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Collège Elisabeth de Nassau
Epreuve de Mathématiques
Mars 2017
Durée : 02h00
Présentation, rédaction et orthographe (5 points)
Les calculatrices sont autorisées mais toute réponse devra être justifiée.
L’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l’appréciation des copies.
Il sera tenu compte des unités (m, cm, m², …) dans les réponses.
Les pages seront numérotées.
Exercice 1 (6 points)
Dans ce questionnaire à choix multiples, pour chaque question, des réponses sont proposées et une seule est
exacte.
Pour chacune des questions, écrire le numéro de la question et la lettre de la bonne réponse.
Aucune justification n’est attendue.
Questions
2
1. (2x – 3) =
2. Quelle est la fonction f telle que f(4) = 14 ?
3. Soit la fonction g telle que g(x) = 5x – 3.
Quel est l’antécédent de 12 ?
2 3 1
4. ( + ) ÷ =
7 7 5
5. Soldé, un téléviseur voit son prix passé de 350 € à
280 €. Quel est le pourcentage de réduction ?
6. Entre 9 h 05 min et 9 h 20 min, la grande aiguille
d’une horloge subit une rotation (dans le sens
horaire) de
A
4x – 12x + 9
B
4x + 12x – 9
C
4x – 9
f(x) = 2x – 1
f(x) = 3x + 2
f(x) = 14 + x
3
57
12
7
25
50
14
7
20 %
25 %
70 %
15°
45°
90°
2
2
2
Exercice 2 (6,5 points)
Le Solitaire est un jeu de hasard de la Française des Jeux.
Le joueur achète un ticket au prix de 2 €, gratte la case argentée et
découvre le « montant du gain ».
Un ticket est gagnant si le « montant du gain » est supérieur ou
égal à 2 €.
Les tickets de Solitaire sont fabriqués par lots de 750 000 tickets.
Le tableau ci-contre donne la composition d’un lot.
1. Si on prélève un ticket au hasard dans un lot,
a. quelle est la probabilité d’obtenir un ticket gagnant dont le
« montant du gain » est 4 € ?
b. quelle est la probabilité d’obtenir un ticket gagnant ?
c. expliquer pourquoi on a moins de 2 % de chance d’obtenir un
ticket dont le « montant du gain » est supérieur ou égal à 10 €.
Total
Nombre de
tickets
« Montant du gain »
par ticket
532 173
100 000
83 000
20 860
5 400
8 150
400
15
2
750 000
0€
2€
4€
6€
12 €
20 €
150 €
1 000 €
15 000 €
2. Tom dit : « Si j’avais assez d’argent, je pourrais acheter un lot
complet de tickets Solitaire. Je deviendrais encore plus riche. »
Expliquer si Tom a raison.
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Exercice 3 (6 points)
Tous les calculs et toute trace de recherche, même incomplète, seront pris en compte dans l'évaluation.
Marc et Sophie se lancent des défis mathématiques. C'est au tour de Marc, il propose le programme de calcul
suivant à sa camarade.
-
Choisir un nombre entier positif.
-
Élever ce nombre au carré.
-
Ajouter 3 au résultat obtenu.
-
Puis, multiplier par 2 le résultat obtenu.
-
Soustraire 6 au résultat précédent.
-
Enfin, prendre la moitié du dernier résultat.
-
Écrire le résultat final.
1. Tester ce programme de calcul en choisissant comme nombre de départ 3 puis 10.
2. Marc prétend être capable de trouver rapidement le nombre de départ en connaissant le résultat final.
Sophie choisit alors au hasard un nombre et applique le programme de calcul. Elle annonce à Marc le
résultat final 81. Celui-ci répond qu'elle avait choisi le nombre 9 au départ. Stupéfaite, Sophie lui dit : « Tu
es un magicien ! ».
a. Vérifier le calcul en commençant avec le nombre 9.
b. Et si le résultat du programme était 25, pourriez-vous dire le nombre choisi par Sophie ?
3. A votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au résultat final ?
Démontrer votre réponse en prenant x comme nombre de départ.
Exercice 4 (4 points)
Une station de ski a relevé le nombre de forfaits « journée » vendus lors de la saison écoulée (de décembre à
avril).
Les résultats sont donnés ci-dessous dans la feuille de calcul d’un tableur.
1
2
A
Mois
Nombre de forfaits
« journée » vendus
B
Décembre
C
Janvier
D
Février
E
Mars
F
Avril
60 457
60 457
148 901
100 058
10 035
G
Total
3
1. a. Quel est le mois durant lequel la station a vendu le plus de forfaits « journée » ?
b. Zoé dit que la station vend plus du tiers des forfaits durant le mois de février.
A-t-elle raison ? Justifier.
2. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule G2 pour obtenir le total des forfaits « journée » vendus durant
la saison considérée ?
3. Calculer le nombre moyen de forfaits « journée » vendus par la station en un mois. On arrondira le résultat à
l’unité.
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Exercice 5 (5 points)
La distance parcourue par un véhicule entre le moment où le conducteur voit un obstacle et l’arrêt complet du
véhicule est schématisée ci-dessous :
Distance de réaction
distance parcourue entre l'instant où
le conducteur voit l'obstacle et celui
où il commence à freiner
Distance de freinage
Obstacle
distance parcourue depuis le début du
freinage jusqu'à l'arrêt du véhicule
Distance d’arrêt = distance de réaction + distance de freinage
1. Un scooter roulant à 45 km/h freine en urgence pour éviter un obstacle. À cette vitesse, la distance de
réaction est égale à 12,5 m et la distance de freinage à 10 m. Quelle est la distance d’arrêt ?
2. Les deux graphiques donnés en annexe (page 6 du sujet) représentent, dans des conditions normales et sur
route sèche, la distance de réaction et la distance de freinage en fonction de la vitesse du véhicule.
En utilisant ces graphiques, répondre aux questions suivantes.
a. La distance de réaction est de 15 m. À quelle vitesse roule-t-on ? (Aucune justification n’est attendue)
b. La distance de freinage du conducteur est-elle proportionnelle à la vitesse de son véhicule ?
c. Déterminer la distance d’arrêt pour une voiture roulant à 90 km/h.
3. La distance de freinage en mètres, d’un véhicule sur route mouillée, peut se calculer à l’aide de la formule
suivante, où v est la vitesse en km/h du véhicule :
v²
152,4
Calculer au mètre près la distance de freinage sur route mouillée à 110 km/h.
Distance de freinage sur route mouillée =
Exercice 6 (4 points)
Sur la figure ci-contre, qui n’est pas en vraie grandeur, les droites
(SA) et (OK) sont parallèles. On sait que :
SA = 5 cm ;
OA = 3,8 cm ;
OR = 6,84 cm ;
KR = 7,2 cm.
Les questions de cet exercice ont été effacées, mais il reste ci-dessous des calculs effectués par un élève, en
réponse aux questions manquantes :
1. 6,84 – 3,8 = 3,04
2.
5 × 6,84
= 11,25
3,04
En utilisant les calculs précédents :
- écrire les deux questions auxquelles l'élève a répondu,
- et rédiger la réponse complète pour la question 2.
Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la
notation.
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Exercice 7 (3,5 points)
Les « 24 heures du Mans » est le nom d’une course automobile.
Document 1 : principe de la course
Document 2 : schéma du circuit
Les voitures tournent sur un circuit pendant 24 heures.
Hunaudières
La voiture gagnante est celle qui a parcouru la plus
Tertre rouge
grande distance.
La Longueur d’un tour
est de 13,629 km
Pulsante
Arnage
Départ
Document 3 : article extrait d’un journal
5 405,470
C’est le nombre de kilomètres parcourus
par l’Audi R15+ à l’issue de la course.
Document 4 : unités anglo-saxonnes
L’unité de mesure utilisée par les anglo-saxons est le
mile par heure (mile per hour) noté mph.
1 mile ≈ 1 609 mètres
A l’aide des documents fournis :
1. Déterminer le nombre de tours complets que la voiture Audi R15+ a effectués lors de cette course.
2. Calculer la vitesse moyenne en km/h de cette voiture. Arrondir à l’unité.
3. On relève la vitesse de deux voitures au même moment :
 Vitesse de la voiture n°37 : 205 mph.
 Vitesse de la voiture n°38 : 310 km/h.
Quelle est la voiture la plus rapide ?
Exercice 8 (5 points)
Pour son mariage, le samedi 19 août 2017, Norbert souhaite se faire livrer des macarons.
L’entreprise lui demande de payer 402 € avec les frais de livraison compris.
À l’aide des documents ci-dessous, déterminer dans quelle zone se trouve l’adresse de livraison.
Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la
notation
Document 1 :
Bon de commande de Norbert
10 boîtes de 12 petits macarons chocolat
10 boîtes de 12 petits macarons vanille
5 boîtes de 12 petits macarons framboise
2 boîtes de 12 petits macarons café
1 boîte de 6 petits macarons caramel
Document 2 : Tarifs de la boutique
Jusqu’à 5 boites
Parfum au choix
À partir de la
achetées
sixième boîte
Boîte de 6 petits
9 € la boîte
identique
macarons
achetée,
Boîte de 12 petits
16 € la boîte
profitez de 20%
macarons
de réduction
Boîte de 6 gros
sur toutes vos
13,50 € la boîte
macarons
boîtes de ce
Boîte de 12 gros
parfum
25 € la boîte
macarons
Les frais de livraison, en supplément, sont détaillés ci-dessous
en fonction de la zone de livraison.
Zones de livraison
Document 3 : Tarifs de livraison
Samedi et
En semaine
dimanche
12,50 €
17,50 €
Zone A
20 €
25 €
Zone B
25 €
30 €
Zone C
Zone A
Zone B
Zone C
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Exercice 9 (5 points)
1. Pour réaliser la figure ci-dessus, on a utilisé l’un des deux programmes A et B ci-dessous.
Programme A
Programme B
a. Déterminez lequel.
b. Indiquez par une figure à main levée le résultat que l’on obtiendrait avec l’autre programme.
2. Combien mesure l’espace entre deux motifs successifs ?
3. Voici un autre programme :
Il y a une erreur dans ce programme, proposez une correction dans l’une des zones suivantes :
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Annexe
Graphiques de la question 2) de l’exercice 5
Distance de réaction (en m)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Vitesse en km/h
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120 130
Distance de freinage sur route sèche
(en m)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Vitesse en km/h
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120 130
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Correction
Exercice 1
Questions
A
4x – 12x + 9
B
4x + 12x – 9
C
4x – 9
f(x) = 2x – 1
f(x) = 3x + 2
f(x) = 12 + x
3
57
12
7
25
50
14
7
20 %
25 %
70 %
15°
45°
90°
2
1. (2x – 3) =
2
2. Quelle est la fonction f telle que f(4) = 14 ?
3. Soit la fonction g telle que g(x) = 5x – 3.
Quel est l’antécédent de 12 ?
2 3 1
4. ( + ) ÷ =
7 7 5
5. Soldé, un téléviseur voit son prix passé de 350 € à
280 €. Quel est le pourcentage de réduction ?
6. Entre 9 h 05 min et 9 h 20 min, la grande aiguille d’une
horloge subit une rotation (dans le sens horaire) de
2
2
1. (2x – 3)2 = (2x)2 – 2 × 2x × 3 + 32 = 4x2 – 12x + 9
2. f(4) = 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14
3. g(3) = 5 × 3 – 3 = 15 – 3 = 12
2 3 1 5 1 5 5 25 50
4. ( + ) ÷ = ÷ = × = =
7 7 5 7 5 7 1 7 14
5. 350 – 280 = 70
La réduction est de 70 €.
70
× 100 = 20
Le pourcentage de réduction est 20 %.
350
1
6. 9 h 05 min – 9 h 20 min = 15 min soit un quart d’une heure.
de 360° = 360 : 4 = 90°
4
Exercice 2
83 000
83
=
750 000 750
b. Nombre de tickets gagnants = 750 000 – perdants = 750 000 – 532 173 = 217 827
ou 100 000 + 83 000 + 20 860 + 5 400 + 8 150 + 400 + 15 + 2 = 217 827
217 827 72 609
P(gagner) =
=
750 000 250 000
c. Nombre de tickets gagnants plus de 10 € = 2 + 15 + 400 + 8 150 + 5 400 = 13 967
2 % de 750 000 = 750 000  2 : 100 = 15 000
13 967 < 15 000 donc on a moins de 2 % de chance d’obtenir un ticket dont le « montant du gain » est
supérieur ou égal à 10 €.
13 967
1,8
Ou
 0,0186… 
= 1,8 % qui est inferieur à 2 %.
750 000
100
1. a. P(gain 4 €) =
2. Prix d’achat des billets = 750 000  2 = 1 500 000 €
Gains : 100 000  2 + 83 000  4 + 20 860  6 + 5 400  12 + 8 150  20 + 400  150 + 15  1 000 + 2  15 000 = 989 960 €.
Tom a tort : les gains ne couvriront pas l’achat des billets.
Exercice 3
-
Choisir un nombre entier positif.
Élever ce nombre au carré.
Ajouter 3 au résultat obtenu.
Puis, multiplier par 2 le résultat obtenu.
Soustraire 6 au résultat précédent.
Enfin, prendre la moitié du dernier résultat.
Écrire le résultat final.
Question 1
3
2
3 =9
9 + 3 = 12
12  2 = 24
24 – 6 = 18
18 : 2 = 9
9
Question 1
10
2
10 = 100
100 + 3 = 103
103  2 = 206
206 – 6 = 200
200 : 2 = 100
100
Question 2 a
9
2
9 = 81
81 + 3 = 84
84  2 = 168
168 – 6 = 162
162 : 2 = 81
81
Question 3
x
x2
x2 + 3
(x2 + 3)  2 = 2x2 + 6
2x2 + 6 – 6 = 2x2
2x2 : 2 = x2
x2
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2. b. On va remonter le programme
25  2 = 50 50 + 6 = 56 56 : 2 = 28
28 – 3 = 25
Il faut prendre 5 au départ pour trouver 25.
25 = 5
3. En appliquant le programme, on trouve le carré du nombre de départ.
Exercice 4
1. a. La station a vendu le plus de forfaits « journée » au mois de février.
b. Total = 60 457 + 60 457 + 148 901 + 100 058 + 10 035 = 379 908
1
 379 908 = 126 636 (< 148 901)
3
Zoé a raison.
2. =somme(B2 :F2) ou =B2+C2+D2+E2+F2
3. Total = 60 457 + 60 457 + 148 901 + 100 058 + 10 035 = 379 908
Moyenne = 379 908 : 5 = 75 981,6 soit 75 982 forfaits en arrondissant à l’unité.
Exercice 5
1. Distance d'arrêt = distance de réaction + distance de freinage = 12,5 + 10 = 22,5 m.
2. a. Pour un temps de réaction de 15 m, la vitesse est d'environ 55 km/h.
b. Le 2e graphique obtenu (celui exprimant la distance de freinage en fonction de la vitesse) n'est pas une
droite donc la distance de freinage n'est pas proportionnelle à la vitesse.
c. A l'aide du 1er graphique, on estime la distance de réaction à 25 m et à l'aide du 2ème graphique, on
estime la distance de freinage à 40 m d'où :
Distance d'arrêt = distance de réaction + distance de freinage = 25 + 40 = 65 m.
3. Distance de freinage =
v2
1102 12100
=
=
 79 m ou 80 m.
152,4 152,4 152,4
Exercice 6
1. Calculer RA.
2. Le calcul de la 4e proportionnelle (produit en croix) et les droites parallèles font penser au théorème de
Thalès.
La question devait être : « Calculer OK. »
Résolution :
Les droites (OA) et (KS) sont sécantes en R.
Les droites (AS) et (OK) sont parallèles.
On peut dont appliquer le théorème de Thalès :
RA RS AS
=
=
RO RK OK
On remplace par les valeurs :
3,04 RS
5
=
=
6,84 7,2 OK
3,04
5
=
6,84 OK
5 × 6,84
D’où OK =
= 11,25 cm
3,04
Exercice 7
1. 5 405,47 : 13,629 ≈ 396,6
La voiture Audi R15+ a effectué 396 tours complets lors de cette course.
2. Vitesse moyenne de l’Audi R15+ = 5 405,47 : 24 ≈ 225 km/h
3. Vitesse de la voiture n°37 : 205  1,609 ≈ 329,8 km/h
Vitesse de la voiture n°38 : 310 km/h.
C’est la voiture n°37 la plus rapide.
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Exercice 8
10 boîtes de 12 petits macarons chocolat
10 boîtes de 12 petits macarons vanille
5 boîtes de 12 petits macarons framboise
2 boîtes de 12 petits macarons café
1 boîte de 6 petits macarons caramel
Total
10  16 = 160 € avant réduction.
160  0,8 = 128 € après réduction.
10  16 = 160 € avant réduction.
160  0,8 = 128 € après réduction.
5  16 = 80 €
2  16 = 32 €
128,00 €
128,00 €
80,00 €
32,00 €
9,00 €
377,00 €
Frais de port : 402 – 377 = 25 €.
Comme le mariage a lieu le samedi, la livraison se fait en zone B.
Exercice 9
1. a. Programme A.
b.
2. 70 – 50 = 20
3. Il faut remplacer :
par -5.
ou
par « Dans 5 ans, en 2022, vous aurez ».
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