fiche 2 - ambition

LFA/PremièreS
exercicesmathématiques
MmeMAINGUY
Première S
SUITES (partie 1)
Ch.8
Fiche n°2 : approfondissement
Exercice 1
( )
Soit vn lasuitedéfiniepourtoutentiernaturel n par: vn = n3 − 9n2 .
( )
1) Conjecturerlesvariationsdelasuite vn àl’aidedelacalculatrice.Expliquerrapidementvotredémarche.
2) Montrerque,pourtout n ≥ 0 , vn+1 − vn = 3n2 − 15n − 8 .
3) Démontrerlaconjecturedelaquestion1).
Exercice 2
Onatracéci-dessouslasuitelacourbereprésentatived’unefonction g etladroite Δ d’équation y = x .
( )
( )
Onareprésentélesquatrepremierstermesdelasuite un définieparsontermeinitial u0 etlarelation un+1 = g un pourtoutentiernaturel n .
´Donnerlavaleurde u0 etlirelesvaleursapprochéesde u1 , u2 , u3 .
Exercice 3
( )
Soitlasuite tn définiesur ! par: tn = n2 + n + 3 .
´Rédigerunalgorithmepermettantdedéterminerlerang n àpartirduquel tn > 500 .
Programmercetalgorithmesurcalculatriceetdonnerlavaleurduseuildemandé.
Exercice 4
( )
Soitlasuite wn determegénéral: wn =
3n + 2
.
n +1
( )
1) Conjecturerlavaleur l delalimitede wn .
2) a/Al’aidedelacalculatrice,déterminerunrangàpartirduquelladistanceentre wn et l estinférieureà:
–0,01 – 10−6 b/Démontrerlaconjecturedelaquestion1).
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Exercice 5
( )
Pourchaquesuite un dontondonneletermegénéral:
( )
–donnerunmajorantetunminorantdelasuite un ( )
–enutilisantlacalculatrice,diresilasuite un paraîtconvergente.Sioui,précisersalimite.
a/ un =
2
n
b/ un =
n
n +1
c/ un = sin n Exercice 6
Onconsidèrel’algorithmesuivant:
1) Fairetournercetalgorithmeàlamainlorsqu’onentrelavaleur
Nmax = 4 .(Onréuniralesrésultatsdansuntableau)
2) Quelestlerôledecetalgorithme?
3) Onadmetquelasuitetendvers +∞ .
Modifiercetalgorithmeafinquel’utilisateurentreunevaleurdeA
etqueleprogrammerenvoielepremierrang n telque un > Α .
Exercice 7
Onveutétudierl’évolutiondunombred’abonnésàunmagazineaufuretàmesuredesannées.
Uneétudestatistiquemontrequeselonl’originedespopulationsconcernées(habitantsdelacampagne,desvilles
moyennesetdesgrandesvilles),l’évolutionestdifférente.
Onconsidèrequ’audépart,ilya1000abonnésdechaquetype.
–Àlacampagne:lenombred’abonnésdumagazineaugmentede10%parrapportàl’annéeprécédentegrâceaux
nouveauxabonnés,maisdiminuede80anciensabonnés.
–Danslesvillesmoyennes:lemagazinegagne120abonnésparan.
–Danslesgrandesvilles:lemagazineperd8%d’abonnésparan.
1) Modéliserlasituationsurletableurdelacalculatrice.
Endéduirelenombred’abonnésaumagazineauboutde15ans.
2) Cemodèleparaît-ilcohérentàlongterme?
Exercice 8
( )
1) Soitlasuite un définiepourtout n ≥ 2 par: un =
a/Calculerlescinqpremierstermesdelasuite.
b/Déterminerlesensdevariationdecettesuite.
c/Conjecturersalimiteàl’aidedelacalculatrice.
n −1
.
n +1
( )
2) Ondéfinitlasuite Pn ,pour n ≥ 2 ,par: Pn = u2 × u3 ×…× un .
a/Démontrerquecettesuiteestdécroissante.
2
.
n +n
c/(horsprogramme1S):Quelleestlalimitedelasuite ( Pn ) ?
b/Démontrerquequelquesoitl’entier n ≥ 2 ,ona: Pn =
2
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Exercice 9
Lafigureci-contre,indiqueledébutdelaconstructiondezonescolorées
quel’onpeutprolongerindéfiniment.Touslestrianglessontéquilatéraux.
´Déterminerlaformuleexplicitedelasuite un .
( )
(Oncommencerapardéterminer un+1 enfonctionde n ).
Exercice 10
Voicilesquatrepremiersnombrestriangulaires.
1) Donnerlesvaleursde T5 et T6 .
2) Écrireunalgorithmepermettant
decalculerunnombretriangulaire
quelconque Tn .
Endéduirelesvaleursde T12 et T60 .
n
3) Ondonne: ∑ k = 1+ 2 + 3+…+ n =
k=1
n ( n + 1)
2
.Retrouverlesrésultatsprécédentsparlecalcul
4) Écrireunalgorithmepermettantdetrouverlesvaleursde n tellesque:– Tn > 100 5) Retrouvercesrésultatsparcalcul.
– Tn > 1000 .