercice 3
UnechaînedetélévisionestimplantéedanstroisvillesA,BetC.Elleproposedesabonnementsquel’onpeutrenouveler
ounontouslestrimestres.
Voicisesrésultatsactuels:
-VilleA:1000abonnéset320abonnéssupplémentairestouslestrimestres.Lesabonnéssontsatisfaitsetseréabonnent
tous.
-VilleB:400abonnésetuneprogressionde10%touslestrimestres.Lesabonnéssontsatisfaitsetseréabonnenttous.
-VilleC:1500abonnésmaisàchaquefois,seulement80%desabonnésseréabonnent.Ilssontenrevancherejointspar
600abonnéssupplémentaireschaquetrimestre.
Onnomme an , bn et cn lenombred’abonnésdanslesvillesA,BetCaprès n trimestrespour n ≥ 0 .
Onadonc a0 = 1000 , b0 = 400 et c0 = 1500 .
1)
Enutilisantlesdonnéesdel’énoncé,déterminerlesvaleursde a1 , b1 et c1 .
a1 = 1000 + 320 = 1320 ; b1 = 400 +
10
80
× 400 = 440 ; c1 =
× 1500 + 600 = 1800 100
100
2) Onveutcomparerl’évolutiondesnombresd’abonnésdanslesvillesA,BetCauboutdes40premierstrimestres.
a/Voicilesdernièreslignesdelafeuilledecalcul:
b/FormulesentréesdanslescellulesA3,B3,C3etD3:
FormuledanslacelluleA3: = A2 +1 FormuledanslacelluleB3: = B2 + 320 FormuledanslacelluleC3: = C2 +0,1× C2 FormuledanslacelluleD3: = 0,8 × D2 +600 3)
IlsemblequedanslavilleA,lenombred’abonnéscontinueraàprogresseravecrégularité;danslavilleB,le
nombred’abonnéssembleaugmenterd’untrimestreàl’autre.QuantàlavilleC,lenombred’abonnéssemble
stagneràunevaleurprochedes300abonnés.
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Exercice 4
( )
1
Soit vn lasuitedéfiniepar v1 = 1 et,pourtout n ≥ 1 , vn+1 =
1)
1+
v1 = 1 ; v2 =
1
1+
1
v1
=
1
1+
1
1
=
1
; v3 =
2
1
1+
1
v2
1
=
1+
1
1
2
1
vn
=
.
1
1
=
; v4 =
1+ 2 3
1
1+
1
v3
1
=
1+
1
1
3
=
1
1
= ;…
1+ 3 4
1
.
n
1
2) Soit ( wn ) lasuitedéfiniepourtout n ≥ 1 ,par wn = .
n
1
Onaalors: w1 = = 1 .
1
1
1
1
1
=
=
=
= wn+1 .
Deplus:
1
1
n 1+ n
1+
1+
1+ 1×
1
wn
1
n
1
Ainsi,ona v1 = w1 etpourtoutentier n ≥ 1 , wn = vn = .Lesdeuxsuites ( vn ) et ( wn ) sontalorségales.
n
3) Lessuites ( vn ) et ( wn ) étantégales,ellesontlesmêmesvariations.
Ilsembledoncquepourtout n ≥ 1 ,onait: vn =
( )
()
Lasuite ( w ) etlafonction f ontlesmêmesvariations.
Lasuite wn estdelaforme wn = f n etlafonction f estlafonctioninverse.
n
( ) ( )
Lafonctioninverseétantdécroissantesur ⎤⎦0 ; + ∞ ⎡⎣ ,onendéduitquelessuites wn et vn sontdécroissantes.
Exercice 5
FaustinproposeàsonamieSolinelemarchésuivantpendantvingtjours.
«Lepremierjourtumedonnesuneuroetjet’endonne10;lesecond,tum’endonnes 22 etjet’endonne20,letroisième
tum’endonnes 32 etjet’endonne30,etainsidesuite.»
Onnote un lenombredebonbonsperdusougagnésparFaustinle n -ièmejour.Ainsi, u1 = 1− 10 = −9 .
1)
Calculde u2 , u3 , u4 et u5 :
u2 = 22 − 20 = −16 ; u3 = 32 − 30 = −21 ; u4 = 42 − 40 = −24 ; u5 = 52 − 50 = −25 2
2) Onadoncpourtoutentiernaturel n ≥ 1 , un = n − 10n .
( )
= ( n + 1) − 10 ( n + 1) − ( n
Variationsdelasuite un :étudionslesignede un+1 − un :
un+1 − un
2
2
− 10n
)
= n2 + 2n + 1− 10n − 10 − n2 + 10n = 2n − 9
9
2n − 9 > 0 ⇔ n > 2
conclusion:pour n comprisentre1et5, un+1 − un < 0 ,lasuite ( un ) eststrictementdécroissante.
3)
( )
pour n ≥ 5 , un+1 − un > 0 ,lasuite un eststrictementcroissante.
u20 = 202 − 10 × 20 = 400 − 200 = 200 .
Auboutdevingtjours,Faustinauragagné200bonbons.