Fiche de préparation au brevet : pgcd fpgcd.tex PGCD L’essentiel : I Le pgcd de deux nombres entiers naturels est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres (il est donc supérieur ou égal à 1). I Lorsque le pgcd de deux nombres est 1, on dit que ces deux nombres sont premiers entre eux. I Méthodes de calcul : – algotithme des soustractions successives ; – algorithme d’Euclide. I Utilisation : – pour transformer une fraction en fraction irréductible ; – pour rechercher les diviseurs communs à deux entiers, car ce sont les mêmes que les diviseurs de leur pgcd. Exercices : les méthodes et les calculs sont à détailler ! Exercice 1) 1) Déterminer le pgcd des nombres 5 148 et 1 386 5 148 2) Transformer en fraction irréductible la fraction 1 386 Exercice 2) Même exercice avec 540 et 288. Exercice 3) Même exercice avec 696 et 406. Exercice 4) Même exercice avec 1 547 et 1 729. Exercice 5) Même exercice avec 1 820 et 2 730. Exercice 6) 1)a) Compléter chaque case par oui ou par non. 2 5 9 1 035 est divisible par 774 est divisible par 322 est divisible par 322 b) D’après ce tableau, les fractions 1774 et 774 sont-elles irréductibles ? Pourquoi ? 035 2) Calculer le pgcd de 322 et 1 035 par la méthode de votre choix. La fraction 1322 est-elle irréductible ? 035 Exercice 7) 1) Calculer le pgcd de 1 756 et 1 317 2) Un fleuriste a reçu 1 756 roses blanches et 1 317 roses rouges. Il désire réaliser des bouquets identiques (c’est à dire comprenant un même nombre de roses et la même répartition entre les roses blanches et les rouges) en utilisant toutes les fleurs a) Quel sera le nombre maximum de bouquets identiques ? b) Quelle sera alors la composition de chaque bouquet ? Exercice 8) 1) Déterminer le pgcd de 108 et 135. 2) Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que : - tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges ; - tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires ; - toutes les billes sont utilisées. Quelles sont les possibilités ? Pour chaque possibilité, détailler le nombre de paquets et le nombre de billes rouges et noires par paquet. 1 Fiche de préparation au brevet : pgcd fpgcd.tex Réponses : 1) 198 et 26/7 2) 36 et 15/8 3) 58 et 12/7 4) 91 et 17/19 5) 910 et 2/3 6)1a)(par ligne) : N,O,O ; O,N,O ; O,N,N 1b)non, non 2)23 et non 7)1)439 2a)439 2b)4 et 3 8)1)27 2)1, 3, 9 ou 27 bouquets Corrigés : 1)1) Calcul du pgcd de 5 148 et 1 386 par l’algorithme d’Euclide : + grd nbre 5 148 1 386 990 396 + ptit nbre reste 1 386 990 990 396 396 198 198 0 car car car car 5 148 = 3 × 1 386 + 990 1 386 = 1 × 990 + 396 990 = 2 × 396 + 198 396 = 2 × 198 + 0 Le pgcd de 5 148 et 1 386 est donc 198. 2) Pour rendre irréductible une fraction il suffit de la simplifier par le pgcd de son numérateur et de son dénominateur. Ici : 5 148 26 × 198 26 = = 1 386 7 × 198 7 2) 3) 4) 5) sur le même modèle. 6)1)a) C’est l’occasion de revoir les critères de divisibilité. On reconnait qu’un nombre entier est divisible par : 2 quand il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; 3 quand la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3 ; 5 quand il se termine par 0 ou 5 ; 9 quand la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 9. D’où les réponses (par ligne) : N,O,O ; O,N,O ; O,N,N b) 774 et 1 035 sont divisibles par 9, donc la fraction n’est pas irréductible. 322 et 774 sont divisibles par 2, donc la fraction n’est pas irréductible. 2) pgcd(322, 1 035) = 23 (à détailler) la fraction est simplifiable par (au plus) 23. 7)1) Le pgcd de 1 756 et 1 317 est 439 (à détailler). 2)a) J’appelle n le nombre de bouquets. n divise 1 756 car tous les bouquets contiennent le même nombre de roses blanches. De même n divise 1 317. n est donc un diviseur commun à 1 756 et à 1 317. Comme on cherche le nombre maximum de bouquets, n est le plus grand diviseur commun, n = pgcd(1 317, 1 756) = 439. Il y aura au maximum 439 bouquets. b) 1 756 ÷ 439 = 4 et 1 317 ÷ 439 = 3. Il y aura donc dans chaque paquet 4 roses blanches et 3 roses rouges. 8)1) Le pgcd de 108 et 135 est 27 (à détailler). 2) J’appelle n le nombre de paquets possibles. Tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges, donc n divise 108. De même n divise 135. n est donc un diviseur commun à 108 et à 135 ; par suite n divise 27. Les diviseurs de 27 sont : 1, 3, 9, 27. Marc peut donc faire 1, 3, 9 ou 27 paquets dont la composition est détaillée dans le tableau suivant : Nbre Nbre Nbre Nbre de de de de paquets billes rouges/paquet billes noires/paquet billes/paquet 2 1 3 9 27 108 36 12 4 135 45 15 5 243 81 27 9