Exercice n°1 : Véhicule automobile Exercice n°2 : Machine d`essai

Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses
Exercice n°1 : Véhicule automobile
1. Déterminer la puissance développée par l'action mécanique de :
•(S1) sur (S), dans le mouvement de (S) par rapport à (S1);
P(S2→S/S1)=C.ω
•(S0) sur (S), dans le mouvement de (S) par rapport à (S0);
P(S0→S/S0)=O
•(S0) sur (S), dans le mouvement de (S) par rapport à (S1);
P(S0→S/S1)=−T. r. ω
•(S) sur (S1), dans le mouvement de (S1) par rapport à (S0);
P(S→S1/S0)=Y.v
•(S) sur (S1), dans le mouvement de (S1) par rapport à (S).
P(S→S1/S)=O
2. Déterminer entre les dates t1 = 0s et t2 = 30s le travail de l'action mécanique de la roue (S) sur la roue
(S1) dans le mouvement de (S1) par rapport à (S0). Loi de vitesse :
v=γ t
;
Application numérique
γ=2,2 m/s²
et
Y=300 N
Wt1
t2(S→S1/S0)=297 103J
Exercice n°2 : Machine d'essai
1. Quelle relation y a-t-il entre
φ
et
θ
?
a. ϕ=−r.θ
2. Quelle équation obtient-on en appliquant le théorème de l'énergie cinétique à (S) dans son mouvement par
rapport à R?
¨
θ.(m+I
a2).(r−a)+m.g.sin θ=0
3. En supposant que l'angle
θ
reste petit au cours du mouvement, déterminer la période T des oscillations
de (S).
T=2. π.
√
(m+I
a2)(r−a)
m.g
4. En déduire le moment d'inertie I de (S), sachant que T = 5 secondes.
I=5,3.10−2Kg.m2
5. On suppose à la date t = 0, que
θ=θ0
et
˙
θ=0
.
Déterminer la valeur maximale de
θ0
pour que (S) roule sans glisser sur (I).
on applique le PFD à S en C, on obtient 3 équations et des 3 équations on en déduit :
tan θ0max=f(1+ma2
I)

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Exercice n°4 : étude d'un arbre à cames
1. Déterminer le vecteur vitesse de glissement au point I de (S) par rapport à (T).
⃗
VI ,S /R=−aω⃗ x+eω⃗ y1
2. Déterminer le travail perdu par frottement par les actions mutuelles entre (S) et (T) pendant un tour de
l'excentrique.
W0
2π(S⇔T)=− f.m π(2.a.g+(e. ω)2)
3. Déterminer l'expression, en fonction du temps, du moment du couple moteur qui entraîne en rotation (S) à
vitesse angulaire constante. Conclusion.
Théorème de l'énergie cinétique appliqué à S :
Cm=m g e cos θ+m(g−eω2sin θ)( f(a+esin θ)+ecosθ)
Exercice n°5 : Laminoir
Un moteur électrique entraîne un laminoir. Son arbre est solidaire d'un volant
d'inertie (S) de rayon r=1 m, dont la masse M = 500 kg est supposée répartie
sur la jante.
L'arbre moteur entraîne en rotation, en sens inverse, les deux cylindres (S1) et
(S2) du laminoir, par l'intermédiaire d'engrenages .
Soit
K=2
3
le rapport des vitesses de rotation entre les cylindres et l'arbre
moteur.
Soit I=10 kg·m² le moment d'inertie des cylindres par rapport à leur axe de
rotation. Les différentes liaisons sont supposées parfaites.
1. Déterminer l'inertie équivalente du volant d'inertie et des cylindres, rapportée à l'arbre moteur du laminoir;
IE=2.I K2+mr2=509 kg.m2
Pendant la phase de démarrage du laminoir. Le moteur exerce un couple de moment constant C0 = 160
mN.
2. Déterminer au bout de combien de temps le moteur aura atteint sa vitesse angulaire de fonctionnement de
600 tr/min.
tf =IE
ωf
C0
=200s
et
˙
ω=ωf
tf =0,31 rad /s
A l'instant où l'on engage une barre la vitesse angulaire du moteur est de 600 tr/min. Lorsque la barre est,
passée à travers le laminoir, cette vitesse n'est plus que de 450 tr/min.
3. Déterminer le travail exilé par cette opération, sachant qu'elle a duré 1,5 seconde, et que le moteur a
développé une puissance constante de 10 kW.
Wabsorbée=455 kJ
Exercice n°6 : Trappe de désenfumage
Soit le mécanisme de commande d'ouverture automatique de trappe de désenfumage ci-dessous.

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Au bâti 0 est associé le repère
Rg(O , ⃗ xg,⃗ yg,⃗ zg)
, on pose:
⃗
OB=b⃗ xg+c⃗ yg
Le bras 1 de masse m1 et de centre d'inertie G1, est lié au bâti 0 par une liaison pivot parfaite d'axe
(O , ⃗ zg)
.
Le repère
R1(O , ⃗ x1, ⃗ y1, ⃗ z1)
est lié à l. On pose
⃗
OA=a⃗ x1
;
⃗
OG1=e⃗ x1
;
α=( ⃗ xg,⃗ x1)
L'opérateur d'inertie associé à 1 est
IO(1)=
[
A1 0 0
0B1 0
0 0 C1
]
R1
La roulette 2 de masse m2, de rayon R, de centre d'inertie A, est liée au bras 1 par une liaison pivot parfaite d'axe
(A , ⃗ zg)
.
Le repère
R2(A , ⃗ x2, ⃗ y2, ⃗ z2)
est lié à 2 et on pose
β=( ⃗ x1, ⃗ x2)
L'opérateur d'inertie associé à 2 est
IA(2)=
[
A2 0 0
0B2 0
0 0 C2
]
R2
Le plateau 3 de masse m3 et de centre d'inertie G3, est liée au bâti par une liaison glissière parfaite de direction
⃗
yg
.
Le repère
R3(C , ⃗ x3, ⃗ y3, ⃗ z3)
est lié à 3 et on pose
⃗
BC=λ ⃗ yg
et
⃗
CG3=k⃗ yg
La roulette 2 est en contact en I avec le plateau 3. Le problème est supposé plan.
Le bras 1 est entraîné par une courroie qui exerce sur 1 un torseur
(
⃗
R1
CM⃗ zg
)
O
L'action de la trappe sur 3 est modélisée par le torseur
(
XB⃗ xg+YB⃗ yg+ZB⃗ zg
LB⃗ xg+MB⃗ yg+NB⃗ zg
)
B
On note: Σ = {1 + 2 + 3}
1. Écrire le non glissement en I; en déduire
˙
λ=a˙ αcos α
et
˙
β= ˙
α
R(asin α−R)
en projection sur
⃗
yG
:
˙
λ=a˙ αcos α
en projection sur
⃗
xG
:
˙
β= ˙
α
R(asin α−R)
2. Calculer l'énergie cinétique de l'ensemble Σ dans le mouvement par rapport à Rg
Ec(1+2+3/0)= 1
2C1˙
α2+1
2(C2(˙
α+β)2+m2a2˙ α2)1
2m3˙
λ2
3. Déterminer l'inertie équivalente rapportée au bras 1.
IE=C1+C2(a
r)
2
sin α2+m2a2+m3a2cos α2
4. Déterminer la puissance des efforts intérieurs à Σ dans son mouvement par rapport au bâti O.
Pinterieure=0
car liaisons parfaites et roulement sans glissement

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5. Déterminer la puissance des efforts extérieurs appliqués à Σ
P(ext→3/0)= ˙ λYB
;
P(ext→1/0)= ˙ αCM
;
P(pes→3/0)=−m3g˙ λ
;
P(pes→2/0)=−m2g a ˙ αcos α
;
P(pes→1/0)=−m1g e ˙ αcos α
;
P(0→1/0)=0
;
P(0→3/0)=0
6. En considérant que YB et
˙
α
sont connus, déterminer l'expression de CM
CM=−acos α (YB−m3g)+(m1e+m2a)gcosα+(C2
r2−m3)a2cosαsin α˙
α2
Exercice 7 : Cylindre qui roule n'amasse pas …
Un cylindre dont la géométrie est connue (masse m, rayon R, hauteur h) est initialement
lancé avec un mouvement de translation sur un plan horizontal à la vitesse V0 dans la
direction
x
.
Il commence par glisser sur le plan supposé non frottant. A la date t = 0 et à l'abscisse x=0, il
aborde une frontière à partir de laquelle il y a frottement (coefficient de frottement f) et où il
est donc ralenti et mis progressivement en rotation autour de son axe
G z
.
Au bout d'un certain temps Δt et à l'abscisse x = L, il finit par avoir un mouvement de
roulement sans glissement sur le plan à la vitesse constante V1 et poursuit ainsi.
La figure ci-dessous récapitule les différentes phases du mouvement.
Durant la phase de dérapage avec frottement, on peut décrire le champ de vitesse et les actions mécaniques
extérieures à l'aide de la figure ci-dessous :

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1. Déterminer la longueur sur laquelle il dérape (L), la durée de cette phase ( Δt ) et la vitesse atteinte (V1 )
une fois le mouvement de roulement sans glissement retrouvé.
Pendant la phase de dérapage (x>0)
⃗
A1/2=− f.An ⃗x+An ⃗y
et
⃗
P=−mg ⃗ y
On applique le TRD à 2 sur
⃗
y
An=mg
⃗
A1/2=− f.An⃗x+An ⃗y=mg (− f⃗x+⃗y)
TEC à 2 par rapport à 1
V˙ V+( R2
2)ω ˙
ω=− f.g.(V+R. ω)
(1)
On applique le TRD à 2 sur
⃗
x
:
m. ˙ V=−f.mg
d'où
˙
V=−f.g
, on en déduit
V(t)=−f.g.t +cte
. A
t=0
on a
V=V0
d'où
V(t)=−f.g.t +V0
On remplace V dans l'expression (1) et on en déduit :
˙
ω=−2.f.g
R
d'où
ω(t)=−2.f.g
R.t
Le rouleau s’arrête de déraper lorsque
⃗
V(A ,2/1)=V⃗ x+R.ω⃗ x=⃗ 0
d'où
Δt=V0
3.f.g
Détermination de la longueur parcourue :
L=∫
0
Δt
V(t)dt =∫
0
Δt
(−f.g.t +V0)dt =1
9
V0
2
f.g
Exercice 8 : Étude d'un réducteur