Suites et Séries de Fonctions

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Suites et S´eries de Fonctions
Clotilde Fermanian
Ann´ee 2008 2009
Licence 3i`eme ann´ee
Universit´e Paris 12 –Val de Marne.

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Chapitre 1
Quelques notions de
topologie
1.1 Ouverts, ferm´es, voisinages
Soit Eun ensemble et Oun ensemble de parties de E. On dit
que (E, O) est un espace topologique si
1. ∅et Esont dans O
2. pour toute famille (Oi)i∈I,∪Oi∈ O.
3. pour toute famille finie (Ok)1≤k≤N,∩Ok∈ O.
Les ´el´ements de Osont appel´es les ouverts de la topologie.
On dit que Fest ferm´e si son compl´ementaire est ouvert.
On dit que Vest un voisinage de a∈Es’il existe un ouvert O
contenant Aet inclus dans V.
Exemples : Topologie discr`ete : Oest l’ensemble des parties de E.
Topologie grossi`ere : O={E, ∅}.
Th´eor`eme : Une partie Ω de Eest un ouvert si et seulement si
pour tout x∈Ω, il existe un voisinage Vde xinclus dans Ω.
Preuve : Si Ω est ouvert, Ω est un voisinage de x. Supposons main-
tenant que pour tout x∈Ω, il existe un voisinage Vde x, et donc
un ouvert Oxcontenant x, inclus dans Ω, alors Ω = ∪Oxest ouvert.
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D´efinition : On dit qu’un espace topologique est s´epar´e si pour
tous xet yde E,x6=y, il existe deux voisinages Oxet Oyde xet
yrespectivement tels que Ox∩Oy=∅.
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4CHAPITRE 1. QUELQUES NOTIONS DE TOPOLOGIE
1.2 Exemples fondamentaux
1.2.1 R
On munit la droite r´eelle Rde la topologie d´efinie par :
Oest ouvert ssi O=∅ou (∀x∈O, ∃δ > 0,]x−δ, x +δ[⊂O).
1.2.2 Espaces m´etriques
D´efinition : Soit Eun espace vectoriel sur un corps K(K=Rou
C) et dune application de E×Edans R+. On dit que dest une
distance si dv´erifie les trois propri´et´es suivantes
1. ∀(x, y)∈E2, d(x, y) = 0 =⇒x=y
2. ∀(x, y)∈E2, d(x, y) = d(y, x)
3. ∀(x, y, z)∈E3, d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z).
Le couple (E, d) est alors appel´e espace m´etrique.
Pour x∈Eet ρ > 0, on d´efinit les ensembles suivants :
– Boule ouverte de centre xet de rayon ρ:
B(x, ρ) = {y∈E, d(x, y)< ρ},
– Boule ferm´ee de centre xet de rayon ρ:
B(x, ρ) = {y∈E, d(x, y)≤ρ},
– Sph`ere de centre xet de rayon ρ:
S(x, ρ) = {y∈E, d(x, y) = ρ}.
Th´eor`eme : Si (E, d) est un espace m´etrique, (E, d) est un espace
topologique pour la topologie d´efinie par :
Oest ouvert ssi O=∅ou (∀x∈O, ∃ρ > 0, B(x, ρ)⊂O.
Preuve : On v´erifie que ∅et Esont des ouverts. Soit maintenant une
famille (Oi)i∈Id’ensemble tels que pour tout i∈I, il existe ρi>0 tel
que B(x, ρi)⊂Oi. Alors, si x∈ ∪Oi, il existe j∈Itel que x∈Oj
et on a B(x, ρj)⊂ ∪Oi. Donc ∪Oia la mˆeme propri´et´e. Il reste
maintenant `a regarder l’intersection ; supposons Ifini et notons k
l’entier tel que ρkest le minimum des (ρi)i∈I, alors si x∈ ∩Oi,
∀i∈I, B(x, ρk)⊂B(x, ρi)⊂Oi.
On en d´eduit que B(x, ρk)⊂ ∩B(x, ρi), d’o`u le r´esultat.♦

1.2. EXEMPLES FONDAMENTAUX 5
Exemples : 1- Sur R, (x, y)7→ |y−x|est une distance.
2- Si Eest un ensemble, d(x, y) = 1 si x6=yet d(x, x) = 0 est une
distance.
3- Sur R,d(x, y) =|Arctg x−Arctg y|aussi.
Remarque : 1- B(x, ρ) est un ouvert et B(x, ρ) est un ferm´e.
2- L’ensemble Vest un voisinage de xsi et seulement s’il existe
ρ > 0 tel que B(x, ρ)⊂O.
Th´eor`eme : L’espace (E, d) est un espace s´epar´e.
Preuve : Soient x, y ∈E,x6=y, alors d(x, y)>0 et si δ < 1
2d(x, y),
les boules B(x, δ) et B(y, δ) sont disjointes. En effet, si z∈B(x, δ)∩
B(x, δ), alors
d(x, y)≤d(x, z) + d(z, y)<2δ < d(x, y),
ce qui est absurde.♦
1.2.3 Espaces vectoriels norm´es
D´efinition : Soit Eun espace vectoriel sur un corps K(K=Rou
C) et Nune application de Edans R+.Nest une norme si elle
v´erifie les trois propri´et´es suivantes
1. Si N(x) = 0 alors x= 0.
2. ∀(x, y)∈E2, N(x+y)≤N(x) + N(y).
3. ∀x∈E, ∀λ∈R+, N(λx) =|λ|N(x).
Proposition : Si Nest une norme alors l’application dNde E×E
dans R+d´efinie par
∀(x, y)∈E×E), dN(x, y) = N(x−y)
est une distance.
Preuve : La preuve est imm´ediate.♦
On munit l’espace vectoriel norm´e (E, N) de la topologie associ´ee `a
la distance dN.
Cas Particulier : Dans le cas d’un espace euclidien ou d’un espace
pr´ehilbertien complexe, la norme est associ´ee `a un produit scalaire.