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MADA-ETI, ISSN 2220-0673, Vol.1, 2014, www.madarevues.gov.mg
PROBLEME DES MOMENTS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES
SUR LE GROUPE DES ENTIERS p-ADIQUESℤ .
Andriamanohisoa Hery Zo 1 , Randimbindrainibe F. 2 , Randriamitantsoa P.A. 3
Ecole Doctorale Science et Technique de l’Ingénierie et de l’Innovation (ED –STII)
Laboratoire Sciences Cognitives et Applications (LR-SCA)
Ecole Supérieure Polytechnique – Université d’Antananarivo
1
[email protected], 2 [email protected], 3 [email protected]
Résumé :
Dans cet article, on résoud le problème des moments des fonctions exponentielles sur le groupe
des entiers −adiquesℤ dans une extension ⊃ ℚ :
β dμ(z) = ρ (n ≥ 0)et
ℤ
(β − 1) dμ(z) = ρ (n ≥ 0),
ℤ
où ∈ ,
= ∞et| − 1| = < 1.
Pour cela on construit une nouvelle base orthonormée (b.o.n) différente de la base orthonormée
standard dans l’espace des fonctions continues ℤ . Ensuite on définit l’algèbre des séries
( )
( )⟩, qui est isomorphe et
formelles d’interpolation de Gauss à coefficients bornés, ⟨
isométrique à l’algèbre des mesures sur ℤ ,
ℤ , (cf théorème 2, §5.2). A l’aide cette série
formelle on définit le logarithme formel de base ,
. Ensuite on utilise l’algèbre des séries
formelles de Newton
et on introduit une autre algèbre de séries formelles
.
Le résultat principal est donné par le théorème 3(§7.3) et le théorème 4 (§9.2). On démontre à la
fin que ces deux problèmes de moments sont équivalents.
Mots clés : Entier p-adique, valeur absolue p-adique, corps des nombres p-adiques, série
formelle d’interpolation de Gauss, série formelle de Newton, logarithme formel de
base ,
, mesure sur le groupe des entiers p-adiques, moments exponentiels p-adiques,
base orthonormée p-adique.
Abstract:
In this paper, we solve the problem of moments of exponential functions on the group of p-adic
integers ℤ in an extension ⊃ ℚ :
β dμ(z) = ρ (n ≥ 0)and
ℤ
(β − 1) dμ(z) = ρ (n ≥ 0),
ℤ
where ∈ ,
= ∞ and| − 1| = < 1.
For this, we build a new orthonormal basis different from the standard one in the space of
continuous functions ℤ . Then we define the algebra of Gauss interpolation formal series
( )
( )⟩, which is isomrphic and isometric with the algebra of
with bonuded coefficients, , ⟨
measures onℤ ,
ℤ , (seethéorème 2, §5.2). With the help of this formal series, we define the
formal logarithm of basis ,
. After that we use the algebra of Newton formal series
and introduce another algebra of formal series
. The principal result is given
by the théorem 3(§7.3)and thetheorem 4 (§9.2). Finally, we prove that those two problems of
moments are equivalent.
39
MADA-ETI, ISSN 2220-0673, Vol.1, 2014, www.madarevues.gov.mg
Keywords : p-adic integer, p-adic absolute value, field of p-adic numbers, Gauss interpolation
formal series, Newton formal series, formal logarithm of basis ,
, measure on the group
of p-adic integers, p-adic exponential moments, p-adic orthonormal basis.
1. Généralités
1.1 Notations.
Comme notations dans cet article on désigne par K ⊃ ℚ p une extension de ℚ p complet par
rapport à la valeur absolue
prolongeant la valeur absolue p-adique
p
, où p est un nombre
premier ( p ≠ 2 ). Les ensembles ℕ, ℤ, ℚ, ℤ (p) = ℤ /( p) , avec ( p) = p. ℤ, l’ensemble des multiples
dep,ℝdésignent respectivement l’ensemble des nombres entiers non négatifs, l’ensemble des
nombres entiers, l’ensemble des nombres rationnels, le corps résiduel des nombres congrus
modulo p , le corps des nombres réels. On désigne par ℤ l’algèbre des mesures surℤ , par
l’algèbre des séries formelles de Newton, par
( )
( )
l‘algèbre des séries
formelles d’interpolation de Gauss. Le symbole ♣ marque le début d’une démonstration et ♦ la
fin. On désigne par [r ] la partie entière de r appartenant à ℝ.Le symbole de type [1] envoie à la
référence.
1.2 Position du problème
Le problème des moments joue un rôle important tant en analyse classique 1 qu’en analyse non
archimédienne 2,3,4,5 .
Dans le présent article on considère le problème exponentiel des moments sur "le
segment −adique" ℤ , i.e. le problème qui consiste à trouver une mesure μ ∈ M ℤ ,
satisfaisant la condition
β dμ(z) = ρ (n ≥ 0)(1)
ℤ
ou le problème analogue
(β − 1) dμ(z) = ρ (n ≥ 0)(2)
ℤ
et( )
sont des suites de scalaires données.
La résolution se fait dans une extension du corps des nombres −adiques ℚ qui est
munie d’une valeur absolue|. | prolongeant la norme −adique|. | . On fixe ∈ ,
avec
= ∞ et | − 1| = < 1.
où
1.3. Système de polynômes d’interpolation de Gauss.
1.3.1. On appelle coefficients généralisés de Gauss, les coefficients définis par :
n
m
=
(β − 1)(β
− 1) ⋯ (β
− 1)
,
(β − 1)(β
− 1) ⋯ (β − 1)
n, m ∈ (3)
Ils vérifient les relations de récurrence
n
m
=β
n−1
m
1.3.2 On considère les polynômes de Gauss
40
+
n−1
m−1
(4)
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P
( )
(X) = 1, P
( )
(X) = (X − 1)(X − β) ⋯ (X − β
), n ≥ 1(5)
et les polynômes d’interpolation de Gauss
Q
( )
(X) = P
( )
(X) P
( )
(β )
(6)
1.3.3 On a les relations suivantes [1, 6, 7, 8]
P
( )
(X) =
(−1)
n
k
X =
Il en est de même de l’identité [7, 12]
Q
où
i, j
n
=
j
n−i
.P
( )
,
i, j
n
(X, Y) =
n
k
β
Q
P
( )
X (n ≥ 0) (7)
( )
(X) (8)
(X)Q
( )
(Y)(n ≥ 0),(9)
β .
On définit ensuite les coefficients c (β) (k , n ) et d (β) (k, n ) par les développements
P
( )
c ( ) (n, i)(X − 1) (n ≥ 0)(10)
(X) =
d( ) (n, i)P
(X − 1) =
( )
(X)(n ≥ 0)(11)
avec des matrices triangulaires inférieures inverses l’une de l’autre
C (
)
= c ( ) (n, i)
D(
,
= d( ) (n, i)
)
Notons quec ( ) (n, n) = d( ) (n, n) = 1 etc ( ) (n, 0) = d( ) (n, 0) = δ
,
(12)
,
.
En vertu des relations (7) et (10) on obtient la forme explicite des coefficients
c ( ) (n, i) =
D (
P
i!
)
(1) =
(−1)
β
n
k
k
.(13)
i
D’où, d’après la formule d’inversion pour les coefficients de Gauss [8] (Aïgner)
c ( ) (k, i)
et en vertu de la réciprocité des matrices C (
)
etD(
)
n
k
=
n
(14)
i
on obtient
n
n ( )
d (k, i) =
i
k
.(15)
Enfin, par la formule d’inversion des coefficients binomiaux, on trouve l’expression explicite
d( ) (n, i) =
(−1)
41
n
k
k
i
.(16)
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Notons également la relation
k ( ) (n,
c
k) = (−1)
i
(−1)
n
i
β
(17)
2. Evaluation des coefficients
Dans ce paragraphe on va établir quelques évaluations des coefficients à l’aide de la valeur
absolue|. | définie sur le corps .
2.1. Lemme 1
On a l’évaluation suivante
c ( ) (n, i) ≤
( ≥ )(18)
♣ D’après la formule (13) on a
D (
P
i!
c ( ) (n, i) =
)
(1) ≤
max
≤ |1 − |
1−
⊂ , ,…,
=
.♦
, ∉
2.2. Lemme 2
(
Soit = ( ) une matrice triangulaire inférieure inversible(
= 0,
) la matrice inverse telle que| | ≤
|≤
( ≥ ). Alors|
.
) et soit =
♣ On démontre par récurrence sur . De la relation
=
on obtient
=−
+
(−1)
….
⋯
Par hypothèse on a
|
| ≤ max |
≤ max
|,
max
,
max
,…,
⋯
,…,
⋯
=
.♦
2.3. Conséquence
Il résulte des lemmes 1 et 2
d( ) (n, i) ≤
( ≥ )(19)
2.4. Lemme 3
Soit = (
) une matrice triangulaire inférieure telle que
lim
⟶
= 0,
Supposons de plus que
42
‖ ‖ < +∞.
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lim
= 0.
⟶
Alors
lim
= 0(20)
→
♣ Par hypothèse‖( )
même
‖
< +∞, alors(∀
)(∀
(∀ ≥ 0)(∃
Posons
= max
,
,…,
∗
∗
,
∗ )(∀
0)(∃
) |
|<
. Alors pour
‖( )
∗ )(|
| < . ‖ ‖ ). De
.
‖
on a
∗
≤ max
,
∗
≤ max
‖( )
‖( )
‖
‖
, ‖ ‖
‖ ‖
= .♦
2.5. Remarque
D’après le lemme 1, la matrice
( )
satisfait le lemme3.
ℤ
3. Espace des fonctions continues
[12,13]
ℤ
Considérons l’espace des fonctions continues
sur le groupe des entiers −adiques ℤ .
3.1. Un système de fonctions( ( ))
est appelé base orthonormée (b.o.n) si chaque
fonction ∈ ℤ admet le développement
=
= 0 et‖ ‖ = sup |
, avec lim
→
La base orthonormée standard de
ℤ
≥ 0 (21)
est le système des polynômes binomiaux
( − 1) ⋯ ( −
!
Dans cette base, les coefficients du développement
|,
=
+ 1)
( ≥ 0)(22)
z
(23)
n
f(z) =
sont donnés par la formule [9, 10]
=
(−1)
n
f(i)( ≥ 0)(24)
i
En particulier le développement
β =
définit une fonction exponentielle(β
(β − 1)
= β β , β |
43
z
(25)
n
= β ).
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dans l’espace
3.2. Introduisons un nouveau système de fonctions
ℤ
défini par le
développement
z
n
d( ) (m, n)
=
z
(n ≥ 0)(26)
m
qui est convergent selon le lemme 2.
En vertu de la réciprocité des matrices ( ) et ( ) et du lemme 1 on obtient
z
z
(n ≥ 0)(27)
=
c ( ) (m, n)
n
m
Il résulte de la définition (26) et de la formule (15) que
autrement dit les fonctions
z
n
z
n
k
k
=
m
n
d( ) (m, n)
=
interpolent les coefficients
k
n
,(28)
comme les polynômes
z
n
k
.
n
3.3. Etablissons un théorème analogue au théorème de Mahler [9]
interpolent les coefficients binomiaux
Le système de fonctions
forme une base orthonormée dans l’espace
telle que
ℤ
les coefficients du développement des fonctions de
f(z) =
ℤ
( )
z
n
(29)
sont donnés par :
♣ En effet soitf ∈
( )
(−1)
=
n
k
β
f(k) (n ≥ 0)(30)
ℤ . Il résulte de (23) et de (27)
f(z) =
z
n
c ( ) (n, m)
=
z
n
( )
où selon la remarque2.5.
lim
→
Puisque les coefficients des matrices
sup
( )
;
≥ 0 = sup
( )
et
( )
( )
= 0.
satisfont aux conditions du lemme 1 [12], alors
c ( ) (n, m)
; ≥ 0 = sup |
|;
≥ 0 = ‖f‖
En utilisant les formules (14) et (18) on obtient la forme explicite des coefficients
( )
=
c ( ) (n, m)
=
c ( ) (n, m)
44
(−1)
( )
m
f(i) =
i
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m ( )
c (n, m) f(i) =
i
(−1)
=
(−1)
3.4. Par exemple, le développement de la fonction caractéristique
+
ℤ (0 ≤ <
,
β
n
i
f(i) . ♦
de la boule
) dans cette b.o.n est de la forme
,
1
()=
(
)
ζ
( ≥ 0),
où est la racine primitive d’ordre de l’unité dans un certain corps d’extension , d’où
d’après les formules (30) et (18) on obtient
( )
=
1
( )
ζ
(ζ )( ≥ 0).
D’autre part, puisque
|
− 1| = | |
(
)
| − 1| =
< 1,
< 1,
alors
≤ max |
ζ −
− 1|, |1 − | =
< 1,
par suite
( )
ζ
≤
⟶ 0,
⟶ +∞
En particulier
lim
→
( )
=0
Selon la formule (29) on a
,
( )=
1
( )
ζ
(ζ )
z
n
3.5. Comme exemple suivant, considérons la fonction exponentielle
donne
( )
=
(−1)
n
i
β
β =
( )
(
)= k
n
(31)
(25). La relation (7)
( )
(
),
par suite
=
k
n
( )
(
)
z
n
(k ≥ 0)(32)
En appliquant la formule d’inversion pour les coefficients de Gauss, il résulte de la formule (32)
que
45
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(−1)
z
k
k
n
β
=
( )
(
( ≥ 0)(33)
)
et, par suite,
z
n
( )
=
( )
(
)
(
)
( )
=
(
)(34)
Selon la formule (10) il résulte de (34) que
z
k
( )
=
( , )
( )
(
)
(
− 1) (35)
3.6. Lemme 4
Pour ∈ℤ
,
+
(36)
qui est dense dansℤ :
♣ Il suffit d’établir la formule (3.16) sur l’ensemble
,
+
z
j
z
i
,
=
m
j
m
i
,
=
Or ceci a été établi dans [7].♦
4. Algèbre des séries formelles ’
( )
4.1. On désigne par
( )
( )
( ) l’algèbre des séries formelles de la forme
( )
( ) =
La substitution de par les valeurs de
(
,(
( ) (37)
≥ 0)
( )
)=
(
) (38)
définit un homomorphisme dans le corps . De plus, dans l’algèbre
=
⇔ (∀
≥ 0)
(
)= (
( )
( ) , on a
)
4.2. Le développement suivant a lieu
Dans l’algèbre
( )
1
1−
1
=
( )
(
( )
)
( )(39)
( ) on introduit la série formelle du logarithme
46
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( )
log =
( , 1)
( )
(
( )
)
=
Il résulte de (38), en vertu de (14), que log
(−1)
1−
( )=
( )
( )(40)
.
4.3. On démontre que
( )
log =
( , )
( )
(
( )
)
( )(41)
On introduit aussi la série entière généralisée
( )
=
( )
∈ ℤ (42)
D’après (8), il résulte de (42) que
|
( )
=
⟨
5. Algèbre des séries formelles
( )
( )=
( )⟩
( )
( )⟩ l’algèbre des séries formelles à coefficients bornés. On va
5.1. On désigne par ⟨
utiliser cette algèbre pour décrire l’algèbre des mesures sur ℤ . L’espace des mesures ℤ sur
ℤ est identifié à l’espace
⟨ , ⟩=
de
ℤ
ℤ
( )
ℤ
( )
∗
ℤ
, dual de l’espace des fonctions continues surℤ . Dans ce cas
( ). Si dans
on fixe une b.o.n Δ = (e )
ℤ
dans l’espace des suites bornées
qui, à fait correspondre(
, alors l’application
∆
( ))
, où
∆(
)=
( ), est un isomorphisme isométrique d’espaces. De plus, on a l’égalité
∆(
⟨ , ⟩=
)
pour toute fonction avec le développement (23).
En particulier, pour la base orthonormée ∆ , posons
( )
( )=
( ) ( ≥ 0),
ℤ
et l’on obtient
( )
( )=⟨ , ⟩=
( )
ℤ
pour toute fonction avec le développement (29).
Munie de la convolution,
ℤ
devient une algèbre de Banach.
47
( )
( )(43)
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5.2. Théorème 2
( )
L’application
:
ℤ
( )
⟨
→
( )⟩
( )(
( )
)( ) =
( )
( )
( )(44)
est un isomorphisme isométrique d’algèbres.
( )
♣ En vertu du théorème 1, l’application
de la convolution des mesures on a
( )(
est une isométrie linéaire. De (44) et de la définition
+
)=
∗
( ,
∗
)
ℤ ×ℤ
,
,
=
( )
ℤ
,
,
=
ℤ
( )
⟨
( )
)( ) =
Pour la mesure
( )
(
).
( )⟩ . ♦
( ) = ( ) on a
5.3. Exemples :- Pour la mesure de Dirac
-
( )
( )
D’où le résultat, d’après la définition du produit dans
( )(
( )
( )=
[12] on démontre que
( )
1
( )=
( )
(
( )
)
( )
5.4. De la formule (44), il n’est pas difficile de rétablir une mesure comme fonction d’ensembles
Proposition 1
Pour ∈
ℤ , on a
ℤ
+
=
1
( )(
)
(45)
♣ La démonstration résulte de (31), (43) et (44)
+
ℤ
=
,
( )
( )=
1
( )
ℤ
=
1
( )(
48
)
.♦
( )
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6. Algèbre des séries formelles de Newton
6.1. Dans la suite, on a besoin de l’algèbre des séries formelles de Newton
munie de
l’addition et de la multiplication respectivement définie par
+
( + )
=
,
(46)
,
=
,(47)
où
,
=
6.2. Dans l’algèbre
−
!
.(48)
( − )! ( − )! ( + − )!
=
, on introduit la série exponentielle
=∑
( − 1)
(49)
En s’inspirant de la formule (4.5), considérons la série formelle
( ) =
(50)
et posons
( )
log
=
( , )
( )
(
)
( )
( )(51)
6.3. Proposition 1.
L’application →
est un isomorphisme d’algèbres
→
( )
( )
♣ La linéarité de cette application est évidente, la bijectivité résulte de l’inversibilité de la
matrice. La multiplicativité se démontre en utilisant les relations suivantes
ℓ
,
( )
(
ℓ,
( , ) ℓ,
)
( )
=
,
( )
(ℓ, )
( )
( )
( ℓ)
ℓ
( )
( , )
(
)
que l’on obtient en développant les deux parties de l’égalité (9) suivant ( − 1)ℓ ( − 1)
utilisant la formule
ℓ,
(
− 1) =
ℓ,
( − 1)ℓ ( − 1) .♦
ℓ
6.3. La définition (51), d’après (10), donne
49
et en
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=
( )(
, )
( )
)
(
− 1)
( )=
(
(
( )
( )
( )=
( )=
7. Problème des moments (2)
7.1. Considérons les moments
( )( ≥ 0).(52)
− 1)
ℤ
En intégrant les deux parties de l’égalité (33), on obtient
( )
( )
( )=
( , )
( )
(
( )( ≥ 0).(53)
)
Considérons la série génératrice de grandeurs (7.1)
( )(
)=
( )
.
D’après (51), (53) et (44), on a
( )
=
( )
( )( )
7.2. Pour résoudre le problème des moments (1.2), introduisons la série génératrice pour la suite
( ) de (12)
( ) =
(54)
7.3. Théorème 3.
Le problème des moments (2) admet une solution si, et seulement si, la série
coefficients bornés. Dans ce cas la solution est représentée par
( )(
)( ) =
est à
.(55)
♣ Posons
( )
=
( , )
( )
(
( ).
= ( ).
Selon la définition (51) on a
On définit une fonctionnelle
)
( )
, ( ) =
ℤ
⟶
selon la règle ⟼ ∑
( ),
coefficients de développement de la fonction dans la b.o.n
est bornée (i.e. une mesure) si, et seulement si,sup |
coefficients de la série ( ) =
sont bornés.
( )( ) =
50
( )
sont les
(3.9). Cette fonctionnelle
|;
Si est une solution de ce problème des moments (1.2), alors
et ( ) = ( ) ( )( ), par suite
( )
où
.♦
≥ 0 < +∞, i.e. lorsque les
=
( ), d’où
=
( )
( )
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∈ℤ
la série génératrice ( ) =
. La
7.4. Exemple 1) Pour = ( − 1)
( ) ( )( )
( ) ( )( ),
série
=
possède des coefficients bornés et l’on a
=
=
d’où = .
Dans ce cas
( )
)
, la série génératrice est de la forme ( ) =
.
possède des coefficients bornés si, et seulement si,| | ≤ |1 − |.
=
La série
(
=∑
7.5. Exemple 2) Pour
( )( ) =
=
( )
( ), par suite =
.
8. Algèbre des séries formelles
8.1.
Considérons l’algèbre des séries formelles
munie de l’addition, de la
multiplication par un scalaire et de la multiplication par composantes, i.e.
+
(
=
)
+
.
,
=
=
,
.
Pour une série arbitraire
=
on définit la substitution d’une valeur
∈
≥ 0 selon la règle ( ) =
⇔ (∀
=
≥ 0)(
=
( ))
( )
(57)
, on introduit la série exponentielle formelle
=
On note que (
.
) =
( )=
. On a alors
≠ 0 pour tous ≥ 0. La série inverse s’écrit
La série (56) est inversible si, et seulement si,
sous la forme
8.2. Dans l’algèbre
,(56)
et
|
=
( ∈
)(58)
Introduisons « une variable indépendante », en posant = ∑
polynôme ∈
, on peut écrire
( ) =
et l’on obtient une immersion de l’algèbre des polynômes
( )
(59)
dans
On définit la substitution de la série (40) dans la série (56) en posant
51
. Ainsi, pour tout
.
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(−1)
( )
=
( )
(
)
( )(60)
8.3. Proposition 2 :
L’application ⟼
( )
l’algèbre
est
un
isomorphisme
de
sur
l’algèbre
( ) .
♣ La linéarité est évidente, la bijectivité résulte de la formule d’inversion des coefficients de
Gauss. Pour démontrer que l’application est multiplicative on utilise la formule suivante
,
(−1)
,
ℓ
ℓ
(−1)
ℓ
( )
.
( )
( )
(
=
)
que l’on obtient en développant les deux parties de (9) par rapport à
coefficients.♦
8.4. Exemple : La substitution de
=
( )
ℓ
dans la série exponentielle
(−1)
( )
( )
(
)
ℓ
ℓ
(−1)
( )=
ℓ
(
)
ℓ,
et en identifiant les
donne
( )
( )=
.
9. Problème des moments (1)
9.1. Considérons le problème des moments des fonctions exponentielles
( )=
( ) ( ≥ 0)(61)
ℤ
En intégrant les deux parties de l’égalité (32) on obtient
( )
(−1)
( )=
( )
(
( ) ( ≥ 0)(62)
)
Introduisons la série génératrice des grandeurs (61)
( )
=
( )
.
D’après (60), (62) et (44), on obtient
( )(
)( ) =
52
( )
.
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9.2. Revenons maintenant au problème des moments (1) et pour cela, introduisons la série
génératrice des grandeurs du second membre de (1)
(63)
=
Théorème 4
Le problème des moments (1) admet une solution si, et seulement si, la série
des coefficients bornés. Dans ce cas, sa solution n’est autre que la représentation
( )(
)( ) =
possède
.
♣ Démonstration analogue à la démonstration du théorème 2.♦
9.3. Exemple 1) Pour =
( ∈ ℤ ) la série génératrice est ( ) =
série
=
=
est à coefficients bornés et dans ce cas
( )(
=
9.4. Exemple 2) Pour
cas
( )(
)( ) =
=
( )(
)( ), d’où =
.
la série génératrice est ( ) = ∑
( )=
.
est à coefficients bornés si, et seulement si,| | ≤ |1 − |. Dans ce
=
La série
)( ) =
. La
=
( )
( ), d’où =
.
10. Comparaison des deux problèmes des moments (1) et (2)
Faisons la comparaison des deux problèmes des moments (1) et (2). En intégrant les deux parties
de l’égalité
=∑
(
− 1) , on obtient
( )=
( )(64)
10.1. Proposition 3
Le problème des moments (1) avec à sa droite ρ admet une solution si, et seulement si, le
problème des moments (2) avec à sa droite ρ lié avec ρ par la relation
=
(65)
admet une solution
♣ La démonstration résulte de (64).♦
10.2. Faisons une comparaison des séries génératrices pour résoudre les deux problèmes des
moments (1) et (2). Il résulte de la formule (59) que
( )(66)
=
La famille des polynômes (10.3) est sommable dans
=
( )=
a un sens.
53
, i.e. l’expression
( )(67)
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Ainsi on définit une immersion de
. Pour les séries génératrices des
dans
moments (1) et (2), on a la relation
( )(
)=
( )
( )
⟼
( )=
( )
( )=
( )(
).
D’une manière analogue on trouve la relation entre les séries génératrices (54) et (63) des
et( )
des problèmes (1) et (2).
suites( )
Selon les définitions (51) et (60) après la substitution de
coïncident.
( ), les deux séries
et
Ainsi, d’après le théorème 3 et le théorème 4, on obtient de nouveau la proposition 3.
BIBLIOGRAPHIES
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classiques) » Nauka 1961
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(problème
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