Exercices corrigés

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Exercices corrigés : RLC forcé
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RLC FORCE
Énoncé :
Le circuit électrique de la figure-1 comporte en série :
- un résistor ( R ) de résistance R = 170 .
- une bobine (B) d'inductance L et de résistance propre r .
- un condensateur (C) de capacité C = 2,5F .
Un générateur (G) impose aux bornes D et M de l'ensemble
{(R) , (B) , (C)} une tension alternative sinusoïdale u(t)=Umsin(
2Nt) de fréquence N réglable et de valeur efficace U constante
.
Un voltmètre (V) branché aux bornes D et N de l’ensemble {(B) ,
(C)} mesure la valeur de la tension efficace UDN
1- A l’aide d’un oscillographe bicourbe à deux entrées Y1 et
Y2 on veut visualiser la tension u(t) sur la voie Y2 et uR(t) sur la voie Y1. Faire les connexions nécessaires sur la
figure 1.
2- Etablir l’équation différentielle régissant les variations de l’intensité
i(t) du courant.
3- On règle la fréquence du générateur à la valeur N1 et sur l’écran
de l’oscilloscope, on observe les oscillogrammes 1 et 2 de la figure2.
Balayage horizontal : 0,2 ms.div-1 et sensibilité verticale : 5 V.div-1.
a- Montrer que l’oscillogramme 2 correspond à u(t).
b- Quel est l’oscillogramme qui nous permet de poursuivre les variations de
i(t). Justifier la réponse.
c- Calculer l’amplitude Im de l’intensité i(t). Déduire la valeur de l’impédance
Z.
d- Calculer le déphasage  = ( u - i ). Déduire le caractère inductif, capacitif ou résistif du circuit.
4- a- Faire la construction de Fresnel dans ce cas. On prendra comme échelle 2 V --1 cm.
b-Déduire les valeurs de L et r.
5-
a- Pour une fréquence N quelconque, exprimer la puissance moyenne P absorbée par l’oscillateur électrique en
fonction de : Um, R, r, L, C, et N.
b- P peut prendre une valeur maximale P 2 pour une fréquence N2. Montrer que N2 =160 Hz.
c- Exprimer P 2 en fonction de R, r et Um puis calculer sa valeur.
6- La fréquence est toujours égale àN2.
a- Ecrire l’expression de l’intensité du courant i(t).
b- Quelle est la valeur de la tension indiquée par le voltmètre V dans ces conditions.
Y’a-t-il surtension ? justifier.
Corrigé :
1-
2-
D’après la loi des mailles :
Exercice 1
2
1
Fig 2
R
B
C
G
V
Figure-1-
D
N
M
i
R
B
C
G
V
Figure-1-
D
N
M
voieY1
voieY2
i
uc
uB
uR
u
i

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uR + uB + uc = u signifie que
di q
Ri L ri u
dt C
di 1
L (R r)i idt u
dt C
3-
a- On a la même sensibilité verticale, or Z > R ; ZIm > RIm donc Um>URm : la courbe qui a l’amplitude la plus
grande correspond à u(t) d’où la courbe 2 correspond à u(t).
b- La courbe 1 correspond à uR(t) qui est toujours en phase avec i(t) ( on a uR(t) =Ri(t) avec R=constante >0) :
c’est l’oscillogramme 1 qui permet de poursuivre les variations de i(t).
c-
max
R
mU
IR
A.N :
m2,4.5
I 0,07A 70mA
170
m
m
U
ZI
A.N :
3,6.5 18
Z 257,14
0,07 0,07
.
d-
t  
avec
T 8 div T
d'où t
t 1div 8
{ 
2T rad
T 8 4
or d’après le graphe, u(t) est en avance de phase sur uR(t) d’où u(t) est en avance de
phase sur i(t) donc u>i alors
rad
ui 4
Le circuit est alors inductif.
1-
a-
11
R m i
u (t) V (RI 12V; rad) V 6cm
4
( u=0 rad, 0 - i=
4
)
m
33
ci
I
u (t) V ( 22,5V; ) V 11,28cm
C2
mu
u(t) V(U 18V; 0) V 9cm     
Pour la bobine :
1
''
1mi
ri(t) V (rI ?; rad) V ?
4
22
mi
di
L V (L I ? ; rad) V ?
dt 2
'
1 1 2 3
avec V V V V V   
Conseil : avant de procéder à la construction de Fresnel,
associer à chaque tension un vecteur.

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b- D’après la construction de fresnel :
'
1m1
V 0,5cm donc rI 0,5.2 1V d'où r 14,28
0,07
2m
1m
3
V 17,6cm donc L I 17,6.2
35,2V
35,2
d'où L 2 NI35,2 0,4H
1
2 0,07
1,6 .10
11
1
1
car N etT 8.0,2 ms 1,6 ms
T
3
V
2
V
V
1
V
1
'
V
m
I
C
m
LI
m
U
m
RI
m
rI
u0
i4
+

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2-
a-
22
2mm
2
IU
(R r)
P (R r)I (R r) 22
Z
2
m
22
U
(R r)
P1
2(R r) (L )
C
d’où
2
m
22
U
(R r)
P1
2(R r) (2 NL )
2 CN
b- P est maximale signifie que I est maximale ( à la résonance d’intensité correspond une résonance de
puissance) donc
2
1
(2 NL ) est minimale
2 CN
( zéro est la valeur minimale d’une fonction positive) d’où
21
N 160Hz
2 LC
.
c-
22
mm
22
UU
(R r)
P 0,88W
2 2(R r)
(R r) 0
.
3- N=N2 nous sommes à la résonance d’intensité :
a- i(t)=Imsin(2t + i) tel que u(t) et i(t) sont en phase d’où i=u=0 et
max max
mmim
UU 18
I 0,098A
Z R r 170 14,28
i(t)=0,098sin(320t).
b-
22
DN 1
Z r (L )
C
dans ces conditions
1
L0
C
d’où ZDN=r donc UDN=rI
m
I
r2
1V.
c-
A.N : Q=2,16 >1 il y’a surtension.
Enoncé :
Une portion de circuit AB comporte en série, un résistor de
résistance R, un condensateur de capacité C et une bobine
d’inductance L et de résistance interne négligeable. Entre A et B , on
applique une tension alternative sinusoïdale u(t)= Um sin 2Nt . A l’aide
d’un oscilloscope bicourbe , on visualise les tensions uc(t) aux bornes
du condensateur et u(t) aux bornes de AB , on obtient les
oscillogrammes suivants :
1- Parmi les deux schémas de circuit suivants, reproduire sur la copie à
remettre, celui qui permet d’obtenir les oscillogrammes précédents en
indiquant les branchements de l’oscilloscope.
Rappel : Le coefficient de surtension est :
max
0
cc max 0
0
max min max 0 0
UZ I L
11
Q or L ;Q
U Z I C (R r) C R r
)
On peut montrer que
1L
QR r C
Rappel : Le voltmètre mesure la tension efficace
Rappel : La puissance moyenne d’un dipôle RLC en régime
sinusoïdal est P=UIcos = (R)I2 avec I : intensité efficace.
Exercice 2
Sensibilité horizontale : 2ms/div
Sensibilité verticale : 5V/div
(pour les 2 voies)
C2
C1
5v/div

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2- Préciser, en le justifiant, l’oscillogramme qui correspond à u(t) et celui qui correspond à uc(t).
3- A partir des oscillogrammes déterminer :
a- la fréquence N de la tension u(t).
b- les valeurs maximales Um et Ucm respectivement des tensions u(t) et uc(t) .
c- le déphasage  = u- uc.
4-
a- A partir de l’expression i(t) = Im sin (2Nt+i) de l’intensité instantanée du courant , exprimer uc(t) en fonction
du temps.
b- donner l’expression de Im en fonction de N, C et Ucmax. Calculer Im sachant que C = 4,7 µ F.
c- Montrer que la tension u(t) est en retard de
4
par rapport à i(t). Le circuit est-il inductif, capacitif ou équivalent à
une résistance pure ?
5- Faire la construction du Fresnel relative à ce circuit en prenant pour échelle :
1cm 1V
. En déduire la
valeur de R et de L.
6- On augmente la fréquence N de la tension excitatrice u(t) , pour N = N1 , on constate que uc(t) devient en
quadrature retard de phase par rapport à u(t). Montrer que le circuit est alors le siège de résonance d’intensité.
Calculer N1.
Corrigé :
1-
2- Uc(t) est toujours en retard de phase sur u(t), d’après le graphe, C2 est en retard de phase sur C1 donc :
1
2c
C u(t)
C u (t)
{
3-
a-
T 8div 11
d'où T 16ms N 62,5Hz
2ms 1div 3
T16.10
{    
.
b-
m
U 1,4div d'où U 7V
m
5V 1div
{ 
Cm
U 2div d'où U 10V
m
5V 1div
{ 
.
c-
t  
avec
T 8 div T
d'où t
t 1div 8
{ 
2T rad
T 8 4
or d’après le graphe, u(t) est en avance de phase sur uc(t) donc u - uc =
rad
4
.
4-
a-
I
11 m
u (t) idt I sin( t )dt sin( t )
c m i i
C C C 2
.
b- On a
II
mm
U ;d'où I 2 NCU
cmax m cmax
C 2 NC
.A.N :
63
I 2 .62,5.4,7.10 .10 18,45.10 A
m
.
c- On a u - uc =
rad
4
.or
duc
iC
dt
donc i = uc+
2
; uc = i -
2
on aura alors u – (i -
2
) =
4
; u – i +
2
=
4
enfin u – i = -
4
u(t) est en retard de
4
sur i(t) : le circuit est capacitif.
5-
L
A B
R
C
Voie Y1
Voie Y2
uc
u
L
A B
R
C
R
C
L
A B