BAC BLANC 2014 MATHÉMATIQUES

BAC BLANC 2014
MATHÉMATIQUES
SUJET DE SPÉCIALITÉ
Lycée Marcelin Berthelot
Saint-Maur-des-Fossés
Le sujet comporte quatre exercices indépendants.
L’usage de la calculatrice est autorisé. Le prêt de calculatrices entre les élèves est interdit.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l’appréciation des copies.
Toute trace de recherche, même inaboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.
Exercice 1 — 6 points
Partie A – R.O.C.
Prérequis : on admet que :
– la fonction exponentielle est l’unique fonction définie et dérivable sur R, égale à sa dérivée et prenant la
valeur 1 en 0 ;
– la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
Prouver que pour tout réel x, ex ≥ x. En déduire que :
lim ex = +∞
x→+∞
Partie B – Étude d’une fonction auxiliaire g
La fonction g est définie sur R par :
g(x) = 2ex + 2x − 7
1. Étudier les limites de g en −∞ et en +∞.
2. Étudier le sens de variation de la fonction g sur R et dresser son tableau de variations.
3. Justifier que l’équation g(x) = 0 admet dans R une solution unique α telle que :
0, 94 < α < 0, 941
4. Étudier le signe de g sur R.
Partie C – Étude d’une fonction f
La fonction f est définie sur R par :
f (x) = (2x − 5) 1 − e−x
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O ,~ı , ~).
1. Étudier les limites de f en −∞ et +∞.
2. Calculer f ′ (x), où f ′ désigne la fonction dérivée de f et vérifier que f ′ (x) et g(x) ont le même signe.
Dresser le tableau de variations de f .
(2α − 5)2
.
3. (a) Démontrer l’égalité f (α) =
2α − 7
(2x − 5)2
5
(b) Étudier le sens de variations de la fonction h : x 7→
sur l’intervalle −∞ ; .
2x − 7
2
(c) En déduire, à partir de l’encadrement de α déterminé dans la partie A, un encadrement d’amplitude 10−2 de f (α).
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Exercice 2 — 5 points
Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l’horticulteur H1 , 25 % de l’horticulteur H2 et le reste de l’horticulteur H3 . Chaque horticulteur
livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres feuillus.
La livraison de l’horticulteur H1 comporte 80 % de conifères alors que celle de l’horticulteur H2 n’en comporte
que 50 % et celle de l’horticulteur H3 seulement 30 %.
1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans
suivants :
– H1 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H1
– H2 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H2
– H3 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H3
– C : « l’arbre choisi est un conifère »,
– F : « l’arbre choisi est un arbre feuillu ».
son stock. On envisage les évènements
»,
»,
»,
(a) Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
(b) Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3 .
(c) Justifier que la probabilité de l’événement C est égale à 0, 525.
(d) L’arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H1 ?
On arrondira à 10−3 .
2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que
ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de
10 arbres dans le stock.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.
(a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
(b) Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ?
On arrondira à 10−3 .
(c) Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
On arrondira à 10−3 .
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Exercice 3 Q.C.M. — 4 points
Pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Les réponses fausses et les absences de réponse valent 0 point.
Vous répondrez sur votre copie en indiquant uniquement le numéro de la question et la lettre
correspondant à votre réponse.
On a tracé ci-dessous la courbe représentative Cf d’une fonction f définie sur R ainsi que sa tangente au
point A d’abscisse 2. L’axe des abscisses est asymptote à Cf en −∞.
6
S
4
2
A
−20 −18 −16 −14 −12 −10
−8
−6
−4
2
−2
−2
4
−4
Graphique 1
1. Parmi les 4 courbes représentées ci-dessous, laquelle représente la fonction dérivée de la fonction f ?
a.
b.
4
6
4
2
-8
-6
-2 0
-2
-4
2
4
6
2
8
-4
-2 0
-2
-6
-4
c.
-10 -8
-6
-4
d.
6
-4
-2 0
-2
6
2
4
6
2
2
-6
4
4
4
-12 -10 -8
2
-10 -8
2
-6
-4
4
-2 0
-2
-4
-6
-4
2. Soit la fonction g définie pour tout réel x par g(x) = ef (x) , où f est la fonction représentée sur le
Graphique 1. Par lecture graphique, on a :
a. lim g(x) = +∞
x→−∞
b. lim g(x) = −∞
x→−∞
c. lim g(x) = 1
x→−∞
d. lim g(x) = 0
x→−∞
3. Soit n un entier naturel. L’égalité (1 + i)4n = (−4)n est vraie :
a. seulement si n = 0
b. pour tout n
c. seulement si n est pair
d. seulement si n est multiple de 4
4. Les solutions, dans C, de l’équation (z − 4)(z 2 − 4z + 8) = 0 sont les affixes des sommets d’un triangle
dont l’aire vaut :
a. 4
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b. 8
c. 12
d. 16
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Exercice 4 — 5 points
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
A et X sont des nombres entiers
Saisir un entier positif A
Affecter à X la valeur de A
Tant que X supérieur ou égal à 26
Affecter à X la valeur X - 26
Fin du tant que
Afficher X
1. Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ?
2. Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ?
3. Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme ?
Partie B
On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :
• Étape 1 : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :
A
0
N
13
B
1
O
14
C
2
P
15
D
3
Q
16
E
4
R
17
x1
x2
On obtient une matrice colonne
!
deuxième lettre du! mot.
x1
est transformé en
• Étape 2 :
x2
F
5
S
18
!
La matrice C =
• Étape 3 :
y1
y2
!
• Étape 4 :
dans l’étape 1.
!
I
8
V
21
J
9
W
22
K
10
X
23
L
11
Y
24
M
12
Z
25
y1
y2
!
tel que
!
=
!
3 1
5 2
x1
x2
!
est appelée la matrice de codage.
est transformé en
(
z1
z2
H
7
U
20
où x1 correspond à la première lettre du mot et x2 correspond à la
y1
y2
3 1
5 2
G
6
T
19
z1
z2
!
tel que
z1 ≡ y1 (26) avec 0 6 z1 6 25
z2 ≡ y2 (26) avec 0 6 z2 6 25
est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné
Exemple :!
!
!
17
55
3
RE →
→
→
→ DP
4
93
15
Le bloc RE est donc codé en DP
Justifier le passage de
1. Soient x1 , x2 ,
x′1 ,
!
17
4
x′2
à
!
55
93
puis à
!
3
.
15
quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que
transformés lors du procédé de codage en
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x1
x2
!
et
x′1
x′2
!
sont
!
z1
.
z2
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(
(a) Montrer que
3x1 + x2 ≡ 3x′1 + x′2 (26)
5x1 + 2x2 ≡ 5x′1 + 2x′2 (26).
(b) En déduire que x1 ≡ x′1
(26) et x2 ≡ x′2
(26) puis que x1 = x′1 et x2 = x′2 .
2. On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP :
!
2 −1
(a) Vérifier que la matrice C ′ =
−5 3
!
(b) Calculer
y1
y2
(c) Calculer
x1
x2
!
y1
y2
tels que
tels que
(
!
est la matrice inverse de C.
!
2 −1
−5 3
=
x1 ≡ y1
x2 ≡ y2
!
3
.
15
(26) avec 0 6 x1 6 25
(26) avec 0 6 x2 6 25
(d) Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?
3. Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage.
On considère un bloc de deux lettres et on appelle z1 et z2 les deux entiers compris entre 0 et 25
associés à ces lettres à l’étape 3.!On cherche à trouver deux entiers x1 et x2 compris entre 0 et 25 qui
z1
par les étapes 2 et 3 du procédé de codage.
donnent la matrice colonne
z2
Soient
y1′
et
y2′
tels que
y1′
y2
!
=C
′
z1
z2
!
Soient x1 et x2 , les nombres entiers tels que
Montrer que
(
3x1 + x2 ≡ z1
5x1 + 2x2 ≡ z2
!
2 −1
où C =
.
−5 3
′
(
x1 ≡ y1′
x2 ≡ y2′
(26) avec 0 6 x1 6 25
(26) avec 0 6 x2 6 25
(26)
.
(26).
Conclure.
4. Décoder QC.
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