Rappel de géométrie 1. Triangle quelconque

Classe de 2nde32008-2009
Rappel de g´eom´etrie
1. Triangle quelconque
1.1 Th´eor`emes des Milieux
•Imilieu de [BC] et Jmilieu de [AB],
alors (IJ)//(AC) et IJ =1
2AC
•Imilieu de [BC]
la parall`ele `a (AC) passant par Icoupe [AB] en J,
alors Jest le milieu de [AB].
A
B
C
I
J
1.2 Droites Remarquables
1.2.1 M´edianes
•Dans un triangle, les 3 m´edianes se coupent en un
mˆeme point G, appel´e centre de gravit´e du triangle.
AG =2
3AA′;BG =2 3BB′;CG =2 3CC′
G
A
B
C
A′
B′
C′
1.2.2 Hauteurs
•Dans un triangle, les 3 hauteurs se coupent en un
mˆeme point H, appel´e orthocentre du triangle.
H
A
B
C
A′
B′
C′
1.2.3 Bissectrices
•Dans un triangle, les 3 bissectrices se coupent en un
mˆeme point I, ´equidistant des 3 cˆot´es du triangle :
IP =IQ =IR.
Iest le centre du cercle inscrit dans le triangle.
A
B
C
A′
B′
C′
I

1.2.4 M´ediatrices
•Dans un triangle, les 3 m´ediatrices se coupent en un
mˆeme point O, ´equidistant des 3 sommets du triangle :
OA =OB =OC,Oest le centre du cercle circonscrit
au triangle.
O
A
B
C
A′
B′
C′
2. Triangle rectangle
2.1 Th´eor`eme de Pythagore et sa
r´eciproque
•Si ABC est un triangle rectangle en Aalors
BC2=AB2+AC2.
•R´eciproquement, si ABC est un triangle tel que
BC2=AB2+AC2, alors ABC est un triangle rectangle
en A.
a
b
ca2=b2+c2
A
B
C
2.2 Cercle Circonscrit
•Si AMB est un triangle rectangle en M, alors le centre
du cercle circonscrit au triangle AMB est le point O
milieu de l’hypot´enuse.
•R´eciproquement, si Mest sur le cercle de diam`etre
[AB], alors AMB est un triangle rectangle en M.
OA B
M
2.3 Trigonom´etrie
•Si ABC est un triangle rectangle en A, alors
cos
[
ABC =BA
BC ,sin
[
ABC =CA
CB ,tan
[
ABC =AC
AB .
•Valeurs Remarquables :
x(en degr´es) 0 30◦45◦60◦90◦
cos x1√3
2
√2
2
1
20
sin x01
2
√2
2
√3
21
tan x0√3
31√3 non d´efinie

Si xest la mesure d’un des angles, on a :
cos2x+ sin2x= 1; tan x=sin x
cos x.
3. Angles
3.1 Dans un triangle
Dans un triangle ABC quelconque, on a
b
A+
b
B+
b
C= 1800
A
B
C
3.2 Angles oppos´es par le sommet
Det D′deux droites s´ecantes en O. Les angles oppos´es
par le sommet ont mˆeme mesure.
O
D
D′
3.3 Angles alternes-internes et angles correspondants
• D et D′sont deux droites parall`eles et ∆ une droite
s´ecante `a Det D′, alors
– tous les angles alternes-internes, correspon-
dants, alternes-externes ont mˆeme mesure.
•R´eciproquement, Si deux angles alternes-internes ou
alternes-externes ou correspondants ont la mˆeme me-
sure, alors les droites Det D′qui supportent les angles
sont parall`eles.
correspondants
alternes
internes
D
D′
∆
3.4 Angles inscrits et angles au centre
Cun cercle de centre O.
•Les angles
\
AMB et
\
ANB sont inscrits dans Cet in-
terceptent le mˆeme arc AB
⌢. L’angle
[
AOB est l’angle au
centre associ´e aux angles inscrits
\
AMB et
\
ANB. Alors
\
AMB =1
2
[
AOB et
\
AMB =
\
ANB
Remarque. Si Met Nsont sur le cercle, l’un ´etant sur
le grand cˆot´e de AB
⌢et l’autre sur le petit.
Alors
\
AMB +
\
ANB = 180◦.
A
B
M
N
O

4. Th´eor`eme de Thal`es et sa r´eciproque
4.1 Th´eor`eme de Thal`es
•Si Det D′sont deux droites s´ecantes en A,
Met Bsur D,
Net Csur D′,
et (MN) et (BC) sont parall`eles,
alors AM
AB =AN AC =MN BC =k
Les cˆot´es du triangle AMN sont proportionnels aux
cˆot´es du triangle ABC :
– si 0 < k < 1, le triangle AMN est une r´eduction du
triangle ABC
– si 1 < k, le triangle AMN est un agrandissement
du triangle ABC.
A
B
C
M
N
D
D′
4.2 R´eciproque
•Soient Det D′sont deux droites s´ecantes en A.
–M,Aet Bsur D
–N,Aet Csur D′rang´es dans cet ordre,
si AM
AB =AN AC alors (MN ) et (BC) sont parall`eles.
A
B
C
M
ND
D′
5. M´ethodes
•Pour montrer qu’un point est le milieu du segment : On peut penser aux m´edianes, m´ediatrice,
th´eor`eme des milieux, centre d’un parall´elogramme.
•Pour calculer une longueur : On peut utiliser Pythagore, Thal`es, et la trigonom´etrie dans un
triangle rectangle.
•Pour montrer qu’un angle est droit : On peut utiliser la m´ediatrice d’un segment, la hauteur
d’un triangle, la r´eciproque du th´eor`eme de pythagore, un triangle inscrit dans un cercle dont
un cˆot´e est un diam`etre, faire la somme des angles d’un triangle ...
•Pour montrer que deux droites sont parall`eles, on peut utiliser Thal`es, les angles alternes-
internes, correspondants... ou deux droites perpendiculaires `a une mˆeme troisi`eme.
•Pour montrer que deux angles sont ´egaux, on peut reconnaˆıtre deux angles `a la base d’un
triangle isoc`ele, deux angles interceptant le mˆeme arc, utiliser avec deux droite parall`eles les
angles alternes-internes, correspondants...