Exercice n°1 : Véhicule automobile Exercice n°2 : Machine d`essai

Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses
Exercice n°1 : Véhicule automobile
1. Déterminer la puissance développée par l'action mécanique de :
• (S1) sur (S), dans le mouvement de (S) par rapport à (S1);
P ( S 2 → S / S 1 )=C . ω
(S0) sur (S), dans le mouvement de (S) par rapport à (S0);
•
P (S 0 → S / S 0 )=O
(S0) sur (S), dans le mouvement de (S) par rapport à (S1);
•
P (S 0 → S / S 1)=−T. r. ω
(S) sur (S1), dans le mouvement de (S1) par rapport à (S0);
•
P (S →S 1 /S 0)=Y.v
(S) sur (S1), dans le mouvement de (S1) par rapport à (S).
•
P (S →S 1 /S )=O
2. Déterminer entre les dates t1 = 0s et t2 = 30s le travail de l'action mécanique de la roue (S) sur la roue
(S1) dans le mouvement de (S1) par rapport à (S0). Loi de vitesse : v =γ t ;
Application numérique
γ=2,2 m/ s² et Y =300 N
t2
t1
3
W (S → S 1 /S 0)=297 10 J
Exercice n°2 : Machine d'essai
1. Quelle relation y a-t-il entre
φ et θ ? a. ϕ=−r . θ
2. Quelle équation obtient-on en appliquant le théorème de l'énergie cinétique à (S) dans son mouvement par
I
θ̈ .(m+ 2 ).(r −a )+m.g.sin θ=0
a
3. En supposant que l'angle θ reste petit au cours du mouvement, déterminer la période T des oscillations
I
( m+ 2 )(r−a)
de (S).
a
T =2. π .
m.g
rapport à R?
√
4. En déduire le moment d'inertie I de (S), sachant que T = 5 secondes.
I =5,3.10−2 Kg.m 2
θ=θ0 et θ̇=0 .
Déterminer la valeur maximale de θ0 pour que (S) roule sans glisser sur (I).
5. On suppose à la date t = 0, que
on applique le PFD à S en C, on obtient 3 équations et des 3 équations on en déduit :
tan θ 0 max= f (1+m
a2
)
I
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Exercice n°4 : étude d'un arbre à cames
1. Déterminer le vecteur vitesse de glissement au point I de (S) par rapport à (T).
⃗
V I ,S / R=−a ω ⃗x+e ω y⃗1
2. Déterminer le travail perdu par frottement par les actions mutuelles entre (S) et (T) pendant un tour de
l'excentrique.
W 20 π (S ⇔T )=− f.m π(2.a.g+(e. ω)2)
3. Déterminer l'expression, en fonction du temps, du moment du couple moteur qui entraîne en rotation (S) à
vitesse angulaire constante. Conclusion.
Théorème de l'énergie cinétique appliqué à S :
C m=m g e cos θ+m(g −e ω2 sin θ)( f (a+e sin θ)+e cos θ)
Exercice n°5 : Laminoir
Un moteur électrique entraîne un laminoir. Son arbre est solidaire d'un volant
d'inertie (S) de rayon r=1 m, dont la masse M = 500 kg est supposée répartie
sur la jante.
L'arbre moteur entraîne en rotation, en sens inverse, les deux cylindres (S1) et
(S2) du laminoir, par l'intermédiaire d'engrenages .
Soit
K=
2
le rapport des vitesses de rotation entre les cylindres et l'arbre
3
moteur.
Soit I=10 kg·m² le moment d'inertie des cylindres par rapport à leur axe de
rotation. Les différentes liaisons sont supposées parfaites.
1. Déterminer l'inertie équivalente du volant d'inertie et des cylindres, rapportée à l'arbre moteur du laminoir;
2
2
2
I E =2.I K +mr =509 kg.m
Pendant la phase de démarrage du laminoir. Le moteur exerce un couple de moment constant C0 = 160
mN.
2. Déterminer au bout de combien de temps le moteur aura atteint sa vitesse angulaire de fonctionnement de
600 tr/min.
ω
ω
tf = I E f =200s et ω̇= f =0,31 rad /s
C0
tf
A l'instant où l'on engage une barre la vitesse angulaire du moteur est de 600 tr/min. Lorsque la barre est,
passée à travers le laminoir, cette vitesse n'est plus que de 450 tr/min.
3. Déterminer le travail exilé par cette opération, sachant qu'elle a duré 1,5 seconde, et que le moteur a
développé une puissance constante de 10 kW.
W absorbée =455 kJ
Exercice n°6 : Trappe de désenfumage
Soit le mécanisme de commande d'ouverture automatique de trappe de désenfumage ci-dessous.
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Au bâti 0 est associé le repère
R g (O , x⃗g , y⃗g , z⃗g ) , on pose: ⃗
OB=b x⃗g +c y⃗g
Le bras 1 de masse m1 et de centre d'inertie G1, est lié au bâti 0 par une liaison pivot parfaite d'axe (O , z⃗g ) .
⃗
OA=a x⃗1 ; ⃗
OG 1=e x⃗1 ; α=( x⃗g , x⃗1 )
Le repère R1 (O , x⃗1, y⃗1, z⃗1 ) est lié à l. On pose
[
A1 0
0
L'opérateur d'inertie associé à 1 est I O (1)= 0
B1 0
0
0 C1
]
R1
La roulette 2 de masse m2, de rayon R, de centre d'inertie A, est liée au bras 1 par une liaison pivot parfaite d'axe
( A , z⃗g ) .
Le repère R2 ( A , x⃗2, y⃗2, z⃗2 ) est lié à 2 et on pose β=( x⃗1, x⃗2)
L'opérateur d'inertie associé à 2 est
[
A2
I A (2)= 0
0
0
0
B2 0
0 C2
]
R2
Le plateau 3 de masse m3 et de centre d'inertie G3, est liée au bâti par une liaison glissière parfaite de direction
y⃗g .
Le repère R3 (C , x⃗3, y⃗3, z⃗3) est lié à 3 et on pose ⃗
BC=λ y⃗g et ⃗
CG 3 =k y⃗g
La roulette 2 est en contact en I avec le plateau 3. Le problème est supposé plan.
L'action de la trappe sur 3 est modélisée par le torseur
(
( )
R⃗1
C M z⃗g O
X B x⃗g +Y B y⃗g +Z B z⃗g
L B x⃗g+M B y⃗g + N B z⃗g
Le bras 1 est entraîné par une courroie qui exerce sur 1 un torseur
)
B
On note: Σ = {1 + 2 + 3}
1. Écrire le non glissement en I; en déduire
en projection sur
en projection sur
y⃗G : λ̇=a α̇ cos α
α̇
x⃗G : β̇= (a sin α−R)
R
α̇
λ̇=a α̇ cos α et β̇= R (a sin α−R)
2. Calculer l'énergie cinétique de l'ensemble Σ dans le mouvement par rapport à Rg
1
1
1
Ec(1+2+3/ 0)= C 1 α˙ 2 + (C 2 ( α̇+β)2 +m 2 a 2 α̇2 ) m 3 λ˙ 2
2
2
2
3. Déterminer l'inertie équivalente rapportée au bras 1.
a 2
I E =C 1 +C 2 ( ) sin α2 +m2 a 2+m3 a2 cos α2
r
4. Déterminer la puissance des efforts intérieurs à Σ dans son mouvement par rapport au bâti O.
P interieure=0 car liaisons parfaites et roulement sans glissement
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5. Déterminer la puissance des efforts extérieurs appliqués à Σ
P (ext→3/0)=λ̇ Y B ; P (ext→1/0)=α̇ C M ; P ( pes →3/0)=−m3 g λ̇ ;
P ( pes →2 /0)=−m 2 g a α̇ cos α ; P ( pes →1/0)=−m1 g e α̇ cos α ; P (0→1/0)=0 ;
P (0→3/0)=0
6. En considérant que YB et α̇ sont connus, déterminer l'expression de CM
C M =−a cos α (Y B−m3 g )+(m1 e+m2 a) g cos α+(
C2
r
2
−m3)a 2 cos α sin α α̇2
Exercice 7 : Cylindre qui roule n'amasse pas …
Un cylindre dont la géométrie est connue (masse m, rayon R, hauteur h) est initialement
lancé avec un mouvement de translation sur un plan horizontal à la vitesse V 0 dans la
direction 
x .
Il commence par glisser sur le plan supposé non frottant. A la date t = 0 et à l'abscisse x=0,
aborde une frontière à partir de laquelle il y a frottement (coefficient de frottement f) et où il
est donc ralenti et mis progressivement en rotation autour de son axe G 
z .
Au bout d'un certain temps Δt et à l'abscisse x = L, il finit par avoir un mouvement de
roulement sans glissement sur le plan à la vitesse constante V 1 et poursuit ainsi.
La figure ci-dessous récapitule les différentes phases du mouvement.
Durant la phase de dérapage avec frottement, on peut décrire le champ de vitesse et les actions mécaniques
extérieures à l'aide de la figure ci-dessous :
il
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1. Déterminer la longueur sur laquelle il dérape (L), la durée de cette phase ( Δt ) et la vitesse atteinte (V1 )
une fois le mouvement de roulement sans glissement retrouvé.
Pendant la phase de dérapage (x>0)
A⃗1 /2=− f.An ⃗x +An ⃗y et ⃗
P =−mg ⃗y
⃗
y
On applique le TRD à 2 sur
An=mg
A⃗1 /2=− f.An ⃗x +An ⃗y =mg (− f ⃗x +⃗y )
TEC à 2 par rapport à 1
V V̇ +(
R2
)ω ω̇=− f.g.(V +R. ω) (1)
2
On applique le TRD à 2 sur x⃗ :
m. V̇ =−f.mg d'où V̇ =−f.g , on en déduit V (t )=−f.g.t +cte . A t=0 on a V =V 0 d'où V (t )=−f.g.t +V 0
On remplace V dans l'expression (1) et on en déduit :
Le rouleau s’arrête de déraper lorsque
Δt
−2.f.g
R
d'où
ω(t )=
−2.f.g
.t
R
V
V (A⃗,2 /1) =V ⃗x +R.ω ⃗x=⃗
0 d'où Δt= 0
3.f.g
Détermination de la longueur parcourue :
Δt
ω̇=
2
1 V0
L=∫ V (t )dt =∫ (−f.g.t +V 0 )dt =
9 f.g
0
0
Exercice 8 : Étude d'un réducteur
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Le schéma de principe d'un réducteur à train épicycloïdal à axes parallèles est représenté ci-contre.
Le R0 O , x0, y0, z0  st un repère galiléen lié au bâti (S0) du réducteur.
L'ensemble (S1 ), constitué par l'arbre moteur et la roue dentée de n 1 dents qui lui est liée, a une liaison pivot d'axe
O , x0  avec (S0).
Soit I1 le moment d'inertie de (S1) par rapport à l'axe O , x0  .

  S 1 / R0 =1 x0 L'arbre récepteur (S2) a une liaison pivot d'axe O , x0  avec (S0).
Soit I2 le moment d'inertie de (S2 ) par rapport à l'axe O , x0  . On pose: 
Le repère
  S 2 /R 0= 2 x0 .
R0 O , x0, y , z  est lié à (S2).
Le satellite (S) de n dents, a une liaison pivot d'axe  A , x0  avec (S2 ), telle que 
OA=d y x0 (d>O).
Soient m la masse de (S) et I son moment d'inertie par rapport à l'axe  A , x0  .
Le point A est le centre d'inertie de (S). On pose : 
 S / R = x .
On pose :
0
0
(S) engrène avec une couronne de n0 dents d'axe O , x0  , liée à (S0).
Le moteur exerce sur (S1) une action mécanique représentée par un couple de moment
exerce sur (S2) une action mécanique représentée par le couple de moment −C 2 x0
Toutes les liaisons sont parfaites, l'action mécanique de la pesanteur est négligée.
C 1 x0 . Le récepteur
2

et =
1
1
1. Déterminer  et  en fonction de n, n1 et n0
ω
n
λ= ω21 = 1
n0 +n1
On pose
=
n
n
n
μ=λ + 1 (λ−1)= 1 (1− 0 )
n
n0 +n1
n
2. Déterminer l’énergie cinétique de l'ensemble E = {S1, S2, S} dans son mouvement par rapport à R0
1
Ec(1+2+S /0)= ω̇21 ( I 1 +I 2. λ2 +I.μ 2 +m.d 2 λ 2) avec
2
I E =I 1+I 2. λ 2 +I. μ 2+m.d 2 λ2
3. Déterminer la relation reliant le couple moteur et le couple récepteur à la vitesse de rotation d'entrée du
mécanisme.
On applique le TEC à 1+2+S par rapport à 0
C 1=C 2. λ+ω̇1 . I E
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Problème 1 : Embrayage Mercedes (Centrale 2002)
L’objet de cette partie est de déterminer l’énergie dissipée et le temps de passage de la phase débrayée à la
phase embrayée.
Le modèle retenu pour cette étude est donné par le schéma de la figure ci-dessus.
ωb est la vitesse angulaire de l’arbre d’entrée de la boîte de vitesses et J b le moment d’inertie équivalent,
par rapport à (O , ⃗x) , des éléments en rotation ramenés à l’arbre d’entrée de la boîte.
ωm est la vitesse angulaire de l’arbre moteur et J m le moment d’inertie équivalent, par rapport à (O , ⃗x) ,
des éléments en rotation ramenés à l’arbre de sortie du moteur
On retient, pour cette phase, les hypothèses suivantes :
 Les frottements dans les paliers sont négligés ;
 Dès le contact établi entre les plateaux 1 et 2, le module du couple d’embrayage C 1→ 2 prend
instantanément la valeur maximale C T , puis reste constant.
 La vitesse angulaire du moteur ωm reste constante ;
 Le module du couple résistant C b →2 , de la boîte de vitesses sur l’ensemble 2, est constant et inférieur
ou égal à la valeur C T .
1. Exprimer le temps t e nécessaire à l’arbre d’entrée de la boîte de vitesses pour passer de la vitesse
angulaire
C b →2
ωb0 , à l’instant initial t = 0, à la vitesse angulaire ωm en fonction de ωb0 , ωm , C T ,
et J b .
On isole le plateau 1
TMD sur l'axe (O , ⃗
x)
C M =−C (2/ 1)=C T
On isole (2+b) :
TMD sur l'axe
(O , ⃗x) : t e =J B
2. Calculer ce temps pour
J b=0,7 kg.m 2 .
(ω M −ωb0 )
(C T −C b)
ωb0 =0 , ωm =2000 tr /min , C T =150 N.m , C b →2=50 N.m et
t e =1,43 s
3. Exprimer la puissance développée par les inter-efforts entre 1 et 2 en fonction de
W
wb (t) , wm et CT . En
déduire l’expression littérale de l’énergie, 12 , dissipée par frottement dans l’embrayage pendant le temps
t e en fonction de ωm C T , C b →2 et J b .
P (1←→2)=C T .(ωb−ωM )
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t2
(C T −C b0 ) t 2
JB
ω2M
W (1←→2)=∫ C T .(ωb−ωM ) dt=C T.(
−ω M . t e )=C T .
JB
2
(C T −C b0) 2
t1
4. Calculer cette énergie et préciser sa nature.
W (1←→2)=−11,5 kJ
En déduire la fonction technique à assurer.
La fonction technique à assurer est de dissiper cette energie en évacuant la chaleur
5. Critiquer la pertinence de ce modèle à permettre l’analyse d’un embrayage de véhicule automobile.
Les problèmes sont :
– couple moteur et vitesse moteur variable
– couple résistant entrée de la boite de vitesse
– C12 ne peut pas prendre la valeur de CT instantanément.
Problème 2 : Étude de la fonction « Recevoir et déplacer les charges » (CCP
PSI 2005)
Le treuil est constitué :
• D’un moteur électrique
• D’un réducteur roue et vis sans fin
• D’une poulie de traction
• D’un volant d’inertie
• D’un embrayage frein à tambour
Données de l'étude :
•
•
masse de la cabine avec sa charge maxi : mc = 1000 kg
masse du contrepoids : mp = 800 kg
moteur :
• puissance mécanique nominale : Pm = 4,7 kW
• couple moteur (supposé constant) : Cm = 30Nm
•
vitesse de rotation en charge :
w m = 1500 tr/min
réducteur + poulie :
• rapport de réduction du réducteur :  = 1/50
• diamètre de la poulie : dp
• rendement de l’ensemble réducteur + poulie : h
• hypothèse : pas de glissement du câble sur la poulie
Plan d’appui de
la machinerie

y0
la machinerie
moment d'inertie :
• poulie + roue du réducteur + axe : Ipr
•
•
rotor + vis du réducteur + tambour du frein : Im
•
•
câbles : masses négligées , donc exclus de l’étude
l'action du système de guidage sur la cabine est un glisseur
vertical passant par G (centre de gravité de l’ensemble cabine
charge) qui a pour module F (frottement).
L'action du système de guidage sur le contrepoids est
négligée.
•
•
•
G
volant d’inertie : Iv
le cahier des charges impose l’accélération
la vitesse (hors phase d'accélération ) est V
G max < 0.5 m.s -2
+
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Pour limiter l’accélération et la décélération de la cabine, les treuils d’ascenseur sont équipés d’un volant d’inertie
monté sur l’arbre moteur. L’objet de cette première étude est de déterminer les dimensions de ce volant de façon à
répondre au cahier des charges en terme d’accélération.
En première approximation, le volant est considéré comme un disque plein homogène d’épaisseur e imposée et de
diamètre D à déterminer. La masse volumique de l’acier est notée
r.
1. Donner l’expression littérale du moment d’inertie IV du volant autour de son axe de rotation en fonction de
D, e et 
IV =
MR 2
4 e
=ρ π D
2
32
Pour déterminer le moment d’inertie Iv (et donc D) du volant, on propose d’utiliser le théorème de l’énergie
cinétique appliqué à l’ensemble E = {E 1 + E2 + E3} avec :
E1 : ensemble des solides en translation verticale.
E2 : ensemble des solides solidaires de la poulie (ayant la vitesse de rotation de la poulie p).
E3 : ensemble des solides solidaires de l’arbre moteur (ayant la vitesse de rotation du moteur m).
Pour la suite, le moment d’inertie du volant sera simplement noté I V.
Remarque :
Pour les questions 2 à 7, on exprimera les résultats en fonction du paramètre cinématique V,
w
vitesse de la cabine, et non pas m , vitesse de rotation du moteur.
Les calculs se feront dans le cas de la montée de la cabine à l’accélération.
1. Donner l’expression de l’énergie cinétique Ec1 de l’ensemble E1.
1
Ec1= (mc+mp)V 2
2
2. Donner l’expression de l’énergie cinétique Ec2 de l’ensemble E2.
1
1
4
Ec2= I pr ω2P= I pr 2 V 2
2
2
Dp
3. Donner l’expression de l’énergie cinétique Ec3 de l’ensemble E3.
1
1
4
2
2
Ec2= ( I v +I m) ω m= ( I v +I m )
V
2
2
2
λ Dp
4. Donner l’expression littérale de la puissance des actions extérieures à l’ensemble E.
P ( pes →E / R)=( m p−mc ) g.V
;
P (mot →E / R)=C m ω m=C m
2
V
λ Dp
;
P f =−F.V
5. Donner l’expression littérale de la puissance des actions intérieures.
P intérieure=−(1−η) P mot =−C m
2
V (1−η)
λ Dp
6. En déduire l’expression littérale de IV pour que 
IV⩾
G max ne soit jamais dépassée.
λ 2 D2p
2
4
( ηC m
+( m p−mc ) g−F−( mc +m p) V ˙max b−I pr 2 V ˙max )−I M
4
λ Dp
Dp
Problème 3 : Rugosimètre 3d à grande vitesse (Concours Mines Ponts PSI 2006)
La rugosimétrie est la mesure de l’état de surface des pièces mécaniques. L’ordre de grandeur des défauts
mesurés est le micron. Cette mesure des états de surfaces est aussi répandue et indispensable que la mesure des
caractéristiques dimensionnelles et géométriques des pièces mécaniques (longueur, orientation,
perpendicularité…).
La figure 1 représente un relevé rugosimétrie tridimensionnel d’une partie d’une aube de turbine de haute précision
(à droite en fausses couleurs).
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La mesure de rugosimétrie repose traditionnellement sur deux éléments distincts : le capteur, qui peut être
mécanique (palpeur) ou optique, et le traitement du signal et des données (algorithmes informatiques), qui permet
de traduire les mesures physiques de base, produites par le capteur, en données numériques exploitables,
représentatives des caractéristiques physiques de la surface analysée.
De la conjonction des caractéristiques techniques du capteur et du traitement numérique vont découler les qualités
essentielles du rugosimètre : sa rapidité ; sa résolution ; sa précision ; son amplitude de mesure.
Lorsque l’ensemble est suffisamment rapide, il peut être utilisé pour réaliser des relevés de surface (z fonction de
(x, y), ou « mesure 3D ») et non plus simplement des profils linéaires (z fonction de x, ou « mesure 2D »). Si, à
cette exigence de rapidité, on ajoute celle de précision ainsi que celle de grande amplitude de mesure, on arrive,
avec les technologies actuellement disponibles, à des capteurs très chers (de l’ordre de 50 000 euros). Cela fait
que le développement de la rugosimétrie 3D de précision a été, jusqu'à présent, assez lent. Le projet, dont est tiré
le sujet, a pour ambition de développer et de mettre sur le marché un rugosimètre 3D de précision à faible coût.
L’objet de cette étude est d’effectuer un pré dimensionnement des moteurs montés sur le prototype du rugosimètre
2D. Ce prototype a été conçu par le laboratoire SATIE de l’École Normale Supérieure de Cachan. Ce projet est le
fruit d’un travail pluridisciplinaire qui a impliqué des commerciaux, des scientifiques et des techniciens, et a été
financé par l’Agence pour la Valorisation de la Recherche d’Ile-de-France.
STRUCTURE GENERALE DU RUGOSIMETRE A GRANDE VITESSE
Le principe d’un capteur opto-mécanique (association d’un capteur optique et d’un capteur mécanique) a été
retenu, pour ce prototype.
Il est décrit succinctement ci-contre (figure 2) :
• un capteur optique assure une résolution verticale comparable à celle
des meilleurs capteurs mécaniques actuels (< 10 nm). Ce capteur, de
faible amplitude de lecture (20 μm), permet une mesure rapide des
hautes fréquences spatiales (variations rapides) des profils
rugosimétriques mesurés ;
• un asservissement mécanique vertical à grande amplitude (environ 10
mm) permet à la tête optique de suivre les moyennes et basses
fréquences spatiales (variations plus lentes) des profils. Un second
capteur donne la position verticale de la tête optique.
Le profil complet sera obtenu par la somme des signaux fournis par les deux capteurs. Le déplacement vertical du
capteur optique est assuré par une Unité de Rotation (U.R.) portée par le coulisseau (2) (figure 3) ;
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Ce capteur opto-mécanique est lui-même déplacé au dessus de la surface à mesurer par une Unité de Translation
(U.T.) à vitesse régulée (figure 3), ce qui permet d’obtenir un « profil 2D », z fonction de x. La vitesse de
déplacement visée par ce prototype est de 20 mm.s-1.
Dans sa future version 3D, une seconde U.T. de direction ⃗y permettra de donner une image de la surface par
une juxtaposition de profils 2D : on « scannera » la surface.
Le coût estimé de ce rugosimètre est de 10 000 euros.
PRINCIPE DE MESURE DU CAPTEUR OPTIQUE
Le principe de mesure du capteur optique est l’écartométrie. Ce procédé, déjà utilisé en robotique, n’a encore
jamais servi en rugosimétrie industrielle.
Un faisceau laser (« émission ») est focalisé sur la surface à mesurer. La tache focale se déplace devant les
images de deux demi-disques de réception. L’intensité lumineuse d’émission se partage ainsi entre deux
photorécepteurs. Cette différence d’intensité permet de calculer la position horizontale de la tache focale
d’émission. Cette position horizontale de la tache focale est ensuite convertie en position verticale de la surface par
rapport au point focal (qui sera noté par la suite (P)) (figure 4).
U
CALCULS PREVISIONNELS DES ACTIONNEURS
Les calculs d’avant projet doivent permettre de dimensionner les différents composants qui seront utilisés et de
définir certains paramètres de réglages (paramètres d’asservissement…).
Les calculs prévisionnels visent, dans un premier temps, à déterminer les équations dynamiques qui permettront
de déterminer les couples moteurs (minimum) des différents actionneurs en fonction des caractéristiques
géométriques, massiques et inertielles des pièces ainsi que des conditions d’utilisation.
Dans toute cette partie, nous considérerons que seules l'unité de translation ⃗
x et l’unité de rotation sont
actionnées.
g =−g. z⃗0 avec g=9,81 m/s 2
L’accélération de la pesanteur sera notée ⃗
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MISE EN PLACE DU PROBLEME
La figure 5 présente le schéma et le paramétrage qui sera utilisé pour cette partie de l’étude. Ce système comporte
quatre pièces :
• le bâti (0) : on associe à cette pièce le repère R0 (O , x⃗0, y⃗0, z⃗0) que l’on considère galiléen ;
• le rotor (1) :
−6
2
◦ moment d’inertie selon l’axe (O , x⃗0) noté J 1 avec J 1=10 kg.m
OG 1=−a x⃗0 ;
◦ centre d’inertie G1, avec ⃗
◦ la liaison pivot L0/1, dont le paramètre angulaire est ϕ=( y⃗0, y⃗1) , présente un frottement
B
B
B
B
⃗
M (O ,0 /1)=− f1. ϕ̇ . x⃗0 avec
visqueux de coefficient f1, créant un moment :
−5
−1
f =5.10 Nm/( rd.s ) ;
B
B
1
◦ un moteur M1 gère le mouvement de rotation de (1) par rapport à (0). Le couple moteur appliqué
•
sur (1) est noté : ⃗
M (O , CEM 1 0 /1)=C m1 . x⃗0 .
le coulisseau (2) :
◦ masse : m2 avec m2 = 2 kg ; o centre d’inertie G2 ;
◦ la liaison hélicoïdale L1/2 (supposée parfaite) possède un pas noté ( pa ) ( pa = 0,5 mm/tour ). Ce pas
est à droite (sens classique) ;
OA= x. x⃗0
◦ la liaison glissière L0/2, dont le paramètre de position (translation) est noté x : ⃗
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
présente un frottement visqueux de coefficient f 2 , créant une force :
B
B
f 2=5 N /m.s ;
•
B
⃗
R0 / 2=− f2 . ẋ. x⃗0 avec
l’ensemble (3) :
◦ masse : m3
B
B
⃗
AG3=r . x⃗3 ; r = 27,5 mm
A −F −E
◦ matrice d’inertie en A : [ℑ A (3)]= −F
B −D
−E −D C ( x⃗ y⃗ ⃗z )
◦ la liaison pivot L2/3, de paramètre angulaire θ=( x⃗0, x⃗3 ) présente un frottement visqueux de
coefficient f3, créant un moment : ⃗
M ( A,2 /3)=− f3. θ̇ . y⃗0 ;
◦ centre d’inertie G3 :
B
B
[
B
]
3,
3,
3
B
B
◦ un moteur M3 gère la rotation de l’ensemble (3) par rapport à (2). Le couple moteur appliqué sur (3) est
noté : ⃗
M ( A , CEM 3 2/3)=C m3 . y⃗0
;
◦ un système d’équilibrage (ressort de torsion) permet à la tête
optique d’être horizontale ( θ = 0° ) en position de repos, c’està-dire lorsque le moteur M3 n’est pas alimenté. Ce système
d’équilibrage exerce sur l’ensemble (3) un couple de rappel
noté : ⃗
M ( A , ressort 2/3)=Cr . y⃗0 avec Cr = −(Ktors .θ + C0
) . Le terme C0 permet d’équilibrer le moment en A créé par
l’action de pesanteur sur (3) lorsque ( θ = 0° ).
B
B
B
B
Comme le montre la figure 6, l’ensemble (3) est constitué de plusieurs
Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses
solides en liaison encastrement :
•
•
•
le bras (4) lié au moteur couple,
la tête optique (5),
un contrepoids (6).
Ce contrepoids (6) a été ajouté pour assurer que le centre d’inertie G 3 soit sur l’axe ( A , x⃗3) .
B
Les caractéristiques géométriques de l’ensemble étudié sont données ci-après :
AG 4=−b4
• bras (4) du moteur couple : masse : m4 = 1 g ; centre d’inertie : ⃗
y⃗0
AG 5=a5 x⃗3 +b5 y⃗3+c5 z⃗3
tête optique (5) : masse : m5 = 5 g ; centre d’inertie ⃗
B
•
B
•
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
avec a5 = 40 mm ; b5 = 0,8 mm ; c5 = 10 mm ;
contrepoids (6) : masse : m6 = 2 g ; centre d’inertie :
avec a6 = 10 mm ; c6 = 25 mm.
B
avec b4 = 4 mm ;
B
B
B
⃗
AG 6=a 6 x⃗3 +c 6 z⃗3
B
EQUATIONS DYNAMIQUES
Le système étudié possède deux mobilités, il est donc nécessaire de déterminer deux équations pour pouvoir
atteindre les grandeurs recherchées, le couple moteur dans l’actionneur de l’unité de rotation C m3 et le couple
moteur dans l’unité de translation Cm1 en fonction des caractéristiques dimensionnelles et matérielles des pièces,
des lois de mouvement et des dissipations dans les liaisons.
B
B
B
B
1. Tracer le graphe d’isolement complet du système.
On recherche l’expression du couple moteur dans l’actionneur de l’unité de rotation C m3.
Dans un premier temps, on pense utiliser le Théorème de l’Énergie Cinétique (TEC) pour déterminer cette
expression.
b
B
2. Isoler l’ensemble 3, établir le bilan des puissances et déterminer les expressions de chacune des
puissances.
Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses
3. Déterminer l’expression de l’énergie cinétique T(3/0) de 3 dans son mouvement par rapport à 0.
4. Pourquoi ne pourra-t-on pas déterminer l’expression de C m3 en utilisant le TEC.
5. Proposer une autre méthode permettant de trouver l’expression de C m3.
b
B
Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses
L’expression permettant de déterminer Cm3 est la suivante :
B
B
C m3 − K tor . θ − f3.dot θ +m3.g.r.(cos θ −1)= B. θ̈ − m3.r. ẍ . sinθ
On cherche à déterminer la relation permettant de calculer le couple moteur C m1. Cette relation peut nécessiter
l’écriture de plusieurs équations, mais elle ne doit pas, au final, contenir d’inconnues mécaniques transmissibles
dans les liaisons L0/1, L1/2, L2/3, L0/2.
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
6. Isoler l’ensemble Σ={1+2+3}, établir le bilan des puissances, déterminer les expressions de chacune des
puissances ainsi que les différentes énergies cinétiques concernées.
Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses
7. Écrire une relation liant les paramètres
ϕ̇ , ẋ
et le pas
pa .
B
8. A partir du résultat fourni par le théorème de l’énergie cinétique appliqué à l’ensemble Σ={1+2+3} et à
l’équation précédente, exprimer le couple C m1 uniquement en fonction de ẋ , θ̇ et de leurs dérivées.
B
B
Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses
DETERMINATION DES COUPLES MOTEURS
Les deux équations que vous venez d’obtenir sont des équations différentielles couplées et non linéaires. Pour
résoudre, algébriquement ce système d’équations, l’étude du mécanisme dans des conditions particulières est
nécessaire.
Lorsque le point focal de la tête optique suit le profil moyen de la
surface, l’angle θ varie au voisinage de 0°. On peut montrer que cette
variation de position est d’amplitude très faible, et qu’en conséquence, il
est possible de réaliser une linéarisation de ces équations au voisinage
de 0° ( θ reste petit).
On suppose également que les termes de la forme
sont négligeables devant le terme en ẍ .
a. θ̈
et
b. θ̈
La loi de commande de l’unité de translation est représentée à la figure
7. La vitesse nominale (constante) recherchée est notée V 0.
L’accélération maximale est notée Ac Max .
B
B
9. En utilisant les simplifications mentionnées, déterminer, dans la phase d’accélération, puis dans la phase
de déplacement à vitesse constante, les expressions littérales de C m1 et C m3.
B
10. Calculez la valeur du couple Cm1 maximal ( V 0 =0,2 m.s
B
B
−1
P
;
B
b
B
Ac Max =0,2 m.s−2 ).
P
Le choix des moteurs (M1 et M3) se fera à partir d’un cahier des charges, dont le couple maximal transmissible par
les moteurs est une des caractéristiques. Il existe bien d’autres spécifications comme, la vitesse et l’accélération
maximale, la surintensité supportée, l’encombrement axial et longitudinal…
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Problème 4 : Modélisation mécanique du boîtier papillon (SIA 2015)
Modèle mécanique simplifié
Cette partie porte sur la validation de la solution adoptée et la recherche d'un modèle du comportement
dynamique de la vanne-papillon, sur la base d'un modèle simplifié.
On considère que les actions mécaniques de frottement dans les différentes liaisons sont négligeables
par rapport aux actions mécaniques mises en jeu. On donne dans le diagramme ci-dessous, un extrait
des exigences imposées sur le fonctionnement du boîtier papillon.
On propose un modèle cinématique du mécanisme dans la figure ci-dessous. La butée mécanique qui permet le
positionnement angulaire de la vanne-papillon au repos, ni la butée mécanique qui délimite la rotation maximale de la
vanne-papillon ne sont représentées. Le bâti sera considéré lié à un repère galiléen (R_g).
roue 32
vannepapillon
axe
roue 21
pignon
22
arbre
intermédiaire 2
pignon
11
rotor du
moteur
moteur
A partir de ce schéma, nous pouvons poser un paramétrage cinématique :
•
la rotation absolue (θs) de l'ensemble 3 {vanne-papillon ; axe ; roue dentée 32} ;
Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses
•
la rotation absolue (θi) de l'ensemble 2 {arbre intermédiaire 2 ; pignon 22 ; roue dentée 21} ;
•
la rotation absolue (θe) de l'ensemble 1 {pignon 11 ; rotor du moteur}.
Nous pouvons également noter les vitesses absolues de chacun des sous-ensembles cinématiques précédents :
ω s=(
dθ s
dθ i
dθ e
; ωi =(
; ω e=(
)
)
) .
dt Rg
dt Rg
dt Rg
Pour simplifier les écritures on posera
K red1 =
ωi
ωe
,
K red2 =
ωs
ωi
K red =
et
ωs
ωe
Nota : certaines données concernant les pignons, les roues et la machine à courant continu sont fournies en ANNEXE.
1. calculer la valeur numérique de la rotation absolue θe en degrés du rotor du moteur pour que la vannepapillon tourne d'un angle égal à θs = 105°.
Z11 Z22 14 10 1
.
= . =
Z21 Z32 57 49 20
θS
θE =
=105∗20=2000 °
K red
K red =
Nous disposons de certaines valeurs de moment d'inertie, notamment celle du moment d'inertie de l'ensemble 1 par
rapport à son axe de rotation (J1), égale à 4.10-6 kg.m2 et celle du moment d'inertie de l'ensemble 2 par rapport à son
axe de rotation (J2), égale à 7,5.10-9 kg.m2. Nous connaissons également la valeur du moment d'inertie de l'axe et du
pignon 31 de l'ensemble 3 par rapport à l'axe de rotation (Jaxe), égale à 3,4.10-8 kg.m2.
La géométrie de la vanne-papillon est sensiblement un disque lenticulaire qui peut être assimilé d'un point de vue
cinétique à un disque plat d'épaisseur constante égale à ep = 2 mm. La vanne-papillon est en polymère (PEHD) de masse
volumique notée ρvp. On note son diamètre D.
2. Déterminer l'expression du moment d'inertie de la vanne-papillon par rapport à son axe de rotation,
Jpap en fonction de ρvp, ep et D. En déduire l'expression du moment d'inertie total J3 de l'ensemble 3
par rapport à l'axe de rotation en fonction des différents moments d’inerties.
2
Par définition (et vu en TD)
Jpap=
2
4
3
m.r
e
d
e
+m =ρ π e +ρ π d 2
4
12
64
48
On prendra dans la suite du sujet J3 = 8,4.10-7 kg.m²
3. Calculer l'énergie cinétique totale Ec des ensembles 1, 2 et 3 par rapport au repère galiléen Rg. En
déduire l'expression littérale du moment d'inertie équivalent du système complet, Jeq, rapportée à
l'axe du moteur. Montrer que Jeq ≈ J1.
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
Ec(1 /Rg )= J 1 ωe ; Ec(2/ Rg )= J 2 ωi = J 2 K red1 ω e ; Ec(3/ Rg)= J 3 ω s = J 3 K red ωe
2
2
2
2
2
1
Ec= ( J 1 +J 2 K 2red1 +J 3 K 2red ) ω2e d'où J eq= J 1 +J 2 K 2red1+J 3 K 2red
2
2
−9
2
−10
2
Lorsque on fait l'application numérique on a : J 2 K red1 =7,510 (10/49) =3.10 kg.m et
2
10 14
J 3 K 2red =8,4 10−7 (
) =1,5 10−9 kgm2 d'où on peu considérer que Jeq ≈ J1
49 57
Pour permettre un retour de la vanne-papillon dans une position permettant un fonctionnement au ralenti du moteur
en cas de défaillance du boitier, un couple de précharge (valeur numérique fournie en ANNEXE) est appliqué par le
ressort de rappel. Ce couple est exercé par un ressort hélicoïdal de torsion de raideur KR (valeur numérique fournie en
ANNEXE).
4. Pour une rotation de 105° de la vanne-papillon, en déduire la valeur de l'accroissement maximum de
couple exercé par le ressort sur l'axe, ΔCR (on pourra poser 105° ≈ 2rad). Conclure sur l'hypothèse de
couple constant exercé par le ressort sur l'axe.
Le couple de précharge appliqué par le ressort de rappel est proportionnel à l’angle de rotation de l’ensemble 3.
ΔCr= K R θ S
AN :
ΔCr=0,1×2=0,2 N.m
Le couple de rappel est :
Cr=1,7 N.m d'où
ΔCr
=10 %
CR
Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses
L’hypothèse « couple constant exercé par le ressort sur l’axe » est acceptable.
Nous supposerons :
•
que le couple de rappel Cr est constant et égal à sa valeur de précharge fournie en ANNEXE ;
•
que le rapport de réduction du réducteur est
•
que Jeq = 4.10-6 kg.m².
k red =
ωs 1
=
ω e 20
;
Nous pouvons désormais mettre en place les actions mécaniques dans le système lors d'une phase de commande :
•
les actions de liaison ;
•
l'action du moteur par rapport au bâti. La valeur du couple nominal Cn exercé par le moteur sur le pignon
d'entrée est fourni en ANNEXE ;
•
l'action du ressort de rappel entre le bâti et la vanne-papillon (précharge) ;
•
l'action du flux d'air sur la vanne-papillon sera considérée comme négligeable devant l'action du ressort.
5. Écrire, à partir du Théorème de l'énergie-puissance appliqué sur le système des ensembles 1, 2 et 3,
l'équation reliant le couple moteur Cm et le couple exercé par le ressort à la dynamique du système
isolé.
TEC appliqué à 1+2+3 par rapport au bâti 0
d
(Ec (1+2+3 /0))0=P ( AME→1+2+3 /0)+P ( AMI ←→1+2+3)
dt
BAME
BAMI
P ( AME →1+2+3/0)
P (AMI ←→1+2+3)
0→1
0
1←→2
0
0→2
0
2←→3
0
0→3
0
air→3
0
moteur →1
C N ωE
ressort→3
−C R ωS =−C R K red ω E
d
(Ec (1+2+3 /0))0= J eq ω E ω˙ E
dt
D'où
J eq ω˙ E=C N −C R K red
6. A partir de l'équation précédente, déterminer l'expression littérale de la valeur du couple moteur Cm à
appliquer sous la forme d'un échelon, pour qu'en un temps t ouverture, la vanne-papillon s'ouvre d’un angle
de rotation θs
ω˙ E =
C N −C R K red
J eq
on en déduit que
d'où
C N=
ωE=
2.θ S J eq
K red . t 2
C N −C R K red
t
J eq
d'où
θE =
C N −C R K red t 2 θ S
=
J eq
2 K red
+C R . K red
7. Calculer la valeur numérique du couple Cm qui permet de respecter l’exigence de rapidité (on pourra
poser 105° ≈ 2rad). Conclure sur la faisabilité d'une telle ouverture si le concepteur limite le couple
moteur à son couple nominal.
C N=
2.θ S J eq
1,7
+C R . K red =8,10−3+ ≈0,08 N.m <0,21 Nm=Couple nominal
20
K red . t
2
Le couple nominal est suffisant pour respecter l’exigence de rapidité.
Lors d'une défaillance du moteur, nous pouvons faire le bilan suivant des actions mécaniques dans le système :
les actions de liaison ;
•
•
•
l'action du moteur : le couple exercé par le moteur sur le pignon d'entrée est égal à Cm = 0 mN ;
l'action du ressort de rappel entre le bâti et la vanne-papillon (précharge) ;
L'action du flux d'air sur la vanne-papillon reste considérée comme négligeable devant l'action du ressort.
Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses
8.
A partir de l'écriture judicieuse du Théorème de l'énergie-puissance, déterminer l'expression littérale
du temps tretour que met la vanne-papillon pour revenir complètement à sa position de repos depuis la
position complètement ouverte.
À partir du TEC précédent on peut donner l'équation :
ω˙ E =
−C R K red
J eq
car
C N =0
d'où par intégration, en tenant compte des conditions initiales (
θ (t) −C R K red t 2 θ S0
θE = S =
+
K red
J eq
2 K red
θ S ( t retour )=0
t retour =
√
θ S ( 0)=θS0 ) :
au bout d'un temps tretour le système revient à sa position initiale c'est à dire
2.J eq θ S0
2
C R . K red
9. Calculer la valeur numérique de ce temps (on pourra poser 105° ≈ 2rad). Quel dommage peut
apparaître pour un temps de retour très faible ?
t retour =
√
2×2×10−6×202
=0,06 s
1,7
.
Un temps de retour très faible aura pour conséquence un choc brutal avec le bâti, il est judicieux de réaliser une
étude pour déterminer si l’énergie cinétique acquise à ce moment d’impact est supportable par le matériau
10. Calculer la valeur de l'énergie cinétique Ec du système au moment du choc en ne tenant compte que de
l'ensemble 3. En s'appuyant sur les informations données en ANNEXE, et pour une section de denture
égale à Sdent = b.m, conclure si le matériau supporte l'impact.
−C R K red
1
1
Ec(3/ Rg)= J 3 ω 2s = J 3 K 2red ωe2 et ω˙ E =
2
2
J eq
ωE=
√
−C R K red
−C R K red 2.J eq θ S0
t retour =
.
J eq
J eq
C R . K 2red
Application numérique :
d'où
2.C R θS0
1
1
Ec(3/ Rg)= J 3 K 2red ω2e = J 3 K 2red
2
2
J eq
Ec(3/ Rg)=2 10−3 J
E rupture= E rupture surfacique ×b×m AN :
E rupture=100.10−3 J ≫2.10−3 J
L’énergie cinétique au moment du choc est inférieure à l’énergie de rupture, Le matériau supporte l’impact.
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ANNEXE
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