Les transformations du plan

Les transformations du plan
L’idée de transformation provient à la fois de l’observation de certains phénomènes naturels
et de l’expérience pratique .L’idée de symétrie par exemple est d’abord perceptive ;
perception de l’organisation particulière de certaines figures .Les symétries sont nombreuses
dans la nature.
L’observation des ombres posées sur le sol ou sur un mur fournit l’idée intuitive de projection
parallèle à une direction.
L’agrandissement ou la réduction d’une figure donne un autre exemple de figures
transformées.
On peut alors observer certaines propriétés : un déplacement ou un retournement ou un
pivotement ne change pas les mesures des longueurs des cotés et des angles. Ces
transformations : translation, rotation, symétries sont appelées isométries (conservation des
mesures des angles et des longueurs des côtés).
Par une projection, un agrandissement ou une réduction, ces mesures ne sont pas conservées.
Par une projection, les figures se déforment. Des rapports existent entre les mesures des
longueurs des segments projetés et les mesures des longueurs de leurs projections (exemple
l’ombre d’un bâton)
Par agrandissement ou réduction, les mesures des longueurs ne sont pas conservées mais la
mesure des angles l’est. On parle de figures semblables ou de même forme.
1) Les symétries axiales
La symétrie axiale d’axe D est une symétrie par rapport à un axe D. C’est la transformation
qui, à tout point M, associe le point M’ tel que D soit la médiatrice du segment [MM’].
M
M'
D
Propriétés :
• Le transformé de tout point de l’axe D est le point lui-même ; l’axe de symétrie est
l’ensemble des points invariants par la symétrie
• L’image d’une droite est une droite
• L’image d’une figure plane est une figure isométrique à celle-ci
• Il y a conservation des mesures des longueurs et des angles.
• Les images de deux droites parallèles sont des droites parallèles
• Les images de deux droites perpendiculaires sont perpendiculaires
• Si M et N ont pour symétriques respectifs M’ et N’ alors MN =M’N’
• Si de plus P a pour symétrique P’ alors l’angle NMP a même mesure que
l’angle ''' PMN

Eléments de symétrie d’une figure
Lorsqu’une figure est composée de 2 figures symétriques par rapport à un axe (ou à un
point), on dit qu’elle possède un axe de symétrie (ou un centre de symétrie).
Une figure peut posséder plusieurs axes de symétrie mais ne peut avoir qu’un seul centre
de symétrie
Une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie sans avoir de centre de symétrie et avoir
un centre sans avoir aucun axe de symétrie
Une figure qui possède deux axes de symétrie perpendiculaires possède aussi un centre de
symétrie qui est le point d’intersection des deux axes.
Exemples :
Un triangle isocèle : un axe de symétrie, la médiane, issue du sommet principal (aussi
hauteur, médiatrice, et bissectrice)
Un triangle équilatéral :
Les 3 médianes sont axes de symétrie
Un parallélogramme :
Le centre du parallélogramme est un centre de symétrie
Un rectangle :
Les 2 médianes : axes de symétrie et le centre du rectangle : centre de symétrie
Un losange :
Les deux diagonales : axes de symétrie et le centre du losange : centre de symétrie
Un carré :
Les 2 médianes et les 2 diagonales : axes de symétrie et le centre du carré : centre de
symétrie

2) Les rotations
Pour définir cette transformation, il faut tout d’abord définir un sens de rotation. On parle
de sens direct(ou positif) si on tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et de
sens indirect dans sinon. La mesure d’un angle de sens direct est positive celle d’un angle
de sens indirect est négative.
La rotation de centre O et d’angle α (direct ou indirect)est la transformation du plan, qui à
tout point M du plan, associe le point M’ tel que OM = OM’ et l’angle 'MOM a pour
mesure α .
M’ appartient à la fois au cercle de centre O et de rayon OM et à la demi droite qui
détermine avec [OM) un angle de mesure α .
M
O
M'
N
P
N'
P'
Propriétés :
• L’image d’une droite par une rotation est une droite
• La droite transformée d’une droite forme avec cette droite un angle de même mesure
que celui de la rotation ici l’angle formé par les droites (PN) et (P’N’) a pour mesure α
• Le centre O est invariant
• L’image d’une figure plane est une figure isométrique à celle-ci. OMN et OM’N’ sont
des triangles isométriques.
• Un cercle est transformé en un cercle de même rayon
Remarque : Les symétries centrales du plan sont des rotations particulières du plan dont
l’angle est un angle plat (180°) : O le centre est le milieu du segment [MM’]

3) Les translations
Soient deux points A et B, la translation, qui envoie A sur B, est la transformation qui à tout
point M, associe le point M’ tel que ABM’M soit un parallélogramme.
On dit que les bipoints (A, B) et (M, M’) sont équipollents ; ils représentent un même vecteur
et ainsi :
- (A, B) et (M, M’) ont la même direction (droites parallèles).
- on va de M vers M’ dans le même sens que de A vers B.
- AB=MM’
La translation est alors la translation de vecteur v =
AB
.
Remarque : Si ABDC est un parallélogramme, la translation de vecteur v =
AB
envoie A sur
B et C sur D. Dans ce cas, on a aussi : A a pour image C et B a pour image D par la
translation de vecteur AC .
Propriétés :
La translation conserve :
- les mesures des longueurs et des angles
- l'alignement des points.
- les milieux
et l'image d'une droite par une translation est une droite parallèle à celle-ci.
4) Propriétés des isométries :
Les transformations qui conservent les angles et les distances sont des isométries.
Les translations et les rotations sont des déplacements : ce sont des isométries directes
Les symétries axiales sont des retournements : ce sont des isométries indirectes.
• l'image d'une droite est une droite
• l'image d'une demi droite est une demi droite
• l'image d'un segment est un segment de même longueur
• deux droites parallèles sont transformées en deux droites parallèles
• deux droites perpendiculaires sont transformées en deux droites perpendiculaires
• l'image d'une figure est une figure isométrique à cette figure
• l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.

5) Triangles isométriques
Définition : Deux triangles sont isométriques si leurs côtés sont deux à deux de même
longueur .
•
•
C F
A E
B G
• Remarques:
1. Par souci de commodité, on notera l'un sous l'autre les sommets qui se correspondent : A B C
E F G
2.losque des triangles sont isométriques, on dit aussi qu’ils sont superposables.
3. Si A' B' C' est l'image de ABC par une isométrie, alors les triangles ABC et A' B' C' sont
isométriques.
Réciproquement, si deux triangles sont isométriques, on peut trouver une succession
d'isométries (rotation, translation, éventuellement symétrie axiale) qui permettent de passer
d'un triangle à l'autre.
D'où la conséquence ci-dessous:
Si deux triangles sont isométriques, alors ils ont leurs angles égaux deux à deux.
Remarque: La réciproque est fausse.
Deux triangles ayant leurs angles égaux deux à deux ne sont pas forcément de mêmes
dimensions.
=
=
=
FGBC
EGAC
EFAB
donc ABC et EFG sont des triangles isométriques
=
=
=
FGBC
EGAC
EFAB
donc ABC et EFG sont isométriques
et donc Â=Ê, B=F et C= G .