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Exercices corrigés : RLC forcé BAC
RLC FORCE
Exercice 1
Énoncé :
Le circuit électrique de la figure-1 comporte en série :
- un résistor ( R ) de résistance R = 170 .
C
- une bobine (B) d'inductance L et de résistance propre r .
B
R
N
M
- un condensateur (C) de capacité C = 2,5F .
D
Un générateur (G) impose aux bornes D et M de l'ensemble
{(R) , (B) , (C)} une tension alternative sinusoïdale u(t)=Umsin(
2Nt) de fréquence N réglable et de valeur efficace U constante
V
.
Un voltmètre (V) branché aux bornes D et N de l’ensemble {(B) ,
G
Figure-1i
(C)} mesure la valeur de la tension efficace UDN
1- A l’aide d’un oscillographe bicourbe à deux entrées Y1 et
Y2 on veut visualiser la tension u(t) sur la voie Y2 et uR(t) sur la voie Y1. Faire les connexions nécessaires sur la
figure 1.
2- Etablir l’équation différentielle
régissant les variations de l’intensité
i(t) du courant.
3- On règle la fréquence du
générateur à la valeur N1 et sur l’écran
de l’oscilloscope, on observe les
oscillogrammes 1 et 2 de la figure2.
-1
Balayage horizontal : 0,2 ms.div
et sensibilité verticale : 5 V.div-1.
a- Montrer que l’oscillogramme 2
correspond à u(t).
2
b- Quel est l’oscillogramme qui nous
permet de poursuivre les variations de
1
i(t). Justifier la réponse.
c- Calculer l’amplitude Im de l’intensité
i(t). Déduire la valeur de l’impédance
Fig 2
Z.
d- Calculer le déphasage  = ( u - i ). Déduire le caractère inductif, capacitif ou résistif du circuit.
4- a- Faire la construction de Fresnel dans ce cas. On prendra comme échelle 2 V --1 cm.
b-Déduire les valeurs de L et r.
5a- Pour une fréquence N quelconque, exprimer la puissance moyenne P absorbée par l’oscillateur électrique en
fonction de : Um, R, r, L, C, et N.
b- P peut prendre une valeur maximale P 2 pour une fréquence N2. Montrer que N2 =160 Hz.
c- Exprimer P 2 en fonction de R, r et Um puis calculer sa valeur.
6- La fréquence est toujours égale àN2.
a- Ecrire l’expression de l’intensité du courant i(t).
b- Quelle est la valeur de la tension indiquée par le voltmètre V dans ces conditions.
Y’a-t-il surtension ? justifier.
Corrigé :
1voieY2
voieY1
C
B
N
i
D
M
uR
uB
uc
R
V
i
G
Figure-1-
u
2D’après la loi des mailles :
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uR + uB + uc = u signifie que
di
q
Ri  L  ri   u
dt
C
L
di
1
 (R  r)i   idt  u
dt
C
3a- On a la même sensibilité verticale, or Z > R ; ZIm > RIm donc Um>URm : la courbe qui a l’amplitude la plus
grande correspond à u(t) d’où la courbe 2 correspond à u(t).
b- La courbe 1 correspond à uR(t) qui est toujours en phase avec i(t) ( on a uR(t) =Ri(t) avec R=constante >0) :
c’est l’oscillogramme 1 qui permet de poursuivre les variations de i(t).
cUR
2,4.5
Im  max A.N : Im 
 0,07 A  70mA
R
170
Z
d-
Um
3,6.5
18

 257,14  .
A.N : Z 
0,07 0,07
Im
  t avec
T 
 8 div
{ t 1div
d' où t 
T
8
2 T 
 rad or d’après le graphe, u(t) est en avance de phase sur uR(t) d’où u(t) est en avance de
T 8 4
phase sur i(t) donc u>i alors

  u  i   rad
4
Le circuit est alors inductif.
 
1aConseil : avant de procéder à la construction de Fresnel,
associer à chaque tension un vecteur.


uR (t) 
 V1(RIm  12 V ; i   rad)  V 1  6 cm ( u=0 rad, 0 - i= )
4
4
Im

uc (t) 
 V3 (
 22,5 V ; i  )  V 3  11,28 cm
C
2
u(t) 
 V(Um  18 V ; u  0)  V  9 cm
Pour la bobine :
'
'

ri(t) 
 V1(rIm  ?; i   rad)  V 1  ?
4
di

L 
 V 2 (LIm  ? ; i  rad)  V 2  ?
dt
2
'
avec V  V1  V1  V 2  V 3
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V2
LIm
Im
C
V3
+
u  0
V
Um
i  

4
RIm
V1
rIm
'
V1
b- D’après la construction de fresnel :
'
1
V  0,5 cm donc rIm  0,5.2  1V d' où r 
1
 14,28 
0,07
V 2  17,6 cm donc LIm  17,6.2
 35,2 V
d' où L 
35,2
2N1Im
35,2
 0, 4H
1
2
0,07
1,6.10 3
1
car N1  et T1  8.0,2 ms  1,6 ms
T1

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2aRappel : La puissance moyenne d’un dipôle RLC en régime
sinusoïdal est P=UIcos = (R)I2 avec I : intensité efficace.
P  (R  r)I2  (R  r)
Im2 (R  r) Um2

2
2 Z2
P
(R  r)
2
Um2
d’où P 
(R  r)
2
Um2
1 2
1 2
(R  r)2  (2NL 
)
)
2CN
C
b- P est maximale signifie que I est maximale ( à la résonance d’intensité correspond une résonance de
puissance) donc
1
1 2
 160Hz .
(2NL 
) est minimale ( zéro est la valeur minimale d’une fonction positive) d’où N2 
2CN
2 LC
cUm2
Um2
(R  r)
P2 

 0,88 W .
2 (R  r)2  0 2(R  r)
(R  r)2  (L 
3- N=N2 nous sommes à la résonance d’intensité :
a- i(t)=Imsin(2t + i) tel que u(t) et i(t) sont en phase d’où i=u=0 et Im 
Umax Umax
18


 0,098 A
Zmim R  r 170  14,28
i(t)=0,098sin(320t).
bRappel : Le voltmètre mesure la tension efficace
ZDN  r 2  (L 
I
1
1 2
 0 d’où ZDN=r donc UDN=rI  r m 1V.
) dans ces conditions L 
C
C
2
cRappel : Le coefficient de surtension est :
Uc
ZI
L0
1
1
Q  max )
 c max 
or
 L0 ;Q 

0
Umax
ZminImax C0 (R  r) C0
Rr
On peut montrer que Q 
1
L
Rr C
A.N : Q=2,16 >1 il y’a surtension.
Exercice 2
Enoncé :
Une portion de circuit AB comporte en série, un résistor de
résistance R, un condensateur de capacité C et une bobine
d’inductance L et de résistance interne négligeable. Entre A et B , on
applique une tension alternative sinusoïdale u(t)= Um sin 2Nt . A l’aide
d’un oscilloscope bicourbe , on visualise les tensions uc(t) aux bornes
du condensateur et u(t) aux bornes de AB , on obtient les
oscillogrammes suivants :
1- Parmi les deux schémas de circuit suivants, reproduire sur la copie à
remettre, celui qui permet d’obtenir les oscillogrammes précédents en
indiquant les branchements de l’oscilloscope.
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5v/div
C2
C1
Sensibilité horizontale : 2ms/div
Sensibilité verticale : 5V/div
(pour les 2 voies)
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C
L
L
C
R
R
A
B
A
B
2- Préciser, en le justifiant, l’oscillogramme qui correspond à u(t) et celui qui correspond à uc(t).
3- A partir des oscillogrammes déterminer :
a- la fréquence N de la tension u(t).
b- les valeurs maximales Um et Ucm respectivement des tensions u(t) et uc(t) .
c- le déphasage  = u- uc.
4a- A partir de l’expression i(t) = Im sin (2Nt+i) de l’intensité instantanée du courant , exprimer uc(t) en fonction
du temps.
b- donner l’expression de Im en fonction de N, C et Ucmax. Calculer Im sachant que C = 4,7 µ F.

c- Montrer que la tension u(t) est en retard de par rapport à i(t). Le circuit est-il inductif, capacitif ou équivalent à
4
une résistance pure ?
5- Faire la construction du Fresnel relative à ce circuit en prenant pour échelle : 1cm 
 1V . En déduire la
valeur de R et de L.
6- On augmente la fréquence N de la tension excitatrice u(t) , pour N = N1 , on constate que uc(t) devient en
quadrature retard de phase par rapport à u(t). Montrer que le circuit est alors le siège de résonance d’intensité.
Calculer N1.
Corrigé :
1L
C
R
A
uc
Voie Y2
u
B
Voie Y1
2- Uc(t) est toujours en retard de phase sur u(t), d’après le graphe, C2 est en retard de phase sur C1 donc :
C 
 u(t)
{C12  uc (t)
3T 
 8 div
1
1
d' où T  16ms N  
 62,5Hz .
a- {
2ms 
1div
T 16.103
b-
Um 
1,4 div
{5 V 1div
UCm 
 2 div
{5 V 1div
c-
d' où Um  10 V .
  t avec
 
d' où Um  7 V
T 
 8 div
{ t 1div
d' où t 
T
8
2 T 

 rad or d’après le graphe, u(t) est en avance de phase sur uc(t) donc u - uc = rad .
T 8 4
4
4I
1
1

a- uc (t)   idt   Im sin( t  i )dt  m sin( t  i  ) .
C
C
C
2
Im
Im

;d' où Im  2NCUc max .A.N : Im  2.62,5.4,7.106.10  18,45.103 A .
b- On a Uc max 
C 2NC
du






c- On a u - uc = rad .or i  C c donc i = uc+
; uc = i - on aura alors u – (i - ) =
; u – i +
4
2
2
2
4
2
dt



=
enfin u – i = u(t) est en retard de
sur i(t) : le circuit est capacitif.
4
4
4
5-
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


uR (t)  R.i(t)  RIm sin( t  ) 
 V 1(RIm ; ); u  0 d' où i  rad
4
4
4
Im

uc (t) 
 V3 (
 10 V ; i  )  V 3  10 cm
C
2
'
+
V2
u(t) 
 V(Um  18 V ; u  0)  V  9 cm
uB  L
V3
LIm
di


 V 2 (LIm  ? ; i  rad) .
dt
2
RIm  5,5 cm d' ou RIm  5,5 V R 
5,5
RIm
V1
 298,1
18, 45.10 3
5,5
LIm  4,5cmd' ou LIm  4,5 V L 
 0,65H.
Im
6
u - uc = rad .
4
i 

4
Im
C
Um
V
V3
u  0
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