Devoir maison pour le 12 janvier 2011

École des Mines de Douai — FI1A Mathématiques Année 2010-2011
Devoir maison pour le 12 janvier 2011
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Partie 1
Ce problème consiste en l’étude de la détermination des éléments propres d’une matrice
symétrique réelle par celle des extrema d’une fonction nommée quotient de Rayleigh.
Soient donc n∈N∗et Aune matrice symétrique réelle. Pour tout vecteur-colonne non
nul X∈ Mn(R)− {0}, on pose
R(X) = hX|AXi
kXk2.
L’objet de ce problème est d’établir le théorème suivant et d’en étudier une application.
Théorème 1
Un vecteur Xest propre pour la matrice Asi et seulement si Xest un point critique
de la fonction R.
1. Préliminaires
1.1 Que signifient précisément les notations hX|AXiet kXkdans la définition de R?
Réécrire cette définition à l’aide des opérations matricielles habituelles.
1.2 Soient µest un réel non nul et Xun vecteur-colonne non nul. Que peut-on dire
de R(µX)? En déduire que la fonction Radmet un minimum et un maximum tous deux
atteints.
1.3 Si l’on pose X= x1
.
.
.
xn!et A= (aij )16i,j6n, expliciter la définition de R(X)à l’aide
des coefficients xiet des aij .
2. 1ère implication. Supposons que Xsoit un vecteur propre de A.
2.1 Que vaut R(X)?
2.2 Montrer que Rest de classe C1et expliciter ses dérivées partielles. En déduire que
Xest un point critique de R.
3. Réciproque Soit Xun vecteur non nul qui est un point critique de la fonction R.
3.1 Soit µ∈R∗; justifier que µX est encore un point critique de la fonction R. On
pose X1=X
kXk; exprimer R(X)en fonction de X1.
On définit une nouvelle fonction
F: (Mn,1(R)− {0})×R−−−→ R
Y7−−−→ hY|AY i − λ(kYk2−1).
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Remarque
On dit que Fest le Lagrangien du problème, et la nouvelle variable λest appelée
multiplicateur de Lagrange. Pour les détails de cette méthode d’«optimisation
sous contrainte», voir, dans les archives, le problème 2 du DM du 16 décembre 2008.
3.2 Calculer les dérivées partielles de Fen tout point (Y, λ).
3.3 Montrer que (X1, R(X1)) est un point critique de la fonction F.
3.4 En déduire que Xest un vecteur propre pour Aassocié à une valeur propre que
l’on précisera.
4. Une autre interprétation. Soit Xun vecteur colonne non nul. Montrer que R(X)
est l’unique solution au sens des moindres carrés du système de néquations à une inconnue
(préciser laquelle)
AX =λX.
Retrouver ainsi la valeur de R(X)lorsque Xest un vecteur propre de A.
Partie 2
On va étudier les fondements d’un algorithme permettant, de proche en proche, la
détermination de valeurs approchées des valeurs propres d’une matrice symétrique réelle.
L’avantage de cet algorithme de Rayleigh est que la convergence, si convergence il y a, est
très rapide, plus rapide qu’un algorithme qui consisterait à factoriser numériquement le
polynôme caractéristique.
Soit Aune matrice symétrique réelle d’ordre n. On rappelle que Aest diagonalisable
et que ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux.
1. Principe itératif. Soit Y0un vecteur-colonne non nul ; on pose µ0=R(Y0)et X0=
Y0
kY0k. On définit des suites (µi)i>0de réels et (Xi)i>0et (Yi)i>0de vecteurs-colonnes, selon
le principe de récurrence suivant :
– si la matrice A−µiInn’est pas inversible, l’algorithme s’arrête ;
– si A−µiIest inversible, on pose
Yi+1 = (A−µiIn)−1Xi,Xi+1 =Yi+1
kYi+1ket µi+1 =R(Xi+1)
(où Rdésigne toujours le quotient de Rayleigh de la matrice A). Dans la pratique,
on ne calcule pas (A−µiI)−1; on utilise un algorithme de résolution d’un système
linéaire BX =Yavec B=A−µiIet Y=Xi.
1.1 Que se passe-t-il exactement dans le premier cas, celui où «l’algorithme s’arrête» ?
Que peut-on alors dire de µiet Xi?
1.2 On suppose que l’algorithme ne s’arrête pas. Justifier que la suite (Xi)i∈Nadmet
une valeur d’adhérence.
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Rappel
On rappelle qu’une suite (un)n∈Nadmet pour valeur d’adhérence αsi elle admet une
sous-suite (uϕ(n))qui converge vers α(la fonction ϕétant une application strictement
croissante de Ndans lui-même.
1.3 On admet que si la suite (Xi)i∈Nconverge, alors sa limite est un vecteur propre de
A. Montrer que dans ce cas, alors la suite (µi)i∈Nconverge vers une valeur propre de A.
2. Récurrence
2.1 Montrer que si eest un vecteur propre de A, alors e⊥est stable par A.
2.2 Expliquer comment on peut mettre à profit cette propriété pour enclencher une
récurrence et, de proche en proche, trouver des valeurs approchées de chacune des valeurs
propres de Aet une base orthonormée de vecteurs propres pour A.
Bon courage !
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