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PROBLEME DES MOMENTS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES
SUR LE GROUPE DES ENTIERS p-ADIQUESℤ.
Andriamanohisoa Hery Zo
1, Randimbindrainibe F.2, Randriamitantsoa P.A.3
Ecole Doctorale Science et Technique de l’Ingénierie et de l’Innovation (ED –STII)
Laboratoire Sciences Cognitives et Applications (LR-SCA)
Ecole Supérieure Polytechnique – Université d’Antananarivo
Résumé :
Dans cet article, on résoud le problème des moments des fonctions exponentielles sur le groupe
des entiers−adiquesℤ dans une extension⊃ℚ :
βdμ(z)
ℤ=ρ(n≥0)et(β−1)dμ(z)
ℤ=ρ
(n≥0),
où∈,=∞et|−1|=<1.
Pour cela on construit une nouvelle base orthonormée (b.o.n) différente de la base orthonormée
standard dans l’espace des fonctions continuesℤ. Ensuite on définit l’algèbre des séries
formelles d’interpolation de Gauss à coefficients bornés,〈()()〉, qui est isomorphe et
isométrique à l’algèbre des mesures sur ℤ,ℤ, (cf théorème 2, §5.2). A l’aide cette série
formelle on définit le logarithme formel de base,. Ensuite on utilise l’algèbre des séries
formelles de Newton
et on introduit une autre algèbre de séries formelles.
Le résultat principal est donné par le théorème 3(§7.3) et le théorème 4 (§9.2). On démontre à la
fin que ces deux problèmes de moments sont équivalents.
Mots clés : Entier p-adique, valeur absolue p-adique, corps des nombres p-adiques, série
formelle d’interpolation de Gauss, série formelle de Newton, logarithme formel de
base,, mesure sur le groupe des entiers p-adiques, moments exponentiels p-adiques,
base orthonormée p-adique.
Abstract:
In this paper, we solve the problem of moments of exponential functions on the group of p-adic
integers ℤ in an extension⊃ℚ :
βdμ(z)
ℤ=ρ(n≥0)and(β−1)dμ(z)
ℤ=ρ
(n≥0),
where∈,=∞ and|−1|=<1.
For this, we build a new orthonormal basis different from the standard one in the space of
continuous functions ℤ. Then we define the algebra of Gauss interpolation formal series
with bonuded coefficients, ,〈()()〉, which is isomrphic and isometric with the algebra of
measures onℤ,ℤ, (seethéorème 2, §5.2). With the help of this formal series, we define the
formal logarithm of basis ,. After that we use the algebra of Newton formal series
and introduce another algebra of formal series . The principal result is given
by the théorem 3(§7.3)and thetheorem 4 (§9.2). Finally, we prove that those two problems of
moments are equivalent.
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Keywords : p-adic integer, p-adic absolute value, field of p-adic numbers, Gauss interpolation
formal series, Newton formal series, formal logarithm of basis,, measure on the group
of p-adic integers, p-adic exponential moments, p-adic orthonormal basis.
1. Généralités
1.1 Notations.
Comme notations dans cet article on désigne par
⊃K
ℚ
p
une extension de ℚ
p
complet par
rapport à la valeur absolue prolongeant la valeur absolue p-adique
p
, où
p
est un nombre
premier (
2p ≠
). Les ensembles ℕ, ℤ, ℚ, ℤ
=
)p(
ℤ
)p/(
, avec
.p)p( =
ℤ, l’ensemble des multiples
dep,ℝdésignent respectivement l’ensemble des nombres entiers non négatifs, l’ensemble des
nombres entiers, l’ensemble des nombres rationnels, le corps résiduel des nombres congrus
modulo
p
, le corps des nombres réels. On désigne parℤ l’algèbre des mesures surℤ, par
l’algèbre des séries formelles de Newton, par()() l‘algèbre des séries
formelles d’interpolation de Gauss. Le symbole ♣ marque le début d’une démonstration et ♦ la
fin. On désigne par
[]
r
la partie entière de r appartenant à ℝ.Le symbole de type [1] envoie à la
référence.
1.2 Position du problème
Le problème des moments joue un rôle important tant en analyse classique 1 qu’en analyse non
archimédienne2,3,4,5.
Dans le présent article on considère le problème exponentiel des moments sur "le
segment−adique" ℤ, i.e. le problème qui consiste à trouver une mesure μ∈Mℤ,
satisfaisant la condition
βdμ(z)
ℤ
=ρ(n≥0)(1)
ou le problème analogue
(β−1)dμ(z)
ℤ
=ρ
(n≥0)(2)
où et(
) sont des suites de scalaires données.
La résolution se fait dans une extension du corps des nombres−adiques ℚ qui est
munie d’une valeur absolue|.| prolongeant la norme−adique|.|. On fixe∈,
avec=∞ et |−1|=<1.
1.3. Système de polynômes d’interpolation de Gauss.
1.3.1. On appelle coefficients généralisés de Gauss, les coefficients définis par :
n
m=(β−1)(β−1)⋯(β−1)
(β−1)(β−1)⋯(β−1), n,m∈(3)
Ils vérifient les relations de récurrence
n
m=βn−1
m+n−1
m−1(4)
1.3.2 On considère les polynômes de Gauss
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P()(X)=1,P()(X)=(X−1)(X−β)⋯(X−β),n≥1(5)
et les polynômes d’interpolation de Gauss
Q
()(X)=P()(X)P()(β)(6)
1.3.3 On a les relations suivantes [1, 6, 7, 8]
P()(X)=(−1)β
n
kX(n≥0)
(7)
X=nkP()(X)
(8)
Il en est de même de l’identité [7, 12]
Q
()(X,Y)=
i,j
n
,
Q()(X)Q()(Y)(n≥0),(9)
oùi,j
n= j
n−i.P
β.
On définit ensuite les coefficients
()
n,kc
)(β
et
()
n,kd
)(β
par les développements
P()(X)=c()
(n,i)(X−1)(n≥0)(10)
(X−1)=d()
(n,i)P()(X)(n≥0)(11)
avec des matrices triangulaires inférieures inverses l’une de l’autre
C()=c()(n,i),D()=d()(n,i),(12)
Notons quec()(n,n)=d()(n,n)=1 etc()(n,0)=d()(n,0)=δ,.
En vertu des relations (7) et (10) on obtient la forme explicite des coefficients
c()(n,i)=D
i!P()(1)=(−1)β
n
kki
.(13)
D’où, d’après la formule d’inversion pour les coefficients de Gauss [8] (Aïgner)
c()(k,i)n
k
=ni(14)
et en vertu de la réciprocité des matrices C() etD() on obtient
n
kd()(k,i)
=ni.(15)
Enfin, par la formule d’inversion des coefficients binomiaux, on trouve l’expression explicite
d()(n,i)=(−1)nkki
.(16)
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Notons également la relation
(−1)
kic()(n,k)=(−1)β
ni(17)
2. Evaluation des coefficients
Dans ce paragraphe on va établir quelques évaluations des coefficients à l’aide de la valeur
absolue|.| définie sur le corps.
2.1. Lemme 1
On a l’évaluation suivante
c()(n,i)≤(≥)(18)
♣ D’après la formule (13) on a
c()(n,i)=D
i!P()(1)≤ max
⊂,,…,1−
,∉ ≤|1−|=.♦
2.2. Lemme 2
Soit=() une matrice triangulaire inférieure inversible(=0,) et soit=
() la matrice inverse telle que||≤(≥). Alors||≤.
♣ On démontre par récurrence sur. De la relation
=
on obtient
=−+(−1)
⋯
….
Par hypothèse on a
||≤max||,max
⋯
,…,
≤max,max
⋯
,…,
=.♦
2.3. Conséquence
Il résulte des lemmes 1 et 2
d()(n,i)≤(≥)(19)
2.4. Lemme 3
Soit=() une matrice triangulaire inférieure telle que
lim
⟶=0, ‖‖<+∞.
Supposons de plus que
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lim
⟶=0.
Alors
lim
→
=0(20)
♣ Par hypothèse‖()‖<+∞, alors(∀0)(∃∗)(∀∗)(||<.‖‖). De
même (∀≥0)(∃)(∀)||<
‖()‖.
Posons=max,,…,
∗
,∗. Alors pour on a
≤max
∗
,
∗
≤max
‖()‖‖()‖,‖‖
‖‖=.♦
2.5. Remarque
D’après le lemme 1, la matrice() satisfait le lemme3.
3. Espace des fonctions continuesℤ [12,13]
Considérons l’espace des fonctions continuesℤ sur le groupe des entiers−adiques ℤ.
3.1. Un système de fonctions(()) est appelé base orthonormée (b.o.n) si chaque
fonction∈ℤ admet le développement
=
,aveclim
→=0et‖‖=sup||,≥0(21)
La base orthonormée standard deℤ est le système des polynômes binomiaux
=(−1)⋯(−+1)
! (≥0)(22)
Dans cette base, les coefficients du développement
f(z)=zn
(23)
sont donnés par la formule [9, 10]
=(−1)ni
f(i)(≥0)(24)
En particulier le développement
β=(β−1)
zn(25)
définit une fonction exponentielle(β
=β
β
,β|=β).
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
/
17
100%
