Yves IV - Heitiare MALINOWSKI - Lycée Polyvalent de Taaone

Yves IV - Heitiare MALINOWSKI - Lycée Polyvalent de Taaone
Devoir surveillé n1
Classe TS 2 & 3 (le 07-09-2013)
Exercice 1 Question de cours : Soient deux événements Aet B: Démontrer que si Aet Bsont
indépendants, alors Aet Ble sont aussi.
Dans la suite de cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.
Partie A
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80% de ses boîtes chez le
fournisseur A et 20% chez le fournisseur B.
10% des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20% de celles provenant
du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :
- évènement A: « la boîte provient du fournisseur A » ;
- évènement B: « la boîte provient du fournisseur B » ;
- évènement S: « la boîte présente des traces de pesticides » .
1) Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
2) a) Quelle est la probabilité de l’évènement B\S?
b) Justi…er que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0;88.
3) On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
Partie B
Le gérant d’un salon de thé achète 10 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce
dernier est su¢ samment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec
remise.
On considère la variable aléatoire Xqui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans
trace de pesticides.
1) Justi…er que la variable aléatoire Xsuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2) Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.
3) Calculer la probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.
Exercice 2 Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35%
des plants proviennent de l’horticulteur h1, 25% de l’horticulteur h2et le reste de l’horticulteur h3. Chaque
horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l’horticulteur h1comporte 80% de conifères alors que celle de l’horticulteur h2n’en comporte
que 50% et celle de l’horticulteur h3seulement 30%.
1) Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
On envisage les événements suivants :
H1: « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h1» ,
H2: « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h2» ,
H3: « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h3» ,
C: « l’arbre choisi est un conifère » ,
F: « l’arbre choisi est un arbre feuillu » .
a) Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
b) Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur h3.
c) Justi…er que la probabilité de l’évènement Cest égale à 0,525.
d) L’arbre choisi est un conifère.
Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur h1? On arrondira à 103.
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2) On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce
stock est su¢ samment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres
dans le stock.
On appelle Xla variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.
a) Justi…er que Xsuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à
103.
c) Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à
103.
Exercice 3 On considère la suite (un)dé…nie par u0=1
2et telle que pour tout entier naturel n,
un+1 =3un
1+2un
1) a) Calculer u1et u2:
b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n,0< un.
2) On admet que pour tout entier naturel n,un<1.
Démontrer que la suite (un)est croissante.
3) Soit (vn)la suite dé…nie, pour tout entier naturel n, par vn=un
1un
.
a) Montrer que la suite (vn)est une suite géométrique de raison 3.
b) Exprimer pour tout entier naturel n,vnen fonction de n.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n,un=3n
3n+ 1.
Exercice 4 Soient deux suites (un)et (vn)dé…nies par :
uo= 1 ; v0= 2 ,un+1 = 3un+ 2vnet vn+1 = 2un+ 3vnpour tout n2N:
1) Calculer vouo,v1u1et v2u2:
2) Montrer que la suite de terme général vnunest constante.
3) En déduire que pour tout n2N, on a : un+1 = 5un+ 2:
4) a) Déterminer le réel pour que la suite de terme général xn=un+; soit une suite géométrique.
b) Calculer ensuite xnen fonction de n: En déduire alors unet vnen fonction de n:
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