Exemple d`algorithme donné - Espace Educatif

Activité
On considère deux solides. Le premier est un cube de côté 2x dm et le second est un parallélépipède
rectangle de dimensions (2x + 1) dm, 1 dm et 1 dm où x est un nombre réel strictement positif.
Existe-t-il une valeur de x pour laquelle les deux solides ont le même volume ?
Un scénario
Partie A : modélisation
1. Montrer que le problème se ramène à résoudre une équation de la forme
fx=0
où f est une
fonction définie sur [0 ; + ∞ [ que l’on déterminera.
2. En vous appuyant sur la représentation graphique de la fonction f, expliquer pourquoi l'équation
admet sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ une unique solution. En donner un encadrement entre deux entiers.
Partie B : Un algorithme décrivant une approche graphique
On considère l'algorithme suivant :
Initialisation
Construire la courbe représentative de la fonction f sur [0;1]
Créer les points
A0, f0
et
B1, f1
Traitement
Tant que la différence, abscisse de B – abscisse de A, est supérieur à
10−1
Construire le point C de la courbe dont l'abscisse est la demi-somme des abscisses de A et de B
Si C et A sont du même côté de l'axe des abscisses,
faire jouer à C le rôle de A
Sinon faire jouer à C le rôle de B
Sortie
Afficher les abscisses des points A et B
Faire fonctionner cet algorithme.
Que fait cet algorithme ?
Comment traduire numériquement « si C et A sont du même côté de l'axe des abscisses » ?
Partie C : Un algorithme décrivant une approche numérique
On considère l'algorithme suivant :
Entrée
Introduire un nombre entier naturel n
La fonction f ?
Initialisation
Affecter à N la valeur n
Affecter à a la valeur 0
Affecter à b la valeur 1
Traitement

Tant que
10−n
affecter à c la valeur
ab
2
affecter à p le produit
fa× fc
si
p0
alors affecter à a la valeur c
sinon affecter à b la valeur c
Sortie
Afficher a
Afficher b
1. On fait fonctionner cet algorithme pour n = 1. Compléter le tableau
cSigne de pTest sur p a b
b−a
Test sur
b−a
initialisation 0 1 1 vrai
0,5 positif vrai 0,5 1 0,5 vrai
0,75 négatif faux 0,5 0,75 0,25 vrai
0,625 positif vrai 0,625 0,75 0,125 vrai
0,6875 négatif faux 0,625 0,6875 0,0625 faux
2. Cet algorithme détermine un encadrement de la solution de l'équation
fx=0
sur l'intervalle [0,1].
Quelle influence le nombre entier n introduit au début de l'algorithme a-t-il sur l'encadrement obtenu ?
Combien de fois le test
b−a10−n
de l'algorithme est-il effectué pour obtenir un encadrement
d'amplitude
10−3
?
Partie D : Implémentation de l'algorithme décrivant une approche numérique par exemple
sur calculatrice
Partie B

Méthode 1
L'élève construit la courbe de la fonction f.
L'élève construit les points A et B de la courbe
L'élève construit le point C
L'élève renomme A, le point C
L'élève recommence (il verra la nécessité de « copier coller » ce qu'il a écrit dans la zone de saisie)
--> notion d'instructions répétées et de test(s)
Méthode 2
L'élève construit la courbe de la fonction f.
L'élève construit deux points libres A et B sur la courbe
L'élève construit le point C
L'élève construit un outil : objets initiaux la fonction f, le point A, le point B
objets finaux le point C
L'élève efface tout sauf la courbe
L'élève introduit A(1,f(1)) et B(0,f(0))
puis utilise l'outil et renomme à chaque fois le point C, A ou B selon le critère demandé
Il peut utiliser le zoom pour voir ce qui se passe
Pour aller plus loin (encadrement d'amplitude
10−3
fichier dicho : outil nommé 1
Une animation prof
fichier dicho : outil nommé « dichotomie »