Yves IV - Heitiare MALINOWSKI - Lycée Polyvalent de Taaone

Yves IV - Heitiare MALINOWSKI - Lycée Polyvalent de Taaone
Devoir surveillé n 1
Classe TS 2 & 3 (le 07-09-2013)
Exercice 1 Question de cours : Soient deux événements A et B: Démontrer que si A et B sont
indépendants, alors A et B le sont aussi.
Dans la suite de cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.
Partie A
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80% de ses boîtes chez le
fournisseur A et 20% chez le fournisseur B.
10% des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20% de celles provenant
du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :
- évènement A : « la boîte provient du fournisseur A » ;
- évènement B : « la boîte provient du fournisseur B » ;
- évènement S : « la boîte présente des traces de pesticides » .
1) Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
2) a) Quelle est la probabilité de l’évènement B \ S ?
b) Justi…er que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0; 88.
3) On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
Partie B
Le gérant d’un salon de thé achète 10 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce
dernier est su¢ samment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec
remise.
On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans
trace de pesticides.
1) Justi…er que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2) Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.
3) Calculer la probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.
Exercice 2 Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35%
des plants proviennent de l’horticulteur h1 , 25% de l’horticulteur h2 et le reste de l’horticulteur h3 . Chaque
horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l’horticulteur h1 comporte 80% de conifères alors que celle de l’horticulteur h2 n’en comporte
que 50% et celle de l’horticulteur h3 seulement 30%.
1) Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
On envisage les événements suivants :
H1 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h1 » ,
H2 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h2 » ,
H3 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur h3 » ,
C : « l’arbre choisi est un conifère » ,
F : « l’arbre choisi est un arbre feuillu » .
a) Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
b) Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur h3 .
c) Justi…er que la probabilité de l’évènement C est égale à 0,525.
d) L’arbre choisi est un conifère.
Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur h1 ? On arrondira à 10 3 .
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2) On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce
stock est su¢ samment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres
dans le stock.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.
a) Justi…er que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à
3
10 .
c) Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à
3
10 .
1
Exercice 3 On considère la suite (un ) dé…nie par u0 = et telle que pour tout entier naturel n,
2
3un
un+1 =
1 + 2un
1) a) Calculer u1 et u2 :
b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 < un .
2) On admet que pour tout entier naturel n, un < 1.
Démontrer que la suite (un ) est croissante.
un
3) Soit (vn ) la suite dé…nie, pour tout entier naturel n, par vn =
.
1 un
a) Montrer que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison 3.
b) Exprimer pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.
3n
c) En déduire que, pour tout entier naturel n, un = n
.
3 +1
Exercice 4 Soient deux suites (un ) et (vn ) dé…nies par :
uo = 1
;
v0 = 2
,
un+1 = 3un + 2vn
et
vn+1 = 2un + 3vn
pour tout n 2 N:
1) Calculer vo uo , v1 u1 et v2 u2 :
2) Montrer que la suite de terme général vn un est constante.
3) En déduire que pour tout n 2 N , on a : un+1 = 5un + 2:
4) a) Déterminer le réel pour que la suite de terme général xn = un + ; soit une suite géométrique.
b) Calculer ensuite xn en fonction de n: En déduire alors un et vn en fonction de n:
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