BAC BLANC 2014 MATHÉMATIQUES

BAC BLANC 2014
MATHÉMATIQUES
SUJET DE SPÉCIALITÉ
Lycée Marcelin Berthelot
Saint-Maur-des-Fossés
Le sujet comporte quatre exercices indépendants.
L’usage de la calculatrice est autorisé. Le prêt de calculatrices entre les élèves est interdit.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l’appréciation des copies.
Toute trace de recherche, même inaboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.

Exercice 1 —6 points
Partie A – R.O.C.
Prérequis : on admet que :
– la fonction exponentielle est l’unique fonction définie et dérivable sur R, égale à sa dérivée et prenant la
valeur 1 en 0 ;
– la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
Prouver que pour tout réel x,ex≥x. En déduire que :
lim
x→+∞ex= +∞
Partie B – Étude d’une fonction auxiliaire g
La fonction gest définie sur Rpar :
g(x) = 2ex+ 2x−7
1. Étudier les limites de gen −∞ et en +∞.
2. Étudier le sens de variation de la fonction gsur Ret dresser son tableau de variations.
3. Justifier que l’équation g(x) = 0 admet dans Rune solution unique αtelle que :
0,94 < α < 0,941
4. Étudier le signe de gsur R.
Partie C – Étude d’une fonction f
La fonction fest définie sur Rpar :
f(x) = (2x−5) 1−e−x
On note Cla courbe représentative de la fonction fdans un repère orthonormal (O ,~ı , ~).
1. Étudier les limites de fen −∞ et +∞.
2. Calculer f′(x), où f′désigne la fonction dérivée de fet vérifier que f′(x) et g(x) ont le même signe.
Dresser le tableau de variations de f.
3. (a) Démontrer l’égalité f(α) = (2α−5)2
2α−7.
(b) Étudier le sens de variations de la fonction h:x7→ (2x−5)2
2x−7sur l’intervalle −∞ ;5 2.
(c) En déduire, à partir de l’encadrement de αdéterminé dans la partie A, un encadrement d’am-
plitude 10−2de f(α).
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Exercice 2 —5 points
Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants pro-
viennent de l’horticulteur H1, 25 % de l’horticulteur H2et le reste de l’horticulteur H3. Chaque horticulteur
livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres feuillus.
La livraison de l’horticulteur H1comporte 80 % de conifères alors que celle de l’horticulteur H2n’en comporte
que 50 % et celle de l’horticulteur H3seulement 30 %.
1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les évènements
suivants :
–H1: « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H1»,
–H2: « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H2»,
–H3: « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H3»,
–C: « l’arbre choisi est un conifère »,
–F: « l’arbre choisi est un arbre feuillu ».
(a) Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
(b) Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3.
(c) Justifier que la probabilité de l’événement Cest égale à 0,525.
(d) L’arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H1?
On arrondira à 10−3.
2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que
ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de
10 arbres dans le stock.
On appelle Xla variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.
(a) Justifier que Xsuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
(b) Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ?
On arrondira à 10−3.
(c) Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
On arrondira à 10−3.
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Exercice 3 Q.C.M. —4 points
Pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Les réponses fausses et les absences de réponse valent 0 point.
Vous répondrez sur votre copie en indiquant uniquement le numéro de la question et la lettre
correspondant à votre réponse.
On a tracé ci-dessous la courbe représentative Cfd’une fonction fdéfinie sur Rainsi que sa tangente au
point A d’abscisse 2. L’axe des abscisses est asymptote à Cfen −∞.
2
4
6
−2
−4
2 4−2−4−6−8−10−12−14−16−18−20
S
A
Graphique 1
1. Parmi les 4 courbes représentées ci-dessous, laquelle représente la fonction dérivée de la fonction f?
2
4
-2
-4
-6
2 4 6 8-2-4-6-8
a.
02
4
6
-2
-4
2 4 6-2-4-6-8-10
b.
0
2
4
6
-2
-4
2 4-2-4-6-8-10-12
c.
0
2
4
-2
-4
-6
2 4 6-2-4-6-8-10
d.
0
2. Soit la fonction gdéfinie pour tout réel xpar g(x) = ef(x), où fest la fonction représentée sur le
Graphique 1. Par lecture graphique, on a :
a. lim
x→−∞ g(x) = +∞b. lim x→−∞ g(x) = −∞ c. lim x→−∞ g(x) = 1 d. lim x→−∞ g(x) = 0
3. Soit nun entier naturel. L’égalité (1 + i)4n= (−4)nest vraie :
a. seulement si n= 0 b. pour tout nc. seulement si nest pair d. seulement si nest multiple de 4
4. Les solutions, dans C, de l’équation (z−4)(z2−4z+ 8) = 0 sont les affixes des sommets d’un triangle
dont l’aire vaut :
a. 4b. 8c. 12 d. 16
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Exercice 4 —5 points
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
A et X sont des nombres entiers
Saisir un entier positif A
Affecter à X la valeur de A
Tant que X supérieur ou égal à 26
Affecter à X la valeur X - 26
Fin du tant que
Afficher X
1. Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ?
2. Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ?
3. Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme ?
Partie B
On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :
•Étape 1 : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
On obtient une matrice colonne x1
x2!où x1correspond à la première lettre du mot et x2correspond à la
deuxième lettre du mot.
•Étape 2 : x1
x2!est transformé en y1
y2!tel que
y1
y2!= 3 1
5 2! x1
x2!
La matrice C= 3 1
5 2!est appelée la matrice de codage.
•Étape 3 : y1
y2!est transformé en z1
z2!tel que
(z1≡y1(26) avec 0 6z1625
z2≡y2(26) avec 0 6z2625
•Étape 4 : z1
z2!est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné
dans l’étape 1.
Exemple :
RE → 17
4!→ 55 93!→ 3 15!→DP
Le bloc RE est donc codé en DP
Justifier le passage de 17
4!à 55 93!puis à 3 15!.
1. Soient x1, x2, x′
1, x′ 2quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que x1
x2!et x′
1
x′
2!sont
transformés lors du procédé de codage en z1
z2!.
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