+ ln

Terminale ES
La fonction logarithme
népérien
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TES
La fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien
I Liens avec la fonction exponentielle
On sait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur  et à
valeurs dans ]0;+ [.
Ainsi, pour tout nombre réel a > 0, il existe un unique nombre réel b tel que eb = a.
Définition
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur
]0; + [, qui à tout nombre réel x > 0 associe l’unique solution de
l’équation ey = x d’inconnue y.
On note cette solution y = ln x.
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TES
La fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien
II Conséquences
Les propriétés suivantes découlent directement de la définition :
1. Pour tous réels x > 0 et y, ex = y  x = ln y.
2. Pour tout réel x > 0, eln x = x.
3. Pour tout réel x, ln(ex) = x.
4. ln 1 = 0 (car e0 = 1)
ln e = 1 (car e = e1)
ln
1
1
= -1 (car = e-1)
𝑒
𝑒
III Courbe représentative de la fonction ln
Propriété
Dans un repère orthonormé, les courbes
représentatives des fonctions exponentielle et
logarithme népérien sont symétriques par rapport
à la droite  d’équation y = x.
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La fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien
Propriété
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur ]0; + [.
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La fonction logarithme népérien
Etude de la fonction ln
IV Fonction dérivée de ln
Propriété
1
𝑥
Pour tout nombre réel x > 0, ln’(x) = .
Démonstration
On note f la fonction définie sur ]0; + [ par f(x) = eln x.
Cette fonction est de la forme eu avec u(x) = ln x.
La fonction ln étant dérivable sur ]0; + [ alors la fonction f est aussi dérivable
sur ]0; + [.
Pour tout réel x > 0, f’(x) = u’(x)eu(x) = u’(x) f(x).
Or f(x) = x et f’(x) = 1
Donc u’(x) = ln’(x) =
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
=
1
𝑥
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La fonction logarithme népérien
Etude de la fonction ln
V Etude des variations de ln
Propriété
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0; + [.
Démonstration
1
𝑥
Pour tout réel x > 0, ln’(x) = .
Or, pour x > 0,
1
> 0.
𝑥
Donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0; + [.
x
0
1
ln’
ln
e
+
+
0
1
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La fonction logarithme népérien
Etude de la fonction ln
Deux tangentes particulières
On note C la courbe représentative de ln dans un repère.
•
Tangente T à
C au
point A d’abscisse 1
T a pour équation : y = ln’(1)(x – 1) + ln(1) = x – 1.
T est parallèle à la droite d’équation y = x.
•
Tangente T’ à
C au
point B d’abscisse e
T a pour équation : 𝑦 = ln’(𝑒)(𝑥 – 𝑒) + ln(𝑒) .
Soit : 𝑦
=
1
𝑒
𝑥 −𝑒 +1=
1
𝑥
𝑒
T’ passe par l’origine du repère.
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La fonction logarithme népérien
Etude de la fonction ln
VI Signe de ln x
Comme la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+ [, alors :
•
Pour tous réels a > 0 et b > 0
(1) ln a = ln b  a = b
•
(2) ln a < ln b  a < b
L’inéquation ln x  0 équivaut à ln x  ln 1 c’est-à-dire à x  1 (d’après (2).
On en déduit le tableau de signes suivant :
x
ln x
0
1
-
0
+
+
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La fonction logarithme népérien
Propriétés algébriques de la fonction ln
VII Relation fonctionnelle
Propriété
Pour tous réels a > 0 et b > 0, ln(ab) = ln(a) + ln (b).
Démonstration
On sait que pour tous réels x et y, ex+y = ex  ey.
On note a et b les nombres strictement positifs tels que x = ln a et y = ln b.
On a alors : eln a + ln b = eln aeln b
On en déduit ln a + ln b = ln(ab).
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Propriétés algébriques de la fonction ln
VIII Logarithme népérien d’un inverse, d’un quotient
Propriétés
Pour tous réels a > 0 et b > 0,
1
𝑏
𝑎
𝑏
(2) ln = ln 𝑎 − ln 𝑏
1 ln = −𝑙𝑛 b
Démonstration
1
1
(1) Pour tout réel b > 0, b  = 1 et donc ln 𝑏 ×
= ln 1 = 0
𝑏
𝑏
De la relation fonctionnelle, on déduit : ln b + ln
(2) Pour tous réels a > et b > 0,
𝑎
𝑏
=𝑎×
1
1
= 0, soit ln = - ln b.
𝑏
𝑏
1
𝑎
et donc ln = ln
𝑏
𝑏
𝑎×
1
𝑏
𝑎
1
De la relation fonctionnelle, on déduit ln = ln a + ln = ln a – ln b (d’après (1)).
𝑏
𝑏
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Propriétés algébriques de la fonction ln
IX Logarithme népérien d’une puissance
En appliquant la relation fonctionnelle, on constate que pour tout réel a > 0 :
ln(a²) = ln(a  a) = ln a + ln a = 2 ln a
ln(a3) = ln(a²a) = ln(a²) + ln a = 2 ln a + ln a = 3 ln a
On peut ainsi montrer de proche en proche la propriété suivante :
Propriété
Pour tout réel a > 0 et pour tout entier naturel n, ln(an) = n ln a.
X Résolution d’une équation du type xn = k (n   et k  )
Exemple : Résolution dans ]0; + [ de l’équation x6 = 105
Les nombres x6 et 105 sont strictement positifs donc :
x6 = 105
 ln(x6) = ln(105)
 6 ln x = 5 ln 10
 ln x =
x=
𝑒
5
ln 10
6
5
6
ln 10
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