Les transformations du plan

Les transformations du plan
L’idée de transformation provient à la fois de l’observation de certains phénomènes naturels
et de l’expérience pratique .L’idée de symétrie par exemple est d’abord perceptive ;
perception de l’organisation particulière de certaines figures .Les symétries sont nombreuses
dans la nature.
L’observation des ombres posées sur le sol ou sur un mur fournit l’idée intuitive de projection
parallèle à une direction.
L’agrandissement ou la réduction d’une figure donne un autre exemple de figures
transformées.
On peut alors observer certaines propriétés : un déplacement ou un retournement ou un
pivotement ne change pas les mesures des longueurs des cotés et des angles. Ces
transformations : translation, rotation, symétries sont appelées isométries (conservation des
mesures des angles et des longueurs des côtés).
Par une projection, un agrandissement ou une réduction, ces mesures ne sont pas conservées.
Par une projection, les figures se déforment. Des rapports existent entre les mesures des
longueurs des segments projetés et les mesures des longueurs de leurs projections (exemple
l’ombre d’un bâton)
Par agrandissement ou réduction, les mesures des longueurs ne sont pas conservées mais la
mesure des angles l’est. On parle de figures semblables ou de même forme.
1) Les symétries axiales
La symétrie axiale d’axe D est une symétrie par rapport à un axe D. C’est la transformation
qui, à tout point M, associe le point M’ tel que D soit la médiatrice du segment [MM’].
M
M'
D
Propriétés :
• Le transformé de tout point de l’axe D est le point lui-même ; l’axe de symétrie est
l’ensemble des points invariants par la symétrie
• L’image d’une droite est une droite
• L’image d’une figure plane est une figure isométrique à celle-ci
• Il y a conservation des mesures des longueurs et des angles.
• Les images de deux droites parallèles sont des droites parallèles
• Les images de deux droites perpendiculaires sont perpendiculaires
• Si M et N ont pour symétriques respectifs M’ et N’ alors MN =M’N’
• Si de plus P a pour symétrique P’ alors l’angle NMP a même mesure que
l’angle N ' M ' P '
Eléments de symétrie d’une figure
Lorsqu’une figure est composée de 2 figures symétriques par rapport à un axe (ou à un
point), on dit qu’elle possède un axe de symétrie (ou un centre de symétrie).
Une figure peut posséder plusieurs axes de symétrie mais ne peut avoir qu’un seul centre
de symétrie
Une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie sans avoir de centre de symétrie et avoir
un centre sans avoir aucun axe de symétrie
Une figure qui possède deux axes de symétrie perpendiculaires possède aussi un centre de
symétrie qui est le point d’intersection des deux axes.
Exemples :
Un triangle isocèle : un axe de symétrie, la médiane, issue du sommet principal (aussi
hauteur, médiatrice, et bissectrice)
Un triangle équilatéral :
Les 3 médianes sont axes de symétrie
Un parallélogramme :
Le centre du parallélogramme est un centre de symétrie
Un rectangle :
Les 2 médianes : axes de symétrie et le centre du rectangle : centre de symétrie
Un losange :
Les deux diagonales : axes de symétrie et le centre du losange : centre de symétrie
Un carré :
Les 2 médianes et les 2 diagonales : axes de symétrie et le centre du carré : centre de
symétrie
2) Les rotations
Pour définir cette transformation, il faut tout d’abord définir un sens de rotation. On parle
de sens direct(ou positif) si on tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et de
sens indirect dans sinon. La mesure d’un angle de sens direct est positive celle d’un angle
de sens indirect est négative.
La rotation de centre O et d’angle α (direct ou indirect)est la transformation du plan, qui à
tout point M du plan, associe le point M’ tel que OM = OM’ et l’angle MOM ' a pour
mesure α.
M’ appartient à la fois au cercle de centre O et de rayon OM et à la demi droite qui
détermine avec [OM) un angle de mesure α.
P
P'
O
M
M'
N'
N
Propriétés :
• L’image d’une droite par une rotation est une droite
•
La droite transformée d’une droite forme avec cette droite un angle de même mesure
que celui de la rotation ici l’angle formé par les droites (PN) et (P’N’) a pour mesure α
•
Le centre O est invariant
•
L’image d’une figure plane est une figure isométrique à celle-ci. OMN et OM’N’ sont
des triangles isométriques.
•
Un cercle est transformé en un cercle de même rayon
Remarque : Les symétries centrales du plan sont des rotations particulières du plan dont
l’angle est un angle plat (180°) : O le centre est le milieu du segment [MM’]
3) Les translations
Soient deux points A et B, la translation, qui envoie A sur B, est la transformation qui à tout
point M, associe le point M’ tel que ABM’M soit un parallélogramme.
On dit que les bipoints (A, B) et (M, M’) sont équipollents ; ils représentent un même vecteur
et ainsi :
- (A, B) et (M, M’) ont la même direction (droites parallèles).
- on va de M vers M’ dans le même sens que de A vers B.
- AB=MM’
La translation est alors la translation de vecteur v = AB .
Remarque : Si ABDC est un parallélogramme, la translation de vecteur v = AB envoie A sur
B et C sur D. Dans ce cas, on a aussi : A a pour image C et B a pour image D par la
translation de vecteur AC .
Propriétés :
La translation conserve :
- les mesures des longueurs et des angles
- l'alignement des points.
- les milieux
et l'image d'une droite par une translation est une droite parallèle à celle-ci.
4) Propriétés des isométries :
Les transformations qui conservent les angles et les distances sont des isométries.
Les translations et les rotations sont des déplacements : ce sont des isométries directes
Les symétries axiales sont des retournements : ce sont des isométries indirectes.
•
l'image d'une droite est une droite
•
l'image d'une demi droite est une demi droite
•
l'image d'un segment est un segment de même longueur
•
deux droites parallèles sont transformées en deux droites parallèles
•
deux droites perpendiculaires sont transformées en deux droites perpendiculaires
•
l'image d'une figure est une figure isométrique à cette figure
•
l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
•
5) Triangles isométriques
Définition : Deux triangles sont isométriques si leurs côtés sont deux à deux de même
•longueur.
C
F
A
E
B
AB = EF 

AC = EG 
BC = FG 
G
donc ABC et EFG sont des triangles isométriques
• Remarques:
1. Par souci de commodité, on notera l'un sous l'autre les sommets qui se correspondent : A B C
EFG
2.losque des triangles sont isométriques, on dit aussi qu’ils sont superposables.
3. Si A' B' C' est l'image de ABC par une isométrie, alors les triangles ABC et A' B' C' sont
isométriques.
Réciproquement, si deux triangles sont isométriques, on peut trouver une succession
d'isométries (rotation, translation, éventuellement symétrie axiale) qui permettent de passer
d'un triangle à l'autre.
D'où la conséquence ci-dessous:
Si deux triangles sont isométriques, alors ils ont leurs angles égaux deux à deux.
AB = EF 

AC = EG  donc ABC et EFG sont isométriques
BC = FG 
et donc Â=Ê, B=F et C= G .
Remarque: La réciproque est fausse.
Deux triangles ayant leurs angles égaux deux à deux ne sont pas forcément de mêmes
dimensions.
Théorèmes de caractérisation :
Remarques: Dans le théorème 1 , la position de l'angle entre les deux côtés est essentielle.
Le théorème est faux si cette hypothèse n'est pas vérifiée. Dans le théorème 2, la situation est
différente, car si BÂC=FÊG et ABC=EFG, on a ACB=FGE (égalités d’angles). La position
du côté n’a pas d'importance.
6) Triangles semblables :
Définition : deux triangles sont semblables si leurs angles sont deux à deux de même mesure.
ABC et EFG sont semblables si et seulement si A=E ,B=F et C=G (égalités d’angles) .
Remarques : comme la somme des angles d’un triangle est toujours égale à 180° , il suffit que
deux angles de l’un des triangles soient égaux à deux angles de l’autre.
Lorsque deux triangles sont semblables , on dit qu’ils sont de même forme.
Propriété des triangles semblables :
Théorème : si deux triangles sont semblables , alors ils ont leurs côtés proportionnels.
Réciproquement, si deux triangles ont leurs côtés proportionnels , alors ils sont semblables.
AB BC AC
=
=
ABC et EFG sont semblables si et seulement si
EF FG EG
ce théorème généralise le théorème de Thalès et permet d’obtenir des égalités d’angles à partir
des égalités de rapports de longueurs et réciproquement.
7) Projection sur une droite parallèlement à une direction donnée :
La projection sur une droite D parallèlement à une direction δ est une transformation, qui à
tout point M du plan, associe le point M’tel que appartient M’à D et (MM’) est parallèle à δ.
Si M,N,P sont alignés et si M’, N’, P’, sont les projetés de M, N, P par la projection sur D
parallèlement à δ, alors il existe un réel k tel que :
M’N’ = k MN ; M’P’ = k MP ; N’P’ =k NP (Thalès).
k est le rapport de projection
M ' N ' M ' P' P ' N '
Remarque : cependant, si ces rapports
,
,
sont égaux, les mesures des
MN
MP PN
longueurs ne sont pas conservées : MN≠ M’N’
8) Agrandissement ou réduction : homothétie de centre O et de rapport k, k réel positif.
Par un agrandissement ou une réduction, la forme des figures (et les angles) est conservée
mais pas les longueurs des côtés.
L’homothétie de centre O et de rapport k est la transformation, qui à tout point M associe le
point M’ de [OM) tel que OM’= k OM
Si k > 1, on a un agrandissement ; si k<1, on a une réduction. On ne considère que les cas où
k est positif car ce sont les seuls cas étudiés à l’école primaire.
Propriété : (MN) et (M’N’) sont parallèles. On retrouve le résultat du théorème de Thalès.
N'
N
O
M
M'
LES TRANSFORMATIONS A L’ECOLE PRIMAIRE
1) les programmes
Extrait des programmes 2008 :
Cycle 2 :
Cours élémentaire
première année
Cours préparatoire
Géométrie
- Percevoir et reconnaître quelques
relations et propriétés
géométriques : alignement, angle
droit, axe de symétrie, égalité de
longueurs.
Cycle 3 :
Géométrie
Cours élémentaire
deuxième année
Cours moyen
première année
Cours moyen
deuxième année
- Reconnaître qu’une
figure possède un ou
plusieurs axes de
symétrie, par pliage ou
à l’aide du papier
calque.
- Tracer, sur papier
quadrillé, la figure
symétrique d’une figure
donnée par rapport à
une droite donnée.
- Utiliser en situation le
vocabulaire géométrique :
points alignés, droite,
droites perpendiculaires,
droites parallèles,
segment, milieu, angle,
axe de symétrie, centre
d’un cercle, rayon,
diamètre.
agrandissement et réduction
de figures planes, en lien
avec la proportionnalité.
(approche de la notion
d’échelle)
- Compléter une figure par
symétrie axiale.
2) les problèmes abordés :
Deux types de transformations sont au programme de l’école primaire : la symétrie et
l’homothétie de rapport positif (agrandissement et réduction).
La symétrie axiale :
Les types de problèmes :
Au cycle 1 :
L’intuition de la symétrie apparaît de manière perceptive : par le reflet d’un objet dans
l’eau, par l’observation des feuilles des arbres, d’images de papillons ou par d’autres
occasions offertes par la nature.
Au cycle 2 :
La symétrie va être mise en évidence par la perception des axes de symétrie de certaines
figures géométriques. Les premières découvertes feront appel à des situations qui mettent
en évidence un axe de symétrie d’une figure par pliage.
Au cycle 3 :
Les élèves sont appelés à vérifier qu’une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie
et les procédures utilisées seront : le pliage, le découpage et le retournement, l’utilisation
du papier calque.
Ils devront être capables :
- de tracer la figure symétrique d’une figure sur papier quadrillé ou sur papier uni à
main levée
- de compléter une figure par symétrie.
Les différents types de problèmes dépendent de la position de l’axe de symétrie par
rapport à la figure. L’axe peut couper la figure, être à l’extérieur de la figure ou les deux à
la fois. Ces positions doivent être différencier à l’école élémentaire car elles correspondent
à deux aspects différents : axes de symétrie d’une figure et figure symétrique d’une autre
par une symétrie axiale.
Les classes de problème peuvent se regrouper selon trois grandes catégories tâches :
1. déterminer si une droite est un axe de symétrie pour une configuration donnée
2. rechercher si une configuration possède ou non un axe de symétrie (ou plusieurs) et le
tracer
3. compléter une figure par symétrie par rapport à un axe de symétrie ou tracer la figure
symétrique d’une autre figure.
1) Type 1 ou 2 : pour rechercher
Les procédures :
Par perception : ce n’est pas une procédure fine mais elle permet d’appréhender
globalement toutes les situations (les élèves de maternelle perçoivent des axes de
symétrie dans certaines figures).La perception suffit quelquefois à déterminer qu’une
droite n’est pas un axe de symétrie d’une figure donnée.
On conjecture l’existence d’un axe et on vérifie cette conjecture. On repère une
sous-figure qui admet un axe de symétrie ou des éléments de la figure qui semblent
symétriques.
-
Pour vérifier, on peut :
soit tracer mentalement, voire réellement le symétrique de la figure
soit effectuer mentalement le pliage et vérifier qu’il y a bien superposition des deux
parties supposées être symétriques en pliant suivant l’axe choisi.
soit réaliser réellement le pliage et constater la superposition si le papier est
suffisamment transparent
soit associer le pliage au découpage lorsque l’axe coupe la figure
Tracer la figure sur papier calque et utiliser le pliage
Utiliser un miroir sans tain
Les difficultés :
Certains élèves n'arrivent pas à mobiliser des images mentales de pliage ou de
construction de symétrique. Dans le cas du pliage, il y a une difficulté supplémentaire,
dans la mesure où les élèves doivent déplacer une image mentale ne se situant pas
dans le plan.
Beaucoup d'élèves s'appuient sur le théorème-élève suivant: « un axe de symétrie
d'une figure passe par le "milieu" de cette figure ». Mais attention le mot « milieu»
utilisé par les élèves a plusieurs sens, il peut s'agir:
- du milieu d'un segment;
- du centre d'un cercle, d'un parallélogramme;
- d'une droite qui partage la figure en deux figures superposables.
En somme, pour les élèves, le « milieu» est le point d'équilibre ou une ligne
d'équilibre.
Complétant ce théorème-élève, beaucoup d'élèves pensent que l'axe de symétrie doit
partager la figure en deux parties superposables.
Les élèves privilégient les axes verticaux ou horizontaux, dans la mesure où ils le sont
souvent dans leur contexte social et scolaire. Ceci a plusieurs conséquences:
- dans le cas d'une figure présentant plusieurs axes de symétrie, les élèves ne repèrent
que l'axe horizontal ou vertical s'il existe1 : c'est le cas d'un triangle équilatéral posé
sur un côté;
- si une figure qui admet un axe de symétrie est représentée de telle sorte que cet axe
ne soit ni horizontal, ni vertical, beaucoup d'élèves estimeront que la figure n'admet
pas d'axe de symétrie. C'est encore davantage le cas s'il y a plusieurs axes de symétrie.
Par exemple, nombreux sont les élèves qui ne voient pas les axes de symétrie de la
figure (1) alors qu'ils les perçoivent pour la figure (2).
Figure (1)
Figure (2)
1
Dans certains cas, il peut aussi y avoir un phénomène de contrat qui amène l'élève à penser qu'il y a au maximum un axe de symétrie
par figure (règle induite par les exercices proposés).
Dans ce cas où la figure est composée de figures élémentaires facilement repérables et
possédant chacune un axe de symétrie, les élèves ont tendance à assimiler ces axes avec ceux
de la figure complète. Cette analyse des difficultés permet de mettre en évidence les variables
didactiques associées à la tâche de reconnaissance d'un axe de symétrie.
Les variables didactiques
Elles peuvent être classées suivant plusieurs critères.
Les outils dont dispose l'élève
- L'élève dispose de papier calque : il peut l'utiliser pour décalquer la figure et faire divers
essais de pliage pour trouver un éventuel axe de symétrie. Dans ce cas, il peut ne pas avoir
besoin d'anticiper sur une position de l'axe. On se retrouve dans une situation analogue
lorsqu'il a la possibilité de plier la feuille sur laquelle est représentée la figure.
- L'élève dispose d'un géomiroir2 : dans ce cas, il peut contrôler si une droite est un axe de
symétrie.
- L'élève ne dispose pas des outils ci-dessus et ne peut plier la feuille: il est obligé de faire
appel à des images mentales (cf. les procédures décrites ci-avant).
Le support sur lequel est représentée la figure
- La figure est tracée sur papier quadrillé. Deux cas:
- l'axe de symétrie correspond à une ligne du quadrillage. Dans ce cas, l'axe étant tracé, cela
facilite bien sûr son repérage, de même que le décompte des carreaux facilite la vérification;
- si l'axe ne correspond pas à une ligne du quadrillage, la présence de ces lignes peut induire
l'élève en erreur dans la mesure où il recherchera l'axe uniquement parmi les lignes du papier
quadrillé.
- La figure est tracée sur papier non quadrillé:L’élève est obligé de faire appel à des images
mentales.
Les caractéristiques de la figure (on se place dans le cas où la figure est représentée sur papier blanc)
- L'orientation de l'axe (quand il existe) : l'élève reconnaîtra plus facilement un axe «
horizontal » (ou « vertical ») qu'un axe oblique.
- Le nombre d'axes de symétrie: si la figure possède plusieurs axes de symétrie, l'élève, après
en avoir trouvé un, peut considérer que sa tâche est terminée, et donc ne pas trouver les autres.
- La familiarité de l'élève avec la figure: si c'est une silhouette de personne ou un triangle
isocèle, l'élève reconnaîtra facilement l'axe de symétrie.
- Les figures de base qui constituent la figure:
- si la figure est composée de deux éléments isolés qui sont symétriques, l'élève reconnaîtra
facilement l'existence de l'axe, comme dans l'exemple ci-dessous;
en revanche, si la figure est composée de deux éléments superposables non symétriques,
il risque de considérer que la figure a un axe de symétrie ; - si la figure peut être partagée par
une droite en deux parties superposables, l'élève risque fort de reconnaître un axe de symétrie
alors qu'il n'yen a pas forcément un ; c'est par exemple le cas de la diagonale d'un
parallélogramme.
2
Plaque en plastique, qui permet à la fois de réfléchir l'image du dessin et de voir par transparence la figure placée derrière
elle. On peut ainsi contrôler si une droite est un axe de symétrie ou placer des points symétriques.
2) Type 3 : Compléter une figure par symétrie ou tracer le symétrique d'une figure
par rapport à un axe
Les procédures possibles
À l'école, trois cas peuvent se présenter, suivant le matériel et les consignes données aux
élèves.
Papier calque
Dans ce cas, l'exécution de la technique du tracé demande à l'élève d'appliquer une technique
qui n'est pas forcément élémentaire. Il doit:
- décalquer la figure de départ avec l'axe (cela suppose des compétences psychomotrices) ;
- retourner la feuille de papier calque et placer la feuille correctement sur l'axe et à bonne«
hauteur ». Cela suppose qu'il ait pris un point de repère sur l'axe;
- repasser le crayon sur la figure afin qu'elle laisse une empreinte sur la feuille.
Papier quadrillé
On peut distinguer deux procédures:
- une première procédure consiste à placer le symétrique de tous les points remarquables de la
figure et à joindre les points ainsi obtenus. À l'école, on demande principalement de construire
des symétriques de polygone, les points remarquables étant alors les sommets ;
- une deuxième procédure consiste à placer le symétrique d'un point puis à construire la figure
à partir de ce point, en « inversant » la figure de départ et en respectant des propriétés de
conservation des longueurs.
Le placement des points symétriques3 est facilité dans le cas où l'axe coïncide avec une ligne
du quadrillage; en effet, dans ce cas, les perpendiculaires sont déjà tracées et le report de
mesure se fait par décompte des carreaux. Dans le cas où l'axe ne coïncide pas avec une ligne
du quadrillage, des obstacles peuvent apparaître, comme nous le verrons plus loin.
À main levée
L'élève peut soit effectuer le tracé des points clés, soit construire globalement l'image de la
figure en contrôlant éventuellement par pliage.
Les difficultés des élèves
Tracé du symétrique à l'aide d'un quadrillage
Une première erreur consiste à se tromper dans le dénombrement des carreaux lors de la
construction du symétrique d'un point.
Une deuxième erreur consiste à construire le symétrique d'un point correctement puis à placer
l'image de la figure en la translatant. Cette erreur a pour origine le fait que l'élève a retenu que
le symétrique d'une figure est superposable à la figure de départ et placée de l'autre côté de la
droite.
Dans le cas d'un axe porté par les diagonales des carreaux du quadrillage, une autre erreur
consiste à suivre les lignes du quadrillage (horizontales ou verticales) pour tracer le
symétrique d'un point. Cette procédure a pour origine les premiers exercices que l'élève
rencontre, dans lesquels l'axe est soit horizontal, soit vertical et donc pour lesquels la
procédure qui consiste à suivre les lignes du quadrillage donne un résultat juste.
3
On se place bien sûr dans le cas où les sommets du quadrilatère sont sur les noeuds du quadrillage.
Une troisième erreur peut se produire lorsque le nombre de sommets du polygone dont il faut
tracer le symétrique est important. L'élève trace le symétrique de tous les points puis il se
trompe en joignant ces points. Cette erreur est liée au fait que l'élève n'arrive pas à se
construire une image mentale du résultat final.
Tracé du symétrique d'une figure à main levée
L'élève doit donc mobiliser des images mentales pour pouvoir placer soit les points clés de la
figure (sommets ou centres des arcs de cercle), soit la figure globale. Les difficultés dans ce
cas sont celles liées à la mobilisation d'images mentales que nous avons analysées
précédemment. Mais ici il faut en plus que l'élève puisse, une fois qu'il a réussi à placer
mentalement sa figure, tracer les éléments de cette figure; dans le cas où ce tracé n'est pas
parfaitement automatisé, l'élève peut perdre le contrôle de son image mentale (surcharge
cognitive).
Les variables didactiques
Ces analyses nous permettent de mettre en évidence les principales variables didactiques
relatives à la tâche de construction du symétrique d'une figure.
Consignes données aux élèves: peuvent-ils plier la feuille ou non?
Matériel mis à la disposition des élèves: papier calque, géomiroir, etc.
L'axe est-il horizontal? vertical? oblique?
La figure: est-elle une figure «classique» ? Composée de figures classiques? Si c'est
un polygone, quel est son nombre de sommets? La figure coupe-t-elle l'axe? Contientelle des côtés horizontaux ou verticaux? Dans ce dernier cas, cela peut renforcer le fait
que l'élève suive les lignes du quadrillage.
L'espace réservé aux élèves pour répondre: cet espace leur permet-il de mettre en
œuvre toutes les procédures auxquelles ils peuvent penser?
Le choix de chacune de ces variables va plus ou moins faciliter la mobilisation de certaines
procédures par les élèves. Certains choix peuvent renforcer des procédures erronées, avec un
pourcentage d'erreurs très important, comme le montre l'exemple de la figure ci-contre.
On retrouve ici le quadrillage, l'orientation verticale du segment et l'axe oblique ce qui
entraîne des difficultés spécifiques, du fait que le symétrique du segment vertical devient
horizontal et va à l'encontre du théorème-élève selon lequel le symétrique d’une figure est une
figure «identique ».
L’agrandissement et la réduction :
Au cours du CM2, des agrandissements et des réductions seront réalisés sur papier
quadrillé et dans des cas très simples sur papier blanc (carré, rectangle, triangle).Les
figures initiales et les figures transformées sont de même forme (les angles sont
conservés) et les longueurs des côtés de la figure initiale et de la figure transformée sont
reliées par une relation de proportionnalité. Cet enseignement se fera donc en liaison avec
la proportionnalité.
Les procédures
Dans les situations d’apprentissage, les élèves privilégient les procédures numériques
correctes (recherche ou utilisation du coefficient) ou incorrectes (modèle additif)
Les propriétés de conservation de l’alignement et du parallélisme sont souvent utilisées
alors que celle des angles l’est beaucoup moins (pas de mesures possibles).
Les élèves utilisent aussi très facilement la conservation des formes pour les figures les
plus simples.
Les variables didactiques
Si l’on souhaite que les élèves utilisent les propriétés de conservation de ces
transformations, il est nécessaire de bloquer les procédures numériques :
- soit en supprimant les instruments de mesures
- soit en utilisant un coefficient de proportionnalité non entier.
les difficultés rencontrées
que les élèves considèrent l’agrandissement comme l’ajout d’un segment de longueur
fixe à tous les côtés (figure initiale polygonale)
qu’ils ne cherchent à utiliser que des procédures numériques
difficulté à prendre conscience de la conservation des éléments.