Quelques jouets scientifiques

Journées UdPPC
26 – 29 Octobre
2007
Paris
QUELQUES JOUETS
SCIENTIFIQUES
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I. Le chariot chinois
« Cinématique du solide et du contact, roulement sans glissement »
Le chariot chinois (« south pointing chariot ») est, a priori, un ancien système de navigation
(l’ancêtre du GPS !).
Il s’agit d’un chariot à deux roues qui porte un personnage dont un bras indique une direction
fixe par rapport au sol quel que soit le mouvement du chariot (dans l’hypothèse d’un
roulement sans glissement des roues du chariot sur un sol horizontal).
Ce système est l’un des plus anciens des systèmes régulés, il aurait été inventé en Chine il y a
plus de mille ans.
différentiel
Fig.1 – Un chariot chinois
L’élément de base du système est un « différentiel », dispositif bien connu des automobilistes
et qui permet aux deux roues motrices d’un véhicule d’avoir des vitesses angulaires
différentes lorsque le véhicule effectue un virage. Grâce au différentiel on peut déterminer au
sein du véhicule sa vitesse angulaire ωC par rapport au sol lors d’un virage.
En effet dans un tel mouvement, les deux roues ne tournent pas à la même vitesse angulaire et
la différence de ces vitesses est proportionnelle à ωC. Le différentiel permet justement
d’accéder à cette différence et donc à ωC. Reste à faire tourner le personnage par rapport au
chariot à la vitesse angulaire opposée – ωC. Ainsi le personnage reste-t-il fixe par rapport au
sol.
On peut évidemment douter de l’utilisation pratique d’un tel système !
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II. Des balles qui rebondissent plus ou moins
« Conservation de la quantité de mouvement, chocs élastique et
inélastiques »
On dispose de deux balles d’apparence pratiquement identique : couleur ( !), rayon, masse.
Par contre l’une rebondit bien alors que l’autre ne rebondit pratiquement pas.
rebond
Fig.2 – Balles (happy and sad balls)
On illustre ainsi la différence entre les chocs élastiques où l’énergie cinétique sera conservée
et les chocs inélastiques ou cette énergie est transformée en énergie interne.
Ces balles sont constituées de polymères, matériau dont le comportement dépend beaucoup de
la température. En dessous de la température de transition vitreuse Tg le matériau se comporte
comme un « solide amorphe » (vitreux ) alors qu’au dessus de Tg il se comporte comme un
« solide élastique » (caoutchouc).
Pour la balle qui rebondit bien (polychloroprène) : Tg (- 42°C) < T (ambiante) le matériau
a un comportement « élastique » et la dissipation d’énergie est faible. Lors du choc les
molécules se déplacent peu les unes par rapport aux autres et de manière ordonnée.
Pour la balle qui ne rebondit pas (polynorbonène) : Tg (35°C) ≈ T(ambiante) la dissipation
d’énergie est au contraire très importante. Lors du choc les molécules se déplacent beaucoup
plus les unes par rapport aux autres et de manière désordonnée.
Perte d’énergie
Tg
T
Fig.3 – Comportement des polymères
On peut aussi modifier le rebond des balles en agissant sur la température.
Nous montrerons que le comportement des matériaux peut être complexe et qu’il n’est pas
toujours facile de distinguer entre les différents états de la matière comme par exemple l’état
solide et l’état liquide.
Un autre polymère (« Silly putty ») est fortement viscoélastique. Soumis à une contrainte
lente il s’écoule comme un liquide alors que soumis à une contrainte rapide (choc) il se
comporte comme un solide élastique !
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III. Le canon de Gauss1 : un accélérateur linéaire magnétique
« Conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement »
Ce jouet est composé d’aimants (4 sur celui de la figure 4) et de billes en acier. Initialement 2
billes sont « collées » sur chaque aimant et une bille est maintenue fixe. Lorsque cette
dernière bille est lâchée elle est attirée par le premier aimant, elle acquiert de la vitesse et
entre en collision avec le premier aimant. Par chocs successifs la quantité de mouvement de la
première bille est transférée à la troisième qui se rapproche du second aimant et augmente
ainsi sa vitesse. Le processus se reproduit 3 fois de suite et la dernière bille est éjectée du
système à « grande » vitesse.
Fig.4 – Un canon de Gauss
Bien entendu ce système est en accord avec le principe général de conservation de l’énergie !
Si la dernière bille a acquis de l’énergie cinétique c’est au détriment de l’énergie magnétique
du système. Il suffit de comparer la géométrie des situations initiales et finales pour s’assurer
que l’énergie magnétique du système a bien diminué (fig.5).
Etat initial
Etat final
Fig.5 – Comparaison de l’état initial et de l’état final du système
1
C.F.Gauss (1777-1855) : mathématicien, astronome, physicien …
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Qualitativement on peut remarquer qu’il faudra dépenser plus de travail pour séparer les
sphères des aimants depuis l’état final que depuis l’état initial puisque dans cette
configuration toutes les billes sont en contact direct avec les aimants. (Le travail fourni par
« l’opérateur » entre l’état considéré et l’état de référence où toutes les billes sont séparées des
aimants est l’opposé de l’énergie potentielle de cet état).
IV. Le disque d’Euler2
« La mécanique du solide en action »
Il s’agit simplement d’un disque métallique (fig.6). Initialement le plan du disque est
pratiquement vertical et on lui communique un mouvement de rotation d’axe sensiblement
vertical. Le disque roule sur le support lenticulaire et au cours du temps on observe d’une part
un abaissement du centre de masse et d’autre part une augmentation de la vitesse de
précession du disque (fig.7).
Fig.6 – Disque d’Euler
Dans un modèle simple cette vitesse présente même une singularité au moment où le disque
devient horizontal ( Ω → ∞ si θ → 0 ).
Précession
Ω
ω
Rotation
propre
R
Ω=
4g
R
θ
1
sin θ
Fig.7 - Modélisation du mouvement du disque
L’étude complète du mouvement du disque a fait couler beaucoup d’encre et notamment la
cause de l’amortissement et la nature de la singularité finale : frottement fluide dû à l’air,
frottement solide en présence de glissement, frottement de roulement … On peut signaler que
ce problème a eu les honneurs du New York Times !
2
Euler (1707-1783) : mathématicien, physicien
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V. Le moteur à « Nitinol »
« Machine thermique ditherme, alliage à mémoire de forme »
Le « Nitinol » est un alliage à mémoire de forme : il s’agit d’un solide qui subit une transition
de phase entre deux phases cristallines (dites austénitique et martensitique). Cette transition
s’effectue sur un intervalle de température et avec hystérésis. La phase stable à « haute »
température a un comportement « habituel », tandis que la phase stable à « basse »
température est bien plus facile à déformer et ses déformations permanentes (plastique)
peuvent être annulées par élévation de la température.
Un tel alliage permet de réaliser un moteurs thermiques ditherme très simple (la figure 8
montre le modèle dit « thermobile »).
Fig.8 – Le « thermobile »
Le moteur est composé de deux roues et d’un fil de Nitinol , les deux roues sont portées à des
températures différentes. L’explication élémentaire du fonctionnement est la suivante :
Dans la position 1 le fil est pratiquement droit et froid, quand il passe de 1 à 2 il fléchit du fait
du contact avec la petite roue et il entre dans l’eau chaude. De la position 2 à la position 3
l’eau chaude provoque la transition de phase et le fil tend à reprendre sa forme rectiligne ce
qui engendre une force qui a pour effet de faire tourner la grande roue. Ensuite le fil se
redresse et de la position 4 à la position 1 il s’est refroidi et a retrouvé son état initial.
Une approche plus précise nécessite l’utilisation des diagrammes décrivant les propriétés
élastiques du matériau à différentes températures.
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VI. L’oiseau buveur
« Machine thermique ditherme, changement d’état liquide vapeur »
L’oiseau buveur (fig.9) et un jouet bien connu. Comme le moteur à Nitinol on peut le
considérer comme une machine ditherme. Cette machine est même plus « conventionnelle »
puisqu’elle met en jeu le changement d’état liquide – vapeur d’un fluide volatil contenu dans
le corps de l’oiseau.
Fig.9 – Un oiseau buveur
Le principe général de fonctionnement est le suivant :
-
-
-
La tête de l’oiseau recouverte de feutrine est initialement plongée dans l’eau,. Du fait
de l’évaporation elle va se refroidir ce qui va abaisser la pression de vapeur dans la
tête.
Du fait de cette dépression le liquide monte du corps de l’oiseau vers la tête ce qui
élève son centre de masse.
Lorsque le centre de masse passe au dessus de l’axe de rotation l’oiseau bascule ce qui
a plusieurs conséquences : d’une part la tête plonge à nouveau dans l’eau et d’autre
part le tube qui fait communiquer la tête et le corps de l’oiseau émerge de la surface
libre du liquide ce qui permet à la vapeur du corps de passer dans la tête, de faire
refluer le liquide et de faire redresser l’oiseau …
Le cycle peut alors recommencer
Il est naturellement intéressant de faire varier différents paramètres du système :
- On peut agir sur le phénomène d’évaporation en utilisant différents liquides, un
ventilateur, une cloche …
- On peut aussi supprimer le processus d’évaporation responsable de la différence de
température et chauffer directement le corps de l’oiseau par exemple au moyen d’une
lampe puissante.
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VII. Le « Pop pop boat
« Thermodynamique et changement d’état, mécanique des fluides et
systèmes ouverts »
Le pop pop boat est certainement le plus simple des bateaux à vapeur. Son moteur est
particulièrement original puisqu’il ne comporte aucune partie tournante !
Fig.10 – Un pop pop boat
Sur la figure de droite le moteur apparaît : il est constitué d’un réservoir peu épais fermé sur le
dessus par une plaque très mince en laiton et de deux tubes qui relient le réservoir à
l’extérieur.
Initialement le réservoir est rempli d’eau et une bougie et placée sous le réservoir. Après
quelques instants le bateau avance en émettant un bruit caractéristique d’où son nom de « pop
– pop » boat.
L’explication du fonctionnement est loin d’être simple et de nombreux phénomènes sont à
prendre en compte. En régime permanent la situation est la suivante :
1- Au niveau de la surface chaude créée par la bougie il y a vaporisation rapide de l’eau,
la vapeur repousse l’eau dans les tubes si bien qu’il y a éjection d’eau du bateau vers
l’extérieur. La vapeur en se détendant va rencontrer des parties froides et se condenser
ce qui diminue la pression et entraîne une aspiration de l’eau. (un moteur a un seul
tube fonctionne aussi bien même s’il est plus difficile à remplir) et le cycle
recommence …
2- Au niveau de l’échange d’eau avec l’extérieur on a donc une succession d’entrée et de
sortie de l’eau et on pourrait penser que les transferts de quantité de mouvement se
compensent. En fait il n’en est rien et très schématiquement on peut dire que dans la
phase d’aspiration l’eau vient de « toutes » les directions alors que dans la phase
d’éjection le jet expulsé à une vitesse de direction bien déterminée (fig.11 ).
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Fig.11 – Les deux types d’écoulement
On reconnaît sous une forme un peu différente le « paradoxe de Bergeron » et le problème
posé par R. Feynman sur le mouvement « inverse » d’un tourniquet hydraulique qui au lieu
d’éjecter un fluide, l’aspirerait.
Le liquide s’écoule
vers l’extérieur du
chariot qui avance
Le liquide rentre dans
le chariot qui ne bouge
pratiquement pas
Fig.12 – Le paradoxe de Bergeron
Différents modèles de pop pop boat seront présentés de manière à illustrer les éléments
théoriques précédents.
VIII. Le moteur électrique le plus simple du monde
« Laplace et Faraday »
Fig.13 – Sans commentaires …
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Bibliographie sommaire
1. Chariot chinois
http://www.odts.de/southptr/
2. Balles
http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/glass-transition/index.php
3. Canon de Gauss
http://scitoys.com/
4. Disque d’Euler
http://www.eulersdisk.com/
5. Thermobile
A.D.Johnson, J.L. McNichols « Comments on demonstration solid state engine »
Am.J.Phys , Vol 54, No 8, August 1986
6. Oiseau buveur
J.Guemez, R.Valiente, C.Fiolhais, M.Fiolhais « Experiments with a sunbird »
Am.J.Phys, 71 (12), December 2003
J.Guemez, R.Valiente, C.Fiolhais, M.Fiolhais « Experiments with the drinking bird »
Am.J.Phys, 71 (12), December 2003
7. pop pop boat
http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/16/94/32/PDF/these-tel2.pdf (voir l’annexe)