Chapitre 6 : Applications des lois de Newton Chapitre 6

Chapitre 6 : Applications des lois de Newton
Chapitre 6 : Applications des lois de Newton
Compétences à acquérir :
 Démontrer que, dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d’un satellite, d’une planète, est uniforme. Établir
l’expression de sa vitesse et de sa période.
 Connaître les trois lois de Kepler ; exploiter la troisième dans le cas d’un mouvement circulaire.
Les lois de Newton peuvent être appliquées à presque tous les systèmes à condition que ces systèmes se déplacent à
des vitesses faibles par rapport à celle de la lumière. C’est le cas pour toutes les situations de la vie courante.
I Mouvement d’un projectile dans un champ de pesanteur uniforme
Cadre de l’étude :
 on considère que seul le poids s‘exerce sur le projectile (force de frottement et poussée d’Archimède
négligées)
 le champ de pesanteur est uniforme
I.1 Référentiel – repère
On réalise l’étude dans le référentiel terrestre considéré galiléen.
Lancer du projectile et choix du repère ainsi que de l’origine des dates
⃗⃗⃗⃗𝟎 . La vitesse initiale fait un angle  avec
Le projectile est lancé avec une vitesse initiale (vitesse à t = 0) 𝒗
l’horizontale. La position du projectile à t = 0 est choisie l’origine du repère (cas particulier simple).
On peut choisir un repère Oxyz tel que le plan Oxy par exemple contient le vecteur ⃗⃗⃗⃗
𝑣0 et le vecteur champ de
pesanteur 𝑔.
Dans ce cas le vecteur la vitesse initiale a pour expression :
………………….
𝑣
⃗⃗⃗⃗0 {… … … … … … … . .
…………………
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Chapitre 6 : Applications des lois de Newton
I.2 Bilan des forces extérieures, application de la deuxième loi de Newton, expression de l’accélération
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
I.3 Application de la 2ème de Newton et détermination du vecteur accélération
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
I.4 Recherche de l’expression du vecteur vitesse
Au chapitre précédent nous avons vu que 𝑎 =
⃗
𝑑𝑣
𝑑𝑡
et 𝑣 =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝐺
𝑑𝑡
où G est le centre d’inertie, 𝑎, 𝑣 et ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺
respectivement l’accélération, la vitesse et la position de G.
Dérivation
Dérivation
On peut donc utiliser le diagramme ci-contre
Position
Vitesse
Intégration
Accélération
Intégration
Pour déterminer le vecteur vitesse il faut donc …………………………………le vecteur accélération :
………………….
………………….
𝑎 {… … … … … … … . . donc 𝑣 {… … … … … … … . .
…………………
…………………
or à t = 0, les composantes du vecteur vitesse sont :
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
On en conclut que
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………….
Finalement 𝑣 {… … … … … … … . .
…………………
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I.5 Recherche de l’expression du vecteur position
Déterminer les composantes du vecteur position revient à rechercher ............................................................. du
vecteur vitesse.
………………….
………………….
⃗⃗⃗⃗⃗ {… … … … … … … . .
𝑣 {… … … … … … … . . donc 𝑂𝐺
…………………
…………………
or à t = 0, les composantes du vecteur position (conditions initiales sur la position) sont :
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………….
On en conclut que
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
Le mouvement est plan car l’une des composantes du vecteur position …………………………………
………………….
⃗⃗⃗⃗⃗ {… … … … … … … . .
Finalement 𝑂𝐺
…………………
I.6 Trajectoire
La trajectoire est la courbe qui représente …………………………………….…….de G au cours du temps.
Elle ne fait apparaître que de variables d’espace, le paramètre temps en est absent.
A partir des équations horaire, on peut déduire que t = …………………….
Donc y = ……………………………………………………………………………………………………………….
……………………..…………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………………………….
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II Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme
Cadre de l’étude : on considère que seule la force électrique intervient (poids négligé et chocs avec d’autres
particules inexistants)
y


E

v0
O
x

E

E
Champ électrique régnant entre deux armatures espacées de e
et soumises à une tension électrique U :
 Direction : orthogonal aux armatures
 Sens : de l’armature chargée positivement ver
l’armature chargée négativement

Valeur : 𝐸 =

Unité : V/m
𝑈
𝑒
Particule chargée dans un champ électrique uniforme
Il est évident que la situation de la particule chargée dans un champ électrique uniforme présente une analogie avec
la situation du corps de masse m dans un champ de pesanteur uniforme.
II.1 Choix du repère
On choisit le repère de façon que les vecteurs vitesse initiale et champ électrique soient contenus dans le plan Oxy.
De plus on peut choisir l’axe Oy dans la même direction que le champ électrique, mais pas forcément dans le
même sens.
II.2 Bilan des forces extérieures, application de la deuxième loi de Newton, expression de l’accélération
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
Comme dans le cas du mouvement d’un projectile, le mouvement est ……………………………………………….
On choisit l’axe Oy dans le sens contraire du champ électrique donc le vecteur champ s’exprime par ……………
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Chapitre 6 : Applications des lois de Newton
Mouvement dans un champ de pesanteur
Mouvement dans un champ électrique
Expression de la force : ………………….
Expression de la force : ………………….
………………….
𝑎 {… … … … … … … . .
………………
………………….
𝑣 {… … … … … … … . .
…………………
………………….
⃗⃗⃗⃗⃗ {… … … … … … … . .
𝑂𝐺
…………………
………………….
𝑎 {… … … … … … … . .
…………………
………………….
𝑣 {… … … … … … … . .
…………………
………………….
⃗⃗⃗⃗⃗ {… … … … … … … . .
𝑂𝐺
…………………
Trajectoire : ………………………………………….
Trajectoire : …………………………………………
Remarques :
A. Selon le signe de la charge de la particule, la force électrique est dirigée vers le haut ou vers le bas, de même
pour la concavité de la trajectoire.
B. Selon le repère choisi (orientation des axes, position de l’origine) et l’origine des dates, les équations horaires et
de la trajectoire peuvent ne pas être celles écrites plus haut.
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III Mouvement des planètes et des satellites
Le mouvement des planètes autour du soleil peut être décrit à l’aide des 3 lois de Kepler. Elles
s’appliquent à tous les objets qui gravitent autour d’un centre attracteur si la seule force qui s’exerce
est la force de gravitation. C’est le cas pour les satellites autour de la terre.
Kepler (1571 – 1630) a énoncé ces lois à partir de relevés
astronomiques. Elles découlent donc d’une méthode
expérimentale.
Newton (1643 – 1727) a exploité et démontré les lois de
Kepler à partir de la 2ème loi de Newton et de la loi de la
gravitation universelle.
III.1 Première loi de Kepler : loi des orbites
Les planètes décrivent autour du soleil des ellipses dont le soleil est l’un des foyers.
……………………………………
……………………………………
……………………………………
……………………………………
……………………………………
III.2 Deuxième loi de Kepler : loi des aires
Le segment de droite reliant le soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
Les aires A et B sont égales donc
….…..…………...........…………………..…..
………………………………...………………
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Conséquence sur la vitesse de la planète : ...……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
III.3 Troisième loi de Kepler : loi des périodes
Le quotient du carré de la période de révolution T de la planète par le cube du demi-grand axe orbital
a est le même pour toutes les planètes.
Ce qui revient à dire que quelque soit la planète,
𝑇2
𝑎3
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
III.4 Cas particulier des orbites circulaires
La force de gravitation exercée sur la planète est
toujours dirigée vers le centre du soleil. Si l’orbite est
circulaire, cette force est dirigée selon le rayon de la
trajectoire.
L’application de la 2ème loi de Newton donne :
…………………………………………………………
L’accélération est donc ……………………………. à
la trajectoire.
Or dans le repère de Frenet 𝑎
⃗⃗⃗ = ⋯ … … … … … … … … … … …
On peut en déduire une relation entre v, G, R et Ms (masse du soleil) : …………………………………
La trajectoire est circulaire, donc v s’exprime en fonction de R et T par : ………………………………
On peut également déterminer le rapport
𝑇2
𝑅3
: ………………………………………
Constat : ………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………
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