Activité On considère deux solides. Le premier est un cube de côté 2x dm et le second est un parallélépipède rectangle de dimensions (2x + 1) dm, 1 dm et 1 dm où x est un nombre réel strictement positif. Existe-t-il une valeur de x pour laquelle les deux solides ont le même volume ? Un scénario Partie A : modélisation 1. Montrer que le problème se ramène à résoudre une équation de la forme fonction définie sur [0 ; + ∞ [ que l’on déterminera. f x =0 où f est une 2. En vous appuyant sur la représentation graphique de la fonction f, expliquer pourquoi l'équation admet sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ une unique solution. En donner un encadrement entre deux entiers. Partie B : Un algorithme décrivant une approche graphique On considère l'algorithme suivant : Initialisation Construire la courbe représentative de la fonction f sur [0;1] Créer les points A0, f 0 et B1, f 1 Traitement Tant que la différence, abscisse de B – abscisse de A, est supérieur à 10−1 Construire le point C de la courbe dont l'abscisse est la demi-somme des abscisses de A et de B Si C et A sont du même côté de l'axe des abscisses, faire jouer à C le rôle de A Sinon faire jouer à C le rôle de B Sortie Afficher les abscisses des points A et B Faire fonctionner cet algorithme. Que fait cet algorithme ? Comment traduire numériquement « si C et A sont du même côté de l'axe des abscisses » ? Partie C : Un algorithme décrivant une approche numérique On considère l'algorithme suivant : Entrée Introduire un nombre entier naturel n La fonction f ? Initialisation Affecter à N la valeur n Affecter à a la valeur 0 Affecter à b la valeur 1 Traitement Tant que 10−n ab 2 affecter à p le produit f a × f c si p0 alors affecter à a la valeur c sinon affecter à b la valeur c affecter à c la valeur Sortie Afficher a Afficher b 1. On fait fonctionner cet algorithme pour n = 1. Compléter le tableau c Signe de p Test sur p initialisation a b b−a 0 1 1 vrai Test sur b−a 0,5 positif vrai 0,5 1 0,5 vrai 0,75 négatif faux 0,5 0,75 0,25 vrai 0,625 positif vrai 0,625 0,75 0,125 vrai 0,6875 négatif faux 0,625 0,6875 0,0625 faux 2. Cet algorithme détermine un encadrement de la solution de l'équation f x =0 sur l'intervalle [0,1]. Quelle influence le nombre entier n introduit au début de l'algorithme a-t-il sur l'encadrement obtenu ? Combien de fois le test b−a10−n de l'algorithme est-il effectué pour obtenir un encadrement d'amplitude 10−3 ? Partie D : Implémentation de l'algorithme décrivant une approche numérique par exemple sur calculatrice Partie B Méthode 1 L'élève construit la courbe de la fonction f. L'élève construit les points A et B de la courbe L'élève construit le point C L'élève renomme A, le point C L'élève recommence (il verra la nécessité de « copier coller » ce qu'il a écrit dans la zone de saisie) --> notion d'instructions répétées et de test(s) Méthode 2 L'élève construit la courbe de la fonction f. L'élève construit deux points libres A et B sur la courbe L'élève construit le point C L'élève construit un outil : objets initiaux la fonction f, le point A, le point B objets finaux le point C L'élève efface tout sauf la courbe L'élève introduit A(1,f(1)) et B(0,f(0)) puis utilise l'outil et renomme à chaque fois le point C, A ou B selon le critère demandé Il peut utiliser le zoom pour voir ce qui se passe Pour aller plus loin (encadrement d'amplitude 10−3 fichier dicho : outil nommé 1 Une animation prof fichier dicho : outil nommé « dichotomie »