fiche 2 - ambition

!
LFA$/$Première$S$exercices$mathématiques$Mme$MAINGUY$
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Exercice 1
Soit!
vn
( )
!la!suite!définie!pour!tout!entier!naturel!
n
!par!:!
vn=n3−9n2
.!
1) Conjecturer!les!variations!de!la!suite!
vn
( )
!à!l’aide!de!la!calculatrice.!Expliquer!rapidement!votre!démarche.!
!
2) Montrer!que,!pour!tout!
n≥0
,!!!
vn+1−vn=3n2−15n−8
.!
!
3) Démontrer!la!conjecture!de!la!question!1).!
!
!
Exercice 2
On!a!tracé!ci-dessous!la!suite!la!courbe!représentative!d’une!fonction!
g
!et!la!droite!
Δ
!d’équation!
y=x
.!
On!a!représenté!les!quatre!premiers!termes!de!la!suite!
un
( )
!définie!par!son!terme!initial!
u0
!et!la!relation!
un+1=g un
( )
!!
pour!tout!entier!naturel!
n
.!
!
´!Donner!la!valeur!de!
u0
!et!lire!les!valeurs!approchées!de!
u1,u2,u3
.!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
Exercice 3
Soit!la!suite!
tn
( )
!définie!sur!
!
!par!:!
tn=n2+n+3
.!
!
´!Rédiger!un!algorithme!permettant!de!déterminer!le!rang!
n
!à!partir!duquel!
tn>500
.!
!!!!!!Programmer!cet!algorithme!sur!calculatrice!et!donner!la!valeur!du!seuil!demandé.!
!
!
Exercice 4
Soit!la!suite!
wn
( )
!de!terme!général!:!!
wn=3n+2
n+1
.!
1) Conjecturer!la!valeur!
l
!de!la!limite!de!
wn
( )
.!
!
2) a/!!A!l’aide!de!la!calculatrice,!déterminer!un!rang!à!partir!duquel!la!distance!entre!
wn
!et!
l
!est!inférieure!à!:!!
! ! !!!0,01! ! !!
10−6
!
b/!!Démontrer!la!conjecture!de!la!question!1).!
Première S
SUITES (partie 1)
Fiche n°2 : approfondissement
Ch.8

!
LFA$/$Première$S$exercices$mathématiques$Mme$MAINGUY$
!
Exercice 5
Pour!chaque!suite!
un
( )
!dont!on!donne!le!terme!général!:!!
!!donner!un!majorant!et!un!minorant!de!la!suite!
un
( )
!
!!en!utilisant!la!calculatrice,!dire!si!la!suite!
un
( )
!paraît!convergente.!Si!oui,!préciser!sa!limite.!
!a/!!
un=2
n
!!!b/!!
un=n
n+1
!!!c/!!
un=sin n
!
!
!
Exercice 6
On!considère!l’algorithme!suivant!:!!
1) Faire!tourner!cet!algorithme!à!la!main!lorsqu’on!entre!la!valeur!!
Nmax
=4
.!!(On$réunira$les$résultats$dans$un$tableau)!
!
2) Quel!est!le!rôle!de!cet!algorithme!?!
!
3) On!admet!que!la!suite!tend!vers!
+∞
.!
Modifier!cet!algorithme!afin!que!l’utilisateur!entre!une!valeur!de!A!
et!que!le!programme!renvoie!le!premier!rang!
n
!tel!que!
un>Α
.!
!
!
!
!
Exercice 7
On!veut!étudier!l’évolution!du!nombre!d’abonnés!à!un!magazine!au!fur!et!à!mesure!des!années.!
Une!étude!statistique!montre!que!selon!l’origine!des!populations!concernées!(habitants!de!la!campagne,!des!villes!
moyennes!et!des!grandes!villes),!l’évolution!est!différente.!
On!considère!qu’au!départ,!il!y!a!1000!abonnés!de!chaque!type.!
!!À!la!campagne!:!le!nombre!d’abonnés!du!magazine!augmente!de!10%!par!rapport!à!l’année!précédente!grâce!aux!!
!!!nouveaux!abonnés,!mais!diminue!de!80!anciens!abonnés.!
!!Dans!les!villes!moyennes!:!le!magazine!gagne!120!abonnés!par!an.!
!!Dans!les!grandes!villes!:!le!magazine!perd!8%!d’abonnés!par!an.!
!
1) Modéliser!la!situation!sur!le!tableur!de!la!calculatrice.!!
En!déduire!le!nombre!d’abonnés!au!magazine!au!bout!de!15!ans.!
!
2) Ce!modèle!paraît-il!cohérent!à!long!terme!?!!
!
!
Exercice 8
1) Soit!la!suite!
un
( )
!définie!pour!tout!
n≥2
!par!:!!
un=n−1
n+1
.!
a/!!Calculer!les!cinq!premiers!termes!de!la!suite.!
!
b/!!Déterminer!le!sens!de!variation!de!cette!suite.!
!
c/!!Conjecturer!sa!limite!à!l’aide!de!la!calculatrice.!
2) On!définit!la!suite!
P
n
( )
,!pour!
n≥2
,!par!:!
P
n=u2×u3×…×un
.!
a/!!Démontrer!que!cette!suite!est!décroissante.!
b/!!Démontrer!que!quel!que!soit!l’entier!
n≥2
,!on!a!:!!
P
n=2
n2+n
.!!
c/!(hors$programme$1S)!:!Quelle!est!la!limite!de!la!suite!
P
n
( )
!?!

!
LFA$/$Première$S$exercices$mathématiques$Mme$MAINGUY$
!
Exercice 9
La!figure!ci-contre,!indique!le!début!de!la!construction!de!zones!colorées!
que!l’on!peut!prolonger!indéfiniment.!Tous!les!triangles!sont!équilatéraux.!
!
!
´!Déterminer!la!formule!explicite!de!la!suite!
un
( )
.!
$$$$(On$commencera$par$déterminer$
un+1
$en$fonction$de$
n
).$
!
!
!
!
!
Exercice 10
Voici!les!quatre!premiers!nombres!triangulaires.!
!
!
1) Donner!les!valeurs!de!
T5
!et!
T6
.!
!
!
2) Écrire!un!algorithme!permettant!
de!calculer!un!nombre!triangulaire!
quelconque!
Tn
.!!
En!déduire!les!valeurs!de!
T
12
!et!
T60
.!
!
!
3) On!donne!:!
k
k=1
n
∑=1+2+3+…+n=
n n +1
( )
2
.!!Retrouver!les!résultats!précédents!par!le!calcul!
!
!
4) Écrire!un!algorithme!permettant!de!trouver!les!valeurs!de!
n
!telles!que!:!!!!
Tn>100
!! !!
Tn>1000
.!
!
!
5) Retrouver!ces!résultats!par!calcul.!
!
!
!