Cours Bissectrices et Equidistance

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Cours de M. JULES v 2.0
Classe de Quatrième
Contrat 8 Page 1 sur 12
BISSECTRICES ET EQUIDISTANCE
« L'étude des Mathématiques est comme le Nil, qui
commence en modestie et finit en magnificence. » Colton1
« En mathématiques, “évident” est le mot le plus dangereux. »
Eric Temple Bell2
I.
Bissectrice d’un angle (sixième). ______________________________________________________2
II. Bissectrices d’un triangle. ____________________________________________________________3
III. Trois propriétés de la bissectrice. ______________________________________________________4
IV. Reconnaître une bissectrice. __________________________________________________________7
V.
Exercices récapitulatifs. ____________________________________________________________10
VI. Pour préparer le test et le contrôle. ____________________________________________________11

Matériel usuel de géométrie : Compas, rapporteur, équerre et règle.

Pré requis pour prendre un bon départ :
A refaire
A revoir
Maîtrisé
Symétrie axiale : axe de symétrie, propriétés de conservation.
Calculs d’angles.
Bissectrices : définition.
Bissectrices : construction au rapporteur ou au compas.
Bissectrices : propriété angulaire caractéristique.
Distance d’un point à une droite.
Equidistance.
Tangente à un cercle.
1
Charles Caleb Colton (1780 – 1832) : Ecrivain anglais.
2
Eric Temple Bell (1883 1960) : Mathématicien écossais.
NOM et Prénom : …………………………………..
4ème …
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I.
Classe de Quatrième
Contrat 8 Page 2 sur 12
BISSECTRICE D’UN ANGLE (SIXIEME).
A
A. Définition de la bissectrice :
M
C
La bissectrice est l’axe de symétrie d’un secteur angulaire.
B
Figure et codage
Repasser en rouge le codage.
Par abus de langage, on dit que : « la bissectrice d'un angle est l’ ……….… de symétrie de cet angle. »
B. Construction au compas de la bissectrice d’un angle :
 Soit un angle 
xAy . On veut tracer au compas la bissectrice de cet angle.
Construction de la bissectrice en …. étapes.
 Tracer un arc de cercle de centre A.
Construction au Compas.
Traits de construction légers !
y
Codage !
Cet arc coupe le côté [Ax) en M et le côté [Ay) en N.
 Tracer 2 arcs de cercle, de même rayon qu’en , l'un de centre
M, l'autre de centre N. Ces deux arcs se recoupent en un point I.
 Tracer (AI).
A
La droite (AI) est la bissectrice de 
xAy .
Les 2 demi-droites [Ax) et [Ay) sont …………….……………...
x
par rapport à la bissectrice ……….
Remarque : Cette construction au compas de la bissectrice utilise la propriété des diagonales du losange :
« Les deux diagonales du losange sont ses deux axes de symétrie ».
 Exercice :
1. Au compas, construire en vert l’axe de symétrie de l’angle

ABC.
A
2. Comment s’appelle cette droite verte ?
C
3. Tracer [AC]. La droite verte coupe [AC] en M.
B
La bissectrice coupe-t-elle le côté [AC] en son milieu ?
Codage !
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II.
Classe de Quatrième
Contrat 8 Page 3 sur 12
BISSECTRICES D’UN TRIANGLE.
A. Bissectrices et triangle quelconque :
Puisqu’un triangle possède 3 angles, alors il y a …… bissectrices dans un triangle.
On dit aussi « bissectrice relative à un sommet » : elle passe par ce sommet du triangle.
 Figure :
1. Tracer en rouge les 3 bissectrices du triangle ci contre (codages !).
Que remarquez-vous ? …………………………………
Appelez I le point de concours (d’intersection) de ces trois bissectrices.
2. Projeter perpendiculairement I sur l’un des côtés.
Appeler M ce projeté orthogonal.
Codages !
Tracer le cercle de centre I et de rayon IM.
Ce cercle, intérieur au triangle, semble-t-il tangent aux 3 côtés du triangle ? ………..
B. Bissectrices et triangle isocèle :
Puisqu’un triangle isocèle possède (au moins) un axe de symétrie, alors la bissectrice relative au sommet
principal est en même temps médiatrice, médiane et hauteur.
 Figure : Voici un triangle isocèle ABC.
C
Tracez en rouge la seule bissectrice qui est en même temps hauteur etc.
N’oubliez pas le codage.
A
C. Bissectrices et triangle équilatéral :
B
Puisque un triangle équilatéral possède ….. axes de symétrie (il est isocèle partout !), alors les 3 bissectrices
sont en même temps ……………………...…., …………………………….., et …………………………….
 Figure : Voici un triangle équilatéral ABC dont on a tracé les trois bissectrices.
1. Montrer que (FC)
(AB).
2. Montrer que le point E est le milieu du segment [BC].
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III.
Classe de Quatrième
Contrat 8 Page 4 sur 12
TROIS PROPRIETES DE LA BISSECTRICE.
A. Propriété angulaire caractéristique de la bissectrice :
 Puisque la symétrie axiale conserve les mesures d’angles, alors on peut affirmer :
Propriété angulaire caractéristique de la bissectrice :
(……. condition ou hypothèse)

Quand (PM) est la bissectrice de l’angle AMB
(3 résultats ou conclusions)
alors



………
………. = ……… =
2
Autrement dit : Lorsque une droite est la …………………………………….…………… d’un angle, alors elle partage cet angle en
2 angles de même ……………………...
Remarque : Cette propriété est à rapprocher de la signification du mot « bissectrice » qui veut dire « bissecteur » c-à-d « qui
coupe un angle en deux secteurs (de même mesure) ».
Utilité : Cette propriété sert à prouver une égalité de …………………………………..
Figure :
B
P
P
B
Bissectrice de 
AMB
A
A
M
M
 Application : Sur la figure ci-contre, on sait que 
BUS = 56°.

 D’après le …………..…, la droite (TU) est la ….……….………….……. de ……….
B
T
 Calcul des mesures des angles 
BUT et 
TUS :
S
Puisque (TU) est …………………………..…………… de ………….
alors …..…...… = …………… =

……….…
= ……..°
.…
Exercice : Sur la figure codée ci-contre, on sait que 
BAC = 50° et 
ACB = 80°.
Trouver la mesure de 
AIC .
U
C
A
I
B
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Contrat 8 Page 5 sur 12
B. Bissectrice et équidistance :
 Puisque la symétrie axiale conserve les longueurs, alors on peut affirmer :
Propriété métrique caractéristique d’équidistance de la bissectrice :
(……. condition ou hypothèse)
(…. résultat ou conclusion)
KOL alors
Quand un point A est sur la bissectrice de l’angle 
A est équidistant des 2 côtés de 
KOL.
c-à-d AM = AN.
Autrement dit : Lorsqu’un point appartient à la ……………………………………….…… d’un angle, alors ce point est
…………………………………………….. des deux côtés de cet angle.
Utilité : Cette propriété sert à prouver une égalité de …………………………………..
Figure :
AM = AN
L
A
L
A
K
K
O
A
bissectrice de 
KOL
M
N
O
 Exercice : Soit un angle 
ABC et (BD) sa bissectrice (codage ?).
1. Projeter perpendiculairement le point D sur le côté (BA). Appeler M
ce projeté orthogonal de D sur (BA).
D
C
Projeter perpendiculairement le point D sur le côté (BC). Appeler N
ce projeté orthogonal de D sur (BC).
2. Justifier que DM = DN.
3. Tracer le cercle de rayon DM. Montrer que ce cercle est tangent au
côté (BA) puis au côté (BC) de l’angle.
B
A
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Contrat 8 Page 6 sur 12
C. Concourance des 3 bissectrices d’un triangle : Cercle inscrit.
 Grâce à la propriété métrique d’équidistance de la bissectrice (page précédente) et à sa réciproque
(p.7), on peut montrer les propriétés suivantes :
 Les 3 bissectrices d’un triangle ABC se ……………………….…….. (sont concourantes) en un point I.
 Ce point I est le centre d’un cercle intérieur au triangle ABC appelé cercle inscrit au triangle ABC.
 Ce cercle inscrit est tangent aux 3 côtés du triangle.
Autrement dit, le centre I du cercle inscrit à un triangle est équidistant des 3 côtés de ce triangle.
A
Autrement dit,
IN = IM = IP.
P
 Figure :
N
Placez tous les codages manquants.
I
C
M
B
 2 remarques :
 2 bissectrices suffisent pour construire le cercle ………………………..
 Attention : une bissectrice coupe-t-elle forcément le côté opposé en son milieu ? Oh que ……….. !
 Application :
1. Construire en rouge, à la règle et au compas, le centre K du cercle inscrit au triangle CAT ci-dessous.
2. Que peut-on dire des distances du point K à chacune des droites (AC), (AT) et (CT) ? Justifier.
3. Projeter K perpendiculairement sur les trois côtés [AT], [AC] et [CT] du triangle respectivement en P,
Q et R. Que peut-on dire des longueurs KP, KQ et KR ? Justifier.
C
4. Tracer le cercle inscrit au triangle CAT.
A
Codages !
T
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IV.
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Contrat 8 Page 7 sur 12
RECONNAITRE UNE BISSECTRICE.
A. En utilisant une égalité d’angles :
La réciproque de la propriété angulaire de la bissectrice existe :
Réciproque de la propriété angulaire caractéristique de la bissectrice :
(……. condition ou hypothèse)

BMP = 
PMA
Quand
(…….. résultat ou conclusion)

alors (MP) est la …………………...…..…. de l’angle ……….
 )
( ou 
BMP = BMA/2
Autrement dit : Lorsque 2 angles adjacents sont de ………………………………..……………….., la droite portée par le côté
commun aux 2 angles est la ………………………………………… de l’angle formé par ces 2 angles adjacents.
Utilité : Cette réciproque sert à prouver qu’une droite est la ………………..…..……….. d’un …………..
Figure :
P
B
P
B
Bissectrice de 
AMB
A
A
M

M
Conséquence : Puisque la propriété angulaire directe et sa réciproque sont vraies, on dit que cette propriété angulaire
caractérise la bissectrice. En gros, dés que vous avez une bissectrice, il faut penser à une égalité d’angles et inversement.
B. En utilisant l’équidistance d’un point par rapport à deux droites :
La réciproque de la propriété métrique d’équidistance de la bissectrice existe :
Réciproque de la propriété métrique caractéristique d’équidistance de la bissectrice :
(……. condition ou hypothèse)
(…. résultat ou conclusion)
un point A est équidistant des 2 côtés de 
KOL.
Quand
alors
A est sur la bissectrice de l’angle 
KOL
c-à-d AM = AN
Autrement dit : Lorsqu’un point est ………………………………….………….. des deux côtés d’un angle, alors ce point appartient
à la ……………………………………….…… de cet angle.
Utilité : Cette propriété sert à montrer qu’un point est sur une …………………………………..
Figure :
AM = AN
L
A
K
K
M
N
O

L
A
M
N
A
bissectrice de 
KOL
O
Conséquence : Puisque la propriété métrique directe d’équidistance et sa réciproque sont vraies, on dit que cette propriété
métrique caractérise la bissectrice. En gros, dés que vous avez une bissectrice, il faut penser à équidistance avec les côtés de
l’angle et inversement.
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Contrat 8 Page 8 sur 12
 On a un corollaire (une conséquence) important de cette réciproque de la propriété d’équidistance : la
propriété qui suit permettra, en utilisant l’équidistance d’un point par rapport aux deux côtés d’un angle, de
montrer qu’une droite est une bissectrice.
Montrer qu’une droite est la bissectrice en utilisant l’équidistance :
Quand
(……. conditions ou hypothèses)
(…. résultat ou conclusion)
une droite passe :
cette droite (OA) est la
…………………………………
 par un point A équidistant des 2 côtés de 
KOL
 et par le sommet O de l’angle 
KOL
alors
de l’angle 
KOL.
Autrement dit : Lorsqu’une droite passe par un point ……..………………………….………….. des deux ……………. d’un angle et
aussi par le ……………………………… de l’angle, alors cette droite est la ……………………………………….…… de cet angle.
Utilité : Cette propriété sert à montrer qu’une droite est une …………………………………..
Figure :
AM = AN
L
A
(AO) bissectrice de 
KOL
L
A
K
K
M
N
M
N
O
O
Plus généralement : « Lorsqu’une droite passe par deux points ……..………………………….…………..
des deux côtés d’un angle, alors cette droite est la ……………………………………….…… de cet angle. »
 Exercice : Preuve de la concourance des 3 bissectrices d’un triangle.
C
Le but de cet exercice est de prouver que les 3 bissectrices d’un triangle se coupent en un même point.
Soient donc un triangle ABC et deux de ses trois bissectrices.
La bissectrice de 
BAC et la bissectrice de 
ACB se coupent en le point I. Codages !
On va montrer que la troisième bissectrice (de 
CBA) passe aussi par ce point I.
1.
Montrer que le point I est équidistant des côtés [BA] et [BC].
2.
Montrer que la droite (BI) est une bissectrice puis conclure.
I
A
B
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C. En utilisant le centre du cercle inscrit à un triangle :
La preuve page précédente permet d’énoncer la propriété suivante :
Soit un triangle ABC et I le centre de son cercle inscrit.
Reconnaître une bissectrice d’un triangle grâce au centre de son cercle inscrit :
Quand
(……. conditions ou hypothèses)
(…….. résultat ou conclusion)
une droite passe :
 par le sommet B du triangle ABC
 et par le centre I de son cercle inscrit
(BI) est la ……..….……………...…..…...

de l’angle ……….
alors
Autrement dit : Lorsqu’une droite passe par un ………………………………………... d’un triangle et par le centre du cercle
…………………………………. à ce triangle, alors cette droite est la bissectrice relative à ce sommet du triangle.
Utilité : Cette réciproque sert à prouver qu’une droite est la ………………..………….. d’un …………..
C
C
Figure :
A
A
I
I
centre du
cercle inscrit
Bissectrice de 
ABC
(rajouter le codage)
B
B
 Exercice fondamental sur les bissectrices d’un triangle :
B
1. Tracez en rouge (BI). (BI) coupe-t-elle [AC] en son milieu ? ……..
2. Montrez que I est le centre d’un cercle tangent aux 3 côtés du
triangle ABC puis tracez ce cercle.
3. Montrez que 
ABI = 
CBA / 2.
I
A
C
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 3 remarques à propos de cet exercice fondamental sur les bissectrices d’un triangle :
 La question 2 peut être posée d’une autre manière : « Montrez que I est équidistant des côtés [AB] et
[BC]. » ou « Montrez que I est à égale distance des 3 côtés du triangle. ».
Cette question est souvent supprimée mais reste sous entendue.
 La question 3 peut être posée d’une autre manière : « Montrez que 
ABC = 2 
IBC . »
 Cet exercice de base exploite la situation classique suivante :
On part plus ou moins directement de 2 bissectrices, puis on exploite la troisième (question 3).
V.
EXERCICES RECAPITULATIFS.
A. Bissectrices et Equidistance.
 Exercice 1 : Dans chacun des cas, tracer en rouge tous les points situés à la même distance :
des deux côtés de cet angle.
de ces deux droites.
de ces deux droites.
 Exercice 2 : Laissez visible les traits de construction.
Placer l’aéroport V de telle sorte :
o
Où placer la décharge D qui doit être :
qu’il soit équidistant des routes
[AB) et [AC).
o
o
équidistante des routes [AB) et
[AC).
et en même temps équidistant des
villes B et A.
o
B
o
équidistante des lignes électriques
(AB) et (EC).
située à plus de 500 m de la route
[AC).
o
Où placer l’éolienne O qui doit être :
et à plus de 750 m de la ville E.
Repassez en violet la zone possible.
o
équidistante des villes B et C.
o
et
à
moins
de
1
km
transformateur T.
(échelle 1 cm pour 1 km).
(échelle 2 cm pour 1 km)
E
A
A
B
E
A
B
C
T
C
C
du
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 Exercice 3 : Dans chacun des cas, hachurer en rouge la zone pavillonnaire :
qui est plus proche de la route [AC) que de la route [AC).
qui est en même temps plus proche des rues [AB] et [BC]
que de la rue [AC].
B
B
A
A
C
C
 Exercices pages suivantes « cahiers Mathenpoche 4ème ».
VI.
POUR PREPARER LE TEST ET LE CONTROLE.
A. Je dois savoir :

Remplissez ce tableau :
A refaire
A revoir
Maîtrisé
Définition de la bissectrice d’un secteur angulaire.
Construction de la bissectrice au rapporteur ou au compas.
Propriété angulaire caractéristique de la bissectrice.
Propriété caractéristique d’équidistance de la bissectrice.
Concourance des bissectrices. Cercle inscrit : définition, construction.
Equidistance du centre du cercle inscrit aux trois côtés du triangle.
Exploiter la concourance des bissectrices pour en déduire des mesures d’angles.
Triangle isocèle et bissectrices.
Triangle équilatéral et bissectrices.
Aimer les bissectrices.
 Pour préparer le test et le contrôle : Livre (Diabolo Maths 4ème Hachette 2006) p.237 et 242.
B. Conseils :
 Constructions :
o Laissez les traits de construction, légers et nets.
o COULEURS + CODAGES induits par l’énoncé.
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 Calculs d’angles :
o Quand on fait des calculs d’angles dans un triangle, on écrit dans quel triangle on se place.
o Penser aux propriétés angulaires des triangles isocèles, équilatéraux.
o Penser à la propriété angulaire de la bissectrice.
 Preuves :
o Ne pas essayer de répondre en une fois aux questions mais en plusieurs étapes.
o Etre précis : isocèle où, rectangle où, bissectrice de quel angle, hauteur issue de quel sommet etc.
o Une affirmation non justifiée soit par un raisonnement soit par une donnée de l’énoncé ne vaut
RIEN !
o Revoyez les exos fondamentaux : deux droites remarquables sont données plus ou moins
directement, puis on exploite la 3ème.
C. Erreurs fréquentes :
 Un point n’est pas une droite ; attention aux notations !
 Confusion bissectrice-médiane : une bissectrice coupe ultra rarement le côté opposé en son milieu ; et
réciproquement, une médiane partage ultra rarement l’angle en deux (sauf dans les cas des triangles isocèles
ou équilatéraux).
 Inventer des hypothèses ou du codage qui nous arrangent.
 Inventer des théorèmes.
D. Fiche de révision à faire :
Quel est l’intitulé du prochain contrat ? …………………………………………………….
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