Cours Bissectrices et Equidistance

Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 1 sur 12
NOM et Prénom : ………………………………….. 4ème …
BISSECTRICES ET EQUIDISTANCE
« L'étude des Mathématiques est comme le Nil, qui
commence en modestie et finit en magnificence. » Colton1
« En mathématiques, “évident” est le mot le plus dangereux. »
Eric Temple Bell2
I. Bissectrice d’un angle (sixième). ______________________________________________________2
II. Bissectrices d’un triangle. ____________________________________________________________3
III. Trois propriétés de la bissectrice. ______________________________________________________4
IV. Reconnaître une bissectrice. __________________________________________________________7
V. Exercices récapitulatifs. ____________________________________________________________10
VI. Pour préparer le test et le contrôle. ____________________________________________________11
 Matériel usuel de géométrie : Compas, rapporteur, équerre et règle.
 Pré requis pour prendre un bon départ :
A refaire
A revoir
Maîtrisé
Symétrie axiale : axe de symétrie, propriétés de conservation.
Calculs d’angles.
Bissectrices : définition.
Bissectrices : construction au rapporteur ou au compas.
Bissectrices : propriété angulaire caractéristique.
Distance d’un point à une droite.
Equidistance.
Tangente à un cercle.
1 Charles Caleb Colton (1780 – 1832) : Ecrivain anglais.
2 Eric Temple Bell (1883 1960) : Mathématicien écossais.

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I. BISSECTRICE D’UN ANGLE (SIXIEME).
A. Définition de la bissectrice :
La bissectrice est l’axe de symétrie d’un secteur angulaire.
Repasser en rouge le codage.
Par abus de langage, on dit que : « la bissectrice d'un angle est l’ ……….… de symétrie de cet angle. »
B. Construction au compas de la bissectrice d’un angle :
 Soit un angle  xAy . On veut tracer au compas la bissectrice de cet angle.
Construction de la bissectrice en …. étapes.
Construction au Compas.
 Tracer un arc de cercle de centre A.
Cet arc coupe le côté [Ax) en M et le côté [Ay) en N.
 Tracer 2 arcs de cercle, de même rayon qu’en , l'un de centre
M, l'autre de centre N. Ces deux arcs se recoupent en un point I.
 Tracer (AI). La droite (AI) est la bissectrice de  xAy .
Les 2 demi-droites [Ax) et [Ay) sont …………….……………...
par rapport à la bissectrice ……….
Traits de construction légers !
Codage !
Remarque : Cette construction au compas de la bissectrice utilise la propriété des diagonales du losange :
« Les deux diagonales du losange sont ses deux axes de symétrie ».
 Exercice :
1. Au compas, construire en vert l’axe de symétrie de l’angle
ABC.
2. Comment s’appelle cette droite verte ?
3. Tracer [AC]. La droite verte coupe [AC] en M.
La bissectrice coupe-t-elle le côté [AC] en son milieu ?
Codage !
x
A
y
C
M
A
B
Figure et codage
C
B
A

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II. BISSECTRICES D’UN TRIANGLE.
A. Bissectrices et triangle quelconque :
Puisqu’un triangle possède 3 angles, alors il y a …… bissectrices dans un triangle.
On dit aussi « bissectrice relative à un sommet » : elle passe par ce sommet du triangle.
 Figure :
1. Tracer en rouge les 3 bissectrices du triangle ci contre (codages !).
Que remarquez-vous ? …………………………………
Appelez I le point de concours (d’intersection) de ces trois bissectrices.
2. Projeter perpendiculairement I sur l’un des côtés.
Appeler M ce projeté orthogonal.
Tracer le cercle de centre I et de rayon IM.
Ce cercle, intérieur au triangle, semble-t-il tangent aux 3 côtés du triangle ? ………..
B. Bissectrices et triangle isocèle :
Puisqu’un triangle isocèle possède (au moins) un axe de symétrie, alors la bissectrice relative au sommet
principal est en même temps médiatrice, médiane et hauteur.
 Figure : Voici un triangle isocèle ABC.
Tracez en rouge la seule bissectrice qui est en même temps hauteur etc.
N’oubliez pas le codage.
C. Bissectrices et triangle équilatéral :
Puisque un triangle équilatéral possède ….. axes de symétrie (il est isocèle partout !), alors les 3 bissectrices
sont en même temps ……………………...…., …………………………….., et …………………………….
 Figure : Voici un triangle équilatéral ABC dont on a tracé les trois bissectrices.
1. Montrer que (FC) (AB).
2. Montrer que le point E est le milieu du segment [BC].
Codages !
B
C
A

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III. TROIS PROPRIETES DE LA BISSECTRICE.
A. Propriété angulaire caractéristique de la bissectrice :
 Puisque la symétrie axiale conserve les mesures d’angles, alors on peut affirmer :
Propriété angulaire caractéristique de la bissectrice :
(……. condition ou hypothèse)
(3 résultats ou conclusions)
Quand
(PM) est la bissectrice de l’angle  AMB
alors
………. =  ……… =
………
2
Autrement dit : Lorsque une droite est la …………………………………….…………… d’un angle, alors elle partage cet angle en
2 angles de même ……………………...
Remarque : Cette propriété est à rapprocher de la signification du mot « bissectrice » qui veut dire « bissecteur » c-à-d « qui
coupe un angle en deux secteurs (de même mesure) ».
Utilité : Cette propriété sert à prouver une égalité de …………………………………..
Figure :
 Application : Sur la figure ci-contre, on sait que  BUS = 56°.
 D’après le …………..…, la droite (TU) est la ….……….………….……. de  ……….
 Calcul des mesures des angles  BUT et  TUS :
Puisque (TU) est …………………………..…………… de ………….
alors …..…...… = …………… = ……….…
.… = ……..°
 Exercice : Sur la figure codée ci-contre, on sait que  BAC = 50° et  ACB = 80°.
Trouver la mesure de  AIC .
A
M
B
P
Bissectrice de  AMB
A
M
B
P
S
U
B
T
A
B
C
I

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C
BA
D
B. Bissectrice et équidistance :
 Puisque la symétrie axiale conserve les longueurs, alors on peut affirmer :
Propriété métrique caractéristique d’équidistance de la bissectrice :
(……. condition ou hypothèse)
(…. résultat ou conclusion)
Quand
un point A est sur la bissectrice de l’angle  KOL
alors
A est équidistant des 2 côtés de  KOL.
c-à-d AM = AN.
Autrement dit : Lorsqu’un point appartient à la ……………………………………….…… d’un angle, alors ce point est
…………………………………………….. des deux côtés de cet angle.
Utilité : Cette propriété sert à prouver une égalité de …………………………………..
Figure :
 Exercice : Soit un angle  ABC et (BD) sa bissectrice (codage ?).
1. Projeter perpendiculairement le point D sur le côté (BA). Appeler M
ce projeté orthogonal de D sur (BA).
Projeter perpendiculairement le point D sur le côté (BC). Appeler N
ce projeté orthogonal de D sur (BC).
2. Justifier que DM = DN.
3. Tracer le cercle de rayon DM. Montrer que ce cercle est tangent au
côté (BA) puis au côté (BC) de l’angle.
AM = AN
A bissectrice de  KOL
K
O
L
A
K
O
L
A
M
N